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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Programa
• 8.1 Introducción• 8.2 Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste• 8.3 Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas• 8.4 Campos de radiación• 8.5 Radiación de sistemas sencillos: el dipolo eléctrico y el dipolo
magnético
Lección 8Los potenciales electromagnéticos
2
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Programa Lección 8
Los potenciales electromagnéticos
BIBLIOGRAFÍA
Griffiths Lección 9Jackson Lección 6 y 9Pomer Lección 13Reitz - Milford -Christy Lección 16
3
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticos
Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste
0
)(ερ r
Err
=∇ 0=∇Br
0=∂∂
+∇tBExr
rJ
tEBx
rr
r000 µµε =
∂∂
−∇
0)( =∂∂
+∇tAExr
rAxBrr
∇=tAE∂∂
−−∇=r
rφ
φ−∇=∂∂
+tAEr
r
4
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticosLos potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste
0
)(ερ
φ =∂∂
−−∇∇tAr
0
2 )(ερ
φ −=∂∇∂
+∇tAr
0
)(ερ r
Err
=∇tAE∂∂
−−∇=r
rφ
tEJBx ooo ∂∂
−=∇r
rrεµµ
)()( 2
tAJ
tEJAAAxx oooooo ∂
∂−−∇−=
∂∂
−=∇−∇∇=∇∇r
vv
vrrrφεµµεµµ
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∇−∇∇=∇∇
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vrr
rµ
φεµεµ −=
∂∂
+∇∇−∂∂
−∇ )()( 2
22
AxBrr
∇=
5
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
),();,( '' AArr
φφ αrrr
+= AA ' βφφ +='
0=∇ αrx λα ∇=
r
tAE∂∂
−−∇=r
rφ
0=∂∂
+∇tα
βr
0)( =∂∂
+∇tλ
β )(tKt+
∂∂
−=λ
β
λ∇+= AArr
't∂
∂−=
λφφ '
Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste
Los potenciales electromagnéticos
6
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticos
Transformación (gauge) de Coulomb
0=∇Ar
0
2
ερ
φ −=∇
∫= dvRρ
επφ
041
tAE∂∂
−−∇=r
rφ
tJ
tAA ooooo ∂
∂∇+−=
∂∂
−∇φ
εµµεµv
rr
)( 2
22
7
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticos
Transformación (gauge) de Lorentz
tA oo ∂
∂−=∇
φεµ
r
8
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticos
Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas
02
22
ερφ
εµφ =∂∂
−∇too
JtAA ooo
vr
rµεµ −=
∂∂
−∇ 2
22
9
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Satisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz
02
2
22 1
ερφ
φ −=∂∂
−∇tc J
tA
cA
rr
r02
2
22 1
µ−=∂∂
−∇
( ) vdRrr ′′
= ∫ρ
πεφ
041)(
( ) vdRrJrA ′′
= ∫r
r
041)(πε
Los potenciales electromagnéticos
10
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
( )[ ] vdRrtr ′′
= ∫ρ
πεφ
041),( ( )[ ] vd
RrJtrA ′′
= ∫r
r
π
µ
4),( 0
( ) vdRtrtr
V
′′
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,41),(0
1ρ
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01
2
ερ
φ −=∇
( )vd
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′−′
= ∫2
,
41),(0
2
ρ
πεφ
Satisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz
Los potenciales electromagnéticos
11
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
2
2
2
22
2 111RRR
RRRRR
RRRRR ∂
∂=
−
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=
∇
ρρ
ρρρRr φφφ 22
22 ∇=∇=∇
dvRR
dvR vv
∫∫
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=
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22
2
2
0
2
02
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2
2
22
2 1tcR ∂
∂=
∂∂ ρρ ( )
2
2
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2
20
2
2
222 11,
411
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dvR
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tc v ∂
∂≈
∂∂
=
−′
∂∂
=∇ ∫φφρ
επφ
r
Satisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz
Los potenciales electromagnéticos
12
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
2
2
222 1
tc ∂
∂=∇
φφ
( ) ρε
φφφφ
02
2
22122 11
−∂
∂=+∇=∇
tc
Los potenciales electromagnéticosSatisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz
13
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
vdRcRtr
tr ′
−′
= ∫,
41),(0
ρ
πεφ
( )[ ] vdRrtr ′′
= ∫ρ
πεφ
041),(
( )[ ] vdRrJtrA ′′
= ∫r
r
π
µ
4),( 0
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′
=∂∂
∫
•ρ
π
µφ4
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i −=′∂( )[ ] ( )[ ] vd
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VV
′
∇′′−′
′∇=∇ ∫∫
144
),( 00 rr
r
π
µ
π
µ
Los potenciales electromagnéticos
Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas
14
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
( )[ ]cR
JRrJ
−=′∇
•rr
r
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJcR
JRJt
tJJJ ttt
rr
rr
rr
rr∇−∇′=
+∇′=′∇′′∂
∂+∇′=∇′ ′
•
′′
0)( =
′∂
∂+∇′
′
′
tt t
J ρr[ ] [ ] [ ]J
tJ
rr∇′−
′∂∂
−=∇ρ
Los potenciales electromagnéticos
Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ] [ ] vdRJvd
Rvd
RJ
VVV
′∇′−′
−=′∇
∫∫∫
•rr
π
µρ
π
µ
π
µ
444000
[ ] [ ] vdR
JvdRJ
tcA
VV
′
∇′−′
∇′−=
∂∂
+∇ ∫∫1
441 002
rr
r
π
µ
π
µφ
Los potenciales electromagnéticos
Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas
[ ] [ ] [ ] [ ] 044
144
0000 =′
−=′
∇′−=′
∇′−′
∇′− ∫∫∫∫
∞
SdRJvd
RJvd
RJvd
RJ
SVVV
rrr
rr
