el orden de los nu´meros racionales. -...

El orden de los numeros racionales.

Algunas nociones basicas sobre conjuntos

linealmente ordenados

Hiliana AnguloCarlos A. Di Prisco

2 de enero de 2012

i

Prefacio.

En estas notas presentamos algunos conceptos basicos sobre conjuntos li-nealmente ordenados poniendo especial enfasis en el conjunto de los numerosracionales. Siendo estas notas un apoyo para el curso de la Escuela Venezola-na para la Ensenanza de las Matematicas, no pretendemos hacer un estudiocompleto sobre conjuntos linealmente ordenados, sino apenas hacer una pre-sentacion introductoria con la esperanza de que estimule el interes de loslectores y los anime a leer sobre estos temas en otras fuentes bibliograficas.

Si bien nuestro proposito principal es mostrar algunas de las propiedadesmas importantes del orden de los numeros racionales, comenzamos estudian-do el orden de los numeros naturales y el de los numeros enteros, lo quenos servira para iniciar la presentacion de las ideas principales en un con-texto mas sencillo y para luego establecer comparaciones que puedan ayudara comprender las propiedades mas interesantes del orden de los numerosracionales. Hemos incluido tambien un corto capıtulo sobre el orden de losnumeros reales ya que estos constitutyen la base del analisis matematico y suorden tiene propiedades ıntimamente ligadas a las del orden de los numerosracionales.

Los temas tratados en estas notas estan al alcance de estudiantes avanza-dos de educacion media que esten familiarizados con el concepto de funcion,especialmente con los conceptos de inyectividad y sobreyectividad de funcio-nes. Nos podrıamos preguntar si tiene sentido estudiar estos temas, ya queno se incluyen en los programas de matematicas de la educacion media. Sinninguna duda la respuesta es afirmativa, los sistemas numericos estudiadosaquı son elementos basicos del edificio matematico, y su estudio como siste-mas ordenados ayudara a ampliar la perspectiva que tanto el alumno comoel docente tiene sobre ellos. Por otra parte, estudiando el orden lo estos sis-temas numericos, incluso en sus aspectos mas elementales, se puede llegara vislumbrar la profundidad de los conceptos involucrados, y como los con-ceptos mas basicos presentan inmediatamene interrogantes cuyas repuestasrequieren desarrollos que pueden alcanzar altos niveles de complejidad.

Esperamos haber logrado plasmar en estas notas algunos de los aspectosesteticos mas agradables del tema de los conjuntos linealmente ordenados yque el lector encuentre en su estudio algun pequeno disfrute intelectual .

junio de 2009

ii

Comentario para la segunda edicion.Para esta segunda edicion del texto, preparada para la XIV Escuela Vene-

zolana para la ensenanza de la Matematica, hemos hecho algunas correccionesal texto y hemos anadido algunos ejercicios. Ademas hemos agregado algunassecciones que describimos a continuacion. En el capıtulo sobre los numerosracionales hay una nueva seccion llamada “Una representacion de los nume-ros racionales”donde se presenta una manera de ver el orden de los racionalesusando sucesiones finitas de ceros y unos ordenadas lexicograficamente. Enel capıtulo sobre el orden de los numeros reales hay una nueva seccion sobrelıneas de Suslin donde nos referimos a un problema sobre la caracterizaciondel orden de los numeros reales que ha generado interesantes desarrollos en elestudio de los ordenes parciales y que esta ligado con los profundos avancesde la teorıa de conjuntos posteriores a la decada de los 1960. Para esta edi-cion agregamos, ademas, un nuevo capıtulo sobre conjuntos bien ordenados ynumeros ordinales. Sin pretender hacer un estudio exhaustivo de los numerosordinales indicamos brevemente algunas de sus propiedades basicas.

julio de 2010

INDICE GENERAL

1. Conjuntos linealmente ordenados 1

1.1. Ordenando (¿o desordenando?) los numeros naturales . . . . . 1

1.2. Conjuntos linealmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Relaciones entre ordenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Caracterısticas de conjuntos linealmente ordenados . . . . . . 10

1.5. Operaciones con conjuntos linealmente ordenados . . . . . . . 12

2. El orden de los numeros naturales. 15

2.1. Caracterizacion del orden de los numeros naturales. . . . . . . 15

2.2. El orden de los numeros naturales es rıgido. . . . . . . . . . . 18

2.3. Particiones del conjunto de los numeros naturales . . . . . . . 18

3. El orden de los numeros enteros. 21

3.1. Caracterizacion del orden de los numeros enteros. . . . . . . . 21

3.2. Automorfismos de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Particiones del conjunto de los numeros enteros. . . . . . . . . 27

4. El orden de los numeros racionales 29

4.1. Propiedades del orden de los racionales. . . . . . . . . . . . . 29

4.2. Conjuntos numerables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Automorfismos del orden de los numeros racionales. . . . . . . 37

4.4. Particiones de los racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5. Una representacion de los racionales . . . . . . . . . . . . . . . 41

iii

iv INDICE GENERAL

5. El orden de los numeros reales. 455.1. Puntos en una recta. Numeros irracionales. . . . . . . . . . . . 455.2. El Principio del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3. ¿Que son los numeros reales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4. Propiedades caracterısticas del orden de R. . . . . . . . . . . . 495.5. Lıneas de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Conjuntos bien ordenados. 536.1. Buenos ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A. Apendice. Conjuntos, relaciones y funciones 63A.1. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.2. El producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . 69

A.4.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.4.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.4.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.5. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

B. Apendice. Numeros irracionales. 75

CAPITULO 1

Conjuntos linealmente ordenados

1.1. Ordenando (¿o desordenando?) los nume-

ros naturales

Comenzaremos examinando algo con lo que todos estamos familiarizados:como ordenar en fila a los alumnos de una clase.

En algunas escuelas los alumnos se ponen en fila por orden de tamano: losmas chiquitos adelante y los grandes hacia atras. Pero esa no es la unica formarazonable de poner a los alumnos en fila. Tambien se podrıa ponerlos pororden alfabetico segun el apellido, o por orden alfabetico del primer nombre.Aquı podrıa presentarse un problema: ¿que se hace si dos alumnos tienenel mismo apellido? Quizas varios tienen el mismo apellido Perez. Entoncespodrıamos decidir que entre los Perez usamos el orden dado por el tamano,o por la inicial del segundo apellido. Curiosamente creo que nunca piden alos alumnos ordenarse en formacion por orden de tamano comenzando conel mas alto y terminando con el mas pequeno, pero esa es, sin duda, otraposibilidad.

Ahora vamos a mirar ese mismo tipo de problema pero en un contextomas matematico. Vamos a ordenar “en fila” a los numeros naturales. Usual-mente ordenamos a los numeros naturales por su tamano: de menor a mayor;primero el cero, luego el uno, despues el dos, etc.

0, 1, 2, 3, 4, . . .

1

2 CAPITULO 1. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS

pero esa no es la unica forma de poner esos numeros en fila. Podrıamosinvertir el orden, es decir, poner el cero de ultimo, el uno de penultimo, etc.,para obtener

. . . , 4, 3, 2, 1, 0.

Esta es otra manera de ordenar los numeros naturales con importantesdiferencias respecto a la primera, por ejemplo, el orden creciente tiene unprimer elemento, y no tiene ultimo, en cambio, la segunda ordenacion notiene primer elemento pero si tiene ultimo.

Para comenzar a obtener una idea sobre lo que se llama en matematicasconjuntos linealmente ordenados, vamos a examinar toda una variedad deformas de ordenar los numeros naturales, y posteriormente vamos a dar al-gunas definiciones formales en un contexto mas amplio. De ahora en adelante,cuando digamos que un numero es menor que otro, debemos tener cuidadoen mencionar a cual orden nos referimos. Por ejemplo, en el orden invertidoque presentamos arriba, el 4 es “menor”que el 3, y este es “menor”que el 2,etc.

Pongamos ahora primero los numeros pares, con su orden natural demenor a mayor

0, 2, 4, 6, 8, . . .

y a continuacion los numeros impares

1, 3, 5, 7, 9, . . . ,

para obtener el siguiente orden:

0, 2, 4, 6, 8, . . .1, 3, 5, 7, 9, . . . .

Con los numeros naturales ordenados ası, cualquier numero par esta antesque cualquier numero impar, pero los pares quedan en su orden natural, ytambien los impares quedan en su orden natural. Ası, en este orden, el 4viene antes que el 1, y este viene antes que el 3. Notese que aquı el 1 no tieneun predecesor inmediato.

Hagamos ahora algo un poco mas complicado. Pongamos primero losnumeros divisibles por 3, es decir los n tales que n = 0 (mod 3),

0, 3, 6, 9, 12, . . .

1.1. ORDENANDO (¿O DESORDENANDO?) LOS NUMEROS NATURALES3

a continuacion los que dejan resto 1 al ser divididos por 3 (estos son los ntales que n = 1 (mod 3),

1, 4, 7, 10, 13, . . .

y finalmente los que dejan resto 2 al ser divididos por 3 (es decir, los n = 2(mod 3)),

2, 5, 8, 11, 14, . . .

De este modo obtenemos

0, 3, 6, 9, 12, . . .1, 4, 7, 10, 13, . . .2, 5, 8, 11, 14, . . .

Vale la pena aprovechar este momento para hacer algunos comentarios.La “fila”de los numeros pares

0, 2, 4, 6, 8, . . .

y la “fila”de todos los numeros naturales

0, 1, 2, 3, 4, . . .

tienen la misma forma: hay un primer elemento, luego un sucesor, luego otro,etc. y no hay un “ultimo de la fila”. Incluso podemos facilmente definir unabiyeccion entre N y los numeros pares que preserve el orden, es decir, que sim < n, entonces f(m) < f(n). En efecto, la funcion definida por f(n) = 2ntiene esas caracterısticas.

En cambio la “fila”que obtuvimos poniendo primero los pares y luego losimpares es diferente, no tiene la misma “forma”. Una manera de ver que esmuy diferente es la siguiente: imaginemos que vamos a pasar la lista de clasey la pasamos en el orden de la fila. Comenzamos nombrando al cero, luego aldos, despues el cuatro, etc. Tenemos que nombrar infinitos alumnos (todoslos numeros pares) antes de llegar a nombrar el 1. Es interesante hacer notarque en este caso, aunque podemos definir funciones inyectivas que vayan deN con su orden natural 0, 1, 2, 3, 4, . . . en N con el orden 0, 2, 4, . . . , 1, 3, 5, . . .que preserven el orden, no existe ninguna funcion biyectiva que preserve elorden.

En el ejemplo que dimos usando la division por 3,

0, 3, 6, 9, 12, . . .1, 4, 7, 10, 13, . . .2, 5, 8, 11, 14, . . .

tenemos tres “listas”infinitas, una a continuacion de la otra.


Ejercicio 1.1.1. Usando la division por 4, obtenga un orden de los numerosnaturales que luzca como cuatro listas infinitas una a continuacion de la otra.

Ejercicio 1.1.2. ¿Se le ocurre al lector una manera de ordenar los numerosnaturales de modo que queden infinitas listas infinitas, una a continuacionde la otra?

Si ponemos en fila los alumnos de un salon de clase, la fila tiene siempre elmismo largo, no importa como se ordenen los alumnos, si por orden alfabeticoo por orden de tamano, con los numeros naturales la situacion es diferente: el“largo de la fila”puede variar dependiendo de como se ordenen los numeros.

En la seccion siguiente trataremos de hacer mas precisas estas nociones.

1.2. Conjuntos linealmente ordenados

Sea A un conjunto, decimos que A esta linealmente ordenado, o total-mente ordenado, cuando sus elementos estan relacionados de tal manera quepara cada par {a, b} de elementos de A (con a 6= b), o bien a esta situadoantes de b, o b esta situado antes de a.

En matematicas resultan interesantes los ejemplos proporcionados por N,los numeros naturales, Z, los numeros enteros, Q, los numeros racionales,y R, los numeros reales. Estas notas estaran dedicadas a estudiar algunaspropiedades de la forma como estos conjuntos estan naturalmente ordenadosy tambien a explorar de que otras formas se pueden ordenar para obtenerconjunto linealmente ordenados con propiedades interesantes.

Definicion 1.2.1. Un orden parcial en un conjunto A es una relacion binariaR en A que satisface

1. Si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R;

2. Para cada x ∈ A, (x, x) /∈ R.

Si ademas los elementos de A son comparables dos a dos, decimos que elorden es un orden lineal. La definicion formal es la siguiente.

Definicion 1.2.2. Un orden lineal del conjunto A es una relacion binaria Ren A que satisface

1. Si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R;

1.2. CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS 5

2. Para cada x ∈ A, (x, x) /∈ R;

3. Dados x, y ∈ A, x 6= y, o bien (x, y) ∈ R o (y, x) ∈ R, pero no ambos.

Si R es un orden lineal, la expresion

(x, y) ∈ R

quiere decir que en el orden dado por R, x va antes que y.A manera de ejemplo, tenemos que el orden usual de los numeros naturales

es un orden lineal, este orden es el conjunto de los pares (n, m) tales quen < m.

La relacion de divisibilidad en los numeros naturales define un ordenparcial D:

(k, m) ∈ D si k divide a m propiamente, es decir, si existe un numeronatural n > 1 tal que k � n = m. Este no es un orden lineal, ya que podemosencontrar dos numeros tales que ninguno divide al otro. Por ejemplo 5 y 7;ni 5 divide a 7 ni 7 divide a 5.

Como hemos visto en la seccion anterior, podemos definir otros ordenesen N, por ejemplo podemos invertir el orden natural, o podemos poner elcero de ultimo, o podemos ordenar N poniendo primero los numeros pares ydespues los impares.

Estos ordenes se definen formalmente de la manera siguiente:El orden natural de N, que llamaremos RN, es el conjunto de pares

RN = {(m, n) : m, n ∈ N y m < n}.

Consideremos ahora

R∗ = {(m, n) : m, n ∈ N y n < m}.

Para R∗, m va antes que n si m > n, y por lo tanto R∗ es el orden queinvierte el orden natural, es decir:

. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0

¿Como podemos definir formalmente el orden de los numeros naturalessegun el cual los pares (en orden creciente) van antes que los impares (estostambien en su orden creciente)?


Para responder la pregunta, definamos el orden lineal Rp,i como sigue(usamos el subındice p, i para recordar que primero van los pares y luego losimpares) :

Rp,i = {(m, n) : m < n y tanto m como n son numeros pares, o

m < n y tanto m como n son impares, o

m es par y n es impar}

Ası obtenemos los numeros en el siguiente orden:

0, 2, 4, 6, . . .1, 3, 5, 7, . . .

Miremos ahora el orden en el que el cero pasa a ocupar el lugar de “ultimode la fila”.

R0 = {(m, n) : (0 < m < n) o (n = 0 y 0 < m)}El lector debe convencerse de que estas relaciones satisfacen en realidad

la descripcion con palabras que hemos hecho de ellas.

Ejercicio 1.2.3. Defina formalmente la relacion que ordena los numerosnaturales poniendo primero los impares y luego los pares.

Ejercicio 1.2.4. Defina formalmente la relacion que ordena los numeros na-turales poniendo primero los multiplos de 3, luego los numeros que dejan resto1 al ser divididos por 3, y finalmente los que dejan resto 2 al ser divididospor 3, y cada una de esas clases de numeros ordenadas en forma creciente.

Tal como en la definicion formal de conjunto linealmente ordenado, laexpresion (N, RN) denota al conjunto de los numeros naturales con su ordenusual. Es importante distinguir entre el conjunto N y el conjunto linealmenteordenado (N, RN), ya que, como sabemos, el conjunto N puede ser lineal-mente ordenado de muchas maneras distintas. Por ejemplo, (N, Rp,i) denotael mismo conjunto N pero ordenado de modo que primero van los numerospares y luego los impares.

De la misma manera podemos considerar otros conjuntos linealmente or-denados como el de los numeros enteros Z con su orden habitual que deno-taremos por RZ, o los numeros racionales Q, con su orden usual que deno-taremos por RQ. Ası obtenemos los conjuntos linealmente ordenados (Z, RZ)

1.3. RELACIONES ENTRE ORDENES. 7

y (Q, RQ). Los conjuntos Z y Q tambien pueden ordenarse linealmente demuchas maneras distintas, pero sus ordenes naturales son suficientementeinteresantes para estudiarlos con detalle, cosa que haremos en capıtulos pos-teriores.

Observacion 1.2.5. Es quizas oportuno hacer ahora una observacion sobrela notacion. Si (A, RA) es un conjunto linealmente ordenado, y no estamosconsiderando otra relacion de orden en A, en vez de escribir (x, y) ∈ RA

para expresar que x va antes que y en el orden dado por RA, escribiremossimplemente x <A y. Si R1 y R2 son dos ordenes lineales para el mismoconjunto A, y x, y ∈ A, escribimos x <1 y para indicar que (x, y) ∈ R1 yescribimos x <2 y para indicar que (x, y) ∈ R2.

