el campo eléctrico (1)campo creado por un dipolo (1) un sistema formado por dos cargas de igual...

8-ene-14 Tema VIII. Electrostática 1

El campo eléctrico (1)El campo eléctrico (1)

Hasta el momento hemos pensado en la fuerza eléctrica entre dos cargas fijasSupongamos que una carga se mueve, cómo sabría la segunda carga que la primera se ha movido?¿Y si hay otras cargas, ¿cómo se trasmite el cambio?Para hacer frente a estas situaciones, se introduce el concepto de campo:El campo eléctrico es una magnitud física vectorial que se extiende a través de un volumen espacial y ejerce fuerzas sobre las cargas• Electric field = E(x,t)

Field theory versus “action at a distance”


+

El campo eléctrico(2)El campo eléctrico(2)

Una carga crea un campo eléctrico a su alrededor y otra carga de prueba siente ese campo

Carga de prueba: objeto puntual con una carga positiva muy pequeña, por lo que no modifica el campo original

Campo eléctrico en un punto del espacio: coloca una carga positiva de prueba q en ese punto y mide la fuerza que actúa sobre ella; entonces

FEq

+

Test charge q


El campo eléctrico(3)El campo eléctrico(3)

Un campo no es sólo un concepto abstracto que se utiliza para describir las fuerzas. El campo es real.El campo eléctrico se extiende a través del espacio y ejerce fuerzas sobre las partículas cargadas.Si colocamos una carga puntual positiva en un campo eléctrico, habrá un vector fuerza sobre la carga en la dirección del campo eléctricoLa magnitud de la fuerza depende de la intensidad del campo eléctrico

Field theory versus “action at a distance”


El campo eléctrico (4)El campo eléctrico (4)

Campo eléctrico es la fuerza eléctrica por unidad de carga positiva:

Unit of the electric field: N/C (Newtons per Coulomb)

We can then write:

La fuerza eléctrica es paralela al campo y proporcional a la carga• La fuerza sobre una carga negativa tendrá

sentido opuesto

FEq

( )F qE x


Example: Campo de una carga puntualExample: Campo de una carga puntual

¿Cuál es el campo creado por una carga puntual q?

Sea una carga de prueba q0 en un punto P a distancia r

Fuerza sobre q0:

Campo en P

F k qq0

r2 r̂

20

ˆ( ) F qE x k rq r


Líneas de campoLíneas de campo

Podemos representar gráficamente el campo por líneas de campo — es decir, curvas que representan el vector fuerza ejercida sobre una carga positiva unidad de prueba

Se originan en las cargas positivas y terminan en las negativas.

Las líneas no se cruzan• Por qué?

La fuerza eléctrica en un punto es tangente a la línea de campo que pasa por ese punto

( )( ) and is uniqueF xE x Fq


Propiedades de las líneas de campoPropiedades de las líneas de campo La intensidad de campo se representa por la densidad de

líneas

La dirección del campo es tangente a las líneas de campo

fuerte

débil


Líneas de campo de una carga puntualLíneas de campo de una carga puntual

Las líneas de campo eléctrico de una carga puntual se extienden radialmente

Si la carga es positiva, las líneas apuntan hacia afuera• Terminan en el infinito

For a negative charge, the field lines point inward• Originate at infinity

3D

2( ) kqE x rr

2D


Líneas de campo para dos cargas puntuales(1)Líneas de campo para dos cargas puntuales(1)

Utilizamos el principio de superposición Las líneas de campo empiezan en las cargas + y terminan en

las cargas - .

3d 2d



+-

Principio de superposición:

¿Cuál es la dirección del campoE en los puntos a mitad decamino entre dos cargas idénticas + y -?

net EE E


net EE E


Si la carga de prueba es grande, el campo que queremos medir se ha modificado por su presencia

Si la carga de prueba es grande, el campo que queremos medir se ha modificado por su presencia



Example: Campo eléctrico creado porcuatro cargas puntuales (1)


Cuatro cargas q1 = 10 nC, q2 = -20 nC, q3 = 20 nC y q4 = -10 nC forman un cuadrado de lado 5 cm. ¿Qué campo eléctrico producen en el centro del cuadrado?

