p1.8 ecuacion de bernoulli

Matemáticas V

Unidad I

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.8 Ecuación de Bernoulli

*Problemario*

Imagen. Ejercicio 1

1

1 Shepley L. Ross, Introducción a las ecuaciones diferenciales, Pág 52

Ejercicio 1

Resolver la ecuación:

y '+ 2xy=−2x y2

Aquí: n=2.

Entonces

u= y−1 y=u−1 y y '=−u−2u '

Sustituyendo

−u−2u'+ 2xu−1=−2 xu−2

Dividiendo entre −u−2:

u'−2xu=2 x ,

Que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución

u=2x3 ln x+cx2

Como u= y−1 , entonces:

y= 1

2 x2ln x+cx2

Imagen. Ejercicio 2

2

2 Shepley L. Ross, Introducción a las ecuaciones diferenciales, Pág 52

Ejercicio 2

Resolver la ecuación:

y '+ 2xy=−2x y2

Sea y=uv

Sea v(x) la solución de y '+2x=0 ,es decir, v ( x )= 1

x2

La ecuación dada se transforma en:

vu'+u(v '+ 2x v)=−2xu2 v2

Sustituyendo en v ( x ) , después de haber dividido la ecuación:

u'+u(

−2x3

1x2

+ 2xv)=−2xu2 1

x2

u'=−2xu2

du

u2=−2dx

xu−1=2 ln x+c

u= 12 ln x+c

Como y=uv y=1

x2¿¿

Imagen. Ejercicio 3

3

3 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales, Pág. 151

Ejercicio 3

Resolver

y '+xy=xy−1 /2

Sea

u= y2−(−1 /3)= y2/3

Entonces y=u2/3 , y '=23u−1/3u '

Sustituyendo

23u−1 /3u'+xu2 /3=xu−1 /3

u'+ 32xu=3

2x Lineal enu

u=e−3x /4 [∫e3 /2∫ xdx( 32 x)dx ]

u=e−3/2xdx [∫ e3 x2/4( 32 x )dx]

u=e−3x2/4 (e3x 2 /4+c )

u=1+ce−3x2/4

∴ y3 /2=1+ce−3x2/4

Imagen. Ejercicio 4

4

Ejercicio 4

Resolverdydx

+ y=xy3

Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli, donde n=3. Primero se multiplica la ecuación por y−3, de esta manera se expresa en la forma equivalente.

y=−3 dydx

+ y−2=x

Si se hace v= y1−n= y−2 , después dvdx

=−2 y−3 (dy /dx ) la ecuación diferencial anterior se

transforma en la ecuación lineal

−dvdx

−2v=−2x (1)

Se ve que un factor de integración para esta ecuación es

e∫P( x)dx=e−∫2dx=e−2x

Al multiplicar (1) por e−2x, obtenemos

e−2xdvdx

−2e−2 xv=−2 xe−2 x

ddx

(e−2 xv )=−2 xe−2x

Al integrar, se encuentra

e−2x v=12e−2x (2 x+1 )+c ,

v=x+ 12+ce2x

Donde c es una constante arbitraria. Sin embargo

4 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales, Pág. 151

v= 1

y2

En consecuencia, se obtienen las soluciones en la forma

1

y2=x+ 1

2+ce2 x

Imagen. Ejercicio 5

5

Ejercicio 5

Resolver

dydx

− y=xy5

5 Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 37

o bien

y−5 dydx

− y−4=x

La transformación

y−4=v , y−5 dydx

=−14dvdx

Reduce la ecuación a

−14dvdx

−v=x o dvdx

+4 v=−4 x .Factor integrante es e4∫ dx=e4x,

Entonces,

ve4 x=−4∫ x e4 x dx=−xe4x+e4 x+C

y−4 e4 x=−xe4 x+e4x+C .