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
16
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ] [ ] vdRJxvd
RRxJAx
VV
′∇+′=∇ ∫∫
rrrr
π
µ
π
µ
440
30
[ ]cRRxJJxtJxr
rrr
=
′∇=∇
••
[ ] vdR
RxJ
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VV
′
+′= ∫∫
•
20
30
44),(
rrr
rrr
π
µ
π
µvd
R
J
tA
V
′
−=∂∂
− ∫
•rr
π
µ
40
Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ] vdR
R
cvd
RR
VV
′
+′=∇− ∫∫
•
20
30 4
141
rr ρ
περ
επφ
[ ]( ) [ ]JcR
JRJ
t tr
rr
r∇′−
=∇′−=′∂
∂
•
′ρ [ ]( )∫∫∫ ′
∇′−′
=′
••
VVV
vdRRJvd
cRRJvd
RR
232
rr
rr
r
ρ
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]∫ ∫∫∫∫ ′−′=′∇′−′
∇′=′
∇′
V VVVV
vdRRJvd
RJvd
RRJvd
RRJvd
RRJ 42222 2
rrrrr
rr
rr
Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ]−′
+′= ∫∫
•
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RRJ
cvd
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03
0 41
41),(
rrrr
rr
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RJ
cvd
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′−′+′
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41
4
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µ
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Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ] [ ]( ) [ ]( ) vdR
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+′−
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40
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περ
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•
20
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rr
rr
π
µvd
R
RxRxJ
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•
30
4),(
rrr
rr
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Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación
20
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
( )vd
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V
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V
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=′′
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rr ω
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V
ikR′
′= ∫
)(4
)( 0rr
rr ωω π
µ
( ) ( ) vdRekxkxJ
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V
ikR
V
ikR
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µ
π
µ
44)( 0
30
vdRekxJi
vdReRxJik
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ikR
V
ikR
rad ′−=′−= ∫∫rrrr
rr ωωω π
µ
π
µ
44)( 0
20
Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación
tiertr ωωρρ −= )(),( rr
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
dtpdld
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R
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π
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π
µ
π
µ
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0
2
0
3
00
2 44441
R
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R
Rp
R
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tc π
µ
π
µ
π
µ
π
µφ
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+
=
+
∇
−=−∇=∂∂
•••••
Los potenciales electromagnéticosRadiación de sistemas sencillos:
el dipolo eléctrico y el dipolo magnético
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ]2
03
0 44 cR
Rp
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πεπεφ
rrrr
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•
2
0
3
0
44 cR
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R
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π
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π
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•••
[ ] [ ] [ ] [ ] =−+
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∂ +2
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jnji
jnj
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[ ] [ ]( )12 +
•
+
−−= n
i
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nj
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RRp
RRRpn
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rrrr
Los potenciales electromagnéticosRadiación de sistemas sencillos:
el dipolo eléctrico y el dipolo magnético
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
[ ] [ ] [ ]( )12 +
•
+
−−=
∇ nnn cR
RRp
RRRpnp
RRp
rrrrrrrrr
[ ]( ) [ ]( )32
04
0
2
50
2
44
3
43
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RRp
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RpRRRp
επεπεπφ
rrrrrrrrrrr
+
−
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••••
[ ]( ) [ ]32
04
0
2
50
2
44
3
43
Rc
RxRxp
cR
pRRRp
RpRRRpE
επεπεπ
rrrrrrrrrrrr
+
−
+−
=
••••
Los potenciales electromagnéticosRadiación de sistemas sencillos:
el dipolo eléctrico y el dipolo magnético
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo
Los potenciales electromagnéticosRadiación de sistemas sencillos:
el dipolo eléctrico y el dipolo magnético
3
2
0
4 RRxu
c
pRpB
rrr
rr
+
=
••
•
πµ
[ ] ( ) ( )32
05
0
2
443
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επεπ
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