1.3. Relaciones entre ordenes.

Subordenes

Definicion 1.3.1. Si (A, <A) y (B, <B) son conjuntos linealmente ordena-dos, decimos que (A, <A) es un suborden de (B, <B) si se cumple que A ⊆ By para cada par x, y de elementos de A se tiene que x <A y si y solamentesi x <B y. En otras palabras, los elementos de A estan ordenados segun <A

de la misma manera que segun <B.

Ejemplo 1.3.2. Un ejemplo lo proporciona el conjunto de los numeros parescomo subconjunto de los numeros naturales. Sea P = {n ∈ N : n es par} ysea <P el orden natural de los numeros pares, entonces (P, <) es un subordende (N, <N).

Ejemplo 1.3.3. A su vez, (N, <N) es un suborden de (Z, <Z).

Definicion 1.3.4. Sean (A, <A) y (B, <B) dos conjuntos linealmente orde-nados. Decimos que una funcion f : A → B preserva el orden si para cadapar de elementos x, y ∈ A se tiene

x <A y si y solo si f(x) <B f(y).

En este caso se dice que f es una inmersion de (A, <A) en (B, <B), otambien que (A, <A) se sumerge en (B, <B)


Notese que una inmersion f de (A, <A) en (B, <B) es necesariamente unafuncion inyectiva, ya que si x e y son dos elementos distintos de A, por ladefinicion de orden lineal, se tiene que x <A y o y <A x, y entonces se tienef(x) <B f(y) o f(y) <B f(x), pero en cualquier caso f(x) 6= f(y).

Ejemplo 1.3.5. La funcion identidad Id : N → Z es una inmersion de(N, <N) en (Z, <Z)

0 1 2 3 4 . . .

? ? ? ? ?

. . . − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 . . .

Inmersion de N en Z

Ejemplo 1.3.6. La funcion N : N → Z definida por N(k) = −k, es unainmersion de (N, <∗) en (Z, <Z). Recordemos que <∗ es el orden invertidode los numeros naturales.

. . . 4 3 2 1 0 . . .

? ? ? ? ?

. . . − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 . . .

Inmersion de (N, <∗) en Z

Definicion 1.3.7. Dados dos conjuntos linealmente ordenados (A, <A) y(B, <B), si f : A→ B es una funcion biyectiva que preserva el orden se diceque f es un isomorfismo de (A, <A) sobre (B, <B). En ese caso se dice que(A, <A) y (B, <B) son isomorfos.

En el caso A = B se dice que f es un automorfismo.

1.3. RELACIONES ENTRE ORDENES. 9

Por ejemplo, (P, <) y (N, <N) son isomorfos. En general, si f es unainmersion de (A, <A) en (B, <B), entonces (A, <A) es isomorfo al subordende (B, <B) dado por la imagen de f .

Ejercicio 1.3.8. Sea f : A → B un isomorfismo entre los conjuntos lineal-mente ordenados (A, <A) y (B, <B). Demuestre las siguientes afirmaciones.

1. Si (A, <A) tiene primer elemento a, entonces (B, <B) tiene primerelemento y f(a) es el primer elemento. Analogamente, si (A, <A) tieneultimo elemento d, entonces (B, <B) tiene ultimo elemento y ese esf(d).

2. Si un elemento a ∈ A tiene sucesor inmediato b, entonces f(a) tienesucesor inmediato y este es f(b).

3. Sea C es un suborden de (A, <A). Si C es un intervalo, entonces suimagen f(C) = {f(c) : c ∈ C} es tambien un intervalo.

Definicion 1.3.9. Se dice que dos conjuntos linealmente ordenados tienenel mismo tipo de orden (o que son del mismo tipo) si son isomorfos.

Es muy facil verificar que la relacion tener el mismo tipo de orden esuna relacion de equivalencia. Escogemos un representante de cada clase deequivalencia y lo llamamos el tipo de orden de los ordenes en esa clase. Elcontenido del lema siguiente es precisamente que la relacion tener el mismotipo de orden, o lo que es lo mismo, ser isomorfos, entre conjuntos linealmenteordenados es una relacion de equivalencia. Ademas, muchas propiedades loslos ordenes lineales no dependen del conjunto particular, sino de su tipo deorden.

Lema 1.3.10. 1. Si f1 es una inmersion de (A, <A) en (B, <B), y f2 esuna inmersion de (B, <B) en (C, <C), entonces la composicion f2 ◦f1 es una inmersion de (A, <A) en (C, <C). Ademas, si f1 y f2 sonisomorfismos, entonces f2◦f1 es tambien un isomorfismo entre (A, <A)y (C, <C).

2. Si f es un isomorfismo de (A, <A) en (B, <B), entonces f−1 es unisomorfismo de (B, <B) en (A, <A).

3. Sea f un isomorfismo entre (A, <A) y (A′, <A′), y sea g un isomorfismoentre (B, <B) y (B′, <B′). Si la funcion h es una inmersion de (A, <A)


en (B, <B), entonces la composicion g ◦ h ◦ f−1 es una inmersion de(A′, <A′) en (B′, <B′).

Demostracion. Dejamos que el lector demuestre el lema. Indicamos solamen-te que la parte 3. del lema dice que el que un orden lineal se pueda sumergiren otro depende solamente de su tipo de orden. En otras palabras, si un or-den lineal (A, <A) se puede sumergir en el orden (B, <B), entonces cualquierorden lineal isomorfo a (A, <A) se puede sumergir en cualquier orden linealisomorfo a (B, <B)

El tipo de orden de los conjuntos linealmente ordenados isomorfos a(N, <N) se denota con la letra griega ω, y se puede identificar con el con-juto de los numeros naturales dotado de su orden natural.

El tipo de (N, <∗), los numeros naturales con el orden invertido, se denotacon ω∗. El tipo de (Q, <Q) se denota con la letra η.

Ejercicio 1.3.11. Demuestre que cualquier conjunto infinito de numerosnaturales ordenado en forma creciente tiene tipo de orden ω.

Ejercicio 1.3.12. Defina explıcitamente un isomorfismo entre (N, <N) y elconjunto de los multiplos positivos de 3 ordenados en forma creciente.

1.4. Caracterısticas de conjuntos linealmente

ordenados

Sea (A, <A) un conjunto linealmente ordendado. Usaremos la notacionx ≤A y para indicar que x <A y o x = y.

Decimos que (A, <A) tiene primer elemento si existe x ∈ A tal que x ≤A ypara todo y ∈ A. En ese caso decimos que x es el primer elemento de (A, <A).

De manera analoga, se dice que (A, <A) tiene ultimo elemento si existex ∈ A tal que y ≤A x para todo y ∈ A; y en ese caso se dice que x es elultimo elemento de (A, <A).

Ejemplo 1.4.1. Consideremos el conjunto de los numeros naturales. El 0 esel primer elemento de (N, <N), y es el ultimo elemento de (N, <∗).

Ejemplo 1.4.2. El orden de los numeros enteros (Z, <) no tiene ni primerni ultimo elemento.

1.4. CARACTERISTICAS DE CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS11

Definicion 1.4.3. Sea A un conjunto linealmente ordenado y B un subordende A, decimos que B es un intervalo si dados x, y ∈ B y z ∈ A tal quex < z < y, entonces z ∈ B. En palabras, si todo elemento de A que este entredos elementos de B tambien pertenece a B. Decimos que B es un intervaloinicial (o un segmento inicial) de A si y ∈ B y x < y implica x ∈ B. Decimosque B es un intervalo final (o un segmento final) de A si x < y y x ∈ Bimplica y ∈ B.

Dados elementos x, y ∈ A, el intervalo abierto determinado por x e y enA es el conjunto

(x, y) = {z ∈ A : x < z < y}.Y el conjunto

[x, y] = {z ∈ A : x ≤ z ≤ y}es el intervalo cerrado determinado por x e y en A.

Igualmente definimos

(x, y] = {z ∈ A : x < z ≤ y}

y[x, y) = {z ∈ A : x ≤ z < y}.

Decimos que B es un intervalo propio de A si B es un intervalo y B 6= A.Si x ∈ A, usaremos la notacion (←, x) y (←, x] para los intervalos {y ∈

A : y < x} y {y ∈ A : y ≤ x} respectivamente. Analogamente (x,→) = {y ∈A : x < y}, y [x,→) = {y ∈ A : x ≤ y}

Ejercicio 1.4.4. En el orden (Z, <) de los numeros enteros describa losintervalos siguientes:

1. (3, 8), [3, 8], (−3, 8)

2. (5, 6), [5, 6], (5, 6].

3. (←, 1), [1,→).

4. Diga cual es el primer elemento y el ultimo elemento del intervalo(−3, 8).

Ejercicio 1.4.5. En el orden (Z, <) de los numeros enteros, diga cuales delos siguientes conjuntos son intervalos.


1. {−1, 0, 1, 2, 3, 4},{−2, 2}

2. (−2, 3] ∪ [5, 7)

3. (−3, 5] ∪ [6, 10)

4. (2, 7) ∩ [5, 8)

5. (3, 7) ∩ (8, 11)

Ejercicio 1.4.6. En el conjunto (Q, <) de los numeros racionales,

1. de un ejemplo de un intervalo propio que no sea de ninguna de lasformas descritas anteriormente.

2. ¿Cual es el primer elemento del intevalo [3, 8)? ¿Y del intervalo (3, 8)?

1.5. Operaciones con conjuntos linealmente

ordenados

Hasta ahora hemos considerado como ejemplos fundamentales los conjun-tos linealmente ordenados N, Z, Q. Tambien la recta real R es un conjuntolinealmente ordenado. El orden de los numeros reales tiene propiedades mascomplejas, como veremos mas adelante.

En esta seccion veremos como realizar algunas operaciones que nos per-miten construir conjuntos linealmente ordenados a partir de otros.

La primera operacion que consideramos ya ha sido mencionada arriba.Se trata de la operacion “invertir el orden”. Dado un conjunto linealmenteordenado (A, <), definimos un orden <∗ en A poniendo x <∗ y si y solo siy < x.

El ejemplo que ya hemos visto es (N, <∗):

. . . <∗ 5 <∗ 4 <∗ 3 <∗ 2 <∗ 1 <∗ 0,

y hemos llamado ω∗ a su tipo de orden.Llamemos ζ al tipo de orden de los numeros enteros (Z, <). Consideremos

ahora el mismo conjunto pero con el orden invertido (Z, <∗), que luce ası:

. . . <∗ 3 <∗ 2 <∗ 1 <∗ 0 <∗ −1 <∗ −2 <∗ −3 . . .

1.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS LINEALMENTE ORDENADOS13

¿Cual es el tipo de orden de (Z, <∗)? Es facil demostrar que (Z, <∗) y(Z, <) tienen el mismo tipo de orden.

Ahora definiremos otras operaciones entre conjuntos ordenados que lla-maremos suma y producto de tipos de orden.

Dados dos conjuntos linealmente ordenados (A, <A) y (B, <B), definimos

(A, <A)⊕ (B, <B)

como el conjunto linealmente ordenado (C, <C) que se obtiene poniendo unacopia de (A, <A) y a continuacion una copia de (B, <B).

A B

Tipo de orden de A⊕B

Esto lo podemos expresar formalmente diciendo que (A, <A) ⊕ (B, <B)es el conjunto linealmente ordenado (C, <C) definido como sigue:

C es la union disjunta de A y B, es decirC = (A× {0}) ∪ (B × {1}), y(a, 0) <C (a′, 0) si a <A a′, (b, 1) <C (b′, 1) si b <B b′, y (a, 0) <C (b, 1)

para todo a ∈ A y b ∈ B.

Ejemplo 1.5.1. 1. (N, <N)⊕ (N, <N) es el orden que se obtiene poniendouna copia de los numeros naturales a continuacion de otra. Su tipo deorden es ω + ω.

2. (N, <N) ⊕ ({0}) es el orden que se obtiene poniendo una copia de losnumeros naturales seguida de un elemento adicional. Este orden linealtiene tipo de orden ω + 1.

Ejercicio 1.5.2. Reordene el conjunto Z poniendo primero los numeros en-teros no negativos y luego los negativos. Defina formalmente este orden ydiga cual es su tipo de orden.

Si (A, <A) y (B, <B) son conjuntos linealmente ordenados , definimos elproducto

(A, <A)⊗ (B, <B)


como el conjunto linealmente ordenado que se obtiene poniendo copias de Auna a continuacion de la otra tantas veces como elementos tiene B.

. . .A A A A

(B veces)

Tipo de orden de (A, <A)⊗ (B, <B)

Formalmente, definimos (A, <A)⊗ (B, <B) como el conjunto linealmenteordenado (D, <D) donde

D = A× By (a, b) <D (a′, b′) sib <B b′ ob = b′ y a <A a′.

Ejemplo 1.5.3. 1. Consideremos el orden lineal (N, <N)⊗({0, 1}, <). Es-te orden lineal se puede describir diciendo que resulta de poner unacopia de los numeros naturales a continuacion de otra, y tiene tipo deorden ω + ω.

2. (N, <N) ⊗ (N, <N) es el orden lineal que resulta de poner copias de N

una tras otra tantas veces como los numeros naturales. Tiene tipo deorden ω � ω.

Es comun utilizar letras griegas para denotar tipos de orden, ası, ω denotael tipo de orden de (N, <N); ζ denota el tipo de orden de los enteros (Z, <Z);η se usa para denotar el tipo de orden de los numeros racionales (Q, <Q); yγ se usa para denotar el tipo de orden de los numeros reales (R, <R).

Hay muchos otros tipos de orden interesantes, algunos de ellos se obtienenaplicando suma y producto de ordenes lineales. Ası obtenemos, por ejemplo,ω + ω, ω + ζ , ω � ω, etc.

CAPITULO 2

El orden de los numeros naturales.

2.1. Caracterizacion del orden de los nume-

ros naturales.

El conjunto de los numeros naturales (N, <) tiene un primer elemento 0,y no tiene ultimo elemento. Estas propiedades no caracterizan del todo alorden de los numeros naturales, veremos que otras propiedades adicionalesse pueden usar para caracterizarlo.

Definicion 2.1.1. Si (A, <) es un conjunto linealmente ordenado y x ∈ A,decimos que x tiene un sucesor inmediato si existe y ∈ A tal que x < y yno existe ningun z ∈ A tal que x < z < y. En ese caso, decimos que y es elsucesor inmediato de x, ya que tal y es unico.

Decimos que x tiene un predecesor inmediato si existe y ∈ A tal que y < xy no existe ningun z ∈ A tal que y < z < x. En ese caso, tal y es unico, y sellama el predecesor inmediato de x.

Cada n ∈ N tiene un sucesor inmediato, n + 1; y si n 6= 0, entonces ntiene tambien un predecesor inmediato a saber, n− 1.

Entonces (N, <) es un conjunto linealmente ordenado con un primer ele-mento, sin ultimo elemento, y tal que cada elemento de N tiene un sucesorinmediato y cada x ∈ N diferente de 0 tiene un predecesor inmediato.

¿Es (N, <) el unico conjunto linealmente ordenado (salvo isomorfismo)con esas propiedades?

15

16 CAPITULO 2. EL ORDEN DE LOS NUMEROS NATURALES.

Veamos que la respuesta es negativa. Por ejemplo miremos el conjuntolinealmente ordenado que se obtiene poniendo una copia de (Z, <) a con-tinuacion de una copia de (N, <). Digamos, los numeros enteros positivospares con su orden habitual y luego los enteros impares, tambien con suorden habitual.

0, 2, 4, 6, · · · − 5,−3,−1, 1, 3, 5, . . .

Este conjunto linealmente ordenado tambien tiene un primer elemento, yno tiene ultimo elemento. Todo elemento tiene un sucesor inmediato y todoelemento diferente de 0 tiene un predecesor inmediato. Sin embargo, esteconjunto linealmente ordenado no es isomorfo a (N, <).

Es interesante notar que en este orden, aunque hay un primer elemento,existen subconjuntos que no tienen primer elemento, como el subconjunto delos enteros negativos.

Ejercicio 2.1.2. Determine cual es el tipo de orden del conjunto linealmen-te ordenado definido en los parrafos anteriores. Verifique que este conjuntoposee subordenes infinitos que no tienen primer elemento. (Sugerencia, con-sidere el conjunto (N, <)⊕ (Z, <)).

El orden de los numeros naturales tiene otra propiedad fundamental: todosuborden (no vacıo) de (N, <) tiene un primer elemento. Esta propiedad esequivalente a lo que se llama Principio de Induccion Matematica; el lectorinteresado en el tema puede consultar [4].

Se puede demostrar que esta propiedad junto a las anteriores si carac-teriza el tipo de orden de los numeros naturales. Para ello demostremos laproposicion siguiente.

