oscilaciones f paula

OSCILACIONES

LUIS FRANCISCO GARCA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE FSICA

BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

2

Al Dios vivo y Poderoso. Al Padre Glorioso que todo lo ve, todo lo oye, todo lo sabe, todo lo dirige. Al Incomparable, al Maravilloso, al Prodigioso Ser que nos dio la vida y la sostiene. Al Todopoderoso que nos da el alimento y concilia nuestro sueo. Al Omnipotente que esparce su blsamo amoroso prodigndonos paz, alegra y felicidad. Al Soberano Dios de infinita misericordia, que siempre

escucha nuestro clamor.

3

Contenido

1 INTRODUCCIN........................................................................................................................................................... 8

1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S) .................................................................................... 9 1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL: ............................................................................................................. 12 1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE. ......... 14

1.2.2-1 PNDULO SIMPLE: ........................................................................................................................... 15 1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE ......................................................................................................... 29

1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO: ............................................................. 35 1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN ................................................................................................................. 37

1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: .................... 39 1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: ................ 40 1.2.5 ANALOGA ELCTRICA ................................................................................................................... 41

1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO ................................................................................................................................. 43

1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA: .................................................................................................. 44 1.3.2 ANALOGA ELCTRICA: ........................................................................................................................ 47

1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L) .............................................. 50 1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO: ......................................................................................................... 52

1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO .................................................................................................................. 54

1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO: .................................................................................. 59

1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA: ..................................... 66

1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q ....................................................................................................................... 69

1.4.6 ANALOGA ELCTRICA: ........................................................................................................................ 71 1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F) ..................................... 77

4

1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD: ................................................................................................... 85

1.5.2 RESONANCIA EN LA ENERGIA: ...................................................................................................... 88

1.5.3 POTENCIA PROMEDIO SUMINISTRADA .................................................................................... 90

1.5.4 ANALOGA ELCTRICA: ....................................................................................................................... 94

1.6 SUPERPOSICIN DE MOVIMIENTOS ARMNICOS SIMPLES: ....................................... 96 1.6.1 DE IGUAL DIRECCION E IGUAL FRECUENCIA: .................................................................... 96

1.6.2 DE IGUAL DIRECCIN Y DIFERENTE FRECUENCIA: ................................................... 101

1.6.3 MUTUAMENTE PERPENDICULARES DE IGUAL FRECUENCIA: ........................... 105

1.6.4 MUTUALMENTE PERPENDICULARES DE DIFERENTE FRECUENCIA: ........... 109

1.7 PROBLEMAS ........................................................................................................................................................ 118

5

OSCILACIONES

MOVIMMIENTOS ARMNICOS

SUPERPOSICIN DE MOVIMIENTOS

ARMONICOS

De igual direccin

De igual frecuencia

De diferente frecuencia

Mutualmente perpendiculares

De igual frecuencia

De diferente frecuencia

Simple (M.A.S)

Amortiguado libre (M.A.A.L)

Amortiguado forzado (M.A.A.F)

6

PASOS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LOS OSCILADORES ARMNICOS

A PARTIR DE

SEGUNDA LEY DE NEWTON PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA ECUACIN DINMICA DE ROTACIN OTROS MTODOS

SE OBTIENE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO

SE PLANTEA SU SOLUCIN

SE DETERMINA LA FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIN

SE REALIZA LA GRFICA DE LA ELONGACIN CONTRA EL TIEMPO

SE HALLA LA ENERGA PROMEDIO EN UN CICLO

SE DETERMINA LA POTENCIA PROMEDIO

7

SISTEMAS OSCILATORIOS

LINEALES NO LINEALES

ARMNICO ANARMNICO

DESCRIBEN UN MOVIMIENTO OSCILATORIO

PERIDICO NO PERODO

BALANCIN DE UN RELOJ MOVIMIENTO SSMICO

MOVIMIENTO PERIDICO

OSCILATORIO NO OSCILATORIO

PENDULAR VIBATRORIO CIRCUNFERENCIAL

UNIFORME

ELONGACIN ANGULAR

ELONGACIN LINEAL

PARA GRANDES ELONGACIONES SE OBTIENE UN MOVIMIENTO

ANARMNICO

PARA PEQUEAS ELONGACIONES SE OBTIENE UN MOVIMIENTO ARMNICO

SIMPLE (M.A.S).

8

OSCILACIONES

INTRODUCCIN

Debido a que las estructuras y las mquinas experimentan cierto grado de vibracin, se hace indispensable para su diseo, considerar el comportamiento oscilatorio.

Generalmente los sistemas oscilatorios suelen clasificarse en lineales y no lineales. Cuando la amplitud de la oscilacin crece, los sistemas lineales tienden a volverse no lineales.

Los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Sus vibraciones pueden ser libres o forzadas. La vibracin es libre cuando el sistema oscila bajo la accin de fuerzas intrnsecas e inherentes al mismo, las cuales se denominan fuerzas recuperadoras (que pueden ser fuerzas elsticas como el caso de una masa suspendida en un resorte, fuerzas gravitacionales como en el caso de un pndulo). La vibracin es forzada cuando actan fuerzas externas sobre el sistema. Si la fuerza externa es peridica el sistema vibra de acuerdo a la frecuencia impulsora, tambin llamada frecuencia de excitacin. La frecuencia de la fuerza externa o fuerza impulsora, no debe coincidir con ninguna de las fuerzas naturales del sistema, para evitar que se produzca el fenmeno de resonancia, caracterizado por oscilaciones de gran amplitud, que ordinariamente son las responsables de las fallas que se presentan en edificios, puentes, aeroplanos, vehculos espaciales y otras estructuras.

Los sistemas vibratorios tienen cierto grado de amortiguamiento; pero si este es pequeo, se puede ignorar en el clculo de las frecuencias.

Cuando el movimiento tiene lugar alrededor de una posicin de equilibrio fija en el espacio, hablamos de osciladores. Cuando las oscilaciones peridicas viajan de un lugar a otro, hablamos de ondas.

9

Muchos sistemas en la naturaleza se aproximan bastante al movimiento armnico simple (movimiento alrededor de una posicin de equilibrio, en la cual no acta fuerza neta sobre el sistema), el cual no es fsicamente realizable, porque tal movimiento tendra que haber empezado hace un tiempo infinitamente grande y podra continuar en el futuro hasta un tiempo infinito.

La importancia del estudio del movimiento armnico simple, tanto en fsica como en ingeniera, se debe no solamente al hecho de hacer una buena aproximacin a muchos procesos fsicos, sino que procesos ms complicados pueden ser estudiados, como si se tratara de varios movimientos armnicos actuando independientemente.

El movimiento oscilatorio se presenta en muchos sistemas; tal es el caso de las molculas de aire, que oscilan cuando transportan la onda sonora producida por una guitarra, el movimiento del pndulo de un reloj, las molculas del los slidos, que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio, los tomos de una molcula que vibran unos con respecto a otros, la rpida oscilacin de los electrones de una antena radiante o receptora, las corrientes de los circuitos elctricos que pueden cambiar de sentido y oscilar.

El movimiento oscilatorio puede repetirse regularmente como el caso del balancn de un reloj irregularmente como en el caso de los movimientos ssmicos. Cuando el movimiento oscilatorio se repite a intervalos iguales de tiempo se denomina peridico y debe satisfacer la relacin )()( Ttxtx += , donde )(tx , es la funcin que designa el desplazamiento, y T es el perodo de oscilacin o tiempo requerido para que le sistema efecte un ciclo completo de movimiento.

Nuestro estudio lo limitaremos a los osciladores con un grado de libertad, es decir, aquellos que necesitan solamente una coordenada para describir su estado de movimiento.

1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE DEFINICIN 1: Una partcula que se mueve a lo largo del eje de las x tiene un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x respecto al origen del sistema de coordenadas, esta dado en funcin del tiempo por la relacin.

)( += tsenAx

siendo:

+t = Fase

= Fase inicial

10

A = Amplitud o mxima elongacin

x = Elongacin o desplazamiento

= Frecuencia angular (se expresa en rad/s)

= fT

pipi 22 =

T = Periodo (se expresa en s) f = Frecuencia (se expresa en ciclos/s)

La velocidad de la partcula, se obtiene derivando el desplazamiento respecto al tiempo, as:

)cos(])([ +=+== tAtsenAdtd

dtdx

v

La aceleracin se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo, as:

)(])(cos[ 2 +=+== tsenAtAdtd

dtdv

a

Por lo tanto:

xa 2= ,

lo cual significa que la aceleracin es proporcional y opuesta al desplazamiento.

