I. OBJETIVOS:

Investigar sobre el movimiento armónico simple

(MAS) de cuerpos elásticos

II. MATERIALES – EQUIPO:

1 Soporte Universal

1 Resorte de acero

1 Regla milimetrada

1 Juego de pesas más porta pesas

1 Cronómetro

1 Balanza digital

III.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

OSCILACIONES

Un MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE es el que describe una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se genera entonces un movimiento periódico, es decir que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo sean, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.

La masa sujeta al muelle describe un movimiento oscilatorio. Para calcular su aceleración utilizamos la Segunda Ley de Newton:

Definimos la frecuencia angular ω como:

Sus unidades en el SI son rad/s.

POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

ENERGÍA

Si no existe rozamiento entre el suelo y la masa, la energía mecánica de esta última se conserva. Ya se vio en el apartado de trabajo que la fuerza

recuperadora del muelle es una fuerza conservativa y se calculó su energía potencial asociada, que es una parábola:

La energía mecánica se conserva, por lo que para cualquier valor de x la suma de la energía cinética y potencial debe ser siempre:

IV. PROCEDIMIENTO

MONTAJE

Monte el equipo, como se muestra el diseño experimental (sistema masa-resorte vertical).

1. Determine los valores de las masas del resorte y su posición de equilibrio.

¿Cree Ud. que le servirán de algo estos valores? ¿Por qué?

Claro que sí, ya que más adelante se verán los métodos para el cálculo de datos importantes en la experiencia, ya sea tiempo, periodo, frecuencia angular; y estos datos necesitan como prerrequisito la masa del resorte y la posición de equilibrio.

DETERMINACIÓN DEL PERIODO DE OSCILACIÓN

De la dinámica del sistema masa-resorte, se puede demostrar que el período de oscilación del sistema utilizado, está dado por la ecuación:

T=2π √ m+mr

3k

2. Coloque en un portapesas una pesa pequeña. Anote en la Tabla 01 los valores de la masa suspendida (Pesa más la masa de la portapesas) y la distancia respecto a la posición de equilibrio del resorte:

3. Desplace verticalmente la masa suspendida una distancia pequeña A = 0.09 m., y déjela oscilar libremente (evite que se produzcan movimientos laterales y perturbaciones). Describa y esquematice el tipo de movimiento del sistema:

Claramente se aprecia un movimiento armónico vertical sin alguna clase de amortiguación, se hizo lo posible para mantenerlo uniforme y que no existan perturbaciones laterales, pero aun así luego de unos segundos (aprox. 30 s.) empezó a moverse de lado a lado, suponemos por la resistencia del aire y por algunas ambigüedades de diseño.

Masa del resorte: mr=45.5 gr .

Posición de equilibrio:

xo=0.448m.

4. Calibre el cronómetro a cero. Mida el tiempo para diez oscilaciones y determine el periodo de oscilación (T=t /10). Anote sus datos en la Tabla 01.

5. Repita los pasos (3) al (5) utilizando masas de mayor valor para cada medida. Anote los datos en las columnas correspondientes y complete la Tabla 01

Graficar: T versus m, T 2 versus m.

¿Ambas gráficas son rectas?

No exactamente, son curvas con tendencia de recta.

Analice por qué son así estas curvas:

En realidad, las gráficas deberían ser rectas, pero los valores obtenidos dependen mucho de la exactitud de la medición; aparte de otros factores, como la calibración, el estado de los instrumentos, el error porcentual, etc.

A partir de la gráfica T2 versus m y usando el método de los mínimos cuadrados, determinar:

a. El valor de la constante elástica del resorte (k).b. El valor de la masa del resorte.

De la experiencia 1, se asume que la constante elástica del resorte

teóricamente es:14.49N /m. La masa del resorte medido es 45,5 g

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Masa (kg)

Tiem

po (s

)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Masa (kg)

Tiem

po 2

(s2)

Métodos de los mínimos cuadrados:

Xi = m Yi = T2 mT2 m2

0,15 0,247 0,03705 0,0225

0,2 0,296 0,0592 0,04

0,25 0,44 0,11 0,0625

0,3 0,53 0,159 0,09

0,35 0,587 0,20545 0,1225

SUMATORIAS

1,25 2,1 0,5707 0,3375

Si las fórmulas de los mínimos cuadrados es:

y=Mx+b

Donde:

M=p∑ xi y i−∑ x i∑ y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2 ; b=∑ xi

2∑ y i−∑ x i∑ x i y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2

De la fórmula: T 2=4 π2

km+

4 π2mr

3k

Se desprende que :

y=T 2; M=4 π2

k; x=m; b=

4 π2mr

3k

Si:

M=5 (0,5707 )−(1,25)(2,1)5 (0,3375 )−1,252

=1,828 ; b=∑ xi

2∑ y i−∑ x i∑ x i y i

p∑ x i2−(∑ x i)

2 =0,037

Por tanto, la ecuación tiene la forma:

T 2=1,828m+0,037

Donde se desprende que:

M=4 π2

k=1,828 == k=21,597N /m

b=4 π2mr

3k=0,037== mr=0,0607kg=60,07 g

a. El valor de la constante elástica del resorte (k).