Proposicion 2.1.3. Sea (A, <A) un conjunto linealmente ordenado tal que

(1) Todo suborden no vacıo de (A, <A) tiene primer elemento (en particu-lar, (A, <A) tiene primer elemento),

(2) no tiene ultimo elemento

(3) todo elemento diferente del primero tiene un antecesor inmediato

Entonces, (A, <A) es isomorfo a (N, <).

Demostracion. Notese que (1) y (2) implican que todo elemento de A tiene unsucesor inmediato, ya que si a ∈ A, como a no es el ultimo elemento, existen

2.1. CARACTERIZACION DEL ORDEN DE LOS NUMEROS NATURALES.17

elementos de A mayores que a segun el orden <A. El primero entre estoses el sucesor inmediato de a. Ademas, por (1), A tiene un primer elemento.Definimos una funcion f : N → A del modo siguiente:

f(0) = primer elemento de (A, <A).

Supongamos que f(0), f(1), . . . , f(n) han sido definidos, entonces ponemos

f(n + 1) = primer elemento de A \ {f(0), f(1), . . . , f(n)}.Notese que tal primer elemento de A \ {f(0), f(1), . . . , f(n)} existe, porquede lo contrario f(n) serıa el ultimo elemento de A y esto contradice (2). Siguede la definicion de f que

f(0) <A f(1) <A . . . f(n) <A . . .

Claramente esta funcion es una inyeccion de N en A, mas aun, si n < mentonces f(n) < f(m). Verifiquemos que f es sobreyectiva. Supongamos locontrario para llegar a una contradiccion. Si f no es sobreyectiva, existenelementos de A que no esta en la imagen de f . Por (1), el conjunto de loselementos de A que no estan en la imagen de f tiene un primer elemento;sea a ∈ A ese primer elemento. Es claro que a no es el primer elemento deA, ya que f(0) es el primer elemento de A. Entonces, por (3), a tiene unpredecesor inmediato. Llamemoslo b. Como b <A a y a es el primer elementode A que no esta en la imagen de f , existe un numero n tal que f(n) = b.Pero entonces f(n + 1) = a, ya que a es el menor elemento de A fuera de{f(0), f(1), . . . , f(n)}.

Notese que la funcion f de la demostracion se ha definido por induc-cion matematica. Aquellos lectores familiarizados con este principio se darancuenta de que un conjunto linealmente ordenado con las propiedades delenunciado de la proposicion 2.1.3 satisface el principio de induccion en elsentido del ejercicio siguiente.

Ejercicio 2.1.4. Sea (A, <) un conjunto linealmente ordenado que satisfa-ce las hipotesis de la proposicion 2.1.3. Demuestre que todo elemento de Atiene un sucesor inmediato. Luego, demuestre directamente que si el primerelemento de A tiene la propiedad P , y ademas si un elemento a de A tienela propiedad P , entonces su sucesor inmediato tiene tambien la propiedad P ,entonces podemos concluir que todos los elementos de A tienen la propiedadP .


2.2. El orden de los numeros naturales es rıgi-

do.

Recordemos la definicion siguiente

Definicion 2.2.1. Dado un conjunto linealmente ordenado (A, <A) una fun-cion f : A → A es un automorfismo de (A <A) si es una biyeccion quepreserva el orden, es decir, a <A b⇒ f(a) <A f(b).

Proposicion 2.2.2. Existe un solo automorfismo de (N, <): la identidad.

Demostracion. Supongamos que f : N → N es un automorfismo de (N, <).Entonces f(0) = 0 ya que por preservar el orden, la imagen por f del primerelemento debe ser el primer elemento. Si f no es la identidad, debe existirun k tal que f(k) 6= k. Sea entonces n el primer numero con esa propiedad,es decir, f(n) 6= n y para todo i < n, f(i) = i. Como f es inyectiva, f(n)no puede ser menor que n ya que en ese caso tendrıamos un i < n tal quef(i) = i = f(n). Entonces f(n) > n, y como f preserva el orden para todom > n se tiene f(m) > f(n) > n. Pero entonces n no puede estar en laimagen de f , contradiciendo que f es sobreyectiva.

Ejercicio 2.2.3. Demuestre que si A ⊆ N es un conjunto infinito de numerosnaturales entonces (A, <) es isomorfo a (N, <). (Vease el ejercicio 1.3.11)

2.3. Particiones del conjunto de los numeros

naturales

Hay un hecho muy elemental, llamado Principio del Casillero, que juegaun papel importante en la teorıa combinatoria. Se puede enunciar ası: supon-gamos que tenemos un casillero con un numero dado de casillas, digamos 14casillas, y tenemos que distruibuir 15 cartas en esos casilleros, obviamente alfinal en alguna de las casillas habra mas de una carta. Mas generalmente, sihay que distribuir k objetos en n casillas, y n < k, necesariamente tendra quehaber una casilla con varios objetos.

En el ambito de lo infinito, este principio toma la forma siguiente: sitenemos que poner infinitos objetos en un numero finito de casillas, necesa-riamente alguna de las casillas tendra infinitos objetos.

2.3. PARTICIONES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES19

Poner los numeros naturales en una cantidad finita k de casillas equivalea partir el conjunto de los numeros naturales en k partes (cada parte es lo queva en una casilla determinada). El ejercicio 2.2.3 nos indica que si partimosel conjunto de los numeros naturales en una cantidad finita de partes, unade las partes contendra un conjunto isomorfo a (N, <).

Esta es una propiedad del orden de los numeros naturales que no es verdadpara el orden de los numeros enteros, como veremos en el proximo capıtulo.

Ejercicio 2.3.1. Diga cual el el menor numero de elementos que puede tenerun conjunto A para garantizar que para cualquier particion de A en tres partesuna de estas partes tiene al menos 5 elementos.

CAPITULO 3

El orden de los numeros enteros.

3.1. Caracterizacion del orden de los nume-

ros enteros.

En este capıtulo estudiaremos los numeros enteros y su orden. Veremosalgunas similitudes y algunas diferencias entre el orden de los numeros natu-rales y el del conjunto de los numeros enteros.

Los numeros enteros son aquellos de la forma n − m donde n y m sonnumeros naturales. Obviamente, si m ≤N n, entonces n −m es un numeronatural, pero si n <N m, entonces el entero n−m es negativo. Cada numeroentero se puede representar de muchas maneras como diferencia de numerosnaturales. Por ejemplo el −3 es 5− 8 y tambien 4− 7 y 0− 3. Todo numeronatural n es un numero entero porque se puede escribir como n − 0. Porejemplo el 5 es 5− 0 y tambien 9− 4 y 13− 8.

El conjunto de los numeros enteros

. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

se denota con la letra Z, y esta formado por los numeros naturales y susopuestos, los numeros enteros negativos.

Recordemos que los numeros enteros estan naturalmente ordenados de laforma siguiente,

n−m <Z k − l si y solamente si n + l <N k + m.

21

22 CAPITULO 3. EL ORDEN DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Decimos que un numero entero p = n −m es un entero positivo si m <N n,es decir, si n−m es un numero natural mayor que 0. Tenemos entonces quetodo entero negativo es menor que el cero, y menor que cualquier numeroentero positivo. Si p y q son enteros positivos y p <N q, entonces p <Z q y−q <Z −p.

¿Como podemos describir el orden de los numeros enteros? Observemosprimero que el tipo de orden de los numeros enteros (Z, <Z) es ω∗ + ω. Enotras palabras, los numeros enteros estan ordenados de la misma forma queel orden lineal obtenido poniendo primero una copia de los numeros naturalescon el orden invertido, y a continuacion un copia de los numeros naturalescon el orden natural.

El orden (Z, <Z) no tiene primer elemento, ni tiene ultimo elemento. Si pes un numero entero, entonces p < p+1, por lo que p no es el ultimo elemento.Por otra parte, p− 1 < p, de modo que p tampoco es el primer elemento de(Z, <Z). Ademas, cada numero entero tiene un sucesor inmediato y tambienun predecesor inmediato. En efecto, si p es un numero entero, entonces comoya observamos p + 1 > p, y no hay ningun numero entero entre p y p + 1.Analogamente vemos que p− 1 es el predecesor inmediato de p.

Estas propiedades no bastan para caracterizar el orden (Z, <Z) de losnumero enteros, ya que existen otros conjuntos linealmente ordenados conesas mismas propiedades que no son isomorfos a (Z, <Z). A continuaciondaremos un ejemplo.

Consideremos dos copias de (Z, <Z) puestas una a continuacion de laotra. Usando nuestra definicion de suma de conjuntos linealmente ordenados,ponemos (Z, <Z)⊕ (Z, <Z).

Z Z

Tipo de orden de Z ⊕ Z

Este conjunto linealmente ordenado no tiene ni primer ni ultimo ele-mento, y cada elemento tiene predecesor inmediato y sucesor inmediato. Sinembargo, no es isomorfo a (Z, <Z). Aunque hay inyecciones de (Z, <Z) en(Z, <Z)⊕ (Z, <Z) que preservan el orden, no hay ninguna que sea sobreyec-tiva. Esto lo podemos constatar mediante el argumento siguiente. Sea f unafuncion inyectiva de (Z, <Z) en (Z, <Z) ⊕ (Z, <Z). Tomemos un elemento n

3.1. CARACTERIZACION DEL ORDEN DE LOS NUMEROS ENTEROS.23

cualquiera de Z; como f(n) ∈ (Z, <Z) ⊕ (Z, <Z), f(n) debe pertenecer a laprimera copia de Z en (Z, <Z) ⊕ (Z, <Z) o a la segunda copia de Z. En elprimer caso, como f preserva el orden, f(n + 1) es el sucesor de f(n), yesta tambien en la primera copia de Z, lo mismo para f(n + 2),f(n + 3),etc. Tambien es claro que f(n − 1) es el predecesor de f(n), y por lo tantoesta tambien en la primera copia de Z que f(n); y lo mismo para f(n− 2),f(n− 3), etc. Concluimos que toda la imagen de la funcion f es la primeracopia de Z en (Z, <Z)⊕ (Z, <Z). Y por lo tanto la funcion no es sobreyectiva.Un razonamiento analogo nos dice que si f(n) pertenece a la segunda copiade Z, la funcion f no puede ser sobreyectiva, ya que ningun elemento de laprimera copia estara en la imagen de la funcion.

En el orden de Z, cada intervalo final propio tiene tiene primer elemen-to y cada intervalo inicial propio tiene ultimo elemento. Veamos que estaspropiedades, junto con las anteriores que hemos descrito para el orden de Z,caracterizan el orden de los numeros enteros.

Teorema 3.1.1. Sea (A, <A) un conjunto linealmente ordenado tal que

1. no tiene primer ni ultimo elemento,

2. cada elemento tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato,

3. cada intervalo final propio tiene tiene primer elemento y cada intervaloinicial propio tiene ultimo elemento.

Entonces (A, <A) es isomorfo a (Z, <Z).

Demostracion. Definamos un isomorfismo f : Z→ A del modo siguiente. Seaf(0) un elemento cualquiera de A. Supongamos inductivamente que paran > 0, hemos definido f(n) y f(−n). Ponemos f(n + 1) igual al sucesorinmediato de f(n) y f(−(n + 1)) igual al predecesor inmediato de f(−n).Ası, definimos f en todo Z. Por construccion esta funcion f preserva el orden,y por lo tanto es inyectiva. Veamos ahora que es sobreyectiva. La imagen deZ por f es un intervalo en (A, <A), demostraremos que es todo A. Sea

B = Im(f) ∪ {b ∈ A : para todo n ∈ Z, b < f(n)},

es decir, B es la imagen de Z por f y todo lo que la antecede. Claramente Bes un intervalo inicial de A, <A) sin ultimo elemento, por lo tanto no puedeser propio. Entonces para todo a ∈ A existe un entero n tal que f(n) > a.


Analogamente, Sea

C = Im(f) ∪ {c ∈ A : para todo n ∈ Z, f(n) < c}.

Es claro que C es un intervalo final de (A, <A) sin primer elemento, y por lotanto no es propio.

De esto sigue que no hay elementos de A que precedan la imagen de f , nielementos de A que esten por encima de la imagen de f . Es decir, la imagende f es todo A.

3.2. Automorfismos de Z.

Recordemos que si (A, <A) y (B, <B) son conjuntos linealmente orde-nados, una funcion biyectiva f : A → B que preserva el orden se llama unisomorfismo. En el caso (A, <A) = (B, <B) se dice que f es un automorfismo.

En esta seccion analizaremos como son los automorfismos de Z.

Sea f : Z → Z una funcion biyectiva que preserva el orden. Es decir, setiene que p < q si y solamente si f(p) < f(q). Consideremos el entero f(0).Como 0 < 1, f(0) < f(1), y ademas f(1) tiene que ser el sucesor de f(0),porque si hubiese algun entero q entre f(0) y f(1), entonces

f(0) < q < f(1)

y por lo tanto q no serıa f(p) para ningun entero p, ya que ese p tendrıaque estar entre 0 y 1, y no existe nigun entero entre 0 y 1. Del mismo modovemos que f(2) tiene que ser el sucesor de f(1), y ası sucesivamente. Tambienresulta que f(−1) tiene que ser el predecesor de f(0), f(−2) el predecesor def(−1), etc.

En conclusion, si f(0) = p, entonces para cada q ∈ Z, se tiene

f(q) = q + p.

Entonces todos los automorfismos de Z son traslaciones, es decir, para cadaautomorfismo f de Z, existe un entero p tal que f es la funcion definida porla ecuacion

f(q) = q + p.

3.2. AUTOMORFISMOS DE Z. 25

Si p es cero, entonces el automorfismo es la identidad, si p es positivo,el automorfismo es una traslacion hacia la derecha, y si p es negativo, elautomorfismo es una traslacion hacia la izquierda.

La coleccion de automorfismos de Z esta de ese modo en corresponden-cia biunıvoca con Z. Cada entero determina un automorfismo de Z, y cadaautomorfismo de Z determina un entero. En los textos mas avanzados estose expresa diciendo que el grupo de automorfismos de Z es isomorfo al grupode los enteros Z.

El conjunto de los numeros enteros, como conjunto ordenado, es ho-mogeneo. Esto quiere decir que todos los enteros juegan el mismo papeldentro del conjunto, en otras palabras, son indistinguibles uno del otro. Hayque tener mucho cuidado al interpretar esta afirmacion, y tener presente queestamos hablando de los enteros solamente en relacion a su orden, sin tomaren cuenta ningun aspecto algebraico ni de otra ındole. Este es el conteni-do de la siguiente proposicion, que expresa que dados dos enteros hay unautomorfismo que manda uno de ellos en el otro.

Proposicion 3.2.1. Dados enteros p y q, existe un automorfismo f de Z talque f(p) = q.

Demostracion. Dados p y q, definimos la funcion f del modo siguiente: Paraun entero r, f(r) = r + q−p. Obviamente f(p) = p+ q−p = q. Para ver quef es un automorfismo hay que probar que f es biyectiva y preseva el orden.Tenemos que s < r si, y solamente si, f(s) = s + q − p < r + q − p = f(r).por lo tanto f preserva el orden y consecuentemente f es inyectiva.

Dado un entero r cualquiera, consideremos el entero r + p − q, se tieneque f(r + p − q) = (r + p − q) + (q − p) = r, lo que muestra que f essobreyectiva.

p

q

@@

@@

@@

@@R


Automorfismo de Z que manda p en q

La proposicion anterior nos dice entonces que siempre es posible mandarun entero dado a otro entero mediante un automorfismo. Podemos pregun-tarnos si es posible mejorar este resultado probando que siempre es posiblemandar un par de enteros en otro par dado mediante un automorfismo deZ. Precisemos el significado de la pregunta. Dado un par de enteros p, q, ydado otro par p′, q′, ¿existe un automorfismo que manda p en p′ y q en q′?Inmediatamente vemos que la respuesta, en general, es negativa. Por ejem-plo, si p < q y q′ < p′, como los automorfismos preservan el orden, si unautomorfismo f es tal que f(p) = p′, entonces f(q) debe ser un entero mayorque p′, y por lo tanto no puede ser q′. Hagamos entonces la pregunta en formamas cuidadosa. Tomemos dos pares de enteros, p, q y p′, q′ tales que p < q yp′ < q′, ¿existe un automorfismo que manda p en p′ y q en q′? Todavıa enestas condiciones la respuesta, en general, es negativa. Por ejemplo si la dis-tancia entre p y q es grande, y la distancia entre p′ y q′ es pequena, entoncesno hay espacio entre p′ y q′ para las imagenes de todos los elementos entre py q.

