ANALISIS DE FOURIER

Señales y Sistemas

Docente

Oscar Marino Díaz Betancourt

Estudiantes

Cristian Camilo Sánchez Castaño cód. 211553

Andrés Felipe Montoya Marín cód. 210074

Diego Fernando España Arias cód. 211520

Santiago Cardona Aricapa cód. 211013

Laura Cristina Ocampo Gómez cód. 211539

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

05 de noviembre de 2015

ContenidoSERIES DE FOURIER TRIGONOMETRICAS EN SEÑALES PERIODICAS...................................................3

SERIES DE FOURIER COMPLEJAS......................................................................................................10

ESPECTRO DE SERIES TRIGONOMETRICAS Y COMPLEJAS.................................................................12

TEOREMA DE PARSEVAL...................................................................................................................14

SERIES DE FOURIER EN SEÑALES NO PERIODICAS............................................................................15

PROCEDIMIENTO PARA PASAR DE SERIES DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER................18

TRANSFORMADA DE FOURIER EN SEÑALES NO PERIODICAS...........................................................19

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER...........................................................................................26

LISTA DE FUNCIONES CON TRANSFORMADA DE FOURIER...............................................................27

SERIES DE FOURIER TRIGONOMETRICAS EN SEÑALES PERIODICAS

1. MARCO TEÓRICO1.1. Señales periódicas

Las funciones periódicas son funciones que se comportan en una manera cíclica (repetitiva) sobre un intervalo especificado (llamado un periodo). La gráfica se repite así misma una y otra vez así como es trazada de izquierda a derecha. En otras palabras, la gráfica completa puede ser formada de copias de una porción particular, repetida en intervalos regulares indefinidamente. Si f conocida sobre un periodo entonces es conocida en todas partes.

Una función es periódica si cumple con el siguiente comportamiento:

T: periodo

El valor mínimo mayor que cero, de la constante T que cumple con lo anterior se le llama período fundamental. Se debe cumplir para una funcion periódica:

Donde k= 1……N

La forma más simple de onda periódica es la onda armónica sinusoidal

Fig1. Sin(x)

1.2. Ortogonalidad

Se estudia la forma en que los dos conceptos vectoriales de producto interno, o producto escalar, y la ortogonalidad de vectores puede hacerse extensivos a funciones.

Dos vectores u y v son ortogonales siempre y cuando su producto punto interno sea cero, definimos las funciones ortogonales de manera similar.

Suma de funciones para aproximarse a la representación.

Se tienen dos funciones diferentes:

Entonces:

Por lo anterior se debe cumplir lo siguiente:

Para saber que tan parecidas son dos señales que son diferentes:

1.3. Demostración de ortogonalidad en una funcion trigonométrica

Representar una función periódica.

Cn: Variable constante (bases ortogonales)

1. Aplicar la definición de ortogonalidad.

2. Desarrollar el producto punto para los dos casos

1.4. Series trigonométricas

Dada una función periódica f(t). Como se obtiene su serie de fourier:

El problema se resuelve calculando los coeficientes a0, a1, a2… etc.

Se resuelve considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno-

Para hallar los coeficientes se utilizan las siguientes ecuaciones:

2. EJEMPLO

Extender la funcion f(x)=x Utilizando series trigonométricas

Fig2. f(x)=x

Se extiende de forma impar:

Fig3. Funcion impar

En una señal impar no se calcula a0 porque está siempre tiene similitud con el origen.

En una funcion impar an es cero y anula la funcion par es por esto que solo se toma la parte senoidadal.

Se reemplaza en la integral.

3. SIMULACION

Con estas herramientas se puede analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial.

Al ser una señal discontinua produce un fenómeno llamado el efecto de gibbs, que consiste en la aparición de un pico en el punto de discontinuidad, se aprecia de forma más sencilla en una señal cuadrada.

La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no solo se da en un intervalo –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo.