THINK

Cada una de las cuatro cargas produce un campo eléctrico en el centro del cuadradoPodemos utilizar el principio de superposición para calcular el campo eléctrico que es la suma vectorial del campo eléctrico creado por cada carga




SKETCH

We can draw a sketch of the four chargesplaced on the corner of a square

We define an x-y coordinate systemas shown

• We place q2 and q3 on the x axis

• We place q1 and q4 on the y axis

• The center of the square is at x = y = 0

We define the side of the square

• a = 5 cm




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC RESEARCH

En componentes

Las 4 cargas equidistan del centro

center 1 2 3 4E E E E E

Ecenter,x E1,x E2,x E3,x E4,x

Ecenter,y E1,y E2,y E3,y E4,y

r 2a2

a2




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

El módulo de cada campo es

SIMPLIFY

Componente x

Ei k qi

r2

center, 1,x xE E 2, 3, 4,x x xE E E

32center, 2 2

center, 3 22

ˆ ˆx

x

qqE k x k xr r

kE q qr




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

Componente y

El módulo del campo en el centro es

center, 1, 2,y y yE E E 3, yE

4,

1 4center, 2 2

center, 4 12

ˆ ˆ

y

y

y

E

q qE k y k yr r

kE q qr

Ecenter Ecenter,x2 Ecenter,y

2

Ecenter kr2 q3 q2 2 q4 q1 2 2k

a2 q3 q2 2 q4 q1 2remembering that r a

2 and r2

a2

2




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC El ángulo del vector campo con el eje x

es

tan1 Ecenter,y

Ecenter,x

tan1

kr2 q4 q1 kr2 q3 q2

tan1 q4 q1

q3 q2




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

CALCULATE

móduloEcenter

2ka2 q3 q2 2 q4 q1 2

q3 q2 20 nC -20 nC 40 nC 40 109 C

q4 q1 10 nC 10 nC 20 nC 20 109 C

Ecenter 2 8.99 109 Nm2

C2

0.050 m 240 109 C 2 20 109 C 2

Ecenter 321636.0179 N/C




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

dirección

ROUND

We report our results to two significant figures Ecenter 3.2 105 N/C

27

tan1 q4 q1

q3 q2

tan1 10 1020 20

tan1 0.5

26.56505118


Example: Campo eléctrico creado porcuatro cargas puntuales(9)


q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

DOUBLE-CHECK

Las unidades son N/C correctas

¿Cuál es el campo debido a q1?

que es menor que el campo de las cuatro cargas 3.2 x 105 N/C, coherente al menos

Eq1

kq1

r2 8.99 109 Nm2

C2

10 109 C 0.05 m 2

Eq1 3.6 104 N/C




q1 = 10 nC, q2 = -20 nCq3 = 20 nC, q4 = -10 nC

Chequeo del ángulo :tan 27º =0.5

E1

E3

E4

E2

Ecenter

27

x


Campo creado por un dipolo (1)Campo creado por un dipolo (1)

Un sistema formado por dos cargas de igual magnitud y signo opuesto es un dipolo eléctrico.

Líneas de campo de un dipolo



Vamos a obtener una expresión general en cualquier punto a lo largo de la línea punteada que incluye ambas cargas ...

y luego, una expresión para el campo eléctrico a gran distancia del dipolo.



Sean dos cargas en el eje x separas una distancia d• Colocamos x=0 en el punto medio del segmento que une las dos cargas• -q está en x = -d/2• +q está en x = +d/2

Calculamos el campo en el punto P , a distancia x >d/2 del origen de coordenadas



Principio de superposición:

E E E 1

40

qr

2 1

40

qr

2

E q

40

1x 1

2 d 2

1x 1

2 d 2



En el punto P del eje x (excepto en x = d/2)

En un punto muy alejado en el eje x (x >> d) (xd/2)2= x2 (1d/2x)2 siendo 1 >> (d/2x) ≡

1/ (1 d/2x)2 = x-2 (1 d/2x)-2 = = x-2 [1 ∓ 2(d/2x) + … ] x-2 (1∓ d/x)

E q

40

1x 1

2 d 2

1x 1

2 d 2

Taylor series

21 1 2

1



20

2 30 0

1 14

24 2

q d dEx x x

q d qdx x x


Momento dipolar eléctricoMomento dipolar eléctrico

Se define el vector momento dipolar eléctrico como un vector que apunta desde la carga negativa a la carga positiva

