tema 6 - oscilaciones - física 1 - grado ing. diseño ind. y desarrollo de productos - ulpgc
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1
1. Definición movimiento armónico simple (MAS)
2. Cinemática del MAS
3. Movimiento circular uniforme y MAS
4. Dinámica del MAS
5. Varios ejemplos de MAS
6. Oscilador amortiguado
7. Oscilador forzado
Oscilaciones
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
2
Movimiento Armónico Simple
6
http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/shm/Q.shm.html
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
La partícula se mueve de arriba para abajo pero su desplazamiento con el tiempo, x(t) es una función armónica
Movimiento oscilatorio alrededor de su posición de equilibrio de manera períodica
Se va dibujando la position de la masa, a la que se ha unido una pluma, a medida que pasa el tiempo. El papel se tiene que mover hacia la izquierda con velocidad constante.
Ejemplos: Masa unido muelle, Péndulo
3
Axx == max
Axx −== max
0=x0=t
Τ=t
2/Τ=t
4/Τ=t
4/3Τ=t
elF
elF
0=v
maxaa −=
0=v
maxaa =
0=a
v = vmax = ±Aω0
Posición de equilibrio
Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
Sistema muelle-masa
elF
0=x
Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)
Posición de equilibrio
Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)
Axx == max0=v
maxaa −=
0=a
0=xv = vmax = ±Aω0
4
La fuerza es proporcional y opuesta al desplazamiento
k= constante elástica del muelle
Ejemplo: Masa unida a un muelle sobre una mesa sin rozamiento
F =ma = −mω02x
Es una fuerza que varía de forma armónica con el tiempo F = −mω02Acos ω0t +α( )
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
Dinámica MAS
kxmaF −==
d2xdt2
+ω02
ctex = 0Ecuación diferencial del MAS
0=xelF
mω02 x = −kx→ω0 =
km
En este caso, F también vale –Kx!
Cuidado: no todos los MAS provienen de un muelle ideal!
x(t) =ACos(ω0t)+BSen(ω0t)
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Desplazamiento en un MAS
x t( ) =Acos(ω0 t +α)A = Amplitud = Desplazamiento máximo α = Fase inicial ω = Frecuencia angular
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
0 1 2
t
A
2Τ Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ
A
0=x
maxxA−
4Τ
maxx
A−
Ax max ±=
Desplazamiento inicial
Desplazamiento máximo (Amplitud)
( ) αcos 0 Axtx o ===
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Fase inicial
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
α = Fase inicial: ángulo del movimiento cuando se empieza a contar el tiempo (t=0)
( )AxAxtx o
o =→=== αα coscos0
1. caso: Desplazamiento inicial es la amplitud
0=→= αAxo
πα =→−= Axo
amplitud positiva
amplitud negativa
20 π
α =→=ox
2. caso: Desplazamiento inicial es nulo
x =A senω0t
x =A cosω0tEcuación del desplazamiento
Ecuación del desplazamiento
Período
Τ =2πω0
Tiempo que tarda en volver a su posición inicial
f = 1Τ→ f = ω0
2π
Frecuencia
Número de ciclos que se realizan en un segundo
PROPIEDAD: La frecuencia y el período son independientes de la amplitud
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Velocidad en función del desplazamiento
vmax = ± Aω0
velo
cida
d
Aω−
0 1 2
t
2Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ
ωA
maxv
0=v
4Τ
Aω
v = ±ω0 A2 − x2
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Velocidad en un MAS
v t( ) = dx(t)dt
= −Aω 0 sen ω0t +α( )
v(t = 0) = vo = −Aω0 sinαVelocidad inicial
Velocidad máxima
8 PROPIEDAD: La aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento
a t( ) = dv(t)dt
=d2x(t)
dt2 = −Aω02 cos(ω0 t +α)
acel
erac
ión
0 1 2
t
2Τ Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ
2ωA
0=a
maxa
4Τ
A2ω−
A2ω
amax = ±Aω02
a t = 0( ) = ao = −Aω02 cosα
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
Aceleración inicial
Aceleración en un MAS
Aceleración máxima
Aceleración en función del desplazamiento a = −ω02x
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Desplazamiento angular inicial del MCU es igual a la fase inicial del MAS
