ANÁLISIS DE ARMADURA EN EL PLANO (MÉTODOS DE NODOS Y SECCIONES).

• Definición de una armadura

Una armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a los soportes por medio de una combinación de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en triángulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresión o en tensión pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente. En la práctica, algunos esfuerzos de flexión pueden ocurrir como resultado de la fricción de las juntas y de las cargas distribuidas aplicadas a los

Miembros entre las juntas; generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo común, se ignoran para propósitos analíticos. El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es una forma única, ya que no se puede cambiar sin que cambie la longitud de sus lados aun cuando las juntas estén articuladas. Todos los otros polígonos articulados son inestables.

• Tipos de Armaduras

Las formas perimetrales de la mayoría de las armaduras planas son triangulares, rectangulares, arqueadas o lenticulares. Estas formas perimetrales están invariablemente descompuestas en unidades triangulares más

• Método de Nodos

Este método consiste en analizar el equilibrio de cada junta o nodo una vez que se hayan determinado las reacciones. Las fuerzas sobre los pasadores en las juntas están siempre en la dirección de los elementos que hacen parte de estos; si el elemento comprime o empuja al pasador, este ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre aquél, el cual estará sometido a compresión. Si el elemento tira o hala al pasador, por reacción este halará al elemento y en consecuencia estará sometido a tracción.

Las ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada junta, para armaduras planas son dos ya que se trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, por consiguiente el número máximo de elementos que puede tener la armadura para que sea estáticamente determinado por la formula 2n-3 siendo n el número de juntas. El 3 representa el número máximo de incógnitas en las reacciones.

• Método de Secciones

Este método se basa en el hecho de que si una armadura, tomada como un conjunto, está en equilibrio, cualquier parte de ella también lo estará. Entonces, si se toma una porción de la estructura mediante un corte, de tal manera que no tenga más de tres incógnitas, es posible, mediante las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva.

Si por ejemplo se quiere determinar las fuerzas en los elementos FF, DF y DG, una vez determinadas las reacciones se procede a hacer un corte. Si tomamos la porción derecha (se puede tomar también la otra sección) y en los miembros cortados se indican las fuerzas ejercidas sobre ellos (el sentido es arbitrario) se puede tomar entonces dicha sección como un cuerpo rígido.

Tomando se deduce que FDF=0, tomando momentos con respecto a H y teniendo en cuenta el anterior resultado, se concluye que FEF=P y que el elemento está a compresión. Por último haciendo se concluye que FDG=P y el miembro DG está sometido a tracción. Los mismos resultados se obtienen si se considera la parte izquierda de la armadura.

El método de las secciones es particularmente útil cuando, por alguna razón, se requiere determinar las fuerzas en algunos elementos en particular.

Ejemplo:

Usando el método de los nudos, determine la fuerza en cada miembro de la armadura que se muestra:

El primer paso será representar el diagrama de fuerzas de la armadura completa, dibujando todos los vectores que afectan a la armadura y sin olvidar las reacciones en los apoyos. Es importante también colocar las medidas conocidas de cada miembro y las magnitudes de los vectores de cada fuerza.

Como la condición para que existan las armaduras es su estabilidad, recordamos que tenemos que aplicar las ecuaciones de la suma de todas las fuerzas y todos los momentos e igualarlos a cero. Sería conveniente comenzar por un nodo donde sólo exista una incógnita; la ecuación del momento en el nodo C nos podría dar el valor del vector que genera la reacción en el apoyo E. Porque automáticamente se eliminan las fuerzas Cx y Cy, puesto que no provocan ningún giro en C

Enseguida podemos darnos cuenta de que la sumatoria de fuerzas en X implica un solo vector, por lo que su ecuación tendrá una sola incógnita. Y será fácil su deducción:

Una vez que conocemos la magnitud en la reacción del nodo E, nos damos cuenta de que la ecuación que incluye a las fuerzas en el sentido vertical (Y) sólo tendrá una incógnita, por lo que procedemos a resolverla para encontrar el vector generado por la reacción vertical en el nodo C.