DEFINICIN 2: El desplazamiento de una partcula que se mueve con Movimiento Armnico Simple, puede considerarse como la componente x de un vector PO de magnitud A , que rota alrededor de O en sentido contrario de las agujas del reloj con velocidad angular y formando a cada instante un ngulo t + con el eje negativo y , como se ilustra en la fig. (1.2-1).

11

Figura (1.2-1): Vector rotante OP de magnitud A que determina el desplazamiento en el M.A.S

Los vectores rotantes AOyOV , cuyas magnitudes son A y 2 A representan la velocidad y la aceleracin de la partcula, cuyas componentes a lo largo del eje x dan las componentes de la velocidad y la aceleracin, como puede apreciarse en la figura (1.2-2)

Figura (1.2-2): Vectores rotantes del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en el M.A.S

Los grficos del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en funcin del

Tiempo del movimiento armnico simple, se demuestra en la fig. (1.2-3).

12

Figura (1.2-3): Grficas del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo en el M.A.S.

1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL: La ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple es:

02022

=+ xdt

xd

Siendo:

x = Desplazamiento

t = Tiempo

0 = Frecuencia angular natural de oscilacin

La solucin general es de la forma:

)( 0 += tsenAx

Tambin puede utilizarse la forma armnica:

13

)(cos 0 += tAx

O la forma exponencial:

][Re )( 0 += tieAx

Respecto a la solucin en forma exponencial, tnganse en cuenta que un vector de amplitud A , que rota con velocidad angular , puede representarse como una cantidad compleja z en el diagrama de Argand como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-1).

Figura (1.2.1-1)

La cantidad tieAz = satisface la ecuacin deferencial de un M.A.S.

Su conjugada compleja es tiAez =* la cual rota en sentido horario con velocidad angular , como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-2)

Figura (1.2.1-2)

14

Es evidente que al sumar z y *z , se obtiene el grfico mostrado en la figura (1.2.1-3).

Figura (1.2.1-3): Vector z y su complejo conjugado z*

Luego:

tieAeRtAzzx ==+= cos*)(21

En donde Re representa la parte real de z .

1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE La fig. (1.2.2) muestra algunos de los sistemas fsicos que describen un M.A.S.

Pndulo simple Sistema Masa Resorte Pndulo de torsin

Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples

15

Pndulo compuesto pndulo fsico Circuito elctrico L C

Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples.

1.2.2-1 PNDULO SIMPLE: DEFINICIN: Es una cuerda de longitud y de masa despreciable, que tiene una masa m atada a un extremo y que puede oscilar libremente respecto del otro extremo, como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.1)

Figura (1.2.2-1.1): Pndulo Simple

16

OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.

PROPIEDADES DEL OSCILADOR ARMNICO - La frecuencia del movimiento es independiente de la amplitud de oscilacin.

- Los efectos de varias oscilaciones pueden superponerse linealmente.

PROCEDIMIENTO:

A partir de la ecuacin dinmica de translacin (Segunda Ley de Newton), de la ecuacin dinmica de rotacin, del principio de conservacin de la energa de cualquier otro mtodo se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo. Estableciendo la restriccin para elongaciones pequeas sen , se obtiene la ecuacin diferencial de movimiento de un oscilador armnico simple.

- PRIMER MTODO: De la segunda ley de Newton e sabe que

TT amF = (1) De la figura

sengmFT = (2) Igualando las ecuaciones (1) y (2):

sengmam T =

Simplificando por m :

sengaT =

Por lo tanto

=+ sengaT

Recordando la expresin para la aceleracin tangencial:

dtd

dtd

dtdv

aT

=== )(

Utilizando la definicin de la velocidad angular,

dtd

=

17

Se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo simple:

0=+

sengdtd

dtd

Entonces:

022

=+ sengdtd

Haciendo la aproximacin: sen

Se obtiene:

022

=+ gdtd

Dividiendo por

022

=

+

gdtd

Haciendo

g=

20

Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple

02022

=+ dtd

La solucin de la ecuacin diferencial anterior es

= )( 00 +tsen

Siendo = Elongacin

0 = Mxima elongacin o amplitud

+t0 = Fase

= Fase inicial

La relacin entre la frecuencia angular natural de oscilacin 0 y la frecuencia de oscilacin es:

18

fpi 20 =

Luego

gg

fpipipi

21

220

===

El inverso de la frecuencia, se denomina perodo y esta dado por

T = Periodo del pndulo simple

gfT

pi21 == = Longitud del pndulo

g = Aceleracin de gravedad

- SEGUNDO MTODO:

Figura (1.2.2-1.2): Pndulo Simple que oscila en el plano y z

De acuerdo con la fig. (1.1.2-1.2):

19

El momento de fuerza respecto al punto del eje de giro es:

sengmfrT xx ==

)( (4) El momento angular respecto al punto de giro es:

vmprJ XX ==

)(

Pero la velocidad tangencial se expresa en funcin de la velocidad angular mediante,

dtd

v

==

Entonces

dtd

mJ X2

=

Utilizando la ecuacin dinmica de rotacin

dtdJ X

X =

Se sigue que:

2

222

dtd

mdtd

dtd

mX

=

= (5)

Igualando las expresiones (4) y (5):

sengmdt

dm =

22

Significado por m :

022

=+ sengdtd

Dividendo por

022

=

+ seng

dtd

Haciendo la aproximacin 0sen

20

Se obtiene:

022

=

+

gdtd

Usando la definicin:

g=

20

Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple,

02022

=+ dtd

(6)

TERCER MTODO:

Figura (1.2.2-1.3): Pndulo Simple

A partir del principio de conservacin de la energa

UKE += (7) Donde la energa cintica K est dada por

21

22222

21

21

21

===

dtd

mmvmK

La energa potencia U est dada por

hgmU =

Pero

)cos1(cos == h

Entonces,

)cos1( = gmU

Luego la energa total E es:

)cos1(21 2 +

= gm

dtd

mE

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie

...

!41

!211cos 42 +=

Para pequeo, se hace la siguiente aproximacin:

2

211cos

Entonces la ecuacin (7) puede escribirse como:

+

=

22

2

2111

21 gm

dtd

mE

Simplificado

22

2

21

21 gm

dtd

mE +

=

Transponiendo trminos para despejar dtd

, se tiene:

22

2

21

21 gmE

dtd

m =

22

Entonces

=

22

2

212

gmE

mdtd

Luego

22

2

gm

Edtd

=

Factorizando

g

=

22 gm

Egdtd

(8)

Para = 0 siendo 0 la mxima amplitud de oscilacin, la energa potencial es

EgmU == 2021

Por consiguiente,

gmE22

0 =

Reemplazando en (8):

220

=

gdtd

Separando variables:

tdgd

=

220

Integrando:

tdgdt

= 0

2201

Siendo 1 el valor de para t = 0

23

La integral elemental de la izquierda, est dada por:

tg

senarc

=

10

Luego:

tg

senarcsenarc

=

0

1

0

Transponiendo trminos,

0

1

0

senarctg

senarc +=

Haciendo 0

1

senarc=

Se obtiene:

+= tg

senarc0

Aplicando la funcin sen a ambos miembros

+=

tg

sensenarcsen0

Luego,

+=

tg

sen0

Por tanto, la solucin correspondiente a un oscilador armnico simple es:

( ) += tsen 00 (9) Siendo

g=0

La representacin grfica de la funcin

( ) += tsen 00

24

Puede apreciarse en la fig. (1.2.2-1.4).

Figura (1.2.2-1.4): Elongacin de un M.A.S en funcin del tiempo

El valor de para 0=t se designa por 1 y es igual a sen0 , siendo 0 la amplitud del movimiento y la fase inicial del mismo.

OBSERVACIONES:

1) Las siguientes expresiones son soluciones de la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple

( )( )

( )

+=

+=

+=

tie

t

tsen

00

00

00

cos

2) Para pequeo, cos puede calcularse da la siguiente manera:

25

Usando el teorema de Pitgoras

( ) ( )222 cos sen += Como es pequeo, se hace la aproximacin sen .

Entonces:

( ) ( )222 cos += Despejando cos ,

222cos =

Factorizando 2 se obtiene:

( ) 222 11cos == Simplificando :

21cos =

El desarrollo en serie del binomio de newton es

( )....

!21

!11)1(

2

+

++=+xn

nxn

x n

Reemplazando x por 2 y n por 21

se obtiene

26

( ) ( ) ....!2

121

21

211)1(

2222

12 +

+

+=

Despreciando los trminos que contengan potencias de 4 en adelante, se sigue que

( ) 22122111

Por consiguiente:

22

2111cos ==

3) Si no es pequeo el movimiento NO es armnico simple y se denomina Movimiento Anarmnico. Para este caso el perodo est dado por

+++= ...

2649

24112 0402 pi sensen

gT

Si se toma el primer trmino del desarrollo en serie, el perodo corresponde al de un pndulo simple que se mueve con Movimiento Armnico Simple.

