matèria de matemàtiques ii -...
Post on 18-Jan-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matemàtiques IIBATXILLERAT
Matèria de
Projecte i edició: grup edebé
Direcció general: Antoni Garrido González
Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas
Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez
Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat
Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera
Direcció de producció: Joan López Navarro
Equip d’edició d’edebé:
Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré
Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras
Il·lustració: Robert Maas Olives
Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo
Coberta: Lluís Vilardell Panicot
Col·laboradors:
Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra
Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya
Preimpressió: Tecfa
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.
És propietat de grup edebé
© grup edebé, 2009
Passeig Sant Joan Bosco, 62
08017 Barcelona
www.edebe.com
ISBN 978-84-236-9522-5
Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya
Printed in Spain
Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.
Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.
Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat
Orientacions i solucionari
BATXILLERAT
Matemàtiques IIOrientacions i solucionari
BATXILLERAT
Matemàtiques II Orientacions i solucionari
C M
Y K
Matemàtiques IIBATXILLERAT
Matèria de
Projecte i edició: grup edebé
Direcció general: Antoni Garrido González
Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas
Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez
Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat
Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera
Direcció de producció: Joan López Navarro
Equip d’edició d’edebé:
Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré
Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras
Il·lustració: Robert Maas Olives
Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo
Coberta: Lluís Vilardell Panicot
Col·laboradors:
Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra
Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya
Preimpressió: Tecfa
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.
És propietat de grup edebé
© grup edebé, 2009
Passeig Sant Joan Bosco, 62
08017 Barcelona
www.edebe.com
ISBN 978-84-236-9522-5
Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya
Printed in Spain
Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.
Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.
Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat
Orientacions i solucionari
ÍNDEX
Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Àlgebra lineal
Unitat 1. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unitat 2. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Unitat 3. Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Geometria
Unitat 4. Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Unitat 5. Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Unitat 6. Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Unitat 7. Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Anàlisi
Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3ÍNDEX
Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Àlgebra lineal
Unitat 1.Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Unitat 2.Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Unitat 3.Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Geometria
Unitat 4.Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
Unitat 5.Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Unitat 6.Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Unitat 7.Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Anàlisi
Unitat 8.Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Unitat 9.Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
Unitat 10.Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
Unitat 11.Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
Unitat 12.Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
3
C M
Y K
138
8. Límits
1.LÍMITS DE FUNCIONS
1.a)Cal realitzar una taula de valors de
per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 0 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 0 per l’esquerra:
xf(x)
0,10,183673
0,010,198397
0,0010,199840
0,00010,199984
0,000010,199998
De la taula anterior, en concloem que =0,2.
xf(x)
0,10,215686
0,010,201597
0,0010,200160
0,00010,200016
0,000010,200002
D’aquesta taula, en concloem que xlim
0f (x) =0,2.
Per tant, de l’observació de les dues taules ante-riors, sembla ser que
x0lim f (x) =0,2.
b)Cal elaborar una taula de valors de
per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 2 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 2 per l’esquerra.
xf(x)
1,93,9
1,993,99
1,9993,999
1,99993,9999
1,999993,99999
fxxx
()=+
242
lim()x
fx +=0
fxxx
()=15
Observant la taula anterior, podem afirmar que
xlim
2+f (x) =4.
xf(x)
2,14,1
2,014,01
2,0014,001
2,00014,0001
2,000014,00001
Observant aquesta taula, podem afirmar que
xlim
2f (x) =4.
Així, doncs, les taules construïdes ens indiquenque
xlim
2f (x) =4.
2.Si construïm les taules de valors corresponents:
xf (x)
0,92
0,992
0,9992
0,99992
0,999992
Per tant, xlim
1f (x) =2.
xf (x)
1,14,21
1,014,0201
1,0014,002001
1,00014,0002
1,000014,00002
Per tant, xlim
1+f (x) =4.
xf (x)
2,911,41
2,9911,9401
2,99911,994001
2,999911,9994
2,9999911,99994
Així, xlim
3f (x) =12.
Límits 8
138
8. L
ímits
1. LÍMITS DE FUNCIONS
1. a) Cal realitzar una taula de valors de
per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 0 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 0 per l’esquerra:
x f (x)
0,1 0,183 673
0,01 0,198 397
0,001 0,199 840
0,000 1 0,199 984
0,000 01 0,199 998
De la taula anterior, en concloem que = 0,2.
x f (x)
0,1 0,215 686
0,01 0,201 597
0,001 0,200 160
0,000 1 0,200 016
0,000 01 0,200 002
D’aquesta taula, en concloem que xlim
0f (x) = 0,2.
Per tant, de l’observació de les dues taules ante-riors, sembla ser que
x 0lim f (x) = 0,2.
b) Cal elaborar una taula de valors de
per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 2 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 2 per l’esquerra.
x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
1,999 9 3,999 9
1,999 99 3,999 99
f xxx
( ) =+
2 42
lim ( )x
f x+
=0
f xxx
( ) =15
Observant la taula anterior, podem afirmar que
xlim
2+f (x) = 4.
x f (x)
2,1 4,1
2,01 4,01
2,001 4,001
2,000 1 4,000 1
2,000 01 4,000 01
Observant aquesta taula, podem afirmar que
xlim
2f (x) = 4.
Així, doncs, les taules construïdes ens indiquenque
xlim
2f (x) = 4.
