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ECUACIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE

NELSON PRADO MENDEZ

INGENIERIA EN SISTEMAS

CALCULO AVANZADO

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

ECUACIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE

OBJETIVO

•Conocer el concepto y las aplicaciones de los polinomios y ecuaciones de Legendre

MARCO TEORICO

En matemáticas al resolver la formula de Rodríguez, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre

llamadas así por el matemático francés Adrien -Marie Legendre. Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas.

La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.

Cada polinomio de Legendre P n(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodríguez:

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Polinomios de Legendre

• Ortogonalizamos {1, x, x2, ..., x n} en C ([-1,1]), con el producto escalar integral ordinario (w(x)=1).

• Fórmula de Rodríguez

• Fórmula iterativa Pk+1(x) = ((2k+1)· x· Pk(x) k·Pk-1(x))/(k+1)

Pk+1(x)=((2k+1). x. P(x) – kPk-1(x))/)k+1)

–

n

n2n

nndx

)1x(d

!n2

1)x(P

-=

Polinomios de Legendre

Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente:

La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.

)12/(1)1/(1/1

...

)1/(13/12/1

/12/11

nnn

n

n

H

Polinomios de Legendre

Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1]

Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1]

Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

Polinomios de Legendre

Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre

n Pn(x)

0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)4 1/8(35x4-30x2+3)

5 1/8(63x5-70x3+15)

Polinomios de Legendre

Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales.

n Pn(x)

0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)

Polinomios de Legendre

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P4P3 P5

P0

P1

P2

Polinomios de Legendre

Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(p/2x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre.

Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(p/2x)c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):

1

122

0

00

2)cos(

2

1,

dxx

P

Phc

1

122

1

11 0)cos(

2

3,dxxx

P

Phc

1

132

221

22

22

20)cos()13(

4

5,

dxxx

P

Phc

Polinomios de Legendre

Con lo cual, la aproximación obtenida es

Cos (p/2x) f(x) = 2/ p + 10/p3 P2(x)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cos(pi/2x)

f(x)

Polinomios de Legendre

Ejercicio:

Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(p/2x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre.

Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.

APLICACIONESMomentos de Legendre

Motivación Definición Aproximación Versión

Computable Función de

reconstrucción

Condiciones de las pruebas

Resultados experimentales

Conclusiones de las pruebas

Conclusiones finales

Motivación• Reconstrucción

mediante momentos geométricos muy costosa y propensa a errores.

• Cómo reconstruir la imagen con un conjunto finito de momentos.

Definición

1

1

1

1),()()(

4dxdyyxfyPxP qppq

1)1)(2q(2p

]1,1[,)1(!2

1)( 2 xx

dx

d

pxP p

p

p

pp

El momento de Legendre de orden (p, q) viene dado por:

Donde el polinomio de Legendre de orden (p) se define como:

Aproximación

M

i

N

jpqpq yxfyxh

1 1

),(),(

donde:

2

2

2

2

)()(),(x

x

xx

yy

yy

qppq dxdyyPxPyxh

Al igual que en el caso de los momentos geométricos, los momentos de Legendre pueden aproximarse por:

Versión computable

yxyM

ixfy

N

jqPxpP

NM

qppq

),

1()(

1)(

)1)(1(

)12)(12(

Esta es la fórmula empleada para el cálculo computacional de los momentos de Legendre:

El valor de estará comprendido entre [0,255]. ),( yxf

El valor de x e y estará comprendido en un cuadrado [-1,1] x [-1,1] (cambio de variable).

Función de reconstrucción

),(),(max

yxfyxf M

max

0 0

, )()(),(

M

P

p

q

qqpqqp yPxPyxf

Podemos escribir la función como expansión de series infinitas.

Emplearemos una versión truncada:

),( yxf

Condiciones de las pruebas

• Imágenes en blanco y negro de 150x150 píxeles

• Cálculo de momentos hasta orden 20

• Precisión de coma flotante: 28 decimales

• Procesador a 1.5 Ghz – 384 Mb RAM

Duración media del cálculo de momentos hasta el orden 20: 1’20”Duración media de la reconstrucción: 1’20”

Resultados experimentales

Simulación desde momento de orden 0 a 20

Resultados experimentales

Simulación desde momento de orden 0 a 20

Conclusiones de las pruebas• Mejores resultados con:

– Tamaños mayores de la imagen– Un mayor número de píxeles negros– Líneas más rectas

Condiciones necesarias para un mejor resultado:– Máquina/s de gran potencia de cálculo– Aumentar el número de momentos– Trabajar con aritmética de grandes números– Utilizar el máximo posible de lugares decimales

Conclusiones generales

• Los momentos de Legendre son una herramienta eficaz para la reconstrucción de imágenes mediante sus características numéricas.

• El proceso de reconstrucción se comporta de mejor forma para imágenes grandes.

Conforme crece el número de momentos, resulta muy costoso reconstruir una imagen.

Herramientas Utilizadas

• Microsoft Visual Studio – Visual Basic– Visual C++

• CVIP Tools (manipulado de imágenes)

• Microsoft Access

BIBLIOGRAFIA

• Image Description using moments (Dr. S. Belkasim).

• On image analisis by moments (Liao-Pawlak)• Image analysis with moment descriptor (Liao-

Pawlak).• On the reconstruction aspects of moments

descriptors (Pawlak).• On image analysis by the methods of moments

(Cho-Huak, Chin).• Orthogonal Legendre moments and their

calculation (Shen-Shen).• Image characterization by fast calculation of low-

order Legendre moments (Shen-Shen).