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Universidad Industrial de Santander

Fundamentos de Matemáti as

Solu ión Previo Fabuloso (IV).

Abril 22/2014

Tema O.

Nombre Código

Pregunta de es ogen ia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada

baja 1 punto. Para sa ar nota máxima (3.0) haga 60 puntos! Al �nal de estos puntos viene la

nota ión y el glosario y luego los puntos argumentados en la siguiente hoja.

1. Entre palabras notamos u � v siem-

pre que existan palabras x y z tales que

v = xuz. De imos que u es subpalabra

de v.[8℄El siguiente diagrama representa

al POSET de todas las subpalabras

de 01101 on esta rela ión (se omiten

las �e has que se dedu en de la

transitividad). Complete el diagrama:

λ

0 1

01 10 11

101 011 110

01101101

01101

[6℄ Las otas superiores de {01, 10}son:

101, 1110 0110, 01101

[6℄ El sup de {01, 10} es:

No existe

[6℄ Las otas inferiores de {01, 10} son:0, 1,λ

[6℄ El inf de {01, 10} es:

No existe

[8℄ Los sub onjuntos de un poset que

están totalmente ordenados se llaman

adenas y están ordenados por la in-

lusión. Muestre una adena maximal.

{λ, 0, 01, 011, 0110, 01101}

2. [6℄ El grafo (no dirigido) de n vérti es

que tiene una arista entre ualquier par

de vérti es diferentes se nota Kn y se

llama grafo ompleto de n vérti es. El

número de aristas que en total tiene Kn

es:

a) n2

b) n(n + 1)/2

) n(n− 1)/2

d) Ninguna de las anteriores.

[6℄ Podemos asegurar que el Kn tiene

ir uitos de Euler sí y sólo si:

a) Siempre.

b) Nun a.

) n es par.

d) n es impar.

e) Ninguna de las anteriores.

3. [6℄ Sea R = {(n, n + 2) ∈ N× N | n ∈N}, ; para que en el grafo (N, R ∪R−1)los elementos n y m estén one tados

una ondi ión ne esaria y su� iente es:

a) n+m es impar.

b) n+m es par.

) Siempre están one tados.


4. [4℄ Sólo hay dos grafos (no dirigidos)

onexos no isomorfos de tres vérti es.

1

5. [6℄ Sea X ualquier onjunto y P(X)el onjunto de todos los sub onjuntos

de X . Enton es (P(X),⊆) es un poset.

Si A ⊆ P(X) en este poset ese tiene

que infA:

a) Es

⋂A.

b) Es

⋃A.

) Es ∅.

d) No existe.

e) Ninguna de las anteriores

6. [8℄ Las siguientes rela iones sobre los

naturales forman un poset (N, R) (Fal-so/Verdadero):

a)

V

nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)

b)

V

nRm ⇔ n/m es poten ia de 2.

)

F

nRm ⇔ n−m es múltiplo de 5.

d)

V

nRm ⇔ n divide a m

7. [10℄ Los siguientes grafos onexos:

•5

•2

•3•4

•1

•a

•b

•c

•d

•e

son isomorfos según la fun ión Γ uan-

do ha emos:

Γ(1) = b Γ(2) = a Γ(3) = eΓ(4) = d Γ(5) = c

8. [10℄ Sea R = {(n, n+2) ∈ N×N | n ∈N}; siendo R la menor rela ión transi-

tiva que ontiene a R, (se di e que R es

la lausura transitiva de R), enton es(Falso/Verdadero):

a)

V

(1, 5) ∈ R

b)

F

(5, 1) ∈ R

)

F

(5, 5) ∈ R

d)

V

(6, 10) ∈ R

e)

F

(10, 5) ∈ R

[6℄ R̃ la menor rela ión de equivalen ia

que ontiene a R, es:

a) N× N

b) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))

) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))


9. [12℄ Si R y S son rela iones sobre un

onjunto A y IA es la idénti a sobre A(Falso/Verdadero):

a)

F

Si R y S son transitivas enton es

R ∪ S lo es.

b)

V

Si R es re�exiva enton es IA ⊂ R.

)

F

Si R ⊂ IA enton es R es re�exiva.

d)

V

Si R y S son rela iones simétri as

enton es R ∪ S es simétri a

e)

F


R ◦ S lo es.

f)

V

Si R es simétri a enton es

R = R−1.

NOTACIÓN y GLOSARIO: (x, y) ∈ R ◦ S signi� a que ∃z((x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R)2N son los naturales pares y 2N+ 1 los impares.

