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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CINEMATICA

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

SOLUCION DE MECANICA VECTORIAL (DINAMICA)Ferdinand L.Singer

Asignatura:DINAMICA (IC - 244)

Docente:Ing. CASTRO PEREZ,Cristian

Alumnos:CARBAJAL SULCA, Wilber 16105591GOMEZ HUAZACCA, Katerin Roxana 16105633JAHUIN BONIFACIO, Daysy 16105092YUCRA AGUILAR, Samuel 16110667

Semestre Academico2012 – II

AYACUCHO – PERU2013

UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL

DINAMICAIC-244

Indice

1. PROBLEMA N-01 51.1. Componente rectangular del movimiento curvilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. PROBLEMA N-04 114.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. PROBLEMA N-05 135.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. PROBLEMA N-06 156.1. Cinematica de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10. PROBLEMA N-10 23

DINAMICAIC-244

Indice de figuras

1. Problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Solucion del problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Solucion del problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Problema 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. Solucion del problema 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Solucion del problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. Problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310. Solucion del problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311. Problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512. Solucion del problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513. Solucion final del problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614. Problema 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715. Solucion del problema 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716. Problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917. Solucion del problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918. Problema 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119. Solucion del problema 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321. Solucion del problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322. Problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523. Solucion del problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524. Problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725. Solucion del problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

DINAMICAIC-244

1. PROBLEMA N-01

1.1. Componente rectangular del movimiento curvilıneo

El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ra-nurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleracion de25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleracion de 12.5cm/s2, ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante.

Figura 1: Problema 01

SOLUCION:

Figura 2: Solucion del problema 01

Tenemos:

−−→VA = −30icm/s−−→aA = −25icm/s2−−→VB = −40jcm/s−→aB = −12,5jcm/s2

DINAMICAIC-244

La velocidad y aceleracion de P:−→V =

−−→VA +

−−→VB = −30i − 40jcm/s

−→a = −−→aA + −→aB = −25i − 12,5jcm/s2

La aceleracion normal esta definida por:

an =|V × a||V |

ρ⇒ V 3

|V × a|

Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura:

ρ = V 3

|V×a|ρ = 503

625ρ = 200cm

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2. PROBLEMA N-02

La posicion del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura esta controlada por la guıa inclinadaque se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento.calcular la velocidad y la aceleracion de P en la posicion dada.

Sugerencia: trazando la posicion de la guıa un corto tiempo t despues de la posicion dada, obtener lascoordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la guıa) en terminos de tiempo. El movimiento absolutode P en la ranura circular es igual a la suma Geometrica del movimiento de la guıa mas el de P a lo largo de lamisma.

SOLUCION:

De la figura se obtiene:x = Rcosθ ,y = Rs inθx = 12,5

)x = 7,5cmy = 12,5

)y = 10cm⇒ x = 7,5cm ; y = 10cm

De la grafica se obtienes la ecuacion de la circunferencia:

x2 + y2 = 12,52

DINAMICAIC-244

Derivamos la ecuacion para obtener la velocidad en y:

2xx+ 2yy = 0si x = 6,4cm/sy = − xxyy = −7,5(6,4)

10y = −4,8m/s2

Volvemos a derivar para obtener la aceleracion en y:

2xx+ 2yy = 02xx+ 2yy + 2(x)2 + 2(y)2 = 0xx+ yy + (x)2 + (y)2 = 0x = 0

y = − (x)2+(y)2

y = −6,42+(−4,8)2

y = −6,4cm/s2

DINAMICAIC-244

3. PROBLEMA N-03

Una varilla telescopica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fijadado por y = 1

22,5x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleracion de P son respectivamente

v = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2

¿Cual es entonces la aceleracion angular de la varilla?

