propiedades de la convolución

Propiedades de la ConvoluciónMora Campos Yolanda

 Las propiedades matemáticas de esta operación se corresponden directamente

con la forma en que funcionan los circuitos lineales. 

Propiedades

Elemento neutroDistributividadConmutatividadAsociatividad

Elemento Neutro

El elemento neutro de la convolución es:La señal impulso, ya que al convolucionar

cualquier señal con el impulso se obtiene en la salida la misma señal.

En los sistemas cuya respuesta impulsional sea  la salida es igual a la entrada.

Ejemplo•Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea

el impulso unitario localizado en el origen.

•Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

De la definición del impulso unitario, conocemos que: 

δ(τ)=0 Siempre que τ≠0.

Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:

La integral de δ(τ) solo tendrá un valor cuando τ=0

Por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:

Ley DistributivaLa demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Ejemplo:

Ley Conmutativa

•Es conmutativa pues el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

Ejemplo

El conjunto de los dos

sistemas puede ser

considerado como un

sistema único cuya

entrada es la entrada

del primero y cuya

salida es la salida del

segundoPropiedad para cualquier elemento no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado.

Se define como la asociación (juntar) de varios números,

de forma que su suma de, el mismo resultado que sin

asociarse.

Ley Asociativa

Ejemplo La señal en la salida del

sistema global es: 

1. La salida en el primer sistema es

2. Esta señal es aplicada al segundo sistema, cuya salida valdrá:

Por otra parte, la respuesta impulsional global se puede calcular aplicando un impulso a la entrada global.

La salida del primer sistema cuando la entrada sea un impulso será su respuesta impulsional.

Esta señal se aplica al segundo sistema, cuya salida se calcula por medio de la convolución:

Por tanto,

Esta propiedad se cumple para cualesquiera

Desde un punto de vista teórico, en la asociación en cascada de circuitos LIT es

indiferente el orden en que se conecten; sin embargo, en la práctica el orden sí importa porque los circuitos no suelen ser lineales y porque tienen distintas limitaciones físicas

Por último