2. Si construïm les taules de valors corresponents:
x f (x)
0,9 2
0,99 2
0,999 2
0,999 9 2
0,999 99 2
Per tant, xlim
1f (x) = 2.
x f (x)
1,1 4,21
1,01 4,020 1
1,001 4,002 001
1,000 1 4,000 2
1,000 01 4,000 02
Per tant, xlim
1+f (x) = 4.
x f (x)
2,9 11,41
2,99 11,940 1
2,999 11,994 001
2,999 9 11,999 4
2,999 99 11,999 94
Així, xlim
3f (x) = 12.
Límits8
CM
YK
x f (x)
3,1 12,613,01 12,060 13,001 12,006 0013,000 1 12,000 63,000 01 12,000 06
Així, xlim
3+f (x) = 12.
— Com quexlim
1f (x) = 2 � 4 =
xlim
1+f (x), no exis-
teix x 1lim f (x).
En canvi, com que xlim
3f (x) = 12 =
xlim
3+f (x),
existeix el límit x 3lim f (x), i el seu valor és 12.
3. a) El denominador s’anul.la en x = 2 i el numeradorno.
Vegem si les imatges, en acostar-nos a 2 per l’es-querra i per la dreta, tenen el mateix signe.
— Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, tenim:
— Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, tenim:
Així, doncs,
b) El denominador s’anul·la en x = 1 i el numera-dor no.Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 1 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:
— Per a valors de x pròxims a 1 per l’esquerra te-nim:
— Per a valors de x pròxims a 1 per la dreta tenim:
Així, doncs,
c) El denominador s’anul.la en x = 3 i el numerador
no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 3 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dre-ta:
lim( )x
x
x
+= +
1 2
3
1
x
x
x
xx
+ >
>
+= +
+
3 0
1 0
3
12 1 2( )lim
( )
x
x
x
xx
+ >
>
+= +
3 0
1 0
3
12 1 2( )lim
( )
limx
x
x x+ +=
2 2 4 4
x
x x
x
x xx
<
+ + > + +=
+
0
4 4 0 4 42 2 2lim
x
x x
x
x xx
<
+ + > + +=
0
4 4 0 4 42 2 2lim
— Per a valors de x pròxims a 3 per l’esquerra, te-nim:
— Per a valors de x pròxims a 3 per la dreta, te-nim:
Aixì, doncs,
d) El denominador s’anul.la en x = 2 i el numerador
no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 2 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dre-ta:
— Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, te-nim:
— Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, te-nim:
Així, doncs,
e) El denominador s’anul.la en 4 i el numerador no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 4 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:
— Per a valors de x pròxims a 4 per l’esquerra,tenim:
— Per a valors de x pròxims a 4 per la dreta, te-nim:
Així, doncs, lim( )x
x
x
+
+=
4 2
1
4
x
x
x
xx
+ <
+ >
+
+=
+
1 0
4 0
1
42 4 2( )lim
( )
x
x
x
xx
+ <
+ >
+
+=
1 0
4 0
1
42 4 2( )lim
( )
limx
x
x x+=
2 2
5
6
x
x x
x
x xx
<
+ > +=
+
5 0
6 0
5
62 2 2lim
x
x x
x
x xx
<
+ < += +
5 0
6 0
5
62 2 2lim
limx
xx+
=3
23
x
xxxx
+ >
>
+= +
+
2 0
3 0233
lim
x
xxxx
+ >
<
+=
2 0
3 0233
lim
139
8. Límitsxf (x)
3,112,613,0112,06013,00112,0060013,000112,00063,0000112,00006
Així, xlim
3+f (x) =12.
—Com quexlim
1f (x) =2 �4 =
xlim
1+f (x), no exis-
teix x1limf (x).
En canvi, com que xlim
3f (x) =12 =
xlim
3+f (x),
existeix el límit x3limf (x), i el seu valor és 12.
3.a)El denominador s’anul.la en x =2 i el numeradorno.
Vegem si les imatges, en acostar-nos a 2 per l’es-querra i per la dreta, tenen el mateix signe.
—Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, tenim:
—Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, tenim:
Així, doncs,
b)El denominador s’anul·la en x =1 i el numera-dor no.Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 1 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:
—Per a valors de x pròxims a 1 per l’esquerra te-nim:
—Per a valors de x pròxims a 1 per la dreta tenim:
Així, doncs,
c)El denominador s’anul.la en x =3 i el numerador
no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 3 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dre-ta:
lim() x
x
x
+=+
12
3
1
x
x
x
x x
+>
>
+=+ +
30
10
3
1212
()lim
()
x
x
x
x x
+>
>
+=+
30
10
3
1212
()lim
()
limx
x
xx ++=
2244
x
xx
x
xx x
<
++>++= +
0
44044222 lim
x
xx
x
xx x
<
++>++=
0
44044222 lim
—Per a valors de x pròxims a 3 per l’esquerra, te-nim:
—Per a valors de x pròxims a 3 per la dreta, te-nim:
Aixì, doncs,
d)El denominador s’anul.la en x =2 i el numerador
no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 2 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dre-ta:
—Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, te-nim:
—Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, te-nim:
Així, doncs,
e)El denominador s’anul.la en 4 i el numerador no.
Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 4 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:
—Per a valors de x pròxims a 4 per l’esquerra,tenim:
—Per a valors de x pròxims a 4 per la dreta, te-nim:
Així, doncs, lim() x
x
x
+
+=
42
1
4
x
x
x
x x
+<
+>
+
+= +
10
40
1
4242
()lim
()
x
x
x
x x
+<
+>
+
+=
10
40
1
4242
()lim
()
limx
x
xx +=
22
5
6
x
xx
x
xx x
<
+>+= +
50
60
5
6222 lim
x
xx
x
xx x
<
+<+=+
50
60
5
6222 lim
limx
xx+
=3
23
x
xxx x
+>
>
+=+ +
20
3023 3
lim
x
xxx x
+>
<
+=
20
3023 3
lim
139
8. L
ímits
C M
Y K
140
8. Límits
4.a)xf (x)
1001,03 102
10001,003 103
100001,0003 104
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
b)xf (x)
1009,71 103
10009,97 104
100009,997 105
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
c)xg (x)
1000,2357
10000,2486
100000,2499
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
d)xg (x)
1000,2645
10000,2514
100000,2501
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
e)xh (x)
1002,9998
10002,999998
100002,99999998
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
f)xh (x)
1002,9998
10002,999998
100002,99999998
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
lim()x
hx=3
lim()x
hx+
=3
lim(),x
gx=025
lim(),x
gx+
=025
lim()x
fx=0
lim()x
fx+
=0
5.a)xf (x)
1009,9 103
10009,99 105
100009,999 107
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
b)xf (x)
1001,01 104
10001,001 106
100001,0001 108
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
c)xg (x)
10097,078
1000997,008
100009997,001
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
d)xg (x)
100103,08
10001003,01
1000010003
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
e)xh (x)
10020833,3
10002008032,1
10000200080032
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
f)xh (x)
10019230,8
10001992031,9
10000199920032
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
2.CARACTERÍSTIQUES
6.a)lim()x
xx+=+=4
223523454230
lim()x
hx=+
lim()x
hx+
=+
lim()x
gx=
lim()x
gx+
=+
lim()x
fx=+
lim()x
fx+
=+
140
8. L
ímits
4. a) x f (x)
100 1,03 10 2
1 000 1,003 10 3
10 000 1,000 3 10 4
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
b) x f (x)
100 9,71 10 3
1 000 9,97 10 4
10 000 9,997 10 5
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
c) x g (x)
100 0,235 7
1 000 0,248 6
10 000 0,249 9
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
d) x g (x)
100 0,264 5
1 000 0,251 4
10 000 0,250 1
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
e) x h (x)
100 2,999 8
1 000 2,999 998
10 000 2,999 999 98
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
f) x h (x)
100 2,999 8
1 000 2,999 998
10 000 2,999 999 98
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
lim ( )x
h x = 3
lim ( )x
h x+
= 3
lim ( ) ,x
g x = 0 25
lim ( ) ,x
g x+
= 0 25
lim ( )x
f x = 0
lim ( )x
f x+
= 0
5. a) x f (x)
100 9,9 103
1 000 9,99 105
10 000 9,999 107
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
b) x f (x)
100 1,01 104
1 000 1,001 106
10 000 1,000 1 108
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
c) x g (x)
100 97,078
1 000 997,008
10 000 9 997,001
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
d) x g (x)
100 103,08
1 000 1 003,01
10 000 10 003
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
e) x h (x)
100 20 833,3
1 000 2 008 032,1
10 000 200 080 032
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
f ) x h (x)
100 19 230,8
1 000 1 992 031,9
10 000 199 920 032
De l’observació de la taula, se’n dedueix que:
2. CARACTERÍSTIQUES
6. a) lim ( )x
x x + = + =4
2 23 5 2 3 4 5 4 2 30
lim ( )x
h x = +
lim ( )x
h x+
= +
lim ( )x
g x =
lim ( )x
g x+
= +
lim ( )x
f x = +
lim ( )x
f x+
= +
CM
YK
141
8. Límits
b)
= 103 3 102 + 5 10 = 750
c)
d)
e)
f)
g)
log x és contínua
= log ( 1 + 9) = log (8)
h)
i)
j)
sin x és contínua
= 2 ( 1) = 2
7. a)
Com que les imatges dels valors pròxims a 1 perl’esquerra i per la dreta no es calculen mitjançantla mateixa expressió analítica, calculem els límitslaterals:
lim ( )x
f x1
:
= = = =2 3 2 32
23
22
( ( lim ))sin x sin sinx
lim ( ) limx x
sin x sin x= =
2 2
2 3 2 3
= +( ) = ( ) =( ) ( )3 2 4 2 1 6 4 5 2 52
= + =lim ( ) limx x
x x2 2
23 4 1
lim ( )x
x x +( ) =2
23 4 1
=7
12
3
limlim
lim ( )x
x
x
xx
x
x+=
+=
11
311
3
11
41
4
111 433
11 1( )+=
lim log( ) log lim ( )x x
x x+ = +( ) =1 19 9
= + + = =( )( )0 3 0 5 515
2 0 1 1
= + +( ) =lim ( )lim( )
x
x
x xx
0
21
3 50
lim ( )x
xx x+ + =0
2 13 5
= + + = = =( ) ( )2 4 1 4 5 9 1 3 1 2
= + + =lim ( ) ( )x
x4
2 1 4 5
= + +( ) =lim lim( )x x
x x4 4
2 1 5
limx
x x+ +( ) =4
2 1 5
limx
x x
x x
+=
2
4
2
2 8 6
3 4
limx
x x
x x
+=
2
4
2
2 8 6
3 4
=+
= =5 5 6 5 7
4 5 1162
21547
2( ) ( )( )
limx
x xx
+=
5
25 6 74 1
lim ( )x
x x x+ =10
3 23 5
b)
En aquest apartat procedim com en l’anterior:
c)
Les imatges de tots els valors pròxims a 3 per l’es-querra i per la dreta es calculen mitjançant la ma-teixa expressió analítica; aleshores:
8. a)
Com que les imatges dels valors pròxims a 1 es cal-culen mitjançant expressions analítiques dife-rents, segons que siguin més petits o més gransque 1, considerem límits laterals:
b)
En aquest cas procedim de manera anàloga a l’apartat anterior:
c)
En aquest cas les imatges dels valors pròxims a 5tant per l’esquerra com per la dreta es calculenamb la mateixa expressió analítica, així:
lim ( ) lim ( )x x
f x x= = =5 5
2 9 2 5 9 1
lim ( )x
f x5
:
= = =+
lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x f x f x3 3 3
3
lim ( ) lim ( )
lim ( ) limx x
x x
f x x
f x+
= =
=
3 3
3
3
332 9 2 3 9 3
+= =( )x
lim ( )x
f x3
:
+lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x f x f x1 1 1
lim ( ) lim ( )
lim (x x
x
f x x
f+
= = =1 1
1
2 9 2 1 9 7
xx xx
) lim ( )= =+1
1
lim ( )x
f x1
:
lim ( ) lim( )x x
f x x= + = + =3 3
3 3 3 6
lim ( )x
f x3
:
+lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x xf x f x f x
1 1 1
lim ( ) lim ( ) ( )
lim
x x
x
f x x
+
= + = + =1 1
1
3 1 3 2
ff xx
xx( ) lim
( )
( )=
+=
+=
= =
+1
2
2
2
2
2
1
2 1
1 122
1
lim ( )x
f x1
:
+lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x f x f x1 1 1
lim ( ) lim
limx x
f xx
x=
+=
+= =
1 1
2
2
2
2
2
1
2 1
1 1
22
1
xx xf x x
+ += + = + =
1 13 1 3 4( ) lim ( )
141
8. L
ímits
b)
=1033 102+5 10 =750
c)
d)
e)
f)
g)
log x és contínua
=log (1 +9) =log (8)
h)
i)
j)
sin x és contínua
=2 (1) =2
7.a)
Com que les imatges dels valors pròxims a 1 perl’esquerra i per la dreta no es calculen mitjançantla mateixa expressió analítica, calculem els límitslaterals:
lim()x
fx1
:
==== 23232
23
22
((lim)) sinxsinsinx
lim()limxx
sinxsinx ==
22
2323
=+ ()=()= ()() 32421645252
=+= lim()limxx
xx22
2341
lim()x
xx+ ()= 2
2341
=7
12
3
limlim
lim() x
x
x
xx
x
x +=
+=
11
311
3
11
41
4
1114
33
111 () +=
limlog()loglim()xx
xx +=+ ()= 1199
=++== ()()
0305515
2011
=++ ()= lim()lim()
x
x
xxx
0
21
350
lim()x
xxx ++=
0
2135
=++=== ()() 2414591312
=++= lim()()x
x4
2145
=++ ()= limlim()xx
xx44
215
limx
xx ++ ()= 4215
limx
xx
xx
+=
2
4
2
286
34
limx
xx
xx
+=
2
4
2
286
34
=+
==55657
451162
21547
2()()
()
limx
xxx
+=
5
2567
41
lim()x
xxx +=10
3235
b)
En aquest apartat procedim com en l’anterior:
c)
Les imatges de tots els valors pròxims a 3 per l’es-querra i per la dreta es calculen mitjançant la ma-teixa expressió analítica; aleshores:
8.a)
Com que les imatges dels valors pròxims a 1 es cal-culen mitjançant expressions analítiques dife-rents, segons que siguin més petits o més gransque 1, considerem límits laterals:
b)
En aquest cas procedim de manera anàloga a l’apartat anterior:
c)
En aquest cas les imatges dels valors pròxims a 5tant per l’esquerra com per la dreta es calculenamb la mateixa expressió analítica, així:
lim()lim()xx
fxx ===55
292591
lim()x
fx5
:
=== + lim()lim()lim()xxx
fxfxfx333
3
lim()lim()
lim()limxx
xx
fxx
fx +
==
=
33
3
3
33292393 +== () x
lim()x
fx3
:
+ lim()lim()lim()xxx
fxfxfx111
lim()lim()
lim(xx
x
fxx
f +
===11
1
292197
xxxx
)lim() == +1
1
lim()x
fx1
:
lim()lim()xx
fxx =+=+=33
3336
lim()x
fx3
:
+ lim()lim()lim()xxx
fxfxfx111
lim()lim()()
lim
xx
x
fxx
+
=+=+=11
1
3132
ffxx
x x()lim
()
()=
+=
+=
==
+1
2
2
2
2
2
1
21
1122
1
lim()x
fx1
:
+ lim()lim()lim()xxx
fxfxfx111
lim()lim
limxx
fxx
x=
+=
+==
11
2
2
2
2
2
1
21
11
22
1
xxxfxx ++ =+=+=
113134 ()lim()
C M
Y K
142
8. Límits
9.a)
=3()22 () 4 =
=3(+) () 4 =(+) +4 =+
b)
c)
=((+) +4)((+)25 (+) +2) =
=(+)((+) +2) =(+)() =
d)
=(+)()=0
3.INDETERMINACIONS
10.a)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
—Factoritzem per (x 2) numerador i denomi-nador:
x35 x2+6 x =(x 2) (x23 x)
=+
==()()
()()6
44
=+
=()()
() 36
4
=
+ limlimlim(
xxxxx
36
4
))
=
=
+
=
lim()
lim()
()
x
x
xx3
6
4
limlimx
x
x
xxxx +=
+33
64
64
=
limxx
+)=
+lim
x2
=+()( ++++
limlimlim()limxxxx
xxx 452
++
=++=++
lim()lim()xx
xxx 4522
lim(()())x
xxx+
++= 4522
=+
=+
=11
0 3()
=+++
=+++
=1
5
133
(()())(()())
=
+()
=+++
=
++
1
5
1
5 2323limlim(()())
xxxx
=+
=
+()
+
++
lim
lim()lim()
x
xx
xxxx
1
5
1
52323==
lim()lim() xx
xxxx ++
+=+
= 51
523
23
== 3242
limlimlimxxx
xx
lim()x
xx= 3242x2x 2 =(x 2) (x +1)
Aleshores:
—Simplifiquem el factor (x 2) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:
b)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
—Factoritzem per x numerador i denomina-dor:
x2+3 x =x (x +3)
2 x2x =x (2 x 1)
Aleshores:
—Simplifiquem el factor x i calculem el límit del’expressió resultant:
c)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
—Multipliquem numerador i denominador perl’expressió conjugada del numerador:
Obtenim de nou la indeterminacióPerò
en aquest cas prové dels factors en els quals no intervé l’arrel; així, procedim com en els altres apartats.
—Simplifiquem el factor (x 1) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:
00
.
=++ ()
= lim() x
x
xx 1
1
1154
00
=+ ()++ ()
++ ()= lim
() x
xx
xx 1
154154
1154
limx
xx+
=1
1541
00
.
=+
==03
20131
3
lim()
()lim
xx
xx
xxxx
+=
+=
00
3
213
21
limlim()
() xx
xx
xx
xxxx
+=
+
0
2
20
3
2
321
=+
==232
2146
323
2
lim()()
()()lim
xx
xxx
xx
xxx +
=+ 2
2
2
2 23
21
31
==
limlim()()
( xx
xxx
xx
xxxx
+=
2
32
22
256
2
23221 )() x+
00
.
00
.
142
8. L
ímits
9. a)
= 3 ( )2 2 ( ) 4 =
= 3 (+ ) ( ) 4 = (+ ) + 4 = +
b)
c)
= ((+ ) + 4)( (+ )2 5 (+ ) + 2) =
= (+ )( (+ ) + 2) = (+ )( ) =
d)
= (+ )( ) = 0
3. INDETERMINACIONS
10. a) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
— Factoritzem per (x 2) numerador i denomi-nador:
x3 5 x2 + 6 x = (x 2) (x2 3 x)
=+
= =( ) ( )
( ) ( )6
4 4
=+
=( ) ( )
( )3 64
=
+lim lim lim(
x x xx x3 6
4
))
=
=
+
=
lim ( )
lim ( )
( )
x
x
x x3 6
4
lim limx
x
x
x x x x+=
+3 364
64
=
limx
x
+ ) =+lim
x2
= +( )(+ + + +lim lim lim ( ) lim
x x x xx x x4 52 ++
= + + =+ +
lim ( ) lim ( )x x
x x x4 5 22
lim (( )( ))x
x x x+
+ + =4 5 22
=+
=+
=1 1
03( )
=+ + +
=+ + +
=1
5
13 3( ( ) ( )) (( ) ( ))
=
+( )=
+ + +=
+ +
1
5
1
52 3 2 3lim lim ( ( ) ( ))
x xx x
=+
=
+( )+
++
lim
lim ( ) lim ( )
x
x x
x x x x
1
5
1
52 3 2 3
==
lim ( ) lim( )x x
x xx x+ +
+ =+
=51
52 3
2 3
= =3 2 42lim lim limx x x
x x
lim ( )x
x x =3 2 42 x2 x 2 = (x 2) (x + 1)
Aleshores:
— Simplifiquem el factor (x 2) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:
b) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
— Factoritzem per x numerador i denomina-dor:
x2 + 3 x = x (x + 3)
2 x2 x = x (2 x 1)
Aleshores:
— Simplifiquem el factor x i calculem el límit del’expressió resultant:
c) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la
procedim de la manera següent:
— Multipliquem numerador i denominador perl’expressió conjugada del numerador:
Obtenim de nou la indeterminació Però
en aquest cas prové dels factors en els quals no intervé l’arrel; així, procedim com en els altres apartats.
— Simplifiquem el factor (x 1) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:
00
.