El desarrollo en serie tambin puede escribirse as:

...

243

21

2211 042

3

2

202

2

2

+

+

+

sensen

Para situaciones prcticas, es suficiente tomar los dos primeros trminos del desarrollo en serie, as:

+=

24112 02 pi sen

gT

No obstante, puede substituirse 021 sen por 02

1 , dando por resultado

+= 2016

112 pig

T

4) Puede disearse un pndulo cuyo perodo es independiente de la amplitud y se denomina pndulo cicloidal, cuyo perodo siempre es

gaT pi4= , siendo a el

radio del crculo que genera la cicloide.

27

5) Los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno,

...

!5!3

53 +=sen

...

!4!21cos

42 +=

Pueden obtenerse fcilmente, con la ayuda del teorema de Taylor, de la siguiente manera:

Segn Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) ...0!2

002

+++= fxfxfxf

Para el desarrollo en serie del seno se tiene:

( ) ...0cos!3

0!2

0cos032 ++= sensensen

Sustituyendo los valores de sen 0 y cos 0, se sigue que:

...

!5!3

53 +=sen

Anlogamente, para la funcin coseno se tiene:

( ) ( ) ( )...0!3

0cos!2

00coscos32

sensen +++=

Sustituyendo los valores de 0sen y 0cos se obtiene:

...

!4!21cos

42 +=

6) El exponente complejo se obtiene de la siguiente forma: De acuerdo al desarrollo en serie del coseno

...

!4!21cos

42 += (1)

Segn el desarrollo en serie del seno

...

!5!3

53 +=sen (2)

Multiplicando la expresin (2) por j se tiene:

28

...

!5!3

53 jjjsenj += (3)

Sumando las expresiones (1) y (3), se sigue que

!4!3!21cos

432 ++=+ jjsenj (4)

Recordando que (-1) puede expresarse como 2j , la expresin (4) puede reescribirse del siguiente modo:

( ) ( ) ( )...

!...

!3!21cos

32

n

jjjjsenjn +++++=+ (5)

Donde, precisamente, el miembro de la derecha de la ecuacin (5) tiene la forma del desarrollo de la funcin exponencial, por tanto

jesenj =+cos (6) La ecuacin (6), proporciona una conexin clara entre la geometra plana (representada por las funciones trigonomtricas) y el algebra (representada por la funcin exponencial) como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.5).

Figura (1.2.2-1.5)

Donde,

x0 = Eje real y0 = Eje imaginario

29

A0 = cos

AP = sen

P0 = tiene de longitud la unidad

z multiplicada por je , puede describirse en trminos geomtricos, como una rotacin positiva de valor del vector representado por z , sin ninguna alteracin de su longitud.

1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE DEFINICIN: Es un sistema fsico que consta de una masa m sujeta al extremo de un resorte de constante elstica k , el cual se considera que carece de masa.

Sistema masa resorte


PROCEDIMIENTO: A partir de la segunda ley de Newton, del principio de conservacin de la energa o de algn otro mtodo, se determina la ecuacin diferencial del movimiento. Su solucin es funcin del tiempo y se expresa en trminos de la frecuencia.

PRIMER MTODO A partir de la segunda ley de Newton

30

2

2

dtxd

mamF == (1)

La fuerza ejercida por el resorte, apunta hacia la posicin de equilibrio y est dada por la ley de Hooke.

xkF = (2) Igualando (1) y (2)

xkdt

xdm =2

2

Transponiendo trminos

022

=+ xkdt

xdm

Dividendo por m

022

=+ xm

kdt

xd

Definiendo

20=

m

k

Se sigue que

02022

=+ xdt

xd (3)

Que corresponde a la ecuacin diferencial de un Movimiento Armnico Simple.

Las soluciones de la anterior ecuacin, son armnicas, es decir funciones senos cosenos de t0 .

En general, su solucin puede escribirse en una de las siguientes formas:

x = ( ) +tsenA 0 x = ( ) +tA 0cos (4)

x = ( ) +teA 0

31

Siendo

x = Elongacin

A = Mxima elongacin o amplitud

0 = Frecuencia angular natural

+t0 = Fase del movimiento

x = Fase inicial

El periodo esta dado por:

kmT pi

pi 220

== (5)

SEGUNDO MTODO: De acuerdo al principio de conservacin de la energa,

UKE += (6) La energa cintica k , se define mediante

2

21

vmK = (7)

La energa potencial U , se define mediante

2

21

xkU = (8)

Reemplazando (7) y (8) en (6):

22

21

21

xkvmE += (9)

Para este oscilador la velocidad v est dada por:

dtdx

v =

Por lo tanto la ecuacin (9) puede reescribirse as:

22

21

21

xkdtdx

mE +

=

32

Derivando respecto al tiempo se tiene:

+

=

22

21

21

xkdtdx

mdtd

dtdE

Entonces

+

=

dtdx

xkdt

xddtdx

m21

.221

.20 22

Simplificando y dividiendo por m

xm

kdt

xd+= 2

2

0

Usando la denotacin

m

k=

20


02022

=+ xdt

xd (10)

OBSERVACIONES:

1) Para 0=t , se obtiene la elongacin inicial, as: ( ) senAxx t === 00 (11)

2) Derivando la expresin de x respecto al tiempo, se obtiene la velocidad v , as:

( )( ) ( ) +=+== tAtsenAdtd

dtdx

v 000 cos

Para 0=t , se obtiene la velocidad inicial, as:

( ) cos000 Avv t === (12) 3) La fase inicial x , puede obtenerse en trminos de la elongacin inicial y para

la velocidad inicial, as:

33

De la ecuacin (11): Ax

sen 0= (13)

De la ecuacin (12): A

v

0

0cos

= (14)

Dividiendo la Ec. (13) por la Ec. (14)

0

00

0

0

0

cos v

x

AvAx

sen

==

Por lo tanto

0

00tanv

x =

Entonces,

=

0

001tanv

x (15)

4) La amplitud puede hallarse en trminos de la elongacin y la velocidad inciales, as:

De la ecuacin (13) y la ecuacin (14), se sigue que 2

0

02

022 cos

+

=+

Av

Ax

sen

Usando el valor de la identidad trigonomtrica:

1cos22 =+ sen

Se sigue que:

220

20

2

201

Av

Ax

+=

Despejando :2A

20

202

02

vxA +=

34

Luego:

20

202

0

vxA += (16)

5) La ley de Hooke establece que la fuerza es proporcional al desplazamiento, pero va dirigida en sentido contrario a est.

6) Usando la identidad trigonomtrica

+=

2cos

pi sen

se demuestra que

( ) += tsenAx 0 es completamente equivalente a

( ) += tAx 0cos si se escoge como

2pi +

7) Si el desplazamiento x es una funcin coseno, el desplazamiento tiene su mximo valor para 0=t . El desplazamiento es mnimo para 0=x (cuando

2/0 pi =t ), en el centro de la trayectoria de la oscilacin. 8) Si la velocidad xv es una funcin seno, su valor es cero pero para 0=t . la

velocidad tiene su mxima magnitud A cuando el desplazamiento es A . En otras palabras, la velocidad es mayor cuando el desplazamiento es cero y la velocidad es cero cuando la partcula est lo ms lejos de su posicin de equilibrio.

9) La aceleracin xa es, como el desplazamiento, una funcin coseno; Por consiguiente la aceleracin esta siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria de la oscilacin.

10) La aceleracin tiene su mxima magnitud si est lo ms distante de 0=x (y, por consiguiente, cuando la velocidad es cero). la aceleracin es

cero, cuando el desplazamiento es cero (y por consiguiente, cuando la velocidad es mxima).

11) La aceleracin es proporcional al desplazamiento pero de sentido opuesto. 12) La solucin general de un Movimiento Armnico simple es

35

tDtsenBx 00 cos +=

Donde B y D son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones inciales del movimiento.

Derivando en funcin del tiempo se obtiene la velocidad y la aceleracin, as:

tsenDtBdtdx

v 0000 cos ==

tDtsenBdtdv

a 0200

20 cos ==

En general para 0=t : ( ) Dxx t === 00

( )0

0000

v

BBvv t ====

La eleccin de la forma de la solucin, es normalmente cuestin de conveniencia.