1. p es la magnitud del momento dipolar2. q es la magnitud de una de las cargas 3. d es la distancia entre las cargas

Usando esta definición, podemos escribir el campo eléctrico lejos de un dipolo eléctrico como

p qd

E p

20x3


Dependencia funcional E(x) Dependencia funcional E(x)

1/4

1/8

E(x)

E(x)=E(x)=

Carga puntualDipolo


La molécula de agua H2O

La distribución de la carga eléctrica en una molécula de H2Ono es uniforme. El átomo de oxígeno electronegativo atraeelectrones de los átomos de hidrógeno. Por lo tanto, el átomode oxígeno adquiere una carga negativa parcial y los átomosde hidrógeno adquieren una carga positiva parcial. Lamolécula de agua está "polarizada“ aunque en su conjunto esneutra.

Momento dipolar eléctricode la molécula de agua

_+


Example: Momento dipolar eléctricode H20 (1)


Supongamos la aproximación de considerar las moléculas de agua como dos cargas positivas localizadas en el centro de los átomos de hidrógeno y dos cargas negativas localizadas en el centro del átomo de oxígeno. ¿Cuál es el momento dipolar eléctrico de una molécula de agua?




Momento dipolar:

Esta interpretación simplificada da un resultado “comparable” con el valor medido experimentalmente pexp = 6.2·10-30 C.m(La distribución de carga asumida es aproximada)

d (1010 m) cos 52.5 0.6 1010 mp 2ed 2 1029 Cm


Example: Campo Eléctrico creado portres cargas puntuales (1)


Considera tres cargas

Situadas en

¿Cuál es el campo E en el punto P de coordenadas (b,a)?

1 2 31.5 C 2.5 C 3.5 Cq q q

1

2 3

: (0, ): (0,0) : ( ,0)

q aq q b

a = 8.0 m ; b = 6.0 m




Answer: Campo en P debido a q1 es

Campo en P debido a q3 es

Campo en P debido a q2 es

xbq

kE ˆ21

1

Nota: tan = a/b

11 2

ˆqE k xb

33 2

ˆqE k y

a

2 22 2 2 2 2

cos sinˆ ˆkq kqE x ya b a b


Sumamos las componentes, para obtener

Magnitud (módulo ) de E

Dirección de EÁngulo con el eje x = = arctg (Ey/Ex) = -31.5º



N/C 311N/C 509

EyEx

2 2 597 N/Cx yE E E

509 N/C311 N/C

x

y

EE


Repaso: carga puntualRepaso: carga puntual

Campo eléctrico creado por una carga puntual en función de r,

20

1 ˆ( )4

qE r rr

Fuerza eléctrica ejercida por un campo eléctrico sobre una carga puntual q situada en r

( )F qE r

… direction: tangente a la línea de campo


Repaso– Dipolo EléctricoRepaso– Dipolo Eléctrico

2 equal but opposite charges, -q and +q

Momento dipolar(direction: - to +)

En el eje, lejos del dipolo,

p qd

E p

20r3


Fuerzas sobre un dipoloFuerzas sobre un dipolo

Coloca un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme:Dos cargas iguales pero opuestas, + q y -q a una distancia d

• El campo eléctrico es constante y apunta hacia arriba

• El momento dipolar eléctrico hace un ángulo con el campo eléctrico

¡La fuerza neta sobre el dipolo es cero! El dipolo experimenta un torque, un par

de torsión alrededor de su centro


Torque sobre un dipolo eléctricoTorque sobre un dipolo eléctrico

El momento del par de fuerzas eléctricas es

Utilizando el momento dipolar :

El vector momento es:

torque F1 moment arm F2 moment arm

qEd2

sin qE d2

sin

qEd sin

pE sin

moment arm sin2d

p

p E p E

Torque y energía potencial del dipoloTorque y energía potencial del dipolo


Momento dipolar p =e 0.02 10-9 CmE = 3 103 N/C

p E p E

dw =F ds =F cos ds =F sen r d= d(=I d)dw =-pE sen d=-dU U=-pEcos


Ley de GaussLey de Gauss Objetivo:

• Hasta ahora, hemos obtenido campos E creados por cargas puntuales¿Cómo podemos tratar distribuciones más complicadas, por ejemplo, obtener el campo creado por un alambre cargado, una esfera cargada, o un anillo cargado?