Expliquemos esto mejor mediante un ejemplo. Tomemos p = 3 y q = 10,y sean p′ y q′ los enteros 5 y 9 respectivamente. Queremos saber si existe unautomorfismo f de Z tal que f(3) = 5 y f(10) = 9. La respuesta es negativa,porque para un tal automorfismo todos los numeros enteros entre 3 y 10deben tener sus imagenes entre 5 y 9. Ahora, entre 3 y 10 estan los enteros4, 5, 6, 7, 8 y 9, pero entre 5 y 9 solamente hay tres numeros enteros, a saber,6, 7 y 8, y un automorfismo, que por definicion es una funcion inyectiva nopuede mandar los numeros 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los numeros 6, 7, 8. En conclusionun tal automorfismo existe si y solamente si p− q = p′ − q′.

Esto lo podemos expresar tambien de la manera siguiente.

Proposicion 3.2.2. Sean a, b, c, d numeros enteros tales que a < b y c < d.Los intervalos (a, b) y (c, d) (en Z) son isomorfos si y solo si b− a = d− c.

Para cerrar esta seccion haremos algunos comentarios, para aquellos lec-tores familiarizados con la teorıa de grupos, que relacionan lo presentadoaquı con conceptos mas avanzados de algebra. El conjunto de los automor-fismos de Z con la operacion dada por la composicion de funciones ◦ es ungrupo. En efecto, la composicion de automorfismos de Z es asociativa, es

3.3. PARTICIONES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS.27

decir, si f, g y h son automorfismos de Z, entonces se tiene

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).

La funcion identidad Id de Z en Z es un elemento neutro respecto a lacomposicion, ya que para todo automorfismo f de Z, se tiene

f ◦ Id = Id ◦ f = f.

Finalmente, cada automorfismo f de Z tiene un inverso f−1, tal que

f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id.

Los parrafos anteriores de esta seccion permiten demostrar que el grupode isomorfismos de Z es isomorfo al mismo Z como grupo con la operacion +.Por lo tanto podemos decir que el grupo de automorfismos de Z es el grupoaditivo Z.

Ejercicio 3.2.3. Demuestre que el grupo de automorfismos de Z es conmu-tativo.

3.3. Particiones del conjunto de los numeros

enteros.

En el capıtulo anterior vimos que para toda particion del conjunto N delos numeros naturales en una cantidad finita de partes, una de esas partescontiene un conjunto isomorfo a N. Para los numeros enteros eso no ocurre:no es verdad que para cada particion finita de Z, una de las partes contieneuna copia de Z. Veamos un ejemplo muy sencillo. Consideremos la particion

Z = (←, 2] ∪ [3,→).

Esta es una particion de Z en dos pedazos, el primero es el conjunto deenteros menores o iguales a 2, y el segundo es el conjunto de enteros mayores oiguales a 3. El primero de esos conjuntos tiene tipo de orden ω∗, y el segundotiene tipo de orden ω; pero ninguno de los dos contiene un subconjunto conel mismo tipo de orden que Z.

Sin embargo hay otras particiones donde las cosas son distintas. Por ejem-plo, consideremos ahora la particion

Z = {p ∈ Z : p es divisible por 2} ∪ {p ∈ Z : p no es divisible por 2}.


Ahora estamos partiendo Z en dos pedazos, los enteros pares por un lado,y los enteros impares por el otro. Cada uno de esos pedazos es isomorfo a Z:

. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .

. . . ,−5,−3,−1, 1, 3, 5, . . . .

¿Se puede partir el conjunto Z en 5 partes de modo que cada una de laspartes sea isomorfa a Z?

Ejercicio 3.3.1. De ejemplo de una particion de Z en tres partes cada unade las cuales sea isomorfa a Z.

Ejercicio 3.3.2. ¿Existe una particion de Z en una cantidad finita de partestal que ninguna de las partes contiene una copia de (N, <)?

Ejercicio 3.3.3. Demuestre que para toda particion de Z en una cantidadfinita de partes, una de las partes contiene un conjunto de tipo de orden ω yuna de las partes contiene un conjunto de tipo de orden ω∗.

CAPITULO 4

El orden de los numeros racionales

4.1. Propiedades del orden de los racionales.

Recordemos que los numeros racionales son aquellos de la forma p

qdonde

p y q son enteros y q 6= 0. Cada numero natural es tambien racional, ya quesi n ∈ N, entonces n = n

1∈ Q. Tambien todo entero p es un numero racional,

ya que p = p

1.

El orden en los racionales se define ası: si p, q, r, s son enteros y q y s sonmayores que 0, entonces

p

q<Q

r

ssi y solo si p � s <Z q � r.

El orden de los racionales tiene caracterısticas muy interesantes. Prime-ro, tal como el de los enteros, no tiene ni primer ni ultimo elemento. Peroademas, ningun numero racional tiene un sucesor inmediato ni un predece-sor inmediato. Mas aun, el orden es denso. Eso quiere decir que dados dosnumeros racionales r y s, existe otro que esta entre los dos. Dicho de otramanera, si r < s, entonces existe t ∈ Q tal que

r < t < s.

Por ejemplo, dados numeros racionales r < s, el numero t = (r + s)/2 es unracional que esta entre r y s.

29

30 CAPITULO 4. EL ORDEN DE LOS NUMEROS RACIONALES

Ejercicio 4.1.1. Demuestre que si r y s son numeros racionales y r < s,entonces

r <r + s

2< s.

La siguiente proposicion es algo mas general, y nos indica como son todoslos numeros racionales que estan entre dos racionales r y s.

Proposicion 4.1.2. Sean r, s dos numeros racionales tales que r < s. En-tonces todo racional t tal que r < t < s es de la forma

t = xr + ys,

donde x e y son racionales positivos tales que x + y = 1. Recıprocamente,todo numero de la forma t = xr + ys con x, y racionales positivos tales quex + y = 1, es un racional que esta entre r y s.

Demostracion. Claramente la diferencia s − r es un racional positivo querepresenta la distancia entre r y s. Todo racional t entre r y s se obtienesumandole a r una fraccion de esa distancia s− r. Digamos que

t = r +a

b(s− r),

donde a y b son enteros positivos con a < b. Entonces obtenemos

t =br + as− ar

b= (

b− a

b)r + (

a

b)s.

Ası, obtenemos el resultado con x = b− a/b e y = a/b.Para demostrar la otra parte de la proposicion, notemos que

r = (x + y)r = xr + yr < xr + ys :

y por otra parte,

xr + ys < xs + ys = (x + y)s = s.

Daremos a continuacion varios ejemplos de conjuntos linealmente orde-nados densos.

Ejemplo 4.1.3. Los siguientes conjuntos linealmente ordenados son densos.

4.2. CONJUNTOS NUMERABLES. 31

1. Dados numeros racionales r < s, los intervalos en Q (r, s), [r, s], (r, s],[r, s) son densos.

2. Q \ {0}.

3. R .

4. Los intervalos en R dados por (0, 1), [0, 1], (0, 1], [0, 1).

5. R \ {0}.

4.2. Conjuntos numerables.

Definicion 4.2.1. Un conjunto infinito A es numerable si existe una funcionbiyectiva f : N→ A.

Si A es un conjunto infinito numerable entonces A se puede ordenar entipo de orden ω {a0, a1, a2, . . . }.

Ejemplo 4.2.2. El conjunto de los numeros enteros es numerable. En efectola funcion f : N→ Z definida por

f(2n) = n, yf(2n + 1) = −nes una biyeccion entre N y Z.

Proposicion 4.2.3. El conjunto Q de los numeros racionales es numerable.

Demostracion. La demostracion se basa en un hecho muy simple y a la vezmuy importante que se expresa en el siguiente lema.

Lema 4.2.4. El producto cartesiano N×N es numerable.

Demostracion. Definimos una funcion biyectiva entre N × N y N. Sea f :N× N→ N la funcion definida por

f((k, m)) = 2k(2m + 1)− 1.

Esta funcion es inyectiva. Para demostrarlo supongamos que

2k(2m + 1)− 1 = 2j(2n + 1)− 1,


entonces, suponiendo que k ≥ j, obtenemos

2k−j(2m + 1) = 2n + 1.

Como el numero al lado derecho de la igualdad es impar, necesariamentek = j, ya que de lo contrario el numero al lado izquierdo de la igualdad serıapar. Nos queda entonces que

2m + 1 = 2n + 1,

y por lo tanto m = n.Por otra parte, la funcion es sobreyectiva, ya que dado un numero natural

cualquiera n, sea 2k la mayor potencia de 2 que divide a n + 1. (Notese quetal numero k existe siempre, incluso si n = 0). Entonces n + 1 debe ser iguala 2k multiplicado por un numero impar, es decir, para algun m se tiene

n + 1 = 2k(2m + 1).

Pero entoncesn = 2k(2m + 1)− 1.

De aquı sigue facilmente que para todo conjunto numerable A, al pro-ducto cartesiano A×A es tambien numerable. Por lo tanto Z× (Z \ {0}) esnumerable. La demostracion del teorema se completa ahora recordando quelos racionales corresponden a pares de enteros ya que todo racional es de laforma a/b con a ∈ Z y b ∈ Z \ {0}. Omitimos los detalles para no recargarla exposicion de argumentaciones tecnicas.

Tenemos entonces que N, Z y Q son conjuntos numerables, sin embargo,no todos los conjuntos infinitos son numerables. En particular, como vere-mos a continuacion, el conjunto R de los numeros reales no es numerable.Este hecho, que fue demostrado por Georg Cantor en 1873, muestra que hayconjuntos infinitos de diferentes magnitudes.

Teorema 4.2.5. (Cantor) El conjunto R de los numeros reales no es nume-rable.

Existen funciones inyectivas de N en R, pero no existe ninguna funcionsobreyectiva de N en R.


Demostracion. La demostracion se basa en el famoso metodo de diagonaliza-cion de Cantor. Veamos que el conjunto de los numeros reales en el intervalo(0, 1) no es numerable, y por lo tanto tampoco lo es el conjunto R de todoslos numeros reales.

Cada numero real entre 0 y 1 tiene una expansion decimal de la forma

0, n0n1n2 . . .

Si el numero es racional, la expansion decimal es finita o periodica. Por ejem-plo el numero 1/4 tiene expansion decimal 0, 25; mientras que la expansiondecimal de 1/3 es 0, 3333 . . . . Pero si un numero racional tiene una expansiondecimal finita, tambien tiene una expansion decimal infinita. Por ejemplo 1/4tiene tambien la expansion 0, 2499999999 . . . .

Vamos a ver que ninguna funcion f : N→ (0, 1) puede ser sobreyectiva.Sea f una funcion que a cada numero natural i le asigna un numero real

f(i) entre 0 y 1. Pongamos para cada n ∈ N,

f(i) = 0, ni0n

i1n

i2 . . .

Tenemos entonces la lista

f(0) = n00 n0

1 n02 n0

3 . . . n0i . . .

f(1) = n10 n1

1 n12 n1

3 . . . n1i . . .

f(2) = n20 n2

1 n22 n2

3 . . . n2i . . .

f(3) = n30 n3

1 n32 n3

3 . . . n3i . . .

...

f(i) = ni0 ni

1 ni2 ni

3 . . . nii . . .

...

Es facil ahora describir un numero entre 0 y 1 que no esta en esa lista.Para eso tomamos un numero cuya expansion decimal sea

0, m0 m1 m2 m3 . . . mi . . .

teniendo el cuidado de tomar m0 6= n00, m1 6= n1

1, y en general mi 6= nii.

Obviamente, ese numero no es igual a ninguno de los de la lista, ya que difieredel primero en el primer lugar decimal, difiere del segundo en el segundo lugardecimal, etc.


Ejercicio 4.2.6. ¿Cual es la expansion decimal de√

2/2?

El conjunto de los numeros racionales tiene otra caracterıstica muy intere-sante. Este orden lineal contiene copias de cualquier otro conjunto numerablelinealmente ordenado. Enunciamos esto de forma mas precisa en el siguienteteorema.

Teorema 4.2.7. Sea (B, <B) un conjunto numerable linealmente ordenado.Existe una inmersion de (B, <B) en (Q, <).

Demostracion. Como el conjunto B es numerable, podemos enumerar suselementos como

b0, b1, b2, . . . .

Hay que tener presente que la posicion relativa de dos elementos de B en estaenumeracion no tiene nada que ver con su posicion relativa segun el orden<B.

Definiremos ahora una funcion f : B → Q inyectiva que preserva el orden.Esto lo haremos inductivamente. En el paso 0, definimos f(b0) = q0, dondeq0 es un numero racional arbitrario. En el paso 1, definimos f(b1). Comoqueremos que la funcion preserve el orden, si b0 < b1 entonces tomamos unracional q1 mayor que q0 y ponemos f(b1) = q1. Un tal q1 siempre existeya que Q no tiene ultimo elemento. Si por el contrario b1 < b0, tomamosq1 un racional menor que q0, que existe porque Q no tiene primer elemento,y ponemos f(b1) = q1. Supongamos inductivamente que ya hemos definidof(b0), f(b1), . . . , f(bk), de modo que si bi <B bj (para 0 ≤ i, j ≤ k) si y solosi f(bi) < f(bj) (esta ultima expresion con el orden < de los racionales).Digamos que estos elementos de B estan situados en el orden de B ası:

bi0 <B bi1 <B bi2 <B . . . <B bik

donde {bi0 , bi1 , bi2 , . . . , bik} = {b0, b1, b2, . . . , bk}. Todas la imagenes ya defini-das, son numeros racionales que estan situados en el orden de Q de la mismamanera, es decir:

f(bi0) < f(bi1) < f(bi2) < . . . < f(bik).

Ahora debemos definir la imagen de bk+1, y este elemento puede estarsituado respecto a b0, b1, . . . , bk en uno de los k + 2 lugares posibles, a saber,

bk+1 <B bi0 , o


bin−1<B bk+1 <B bin , para algun n, 1 ≤ n ≤ k, o

bik <B bk+1.

En el primer caso, ponemos f(bk+1) igual a un racional menor que f(bi0),que existe porque Q no tiene primer elemento; en el segundo caso, ponemosf(bk+1) igual a un racional entre f(bin−1

) y f(bin), que existe porque el ordende Q es denso; y, finalmente en el tercer caso, ponemos f(bk+1) igual a unracional mayor que f(bik), que existe porque Q no tiene ultimo elemento.

En cualquiera de los tres casos hemos definido f(b0), f(b1), . . . f(bk+1) demodo que para i, j tales que 0 ≤ i, j ≤ k + 1, se tiene bi <B bj si y solo sif(bi) < f(bj). De modo que se mantiene la hipotesis inductiva y podemoscontinuar definiendo la funcion f en cada uno de los elementos de B.

La demostracion que acabamos de hacer produce una funcion inyectiva, yaque es una funcion que preserva el orden, pero nada nos asegura que la funcionf sea sobreyectiva. Mas aun, en algunos casos no podra ser sobreyectiva.Por ejemplo, supongamos que en el conjunto linealmente ordenado (B, <B)hay un ultimo elemento, digamos que bk es el ultimo elemento de (B, <B),entonces en la construccion inductiva de f , al llegar al paso k, se escogeun racional q como imagen de bk. Entonces ningun racional mayor que qestara en la imagen de la funcion f . Algo similar ocurre si en (B, <B) hay unelemento bi tal que bi+1 es su sucesor inmediato en el orden <B. Sin embargo,si (A, <A) es un orden lineal numerable, denso, sin primer ni ultimo elemento,entonces, modificando la construccion de la demostracion anterior se puedeasegurar que la funcion obtenida sea una biyeccion que preserva el orden.Este es el contenido del siguiente teorema.

Teorema 4.2.8. (Cantor) Sea (A, <A) un orden lineal numerable, denso,sin primer ni ultimo elemento. Entonces, (A, <A) es isomorfo a (Q, <).

Demostracion. Enumeremos los elementos de A, mediante

a0, a1, a2, . . .

y tambien los elementos de Q, mediante

q0, q1, q2, . . . .

Tal como en la demostracion del teorema anterior, observamos que lasposiciones de los elementos de A y de Q en estas enumeraciones no tienen que


ver con las posiciones de esos elementos en los ordenes <A y <. Por ejemplo,el racional q0, primero de la lista, no es de ninguna manera el primer elementodel orden de los racionales, ya que ese orden no tiene primer elemento.

Definiremos inductivamente un isomorfismo f : A → Q, usando la enu-meracion de Q para garantizar la sobreyectividad. Comenzamos definiendof(a0) = q0. En el paso siguiente tomamos q1 y escogemos en A un elementoapropiado como preimagen de q1. esto lo hacemos ası: si q1 < q0 entoncestomamos un elemento ai de A tal que ai <A a0, y ponemos f(ai) = q1. Si, encambio q0 < q1, entonces tomamos un elemento de A mayor que a0, digamosaj, y ponemos f(aj) = q1.