1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO DEFINICIN: Es un sistema fsico, compuesto por un cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la gravedad, como se muestra en la fig. (1.2.2-3)

Figura (1.2.2-3): Pndulo fsico

36


PROCEDIMIENTO: A partir de la ecuacin dinmica de rotacin del cuerpo rgido, se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento correspondiente a un oscilador armnico simple, as:

La componente z del torque actuante sobre el cuerpo es:

senbgmTz = (1) Siendo b la distancia del centro de masa el eje de oscilacin. De la ecuacin dinmica de rotacin

2

2

dtdIITZ

== (2)

Siendo I el momento de inercia del cuerpo, alrededor del eje de oscilacin. Igualando las ecuaciones (1) y (2)

senbgmdtdI =2

2


022

=+ senbgmdtdI

Con la aproximacin sen

Se obtiene

022

=+ bgmdtdI

Dividendo por I se obtiene:

022

== I

bgmdtd

Haciendo

Ibgm

=20

37


02022

=+ dtd

(3)

La frecuencia angular natural de oscilacin est dada por

Ibgm

=0 (4)

Por tanto, el perodo viene dado por

bgmIT pi

pi 220

== (5)

Tngase en cuenta que:

T = Perodo de pndulo compuesto

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de oscilacin. m = Masa total del pndulo

g = Aceleracin de gravedad

b = Distancia del centro de masa al eje de oscilacin.

1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN DEFINICION: Es un sistema fsico que consta de un cuerpo suspendido por un alambre que pasa por el centro de masa del cuerpo, como se muestra en la fig. (1.2.2-4).

Figura (1.2.2-4): Pndulo de torsin. El centro de la masa se encuentra en C.


38

PROCEDIMIENTO: Usando la ecuacin dinmica de rotacin y teniendo en cuenta que cuando el cuerpo se rota un ngulo a partir de su posicin de equilibrio, el alambre se tuerce, ejerciendo un torque alrededor de 0C, que se opone al desplazamiento y su magnitud es proporcional a este KT = , siendo k el coeficiente de torsin del alambre, se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento, as:

De la ecuacin dinmica de rotacin

2

2

dtdII == (1)

Pero

K= (2) Entonces, igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

KdtdI =2

2

Luego,

022

=+ KdtdI

Dividendo por el momento de inercia I , se sigue que:

022

=+ IK

dtd

(3)

La ecuacin (3) corresponde a la ecuacin diferencial del Oscilador Armnico Simple, con

IK

=0 ,

Por lo tanto, el perodo de oscilacin es:

KIT pi

pi 220

== ,

Esta ecuacin es importante porque permite determinar experimentalmente el momento de Inercia de un cuerpo cuando se conoce la constante de torsin K .

39

1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE De acuerdo al principio de conservacin de la energa

UKE += (1) El promedio denotado por:

+= UKE

Usando las propiedades del valor promedio

+= UKE (2)

Consideremos que la elongacin del oscilador armnico es

tsenAx 0=

Entonces, su velocidad es

tAdtdx

v 00 cos ==

Por lo tanto la energa cintica est dada por:

( )200 cos21

tAmK =

Promediando

= tAmK 0222

0 cos21

Teniendo en cuenta que el valor promedio del t02cos es , se sigue que:

2204

1 AmK = (3)

La energa potencial est dada por

tsenAkxkU 0222

21

21

==

Promediando la energa potencial se obtiene:

= tsenAkU 022

21

40

Evaluando el valor promedio de tsen 02 , se tiene:

220

2

41

41 AmAkU == (4)

Reemplazando la ecuacin (3) y la ecuacin (4), en la ecuacin (2), se tiene: 22

022

0 41

41 AmAmE +=

Efectuando la suma,

EAmE == 22021

(5)

Obsrvese que como la energa total es una constante, entonces

EE =

1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE La expresin para la potencia instantnea es:

dtdEP =

Promediando

0===dtdEE

dtdP

La potencia promedio es nula por cuanto la energa es constante.

OBSERVACIN: El promedio ( media) de una funcin )(tf en el tiempo est dado por:

( ) ( ) tdtfT

tfT

0

1

Donde el parntesis angular indica el promedio en el tiempo y T es el perodo de la funcin.

Para el caso de la funcin tsen 02 , tenemos:

tdtsenT

tsenT

02

00

2 1 =

41

Pero

( )22cos1 0

02 ttsen

=

Entonces,

( )tdt

Ttsen

T

22cos11 0

00

2

=

Luego

tdtT

tdT

tsenTT

000

02 2cos

211

211

=

Evaluando las integrales

21

211

02

=

= T

Ttsen

Tngase en cuenta que

[ ]TT

tsentdt 000

00

2212cos

=

Reemplazando por los lmites de la integral

( )[ ]022

12cos 00

00

senTsentdtT

=

0

Entonces

042122

212cos

000

0

=== pipi

sensentdto

o

1.2.5 ANALOGA ELCTRICAError! Marcador no definido. El sistema elctrico anlogo a un oscilador armnico simple mecnico, es un circuito LC , tambin llamado circuito tanque. El circuito consta de un condensador C , un inductor L y un interruptor dispuesto en serie como se muestra en la fig. (1.2.4)

42

Figura (1.2.4): Circuito LC en serie

OBJETIVO: Determinar la frecuencia natural de oscilacin.

PROCEDIMIENTO: A partir de la ley de Kirchhoff de voltaje se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple. Su solucin consiste en encontrar la carga sobre el condensador cuando el interruptor se cierra en 0=t , teniendo en cuenta que el condensador tiene inicialmente una carga 0q .

Empleando la ley de Kirchhoff de voltajes se obtiene:

0=+dtdiL

Cq

(1)

Teniendo en cuenta que:

dtdqi =

Reemplazando el valor de i en la ecuacin (1) se sigue que:

022

=+Cq

dtqdL (2)

Dividendo la ecuacin (2) por L se obtiene:

0122

=

+ q

LCdtqd

(3)

Definiendo:

43

LC12

0 =

Se llega a la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple:

02022

=+ qdt

qd (4)

Siendo LC/10 = la frecuencia angular natural del sistema.

La solucin general de la ecuacin (4) es: ( ) tBtsenAtq 00 cos += (5) Teniendo en cuenta que en 0=t , 0qq = se sigue que:

Bqq t === 0)0(

Adems, en 0=t , 0== idtdq

por lo tanto,

tsenBtAdtdqi 0000 cos ==

( ) ( ) 000cos 00000

==

=

senBAdtdq

t

Por consiguiente 0=A

Entonces

( ) tLC

BtBtq 1coscos 0 == (6)

1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO La mayor parte de sistemas de ingeniera, durante su movimiento oscilatorio, experimentan friccin rozamiento que construya una forma de amortiguamiento. Existe la friccin seca de coulomb originada entre superficies deslizantes secas, donde la fuerza de rozamiento es constante NF = .

Existe friccin viscosa, ejercida por fluidos, la cual es en muchos casos proporcional a la velocidad, pero dirigida en sentido opuesto a ella ( )vvbF == .

44

Si el amortiguamiento es fuerte, el movimiento se denomina sobreamortiguado y no presenta oscilacin. Si el amortiguamiento es pequeo, el movimiento se llama subamortiguado, en cuyo caso la oscilacin es posible.

1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA Forma parte de una de las cuatro principales fuerzas de resistencia, a saber:

1) Resistencia de friccin, debida ala resistencia de Coulomb ordinaria en vas o correderas.

2) Resistencia del medio fluido en que el cuerpo se mueve. 3) Resistencia de estela, debida a la formacin de torbellinos en el medio

fluido detrs del mvil.

4) Resistencia de onda, debida a la formacin de ondas radiadas, desde el mvil al medio que la rodea.

La mayora de los sistemas de ingeniera, durante su movimiento vibratorio, encuentran friccin o resistencia en forma de amortiguamiento, tal es el caso de barcos de agua, de aviones y de proyectiles en el aire.

DEFINICIN: Es una fuerza resistente que es funcin de la velocidad relativa del cuerpo respecto al medio fluido y que siempre se opone al movimiento.

En general,

dtdxbvbvF f ===

Siendo ( )b= una constante positiva denominada coeficiente de amortiguamiento.

La ecuacin de movimiento de una partcula, que se mueve nicamente bajo la accin de una fuerza de friccin viscosa, se obtiene de la siguiente manera: A partir de la segunda ley de Newton:

2

2

dtxd

mamF == (1)

De la ecuacin dinmica de translacin se sigue que

2

2

dtxd

mdtdxbFF === (2)

Que puede reescribirse como:

45

vbdtdv

m = (3)

Separando variables

tdm

bv

dv= ,

Integrando se obtiene:

=tv

v

tdm

bv

dv00

, (4)

En donde 0v es la velocidad para 0=t

Evaluando las integrales se sigue que

[ ] tm

bvn

v

v=

0

Por tanto, teniendo en cuenta los lmites de integracin se obtiene:

tm

bvnvn = 0

Usando propiedades logartmicas

tm

bv

vn =

0

Y definiendo la constante T , llamada tiempo de relajacin, por la relacin

bm

,

Se obtiene

t

v

vn =

0

Por consiguiente ( ) ( )// 0 tvvn ee =

46

Teniendo en cuenta la propiedad de los logaritmos naturales: ( )

,Ne Nn = se sigue que:

/

0

te

v

v

=

Despejando v se obtiene:

/0

tevv = (5)

La ecuacin (5) pone de manifiesto que la velocidad disminuye exponencialmente con el tiempo, siendo amortiguada por la constante de tiempo . La fig. (1.3.1) muestra la grfica de la evolucin en funcin del tiempo, dad por la ecuacin (5).