Sea (A,≤) un poset ( onjunto par ialmente ordenado es de ir, ≤ es re�exiva,antisimétri a y transitiva sobre A), a, b ∈ A y

B ⊆ A enton es se de�ne:

b es mínimo de B si b ∈ B ∧ ∀x(x ∈ B ⇒ b ≤ x). De manera dual se de�ne máximo de B

a es ota inferior de B si ∀x ∈ B(a ≤ x); de manera dual se de�ne ota superior de B

a es ín�mo de B si es el máximo de las otas inferiores es de ir ∀x ∈ B(b ≤ x) ∧ (∀y∀x ∈ B(y ≤ x)) ⇒ y ≤ b. Se nota

a = inf(B).De manera dual se de�ne que a sea el supremo de B y se nota a = sup(B).Un poset (A,≤) es un orden total (o lineal) si todo par de elementos son omparables, es de ir se umple:

∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)IdA es la rela ión idénti a sobre A.

2

Tema O.

Nombre Código

Para los dos (2.0) puntos que ha en falta, anali e la VERACIDAD de CUATRO de las

siguientes a�rma iones, justi� ando plenamente su asevera ión on una demostra ión o un

ontraejemplo:

U0 Si f ◦ g existe y es inye tiva enton es g es fun ión inye tiva.

U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

equivalen ia sobre A.U2 SiR y S son rela iones transitivas sobre A enton es R◦S también es rela ión de transitiva

sobre A.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones

h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que

f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2

enton es f es inye tiva.

U0 Si f ◦ g existe y es inye tiva enton es g es fun ión inye tiva.

VERDADERO: Sean x1, x2 tal que g(x1) = g(x2) enton es apli ando f tenemos f(g(x1)) =f(g(x2)) o sea (f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2), pero por hipótesis f ◦ g es 1-1 enton es x1 = x2

on luyendo que g es 1-1.

U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

equivalen ia sobre A.FALSO: Sea R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} y S = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, b), (b, c)}. Setiene que R y S son de equivalen ia pero R ∪ S no lo es, pues falla la transitiva.

U2 SiR y S son rela iones transitivas sobre A enton es R◦S también es rela ión de transitiva

sobre A.FALSO: R = {(b, c), (d, a)} y S = {(a, b), (c, d)} enton es R ◦ S = {(a, c), (c, a)} que no es

transitiva.

U3 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.VERDAD: Se onstruye g así: Si b ∈ f(A) exite un úni o a ∈ A (por ser f inye tiva) tal

que f(a) = b y ha emos g(b) = a. Si b /∈ f(A) de�nimos g(b) omo ualquier elemento de A(se requiere que A 6= ∅).

3

Tema O.

Nombre Código

U4. Siendo R ⊆ A×B si R ◦R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BVERDADERO: Primero veamos que R−1 ◦R ⊇ IdA signi� a que para todo x ∈ A se tiene

(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1

que simplemente quiere de ir que

∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)

que signi� a que por medio de R ada elemento de A tiene por lo menos una imagen en B.

Por otra parte: R ◦R−1 ⊆ IdB signi� a por de�ni ión de ontenen ia que (y1, y2) ∈ R ◦R−1

impli a y1 = y2 esto signi� a que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.

Con estas dos ondi iones aseguramos que R es fun ión de A en B por de�ni ión de fun ión.

U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2


VERDADERO: Sean x1, x2 ∈ A tales que f(x1) = f(x2). Construyamos un onjunto C y

fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A así: C = {1} on h1(1) = x1 y h2(1) = x2. Enton es

f ◦h1 = f ◦h2 (no hay que valorar las dos ompuestas sino en un punto: 1). Por la hipóte4sisse debe tener que h1 = h2 y por tanto x1 = x2.

4

Tema O.

Nombre Código

5

Tema O.

Nombre Código

6




Abril 22/2014

Tema P.

Nombre Código







de v.[8℄El siguiente diagrama representa al

POSET de todas las subpalabras de

01010 on esta rela ión (se omiten las

�e has que se dedu en de la transitivi-

dad). Complete el diagrama:

λ

0 1

01 10

101 010

01011010

01010


010, 0101, 01010, 101, 1010

[6℄ El sup de {01, 10} es: No existe

[6℄ Las otas inferiores de {01, 0101}son:

01, 0, 1,λ[6℄ El inf de {01, 0101} es:

01[8℄ Los sub onjuntos de un poset que




{λ, 0, 01, 010, 0101, 01010}






es:

a) n(n− 1)/2

b) n2

) n(n + 1)/2




a) n es par.

b) n es impar.