Supongamos inductivamente que estamos en el paso t+1 y que t+1 = 2n.Si f(an) ha sido ya definido, pasamos al paso siguiente, si no ha sido definido,lo hacemos como en el teorema anterior, considerando los elementos de A cuyaimagen por f ha sido ya definida:

ai0 <A ai1 <A ai2 <A . . . <A aik .

Tenemos entonces que

f(ai0) < f(ai1) < f(ai2) < . . . < f(aik),

ya que nuestra hipotesis inductiva incluye que la funcion f ha sido definidahasta el momento de modo que preserve el orden. Hay k+2 posibles posicionesde an respecto a

ai0 <A ai1 <A ai2 <A . . . <A aik ,

y como en la demostracion anterior, en cada caso podemos encontrar unracional que ocupe la misma posicion en

f(ai0) < f(ai1) < f(ai2) < . . . < f(aik),

porque el orden < de Q es denso y no tiene ni primer ni ultimo elemento.Definimos entonces f(an) igual a ese racional. Esto termina el paso t + 1cuando t + 1 es par.

Si t + 1 es impar, digamos t + 1 = 2n + 1, vemos si qn ya ha sido escogidocomo la imagen de algun elemento de A. Si es ası, pasamos al paso siguiente,y si no, consideramos

ai0 <A ai1 <A ai2 <A . . . <A aik

los elementos de A para los cuales la imagen por f ha sido ya definida.

4.3. AUTOMORFISMOS DEL ORDEN DE LOS NUMEROS RACIONALES.37

Igual que antes, hay k + 2 posibles posiciones de qn entre

f(ai0) < f(ai1) < f(ai2) < . . . < f(aik),

y como (A, <A) es denso y no tiene ni primer ni ultimo elemento, podemosencontrar un a ∈ A que ocupe la misma posicion respecto a

ai0 <A ai1 <A ai2 <A . . . <A aik ,

y ponemos f(a) = qn.Esto completa la descripcion del paso t+1, y esta claro que hemos definido

f de modo que preserva el orden. Al terminar la definicion inductiva de fobtenemos un isomorfismo, ya que la funcion f preserva el orden, y por lotanto es inyectiva, y tambien es sobreyectiva ya que si tomamos un numeroracional cualquiera, este aparece en la enumeracion de Q, digamos que es qn;entonces, a mas tardar en el paso 2n + 1 obtenemos un elemento a ∈ A talque f(a) = qn.

Una consecuencia de este teorema es que Q \ {0}, como suborden de Q,es isomorfo a Q. Basta ver que Q \ {0} es un orden lineal numerable, densosin primer ni ultimo elemento.

4.3. Automorfismos del orden de los numeros

racionales.

Recordemos que un automorfismo de los racionales es una funcion biyecti-va de Q en Q, que preserva el orden. Veremos en esta seccion que el conjuntode los racionales, como conjunto linealmente ordenado, admite muchos auto-morfismos diferentes.

De modo similar a lo que observamos para el orden de los numeros ente-ros, las traslaciones que se obtienen sumando un numero racional dado sonautomorfismos. En efecto, sea q un numero racional cualquiera. Definamosuna funcion

fq : Q→ Q

poniendo para cada racional r, f(r) = r + q. Es facil demostrar que estafuncion es biyectiva y que preserva el orden.

Dicho en los terminos utilizados en el capıtulo dedicado a los numerosenteros, el orden de los racionales es homogeneo, en el sentido de que dados


numeros racionales p y q, existe un automorfismo f de (Q, <) tal que f(p) =q. Esta claro que el automorfismo fq−p satisface esa condicion, pero veremosque hay muchos otros automorfismos que mandan p en q, y vamos a daralguna informacion sobre como son esos automorfismos.

Comenzamos demostrando una proposicion.

Proposicion 4.3.1. Sean p, q, r, s numeros racionales tales que p < q yr < s. Entonces los intervalos (p, q) y (r, s) son isomorfos, y cada uno deellos es isomorfo a (Q, <).

Demostracion. El resultado sigue directamente del teorema de Cantor 4.2.8,ya que esos intervalos son conjuntos linealmente ordenados densos sin primerni ultimo elemento.

p q

r s

@@

@@

@@

@@R

AAAAAAAAU

Automorfismo de Q que manda p en r y q en s

Esto es muy distinto a lo que ocurre con los numeros enteros. Segun vi-mos, en los numero enteros podemos definir una isomorfismo entre el intervalo(n, m) y el intervalo (n′, m′) solamente si m − n = m′ − n′. Es decir, sola-mente intervalos de la misma longitud son isomorfos. Pero con los racionales,podemos “estirar” o “encoger”intervalos mediante isomorfismos.

La Proposicion 4.1.2 nos dice que todo elemento del intervalo (p, q) es dela forma

t = xp + yq,

donde x, y son racionales positivos tales que x + y = 1. Podemos demostrardirectamente el teorema definiendo una funcion

f : (p, q)→ (r, s)

4.3. AUTOMORFISMOS DEL ORDEN DE LOS NUMEROS RACIONALES.39

del modo siguiente, si x, y son racionales positivos y x + y = 1, ponemos

f(xp + yq) = xr + ys.

De modo que un racional del intervalo (p, q) es enviado por f en el racionalque ocupa la misma posicion relativa en el intervalo (r, s). Dejamos al lectorla tarea de demostrar que esta funcion preserva el orden y es sobreyectiva.

Una manera equivalente de ver este resultado es la siguiente. Dados losintervalos (p, q) y (r, s) en los racionales, una funcion que manda p en r ymanda q en s y preserva el orden es la recta ( del plano racional Q×Q) quepasa por los puntos (p, r) y (q, s).

p q

r

s

��

(p, r)

(q, s)

Recta que pasa por los puntos (p, r) y (q, s)

La ecuacion de dicha recta esta dada por

y − r =s− r

q − p(x− p),

y resulta facil verificar que si x toma un valor racional, entonces y tambienes racional.

Si escribimos la misma ecuacion de otra manera, poniendo

y − r

s− r=

x− p

q − p,


vemos que la ecuacion indica que si x es un racional entre p y q, entonces yes un racional entre r y s y su posicion en el intervalo (r, s) esta dada por lamisma proporcion que da la posicion de x en el intervalo (p, q).

Tambien la segunda parte de la Proposicion se puede demostrar directa-mente, por ejemplo para ver que (p, q) es isomorfo a (Q, <) basta considerarla funcion f : (p, q) → Q definida para todos los racionales x entre p y q dela manera siguiente:

f(x) =1

p− x+

1

q − x.

Teorema 4.3.2. Dados racionales p, q, r, s tales que que p < q y r < s,entonces existe un automorfismo de (Q, <) que satisface f(p) = r y f(q) = s.

Demostracion. Definimos la funcion f poniendo f(p) = r, f(q) = s. En elintervalo (p, q) defninimos f como un isomorfismo entre (p, q) y (r, s). Enel intervalo (←, p) usamos un isomorfismo entre ese intervalo y el intervalo(←, r), y en el intervalo (q,→), usamos un isomorfismo entre ese intervalo y(s,→).

Mas formalmente, sean f1 : (p, q) → (r, s), f2 : (←, p) → (←, r) yf3 : (q,→) → (s,→) isomorfismos entre los intervalos correspondientes. De-finimos ahora f : Q→ Q por casos,

f(t) =

r si t = p,

s si t = q,

f1(t) si t ∈ (p, q),

f2(t) si t < p,

f3(t) si t > q.

Ejercicio 4.3.3. Sean p1 < p2 < p3 < . . . < pn y q1 < q2 < q3 < . . . < qn

numeros racionales. Demuestre que hay un automorfismo f : Q→ Q tal quepara todo 1 ≤ i ≤ n, f(pi) = qi.

4.4. Particiones de los racionales.

Los resultados anteriores nos permiten demostrar que para cualquier par-ticion de Q en dos pedazos, uno de los pedazos contiene una copia del orden

4.5. UNA REPRESENTACION DE LOS RACIONALES 41

completo (Q, <). En efecto, consideremos una particion

Q = A ∪ B

(recordemos que al ser una particion, A∩B = ∅). Si A tiene primer elemento,digamos p, entonces el intervalo (←, p) esta contenido en B, y es isomorfoa (Q, <). Del mismo modo, si A tiene ultimo elemento, digamos q, entonces(q,→) esta contenido en B y es isomorfo a (Q, <). Si A no tiene ni primer niultimo elemento, hay que considerar dos posibilidades, que A sea denso o queno lo sea. Si ocurre el primer caso, entonces A es un orden lineal numerable,denso sin primer ni ultimo elemento, y por lo tanto es isomorfo a (Q, <). SiA no es denso entonces existen dos elementos a1, a2 ∈ A, a1 < a2, tales queentre ellos no hay ningun otro elemento de A. Entonces el intervalo (a1, a2)esta contenido en B, y es isomorfo a (Q, <).

Ejercicio 4.4.1. Demuestre que para toda particion de Q en un numerofinito de partes, una de las partes contiene un suborden isomorfo a Q.

Sin embargo no es cierto que para toda particion del conjunto de los ra-cionales en dos partes una de las partes es isomorfa a los racionales. Daremosun ejemplo sugerido por Saul Silva y Gustavo Maestre. Sea Q = A ∪ B laparticion dada por

A = (←, 0) ∪ {1/2} ∪ [1,→)

B = [0, 1/2) ∪ (1/2,1)

(A, <Q) no es denso, y (B, <Q) tiene primer elemento, por lo tanto nin-guno de los dos es isomorfo a los racionales, aunque claramente ambas partescontienen subordenes isomorfos a (Q, <Q).

4.5. Una representacion de los racionales

En esta seccion definiremos una relacion de orden lineal en un conjunto desucesiones de ceros y unos. Trabajaremos en particular con sucesiones finitasde ceros y unos que terminan con un uno. Por ejemplo 〈011001〉, 〈0001〉 y〈11100010101〉.

Llamemos Q al conjunto de todas estas sucesiones.

Q = {s : ∃n ∈ N (s = 〈s(0), s(1), . . . s(n)〉, ∀i ≤ n(s(i) ∈ {0, 1}) y s(n) = 1)}


Observemos que este es un conjunto numerable. En efecto, basta notarque como los elementos de la coleccion de sucesiones finitas de ceros y unos esnumerable, y en particular, el conjunto de aquellas sucesiones que terminancon un uno es por lo tanto tambien numerable.

Si x, y son dos elementos de Q, diremos que y extiende a x si y comienzacomo x y luego tiene algunos ceros o unos adicionales. Por ejemplo 〈01101001〉extiende a la sucesion 〈01101〉.

Daremos a Q el orden lexicografico, que se define de la manera siguiente:

Definicion 4.5.1. Orden lexicografico de Q. Dadas dos sucesiones finitasx, y ∈ Q, diremos que x precede a y, y escribiremos x < y, si y solo siocurre lo siguiente, o bien y extiende a x, o si i es el menor numero tal quex(i) 6= y(i) y x(i) < y(i).

Tenemos entonces que aquellas sucesiones que comiezan con 0 van antesque las que comiezan con 1. Y entre dos sucesiones que comiencen con 0,una que tenga 0 en su segundo lugar es menor la otra que tenga 1 en susegundo lugar. Esto es tal como en el diccionario, donde las palabras quecomienzan con a van antes que las que comienzan por b, etc., y una palabracomo “admira”precede a la palabra “admiracion”. Pero en nuestro caso, envez de utilizar las letras del alfabeto a, b, c, . . . tenemos un “alfabeto”queconsta solamente de dos sımbolos: 0 y 1.

Examinemos algunos ejemplos. Comparemos las siguientes sucesiones,

u = 〈0001101〉 y v = 〈0001011〉.

Observamos que ambas comienzan con 0001, pero a continuacion v tiene un0 y u tiene un 1, por lo tanto v < u.

Sea ahora x = 〈101〉, y sea y = 〈10101〉, entonces x < y ya que y extiendea x.

Notese que y extiende a x es lo mismo que x es un segmento inicial de y.Sea z = 〈101001〉, ¿Cual es la relacion de z con x e y? Dejamos que el

lector verifique que x < z < y.Es facil demostrar que Q esta linealmente ordenado por el orden lexi-

cografico. Veamos que, en efecto, dadas dos sucesiones distintas de Q, unade ellas precede a la otra. Sean x, y ∈ Q dos sucesiones distintas. Si unade ellas es un segmento inicial de la otra, entonces la precede en el ordenlexicografico. Si ninguna es segmento inicial de la otra es porque existe alguni que pertenece al dominio de ambas y x(i) 6= y(i). Si i0 es el primer lugar

4.5. UNA REPRESENTACION DE LOS RACIONALES 43

donde eso ocurre, entonces la que tiene 0 en ese lugar precede a la que tiene1 allı.

Ejercicio 4.5.2. Recuerde que Q es el conjunto de todas las sucesiones finitasde ceros y unos que terminan con un 1. Elabore una lista de cinco elementosde Q en orden creciente. Elabore una lista de cinco elementos de Q en ordendecreciente.

Veamos ahora que Q no tiene ni primer ni ultimo elemento respecto alorden lexicografico. Sea x ∈ Q, si extendemos la sucesion x agregandole alfinal un uno adicional, obtenemos una sucesion y = x ⌢ 1 que es tambien unelemento de Q, y es mayor que x en el orden lexicografico ya que extiende a x.Por lo tanto Q no tiene ultimo elemento, ya que dado un elemento cualquierade Q podemos hallar otro mayor.

Tampoco tiene primer elemento, ya que dada x en Q, consideramos zen Q definida ası: para obtener z cambiamos el ultimo 1 de x por un 0 yagregamos un 1. Entonces z < x. Por ejemplo tomemos x = 〈10001101〉usando el procedimiento descrito anteriormente, cambiamos el ultimo 1 porun 0, y obtenemos 〈10001100〉 (que por cierto no es un elemento de Q), yahora agregamos un 1 al final y obtenemos z = 〈100011001〉. El primer lugardonde x y z difieren es donde x tiene su ultimo 1, y como allı z tiene un0, entonces z < x. Por lo tanto Q no tiene primer elemento porque dadocualquier elemento de Q podemos hallar otro menor.

Demostraremos a continuacion que Q con el orden lexicografico es iso-morfo al conjunto Q de los racionales con su orden natural.

Proposicion 4.5.3. El orden lineal (Q, <) es isomorfo al orden de los nume-ros racionales (Q, <).

No deberıa haber confusion aunque usemos el mismo sımbolo < paradenotar la relacion de orden en ambos casos. Para Q este sımbolo denotara elorden lexicografico y para Q denota el orden definido en los racionales.

Demostracion. Ya sabemos que Q es un conjunto numerable, que el ordenlexicografico lo ordena linealmente, y que no hay un primer ni un ultimo ele-mento. Entonces invocando el Teorema 4.2.8 solamente nos resta demostrarque este orden es denso, es decir, que dadas dos sucesiones x, y ∈ Q, conx < y, podemos hallar una z ∈ Q tal que x < z < y.

Examinemos dos casos por separado. Primero supongamos que y extiendea x. Modifiquemos y para obtener una sucesion menor tal como hicimos antes


de enunciar la proposicion. Es decir, cambiamos el ultimo 1 de y por un ceroy agregamos un uno al final. Llamemos z la sucesion que obtenemos ası. Poruna parte z < y pero ademas x < z porque z tambien extiende a x.

El segundo caso es cuando x < y porque hay un primer lugas donde x ey difieren y allı x tiene un 0 (y obviamente, y tiene allı un 1). En este caso,para hallar la sucesion z apropiada basta agregarle un 1 a x. Ası obtenemosuna z mayor que x, tal como lo hicimos antes, pero ademas esta sucesion zes menor que y porque el primer lugar donde difiere de y tiene como x un 0,y allı y tiene un 1.

Ejercicio 4.5.4. Describa una sucesion en Q cuyo tipo de orden sea ω, yuna sucesion cuyo tipo de orden sea ω∗.

Ejercicio 4.5.5. Considere el conjunto de todas las sucesiones finitas (novacıas) de ceros y unos con el orden lexicografico. Describa el orden linealque se obtiene. ¿Es numerable?¿En que se diferencia de Q?¿Es denso?¿Tieneprimer elemento?¿Tiene ultimo elemento?

CAPITULO 5

El orden de los numeros reales.

5.1. Puntos en una recta. Numeros irraciona-

les.

Los numeros reales constituyen el sistema numerico sobre el que esta basa-do el analisis matematico. El calculo diferencial e integral, y por consiguiente,los fundamentos de la fısica clasica, dependen en buena medida del conceptode numero real.

Para nuestros objetivos inmediatos en estas notas, estudiaremos los nume-ros reales como conjunto linealmente ordenado. Podemos pensar en los nume-ros reales como los puntos de una recta, donde hay un punto marcado con elnumero 0, hacia la derecha a distancias iguales los enteros positivos 1, 2, 3, . . .y hacia la izquierda, los enteros negativos −1,−2,−3, . . . .