Figura (1.3.1): Grfica de la expresin funcional t

evv 0=

El tiempo de relajacin efectivo para la energa cintica se obtiene de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta que la disminucin de energa cintica de una partcula, viene dada segn la ecuacin (5) por:

47

( )TtevmvmK /220

2

21

21

==

Definiendo 0K por:

200 2

1vmK =

Se puede escribir K , mediante: ( )/2

0t

eKK =

Diferenciando mediante el tiempo:

( )/20

2 te

TK

dtdK

=

Por consiguiente

==

2

2

KKdTdK

Que se muestra claramente que el tiempo de relajacin efectivo es:

2

1.3.2 ANALOGA ELCTRICA: El circuito elctrico anlogo al sistema mecnico consistente de una masa sometida a una fuerza de friccin viscosa, es un circuito RL , como lo ilustra la figura (1.3.2-1) Al quitar bruscamente la tensin aplicada al circuito, cambiando el conmutador de A a B , la ecuacin que describe el circuito, se obtiene as:

48

Figura (1.3.2-1) Circuito RL en serie

A partir de la ley de Kirchhoff de voltajes:

dtdiLRi +=0 (1)

Separando variables

tdLR

idi

= ,

Integrando se sigue que

= tdLR

idi

Estableciendo la condicin inicial que para 0,0 Iit == , se obtiene:

=ti

I

tdLR

idi

00

Efectuando la integral

[ ] tLRi iI =0ln

Reemplazando por las fronteras indicadas

49

tLRIi = 0lnln

Usando propiedades de los logaritmos, se encuentran que:

tLR

Ii

=

0

ln

Aplicando antilogaritmo

( ) tLReIi

=

0,

Despejando i :

( ) tLReIi /0

= (2)

Haciendo uso de la definicin del tiempo de relajacin:

RL

=

Se obtiene

( )/0

teIi = (3) La grfica correspondiente a la ecuacin 83), est dada la fig. (1.3.2-2).

Figura (1.3.2-2) Grafica de la expresin funcional /0 ieIi =

50

1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L) DESCRIPCIN: Un sistema fsico que describa este movimiento, est formado por una partcula oscilante de masa m que efecta su movimiento a lo largo del eje x , bajo la accin de la fuerza de un resorte de constante k y de una fuerza amortiguadora que denominaremos fuerza de friccin viscosa, con coeficiente de amortiguamiento ( )b= , como lo ilustra la figura (1.4).

Figura (1.4-1) Oscilador Armnico Amortiguado Libre.

OBJETIVOS:

1) Determinar la frecuencia angular de amortiguamiento. 2) Diferencial las soluciones y naturaleza del movimiento mediante el

anlisis del discriminante 202 de la ecuacin caracterstica.

3) Distinguir los diferentes casos: Subamortiguado, crticamente amortiguado y sobreamortiguado, que son conocidos con los nombres de: Movimiento oscilatorio amortiguado, movimiento aperidico critico y movimiento aperidico.

4) Reconocer las graficas de las elongaciones contra el tiempo para los diferentes casos

PROCEDIMIENTO: A partir de la Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un Oscilador Armnico Amortiguado Libre (O.A.A.L.). Se toma una solucin de prueba y se sustituye en la ecuacin diferencial obtenida, encontrndose la ecuacin caracterstica que tiene dos soluciones que nos permiten determinar La solucin general de la ecuacin diferencial de un Oscilador Armnico Libre, como puede verse a continuacin.

A partir de la Segunda Ley de Newton:

51

amF = (1) Por tanto

amvbxk =

Usando las definiciones de velocidad y aceleracin para un movimiento lineal, se sigue que

2

2

dtxd

mdtdxbxk =


022

=++ xkdtdxb

dtxd

m (2)

Dividendo por m

022

=++ xm

kdtdx

m

bdt

xd

Haciendo uso de las definiciones

m

k=

20 y

m

b=2

se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico amortiguado libre

02 2022

=++ xdtdx

dtxd

(3)

Tomando como solucin de prueba

treAx=

Y reemplazando en la ecuacin (3), se obtiene:

02 2022

=++ rtrtrt

eAtdeAd

tdeAd

Efectuando la derivada:

02 202

=++ rtrtrt eAeAreAr

52

Simplificando por rteA se obtiene la ecuacin caracterstica

02 202

=++ rr (4) La ecuacin (4), tiene dos soluciones o races, a saber:

( )2

422 202

21

=

+

r (5)

Es decir,

20

21 +=r , y 2022 =r (6)

Por lo tanto, la solucin de la ecuacin diferencial de movimiento es:

trtreAeAx 21 21 += (7)

Reemplazando los valores de las races se obtiene:

tteAeAx

++=

20

220

2

21

(8)

CASOS:

Los tres posibles casos que aparecen, obedecen al valor del discriminante, es decir, al valor del binomio, 202 que aparece bajo el signo radical en las races dadas por la ecuacin (6). Tngase en cuenta que:

1) Si 202 es una cantidad positiva, las races son reales y desiguales. En tal caso el movimiento se denomina sobreamortiguado.

2) Si 202 es una cantidad negativa, las races son imaginarias y desiguales. En este caso el movimiento se denomina subamortiguado.

3) Si 202 es cero, las races son reales e iguales. En este caso el movimiento se denomina crticamente amortiguado.

1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO: Se presenta cuando 202 0, es decir 2

20 . Haciendo las races

iguales a 1 y 2 , se tiene:

53

20

21 +=

20

22 =

Siendo 1 y 2 nmeros reales positivos. Por consiguiente

tteAeA 21 21

+= (1)

Este caso se conoce como caso de pulso muerto o movimiento aperidico. La amplitud se aproxima exponencialmente a cero conforme crece y no se efecta ninguna oscilacin como puede observarse en el grafico mostrado en la fig. (1.4.1).

Figura (1.4.1) Grafica de x contra el tiempo para el caso sobre amortiguado.

El desplazamiento inicial 0x se obtiene para 0=t , as:

( ) 210

20

100 AAeAeAxx t +=+=== (2)

Para obtener los valores de 1A y 2A se procede de la siguiente manera:

Derivando la expresin (1) se obtiene la expresin para la velocidad, as:

tteAeA

dtdx

v 21 2211

== (3)

Denotando por 0v el valor de la velocidad para 0=t se tiene:

022

0110)0( eAeAvv t ===

Pero 10 =e , entonces:

22110 AAv = (4)

54

Despejando 2A de la ecuacin (2) se sigue que

102 AxA =

Reemplazando en la ecuacin (4) ( )102110 AxAv =

Factorizando 1A se tiene:

( ) 021210 xAv += Despejando 1A , se sigue que:

12

0201

+=

xvA (5)

Anlogamente, despejando 1A de la ecuacin (2), se tiene:

201 AxA =

Reemplazando en la ecuacin (4) ( ) 222010 AAxv =

Factorizando 2A se sigue que:

( ) 012120 xAv = Despejando 2A se obtiene:

21

0102

+=

xvA (6)

1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO Se presenta cuando el discriminante 0202 , es decir 202 .

Para este caso tngase en cuenta que:

( ) ( ) 220220202 11 == 220202 = j Por tanto la ecuacin (1) puede escribirse como:

tjtjeAeAx

++=

220

220

'

2'

1

55

Factorizando te :

+= tjtjt eAeAex

220

220 '

2'

1

Usando un teorema de Euler:

[ ] [ ]( )tsenjtAtsenjtAex t 220220'2220220'1 coscos ++= Factorizando se sigue que:

( ) ( )( )tsenAAjtAAex t 220'2'1220'2'1 cos ++= Para que el desplazamiento de un problema fsico resulte real '2'1 AA + y ( )'2'1 AAj deben ser reales, por tanto '1A y '2A deben ser nmeros complejos conjugados. Haciendo

'

2'

11 AAA +=

( )'2'12 AAjA = , en donde 1A y 2A son reales, se obtiene la siguiente solucin:

[ ]tsenAtAex t 22022201 cos += (7) Que pueden escribirse mediante

( ) = teAx t 220cos (8)

( ) += tseneAx t 220 (9) Dnde 2/pi += . En la expresin anterior A y quedan determinador por las condiciones inciales 0x y 0v as:

Para 0=

t ( ) senAxx t === 00 (10) Derivando la ecuacin (9):

56

( ) ( )[ ]tt etsenteAdtdx

v ++== 220220220 cos

Por tanto, para 0=t :

( ) [ ] senAvv t === cos22000 (11) De la ecuacin (10):

Ax

sen 0= (12)

De la ecuacin (11):

220

00cos

+=

A

xv (13)

Dividiendo la ecuacin (12) por la ecuacin (13) se sigue que:

00

2200tan

xv

x

+

=

Elevando las ecuaciones (12) y (13) al cuadrado se obtiene:

2

202

Ax

sen = (14)

( )( )2202

2002cos

+=

Axv

(15)

Sumando las ecuaciones (14) y (15) se llega a: ( )

( )22022

0221

++=

Axv

Ax

Despejando 2A : ( )

220

202

02

++=

xvxA

Sacando la raz cuadrada a ambos miembros, se tiene:

( )22

0

2002

0

++=

xvxA (16)

57

La representacin grafica de la solucin general dada por la ecuacin (9), se muestra en la fig. (1.4.2).