Constante elástica del resorte: k=21,597N /m

b. El valor de la masa del resorte.

Masa del resorte: mr = 60.07 g

Determine la frecuencia angular natural de oscilación del resorte. Opere:

ω=√ km=√ 21,59760.07=0.60 rad

s

6. En lugar del portapesas coloque, en el extremo inferior del resorte, una pesa (de masa 1/2 kg o 1 kg). Suéltela cuidadosamente desde diferentes posiciones y observe su movimiento en cada caso.

¿Cuál es su conclusión sobre el periodo de oscilación?

A simple criterio, con un mismo peso en el resorte y un mismo número de oscilaciones, el periodo varia un poco, pero no demasiado, ya que para tal número de oscilaciones hay algunas deformaciones en el movimiento armónico, además de las variaciones de tiempo ya que el cálculo se hace a la vista del estudiante.

¿Influye el cambio de amplitud en el periodo?

En ningún caso influye la amplitud, lo hará variar la resistencia del material, las corrientes de aire o alguna falla en la medición.

A continuación veremos unas graficas que se formularon en un experimento de movimiento armónico mucho más exacto, aislado y medido a precisión; se muestra que con el cambio de amplitud, el periodo de oscilaciones de amplitudes diferentes, provocadas en el mismo muelle (con el mismo cuerpo colgando de él), es exactamente igual para todas ellas. Así se deduce si se realiza un análisis dinámico del movimiento, pero no es, desde luego, nada evidente a la intuición.

Es una situación similar a la del periodo del movimiento de oscilación del péndulo simple, donde la amplitud no influye en el periodo, porque aunque la oscilación de mayor amplitud supone un desplazamiento mayor (por ello, se podría pensar que el

periodo también será mayor), dicho desplazamiento se realiza con cambios más rápidos de velocidad.

¿Influye el cambio de pesas en el periodo de oscilación?

El cambio de pesas tampoco influye en el periodo. Haciendo una correcta experimentación, si se tienen dos péndulos, uno con mayor masa colgante que el otro, a una misma amplitud, estos oscilaran al mismo tiempo, con un mismo periodo, aquí se hace notar un problema científico: Explicar cómo es posible que, a pesar de que la Tierra atrae con una fuerza mayor a un cuerpo de mayor masa que a otro de menor masa, ambos caen igual, ambos suben igual y, formando un péndulo simple, ambos oscilan igual. Estos problemas se atribuyen a temas de masa inercial y masa gravitatoria.

V. EVALUACIÓN

1. Determine el error porcentual entre el valor de la masa del resorte medida en la balanza y de la masa del resorte encontrada en la gráfica.

Si el error porcentual está dado por:

Error porcentual=|Valor teórico−valor experimental|

valor teóricox100%

Si Tmr(gráfica)=60,07 g y Pmr (balanza)=45,5 g

Entonces: %mr=|60,07g−45,5g|

60,07 gx100%=24,255%

2. Determine el error porcentual en el periodo calculado y el periodo medido.

Hallando teóricamente cada periodo, mediante la ecuación desprendida del método de los mínimos cuadrados, obtenemos lo siguiente:

T=√1,828m+0,037

m T (gráfica) T (medido) %T

0,15 kg 0,558 s 0,497 s 10,932%

0,2 kg 0,635 s 0,544 s 14,331%

0,25 kg 0,703 s 0,603 s 14,225%

0,3 kg 0,765 s 0,728 s 4,837%

0,35 kg 0,823 s 0,766 s 6,926%

3. ¿Hay diferencia? Si fuera así, ¿a qué atribuye usted esta diferencia?

Los errores porcentuales se atribuyen, principalmente, a la falta de precisión al momento de medir los periodos y la masa del resorte. Otros factores pueden ser la falta de mantenimiento de los equipos de medición y el estado de conservación del resorte.

VI. CONCLUSIONES

El periodo es directamente proporcional a la masa e inversamente

proporcional a su constante elástica.

El periodo no depende de la amplitud.

El periodo dependerá de la masa que se le agregue al portapesas a

medida de que se incremente la masa en el portapesas el periodo será

mayor.

La frecuencia con la que vibra un cuerpo que describe un movimiento

armónico simple depende solo de su masa y de la constante elástica.

VII. SUGERENCIAS – RECOMENDACIONES

Para poder realizar mejor la experiencia, se debe tomar los mínimos

errores en los pesos y las medidas.

Se debe trabajar mutuamente para realizar los cálculos respectivos y

poder realizar los cálculos correctos.

Tratar de mejorar algunos inconvenientes obtenidos en el laboratorio.

VIII. BIBLIOGRAFÍA

BECKWITH, THOMAS G. MARANGONI, ROY D. LINHARD V. JOHN H. 2006.

Mechanical measurements. Ed. Prentice Hall. Sexta edición. ISBN 0201847655.

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS UNMSM (2013). Laboratorio de Física III:

Electricidad y magnetismo – Guía de laboratorio de Física III. Consultado el día

12 de setiembre del 2014, de física.unmsm.edu.pe

HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de física. Vol.2. Octava edición.

Ed. Patria. México.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/oscilaciones/oscilacion.html