−4 −3 −2 −1 0 1 √2

2 3 4

π

La recta real

45

46 CAPITULO 5. EL ORDEN DE LOS NUMEROS REALES.

Entre cada par de enteros consecutivos hay numeros racionales que co-rresponden a fracciones, tales como 1/3, −5/2, etc. Y sabemos que tambienhay magnitudes en la recta que no son racionales, es decir, no se puedenexpresar como cociente de dos numeros enteros. Por ejemplo la diagonal deun cuadrado de lado 1, tiene longitud

√2, que no es un numero racional

(ver apendice). El numero π tampoco es racional. Un numero real que nosea racional se llama irracional. En cierta forma hay muchos mas numerosirracionales que numeros racionales. Ya hemos visto que el conjunto R delos numeros reales no es numerable, y como el conjunto Q de los numerosracionales es numerable, los demas numeros reales, es decir, los irracionalesforman un conjunto no numerable.

5.2. El Principio del Supremo

Para iniciar mas formalmente nuestro estudio de las propiedades del ordende los numeros reales, necesitamos introducir algunos nuevos conceptos.

Definicion 5.2.1. Sea (A, <A) un conjunto linealmente ordenado, y sea B ⊆A un suborden de A.

Decimos que un elemento a ∈ A es una cota superior de B en A si b ≤ apara todo b ∈ B.

Decimos que B es acotado superiormente en A si B tiene una cota supe-rior en A.

Decimos que a ∈ A es una menor cota superior de B en A si es una cotasuperior de B en A y ademas para cualquier cota superior a′ de B en A setiene a ≤ a′.

Es facil demostrar que si B tiene una menor cota superior en A, entoncesesta es unica. En efecto, supongamos que a y a′ son elementos de A y cadauno de ellos es una menor cota superior de B en A. Como a es una menorcota superior de B en A, y a′ es una cota superior de B en A, tenemos porla definicion que a ≤ a′. Por otra parte, como a′ es una menor cota superiorde B en A, y a es una cota superior de B en A, se tiene tambien que a′ ≤ a.Entonces a = a′.

Similarmente podemos definir cota inferior, como haremos a continuacion.

Definicion 5.2.2. Sea (A, <A) un conjunto linealmente ordenado, y sea B ⊆A un suborden de A.

5.2. EL PRINCIPIO DEL SUPREMO 47

Decimos que un elemento a ∈ A es una cota inferior de B en A si a ≤ bpara todo b ∈ B.

Decimos que B es acotado inferiormente en A si B tiene una cota inferioren A.

Finalmente, a ∈ A es una mayor cota inferior de B en A si es una cotainferior de B en A y para cualquier cota inferior a′ de B en A se tiene a′ ≤ a.

De la misma manera se demuestra que si B tiene una mayor cota inferioren A, entonces esta es unica.

Definicion 5.2.3. Decimos que un suborden B de un conjunto linealmenteordenado (A, <A) es acotado si es acotado superiormente e inferiormente.

Ejemplos 5.2.4. 1. Todo subconjunto finito B de un orden lineal (A, <A)es acotado superiormente, y su ultimo (o mayor) elemento es la me-nor cota superior. Tambien es acotado inferiormente, y su mayor cotainferior es su primer elemento.

2. Consideremos el orden de los racionales (Q, <Q). El intervalo (0, 1) esacotado. Su menor cota superior es 1 y su mayor cota inferior es 0.Exactamente lo mismo vale para los intervalos [0, 1], [0, 1) y (0, 1], ytambien para el conjunto {1/(n + 1) : n ∈ N}.

3. El conjunto N es acotado inferiormente en Q, y su mayor cota inferiores 0; pero no es acotado superiormente.

4. El conjunto {x ∈ Q : x > 0 y x2 > 2} es a cotado inferiormente enQ, por ejemplo, 1 es una cota inferior, pero no tiene una mayor cotainferior en Q. Ese conjunto no es acotado superiormente en Q.

Definicion 5.2.5. Sea A ⊆ R un conjunto superiormente acotado. Si A tieneuna menor cota superior, esta se llama el supremo de A. Analogamente, siA es acotado inferiormente y tiene una mayor cota inferior, esta se llama elınfimo de A.

Sean (A, >A) y (C, <C) ordenes lineales y f : A→ C un isomorfismo, seaB un suborden de (A, <A), entonces, si B es acotado en A, f(B) es acotadoen C. Si a es una cota superior de B en A, entonces f(a) es una cota superiorde f(B) en C, y si a es la menor cota superior de B en A, entonces f(a) esla menor cota superior de f(B) en C. Lo mismo vale para cotas inferiores.


Definicion 5.2.6. Un orden lineal (A, <A) es completo si

1. todo suborden B de A acotado superiormente en A tiene una menorcota superior, y

2. todo suborden B de A acotado inferiormente en A tiene una mayorcota inferior.

Ejercicio 5.2.7. Demuestre que cada una de las clausulas de la definicionanterior implica la otra.

La primera clausula de la definicion anterior se conoce usualmente con elnombre de Principio del Supremo; y constituye la propiedad caracterıstica delorden de los numeros reales que lo diferencia del orden de los racionales. Enel conjunto Q ese princpio no vale, como sabemos, considerando por ejemploel conjunto

{r ∈ Q : r2 < 2}.Es claro que ese conjunto es acotado superiormente. Por ejemplo, 2 es

una cota superior, ya que 22 = 4 es mayor que 2. Tambien 1, 5 es una cotasuperior, ya que 1, 5 al cuadrado es 2, 25. Pero entre los racionales no hayuna menor cota superior para ese conjunto.

En cambio, si consideramos el conjunto de numeros reales

{x ∈ R : x2 < 2},

que tambien es acotado superiormente, vemos que en R si tiene una menorcota superior, a saber, el numero

√2.

Ejercicio 5.2.8. Demuestre que si (A, <A) y (C, <C) son ordenes linealesisomorfos, entonces A es completo si y solo si C es completo.

5.3. ¿Que son los numeros reales?

En esta seccion haremos una breve presentacion de la construcion delorden de los numeros reales por medio de cortaduras de Dedekind.

Definicion 5.3.1. Una cortadura de Dedekind en un orden lineal A es unpar ordenado (X, Y ) de intervalos de A con las siguientes propiedades

X y Y son no vacıos (X 6= ∅ 6= Y ),

5.4. PROPIEDADES CARACTERISTICAS DEL ORDEN DE R. 49

X ∪ Y = A,

todo elemento de X es menor que cualquier elemento de Y , es decir,si x ∈ X e y ∈ Y entonces x < y.

Se dice que una cortadura de Dedekind (X, Y ) de A es un “agujero” en A siX no tiene ultimo elemento y Y no tiene primer elemento.

Proposicion 5.3.2. Para todo un orden lineal (A, <A) las siguientes afir-maciones son equivalentes.

1. A es completo,

2. A no tiene “agujeros”,

3. Todo intervalo propio de A es de una de las siguientes formas:

(a, b), [a, b), (a, b], [a, b], (←, a), (a,→), (←, a], [a,→).

Ya sabemos que el orden de los numeros racionales tiene agujeros. Porejemplo tomemos la cortadura de Dedekind en Q dada por

X = {x ∈ Q : x < 0} ∪ {x ∈ Q : x ≥ 0 y x2 < 2}, y

Y = {x ∈ Q : x > 0 y x2 > 2}es un agujero en Q, ya que el conjunto de los racionales positivos cuyo cua-drado es menor que 2 no tiene ultimo elemento y el conjunto de los racionalespositivos cuyo cuadrado es mayor que 2 no tiene menor elemento.

Sin embargo hay otras cortaduras de Dedekind en los racionales que noson agujeros, por ejemplo la cortadura dada por X = {x ∈ Q : x < 1/2} yY = {x ∈ Q : x ≥ 1/2}. En este caso, 1/2 es el menor elemento de Y .

El conjunto de los numeros reales se puede identificar con la coleccion detodas las cortaduras de Dedekind de Q. Las cortaduras que no son agujeros enQ corresponden a los numeros racionales, y las cortaduras que son agujerosen Q corresponden a los numeros irracionales.

5.4. Propiedades caracterısticas del orden de

R.

El conjunto de los numeros reales es un orden lineal denso, no tiene primerelemento ni ultimo. Vimos que es un conjunto no numerable ( teorema 4.2.5).


Pero tiene un suborden denso numerable, a saber, los racionales. ClaramenteQ ⊂ R es un suborden denso numerable de R.

Definicion 5.4.1. Un conjunto linealmente ordenado es separable si contieneun suborden denso numerable.

Teorema 5.4.2. R es completo.

No incluiremos aquı una demostracion de este teorema, ni del siguiente,por razones de espacio. Invitamos al lector a buscarlas en la bibliografıaespecializada.

Teorema 5.4.3. (Cantor) Sea (A, <A) un orden lineal con las siguientespropiedades:

1. A es separable,

2. A es completo,

3. A no tiene ni primer ni ultimo elemento.

Entonces (A, <A) es isomorfo a R.

Vimos en el capıtulo sobre los numeros racionales que el Teorema deCantor 4.2.8 nos dice que Q \ {0} es isomorfo a Q.

Pero con el orden de los numeros reales ocurre algo muy diferente, porqueR \ {0} no es isomorfo a R. Estos dos conjuntos no son isomorfos ya que R

es completo pero en cambio R \ {0} no es completo ya que el conjunto

{x ∈ R : x < 0}

es acotado superiormente pero no tiene una menor cota superior, ya que todacota superior tiene que ser un numero real positivo, pero hay reales positivosarbitrariamente pequenos y no hay ninguno que sea menor que todos losdemas. Por supuesto, si el 0 estuviese presente, entonces serıa la menor cotasuperior.

Para finalizar esta breve introduccion al orden de los numeros reales da-remos dos ejemplos que muestran diferencias entre el orden de R y el ordende Q.

Sabemos que para cualquier particion de Q en dos partes una de las partescontiene un suborden isomorfo a Q. Eso no ocurre con R. Consideremos la

5.5. LINEAS DE SUSLIN 51

particion R = Q ∪ (R \Q), es claro que la parte Q no contiene una copia deR ya que Q es numerable y R no lo es. Por otro lado R \ Q es el conjuntode los numeros irracionales, que no es completo, es decir, tiene agujeros. Masaun, el conjunto de los agujeros de R \Q es denso en R \Q. Por esta razonR \ Q no puede contener una copia del orden de R que es completo. Pararecordar lo que son los agujeros vease la seccion 5.3.

El otro ejemplo que presentaremos para mostrar una diferencia intere-sante entre los ordenes de Q y R se basa en sus propiedades aritmeticas.Consideremos las sumas Q ⊕ Q y R ⊕ R. Por el teorema de Cantor Q ⊕ Q

es isomorfo a Q, pero en cambio R ⊕ R no es completo ya que la primeracopia de R es un conjunto acotado en R ⊕ R pero no tiene una menor cotasuperior. Como R si es completo, vemos que R⊕ R no es isomorfo a R.

Ejercicio 5.4.4. De ejemplo de un suborden denso numerable de R que nocontenga ningun numero racional.

5.5. Lıneas de Suslin

Recordemos que un orden lineal es separable si contiene un subordendenso numerable.

El teorema 5.4.3 caracteriza el orden de los numeros reales como el unico(salvo isomorfismo) orden lineal separable, completo sin primer ni ultimoelemento.

Proposicion 5.5.1. Sea (A, <) un orden lineal separable, entonces toda co-leccion de intervalos abiertos disjuntos dos a dos es a lo sumo nuumerable.

Demostracion. Sea D ⊆ A un suborden denso numerable. Tal suborden exis-te por ser (A, <) separable. Por la densidad de D, dado cualquier intervaloabierto (x, y) de A, se tiene que la interseccion D ∩ (x, y) no es vacıa. En-tonces, si tenemos una coleccion de intervalos abiertos de A disjuntos dos ados, cada uno de ellos debe contener elementos de D, y como D es nume-rable no puede haber mas que una cantidad numerable de intervalos en esacoleccion.

Esta propiedad de los ordenes separables ha sido ampliamente estudiadapor si misma y se le ha dado un nombre: la condicion de cadena contable(que abreviaremos escribiendo ccc).


Definicion 5.5.2. Un orden lineal (A, <) satisface la ccc si toda coleccionde intervalos abiertos disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable.

Es natural hacerse la siguiente pregunta. ¿Si en el enunciado del teorema5.4.3 sustituimos la condicion de separabilidad por la ccc, obtenemos tam-bien una caracterizacion del orden de los numeros reales? En otras palabras,queremos saber si es verdad que todo orden lineal que

(i) es completo,

(ii) no tiene ni primer ni ultimo elemento,

(iii) tiene la ccc

es isomorfo al orden de los numeros reales.Esta interrogante la planteo Suslin en 1920 y dio lugar a muy interesantes

desarrollos como veremos a continuacion.Reformulemos el problema de Suslin del modo siguiente. Si las propie-

dades (i), (ii) y (iii) no constituyen una caracterizacion del orden de losnumeros reales es porque existe un conjunto linealmente ordenado con esastres propiedades que no es isomorfo a R.

Definicion 5.5.3. Diremos que un conjunto linealmente ordenado es unalınea de Suslin, si es completo, tiene la ccc, no tiene ni primer ni ultimoelemento pero no es isomorfo al orden de los numeros reales.

Queremos entonces saber si existen lıneas de Suslin. Importantes ma-tematicos trabajaron en este problema, entre estos Rodolfo Ricabarra y unequipo de colaboradores en la Universidad Nacional del Sur, en Bahıa Blanca,Argentina. Muchos de los resultados obtenidos por estos matematicos estanpresentados en la obra [5]. Sin embargo, solo durante la decada de los anos1960 se pudo demostrar que los axiomas usuales de la teorıa de conjuntos noson suficientes para responder la pregunta. A partir de estos axiomas no sepuede demostrar que existen lıneas de Suslin y tampoco se puede demostrarque no existen. La existencia de lıneas de Suslin es, por lo tanto, indecidibleen la teorıa usual de conjuntos.

CAPITULO 6

Conjuntos bien ordenados.

6.1. Buenos ordenes

En esta seccion estudiaremos un tipo particular de orden lineal que re-sulta de extrema importancia para el desarrollo de las matematicas y susfundamentos. Se trata del concepto de buen orden. En cierta forma se puededecir que este concepto generaliza el orden de los numeros naturales.

Definicion 6.1.1. Un orden lineal (A, <) es un buen orden si todo subordenB no vacıo de A tiene primer elemento.

Si (A, <) es un buen orden, decimos que A esta bien ordenado (por elorden <). La primera propiedad de los buenos ordenes que veremos es quetodo buen orden infinito tiene un segmento inicial isomorfo a (N, <). Enefecto, si A es un orden lineal infinito, por ser no vacıo, tiene un primerelemento a0. Ahora, dejando fuera ese primer elemento, tenemos que el con-junto restante, A \ {a0}, por ser tambien no vacıo tiene un primer elemento,que lamaremos a1. Notese que a0 < a1, porque a0 es el primer elementodel conjunto A. Supongamos que hemos definido de este modo a0, a1, . . . , an,con a0 < a1 < . . . < an. Entonces, el conjunto A \ {a0, a1, . . . , an}, que esno vacıo por ser infinito, tiene un primer elemento, que llamamos an+1 yse tiene que an < an+1. Ası obtenemos inductivamente un conjunto infinitoa0 < a1 < a2 < . . . que es isomorfo al orden de los numeros naturales.

53

54 CAPITULO 6. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS.

Ejercicio 6.1.2. Muestre que N⊕ N esta bien ordenado. Muestre que Z noesta bien ordenado.

Notese que en el caso de Z, el conjunto de los numeros enteros, hay unsuborden isomorfo a ω∗, y ese subconjunto no tiene primer elemento. Veamosque en general cualquier orden lineal que no es un buen orden tiene esa mismapropiedad.

Proposicion 6.1.3. Un conjunto linealmente ordenado es un buen orden siy solamente si no contiene ningun suborden isomorfo a ω∗.

Demostracion. Sea A un conjunto linealmente ordenado y supongamos quecontiene un suborden de tipo ω∗, entonces como ese suborden no tiene primerelemento, A no es un buen orden. Con eso queda demostrado que si A es unbuen orden entonces no contiene ningun suborden isomorfo a ω∗.

Ahora para la otra implicacion, supongamos que A no es un buen orden,y sea B un suborden no vacıo de A que no tiene primer elemento. Sea a0

un elemento cualquiera de B. Como b0 no es el primer elemento de B, existeotro elemento de B menor, llamemoslo b1. Pero b1 no es tampoco el primerelemento de B, y por lo tanto existe b2 ∈ B, tal que b2 < b1. De este modoobtenemos inductivamente elementos b0, b1, b2, . . . tales que

. . . < bn < . . . < b2 < b1 < b0,

lo que constituye un suborden isomorfo a ω∗. Hemos demostrado entoncesque si A no contiene ningun suborden isomorfo a ω∗, entonces es un buenorden.