SERIES DE FOURIER COMPLEJAS

Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:

Las ventajas de utilizar la serie es Fourier en complejos son:

Notación más compacta. Es más fácil operar con exponenciales que con senos y cosenos: multiplicar, derivar, ... Los pares (t, f (t)) representan la función f en el dominio del tiempo. * Los pares (ωn, Cn) :

n ∈ Z, ωn = 2π T n = nω1 representan la función f en el dominio de la frecuencia.

EJEMPLO

Desarrollar en series de Fourier f (t) = t 2 , 0 < t < 2π, con periodo 2π

Integrando por partes:

Por tanto:

Frecuencia fundamental: ω1 = 2π/T = 1 rad/s. Frecuencias de Fourier: nω1 = 1, 2, 3, 4, . . . rad/s

ESPECTRO DE SERIES TRIGONOMETRICAS Y COMPLEJAS

Un espectro es la representación de una señal en el dominio de la frecuencia.

Expresiones alternativas de la serie de Fourier: Frecuencia angular:

Donde ; es la frecuencia angular fundamental del armónico n-ésimo. Frecuencia fundamental:

Donde ; es la frecuencia fundamental en Hz del armónico n-ésimo.

Como tenemos senos y cosenos, el espectro consiste en representar y respecto a

Ya que y dependen de cómo se haya elegido T, es preferible representar la amplitud

Debido a que n solo toma valores enteros, la frecuencia angular es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

En los complejos, se puede representar la parte real y la parte imaginaria de Cn.

Determinar los valores de los coeficientes complejos de fourier para una frecuencia dada:

SIMULACION

clear,clc,close all%T = 2w0 = 2*pi/T;N = 5;c0 = 1/T;

n=1:N;cn = [sin(n*pi/T)/pi./n];w = [w0*n 0 -w0*n];modcn = abs([cn c0 cn]);argcn=angle([cn c0 cn]);clfstem(w,modcn), grid onaxis([-19 19 0 .6])title(['Espectro, T = ',num2str(T)])ylabel('|cn|')

Fig4. Espectro para T=2 y coeficientes complejos.

Dada una función periódica s(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes Cn . Por ello, los coeficientes Cn especifican a s(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

TEOREMA DE PARSEVAL

Marc Antonie Parseval fue un matemático francés reconocido por su contribución en las series de Fourier con el teorema que lleva su apellido.

El teorema de Parseval define que la potencia de las señales es equivalente a la suma de la potencia de sus componentes espectrales.

Para la serie trigonométrica:

Para la serie compleja:

Ejemplo:

SERIES DE FOURIER EN SEÑALES NO PERIODICAS

Las series de Fourier se usan únicamente para señales periódicas, por lo que al hablar de una serie de Fourier en una señal no periódica se estaría cometiendo un error.

El tratado que se le da a la señal será diferente para este caso cuando bien la función pueda extenderse de manera tal que su resultado sea una señal periódica, de lo contrario se aplicarían otros conceptos como lo es la transformada de Fourier para señales no periódicas.

Ejemplo

En este caso tendremos una señal no periódica como lo es f(x) = x la cual se va a extender de una manera par e impar por medio de las series trigonométricas de Fourier con el fin de reconstruir la señal y representarla periódicamente.

IMPAR

Extendiendola de manera impar tenemos que:

Solucionando dicha función por medio de las series trigonometricas obtenemos que:

Y como resultado final, la serie es:

Ahora simulando la función en el software Matlab, obtenemos que, para la serie trigonométrica anteriormente hallada su grafica corresponde a la reconstrucción de la señal diente de sierra como se aprecia en la figura.

PAR

Extendiéndola de manera par obtenemos que:

Solucionando dicha función por medio de las series trigonometricas obtenemos que:

Y como resultado final, la serie es:

Ahora simulando la función en el software Matlab, obtenemos que, para la serie trigonométrica anteriormente hallada su grafica corresponde a la reconstrucción de la señal diente de sierra como se aprecia en la figura.