O sea

1

y4=−x+Ce−4 x

Imagen. Ejercicio 6

6

Ejercicio 6

Resolver

dydx

+2 xy+xy4=0

o bien

y−4 dydx

+2xy−5=−x

La transformación

y−5=v ,−3 y−4 dydx

=dvdx

Reduce la ecuación a

dvdx

−6 xv=3 x

6 Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 37

Empleando el factor integrante

e−∫6 x dx=e−3

x2

,

se tiene

ve−3 x2

=∫ 3 xe−3x2

dx=−12e−3x

2

+C

O sea,

1

y5=−12

+Ce3x2

Imagen. Ejercicio 7

7

Ejercicio 7

Resolver:

xdydx

+ y=x2 y2

Primero reformulamos la ecuación como sigue:

dydx

+ 1xy=xy2

Dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n = 2,

y=u−1 ydydx

=−u−2 dydx

regla de la cadena

En la ecuación dada, y simplificamos. El resultado es

dudx

−1xu=−x

El factor integrante para esta ecuación lineal en, por ejemplo (0, ∞), es

e−∫ dx / x=e−lnx=e ln x

−1

=x−1

Integramosddx

[ x−1u ]=−1

y obtenemos

x−1u=−x+C ,oseau=−x2+cxComoy=u−1, entonces y=1 /u y, en consecuencia, una solución de la ecuación es

y= 1

−x2+cx

7 Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicación de modelado, Pág. 66

Imagen. Ejercicio 8

8

Ejercicio 8

Resolver la ecuación

y '+ y=x2 y2

Esta es una ecuación de Bernoulli con n= 2; por tanto, el cambio de variable aplicable es u= y1−2= y−1, sustituyendo obtenemos la ecuación lineal

u'−1u=−x2

Que resolviéndola obtenemos:μ=e∫ pdx=e∫−dx=e−x

u ( x )=ex [−∫e− x x2dx+c ]

¿ex [ (2+2 x+x2 )e− x+c ]

u ( x )=x2+2x+2+c ex

Ahora bien, la solución buscada es: y (x )y (x), y no u(x ), por tanto, es necesario utilizar la ecuación que definió el cambio de variable u= y−1, para encontrar y (x )

y ( x )=u−1=(x2+2x+2+c ex )−1

8 Rolando castillo caballero. “Ecuaciones Diferenciales”. Pág. 46

Imagen. Ejercicio 9

9

Ejercicio 9

Esta es una ecuación de Bernoulli con n= 2. Por tanto, el cambio de variable aplicable es

u ( x )= y (x )1−2= y−1, o lo que es igual y=1u

. Por tanto, para sustituir en la ecuación

diferencial es necesario efectuar:

y '= ddx ( 1u )=−u'

u2

Con lo que al sustituir en la ecuación y '+xy=x y2 se obtiene:

y '+xy=x y2=−u '

u2+ xu= xu2

Esta ultima ecuación al rearreglarla queda como

u'−xu=−x

La cual es lineal, pudiendo resolverse. Esto es con

μ=e∫ p(x )dx=e−∫xdx=e−x2/2 y con

u ( x )= 1μ (x) [∫ μ (x )q ( x )dx+c ]

9 Rolando castillo caballero. “Ecuaciones Diferenciales”. Pág. 47

Imagen. Ejercicio 10

10

Ejercicio 10

Resolver

(I ) dydx

−5 y=−52x y3

Esta es una ecuación de Bernoulli conn=3 ,P ( x )=−5 y Q (x )=−5 x /2 para transformar (I) en una ecuación lineal, primero dividimos entre y3 para obtener

y−3 dydx

−5 y−2=−52x .

A continuación hacemos la sustitución v= y−2. Como dv /dx=−2 y−3dy /dx , la ecuación transformada es

−12dvdx

−5v=−52x

( II ) dvdx

+10v=5x .

La ecuación (II) es lineal, de modo que podemos resolverla en términos de v . Al hacer esto, vemos que.

v= x2− 120

+Ce−10 x .