• Hay dos métodos:Método 1: Divide la distribución en elementos de carga infinitesima-les. Cada uno crea dE e intégralos (súmalos aplicando el ppio de superposición) para obtener el campo eléctrico total E.

Método 2: Si hay alguna simetría especial de la distribución, utiliza la ley de Gauss para obtener el campo E.

Ley de GaussEl flujo eléctrico a través deuna superficie cerrada esproporcional a la carga netaencerrada por la superficie

Ley de GaussEl flujo eléctrico a través deuna superficie cerrada esproporcional a la carga netaencerrada por la superficie

Primero definimos el concepto de flujo


Analogía: Flujo de aguaAnalogía: Flujo de agua

Imaginemos que ponemos un anillo de área A perpendicular a una corriente de agua que mana con velocidad v

El producto del área por la velocidad, Av, da el volumen de agua que pasa a travésdel anillo por unidad de tiempo• Las unidades son m3/s

Si se inclina el anillo un ángulo , entonces el área proyectada es Acos , y el volumen de agua por unidad de tiempo que fluye a través del anillo es Av cos .


Flujo eléctrico (1)Flujo eléctrico (1)

A la cantidad de agua que fluye a través del anillo, la llamamos flujo de agua: (m/s) m2

Podemos hacer una analogía con las líneas de un campo eléctrico constante y una corriente fluida de agua

El flujo eléctrico es la densidad de líneas de campo que atraviesan un área A: (N/C) m2

Flux Avcos

E

A

Electric Flux EAcosElectric Flux EAcos


Flujo eléctrico (2)Flujo eléctrico (2)

Consideremos un campo eléctricoconstante E que pasa a través de unárea dada dA:d=EdA=EdAcos El ángulo es el ángulo entre elvector de campo eléctrico y elvector áreaLa densidad de vectores de campoeléctrico que pasan a través de unárea dada A se llama flujo eléctricoPara una superficie plana A atravesa-da por un E = cte:

EAcos = E A


Superficies y vectores normalesSuperficies y vectores normales

For a given surface, we define

the normal vector , which pointsnormal to the surface and has length

AA


Flujo eléctrico parauna superficie cerrada

Flujo eléctrico parauna superficie cerrada

Supongamos un campo eléctrico y una superficie cerrada, en lugar de la superficie abierta asociada con nuestra analogía del anillo

En este caso de superficie cerrada, el flujo total eléctrico a través de la superficie viene dado por una integral sobre la superficie cerrada

Los vectores dA siempre señalan haciaafuera de la superficie cerrada

E dA

E dA


Ley de Gauss (1)Ley de Gauss (1)

(named for German mathematician and scientist Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)

Vamos a imaginar que tenemos una caja en forma de cubo

Se supone que esta caja se construye de un material que no afecta a los campos eléctricos

Si llevamos una carga positiva a cualquier superficie de la caja, la carga no siente fuerza



Ahora ponemos una carga positiva dentrode la caja y llevamos una carga de pruebapositiva hasta la superficie de la cajaLa carga de prueba positiva siente unafuerza hacia fuera debido a la cargapositiva dentro del cubo

Ahora ponemos una carga negativa dentrode la caja y llevamos la carga de pruebapositiva hasta la superficie de la cajaLa carga de prueba positiva siente unafuerza hacia dentro debido a la carganegativa dentro del cubo

Las líneas de campo eléctrico parecen salirde la caja que contiene la carga positiva yentrar en la caja que contiene la carganegativa



Ahora imaginemos una caja vacía en un campo eléctrico uniformeSi llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 1 lado, siente una fuerza hacia dentro ysi llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 2,siente una fuerza hacia fueraEl campo eléctrico es paralelo a los otros cuatro lados,por lo que la carga de prueba positiva no sienteninguna fuerza cuando es llevada hasta esos ladosCuando había una carga dentro de la caja, las líneas decampo eléctrico parecían fluir hacia dentro o haciaafuera de la cajaCuando no hay ninguna carga en la caja, el flujo netode campo eléctrico entrando en la caja es el mismoque el flujo neto saliendo de la caja


Ejemplo: Carga en un CuboEjemplo: Carga en un Cubo

Question: Una carga Q=+3.76nC está en el centro delcubo. ¿Cual es el flujo através de una cara?