Ejercicio 6.1.4. Demuestre que si A y B son buenos ordenes, entoncestambien lo son A⊕ B y A⊗ B.

Observemos que si A es un conjunto bien ordenado, cualquier intervaloen A que contenga al primer elemento de A es un segmento inicial.

Si I es un segmento inicial propio de A, es decir, I es un segmento inicialque no es todo A, entonces existe un elemento a ∈ A tal que I = {x ∈ A :x < a}. En efecto, como I no es igual a A, el conjunto A \ I no es vacıo, ypor ser A un buen orden, tiene un primer elemento. Sea a el primer elementode A\ I. Primero, como I es un intervalo, ningun elemento de A mayor que apuede ser elemento de I, y ademas, si x ∈ A y x < a, entonces x ∈ I, porquea es el primer elemento de A que no esta en I. Hemos demostrado que I esexactamente el conjunto {x ∈ A : x < a}.

6.1. BUENOS ORDENES 55

En general, si A es un conjunto bien ordenado y a ∈ A, entonces elsegmento inicial {x ∈ A : x < a} es denotado por Aa

Ejercicio 6.1.5. Demuestre que la interseccion y la union de cualquier con-junto de segmentos iniciales de un conjunto linealmente ordenado (A, <) son,a su vez, segmentos iniciales de (A, <).

Lema 6.1.6. Sean (W, R) y (V, S) dos buenos ordenes, y sean f1 : I1 → Vy f2 : I2 → V isomorfismos de segmentos iniciales de W sobre segmentosiniciales de V . Entonces f1(x) = f2(x) para todo x ∈ I1 ∩ I2.

Demostracion. Heremos la demostracion por reduccion al absurdo. Supon-gamos que existe x ∈ I1 ∩ I2 tal que f1(x) 6= f2(x). Entonces, el conjunto{x ∈ I1 ∩ I2 : f1(x) 6= f2(x)} es un suborden no vacıo de W y por lo tantotiene un primer elemento x0. Para todo x <R x0, se tiene que x ∈ I1 ∩ I2, yaque x0 pertenece a esa interseccion y tanto I1 como I2 son segmentos inicialesde W ; por lo tanto, f1(x) = f2(x).

Ahora, como f1(x0) 6= f2(x0), se tiene que f1(x0) < f2(x0) o f2(x0) <f1(x0). Supongamos que f1(x0) < f2(x0), y veamos que f1(x0) no esta en laimagen de f2. Si x <R x0, entonces f2(x) = f1(x) < f1(x0). Y si x >R x0,entonces f1(x0) < f2(x0) < f2(x). Pero entonces f2[I2] no es un segmentoinicial de V , ya que f2(x0) pertenece a ese conjunto pero f1(x0) no. Estocontradice la hipotesis del teorema.

Se razona en forma analoga si f2(x0) < f1(x0).

Teorema 6.1.7. Sean (W, R) y (V, S) buenos ordenes. Exactamente una delas siguientes posibilidades se cumple:

(a) (W, R) y (V, S) son isomorfos, o

(b) (W, R) es isomorfo a un unico segmento inicial propio de (V, S), o

(c) (V, S) es isomorfo a un unico segmento inicial propio de (W, R) .

Demostracion. Consideremos el conjunto A = {A : A es un segmento ini-cial de W y existe un isomorfismo fA de A sobre un segmento inicial de V }.Notese que por el lema anterior, si A ∈ A entonces existe un unico isomor-fismo fA. Ademas, si A, B ∈ A y A ⊆ B, entonces fB ↾ A = fA.


Sea A∗ =⋃{A : A ∈ A} la union de los elementos de A, entonces A∗ es

un segmento inicial de W . Ademas, f ∗ =⋃{fA : A ∈ A}, la union de los

isomorfismos fA es un isomorfismo de A∗ sobre un segmento inicial de V .

Si A∗ = W , entonces f ∗ es un isomorfismo de W sobre f ∗[W ] que es unsegmento inicial de V . Si f ∗[W ] = V , entonces f ∗ es un isomorfismo de Wsobre V y tenemos el caso (a); en cambio, si f ∗[W ] es un segmento inicialpropio de V , tenemos el caso (b).

Falta ahora analizar lo que ocurre si A∗ es un segmento inicial propiode W . Sabemos que en este caso, A∗ = Wa = {x ∈ W : x < a} paraalgun a ∈ W . Entonces si f ∗[A∗] es un segmento inicial propio de V , setiene que f ∗[A∗] = Vb para algun b ∈ V . Pero entonces f ∗ se puede extendera un isomorfismo del segmento inicial A∗ ∪ {a} de W al segmento inicialf ∗[A∗]∪ {b} de V , y por lo tanto A∗ ∪ {a} es un elemento de A. Eso implicaque A∗ ∪ {a} ⊆ A∗, pero eso es una contradiccion ya que a no pertenece aA∗. Pero entonces debe ocurrir que f ∗[A∗] = V , y en ese caso (f ∗)−1 es unisomorfismo de V en un segmento inicial de W , y tenemos el caso (c).

El teorema 6.1.7 nos indica que dos conjuntos bien ordenados son siemprecomparables en el siguiente sentido: o son isomorfos o uno de ellos es maslargo que el otro. En efecto, si tenemos dos cojuntos bien ordenados A y B,y A es isomorfo a un segmento inicial de B, entonces podemos identificar Acon ese segmento inicial de B y pensar que el orden B extiende al orden A.En este caso tambien decimos que B es mas largo que A.

B

A

Teorema 6.1.8. Sean A, B, y C conjuntos bien ordenados, y supongamosque A⊕B es isomorfo a A⊕ C. Entonces B es isomorfo a C.

Demostracion. Segun la hipotesis, existe un isomorfismo f entre A ⊕ B yA⊕ C; pero f ↾ A es un isomorfismo de A en un segmento inicial de A⊕ C.Como la identidad es un isomorfismo de A en A, por el lema 6.1.6 f ↾ A esla identidad, y entonces f manda B isomorfamente en C.

6.1. BUENOS ORDENES 57

Ejercicio 6.1.9. De ejemplos de ordenes lineales A, B y C tales que A⊕Bes isomorfo a A⊕ C y B no es isomorfo a C.

Ejercicio 6.1.10. Sea A un conjunto linealmente ordenado tal que todosuborden de A tiene un ultimo elemento. Muestre que A∗ es un buen orden.

Lema 6.1.11. Sea A un conjunto bien ordenado y sea f una inmersion deA en A. Entonces, para todo a ∈ A se tiene a ≤ f(a).

Demostracion. Es claro que si a es el primer elemento de A, vale a ≤ f(a).Supongamos que existe algun elemento x de A para el cual no vale el resulta-do, es decir, f(x) < x. Como A esta bien ordenado, entonces el conjunto novacıo B = {x ∈ A : f(x) < x} tiene un primer elemento b. Como f(b) < b y fpreserva el orden, aplicando f a ambos lados de esa desigualdad, obtenemosf(f(b)) < f(b). Pero por otro lado, como f(b) < b, f(b) no pertenece a B, ypor lo tanto f(b) ≤ f(f(b)), y llegamos a una contradiccion.

Como consecuencia obtenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 6.1.12. Sean (W, R) y (V, S) conjuntos bien ordenados y su-pongamos que existe una inmersion de (W, R) en (V, S). Entonces (W, R) esisomorfo a un segmento inicial de (V, S).

Demostracion. Por el teorema 6.1.7, (W, R) es isomorfo a un segemento ini-cial propio de (V, S), o (V, S) es isomorfo a un segemento inicial propio de(W, R), o ambos ordenes son isomorfos. Veamos que bajo las hipotesis dela proposicion (V, S) no puede ser isomorfo a un segmento inicial propio de(W, R).

Supongamos lo contrario, y sea g : V →W un isomorfismo de V sobre unsegmento inicial propio de W . Y sea f : W → V una inmersion. Consideremosla composicion g ◦ f : W → W . Como ambas funciones f y g preservan elorden, f ◦ g es una inmersion de W en un segmento inicial propio de W , loque esta en contadiccion con el lema 6.1.11.

Ejercicio 6.1.13. Demuestre que si (W, R) y (V, S) son conjuntos bien or-denados y cada uno de ellos se puede sumergir en el otro, entonces son iso-morfos.


6.2. Ordinales

Si dos conjuntos bien ordenados son isomorfos, decimos que tienen elmismo tipo de orden.

Definicion 6.2.1. Un ordinal es el tipo de orden de un conjunto bien orde-nado. Dados dos ordinales α y β, decimos que α < β si cada conjunto bienordenado de tipo de orden α es isomorfo a un segmento inicial propio decualquier conjunto bien ordenado de tipo de orden β.

Por el teorema 6.1.7 tenemos que si α y β son dos ordinales distintos,entonces α < β o β < α. Es decir, la relacion < ordena linealmente losordinales. Si β < α decimos que α es mas largo que β.

Dado un ordinal α, los ordinales menores que α forman un conjunto Alinealmente ordenado por <. Veamos que el tipo de orden de ese conjuntode ordinales es precisamente α. En efecto, sea W un conjunto bien ordenadode tipo de orden α. Si β < α, entonces existe un segmento inicial propiode W cuyo tipo de orden es β. Sabemos que ese segmento inicial es de laforma Wt(β) donde t(β) es un elemento de W . Ası obtenemos una funciont : A→ W , es facil ver que t es un isomorfismo.

Por lo tanto todo ordinal es isomorfo al conjunto de los ordinales menores.Es conveniente para desarollar la teorıa de ordinales seleccionar los ordinalesde modo que cada ordinal sea exactamente el conjunto de los ordinales que lopreceden. Por ejemplo, el ordinal 3, es el tipo de orden de cualquier conjuntobien ordenado con tres elementos, y podemos tomar el conjunto {0, 1, 2} comorepresentante. Ası, tomaremos para el ordinal 0 el conjunto vacıo, el ordinal1 sera el conjunto {0}, el 2 sera el conjunto {0, 1}, y ası sucesivamente. Elordinal 5 sera entonces el conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, el ordinal ω = {0, 1, 2, 3, . . .}es el conjunto de los numeros naturales con su orden habitual; ω + 1 =ω ∪ {ω}, el cual es un conjunto cuyo tipo de orden es ω seguido de unelemento adicional mayor que todos los otros; ω + ω es la union de todos losordinales de la forma ω + n con n ∈ ω, etc.

De este modo obtenemos:

0 = ∅

1 = {0}

2 = {0, 1}

6.2. ORDINALES 59

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}...

ω = {0, 1, 2, 3, . . .}

ω + 1 = {0, 1, 2, 3, . . . , ω}

ω + 2 = {0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1}...

ω + ω = {0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . .}

etc.

En consecuencia, si α y β son ordinales, entonces β < α si y solo si β ∈ α.Se tiene entonces que para dos ordinales α y β las siguientes condiciones sonequivalentes:

1. β < α,

2. β ∈ α,

3. β es un segmento inicial propio de α,

4. β = αβ (donde αβ = {γ ∈ α : γ < β}, el segmento inicial de αdeterminado por β).

Tenemos entonces que todo ordinal es un conjunto bien ordenado porla relacion <, o lo que es lo mismo, esta bien ordenado por la relacion depertenencia ∈.

Mas aun, la coleccion de todos los ordinales esta bien ordenada por larelacion ∈. Para demostrar esto ultimo, sea S una coleccion no vacıa deordinales, y sea α un ordinal perteneciente a S. Si no hay ordinales menoresque α en S, entonces α es el menor ordinal en S. Si existen ordinales menoresque α en S, entonces el conjunto T = {β ∈ α : β ∈ S} es un subconjunto novacıo de α y como α esta bien ordenado T tiene un menor elemento, digamos,β. Veamos que β es el menor elemento de S. Si hubiese un ordinal γ en S tal


que γ < β, entonces como β < α, tenemos que γ < α, y por lo tanto γ ∈ T ,lo que contradice que β es el menor elemento de T .

En vista de que suma y producto de conjuntos bien ordenados dan co-mo resultado conjutos bien ordenados, podemos definir suma y producto deordinales. Dados ordinales α y β, α + β es el tipo de orden de α ⊕ β, ysimilarmente α � β es el tipo de orden de α⊗ β.

Definicion 6.2.2. Un ordinal α es un ordinal sucesor si existe un ordinalβ tal que α = β + 1, el tipo de orden del conjunto bien ordenado β ⊕ 1. Unordinal es un ordinal lımite si no es 0 y no es un ordinal sucesor.

Por ejemplo, ω es un ordinal lımite, y ω + 1 es un ordinal sucesor.

Ejercicio 6.2.3. Demuestre que si α y β son ordinales y β 6= 0, entoncesα < α+β. De ejemplo de ordinales α y β diferentes de 0 tales que β = α+β.

Ası como los ordinales formalizan la nocion de “longitud de un conjuntobien ordenado”, los numeros cardinales que definimos a continuacion cons-tituyen la formalizacion del concepto de “tamano”de un conjunto. Decimosque dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyeccion entreellos. En este caso tambien se dice que los dos conjuntos son equipotentes.

Definicion 6.2.4. Un cardinal es un ordinal que no se puede poner en bi-yeccion con ningun ordinal menor.

Definicion 6.2.5. Dado un conjunto A, la cardinalidad de A es el unicocardinal que se puede poner en biyeccion con A.

Vemos entonces que ω es un cardinal, ya que todo ordinal menor es finitoy no se puede poner en biyeccion con ω. Pero ω + 1 y ω + ω, por ejemplo, noson cardinales ya que ambos son equipotentes con ω (se pueden estableceruna biyeccion entre ω y ω + 1 y tambien se puede establecer una biyeccionentre ω y ω + ω).

Ejercicio 6.2.6. Demuestre que cada numero natural es un cardinal.

Ejercicio 6.2.7. Hemos senalado que ω es un cardinal. ¿Puede el lector darejemplos de otros cardinales infinitos?

Ejercicio 6.2.8. Demuestre que dado un cardinal α, existe un cardinal βmayor que α.

6.2. ORDINALES 61

Uno de los aspectos mas importantes de la teorıa de los ordinales esque se puede extender el concepto de induccion matematica a la inducciontransfinita.

Teorema 6.2.9. (Principio de Induccion en los ordinales.)Si para todo ordinal α vale la implicacion

Si todo ordinal menor que α tiene la propiedad P , entonces α tiene lapropiedad P ,

entonces todo ordinal tiene la propiedad P .

Este principio sigue de que la coleccion de todos los ordinales esta bienordenada.

En efecto, bajo las hipotesis del teorema, supongamos que existe un ordi-nal que no tiene la propiedad P , y sea α el menor que no tiene esa propiedad.Por minimalidad, todo ordinal menor que α tiene la propiedad P , pero en-tonces, por la hipotesis, tambien α tiene la propiedad P .

Tambien resulta util este principio de induccion transfinita pero aplicado alos ordinales menores que un ordinal dado, tal como se enuncia en el siguienteteorema que se demuestra usando la misma lınea de argumentacion.

Teorema 6.2.10. Sea β un ordinal. Si para cada ordinal α < β se tiene que

Si todo ordinal menor que α tiene la propiedad P , entonces α tiene lapropiedad P ,

entonces todo ordinal menor que β tiene la propiedad P .

En la practica, para usar el principio de induccion, algunas veces convienemirar por separado los distintos casos. Primero, obviamente, el caso α = 0;luego el caso α = β+1 (es decir, cuando α es un ordinal sucesor), y usamos lahipotesis especıficamente para β, que es un ordinal menor que α; y finalmente,se examina el caso en que α es un ordinal lımite, usando la hipotesis inductivapara los ordinales menores que α.

Para mostrar con un ejemplo como se usa el principio de induccion, de-mostremos la proposicion siguiente.

Proposicion 6.2.11. Todo ordinal se puede escribir de una unica maneracomo una suma de la forma β + n donde β es un ordinal lımite o cero y nes un numero natural.


Demostracion. Para 0, tenemos 0 = 0 + 0. Supongamos que α tiene unaunica representacion β + n. Entonces α + 1 = β + (n + 1). Si α + 1 tuvieseotra representacion α + 1 = β ′ + n′, como α + 1 es un ordinal sucesor, n′ nopuede ser cero, y por lo tanto n′ = m′ + 1 para algun numero natural m′. Deaquı sigue que α + 1 = β ′ + m′ + 1, y por lo tanto α = β ′ + m′, y esta serıaotra representacion para α lo que contradice nuestra hipotesis. Finalmente,si γ es lımite, entonces γ = γ + 0, y esta es la unica representacion posiblepara γ.