Figura (1.4.2) Grfica de x contra t para el caso subamortiguado.

El momento no es peridico, ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen. Sin embargo, como los periodos de ciclo sucesivos son iguales, este movimiento se denomina movimiento con tiempo peridico o movimiento oscilatorio amortiguado, siendo el periodo:

220

2

pi

=T (17)

Este periodo es tambin llamado seudoperodo y suele expresarse como:

( )[ ] 2/12020 /12

pi

=T (18)

Como el periodo propio del sistema est dado por:

00

2

pi=T (19)

La ecuacin (18), se expresa en funcin del periodo propio mediante:

58

( )[ ] 2/12020

/1 =

TT

DECREMENTO LOGARTMICO: El decremento logartmico, se define como el logaritmo natural de la razn entre dos amplitudes sucesivas.

La razn entre dos amplitudes sucesivas, pueden expresarse mediante:

( )Ttt

m

m

eAeA

x

x+

=

Simplificando por A y reemplazando el valor de T dado por la ecuacin (17), se sigue que:

22/21

pi

+

=

ee

e

x

x

t

t

m

m

Simplificando por te , se obtiene:

pi eex

x

m

m==

+

220/2

1

Donde el decremento logartmico est dado por:

2201

2ln

pi

=

=

+m

m

x

x (22)

Para el caso en el cual la disminucin de la amplitud es pequea

+=

+=

x

xn

x

xxn 1

Utilizando el desarrollo en serie

....,

31

211

32

+

=

+

x

x

x

x

x

x

x

xn

En donde, teniendo en cuenta que: xx

59

x

x (23)

1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO:

Se presenta cuando 0220 = , es decir 202 = , o sea 0

02Tpi

== .

La solucin de la ecuacin diferencial de movimiento est dada por:

( ) teAtAx += 21 (24) La velocidad est dada por:

( ) teAtAdtd

dtdx

v +== 21

Luego:

( ) ( ) 121 AeeAtAv tt ++= ( ) teAtAAv = 211

Teniendo en cuenta que para 0=t :

210 AAvv == (25) 20 Axx == (26) Entonces, reemplazando (26) en (25) se sigue que:

010 xAv =

Despejando 1A , se obtiene: 001 xvA += (27) Reemplazando (26) y (27) en (24), se obtiene:

( )[ ] textxvx ++= 000

60

La expresin anterior significa que x es siempre positivo y tiende hacia cero cuando t aumenta indefinidamente, como se puede apreciar en la figura (1.4.3).

Figura (1.4.3) Grfica de la elongacin contra el tiempo correspondiente a un oscilador crticamente amortiguado.

CASOS PARTICULARES:

Si consideramos dos grupos, de condiciones inciales, dada por:

GRUPO (1): 0xx = ; 0=v GRUPO (2): 0=x ; 0vv = Las soluciones para los diferentes casos del movimiento armnico amortiguado libre se pueden escribir de la manera, que a continuacin se deduce:

- Para el CASO SOBREAMORTIGUADO la solucin general est dada por:

tteAeAx 20 21

+= (1)

Si aplicamos el grupo (1) se condiciones inciales, se tiene: ( ) 2100 AAxx t +=== (2) Adems,

tteAeA

dtdx

v 21 2211 ==

( ) 22110 0 AAv t === (3)

61

De las ecuaciones (2) y (3) podemos encontrar los valores 1A y 2A de la siguiente forma:

Multiplicando la ecuacin (2) por 1 , se obtiene: 211101 AAx += (4) Sumando la ecuacin (3) con la ecuacin (4), se sigue que:

( ) 22101 Ax =

021

12 xA

= (5)

Multiplicando la ecuacin (2) por 2 se obtiene: 221202 AA += (6) Sumando la ecuacin (6) con la ecuacin (3) se sigue que:

( ) 11202 Ax =

012

21

=A (7)

Reemplazando las ecuaciones (5) y (7) en la ecuacin (1) se obtiene:

ttexexx 21 0

21

10

12

2

+

=

( )tt eexx 21 1212

0

= (8)

Para el grupo (2) de condiciones inciales, se tiene: ( ) 210 0 AAx t +=== (9)

( ) 221100 AAvv t === (10)

Multiplicando la ecuacin (9) por 1 , se sigue que: 21110 AA += (11) Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (11) se obtiene:

62

( ) ( ) 2210 Av (12)

21

02

=

vA (13)

Multiplicando la ecuacin (9) por 2 , se sigue que: 22120 AA += (14) Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (14) se obtiene: ( ) 1120 Av = (15)

12

02

=

vA (16)

Reemplazando la ecuacin (13) y la ecuacin (16), en la ecuacin (1) se obtiene:

tt ev

ev

x 21

21

0

12

0

+

= (17)

( )tt eevx 2112

0

= (18)

- Para el caso SUBAMORTIGUADO, la solucin general est dada por:

( ) += tseneAx t 220 (1) Haciendo la siguiente denotacin:

220 =d

Se obtiene:

( ) += tseneAx dt (2) Usando el grupo (1) de condiciones inciales, se sigue que: ( ) senAxx t === 00 (3)

Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo se obtiene:

63

( ) ( )[ ] ++== tseneteAtdxd

v dt

ddt cos

( ) [ ] senAv dt === cos00 cosdsen = (4)

dsen=

cos

d=tan (5)

La ecuacin (2) puede escribirse mediante: [ ] senttseneAx ddt coscos += (6) Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en La ecuacin (6) se sigue que:

( ) ( ) ( )

+=

Ax

tsen

tseneAx dd

dt 0cos

( ) ( )

+=

Ax

tA

xtseneAx d

dd

t 00 cos

+= ttsenexx dd

d

t

cos0 (7)

Usando el grupo (2) de condiciones inciales, se sigue que:

( )0

0 000 ===== sensenAx t

Adems:

( ) [ ] senAvv dt === cos00 Pero: 1cos0 == sen

Por tanto:

dd AAv == cos0

64

d

vA

0=

Luego:

( )tsenevx dtd

=

0 (8)

- Para el caso CRITICAMENTE AMORTIGUANDO, la solucin general est dada por:

( ) teAtAx += 21 (9) Usando el grupo (1) de condiciones inciales se tiene: 20 Axx == (10) Derivando la ecuacin (9) respecto al tiempo se tiene:

( ) ( ) 121 AeeAtAtdxd

v tt ++==

( ) 120 0 AAv t +=== (11)

021 xAA == (12) Reemplazando las ecuaciones (12) y (10) en la ecuacin (9) se llega a: ( ) textxx += 00 (13) ( ) tetxx += 10 (14) Usando el grupo (2) de condiciones inciales se tiene: ( ) 20 0 Ax t === (15)

Adems

( ) 11200 AAAvv t =+=== (16)

Luego tetvx = 0

Los casos particulares anteriormente descritos, se presentan grficamente en la figura (1.4.2).