PROCEDIMIENTO PARA PASAR DE SERIES DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER

Las series de Fourier son útiles para el estudio de señales periódicas pero, desafortunadamente, este tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica como las no-periódicas. Esta situación requiere ´ el desarrollo de una teoría matemática más ambiciosa y a ello vamos a dedicar algún tiempo. ´ Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0) la señal ˜ 2T-periodica que se obtiene a partir de ´ x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T] y extendiendo periódicamente con periodo ´ 2T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g., es C1 (R)), entonces tendremos la identidad:

Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad límite será válida para todo ´ t ∈ R y su valor será igual al de la señal de partida x(t). Ahora, estudiemos que le sucede al segundo miembro si hacemos ´ T → ∞. Tomando ∆f = 1/(2T) y fk = k∆f, podemos reescribir la primera ecuación como:

Ahora bien, |fk+1 − fk| = ∆f = 1/2T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk} como nodos equiespaciados de una partición de Riemann para la integral limite´:

Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la señal aperiódica ´ x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):

Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf, podemos reescribir la anterior formula como:

TRANSFORMADA DE FOURIER EN SEÑALES NO PERIODICAS

Para tener una idea sobre la naturaleza de la representación de la transformada de Fourir, comenzaremos por revisar la representación de la serie de Fourier para una onda cuadrada periódica continua. Específicamente, sobre un período y se repite periódicamente con un periodo T.

Ilustración 1 Una onda cuadrada periódica continua

Los coeficientes de la serie de Fourier aK para esta onda cuadrada son:

ak=2 sen(K w0T1)

k w0T (1)

donde w0= 2π/T.

Una forma alternativa de interpretar la ecuación (1) es en forma de muestras de una función envolvente:

Tak=2 senwT 1w

(2)

w=kw0

Esto es, tomando a w como una variable continua, la función (2senwT 1)/w representa la envolvente de Tak, y los coeficientes ak son tan sólo muestras igualmente espaciadas de esta envolvente. También, par aun valor fijo de T1, la envolvente de Tak es independiente de T. En la figura 2 se muestra los coeficientes dela serie de Fourier para la onda cuadrada periódica, pero como muestra de la envolvente Tak como se especifica en la ecuación (2).

Ilustración 2 Los coeficientes de la serie de Fourier y su envolvente para la onda cuadrada periódica para varios valores de T

A partir de la figura, vemos que a medida que T se incrementa, o de manera equivalente, a medida que la frecuencia fundamental w0= 2π/T disminuye, la envolvente es muestrada con un espaciamiento cada vez más estrecho.

Conforme T se vuelve arbitrariamente grande, la onda cuadrada periódica original se aproxima a un pulso rectangular ( es decir, todo lo que queda en el dominio del tiempo es una señal aperiódica que corresponde a un periodo de onda cuadrada). Asimismo, los coeficientes de la serie de Fourier, multiplicados por T se convierten en muestras de la envolvente con un espaciamiento cada vez más estrecho, de manera que en cierto sentido el conjunto de coeficientes de la serie de Fourier se aproxima a la función de la envolvente a medida que T ∞.

Este ejemplo ilustra la idea básica que permitió a Fourier el desarrollo de una representación para señales no periódicas. En forma específica, pensamos en una señal aperiódica como el límite de una señal periódica cuando el periodo se hace arbitrariamente grande, y examinamos el comportamiento limitante de la representación de la serie de Fourier para esta señal.

Convergencia de las transformadas de Fourier.

Partiendo de las ecuaciones:

x (t )= 12π

∫−∞

∞

X ( jw ) e jwtdw (3)

X ( jw )=∫−∞

∞

x (t ) e− jwtdt (4)

Las ecuaciones (3) y (4) son conocidas como el par de transformada de Fourier, cuya función X(jw) se conoce como transformada de Fourier o integral de Fourier de x(t), y la ecuación (3) como la ecuación de la transformada inversa de Fourier. La ecuación de síntesis (3) desempeña un papel, para las señales aperiódicas. Para señales no periódicas, las exponenciales complejas ocurren en una sucesión continua de frecuencias y, de acuerdo con la ecuación de síntesis (3), tienen “amplitud” X(jw)(dw/2 π)

En analogía con la terminología usada para los coeficientes de la serie de Fourier de una señal periódica, la transformada X(jw) de una señal aperiódica x(t) se conoce comúnmente como el espectro de x(t), ya que nos proporciona la información necesaria para describir a x(t) como una combinación lineal (específicamente, una integral) de señales senoidales a diferentes frecuencias.