Proyección de la posición de la partícula con MCU sobre eje X
αθ =o
θcosRx =
( )αω += tAx cos
Desplazamiento de una partícula con MAS
Radio circunferencia es igual a la amplitud del MAS AR =
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RELACIÓN MATEMÁTICA ENTRE MUC y MAS
R
xX
Y
θ
P
Proyección de la posición de una partícula que tiene un MUC sobre un eje es igual al desplazamiento de una partícula con MAS
Período del MCU es igual al período del MAS MASMCU Τ=Τ
tMCUo ωθθ +=Desplazamiento angular de una partícula con MCU
Otras relaciones importantes
10
En función de la Posición
)(21
21 2222 xAmmvEc −== ω
22
21 xmdxFEp x ω∫ ==
En función de la Posición
( )αωω += tAmEc 222 sin21
( )αωω += tAmEp 222 cos21 22
max 21 AmEp ω=
22max 2
1 AmEc ω=
( ) ( ) maxmax222222
21cos
21
21 EpEcAmtAmtsenAmEEE pc ===+++=+= ωαωωαωω
En función del Tiempo
En función del Tiempo
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
Energía Cinética
Energía cinética máxima
Energía Potencial
Energía Total
Energía potencial máxima
maxmax EpEcE ==
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Energía Cinética en función del tiempo
( )αωω += tAmEc 222 sin21
( )αωω += tAmEp 222 cos21
EEcEc21
21
max ==
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Energías en función del tiempo
maxEc
t
tEp
Ec
maxEp
E
Ep
E
Ec
Energía Cinética media Energía Cinética máxima
EAmEc == 22max 2
1ω
Energía Potencial en función del tiempo Energía Potencial media Energía Potencial máxima
EAmEp == 22max 2
1ωEEpEp
21
21
max ==
12
22
21 xmEp ω= ( )222
21 xAmEc −= ω
22
21 AmEpEcE ω=+=
Ec
Ep
o AA− x
Máxima en el centro (x=0) y nula en los extremos de la oscilación (x=A, x=-A)
Nula en el centro (x=0) y máxima en los extremos de la oscilación (x=A, x=-A)
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
Energías en función de la posición
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La masa oscila alrededor de la posición de equilibrio con un desplazamiento oyyy −='
Posición de equilibrio una vez se ha colgado la masa. El muelle se deforma una cantidad kmgyo /=
Posición de equilibrio sin masa colgando
© Figuras procedentes del libro Física por Paul Tipler
y' =Acos ω0t +α( )
2'21 KyEpEpEp gel =+=
Ecuación del movimiento
Energía potencial
© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
MAS vertical: masa colgando de un muelle
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toeAA γ−=
x =Acos ωat +α( )
m2λ
γ = Constante de amortiguamiento
ωa = ωo2 − γ2
Frecuencia natural oω
γτ
1=
Tiempo de relajación
© Figuras procedentes del libro Física por Paul Tipler © Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
MAS amortiguado
( ) to
to eEeAmAmE γγωω 22222
21
21 −− ===
22
21
oo AmE ω=
Energía en un MAS amortiguado
A =A0e−γt
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© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar
MAS subamortiguado
MAS crítico y MAS sobreamortiguamiento x
t
MAS crítico
MAS sobreamortiguado
Crítico
Sobreamortiguado
oca mωλω 20 =→=
Coeficiente de amortiguamiento crítico ca λλω >→< 0
No hay oscilación
No hay oscilación
cλ
ca λλω <→> 0
Sí hay oscilación
x
toeA 1γ−
toeA 2γ−
oA
t
MAS
Clasificación MAS amortiguado
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Pico de Resonancia: La amplitud es máxima cuando las dos frecuencias son iguales
o
f
ω
ω
A
omωλ 2=
omωλ =
2/omωλ =
0=λ
1
A medida que el amortiguamiento disminuye las amplitudes resonantes son mayores: línea azul cuando el oscilador tiene un amortiguamiento muy grande y línea marrón cuando no está amortiguado.
( )ff tAx αω −= cos
oscilador forzado : aparece cuando se aplica una fuerza oscilante a un oscilador amortiguado
tFF fo ωcos=
( ) 22222 4
/
fof
o mFAωγωω +−
=
22
2tan
fo
ff ωω
γωα
−=
of ωω =
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Oscilación forzada y resonancia
Amplitud
Fuerza oscilante
Fase inicial
Ecuación desplazamiento
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