SOLUCION:

22,5x2v = (x, y) v =

= (30,40)

Comprobamos que:

x = 3a = (x,2

22,5x2 +

xx)x = 25tgθ =x

30− yDerivando la ecuacion

tgθ =x

30− ysec2θθ =

(30− y)x − x(−y)

(30− y)2 ......(1)

Hallamos θ: y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 θ = 2,4567 Derivando una vez mas la ecuacion 1:

DINAMICAIC-244

2senθθ2

cos3θ+ θsec2θ =

(30− y)2(30x − (yx+ xy) + xy + yx)− 2(30− y)(y)(30x − yx+ xy)

(30− y)2

x = 30

y = 40

x = 25

y = 50

Obtenemos:θ = 3,30rad/s2

La aceleracion angular es:α = 3,30rad/s2

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4. PROBLEMA N-04

4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilıneo

La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso rapido que se ve en la figura ,giracon una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s .Calcular la aceleracionangular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura

SOLUCION:

Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde

Hallamos la velocidad y la aceleracion para la manivela AB:Datos:

θ = 11,2rad/s, θ = 0rAB = 25cm , rAB = 0 , rAB = 0

Ademas:vr = r→ rAB = 0 = vrvθ = rθ→ vθ = 25× 11,2 = 280

Luego:

v =√v2r + v2

θ = 280cm/s

Hallamos la aceleracion radial:

ar = r − rθ2→ ar = 0− 25× 11,22 = −3136aθ = rθ + 2rθ→ aθ = 0 + 0 = 0

Luego:

a =√a2r + a2

θ = 3136cm/s2

Hallamos la velocidad y la aceleracion de β para el brazo rasurado De grafico se tiene:

DINAMICAIC-244

aθ = arCosθvr = −vbCosθvθ = vbSenθ

De donde se obtiene la velocidad angular:

vr = r→ rCB = −280Cosθ ≈ −250,4vθ = rθ→ rθ = 280Senθ→ θ = 2,24rad/s

Hallamos la aceleracion angular:arCosθ = 2rCB + rCBθθ = ar rCosθ−2rCB

θ = −3136Cosθ+2(250,4)(2,24)55,4

θ = −30,09rad/s2

Esto indica que la aceleracion angular es de 30.09 rad/s2 girando en sentido de las manecillas del reloj.

DINAMICAIC-244

5. PROBLEMA N-05

5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilıneo

En la posicion mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente develocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleracion, hacia arriba, de . determine la aceleracionangular de la varilla en esta posicion.

SOLUCION:

De la figura obtenemos:Vr = V cosθ , Vθ = −V sinθVr = 60

)Vr = 48cm/s

Vθ = −60(

)Vθ = −36rad/s

Segun las siguientes ecuaciones :Vr = r ; Vθ = rθ

Vr = r = 48cm/sVθ = −36Vθ = rθ , r = 25θ = −36

25θ = −1,44rad/s

DINAMICAIC-244

De la grafica se obtiene lo siguientes:

Vr = V cosθ , Vθ = −V sinθVr = 60

)Vr = 48cm/s

Vθ = −60(

)Vθ = −36rad/sVr = r ; Vθ = rθVr = r = 48cm/sVθ = −36Vθ = rθ , r = 25θ = −36

25θ = −1,44rad/s

Vr = V cosθ , Vθ = −V sinθVr = 60

)Vr = 48cm/s

Vθ = −60(

)Vθ = −36rad/s

Por formula se tienes :Vr = r ; Vθ = rθVr = r = 48cm/sVθ = −36Vθ = rθ , r = 25θ = −36

θ = −1,44rad/s

aθ = acosθ ,ar = asinθaθ = 120

)aθ = 95rad/s2

aθ = rθ + 2rθ = 95θ = 95−2rθ

θ = 95−2(48)(−1,44)25

θ = 9,3696rad/s2

DINAMICAIC-244

6. PROBLEMA N-06

6.1. Cinematica de cuerpo rıgido

El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si laaceleracion lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleracion lineal del cuerpo A. Suponga que lacuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.