Answer: Gauss’ Law: 0/Q Debido a la simetría de las caras respecto del centro

Q

one face 6

2Nm70.8

C

0

16

Q

¿Flujo eléctrostático?¿Flujo eléctrostático?




Formulación: el flujo del campo eléctrico a través de S es proporcional a la carga neta encerrada por S

es el flujo eléctrico neto y q es la carga dentro de la superficie cerrada S

• Llamamos a esta superficie superficie Gaussiana • Esta superficie puede ser nuestra caja • Esta superficie puede ser cualquier superficie cerrada

Por lo general, elegimos una superficie cerrada que posee simetrías relacionadas con las que posee la distribución de carga en estudio

q0

q0 0

qE dA

0

qE dA


La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes (1)

La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes (1)

Vamos a obtener el campo de Coulomb de una carga puntual a partir de la Ley de GaussPartimos de una carga puntual qConstruimos una superficie esférica con radio r centrada en esta carga

Esta es nuestra superficie Gaussiana


La ley de Gauss y la ley de Coulomb (2)La ley de Gauss y la ley de Coulomb (2)

El campo eléctrico de una carga puntual es radial y, por lo tanto, es perpendicular a la superficie gaussiana en todo punto de la superficie

El campo eléctrico tiene la misma magnitud en cualquier punto de la superficie

E dA EdA dA

E dA = q/ 0


La ley de Gauss y la ley de Coulomb(3)La ley de Gauss y la ley de Coulomb(3)

Ahora nos queda una integral simple en una superficie esférica

Según la ley de Gauss

Lo cual da

que es el campo de Coulomb

24A dA r

0E 4r2 q

2 2 20 0

1 4 4

q q qE E kr r r


Conductor en equilibrio electrostáticoConductor en equilibrio electrostático

El cobre contiene electrones libres de moverse por todo el metal. Si no hay desplazamiento de cargas se dice que el conductor está en equilibrio electrostático.

Una interesante aplicación de la ley de Gauss:

El campo eléctrico en el interior de un conductor es cero Si el conductor aislado tiene una carga neta, ésta se

encuentra distribuida en la superficie El campo justo en el exterior es normal a la

superficie y tiene por módulo E

0

E 0


El campo E en el interior es cero

En otro caso, las cargas sentirían una fuerza y se moverían


Apantallamiento: IlustraciónApantallamiento: Ilustración

Sea un conductor hueco.Añadimos carga al conductoren equil. La carga se moveráhacia la superficie externa:Podemos definir una superfi-cie gaussiana (en rojo) cercade la superficie interior:

E es cero en todo punto de esa superficie, por tanto

El flujo de E es 0

Según la ley de Gauss:

No hay carga encerrada!

Jaula de FaradayJaula de Faraday


Blindaje electrostáticoBlindaje electrostático



Ley de Gauss para diferentesdistribuciones de carga

Ley de Gauss para diferentesdistribuciones de carga

Hemos aplicado la ley de Gauss a una carga puntual y obtuvimos la ley de CoulombAhora echemos un vistazo a distribuciones más complicadas de carga pero con alguna simetría y calculemos el campo eléctrico resultanteVamos a utilizar una "densidad de carga" para describir la distribución de la cargaEsta densidad de carga será diferente dependiendo de la geometría

Symbol Name Unit Charge per length C/m Charge per area C/m2 Charge per volume C/m3


Simetría cilíndrica (1)Simetría cilíndrica (1)

Calculamos el campo eléctricocreado por un hilo conductorlargo con densidad lineal decarga utilizando la Ley deGauss

Comenzamos suponiendo unasuperficie gaussiana enforma de cilindro recto conun radio r y longitud L. Eleje del cilindro se superponeal alambre.