=+ +( )
=lim( )x
x
x x1
1
1 15 4
00
=+( ) + +( )
+ +( )=lim
( )x
x x
x x1
15 4 15 4
1 15 4
limx
xx+
=1
15 41
00
.
=+
= =0 3
2 0 131
3
lim( )
( )lim
x x
x x
x xxx
+=
+=
0 0
3
2 13
2 1
lim lim( )
( )x x
x x
x x
x xx x
+=
+
0
2
2 0
3
2
32 1
=+
= =2 3 2
2 14 6
323
2
lim( )( )
( )( )lim
x x
x x x
x x
x xx+
=+2
2
2
22 3
2 1
31
==
lim lim( )( )
(x x
x x x
x x
x x xx
+=
2
3 2
2 2
25 6
2
2 322 1)( )x +
00
.
00
.
CM
YK
143
8. Límits
d) En resulta la indeterminació Efectuant-hi el
quocient, tenim:
11. a) Dividim per x2 el numerador i el denominador:
b) Dividim per x2 el numerador i el denominador:
c) Dividim per x2 el numerador i el denominador:
d) Dividim per x3 el numerador i el denominador:
lim limx x
x xx
x
x
x
x xx
+
+=
+4 2 1
2 3
4 2 1
2
3
3
3 3 3
xx x3 3
3+
=
=
+
=+
= =limx
x x
x x
6 2
27 4
0 02 0 0
02
02
2
=
+
=limx
x
x x
x
x
x
x x
6 2
2 7 4
2 2
2
2 2 2
limx
x
x x +=
6 2
2 7 42
=
+
+
=+
+= =lim
x
x
x x
13
8 51 00 0
10
2
2
lim limx x
xx
x
x xx
x x
+
+=
+
+
=2
2
2 2
2 2
38 5
3
8 5
=
+
+ +
=+
+ += =
+lim
x
x x
x x
83 5
41 1
8 0 04 0 0
84
22
2
=
+
+ +
=+
limx
x
x
x
x x
x
x
x
x x
8 3 5
4 1
2
2 2 2
2
2 2 2
limx
x x
x x+
+
+ +=
8 3 5
4 1
2
2
limx
x x x
x x
+ + +
+= +
2 10 5
2 6
4 3
3 2
lim :x
x
x
x
x
+ +
+=
5 2 6
2 12 3
00
.
=+ +
=+
=limx x1
1
15 4
1
16 4
18
lim( )x
x
x x + +( )=
1
1
1 15 4
12. a)
De l’exemple 13, se’n dedueix:
Així, per tal de resoldre la indeterminació substi-tuïm el numerador i el denominador pels infinitè-sims equivalents:
b)
Obtenim la indeterminació .
Considerem la funció . Com que escompleix que tenim:
Així, doncs:
13. a)
Per a resoldre la indeterminació, considerem que:
Per tant:
b)
Obtenim la indeterminació .
Per tal de resoldre-la, considerem que:
Així, doncs:
= = =+ +
limlog
loglim
x x
x
x
4
646
46
limlog( )
log( )lim
log
lox x
x x
x
x+ +
+ +=
4 3
6
45
3 gg x6=
log( ) logx x6 63 ∼
log( ) logx x x4 3 45+ + ∼
limlog( )
log( )x
x x
x+
+ +=
4 3
6
5
3
limx x+
=1
05
lim limx x
x x
x x
x
x+ +
+ +
+ += =
24
3 3
3 1
4 7
x x x3 34 7+ + ∼
x x x x24 243 1+ + =∼
limx
x x
x x+
+ +
+ +=
24
3
3 1
4 7
lim lim limx
x
x x
e
x
x
x x= = = +
0 4 0 4 0 7
1 1
e h xh x( ) ( )1 ∼
lim ( ) ,x
h x =0
0h x x( ) =
00
limx
xe
x=
0 4
1 00
limcos
lim limx x x
tg xx
x
x x= = =
0 0 2 012
2
tg x x en x∼ 0 0=
limcosx
tg xx=
0 100
=
+
+
=+
= = +limx
x x
x x
42 1
2 34 0 0
0 040
2 3
2 3
143
8. L
ímits
d)En resulta la indeterminació Efectuant-hi el
quocient, tenim:
11.a)Dividim per x2el numerador i el denominador:
b)Dividim per x2el numerador i el denominador:
c)Dividim per x2el numerador i el denominador:
d)Dividim per x3el numerador i el denominador:
limlimxx
xxx
x
x
x
xxx
+
+=
+421
23
421
2
3
3
333
xxx33
3+
=
=
+
=+
== limx
xx
xx
62
274
00200
02
02
2
=
+
= limx
x
xx
x
x
x
xx
62
274
22
2
222
limx
x
xx+=
62
2742
=
+
+
=+
+== lim
x
x
xx
13
851000
10
2
2
limlimxx
xx
x
xxx
xx
+
+=
+
+
=2
2
22
22
385
3
85
=
+
++
=+
++==
+lim
x
xx
xx
835
411
800400
84
22
2
=
+
++
=+
limx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
835
41
2
222
2
222
limx
xx
xx +
+
++=
835
41
2
2
limx
xxx
xx
+++
+=+
2105
26
43
32
lim:x
x
x
x
x
++
+=
526
2123
00
.