SOLUCION:

Determinamos: −−−→rB/O−−−→rB/O = 0,9Sen37i − 0,9Cos37j−−−→rB/O = 0,54i − 0,72jaB = 0,6m/s2−−−→rB/O = 0,54i − 0,72jaB = 0,6m/s2

Hallamos −→aB :

DINAMICAIC-244

Si:−→aB−→aB = −−→aO + −→α × −−−→rB/O + −−−−→ωOB ×

(−−−−→ωOB × −−−→rB/O )−→aB = αk ×

(0,54i − 0,72j

)+ωk ×

(ωk ×

(0,54i − 0,72j

))−→aB = 0,72αi − 0,54αj + 0,72ω2j − 0,54ω2 i−→aB =

(0,72α − 0,54ω2

(0,54α + 0,72ω2

Pero:−→aB = 0,6× 4

5i + 0,6× 3

Entonces:

Figura 13: Solucion final del problema 06

0,72α − 0,54ω2 = 0,6× 45 ....... (1)

0,54α + 0,72ω2 = 0,6× 35 ....... (2)

De (1) y (2): α = 0,667rad/s2 yω2 = −0,00025rad/s2

Hallamos −−→aA :

−−→aA = −−→aO + −→α × −−−−→rA/O + −−−−→ωOA ×(−−−−→ωOA × −−−−→rA/O )

−−→aA = αk ×(−0,9i

)+ωk ×

(ωk ×

(−0,9i

))−−→aA = −0,9αj + 0,9ω2 i−−→aA = −0,6j + 0,0025i−−→aA = −0,6m/s2

DINAMICAIC-244

7. PROBLEMA N-07

Las varillas AB y CD estan articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano verticalcon las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.

SOLUCION:

DINAMICAIC-244

De la figura tenemos:ωAB = 4rad/s⇒ −−−→ωAB = 4krad/sωCD = 3rad/s⇒ −−−−→ωCD = 3krad/s−−−→ρAB = 15icm−−−→ρBC = 10jcm−−−→ρBD = −15jcm

De AB:

~VB = −−−→ωAB × −−−→ρAB~VB = 4k × 15i~VB = 60jcm/s

De BC:~VC = ~VC + −−−−→ωCD × −−−→ρBC~VC = 60j + 3k × 10j~VC = 60j − 30i~VC = −30i + 60jcm/s∣∣∣∣~VC ∣∣∣∣ = 75cm/s

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8. PROBLEMA N-08

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guıas horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion dada ω = −4krad/s y α = −5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.

SOLUCION:

Por cinematica de cuerpos rıgidos:

ω = −4krad/s

α = −5krad/s2

El movimiento del cuerpo rıgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

DINAMICAIC-244

aB = aA + ωxρAB +ωx(ωxρAB)

aB = aA +−5kx(−1,5cos37oi − 1,5sen37o j) +−4kx(−4kx(−1,5cos37oi − 1,5sen37o j))

aB(−cos53oi − sen53o j) = −aAi + 5,9898j − 4,5136i + 19,1673i + 14,4436j

aB(−sen53o j) = 20,4334j

aB = 25,5854m/s2

aB = aB(−cos53o i − sen53o j)

aB = (−15,3977i − 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(−cos53oi) = −aAi + 14,6537i

aA = 0,7440m/s2

aA = −0,7440im/s2

Hallando la aceleracion de C:

aA = aC + ωxρCA +ωx(ωxρCA)

−0,7440i = aC +−5kx(1,8j) +−4kx(−4kx(−1,8j))

−0,7440i = aC + 9i − 28,8j

aC i = −9,7440i

aC j = −28,8j

aC = 30,4037m/s2

aC = (−9,7440i − 28,8j)m/s2

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9. PROBLEMA N-09

Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posicion dada,la velocidad y acele-racion en C son vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s2, ambas vertical hacia abajo.¿ cual es la aceleracion angular en la manivela AB ?

En la posicion mostrada:vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s2 ↓ , aAB =?

De manera vectorial: −→vc = −4,8j−→ac = −0,84j

SOLUCION:

DINAMICAIC-244

Hallamos la velocidad de B:VB = VA +VB/AVB = VA +

[−ωABk ×

(0,5i − 0,4j

)]VB = −0,5ωABj − 0,4ωAB i

Hallamos la velocidad de C:

VC = VB +VC/BVC = VB +

[ωBC k ×

(−1,19i − 0,9j

)]VC = −0,4ωAB i − 0,5ωABj +

[ωBC k ×

(−1,19i − 0,9j

)]VC = −0,4ωAB i − 0,5ωABj − 1,19ωBC j + 0,9ωBC iVC = 0i − 4,8j

Por lo tanto:−0,4ωAB = −0,9ωBC →ωBC = 0,4

0,9ωAB−0,5ωAB − 1,19ωBC = −4,8ωBC = 2,07rad/sωAB = 4,665rad/s

Finalmente hallamos las aceleraciones:

−→aB = −−→aA + −−−→aAB × −−−→rB/A + −−−→ωAB ×(−−−→ωAB × −−−→rB/A )

−→aB = aABk ×(0,5i − 0,4j

)+(−4,665k

)×(−2,33j − 1,87i

)−→aB = (0,4aAB − 10,87) i + (0,5aAB + 807) j−−→aC = −→aB + −−−→aBC × −−−→rC/B + −−−→ωBC ×

(−−−→ωBC × −−−→rC/B )−−→aC = −→aB + aBC k ×

(−1,19i − 0,9j

)+(2,207k

)×(−2,47j + 1,86i

)−→aB = −→aB + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86j−−→aC = (0,4aAB − 10,87) i + (0,5aAB + 807) j + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86j−−→aC = (0,4aAB + 0,9aBC − 5,76) i + (0,5aAB − 1,19aBC + 12,55) j

0,476aAB − 6,85 = 00,5aAB + 10,54 = 0

aAB = −3,98rad/s2

La aceleracion gira en sentido horario de las manecillas del reloj.

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10. PROBLEMA N-10

En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor dela arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierdade 2,4m/s y una aceleracion de 3m/s2 .Calcule la velocidad y la aceleracion absoluta en C .

Se tiene como datos:

← vA = 2,4m/s, → aA = 3m/s2, ω = 2rad/s , −−−→rC/A = 2,4j

SOLUCION:

−−→VC =

−−→VA + −−−−→ωAC × −−−→rC/A−−−−→ωAC = 2k

−−−→rC/A = 2,4j

DINAMICAIC-244

Ademas se tiene que:−−−−→ωAC = −−−→ωAB = 2i

−−→VC =

−−→VA + −−−−→ωAC × −−−→rC/A = −2,4i + 2i ×

)−−→VC = −2,4i + 4,8k−−→VC = 5,37m/s

Hallando la aceleracion: −−→aC = −−→aA + −−−→aAC × −−−→rB/A + −−−−→ωAC ×(−−−−→ωAC × −−−→rC/A )

−−→aC = −3i + 2i ×(2i × 2,4j

)−−→aC = −3i + 2i ×

)−−→aC = −3i − 9,6jaC = 10,058m/s2

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11. PROBLEMA N-11

La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular.Mostrar que :

vA = rw y aAt = rα

SOLUCION:

DINAMICAIC-244

Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra larueda de lo cual se tiene l siguiente :

wo = θwA = θwo = wA = θ = w

De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :

vA = rw

sabemos que :v = wr

v = atv = d

dt (wr)v = rw+ rwde donde r = constante ⇒ r = 0v = rww = αat = rα

De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA = rw y at = rα

DINAMICAIC-244

12. PROBLEMA N-12

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guıas horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion dada ω = −4krad/s y α = −5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.

SOLUCION:

Por cinematica de cuerpos rıgidos:

ω = −4krad/s

α = −5krad/s2

El movimiento del cuerpo rıgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

DINAMICAIC-244

aB = aA + ωxρAB +ωx(ωxρAB)

aB = aA +−5kx(−1,5cos37oi − 1,5sen37o j) +−4kx(−4kx(−1,5cos37oi − 1,5sen37o j))

aB(−cos53oi − sen53o j) = −aAi + 5,9898j − 4,5136i + 19,1673i + 14,4436j

aB(−sen53o j) = 20,4334j

aB = 25,5854m/s2

aB = aB(−cos53o i − sen53o j)

aB = (−15,3977i − 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(−cos53oi) = −aAi + 14,6537i

aA = 0,7440m/s2

aA = −0,7440im/s2

Hallando la aceleracion de C:

aA = aC + ωxρCA +ωx(ωxρCA)

−0,7440i = aC +−5kx(1,8j) +−4kx(−4kx(−1,8j))

−0,7440i = aC + 9i − 28,8j

aC i = −9,7440i

aC j = −28,8j

aC = 30,4037m/s2

aC = (−9,7440i − 28,8j)m/s2

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