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TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES Matemáticas 3º de la E.S.O.

1. Potencias con exponente entero • Potencias de exponente negativo

€

a−n =1an

Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente natural

1. Potencias con exponente entero • Una potencia de exponente natural es una forma

abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales

€

an = a⋅ ...⋅ an-veces

exponente

base €

a0 =1

€

a ≠ 0para todo

Recuerda…

2. Raíz de un número entero •  La raíz enésima de un número “a” es el valor “b” que al

elevarlo a “n” da como resultado “a”.

€

an = b⇔ bn = aDonde n es un número natural

€

an = bíndice

radicando

raíz

Expresión radical

2. Raíz de un número • Se llama radical a una raíz no operada como:

€

23 , 3, 47

Según el índice, las raíces reciben diferentes nombres:

cuadrada, cúbica, cuarta … enésima

3. Número de raíces. Radicales equivalentes. • Dos radicales son equivalentes o iguales si tienen la

misma raíz. •  Teorema fundamental de los radicales:

Si se multiplican o dividen el índice del radical y el exponente del

radicando por un mismo número natural distinto de cero, se

obtiene un radical equivalente €

a ≥ 0si

€

aqn = aq⋅mn⋅m

€

(m ≠ 0)

€

164 = 1622⋅4

€

164 = 2568

€

2 = 2

3. Número de raíces. Radicales equivalentes.

€

aqn = aq⋅mn⋅mEJEMPLO 1

€

¿ −83 = (−8)23⋅2 ?

€

−2 ≠ 2

€

¿ −83 = 646 ?¿No se cumple el teorema?

Se cumple, porque el ejemplo no cumplía una de sus premisas

€

a ≥ 0si

€

an = an⋅mn⋅m

€

(m ≠ 0)

3. Número de raíces. Radicales equivalentes.

€

aqn = aq⋅mn⋅mEJEMPLO 2

3. Número de raíces. Radicales equivalentes

• Ej. 17 Pág. 30 Escribe tres radicales equivalentes a:

EJERCICIO

3. Número de raíces. Radicales equivalentes

• Ej. 18, Pág. 30 Comprueba si los radicales son equivalentes.

EJERCICIO

3. Número de raíces. Radicales equivalentes

• Pág. 115. Ej. 33.

EJERCICIO

4. Propiedades de los radicales Operación Expresión Ejemplo

Producto y cociente de radicales del mismo índice Producto y cociente de radicales de distinto índice

Se reducen a índice común y se aplica lo anterior

Potencia de un radical

Raíz de un radical

€

an ⋅ bn = a ⋅ bn

€

an : bn = a :bn

€

an( )m

= amn

€

amn = an⋅m

€

23 ⋅ 53 = 2⋅ 53 = 103

€

73( )2

= 723

€

1735 = 1715

4. Propiedades de los radicales

• Ej. 24 Pág. 31. Realiza estas operaciones:

EJERCICIO

4. Propiedades de los radicales

• Pág. 31. Ej. 25 Introduce en el radical los números de fuera

EJERCICIO

4. Propiedades de los radicales

• Ej. 26 Pág. 31. Efectúa esta suma de radicales.

EJERCICIO

4. Propiedades de los radicales

• Ej. 27 Pág. 31. Calcula el área sombreada de la figura cuyas medidas están dadas en metros.

EJERCICIO

5. Potencias con exponente fraccionario • Un radical puede expresarse como una potencia de

exponente fraccionario

€

amn = amn

Este resultado se demuestra si se admite que las propiedades de las potencias de exponente entero positivo deben conservarse para otro tipo de exponentes.

€

amn = amn

€

amn( )n

= amn

"

# $

%

& '

n

€

amn

"

# $

%

& '

n

= am⋅nn = am

€

23( )13 = 2

33

€

813 = 233Demuestra que

Lo expresamos como potencias

€

813 = 2

33

Escribimos 8 como potencia

€

233 = 2

33La igualdad se cumple

€

2 = 2

5. Potencias con exponente fraccionario

EJERCICIO

¿Qué es mayor, ó ?

€

5

€

73

Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.

Expresándolos como potencias.

€

5 = 512

€

73 = 713

Denominador del exponente

€

2

€

3Denominador del exponente

m.c.m de ambos exponentes

€

6€

36

€

26

€

536

€

726

€

536

€

726

€

536 = 1256

€

726 = 496

€

1256 > 496

5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO

�  Pág. 33. Ej. 32 Escribe en forma radical estas potencias.

EJERCICIO

�  Pág. 33. Ej. 33 Expresa estas raíces en forma de potencia.

EJERCICIO

�  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.

EJERCICIO

6. Notación científica • Hay números que por ser muy grandes o muy pequeños se

expresarían con muchos ceros. La notación científica permite expresarlos de forma más compacta.

€

x = a ⋅10p

€

1≤ a ≤10p es “orden de magnitud” de x

Notación científica • Escribe en notación científica estos números

�  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.

EJERCICIO

• Ej. 35. Indica que pares de potencias son iguales.

EJERCICIO

• Ej 37. Calcula:

EJERCICIO

• Ej 39. Realiza las siguientes operaciones indicando los radicales como potencias fraccionarias.

EJERCICIO

• Ej. 45.

EJERCICIO

• Ej. 47

EJERCICIO

La masa de la Luna es de 7,34·1023 kilogramos, y la de la Tierra, de 5,98·1024 kilogramos. ¿A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra?

• Ej 71. Pág 37 Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales:

EJERCICIO

• Ej 73. Pág 37. Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario

EJERCICIO

• Ej 76. Pág 37 Indica si son ciertas o falsas

EJERCICIO

• Ej 82. Pág 37 Efectúa las siguientes operaciones:

EJERCICIO

• Escribe en forma de potencias estas expresiones

EJERCICIO

•  T7-35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un radical irreducible:

EJERCICIO

•  T7-36 Reduce a índice común estos radicales EJERCICIO

•  T7-40. Calcula esta suma de radicales

EJERCICIO

• Extrae los factores de los siguientes radicales:

EJERCICIO

96. Escribe en notación científica los siguientes números:

EJERCICIO

• Escribe en notación científica:

a) veinticinco millonésimas:

b) Tres cien millonésimas:

EJERCICIO

€

31104004

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos

12 34

18 5 ⋅63

12x ⋅ z ⋅ y2 z ⋅ y24

16x ⋅ z ⋅ y2 5x ⋅ y43

EJERCICIO

Extrae factores del radical

24 ⋅ x2 ⋅ z4 ⋅ y163

64 ⋅ x6 ⋅ z12 ⋅ y166

3125 ⋅ x10 ⋅ z25 ⋅ y45

256 ⋅ x6 ⋅ y177

EJERCICIO

x3 ⋅a2

1. Extrae factores del radical

a x3 ⋅a6 ⋅c73

x3 x2 ⋅ y3 ⋅c77

7683

24014

3. Calcula:

8 + 2 − 18 + 50

6483 − 96

xy3 ⋅ x2y3

x4y3 : x2y39

4. Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos

27 303

75 105

16x ⋅ z3 ⋅ y4 z ⋅ y24

5. Simplifica:

5126

21879

2. Opera:

2 ⋅10−4 :8 ⋅10−5

0,000000045 : 2 ⋅10−4 =

Potencias y raíces.

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