0

qE dA



Por simetría podemos ver que el campo eléctrico, se extiende radialmente desde el alambre

Cómo?• Si rotamos el alambre a lo largo de su eje,

el campo eléctrico debería verse igual • Simetría cilíndrica

• Si imaginamos un alambre muy largo,El campo eléctrico no puede ser diferente

en un punto si se desliza el alambre, según su eje Simetría traslacional

Así, nuestra suposición de un cilindro recto como una superficie gaussiana es perfectamente adecuada para el cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss



El flujo eléctrico a través de las bases del cilindro es cero debido a que el campo eléctrico es siempre paralelo a los vectores área de las bases

El campo eléctrico es siempre perpendicular a la pared del cilindro ytiene la misma magnitud, de manera que

… y el campo es

en cualquier punto de la superficie lateral del cilindro (queconstituye la superficie gaussiana)

E

20r

2kr

0 0

2

/ / (Gauss)

E dA EA E rL

q L


Simetría plana (1)Simetría plana (1)

Supongamos que tenemos una hoja infinita no conductora de carga positiva

La densidad de carga es, en este caso, la carga por unidad de área,

De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será perpendicular a la superficie de la lámina


Simetría plana (2)Simetría plana (2)

Para calcular el campo eléctrico usando la ley deGauss, se asume una superficie Gaussiana en laforma de un cilindro recto con sección transversalA y altura 2r, que corta la superficie cargada consu eje colocado normal a ellaDebido a que E es perpendicular al plano en todopunto, el campo eléctrico será paralelo a la paredlateral del cilindro y perpendicular a las bases delcilindro.Usando la ley de Gauss

…así para un plano infinito no conductor cargadouniformemente con densidad de carga es E

20

E

20

0 0/ / (Gauss)

E dA EA EA

q A


Sea una placa fina conductora infinita (placa de metal) con carga positiva

La "densidad de carga", en este caso también es la carga por unidad de área, , pero en ambas superficies;

Hay igual densidad de carga a ambos lados De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será

perpendicular a la superficie de la lámina Dentro, el campo es nulo.

Simetría plana, Conductor (1)Simetría plana, Conductor (1)


Simetría plana, Conductor (2)Simetría plana, Conductor (2)

Para calcular el campo eléctrico usando la ley de Gauss, se elige una superficie gaussiana en forma de cilindro recto con sección transversal A y longitud L, que corta el plano perpendicularmenteEl campo en el interior del conductor es cerode modo que la base interior del cilindrono contribuye a la integral

Debido a que E es perpendicular al plano en todo punto, E será paralelo a la superficie lateral del cilindro y perpendicular a la basedel cilindro que está fuera del conductor.

Usando la ley de Gauss … por lo que el campo eléctrico

de un plano conductor infinito con densidadsuperficial de carga es

E 0

E 0

EA A0

A

Comparación (1)Comparación (1)

Plano infinito de carga Placa conductora


E

20

E

20E

0

E 0

Conductor en equilibrioConductor en equilibrio



Simetría esférica: capa (1)Simetría esférica: capa (1)

Campo eléctrico creado por unacapa esférica cargadauniformemente .

La carga total es q y el radio rS , es la capa grisácea.

Consideramos dos regionesfuera y dentro y en cada unadefinimos una superficieesférica gaussiana concéntricacon la que está cargada• fuera r > rS , gaussiana azul• dentro r < rS , gaussiana roja


Simetría esférica : capa (2)Simetría esférica : capa (2)

Empezamos con la superficie gaussiana fuera de la capa esférica de carga,r > rS superficie esférica azul

Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial• Si rotamos la esfera, E no va a cambiar

• Simetría esférica Aplicando Gauss

… y la magnitud del campo E es

2

0

Flux 4

/ (Gauss)

E dA E r

q

E 1

40

qr2



Consideremos ahora la superficie gaussiana dentro de la capa esférica cargada

r < rS superficie esférica roja La carga encerrada es cero, así que

Y por tanto

en cualquier punto interior. Resultado:E, fuera, es el mismo que si la carga está en el centro y es puntualE, dentro, es cero

Flux 0EA

0E


La carga que hay en S1 crea en P un campo E igual y opuesto al que crea la carga contenida en S2.En el interior de la

corteza el campo E=0



Simetría esférica : esfera (1)Simetría esférica : esfera (1)

Campo creado por una distribución uniforme de cargavolúmica en una esfera.

