POTENCIAS Y RAÍCES

POTENCIA DE UN NÚMERO ENTERO a

Base

Exponente

nan productos (si n es postivo)

...a a a a

Ejemplos:43 3 3 3 3 9 3 3 27 3 81

55 5 5 5 5 5 25 5 5 5 125 5 5 625 5 3125

Cuando el exponente es 2, se denomina CUADRADO, cuando el

exponente es 3, se denomina CUBO.

Cuando a es distinto de cero:0 1a Recuerda:

1nn

aa

OPERACIONES CON POTENCIAS.

na b

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias

Potencia de un producto:

n productos

...a b a b a b a b n productos n productos

... ...a a a a b b b b

n na b

Ejemplo: 2 2 23 4 3 4 3 4 3 3 4 4 3 4 9 16 144

na

b

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias

Potencia de un cociente:n productos

...a a a a

b b b b

n productos

n productos

...

...

a a a a

b b b b

n

n

a

b

Ejemplo:2 2

2

3 3 3 3

4 4 4 4

OPERACIONES CON POTENCIAS DE LA MISMA BASE.

n ma a

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la

misma base y cuyo exponente es la suma de sus dos exponentes

Producto de potencias de la misma base:n productos m productos

... ...a a a a a a a a

n ma

Ejemplo: 3 2 3 2 53 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 243

n

m

a

a

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la

misma base y cuyo exponente es la resta de sus dos exponentes

Cociente de potencias de la misma base:n productos

m productos

...

...

a a a a

a a a a

n ma

Ejemplo:3

3 22

3 3 3 33 3

3 3 3

POTENCIA DE UNA POTENCIA.

mna

La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y cuyo

exponente es el producto de los dos exponentes

Potencia de una potencia:n productos m productos n productos

... ... ...a a a a a a a a

.n ma

Ejemplo: 33 93 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 19683

n . m productos

...a a a a

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

Cualquier número real se puede expresar como producto de un número

decimal con un solo número entero y una potencia de diez.

Es decir cualquier número n, se puede expresar de la forma:

, ... 10mn a bc d MANTISA

Ejemplos:

1310152000000000 1,0152 10

130,00000000000123 1,23 10

RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO a

Radical

enésimo

Índice

n a si y solo si nb b a

Ejemplos:

33 27 3 pues 3 27

66 64 2 pues 2 64

Observa, que al contrario que sucede con las raíces de orden par, las

raíces de orden impar si tienen raíces de números negativos.

OPERACIONES CON RADICALES.

n a b

Producto y división de radicales del mismo índice:

n na b

Ejemplos:

3 3 3216 8 27 2 3 6

na

b

n

n

a

b

3

33

27 27 3

64 464

INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES EN RADICALES.

n na a

Se puede introducir o extraer factores fuera de la raíz pues para cada a, b

números reales, se cumple:

Teniendo en cuenta las propiedades de la raíces de un producto y de un

cociente para cada número a, se cumple

n nn n n na b a b a b

Ejemplos:3 33 3 354 27 2 27 2 3 2

La extracción de factores la podemos utilizar para sumar o restar raíces:

Ejemplo:3 3 33 3 3 354 150 27 2 75 2 3 2 5 2 8 2

3 3

33 3 3

b b b

a aa

3 3

33

2 2 2

27 327

n nn nn na b a b a b 3 3

333 3

b b b

a aa

POTENCIAS Y RAICES DE UN RADICAL.

mn m na aTeniendo en cuenta estas propiedades, podemos obtener radicales

equivalentes a

RECUERDA:

Ejemplos:

6 3 2 6 6 124 12 12 125 5 5 5 5 5

. /. /n p n pn m m p m pa a a

.m n n ma a

n ma multiplicando o dividiendo n y m por un número p.

Por tanto para operar radicales de distinto índice, utilizamos radicales

equivalentes con el mismo índice (el mínimo común múltiplo)

RACIONALIZACIÓN DE FRACCIONES CON RADICALES.

Racionalizar una fracción con un radical en el denominador, consiste en

mediante la multiplicación adecuada por el denominador y el numerador,

quitar la raíz del denominador:

Ejemplos:

6 6 3 6 6 63 3 2 3 4 3 4

3 3 32 33

5 5 3 5 3 5 3

33 3 3 3

2

3 2 53 3 6 3 56 3 5

2 5 12 5 2 5 2 5

POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.

Si utilizamos exponentes racionales de la forma m/n, como :

Ejemplo:3

3 1 3 2 16 3 666 3 6 6 6

133

3 33 3 3 3

33

nmmna a

nn m ma a

mn mna a

Que utilizando las propiedades de los números fraccionarios, podremos

tratar los radicales como si de exponentes fraccionarios se trataran

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

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