Al sustituir v= y−2 se tiene la solución.

y−2= x2− 120

+C e−10 x

En la última ecuación no se incluye la solución y = 0 perdida en el proceso de división de (II) entre y3 .

10 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 80

Imagen. Ejercicio 11

11

Ejercicio 11

Resolver

(a ) dydx

+2 y=x y−2

Es un ejemplo de una ecuación de Bernoulli.

Muestre que la sustitución v= y3 reduce la ecuación (a) a la ecuación:

(b ) dvdx

+6v=3 x

Despeje v en la ecuación (b). Luego haga la sustitución v= y3 para obtener la solución de la ecuación (a).

11 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 81

Imagen. Ejercicio 12, 13, 14

12

Ejercicio 12

Resolver

dydx

+ 13y=13

(1−2 x ) y 4

o bien

y−4 dydx

+13y−3=1

3(1−2x )

La transformación

y−3=v ,−3 y−4 dydx

=dvdx

Reduce la ecuación a

dvdx

−v=2x−1

Para la que e− x es un factor integrante. Entonces, integrado por partes,

ve− x=∫ (2x−1 )e− xdx=−2x e−x−e−x+C

O sea

1

y3=−1−2+C ex

12 Frank Ayres Jr. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág.37

Ejercicio 13

Resolver

dydx

+ y= y2¿

o bien

y−2 dydx

+ y−1=cos x−sin x .

La transformación

y−1=v ,− y−2 dydx

=dvdx

Reduce la ecuación a

dvdx

−v=sin x−cos x

Para la que e− xes un factor integrante, entonces,

ve− x=∫ (sin x−cos x ) e−x dx=−e− xsin x+C

O sea

1y=−sin x+C ex .

Ejercicio 14

Resolver

xdy−¿

o bien

y−3 dydx

+ 1xy−2=1+ ln x .

La transformación

y−2=v ,−2 y−3 dydx

=dvdx

Reduce la ecuación a

dvdx

−v=sin x−cos x

Para la que e∫2dx / x=x2es un factor integrante. Entonces,

ve2=−2∫ (x2+ x2 ln x )dx=−49x3−2

3x3 ln x+C

O sea

x2

y2=−23x3( 23 +ln x)+C .

Imagen. Ejercicio 15

Resolver la ecuación: y '+2xy=−2x y2

a) Aquí: n=2.

Entonces u= y−1→ y=u−1 y y '=−u−2u '

Sustituyendo −u−2u'+ 2xu−1=−2 xu−2

Dividiendo entre −u−2: u'−2xu=2 x ,

Que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución:

u=2x2 ln x+c x2

Como u= y−1 , entonces:

y= 1

2 x2ln x+c x2

b) Sea y=uv .

Sea v ( x ) la solución de y '+2xy=0, es decir, v ( x )= 1

x2

La ecuación dada se transforma en: vu'+u(v '+ 2x v)=−2x u2 v2

Sustituyendo v (x), después de haber dividido la ecuación:

u'+u(−2/ x31/ x2 )=2 xu2 1x2u'=−2

xu2

du

u2=−2dx

xu−1=2 ln x+C

u= 12 ln x+C

Como y=uv

y= 1

x2¿¿

Bibliografía

R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider.Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, 3a. ed.Pearson Educación, México, 2001

Rolando Castillo Caballero. Rodrigo Gonzales Rojas.Ecuaciones diferenciales, curso de inducción. 1a. Ed. Editorial trillas, México, 1991

Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 6ª. Ed. International Thomson Editores. México, 1997

Frank Ayres, jr. Ph.D. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales

MACGRAW-HILL

Shepley L. Ross. Introducción a las ecuaciones diferenciales, 3ª, Ed. Nueva Editorial Interamericana

Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales, 4ª, Ed. Editorial Pearson Addison Wesley. México, 1992