Assume that we have a solid sphere of charge Q with radius R with constant charge density per unit volume

Consideramos dos regiones fuera y dentro y en cada unadefinimos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la esfera cargada

• r2 > R (outside)• r1 < R (inside)

R


Simetría esférica : esfera (2)Simetría esférica : esfera (2) Let’s start with a Gaussian surface with r1 < R Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial y

perpendicular a la superficie gaussiana. La ley de Gauss da

Y E dentro es

3

12

10 0

434

rqE dA E r

volume

area

Einside r1

30

R



134

03 3insiderQE

R

1

03insiderE

En términos de la carga total Q …

1 13 3

04insideQr kQrE

R R

R



Now consider a Gaussian surface with radius r2 > R Otra vez, con argumentos de simetría, conocemos que E será

radial y perpendicular a la superficie gaussiana.

La ley de Gauss da

Y E fuera esEoutside

kQr2

2

total charge

area

R 3

22

0 0

434

RQE dA E r


Electric Field from a Ring of ChargeElectric Field from a Ring of Charge

We can’t solve it by Gauss’s Law Use the method of integration …

Arbitrary point on the z axis

Ez (z) k dqr 2 cos k dq

r 2zr

Note: r z2 R2 and dq qEz (z) kq z

z2 R2 3/2


Superficies puntiagudasSuperficies puntiagudas

Consideremos una punta afilada. Las líneas de campo están mucho más próximas entre sí, el campoes más intenso y se parece al campo de una carga puntual.

El campo E es siempre perpendicular a la superficie de un conductor cargado


Viento electrostáticoViento electrostático

El intenso campo E en la punta polariza las moléculas de la atmósfera.

Una molécula ionizada, será repelida por la punta. La fuerza de retroceso causa un torbellino.


Example: E Field and Force (1)Example: E Field and Force (1)

Question: The figure shows the deflecting plates of an ink-jet printer. A negatively charged ink drop (q=1.5 x 10-13 C) enters the region between the plates with a velocity of v = 18 m/s along x. The length Lof each plate is 1.6 cm. The plates are charged to produce an electric field at all points between them (E = 1.4 x 106 N/C). The vertical deflection of the drop at x = L is 0.64 mm. What is the mass of the ink drop?

Answer: Idea: A constant

electrostatic forceof magnitude qE acts upward on the drop.

yF qEam m

… constant acceleration


Example: E Field and Force (2)Example: E Field and Force (2)

Question: What is the mass of the ink drop?

Answer: Idea: Let t be the

time required to pass through the plates. Then…

212

2

2 2

10

and

2 2which implies ( / )

So... (substitute the numerical values) 1.3 10 kg

y at L vt

y yvaL v L

qEma


Review - Coulomb’s LawReview - Coulomb’s Law The electric force F

between two charges, q1 and q2, separated by a distance r is given by Coulomb’s Law:

1/r2 dependence The constant k is called

Coulomb’s constant and is given by:

F k q1q2

r2

Opposite charges: F is attractive (-)Like charges: F is repulsive (+)

k 8.99 109 Nm2

C2 or k 1

40

where 0 8.85 1012 C2

Nm2

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Superposition of Electric FieldsSuperposition of Electric Fields

Suppose we have many charges

The electric field at any point in space will have contributions from all the charges.

The electric field at any point in space is the superposition of the electric field from n charges is

Note that the superposition applies to each component of the field (x, y, z)

(vectors!)1 2 3 ... nE E E E E

1 2 3 ... nE E E E E


Recordatorio mat.(1)Recordatorio mat.(1)

a

a

d

a

b

c x

y


Recordatorio mat. (2)Recordatorio mat. (2)

Teorema del binomio:

(Series de Taylor)

En nuestro caso: x=d/2x, n=-2 and x=-d/2x, n=-2



Gauss’s Law (named for German mathematician and scientist Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) states

• (q = net charge enclosed by Gaussian surface S). If we add the definition of the electric flux we get

another expression for Gauss’ Law

Ley de Gauss: el flujo del campo eléctrico a través de S es proporcional a la carga neta encerrada por S

q0

q0

0

qE dA

0

qE dA

el campo eléctrico (1)campo creado por un dipolo (1) un sistema formado por dos cargas de igual...

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