) Siempre.

d) Nun a.




a) Siempre están one tados.

b) n+m es impar.

) n+m es par.




7




que infA:

a) Es

⋃A.

b) Es ∅.

) No existe.

d) Es

⋂A.




a)

V

nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)

b)

V


)

F


d)

V



•1

•2

•3•4

•5

•a

•b

•c

•d

•e


do ha emos:

Γ(1) = b Γ(2) = d Γ(3) = eΓ(4) = a Γ(5) = c




a)

V

(1, 5) ∈ R

b)

F

(5, 1) ∈ R

)

F

(5, 5) ∈ R

d)

F

(10, 32) ∈ R

e)

F

(10, 5) ∈ R



a) N× N

b) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))

) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))




a)

V


R ∩ S lo es.

b)

V


)

V



d)

V

Siempre R ∪ R−1es simétri a en

A.

e)

F


R ◦ S lo es.

f)

V


R = R−1.









8

Tema P.

Nombre Código



ontraejemplo:

U0 Si f ◦ g existe y es biye tiva enton es f y g son fun iones biye tivas.

U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de

equivalen ia sobre A.U2 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

transitiva sobre A.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que

g ◦ f = IdA.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-

lesquier fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que

f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2

.

U0 Si f ◦ g existe y es biye tiva enton es f y g son fun iones biye tivas.

FALSO: Por ejemplo g = {(1, a)} y f = {(a, 1), (b, 1)} se �ene f ◦ g = {(1, 1)} biye ión

pero ni f ni g son biye iones.


equivalen ia sobre A.VERDAD: La demostra ión es ompletamente me áni a.

U2 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

transitiva sobre A.FALSO: Por ejemplo R = {(a, b)} y S = {(b, a)} son transitivas pero R ∪ S no lo es pues

falta (a, a) y (b, b).

U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que

f ◦ g = IdB.VERDADERO: Construya g : B −→ A así: para ada b ∈ B omo f es sobre es oja a ∈ Atal que f(a) = b enton es (f ◦g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Como esto es para ualquier b ∈ Benton es f ◦ g = IdB. Nótese que g ⊆ f−1

pero f−1no ne esariamente es fun ión.

9

Tema P. Nombre Código


(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1]que simplemente quiere de ir que

∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)



impli a y1 = y2; pero (y1, y2) ∈ R ◦ R−1signi� a que ∃x ∈ A((y2, x) ∈ R−1 ∧ (x, y1) ∈ R) es

de ir ∃x ∈ A((x, y2) ∈ R ∧ (x, y1) ∈ R) y esto impli a que y1 = y2, esta impli a ión signi� a

que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.


U5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2

.

VERDADERO: Supóngase que se tiene f ◦ h1 = f ◦ h2 enton es por igualdad de fun iones

para todo x ∈ C se tiene (f ◦ h1)(x) = (f ◦ h2)(x) esto signi� a por de�ni ión de ompuesta

que f(h1(x)) = f(h2(x)) omo f es inye tiva tenemos que se umple h1(x) = h2(x) para

todo x ∈ C y esto signi� a que h1 = h2.

10

Tema P.

Nombre Código

11

Tema P.

Nombre Código

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Abril 22/2014

Tema Q.

Nombre Código







de v.[8℄El siguiente diagrama representa

al POSET de todas las subpalabras

de 01101 on esta rela ión (se omiten

las �e has que se dedu en de la

transitividad). Complete el diagrama:

λ

0 1

01 10 11

101 011 110

01101101

01101


101, 1110 0110, 01101

[6℄ El sup de {01, 10} es:

No existe

[6℄ Las otas inferiores de {01, 10} son:0, 1,λ

[6℄ El inf de {01, 10} es:

No existe

[8℄ Los sub onjuntos de un poset que




{λ, 0, 01, 011, 0110, 01101}






es:

a) n2

b) n(n + 1)/2

) n(n− 1)/2




a) n es impar.

b) n es par.

) Siempre.

d) Nun a.




a) n+m es par.

b) n+m es impar.





13




que infA:

a) No existe.

b) Es

⋂A.

) Es

⋃A.

d) Es ∅.




a)

V

nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)

b)

V


)

V

nRm ⇔ n/m es impar.

d)

V



•1

•2

•3•4

•5

•a

•b

•c

•d

•e


do ha emos:

Γ(1) = b Γ(2) = d Γ(3) = eΓ(4) = a Γ(5) = c




a)

V

(1, 5) ∈ R

b)

V

(1, 6) ∈ R

)

V

(6, 7) ∈ R

d)

V

(6, 19) ∈ R



a) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))

b) N× N

) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))




a)

F


R ◦ S lo es.

b)

F


R ∪ S lo es.