66

1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA: La energa promedio correspondiente a un oscilador Armnico Amortiguado Libre, para el caso limite de amortiguamiento dbil es decir, cuando 10 T , de manera que ;0 d est dada por:

+=+= UKUKE (1) += UKE (2)

+= 2221

21

xkvmE (3)

Para el caso subamortiguado la solucin o respuesta est dada por:

( ) += tseneAx t 220 Usando la siguiente denotacin

20

2

020

220

220 11

=

==d

Y teniendo en cuenta que por definicin

21

=

Entonces

Si 10 >> , se obtiene el caso dbilmente amortiguado, para el cual 0 d , entonces la solucin es:

( ) += tseneAx t 0 (4) Derivando respecto al tiempo se obtiene:

( ) ( )[ ] ++= tseneteAdtdx

v tt 000 cos

2/12

00 2

11

=

d

67

( ) ( )[ ] 2000222 cos ++= tsenteAv t Luego la energa cintica promedio a lo largo del tiempo en un ciclo es:

( ) ( )( ) ( )++

+++

tsent

tsenteAmK t

000

022

022

022

cos2

cos21

])()(cos2)()(cos[

21

000

022

022

022

++

+++

tsent

tsenteAmK t

+

21

21

21 22

022 teAmK

( )2202241 + teAmK

Pero:

20

220

220 2

1

=

+=+

En donde se ha supuesto que ( )22/1 es despreciable respecto a 20 , entonces:

teAmK 22204

1

(5)

El promedio de la energa potencial energa potencial media es:

( ) += tseneAkU t 022221

(6)

Pero 20mk =

Entonces

( ) += tseneAmU t 02222021

Obsrvese que el factor te 2 se ha sacado del parntesis angular, por cuanto teA 22 no cambia mucho en un ciclo del movimiento, por tanto,

68

teAmU 22204

1

(7)

Reemplazando la ecuacin (5) y la ecuacin (7) en la ecuacin (1), se sigue que

tteAmeAmE 2220

2220 4

141

+ (8)

teAmE 22202

1

(9)

La potencia media disipada est dada por la variacin de energa por unidad de tiempo con signo negativo:

== teAm

dtdE

dtdP 22202

1

=

= EeAmP t 2

212 2220

La potencia media disipada, tambin puede obtenerse hallando la media del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento por unidad de tiempo, con signo menos:

== 2vbvFP f

( ) ( )[ ] ++= 200022 cos tsenteAbP t ( ) ( )

( ) ( ) ++++

tsent

tsenteAbP t

000

022

022

022

cos2cos

22

22022 teAbP ;

Pero mb 2= y ( ) 20220 , entonces =

EeAmPt

22

222

20 ,

Como

12 = , se obtiene:

69

EP

1

1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q El factor de calidad Q de un sistema oscilatorio se define como pi2 veces la razn entre la energa promedio almacenada en un ciclo y la prdida media de energa en un periodo.

=

periodounenenergiadePrdidaakmacenadaEnergiaQ pi2

=

=

=

PEf

Pf

ETP

EQ pipipi 2122

=

PEQ

La Q (Calidad cualidad caracterstica) de un oscilador es un parmetro sin dimensiones.

Para un oscilador dbilmente amortiguado, es decir para el caso de bajas perdidas de energa, puede hacerse la aproximacin 0 : Por tanto

00 =

=

PEQ

En donde se ha hecho uso de la demostracin presentada en la seccin (1.4.4), en la que se muestra que

=

PE

Siendo el tiempo de vida ( constante de tiempo) del decaimiento del oscilador.

Teniendo en cuenta que 2/1= , para fines prcticos se usa la definicin

( ) 2/100

22

=Q

70

Siendo,

0 = Frecuencia angular de resonancia.

( ) 2/12 = Anchura completa de frecuencia angular a la mitad de potencia mxima.

Q mide la agudeza del ajuste o sinfona. Los valores de Q de algunos sistemas interesantes se muestran en la tabla (1.4.5). Tabla 1.4.5

Orden de magnitud de los valores de Q de algunos sistemas importantes 0f es la frecuencia de resonancia aproximada del oscilador.

Sistema )(0 zHf Q

El sismgrafo 0.1 1

La tierra, para ondas ssmicas. 250 1400

Cuerda de piano o de violn. 103

La luna [ obtenido del impacto del mdulo lunar Apolo 12]. 1 a 6 104

Resonador de microondas de

cavidad de cobre. 104

Cavidad de resonancia de microondas

hecha de material superconductor. 109 a 1010 106 a 107

71

Lnea ptica tpica omitida por

osciladores atmicos de un tubo de

descarga a baja presin. 5 X 1014 107

Cavidad laser formada por dos

espejos uno al frente del otro. 1014 a 1015 108 a 109

1.4.6 ANALOGA ELCTRICA: El oscilador elctrico anlogo a un oscilador mecnico armnico amortiguado libre, est formado por una resistencia R , una autoinduccin L y un condensador c , conectados en serie como se muestra en la fig. (1.4.6-1) Usando la ley de Kirchhoff de voltajes se tiene:

0=++c

qdtdiLiR (1)

Figura (1.4.6-1) circuito RLC en serie

Pero dtdqi = , entonces reemplazando en (1) se sigue que:

0122

=++ qctd

qdRtdqdL (2)

Que tiene idntica k a la ecuacin del O.A.A.L. mecnico, dada por:

72

022

=++ xktdxdb

tdxd

m (3)

Dividendo por L , se sigue que:

0122

=++ qLCtd

qdLR

tdqd

(4)

Pero la ecuacin de un O.A.A.L. mecnico se puede escribir mediante:

02 2022

=++ xtdxd

tdxd

(5)

Entonces, comparando la ecuacin (4) con la ecuacin (5) se concluye que:

LC12

0 = y LR

=2 (6)

La tabla (1.4.6) muestra la analoga fuerza tensin, la cual se obtiene de comparar la ecuacin (2) con la ecuacin (3).

TABLA 1.4.6

SISTEMA MECNICO

SISTEMA ELCTRICO (ANALOGA FUERZA TENSIN)

m Masa (Kg)

L Autoinduccin (Henrio)

x Desplazamiento (m)

q Carga (Culombio)

v Velocidad (m/s)

i Corriente (A)

Coeficiente de amortiguamiento

(N-s/m)

R Resistencia (Ohmio)

Constante elstica (N/m)

C1

Inverso de la capacitancia ( 1F )

73

Usando la analoga se puede establecer que la solucin de la ecuacin (4) es:

+

=

tL

RLC

seneqqt

LR 2

20 2

1 (7)

La derivada de la ecuacin (1) con respecto al tiempo es:

0122

=++ ictd

idRtdidL

(8)

Dividendo por L se sigue que:

0122

=++ iCLtd

idLR

tdid

(9)

Teniendo en cuenta que ( ) 2/10 /1 LC= y que LR

=2 , la ecuacin (9) se puede escribir en forma ms concisa mediante

02 2022

=++ itdid

tdid

(10)

Para resolver esta ecuacin usaremos la funcin de prueba

( ) +=

tjeIi 0 (11)

Donde 0I es la amplitud y es la fase, las cuales deben ser cantidades reales.


( ) += tjeIjdtdi

0 (12)

Derivando nuevamente respecto al tiempo se sigue que:

( ) += tjeIdt

id0

22

2

(13)

74

Reemplazando las ecuaciones (11), (12) y (13) en la ecuacin (10), se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) 02 020002 =++ +++ tjtjtj eIeIjeI

( ) ( ) 02 0202 =++ + tjeIj (14) Que se satisface para la solucin trivial 00 =I

Si la amplitud es finita, necesariamente se requiere que:

02 202

=++ j (15)

Multiplicando por (-1) se sigue que:

02 202

= j (16)

La solucin de la ecuacin (16) es:

2442 20

2

+=

+

j (17)

220 = +j (18)

De este resultado surgen dos casos importantes, dando un comportamiento fsico totalmente diferente. Uno es cuando es complejo, que ocurre cuando

,22

0 o equivalentemente 2

21

LR

LC, que corresponde al caso

subamortiguado. El otro es cuando 220 , en el que es puramente imaginario y se denomina caso sobreamortiguado.

- CASO SUBAMORTIGUADO:

Tomando la solucin positiva de la ecuacin (18) (igualmente podra servir la solucin negativa sin cambio en la respuesta), substituyndola en la ecuacin (11) y tomando la parte real (puesto que solamente la parte real tiene significado fsico para nosotros) llegamos al resultado siguiente:

( ) += teIi t cos0 (19) Donde por brevedad hemos escrito

75

2

222

0 41

LR

LC

==

La ecuacin (19) se obtiene de la siguiente manera: De la ecuacin (11) se sabe que:

( ) +=

tjeIi 0

La solucin positiva de la ecuacin (18) es: 22

0 += j

Reemplazando este valor de en la solucin anterior es obtener:

+

+

=

tjjeIi

220

0

Que puede volverse a escribir mediante:

+

=

tjt eeIi22

0

0

Tomando la parte real se obtiene:

( ) += teIi t 2200 cos La forma esencial de este resultado indica que la amplitud de la corriente

decrece exponencialmente. Adems, la frecuencia angular de oscilacin diferente de 0 , la frecuencia angular natural de oscilacin o frecuencia angular sin amortiguamiento. Sin embargo, cuando R no es demasiado grande, no se aparta en forma significante de 0 . La figura (1.4.6-2), ilustra la variacin de la corriente con el tiempo: 0=t es el tiempo para el cual el interruptor se cierra para completar el circuito.