La teorıa de ordinales y cardinales es muy amplia y constituye una partefundamental de la teorıa de conjuntos. Un desarrollo mas completo esta fueradel alcance de este texto, pero sugerimos al lector interesado en profundizaren estos temas consultar algun texto introductorio de teorıa de conjuntos,por ejemplo [2], o el libro [6], donde se hace un estudio muy cuidadoso de losaspectos basicos de los numeros ordinales y numeros cardinales sin apoyarseen la teorıa axiomatica de conjuntos.

APENDICE A

Conjuntos, relaciones y funciones

A.1. Operaciones con conjuntos

A continuacion se dan algunos metodos para construir nuevos conjuntosa partir de otros ya dados

Definicion A.1.1. (a) Si A y B son conjuntos, entonces su interseccion,denotada por A∩B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecentanto a A como a B. En otras palabras, se tiene

A ∩B := {x : x ∈ A y x ∈ B}(Ver la figura A.1.1).

(b) La union de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto de todos loselementos que pertenecen a A o B. En otras palabras, se tiene

A ∪ B := {x : x ∈ A o x ∈ B}(Ver la figura A.1.2).

En relacion con la union de dos conjuntos, es importante tener presen-te el hecho de que el vocablo “o” se esta usando en el sentido inclusivo.Decir que x pertenecen a A o B deja abierta la posibilidad de que x per-tenezca a ambos conjuntos. En terminologıa legal este sentido inclusivoen ocasiones se indica por “y/o”.

63

64APENDICE A. APENDICE. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES

Definicion A.1.2. El conjunto que no tiene elementos se llama conjuntovacıo y se denotara por el sımbolo ∅. Si A y B son conjuntos sin elementosen comun (es decir, si A∩B = ∅), entonces se dice que A y B son disjuntoso que no se intersectan.

A

B

A ∩B

Figura A.1.1

A

B

A ∪B

Figura A.1.2

Usaremos la expresion A \ B para denotar el conjunto de los elementosde A que no pertenecen a B. Es decir,

A \B = {a ∈ A : a /∈ B}.

A.2. EL PRODUCTO CARTESIANO 65

A.2. El producto cartesiano

Sean A y B dos conjuntos ninguno de ellos vacıos. Para cada a ∈ A ycada b ∈ B formamos el par ordenado

(a, b)

El elemento a se llama la primera componente del par ordenado (a, b) y b lasegunda componente.

Definicion A.2.1. La coleccion de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ Ay b ∈ B se llama producto cartesiano de A por B y se denota por A× B

A× B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}Como su nombre lo indica, el orden en un par ordenado es importante puesdos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si se cumple que a = c y b = d,es decir:

(a, b) = (c, d) si, y solo si, a = c y b = d.

Ejemplo A.2.2. Sea A = {1, 2} y B = {p, q, r} entonces tendremos que:

A× B = {(1, p); (1, q); (1, r); (2, p); (2, q); (2, r)}

Relaciones: La nocion de relacion es usada frecuentemente en la vidadiaria

A continuacion mostraremos algunos ejemplos de relaciones, antes de in-troducir la definicion matematica.

Ejemplo A.2.3. Consideremos la coleccion C de todos las ciudades de Ve-nezuela. Diremos que dos ciudades c y d estan relacionados si se puede viajar(no importa con que linea aerea) de c a d sin hacer escalas. Denotaremos estehecho con el sımbolo cRd. Por ejemplo,

Caracas RMerida y Caracas RPorlamar.

Pero no es cierto que Merida R Porlamar. Cada par de ciudades relacionadosc y d puede ser considerado como el par ordenado (c, d). La relacion R lapodemos entonces representar como el siguiente conjunto de pares ordenados:


R = {(c, d) ∈ C × C : existe un vuelo sin escala de c a d}.Por ejemplo, tenemos que (Caracas, Merida) ∈ R y (Merida, Porlamar) 6∈R.

Ejemplo A.2.4. Consideremos la relacion < de orden estricto entre nume-ros naturales. Podemos representar esta relacion como una coleccion de paresordenados de la manera siguiente:

R = {(m, n) ∈ N× N : n < m}Por ejemplo, (3, 5) ∈ R y (4, 2) 6∈ R. Por supuesto que esta no es la ma-nera usual de expresar la relacion de orden, pero nos sirve para motivar ladefinicion que daremos a continuacion.

Definicion A.2.5. Una relacion entre dos conjuntos de A y B es un sub-conjunto de A × B. En este caso diremos que R es una relacion de A enB.

Observe que decir que R es una relacion de A en B no es lo mismo quedecir que R es una relacion de B en A. Las relaciones entre dos conjuntos seconocen tambien con el nombre de relaciones binarias. Cuando A es igual aB diremos que R es una relacion sobre A.

Ejemplo A.2.6. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4} y R = {(1, 3), (1, 4)} tenemosque R es una relacion entre A y B. Pero R no es una relacion entre B y A.

Definicion A.2.7. Sea R una relacion binaria entre los conjuntos A y B.El dominio de R, denotado por dom(R), es el conjunto formado por todosaquellos elementos a de A tales que (a, b) esta en R para algun b en B.

El rango de R denotado por rango (R), es el conjunto formado por todosaquellos elementos b en B tales que (a, b) esta en R para algun a en A.

A.3. Funciones

El concepto de funcion es quizas uno de los conceptos mas importantesde las matematicas. A continuacion estudiaremos las propiedades basicos delas funciones.

A.3. FUNCIONES 67

El concepto de funcion como relacion

Un caso especial y muy importante de relacion entre dos conjuntos es elque corresponde a la nocion de funcion.

Definicion A.3.1. Una relacion R entre dos conjuntos A y B se dice quees una funcion de A en B si satisface la siguiente condicion:

Para todo a ∈ A existe un unico b ∈ B tal que aRb

Observe que en la definicion de funcion se requiere que la relacion cumplacon dos condiciones:

1. Para cada elemento de a ∈ A existe un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈R

2. El elemento b dado en la condicion (1) es unico.

Notemos que (1) nos dice que el conjunto A es el dominio de R y (2)nos asegura aun mas, pues cada elemento de A esta relacionado con un soloelemento de B. El unico elemento b al que a esta asociado se le llama laimagen de a. Ası que una funcion de A en B asigna a cada elemento de Auno de B y es por esto que las funciones tambien son llamadas asignaciones.

Ejemplo A.3.2. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} y R = {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}tenemos que R es una relacion entre A y B. Pero R no es una funcion. Puesel 1 esta relacionado con dos elementos de B, esto es, la condicion (2) no secumple. Observe que la condicion 1 si se cumple en este ejemplo.

Ejemplo A.3.3. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} y R = {(1, 3), (2, 4)}. Eneste caso R es una funcion. Pues para cada a ∈ A existe un unico b ∈ B talque (a, b) ∈ R

Las funciones se denotan generalmente con las letras f, g, h, en lugar deescribir afb. Para indicar que a esta relacionada con b se escribe:

f(a) = b

Diremos que f(a) (Que se lee “f de a”) es la imagen de a bajo f. Tambiense dice “la imagen de a por f” o que b es el “valor” que toma f en a. Paraindicar que f es una funcion de A en B escribimos


f : A −→ B

Ya dijimos que A se llama el dominio de f en A, y el rango de f es

rang = {b ∈ B : b = f(a) para algun a ∈ A}El conjunto B tambien se le llama contradominio. En general B no es igualal rango. El rango de una funcion es entonces el conjunto formado por lasimagenes de los elementos del dominio y es por esto que tambien se acostum-bra a llamarlo el conjunto imagen

Ejemplo A.3.4. Consideremos la regla f(n) = n + 1 que asigna a cadanumero natural n el numero natural n + 1. Entonces f : N −→ N es unafuncion. Podemos expresar f como un conjunto de pares ordenados de lasiguiente manera:

{(n; n + 1) : n ∈ N}.Ejemplo A.3.5. Sea A un conjunto cualquiera y consideremos la asignacioni(a) = a, entonces i es una funcion de A en A llamada la funcion identidaddel conjunto A.

Para definir correctamente una funcion debemos especificar tres casos:

(i) El dominio de la funcion

(ii) El contradominio de la funcion

(iii) La regla de asignacion (o ley de correspondencia) entre los elementosdel dominio y los del contradominio.

Al definir una ley de correspondencia es importante estar seguros de que atodo elemento del dominio le hemos asignado un elemento del contradominio.

Ejemplo A.3.6. Considere la siguiente regla

x −→ x

x− 2

Con solo esta informacion no tenemos bien definida una funcion. Pues nohemos especificado los valores que puede tomar la variable x. En otras pa-labras, debemos especificar el dominio de la funcion que queremos definir.Veamos algunas de las posibles alternativas:

A.4. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 69

(a) Sea A = {1, 3, 4}, B = Q y g(x) =x

x− 2. Entonces g : A −→ B es una

funcion bien definida;

(b) Sea A = {1, 2, 3}, B = Q y h(x) =x

x− 2. Entonces h : A −→ B

no esta bien definida pues existe un elemento del dominio que la reglax −→ x

x−2no le asigna ninguna imagen (¿Cual es?);

(c) Sea A = {x ∈ R : x 6= 2}, B = R y f(x) =x

x− 2. Entonces f : A −→ B

es una funcion bien definida.

A.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y bi-

yectivas

En esta seccion tres conceptos basicos sobre funciones

A.4.1. Funciones inyectivas

Definicion A.4.1. Sea f una funcion de A en B. Diremos que f es inyec-tiva si dados a, a′ ∈ A con a 6= a′, se tiene que f(a) 6= f(a′).

A una funcion inyectiva tambien se le llama una funcion uno a uno (aveces se escribe: f es 1-1). Este nombre se debe a que elementos distintos deldominio son “enviados” por la funcion a elementos distintos del contradomi-nio.

Podemos expresar el concepto de inyectividad de la manera siguiente:Sea f : A −→ B una funcion. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es inyectiva;

(ii) Para todo a, a′ ∈ A, si f(a) = f(a′), entonces a = a′.

Ejemplo A.4.2. Considere la siguiente funcion f : N −→ N dada porf(n) = n+1. Mostraremos que f es inyectiva. Usaremos el criterio de inyec-tividad en el enunciado anterior. Fijemos dos naturales n, m y supongamosque f(n) = f(m). Debemos mostrar que n = m. En efecto, nuestra suposi-cion nos asegura que n + 1 = m + 1. Luego restamos 1 en ambos lados de laigualdad obtenemos que n = m.


Es importante tener claro cuando una funcion no es inyectiva. Este esSea f : A −→ B una funcion. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes:

(i) f no es inyectiva;

(ii) Existe un par de elementos a, a′ ∈ A tales que a 6= a′ y f(a) = f(a′).

A.4.2. Funciones sobreyectivas

Definicion A.4.3. Sea f : A −→ B una funcion. Diremos que f es sobre-yectiva si dado b ∈ B existe algun a ∈ A tal que b = f(a)

Es claro que una funcion f : A −→ B es sobreyectiva cuando el rango def es igual al contradominio.

Sea f : A −→ B una funcion. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes:

(i) f es sobreyectiva;

(ii) rango(f) = B.

Observacion: Cuando f(x) = y se dice que y es la imagen de x y tambiendiremos que x es una preimagen de y. En el caso que y 6∈ rango (f), diremosque y no tiene preimagen.

Ejemplo A.4.4. Considere la funcion f : {−1, 0, 1, 2} −→ {0, 1, 4} defini-da por f(x) = x2. Mostraremos que f es sobreyectiva. Debemos mostrar losiguiente:

Para todo y ∈ {0, 1, 4} existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f(x) = yComo el contradominio de f el conjunto {0, 1, 4}, tiene solo 3 elementos,

podemos verificar esta afirmacion con un simple inspeccion de todos los casosposibles.

(i) Para y = 0, en efecto, existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f(x) = 0, precisa-mente x = 0. Es decir, la preimagen del 0 es el 0;

(ii) Para y = 1 tenemos que en efecto existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que x2 = 1.En realidad existen dos elementos del dominio que tiene imagen iguala 1: f(1) = 12 = 1 y f(−1) = (−1)2 = 1. Es decir, 1 tiene dospreimagenes 1 y -1;

A.5. COMPOSICION DE FUNCIONES 71

(iii) Para y = 4, tenemos que f(2) = 22 = 4. Es decir, la preimagen del 4es el 2.

Hemos entonces verificado que todo elemento del contradominio de fes la imagen de algun elemento del dominio de f. En otras palabras, elrango es {1, 2, 4}.

Para determinar si una funcion es sobreyectiva es crucial poder conseguirsu rango.

Es importante que tambien quede claro cuando una funcion no es sobre-yectiva. Esto es:

Sea f : A −→ B una funcion. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes

(i) f no es sobreyectiva;

(ii) Existe un elemento b ∈ B tal que para ningun a ∈ A se tiene queb = f(a).

Notemos que para mostrar que una funcion no es sobreyectiva debemosencontrar un elemento del contradominio que no tenga preimagen.

A.4.3. Funciones biyectivas

Definicion A.4.5. Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyec-tiva.

A.5. Composicion de funciones

Cuando calculamos

2(5)3

lo hacemos por partes: primero calculamos

53

que es igual 125 y despues calculamos

2(125)


que nos da el resultado final 250. Podemos ver esta secuencia de operacionesen terminos de funciones. Consideramos las funciones f, g : N −→ N dadaspor

f(n) = n3 y g(n) = 2n

Es claro que 125 = f(5) y 250 = g(125) y de esto tenemos que

250 = g(f(5))

Podemos entonces definir una nueva funcion, llamemosla h, a partir de f yg de la siguiente manera h : N −→ N dada por

h(n) = g(f(n)).

Podemos calcular con mas precision la regla de h. En efecto, h(n) = g(n3) =2n3.

nf−→ n3 g−→ 2n3

Dadas dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C podemos de manera naturaldefinir un funcion de A en C como se indica a continuacion

a −→ g(f(a))

Esta nueva funcion se llama la compuesta de f y g y se denota por

g◦f

y su regla de correspondencia es

(g◦f)(x) = g(f(x))

La expresion g◦f se lee “f compuesta con g” ya que primero se aplicala funcion f y a continuacion la funcion g. La operacion entre funcionesası definida se denomina composicion de funciones.

La composicion de dos funciones se suele representar con diagramas comolos siguientes.

A.5. COMPOSICION DE FUNCIONES 73

A B C

g ◦ f

f g

f

g

A B

C

g ◦ f

Figura A.5 La composicion de f con g

APENDICE B

Numeros irracionales

Los numeros irracionales son aquellos numeros reales cuya expansion de-cimal no es finita ni periodica. Son numeros que no se pueden poner comoun cociente p/q de numeros enteros (q 6= 0).

Veamos algunos ejemplos. El numero 1/2 que es obviamengte racional tie-ne expansion decimal 0, 5; el numero 1/3 tiene expansion decimal 0, 33333 . . . ,esta expansion es infinita pero es periodica, ya que la cifra 3 se repite in-definidamente; el numero 7/11 tiene expansion decimal 0, 63636363 . . . quetambien es periodica. Un ejemplo adicional de numero racional con expa-sion decimal periodica con periodo mas largo es 5/7, su expansion decimales 0, 714285714285714285 . . .

El numero√

2 es irracional. Para demostrarlo, supongamos que exister ∈ Q, tal que r =

√2. Es decir, supongamos que existen n, m ∈ Z y

n 6= 0, tal que(m

n

)

=√

2. Ademas, podemos suponer que m y n son primos

relativos entre si, en particular m y n no son divisibles por dos. Tenemos

entonces que(m

n

)2

= 2.

Multiplicando por n2 ambos lados de la igualdad, se obtiene

m2 = 2n2, (∗)

de donde sigue que m2 es un numero par.Si m2 es par, entonces m es par, (porque el cuadrado de un numero impar

es impar), es decir, m se escribe de la forma m = 2k, para algun entero k.

75

76 APENDICE B. APENDICE. NUMEROS IRRACIONALES.

Luego, de (*) se tiene2n2 = 4k2,

y por lo tanto n2 = 2k2, lo que indica que n2 es un numero par. Pero sin2 es par, entonces n tambien es par; luego, m y n serıan numeros pares yen consecuencia ambos serıan divisibles por dos, lo que contradice nuestrasuposicion de que m y n son primos entre si.

��

��

��

0 1√

2

Figura B.1√

2 es la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1

Por lo tanto, si marcamos sobre la recta real el segmento de longitud√

2como esta descrito en la figura, se obtiene un punto que no esta en los numerosracionales, es decir,

√2 ∈ R\Q. Los numeros pertenecientes al conjunto R\Q

son llamados numeros irracionales.Los numeros π y e tambien son irracionales.

BIBLIOGRAFIA

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[3] Klein, Felix; Matematica elemental desde un punto de vista supe-rior. Aritmetica-Algebra-Analisis. Editorial Nivola., Espana, 2006.

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78 BIBLIOGRAFIA

el orden de los nu´meros racionales. -...

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