=++
=+
= limxx 1
1
154
1
164
18
lim() x
x
xx++ ()=
1
1
1154
12.a)
De l’exemple 13, se’n dedueix:
Així, per tal de resoldre la indeterminació substi-tuïm el numerador i el denominador pels infinitè-sims equivalents:
b)
Obtenim la indeterminació.
Considerem la funció . Com que escompleix quetenim:
Així, doncs:
13.a)
Per a resoldre la indeterminació, considerem que:
Per tant:
b)
Obtenim la indeterminació.
Per tal de resoldre-la, considerem que:
Així, doncs:
===++
limlog
loglim
xx
x
x
4
646
46
limlog()
log()lim
log
lo xx
xx
x
x++
++=
43
6
45
3ggx6=
log()log xx66
3∼
log()log xxx434
5 ++∼
limlog()
log() x
xx
x +
++=
43
6
5
3
limxx
+=
10
5
limlimxx
xx
xx
x
x ++
++
++==
2 4
33
31
47
xxx33
47 ++∼
xxxx2 42 4
31 ++= ∼
limx
xx
xx +
++
++=
2 4
3
31
47
limlimlimx
x
xx
e
x
x
xx===+
040407
11
ehxhx()
() 1∼
lim(),x
hx=0
0hxx ()=
00
limx
xe
x=
04
100
limcos
limlimxxx
tgxx
x
xx===
0020 12
2
tgxxenx ∼00 =
limcos x
tgxx=
0100
=
+
+
=+
==+ limx
xx
xx
421
23400
0040
23
23
C M
Y K
144
8. Límits
14.a)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
b)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
c)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
d)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
15.a)En resulta la indeterminació 0 �(+). Efectuant-hi el producte, tenim:
b)En resulta la indeterminació0 �. Si efectuem elproducte obtenim:
=+ 00
1108010
8+
++
+=
=
+
+
+ limlx
x
xxx
x
x
x
69
8
55
5
5
2
5
iimx
x
x
x
xx
xx
+
+
=
812
8
3
3
2
3
3
33
limx
=+
++
+
+
69
8
812
852
32
3
x
xx
xx
x xlim=
=llimx
x
xx
xx
x
+
++
+
+=
69
582
812
8
32
3
limx
x
xxx
+
++=
23
2
34 332
2
limlimxx
x
x
xx
xx
xx ++ +=
+
4
1
1442
23
3==4
=+
=+
==33
9
2790
180 3
2
2 limx
xx
x
limlim()
xx
xx
x
x
xxx
x=
+
3
2
23
2
2 3
4
9
34=
9
li =mmx
x
x
x
xxx
xx
+
++
+
=++
+==
2
22
44
1
1
100
00
10
limlimxx
xx
x
xx
x +++
+=
++
+= 1
1
1
1
22
limlimxx
xxx
xx
xx
x ++
+
+=
+ 22
22
92222
224
9 =
=+++
=++
limx
xxxx
xx
7532
42
333
3
limx
x
x
x
x +
++=
5
2
3
2
4
3
1
c)
=1(+)
Transformem
Ara calculem:
D’altra banda:
Per tant:
d)
Transformem
Ara calculem:
D’altra banda:
limx
x
x
xx
+=
512
2
=+
+
+
+
limx
xx
x
xx
11
5
2
5
2551
2
2
xx
x
limx
xx x
x+
+= 1
52
12
15
11
5
22 ++
=+
+
x
xxx
15
11
2 ++
+x
xen
Fx():
=++
= limlim
(
x
xx x
x
x
15
1 2
12
)
limx
xx x
x+
+= 1
52
12
limx
xx
xxe
+
++
=3
2
353
=++
=+
limx
xx
xx
314153
2
2
lim()x
x
xxx
+
++=
335 2
=+
+
+
+lim
x
xxx
xxx
11
3
2
3
2+
+xxx
x3
35 2()
limx
xx
xx +
+
+=
2
2
353
=++
=+
+
13
11
3
22
x
xxxxx
13
113
2
2
22
2 ++
=+++
=x
xx
xxx
xx
x
xxen
Fx
2
2
31
1 ++
():
limlimx
x
x
x
xx
x
xx +
+
+
+=
+2
2
352
2
33=
++ lim() xx 35
144
8. L
ímits
14. a) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
b) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
c) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
d) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:
15. a) En resulta la indeterminació 0 � (+ ). Efectuant-hi el producte, tenim:
b) En resulta la indeterminació 0 � . Si efectuem elproducte obtenim:
=+0 0
11 08 01 0
8+
++
+=
=
+
+
+lim lx
x
x xx
x
x
x
6 9
8
5 5
5
5
