tema 2-polinomios y fracciones algebraicas · monomio del segundo. ... • para dividir dos...
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LOLA MORALES – 4ºE IES Clara Campoamor (Móstoles)
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2.1. Operaciones. • Para sumar o restar polinomios, basta con sumar o restar los monomios semejantes. • Para multiplicar dos polinomios, deberemos multiplicar cada monomio del primero por cada
monomio del segundo. • Recuerda que los productos notables son productos de polinomios. • Para dividir dos polinomios cualesquiera procedemos como con la división de números. • Si queremos dividir un polinomio 𝑝(𝑥) entre otro de grado 1 de la forma 𝑥 − 𝑎 podemos
utilizar la regla de Ruffini y obtendremos directamente el cociente (un polinomio de un grado menos) y el resto (un número). Si el resto es 0, la división es exacta.
• Para conseguir el solo el resto, aplicamos el Teorema del resto: el resto de dividir 𝑝 𝑥 entre 𝑥 − 𝑎 es igual a 𝑝(𝑎), es decir, sustituir en 𝑝(𝑥) la 𝑥 por el número 𝑎.
Ejercicios:
1. Efectúa las siguientes operaciones con polinomios:
a. !!𝑥 − 1 · 𝑥! − 𝑥 − 𝑥! ! =
b. 𝑥𝑦! + 2𝑥!𝑦! ! =
c. 3x! − 2x · 3x! + 2x =
2. Dados los polinomios 𝑝 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 1, 𝑞 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 y 𝑟 𝑥 = 𝑥 − 2, realiza las siguientes operaciones:
a. 𝑝 𝑥 − 𝑞(𝑥)
b. 𝑝 𝑥 · 𝑞(𝑥)
c. 𝑞 𝑥 !
d. 𝑞 𝑥 · 𝑟 𝑥 !
e. 𝑝 𝑥 : 𝑞 𝑥
3. Divide el polinomio 𝑝 𝑥 = 3𝑥! − 𝑥! + 2𝑥 − 3 entre 𝑥 + 3 dando el cociente y el resto.
V {̂ æ! GK! Ú[ |ã} [ { ã[ •! ˆ ! ~¦æ&&ã[ } •̂! æ|* à̂ ¦æã&æ•Ë! ! • Operaciones. • Factorización y raíces. • Divisibilidad y MCM. • Fracciones algebraicas.
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4. Halla el valor numérico de 𝑝 𝑥 = −𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! + 1 para 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1. ¿A qué corresponden estos valores?
5. Halla el valor de 𝑚 para que al dividir el polinomio 𝑝 𝑥 = −2𝑥! − 3𝑥! + 5𝑥 − 2𝑚 + 6 entre 𝑥 − 2 se obtenga como resto −13 (haz el ejercicio mediante el teorema del resto y mediante Ruffini).
6. Calcula k para que los restos de dividir el polinomio 𝑥! − 2 𝑘 − 1 𝑥! + 𝑥 − 1 entre 𝑥 − 2 y entre 𝑥 + 1 sean iguales.
7. Halla 𝑘 para que el polinomio 3𝑥! − 1 − 2𝑘 𝑥! − 𝑥 − 1 sea a. divisible entre 𝑥 + 2 b. dé como resto −5 al dividirlo entre 𝑥 + 1
8. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo entre 𝑥 + 1, el resto sea 1, pero al dividirlo entre 𝑥 − 2, el resto sea 7.
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9. Calcula 𝑚 y 𝑛 para que el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥! +𝑚𝑥! + 𝑛𝑥 + 4 sea divisible entre 𝑥 − 1 y dé el mismo resto al dividirlo entre 𝑥 − 2 y 𝑥 + 3.
10. Determina un polinomio de grado 4 que tenga por raíces 2 y -2 y que sea divisible entre 𝑥 + 1 y 𝑥 − 3. ¿Es único?
2.2. Factorización y raíces. Si un polinomio 𝑝 𝑥 puede dividirse de forma exacta entre otro de la forma 𝑥 − 𝑎, diremos que
𝑥 − 𝑎 es un factor de 𝑝(𝑥) . Esto se puede comprobar haciendo la división larga, por Ruffini obteniendo resto 0 o mediante el teorema del resto obteniendo 𝑝 𝑎 = 0, es decir, el resto=0.
En caso de que 𝑝 𝑎 = 0 diremos que el número 𝑎 es una raíz del polinomio 𝑝(𝑥). Un polinomio de grado 𝑛 puede tener como máximo 𝑛 raíces.
Ejercicios:
1. Factoriza los siguientes polinomios lo máximo posible e indica cuáles son sus raíces. a. 𝑥! + 2𝑥! − 𝑥 − 2
b. −7𝑥! + 35𝑥! + 7𝑥 − 35
c. 6𝑥! − 11𝑥! + 6𝑥 − 1
d. 𝑥! + 𝑥! − 6𝑥!
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e. 𝑥! − 3𝑥! + 5𝑥 − 15
f. 𝑥! + 2𝑥! − 3𝑥! − 4𝑥! + 4𝑥
g. 81 − 𝑥!
h. 𝑥! − 1
2. Encuentra un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean 𝑥 = 1, 𝑥 = −1 y 𝑥 = 0.
2.3. Divisibilidad y MCM.
Cuando tenemos dos polinomios factorizados al máximo, podemos calcular su mínimo común múltiplo como lo hacemos con números: todos los factores que aparecen al mayor exponente.
Ejercicios:
1. Descompón los siguientes polinomios y calcula el mcm de cada pareja: a. 𝑝 𝑥 = 𝑥! – 4 𝑞(𝑥) = 𝑥! – 4𝑥 + 4
b. 𝑝 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 𝑞 𝑥 = 𝑥! − 7𝑥 + 10
c. 𝑝 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 𝑞 𝑥 = 𝑥 − 3
2.4. Fracciones algebraicas.
Ejercicios:
1. Opera y simplifica:
a. !!− !
!!+ !
!!
b. !!!!
+ !!!!
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c. !!!!
· !!!!
d. !!!− !!!
!!
2. Simplifica las fracciones siguientes y calcula después A – B: A = !!!!!!!!!
B = !!!!!!!
3. Recuerda las identidades notables, descompón en factores y simplifica lo máximo posible:
a. !!!!!!! ! =
b. !!!!!!!!!!!
=
c. !!!!!!!!!!!!
=
d. !!!!"!!!!"!!"!
=
4. Opera lo máximo posible, simplificando cuando puedas:
a. !!!!!!
− !!!!
=
b. !
!!!!!
!!!!!
!!!=
c. !!!!!!
− !!!!!!!!
· 𝑥 + 3 =
d. !!!!!!!
− !!!!!!!!!
=
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