sesion 2 números naturales

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PROGRAMA DE SEGUNDA ESPECIALIDAD EN DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA

DIDÁCTICA DE CAMBIO Y RELACIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA

Sesión N° 2: Sistema de Numeración Decimal. Otros sistemas de numeración.

ESPECIALISTA: Jaime Luis Vilca Vargas

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Utiliza material didáctico pertinente en la

construcción y problematización con sistema

de numeración decimal y otros sistemas.

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Un buscador de tesoros encuentra en una excavación una habitación que contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared había las siguientes inscripciones, algunas de las cuales el buscador de tesoros logró descifrar.

“Si nuestro intrépido aventurero descubrió que el código del tesoro coincide con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?” ………………………………………………………………………………………

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Axiomática de Peano.

Supuesta la existencia del conjunto N con infinitos elementos, que estan

denotados por 1, 2, 3…, los cinco axiomas de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n

también es un número natural.

3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo

sucesor, entonces n y m son el mismo número

natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número

natural cualquiera, el sucesor de ese número

también pertenece a ese conjunto, entonces todos

los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Este es el axioma de inducción, y captura la idea de

inducción matemática.

Matemático italiano

1858 - 1932

Giuseppe Peano

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no.

Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita

o no.

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PROPIEDADES

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SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

POSICIONALES

NO POSICIONALES

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

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Ejemplo: Los egipcios usaron signos jeroglíficos para representar las diferentes potencias de diez en la escritura de izquierda a derecha.

Sistema de numeración No-posicionales.

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Los romanos utilizaron un sistema de numeración no

posicional, en el que se usan algunas letras

mayúsculas como símbolos para representar los

números. Desconocían el cero.

Sistema de numeración No-posicionales.

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Resolviendo Problemas

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Un buscador de tesoros encuentra en una excavación una habitación que contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared había las siguientes inscripciones, algunas de las cuales el buscador de tesoros logró descifrar.

“Si nuestro intrépido aventurero descubrió que el código del tesoro coincide con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?” ………………………………………………………………………………………

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El sistema de numeración que utilizamos

habitualmente es el decimal, que se compone de diez

símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que

otorga un valor dependiendo de la posición que

ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas,

millares, etc.

Sistema de numeración Decimal.

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El Imperio inca tuvo el sistema de numeración

decimal. Una de las principales referencias que

confirman esto son las crónicas que presentan una

jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el

incanato, por medio de la interpretación de los quipus, que están

organizados a base de nudos que de acuerdo a su ubicación

pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.

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El siguiente cuadro, denominado cuadro o tablero de

valor posicional, muestra el valor de posición hasta el

noveno orden:

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Valores de las Cifras

Cada cifra de una expresión numérica tiene dos

valores: Valor absoluto y valor de posición o

relativo

Ejemplo: El número: 5 457

* La cifra 5 tiene como valor absoluto “cinco”,

cualquiera sea el lugar que ocupe dentro del

número.

* En cambio, el valor de posición o relativo,

depende de la posición que ocupa dicha cifra

dentro de la expresión numérica.

Pudiendo ser 50 ó 5000

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OTRO EJEMPLO: el número 8 674 953

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TALLER Construcción y uso de tablero posicional,

material multibase, yupana y taptana.

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Descomposición Polinómica

En el sistema decimal el número 325, por ejemplo,

significa:

3 centenas + 2 decenas + 5 unidades, es decir:

3x102 + 2x101 + 5x100 (Forma polinómica)

300 + 20 + 5 (Forma desarrollada)

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Un Número de varias cifras o guarismos se denotan

de la siguiente forma:

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Sistema de Numeración Binario

• El sistema de numeración binario utiliza sólo dos

dígitos, el cero (0) y el uno (1).

• En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor

dependiendo de la posición que ocupe.

• El valor de cada posición es el de una potencia

de base 2, elevada a un exponente igual a la

posición del dígito menos uno.

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El número binario 1011(2) tiene un valor que se

calcula así: 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20, es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11, y para expresar que ambas

cifras describen la misma cantidad lo escribimos

así: 1011(2) = 11(10)

Conversión entre números decimales y

binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es

muy sencillo: “basta con realizar divisiones sucesivas

por 2 y escribir los restos obtenidos en cada

división en orden inverso al que han sido obtenidos”.

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Por ejemplo, para convertir al sistema binario el

número 77(10) haremos una serie de divisiones que

arrojarán los restos siguientes:

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la

cifra binaria: 77(10) = 1001101(2)

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Para cambiar de una base (n) a base decimal (10):

Se realiza la descomposición polinómica. Y para

cambiar de base decimal (10) a otra base (n), se

realiza divisiones sucesivas por la base “n”

Cambio de Base

Existen otros sistemas de numeración posicional,

pues ellos solo dependen de la determinación de

la base, así tenemos, sistema heptal, octal, etc.

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TALLER Uso de materiales, con sistemas de

numeración.

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Señora Deme un menú …

Jaimito tuvo mucha hambre y siendo las 2:13 pm. Decide ir a almorzar a

Ocampo, pues le dijeron que vendían menús cómodos y variados.

Al ver tal concurrencia de la gente decide tomar una foto de la realidad y

empieza a matematizar….

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1. ¿Cuántas personas hay?

2. ¿Cuántos varones?

3. ¿Cuántas mujeres?

4. ¿Cuántos llevan sombrero?

5. ¿Cuántos llevan gorro?

6. ¿Cuántos ninguna prenda en la cabeza?

7. ¿cuántos niños hay?

8. Escribe la cantidad total de personas que hay en la

imagen. (en números y letras)

9. Cómo se escribe el orden en que ingresó la persona

número 11?

De la imagen proyectada,

contesta las preguntas

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En el restaurant hay menús:

• Sopa - cayhua rellena S/. 5

• Sopa – trucha frita S/.6

Sopa sola S/. 3

cayhua rellena sola, S/. 4

trucha frita sola, S/. 5

además venden Caldo de gallina a S/.7.

1. En la mesa N° 1 hay dos niños y una señora, y pidieron un caldo de

gallina que lo dividió para los dos niños y la señora comió menú con

trucha frita.

2. En la mesa N° 2 hay dos adultos, cada uno pide un menú distinto.

3. En la mesa N° 3 hay un señor que come un menú con Cayhua rellena.

4. En la mesa N° 4 hay una familia, los esposos pidieron menú con cayhua

rellena y el joven comió trucha frita, sin Sopa.

5. En la mesa N° 5 hay 7 personas mayores y una niña, los dos varones

pidieron caldo de gallina, la niña sopa sola, la señora que no lleva

sombrero pidió menú con trucha frita y las demás menú con cayhua

rellena.

¿Cuánto pagó en total la mesa N° 5?

¿si hubieran pagado con S/. 100, cuánto de cambio les han entregado?

¿Cuánto pagaron juntos la mesa N° 1 con la mesa N° 5?

¿qué pidieron más?