La lnea punteada muestra el decrecimiento de la amplitud en funcin del tiempo.

La energa total almacenada en el sistema en un tiempo cualquiera es:

76

).(21)(

21)( 22 tvCtiLtu +=

Figura (1.4.6-2) Oscilaciones amortiguadas de la corriente en un circuito RLC en serie. La fase de la ecuacin (19) se tomo igual a 2/pi , as que para 0=t 0=i .

- CASO SOBREAMORTIGUADO:

El movimiento oscilatorio de un oscilador armnico cesa cuando la frecuencia angular , dada por la ecuacin (18) es puramente imaginaria, as que en tal caso la parte real del exponencial complejo je se convierte en una funcin mono tnicamente decreciente.

A primera vista la ecuacin (18), muestra que el principio del movimiento no oscilatorio ocurre cuando el amortiguamiento ha aumentado al punto en donde.

222

0 21

==

LR

LC

CLR =

77

Cuando esta situacin prevalece se dice que el sistema esta crticamente amortiguado. La solucin de la ecuacin (10) viene a ser ahora

( ) tetBAi +=

Donde A y B son constantes que estn determinadas por las condiciones inciales.

1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F) Cuando sobre un sistema est actuando una fuerza externa de la forma

( ) tsenFtF 0= o tFF cos0= , durante su movimiento vibratorio, la vibracin se denomina forzada. La respuesta de vibracin tiene lugar al a misma frecuencia de excitacin, aunque el sistema tambin tiende a vibrar en su propia frecuencia natural.

Las excitaciones armnicas generalmente son producidas por el desbalance en las mquinas rotatorias o por el movimiento de la maquina misma.

Consideramos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armnica tsenF 0 , como se indica en la figura (1.5-1).

Figura (1.5-1) Oscilador Armnico Amortiguado forzado

Su ecuacin de movimiento es:

( ) 22

:dt

xdmFFFamF toraamortiguadresorte =++= (1)

En donde

78

dtdxbF

xkF

oraamortiguad

resorte

=

=

( ) tsenFtF 0aplicadaexterior Fuerza == Por lo tanto,

( ) 22

tdxd

mtFtdxdbxk =+

tsenFxkdtdxb

dtxd

m 02

2

=++ (2)

Dividendo por m se obtiene:

tsenm

Fx

m

kdtdx

m

bdt

xd02

2

=++ (3)

tsenm

Fx

dtdx

dtxd

02022

2 =++ (4)

La solucin de esta ecuacin consta de dos partes, la solucin complementaria y la solucin particular, por lo tanto,

pc xxx += (5)

La solucin complementaria es la correspondiente al caso de la vibracin libre amortiguada y la solucin de prueba para la solucin particular es

( ) += tsenAx p 0 (6) En donde 0A y se determinan de manera que se satisfaga la ecuacin diferencial, teniendo en cuenta que 0A es la amplitud de la oscilacin y , es la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.


( ) += tAdt

dx pcos0

(7)


79

( ) += tsenAdt

xd p0

22

2

(8)

Reemplazando las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuacin (4) se sigue que

( ) ( ) ( )tsen

m

FtsenAtAtsenA

0

02000

2 cos2

=

+++++

(9)

Factorizando la amplitud 0A y expandiendo las funciones ( ) +tsen y ( ) +tcos

se obtiene:

( ) ( )( ) tsen

m

Fsentsent

senttsenA

0

2200

]coscos2

coscos[

=

++

(10)

Factorizando tsen y tcos se sigue que:

( )( ) tsen

m

Ftsen

tsensenA

0220

2200

}cos]

cos2[]2cos[{

=

++

(11)

La ecuacin (11) se satisface si el coeficiente de tcos es cero, por tanto

( ) 0]cos2[ 2200 =+ senA (12) Pero 0A no es cero, luego:

( ) 0]cos2[ 220 =+ sen (13)

( ) cos2220 = sen (14) 2

0222

0

22cos

=

=

sen (15)

=

=

20

21

20

22

tan2

tan

(16)

Igualando los coeficientes de tsen se sigue que:

80

( )m

FsenA 02200 ]2cos[ =

(17)

( )( ) sen

mFA2cos

/22

0

00

= (18)

Pero de la ecuacin (15) se puede construir el triangulo mostrado en la fig. (1.5-2), que permite obtener las funciones sen y cos , as:

Figura (1.5-2) Triangulo rectngulo que permite determinar las funciones sen y cos

( ) ( )22220 22

+

=sen (19)

( )( ) ( )22220

220

2cos

+

= (20)

Reemplazando las ecuaciones (19) y (20) en la ecuacin (18) se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )222202222022

0220

0

0

2

222

++

+

=m

F

A (21)

( )( ) ( )( ) ( )22220

2220

00

2

2/

+

+=

mFA (22)

81

( )( ) ( )22220

00

2

/

+=

mFA (23)

Siendo 0A la amplitud del movimiento.

La respuesta ( desplazamiento px ) del sistema es:

( )( ) ( )

++

= 2202

2220

0 2tan2

/

arctsen

mFx p

(24)

Otra forma de obtener la amplitud 0A y la fase de la solucin particular o solucin de estado estacionario, es la siguiente:

Tomando la ecuacin (9) y haciendo )( +t sucesivamente igual a 0 y a 2/pi

tenemos:

senm

FA 002 = (25)

( ) pi cos2

000

220

m

Fsen

m

FA =

=

(26)

Tngase en cuenta que en la ecuacin (25) se hizo uso de la relacin:

==+ tt 0 (27)

Anlogamente en la ecuacin (26) se empleo la relacin

22pipi +==+ tt

(28)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (25) y (26) se obtiene:

( ) 22

0202 sen

m

FA

=

(29)

( ) 220202220 cos

=

m

FA (30)

Sumando las ecuaciones (29) y (30) miembro a miembro se sigue que:

( ) ( ) 202022220 ]2[

=+

m

FA (31)

82

Despejando 0A de la ecuacin (31) se obtiene:

( )( ) ( )22220

00

2

/

+=

mFA (32)

Dividiendo miembro a miembro la ecuacin (25) y la ecuacin (26) se sigue que:

220

2tan

= (33)

= 220

2tan

arc (34)

Por tanto, la solucin particular px o solucin de estado estacionario de la ecuacin diferencial de un oscilador armnico forzado (O.A.A.F) es:

( ) ( ) ]2

tan[2

2202

2220

0

++

=

arctsenm

F

x p (35)

La solucin completa de la ecuacin diferencial de un (O.A.A.F) es:

( )( )

( ) ( ) ( )

++

++=

tsenmF

tseneAx t

22220

0

220

2

/ (36)

La solucin complementaria, suponiendo sub-amortiguamiento, depende de las condiciones inciales y se disipa exponencialmente. La solucin particular representa efectos para un tiempo grande comparando con /1 .

El primer trmino, llamado transitorio, se disipa exponencialmente, quedando solamente el segundo termino llamado de estado permanente.

La figura (1.5-3) muestra la grafica de la elongacin en funcin del tiempo para un O.A.A.F., dada por la ecuacin (36).

83

Figura (1.5-3) Elongacin en funcin del tiempo de un Oscilador Armnico Amortiguado Forzado.

Definiendo el factor de frecuencia r ,

naturalfrecuenciaimpulsorafrecuencia

ff

r ===00

(37)

y el factor de amortiguamiento ,

naturalangularFrecuenciantoortiguamieante de amCons

t

0

=

(38)

La ecuacin (36) puede escribirse mediante:

( )

( ) ( )

++

+

+=

tsenrr

m

FtseneAx t

222220

0

02

41

10

La amplitud de la solucin particular puede escribirse como:

( ) stxrrm

F

A

=

+=

222220

0

041

En donde

2222 4)1(1

rr +=

84

es el factor de amplificacin, y

kF

m

Fx st

020

0==

es la deformacin esttica.

La figura (1.5-4) seala la grafica del factor de amplificacin contra el factor de frecuencia r , usando el factor de amortiguamiento como parmetro.

Figura (1.5-4) Factor de ampliacin contra el factor de frecuencia r .

85

1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD La amplitud oA de la solucin particular de la ecuacin diferencial de un O.A.A.F., es funcin de la frecuencia impulsora . Con el fin de encontrar la frecuencia angular R a la cual la amplitud 0A es mxima, hacemos

( ) 00 =

ddA

(1)

Por lo tanto,

( ) ( ) 02)(

22220

0

0=

+=

m

F

dd

ddA

(2)

( ) ( ) ( )( ) 2/12222000 2 +

=

dd

m

Fd

dA (3)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 022222

221

220

2/322220

00

=+

+

=

m

Fd

dA

(4)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 022222 220 =+ (5)

( ) 2220 84 =

oscilaciones f paula

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