)

V


d)

V



e)

F

Siempre R ◦ R−1es la idénti a en

A.

f)

V


R = R−1.









14

Tema Q.

Nombre Código



ontraejemplo:


equivalen ia sobre A.U1 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

transitiva sobre A.U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que

f ◦ g = IdB.U4 Siendo R ⊆ A × B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R−1

es una fun ión de

B en A.U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2




U1 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de

transitiva sobre A.FALSO: Por ejemplo R = {(a, b)} y S = {(b, a)} son transitivas pero R ∪ S no lo es pues

falta (a, a) y (b, b).






15

Tema Q.

Nombre Código




∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)





U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2


VERDADERO: Sean x1, x2 ∈ A tales que f(x1) = f(x2). Construyamos un onjunto C y

fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A así: C = {1} on h1(1) = x1 y h2(1) = x2. Enton es

f ◦h1 = f ◦h2 (no hay que valorar las dos ompuestas sino en un punto: 1). Por la hipóte4sisse debe tener que h1 = h2 y por tanto x1 = x2.

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Tema Q.

Nombre Código

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Tema Q.

Nombre Código

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Universidad Industrial de Santander Fundamentos de Matemáti as


Abril 22/2014

Tema R.

Nombre Código







de v.[8℄El siguiente diagrama representa al

POSET de todas las subpalabras de

01010 on esta rela ión (se omiten las

�e has que se dedu en de la transitivi-

dad). Complete el diagrama:

λ

0 1

01 10

101 010

01011010

01010


010, 0101, 01010, 101, 1010

[6℄ El sup de {01, 10} es:

No existe

[6℄ Las otas inferiores de {01, 0101}son:

01, 0, 1,λ

[6℄ El inf de {01, 0101} es:

01[8℄ Los sub onjuntos de un poset que




{λ, 0, 01, 010, 0101, 01010}






es:

a) n2

b) n(n + 1)/2

) n(n− 1)/2




a) n es impar.

b) n es par.

) Siempre.

d) Nun a.




a) n+m es impar.

b) nm es par.





19




que infA:

a) Es ∅.

b) Es

⋂A.

) Es

⋃A.

d) No existe.




a)

F

nRm ⇔ n+m es impar.

b)

F

nRm ⇔ n+m es poten ia de 2.

)

F


d)

V



•5

•2

•3•4

•1

•a

•b

•c

•d

•e


do ha emos:

Γ(1) = b Γ(2) = a Γ(3) = eΓ(4) = d Γ(5) = c




a)

V

(1, 5) ∈ R

b)

V

(5, 7) ∈ R

)

F

(5, 5) ∈ R

d)

V

(6, 10) ∈ R

e)

F

(10, 5) ∈ R



a) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))

b) N× N

) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))




a)

V


R ∩ S lo es.

b)

V


)

V



d)

F

Siempre R ◦ R−1es la idénti a en

A.

e)

F


R ◦ S lo es.

f)

F


R ∪ S lo es.









20

Tema R.

Nombre Código



ontraejemplo:

U0 Si f ◦ g existe y es sobreye tiva enton es f es fun ión sobreye tiva.


equivalen ia sobre A.U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que

f ◦ g = IdB.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2

.

U0 Si f ◦ g existe y es sobreye tiva enton es f es sobreye tiva.

VERDADERO: Consideremos g : A −→ B y f : B −→ C. Dado z ∈ C omo f ◦ g es

sobreye tiva existe x ∈ A tal que (f ◦ g)(x) = z por tanto ha iendo y = g(x) ∈ B se tiene

que f(y) = f(g(x)) = z; hemos visto que dado z ∈ C existe y ∈ B tal que f(y) = z, portanto f es sobreye tiva.








21

Tema R.

Nombre Código




∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)





U5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-


f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2

.

VERDADERO: Supóngase que se tiene f ◦ h1 = f ◦ h2 enton es por igualdad de fun iones

para todo x ∈ C se tiene (f ◦ h1)(x) = (f ◦ h2)(x) esto signi� a por de�ni ión de ompuesta

que f(h1(x)) = f(h2(x)) omo f es inye tiva tenemos que se umple h1(x) = h2(x) para

todo x ∈ C y esto signi� a que h1 = h2.

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Tema R.

Nombre Código

23

Tema R.

Nombre Código

24

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