Y entonces, ahora sí procedemos a calcular las fuerzas en cada nodo.

Comencemos con el nodo A.

En primer lugar vamos a dibujar el diagrama de fuerzas que conocemos que intervienen en este nodo, dejando con líneas punteadas los vectores de los miembros que todavía no conocemos.

Enseguida hacemos un polígono de fuerzas en equilibrio, es decir, un polígono con los vectores involucrados en el nodo, acomodados de punta a cola, de tal manera que se cierre el polígono. Sólo existe una combinación para equilibrar triángulos.

Con las medidas de los miembros podemos deducir el ángulo de inclinación de éstos y por lo tanto es el mismo ángulo de inclinación de los vectores. La función tangente nos servirá para encontrar el ángulo de inclinación.

Y como conocemos el valor del vector que está aplicado verticalmente en A, y tenemos el ángulo, podemos fácilmente conocer la magnitud de cualquiera de los otros dos vectores, utilizando las funciones seno, coseno y/o tangente.

Ahora, mediante la observación únicamente, deduciremos el sentido de los vectores recién encontrados. El vector FAB se dirige hacia la derecha, si lo trasladáramos al diagrama de fuerzas (en la línea punteada) podemos darnos cuenta de que “tira” del nodo A, por lo tanto deducimos que el miembro está en tensión.

Así mismo si trasladamos el vector del polígono en equilibrio al diagrama de fuerzas, podemos ver que el vector FED “presiona” al nodo, por lo que deducimos que está en compresión.

Ahora continuaremos con el nodo B:

En primer lugar vamos a dibujar el diagrama de fuerzas que conocemos que intervienen en este nodo, dejando con líneas punteadas los vectores de los

miembros que todavía no conocemos, pero la ventaja es que ahora ya conocemos tres de las fuerzas involucradas, las que fueron calculadas en el nodo A y en el nodo D. Quedan dos fuerzas sin determinar, por lo que las dejamos como líneas punteadas.

Es importante dibujar el vector de la carga vertical del nodo hacia abajo, para evitar confusiones.

Enseguida dibujamos los vectores faltantes, suponiendo arbitrariamente que los miembros están en tensión, esto es, que están “tirando” del nodo B.

Las fuerzas que no son horizontales o verticales (es decir, todas las inclinadas) deberán descomponerse en sus dos componentes X y Y, utilizando las funciones seno, coseno y tangente. Primero que nada, se deducirán los ángulos de los vectores inclinados.

Ahora se dibujan dos vectores rectangulares en vez de cada uno de los vectores inclinados, de esa manera tendremos en el diagrama de fuerzas solamente fuerzas verticales y horizontales, por lo que ya podemos aplicar las ecuaciones del equilibrio.

Comenzamos con la sumatoria de fuerzas en Y, de donde podemos deducir la magnitud del vector FBE

Inmediatamente nos damos cuenta de que el miembro está en compresión, porque fue arbitrariamente dibujado en tensión, y el resultado fue negativo, por lo tanto el miembro está en compresión.

Ahora continuamos con la ecuación donde sumamos todas las fuerzas en X, de ahí deduciremos la magnitud del vector FBC.

También podemos observar que este miembro sí está en tensión, pues el resultado obtenido es de signo positivo. Vamos bien.

ahora vamos a calcular los vectores del nodo E. Dibujemos el diagrama de fuerzas de los vectores que inciden en C, de los cuales conocemos 3, sólo existe una incógnita, la cual es FEC, la cual también será incluida en el diagrama de fuerzas, la supondremos arbitrariamente a tensión, el resultado nos comprobará si fue buena la suposición.

Como los vectores FBE y FDE y la reacción E “presionan” al nodo E, podemos pasarlos del otro lado del nodo, lo cual nos facilitará la comprensión del diagrama de fuerzas y no lo afecta para nada.

