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CIEMAC

Teorıa de conjuntos y probabilidad

M.Sc. Cindy Calderon ArceLic. Rebeca Solıs Ortega

Jornada de capacitacion CIEMACAlajuela 2016

Junio, 2016 Jornada de capacitacion

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Conjuntos

Eventos

Probabilidad

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Contenidos

1 Conjuntos

2 Eventos

3 Probabilidad

Calderon-Arce, C; Solıs-Ortega, R. Junio, 2016 Jornada de capacitacion

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Conjuntos

Eventos

Probabilidad

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Conjuntos

Coleccion bien definida

Elementos distintos

No importa el orden

Notacion:

Por extension

Por comprension

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Elementos distintos

No importa el orden

Notacion:

Por extension

Por comprension

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Ejemplo

Escriba la notacion por extension y por comprension delos siguientes conjuntos, ademas indique algunos de suselementos.

Todos los numeros naturales, impares y menoresque 100.

Todos los numeros enteros negativos, multiplos detres, mayores que -50 y menores que 50.

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Conjuntos

Sean A y B conjuntos:

Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Eventos

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Conjuntos

Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Conjuntos

Universo

Subconjunto

A ⊂ B := ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

A ∪ B = x |x ∈ A ∨ x ∈ B

Interseccion

A ∩ B = x |x ∈ A ∧ x ∈ B

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Conjuntos

Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Conjuntos

Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Diferencia

A− B = x |x ∈ A ∧ (x 6∈ B)

Complemento

Ac = Ω− A = x ∈ Ω|x 6∈ A

Cardinalidad

Conjuntos disjuntos

A ∪ B = ∅

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Conjuntos

Ejemplo

Sean U = Z, A = x |x2 − 4 ≥ 1 y B = 5x |x ∈ Z,determine

A ∩ B

A ∪ B

A− B

B − A

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Conjuntos

Actividad

Sea B el conjunto de todos los numeros naturalesmenores a 31 que son multiplos de 3 y C el conjunto detodos los numeros enteros mayores que -10 y menoresque 16 que son multiplos de 4. Con base a estainformacion:

Escriba los conjuntos B y C por extension y porcomprension.

Determine los siguientes conjuntos

B − C

B ∩ C

B ∪ C

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Conjuntos

Actividad

Considere el experimento de escoger un numero naturaldel 1 al 12. Si el evento A es: que el numero escogidosea par y el evento B es: que el numero escogido seamultiplo de tres. Determine

A ∪ B

A ∩ B

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Eventos

Experimento aleatorio

Espacio muestral o espacio de muestra

Eventualidad

Evento

Eventos mutuamente excluyentes

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Eventos

Ejemplo

Indique cual o cuales de las siguientes situaciones sepueden catalogar como un experimento aleatorio

Abrir el tubo de agua de un fregadero.

El pronostico del tiempo para Alajuela durante elmes de agosto.

Lanzar un dado.

Lanzar una moneda.

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Eventos

Actividad

Determine si los siguientes experimentos son aleatorios o no, encaso de que lo sean, determine el espacio muestral e indique (si lohubiere) un evento alternativo que sea mutuamente excluyente alrealizado.

1 Lance una moneda cuatro veces y anote el resultadoobtenido. Repita este experimento 10 veces mas.

2 Lace dos dados y sume los valores de sus caras. Repita esteexperimento 10 veces mas.

3 Encienda su celular. Repita este experimento 10 veces mas.

4 Mezcle dos colores primarios. Repita este experimento 5 vecesmas cambiando los colores base.

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Eventos

Actividad

Considere el experimento de sacar dos bolas de una cajaque contiene bolas blancas (B), azules (A) y rojas (R).Si las bolas poseen la misma forma y tamano, y el eventoM es: que las bolas sean del mismo color, determine M

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Eventos

Actividad

Considere la siguiente informacion

En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el numeroque sale en la cara superior, interesan dos eventos:

Que el numero sea impar

Que el numero sea un 4

con base en la informacion anterior, considere las siguientesproposiciones:I. El evento A es el complemento del evento B.II. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.¿Cuales de ellas son verdaderas?

1 Ambas

2 Ninguna

3 Solo la I

4 Solo la II

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Probabilidad

Regla de Laplace

Dado un experimento aleatorio, con eventosequiprobables, la probabilidad de que ocurra un evento A

se define como

P(A) =|A|

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Probabilidad

Ejemplo

Considere el experimento de lanzar dos dados dediferente color, determine la probabilidad de que alsumar los valores de las caras superiores de cada dado elresultado sea multiplo de 3. Analice el resultado si losdados fuesen indistinguibles.

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Actividad

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Probabilidad

Sean A y B dos eventos de un experimento aleatorio coneventos equiprobables

Complemento

P(Ac) = 1− P(A)

Principio de inclusion y exclusion

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Eventos mutuamente excluyentes

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ⇔ A ∩ B = ∅

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Probabilidad

Actividad

Se va a realizar una feria con el fin de recaudar fondos para pintary reparar los pupitres de una clase. La profesora guıa le hasolicitado a sus alumnos que se encarguen de organizar un juego deazar, el cual consiste en tirar dos dados, y de acuerdo a la suma delas caras, se debe premiar con alguna de las siguientes opciones:

Gana el doble de lo invertido.

Recupera lo invertido.

Recupera la mitad de lo invertido.

Pierde lo invertido.

¿Que distribucion realizarıa para que le juego sea atractivo para la

gente y que la casa siempre gane?

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Probabilidad

Actividad

Suponga que en una bolsa negra, no transparente, se depositan 4bolas rojas y 7 bolas blancas. Responda las siguientes preguntas:

1 ¿Cual es la probabilidad de sacar una bola roja en el primerintento?

2 Si se sacan bolas sin sustitucion (o sea una vez que se sacauna no se vuelve a meter en la bolsa) ¿Cual es la probabilidadde sacar dos bolas rojas seguidas en el primer intento?

3 Si se sacan bolas sin sustitucion ¿Que es mas probable: sacarcinco bolas blancas seguidas o sacar 3 bolas rojas seguidas?

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Probabilidad

Actividad

Se tiene una baraja de naipes completa (52 cartas distribuidas encuatro palos: corazones, diamantes, treboles y bastos), con esta sejuega la “Carta Mayor”, gana la persona que saque la carta con lamayor numeracion (la carta As tiene un valor de 1, las cartas J, Q,

K tiene un valor de 10, 11 y 12, respectivamente) sin reponer lascartas que ya se hayan sacado. Si cuatro amigos juegan:

1 ¿Cual es la probabilidad de ganar de cada uno de ellos antesde sacar la primera carta?

2 Si Mario saco su carta y obtuvo un 7, Flor una J y Patriciaun 4 ¿Cual es la probabilidad de que Jose gane al momentode sacar la carta?

3 Para el caso anterior ¿Cual es la probabilidad de que Florgane antes de que Jose saque su carta?

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