Convergencia de las transformadas de Fourier.

Si bien el argumento que se emplea al deducir el par de las transformadas de Fourier suponía que x(t) era de duración arbitraria pero finita, las ecuaciones (3) y (4) siguen siendo válidas para una clase extremadamente amplia de señales de duración infinita. De hecho, la deducción de la trasnformada de Fourier sugiere que un conjunto de condiciones como las que se requieren para la convergencia de la serie de Fourier también deberían ser aplicables en este caso, y en efecto es posible demostrar que así es.

Específicamente, considerando que X(jw) se evalúa de acuerdo con la ecuación (4) y sea x(t) la señal que se obtiene al usar X(jw) en el término derecho de la ecuación (3). Esto es,

x ' (t )= 12π

∫−∞

∞

X ( jw ) e jwtdw (3)

Lo que nos gustaría saber es bajo que condiciones la ecuación (3) es válida, (es decir, ¿cuánto x(t) es una representación válida de la señal original?). Si x(t) tiene energía finita es decir, si es integral al cuadrado de manera que,

∫−∞

∞

[x (t )]2dt<∞ (5)

Tenemos la garantía de que X(jw) es finita (es decir, la ecuación (4) converge).

∫−∞

∞

[e (t )]2dt=0 (6)

Las ecuaciones (5) y (6) son las contrapartes aperiodicas de las ecuaciones para señales periódicas. Por tanto, como sucede con las señales periódicas, si x(t) tiene energía finita, entonces, aunque x(t) y su representación de Fourier x’(t) puedan diferir significativamente para valores individaules de t, no hay energía de su diferencia.

Al igual que con las señales peródicas, hay un conjunto alternativo de condiciones que son suficientes para asegurar que x’(t) sea igual a x(t) para cualquier t excepto e una discontinuidad, en donde es igual al promedio de los valores en cualquier lado de la discontinuidad. Estas condiciones, a las que nos referimos también como condiciones de Dirichlet, requieren que:

1. x(t) sea absolutamente integrable, esto es,

∫−∞

∞

[x (t )]dt<∞

2. x(t) tenga un número finito de máximos dentro de cualquier intervalo finito.3. x(t) tenga un número finito de discontinuidad dentro de cualquier intervalo finito.

Además, cada una de estas discontinuidades debe ser finita

Por tanto, las señales absolutamente integrables que son continuas o que tienen un número finito de discontinuidades tienen transformada de Fourier.

Ejemplo 1:

Considerando la señal:

x (t )=e−atu (t) a>0

De la ecuación (4)

X ( jw )=∫0

∞

e−at e− jwt dt = −1a+ jw

e−(a+ jw ) t ¿¿ evaluado entre 0 e infinito

Esto es,

X ( jw )= 1a+ jw , a>0

Puesto que esta transformada de Fourier tiene valor complejo, para graficarla en función de w expresamos X(jw) en términos de su magnitud y de su fase:

X ( jw )= 1

√a2+w2 , X ( jw )=−tan−1(wa

)

Cada una de esas componentes está bosquejada

Se observa que si a es compleja en lugar de real, entonces x(t) es absolutamente integrable en tanto Re(a) > 0, y en este caso el cálculo precedente proporciona la misma forma para X(jw)

SIMULACION

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER

LISTA DE FUNCIONES CON TRANSFORMADA DE FOURIER

Función seno

La transformada de Fourier de la función seno de frecuencia w0 son dos impulsos de energía jπ, uno positivo en −w0 y otro negativo en w0, es decir

Como sabemos:

Por lo tanto:

Gráficamente

Función coseno

La transformada de Fourier de la función coseno de frecuencia w0 son dos impulsos positivos de energía jπ, uno en −w0 y otro en w0, es decir:

Como sabemos,

Por lo tanto:

Gráficamente:

SIMULACION