Dibujamos el vector desconocido FEC, suponiendo arbitrariamente que está en tensión.

Dibujamos el vector desconocido FEC, suponiendo arbitrariamente que está en tensión.

Calculamos los ángulos con las medidas de los miembros y la función tangente.

Con la aplicación de la ecuación de la sumatoria de las fuerzas en X, podemos deducir la magnitud de FEC. La cual resulta negativa, lo que quiere decir que la fuerza realmente está en compresión, al contrario de cómo fue supuesta antes de hacer el cálculo.

Aplicando la ecuación de la sumatoria de las fuerzas en Y nos permite verificar los resultados de la ecuación (que debe resultar cero).

Ya por último resta el nodo C; con los valores obtenidos en los otros nodos para los vectores FBC y FEC, y los valores de las reacciones obtenidas al principio del problema podemos dibujar el diagrama de fuerzas en el nodo C. No olvidemos anotar las medidas conocidas de los miembros.

Recordemos que los vectores que inciden en compresión al nodo, deben pasarse del otro lado del nodo, en la misma línea de acción, para evitar confusiones.

Recordemos que los vectores que inciden en compresión al nodo, deben pasarse del otro lado del nodo, en la misma línea de acción, para evitar confusiones.

Recordemos que los vectores que inciden en compresión al nodo, deben pasarse del otro lado del nodo, en la misma línea de acción, para evitar confusiones.

Enseguida se proceden a calcular los ángulos de inclinación de los miembros inclinados (no horizontales ni verticales).

Se sustituyen los vectores inclinados por dos componentes rectangulares (en X y Y).

Ahora se procede a aplicar la ecuación de las fuerzas en X, como conocemos todos los valores, simplemente nos sirve de comprobación.

Lo mismo hacemos con la ecuación de las fuerzas en Y. También para comprobar.

Arco simplemente apoyado

En este punto, interesa presentar las expresiones generales para el análisis de un arco con apoyos simples y una sola carga concentrada al centro del claro, como se muestra en la figura 1. También interesa que los apoyos estén a la misma altura, ya que representa un caso de estudio común, sobre todo como primer ejemplo.

En este caso particular, no habrá reacción horizontal en ningún extremo y la reacción en cada apoyo vale la mitad de la carga. El equilibrio se resuelve pues por simetría.

Elementos mecánicos

Para obtener la fuerza normal, el cortante y el momento en cualquier punto a lo largo de la curva del arco, conviene hacer uso de la matriz de rotación utilizada en análisis estructural:

Recordando que [R] es ortogonal, será posible pasar de un sistema a otro, de modo que para un punto cualquiera localizado a una distancia (x, y)3 será más sencillo realizar una suma de fuerzas a la izquierda o derecha de ese punto tomando como referencia el sistema de coordenadas global (ver figura

3) , para formar el vector :

En la ecuación 3 Rx se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la dirección X a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y), Ry se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la dirección Y a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y) y por ´último, Mz se refiere a la resultante de la suma de los momentos en la dirección Z a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y). En cada caso debe aplicarse una convención de signos, por ejemplo, N será positiva para tensión, V será positiva si sigue la dirección positiva del eje Y cuando la suma se haga a la izquierda y negativa cuando se haga a la derecha. Para el momento M se considera usualmente como positivo cuando la concavidad quede al exterior de la

estructura. En vigas esto significa que la concavidades contraria a la dirección positiva del eje Y.

A partir de las ecuaciones 2 y 3 se obtiene :

Para el caso particular del arco de la figura 1, el vector de fuerzas global es simplemente:

Substituyendo este vector en la ecuación 5), se obtendrán directamente los valores de N, V y M. Sin embargo, dado que el ángulo θ varıa en cada punto a lo largo del arco, es necesario expresar este cambio en términos de x. Para todo x, la derivada de la función y = f(x) que define la geometría del arco, dará la pendiente en ese punto, de modo que el ángulo se calcula Directamente: