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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRAFACULTAD DE INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICAANALISIS,TRANSMISION Y FILTRADO DE SENALES
Taller (1) sobre senales y sistemas
1. Clasifique las siguientes senales como senales deenergıa, senales de potencia o si es el caso, ninguna.
a) x(t) = e−atu(t), a > 0
b) x(t) = A cos(ω0t+ θ)
c) x(t) = tu(t)
d) x(t) = e−|t| cos(2t)
R// a)Energıa; b)Potencia;c)Ninguna; d)Energıa
2. Demuestre que si x(t) es una senal periodicacon periodo T0, entonces su potencia medianormalizada Px definida como:
Px = lımT→∞
1
T
T2∫
−T2
|x(t)|2 dt
Es igual a la potencia media normalizada de x(t)sobre un periodo de la senal T0:
Px =1
T0
T02∫
−T02
|x(t)|2 dt
3. Sea una senal x(t) como se muestra en la figura:
( )x t
t1
1
-1
a) Representar x(t) en terminos de escalonesunitarios.
b) Representar y bosquejar la derivada.
NOTA: Como la senal x(t) no es una funcionderivable en 1, representar su derivada sobre t ∈(−∞,∞)− 1.
R// a) (t+ 1)u(t+ 1)− 2tu(t) + (t− 1)u(t− 1)
4. Para una senal en tiempo continuo x(t) como semuestra en la figura, bosquejar cada una de lassiguientes senales.
( )x t
4
3
t
a) x(t− 2)
b) x(2t)
c) x(t/2)
d) x(−t)
5. Para una senal de tiempo discreto x[n] como semuestra en la figura, bosquejar cada una de lassiguientes senales.
[ ]x n
n-1 0 1 3-1 0 2 4 5
1
2
3 3
a) x[n− 3]
b) x[2n]
c) x[−n]
d) x[−n+ 2]
6. Usando las senales en tiempo discreto x1[n] y x2[n]tal como se muestran en la figura, representar cadauna de las siguientes senales graficamente y por unasecuencia de numeros.
21[ ]x n
n-1 0 1 3-1 0 2 4 5
1
2
3
-2 6
2 2
2[ ]x n
n0 13-1
0 2 4
2
-2-3
2 2
2
2
a) y1[n] = x1[n] + x2[n]
b) y2[n] = 2x1[n]
c) y3[n] = x1[n]x2[n]
7. Considerando el sistema de la figura.
X
Multiplier ( ) ( ) cos( )cy t x t tw=( )x t
cos( )ctw
Determine si el sistema es:
a) Sin memoria
b) Causal
c) Lineal
d) Invariante con el tiempo
e) Estable
8. Considerando el sistema de la siguiente figura.
Unitdelay
[ ]x n [ ] [ 1]y n x n= -
Determine si el sistema es:
a) Sin memoria
b) Causal
c) Lineal
d) Invariante con el tiempo
e) Estable
9. Verifique que:
a) x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)
b) x(t) ∗ u(t) =t∫−∞
x(τ)dτ
c) x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
d) [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)]
10. Determine y bosqueje la senal de salida y[n] de unsistema LTI cuya respuesta al impulso, h[n], y lasenal de entrada x[n], estan dadas como:
a)
h[n] =
αn, 0 ≤ n ≤ 6
0, de otra forma
x[n] =
1, 0 ≤ n ≤ 4
0, de otra forma
Siendo α > 1.
b)h[n] = u[n− 1]
x[n] = 3nu[−n− 1]
11. Determine y bosqueje la senal de salida y(t) deun sistema LTI cuya respuesta al impulso, h(t), yla senal de entrada, x(t), estan definidas por lassiguientes graficas:
( )x t
( )h t
t3
1
t2
1
R// tu(t) + (2− t)u(t− 2) + (3− t)u(t− 3) + (t− 5)u(t− 5)
12. Determine si cada una de las siguientes senales esperiodica o no. Si la senal es periodica, determine superiodo fundamental T0.
a) x(t) = cos(2π3 t+ π
4
)b) x[n] = cos
(π3n)
+ sen(π4n)
c) x(t) = cos t+ sen√
2 t
d) x[n] = ej(5π/6k)n; k ∈ Re) x(t) = sent+ sen t/3 + sen t/5
R// a)T0 = 3s; b)T0 = 24s;c)No es periodica; d)T0 = 12k/5s;
e)30πs.
13. Exprese los valores de Ω1 y Ω2 para que la senal x[n]sea una senal periodica.
x[n] = cos(Ω1n) + cos(Ω2n)
314. Demuestre que si x(t+ T ) = x(t), entonces:
β∫α
x(t)dt =
β+T∫α+T
x(t)dt
Para cualquier α, β ∈ R
15. Sean las senales ortogonales x(t) y y(t) definidas enel intervalo [t1, t2], y ademas, z(t) = x(t) + y(t) en elmismo intervalo de tiempo. Demuestre que:
Ez = Ex + Ey
16. Determine la constante A para que las senales ϕ1(t)y ϕ2(t) sean ortogonales en el intervalo (−∞,∞).
ϕ1(t) = e−|t| ; ϕ1(t) = 1−Ae−2|t|
R//A = 3.
17. Sea una funcion g(t) dada como:
g(t) =
∞∑i=1
ciϕi(t)
Demostrar el teorema de Parseval para senales deenergıa:
Eg =
∞∑i=1
c2iEϕi
18. Un grupo de polinomios de Legendre Pn(x), (n =0, 1, 2, ...) forman un espacio completo de funcionesortogonales en el intervalo (−1, 1).
a) Verifique la ortogonalidad para los tresprimeros termino del espacio funcional deLegendre.
b) Represente la senal f(t) = − |t| en el intervalo(−1, 1) usando el conjunto de funcionesverificado en el numeral anterior (a).
c) Calcular el error de la representacion de lasenal.
Nota: Se puede definir los polinomios de Legendrepor medio de la formula de Rodrıguez:
Pn(t) =1
2nn!
dn
dtn(t2 − 1
)n; n = 0, 1, 2, ...
R// b)E1 = 2,E2 = 2/3,E3 = 2/5,C1 = 1/2, C2 = 0, C3 = 5/8.
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