2
5
iimx
x
x
x
xx
x x
+
+
=
8 12
8
3
3
2
3
3
3 3
limx
=+
++
+
+
6 9
8
8 12
85 2
3 2
3
x
x x
x x
xxlim =
= llimx
x
x x
x x
x
+
++
+
+=
6 9
5 8 2
8 12
8
3 2
3
limx
x
x xx
+
++ =
2 3
2
34
3 3 22
lim limx x
x
x
xx
x x
x x+ ++=
+
4
1
1 4 42
2 3
3== 4
=+
=+
= =3 3
9
27 90
1803
2
2limx
x x
x
lim lim( )
x x
xx
x
x
x x x
x=
+
3
2
2 3
2
23
4
9
3 4=
9
li= mmx
x
x
x
x xx
x x
+
+ +
+
=+ +
+= =
2
2 2
4 4
1
1
1 0 0
0 0
10
lim limx x
xx
x
x x
x+ ++
+=
+ +
+=1
1
1
1
2 2
lim limx x
x xx
xx
x x
x+ +
+
+=
+22
22
9 22 2 2
22 49=
=+ + +
= ++
limx
x x x x
x x
7 5 3 2
4 2
3 3 3
3
limx
x
x
x
x+
+ +=
5
2
3
2
4
3
1
c)
= 1(+ )
Transformem
Ara calculem:
D’altra banda:
Per tant:
d)
Transformem
Ara calculem:
D’altra banda:
limx
x
x
xx
+=
5 12
2
= +
+
+
+
limx
xx
x
xx
11
5
2
5
255 1
2
2
xx
x
limx
xxx
x+
+=1
52
12
15
11
5
2 2+
+= +
+
x
x xx
15
11
2+
++
x
xen
F x( ):
= ++
=limlim
(
x
xxx
x
x
15
12
12
)
limx
xxx
x+
+=1
52
12
limx
xx
x xe
+
++
=3
2
3 53
=+ +
=+
limx
x x
x x
3 14 153
2
2
lim ( )x
x
x xx
+
++ =
33 5
2
= +
+
+
+lim
x
x xx
x xx
11
3
2
3
2+
+xx x
x3
3 52 ( )
limx
xx
x x+
+
+=
2
2
3 53
= ++
= +
+
13
11
3
2 2
x
x x x xx
13
1 132
2
2 2
2+
+= +
+ +=
x
x x
x x x
x x
x
x xen
F x
2
2
31
1++
( ):
lim limx
x
x
x
x x
x
x x+
+
+
+=
+2
2
3 5 2
2
3 3=
++lim ( )
xx3 5
CM
YK
145
8. Límits
Per tant:
e)
Transformem
Ara efectuem:
D’altra banda:
Per tant:
f)
Transformem
Ara fem:
limx
x
xx+
=2 32 5
37
2
= ++
= +12 3 2 5
2 51
12 5
2
x x
x x
2 32 5
12 32 5
1xx
xx
= + =
2 32 5
11x
xen
F x+
( ):
= =+
++
limlim
( )
x
x
xx
x2 32 5
1
37
2
limx
x
xx+
=2 32 5
37
2
limx
x
x
xe
+= =
2
2
56
031
lim limx xx
x x
x+ += =
3 56
15
60
2 2
= ++
limx
x x
x1
1
3
2
3
32 2
56x
limx
x
x
x+=
2
2
563
= + = +13
11
3
2 2
2 2
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
2
31
31= + =
x
xen
F x
2
2
31
1+
( ):
= =+
++
limlim
( )
x
x
x
x
x2
2
563
1
limx
x
x
x+=
2
2
563
limx
xxx
xe e+
+= =1
52
1
1
2
=+
=limx
x x x
x
3 2
3
5 51
D’altra banda:
Per tant:
g)
Transformem
Ara realitzem:
D’altra banda, tenim:
Per tant:
h)
=+
=
+
+limlim
(
x
xxx x
x
x3
3 41
2
2
56
3
))
limx
xxx x
x
+
+=
3
3 4
2
2
56
3
limx
xx x
xe
+
+ +
+=
2
2
263 2
1
=+
=+
limx
x x
x
6 2
16
2
2
lim ( )x
x
xx
+
+
+=
3 1
12
2
= ++
+
+
+
+lim
x
xx
xx
11
13 1
2
13 1
2+
+
3 11
22
xx
x( )
limx
xx x
x+
+ +
+=
2
2
23 2
1
= ++
+= +
+
+
13 1
11
1
13 1
2 2
x
x xx
= ++ +
+=1
3 2 1
1
2 2
2
x x x
x
x x
x
x x
x
2
2
2
2
3 2
11
3 2
11
+ +
+= +
+ +
+=
x x
xen
F x
2
2
3 2
11
1+ +
++
( ):
=+ +
+=
+
+
lim
lim ( )( )
x
xx x
x
x2
2
23 2
11
limx
xx x
x+
+ +
+=
2
2
23 2
1
lim ( )
x
x
xx
e+
+= = +
2 32 5
37
2
lim limx xx
x xx+ +
= = +2
2 53
76
14 35
2 2
= ++
limx
x x
x1
12 5
2
2 52
22 55
37
2x
145
8. L
ímits
Per tant:
e)
Transformem
Ara efectuem:
D’altra banda:
Per tant:
f)
Transformem
Ara fem:
limx
x
xx +
=2325
37
2
=++
=+ 12325
251
125
2
xx
xx
2325
12325
1xx
xx
=+=
2325
11 x
xen
Fx+
():
==+
++
limlim
()
x
x
xx
x2325
1
37
2
limx
x
xx +
=2325
37
2
limx
x
x
xe
+==
2
2
56
0 31
limlimxx x
xx
x ++==
356
15
60 22
=++
limx
xx
x1
1
3
2
3
322
56x
limx
x
x
x +=
2
2
56 3
=+=+ 13
11
3
22
22
xx
xx
x
x
x
x
2
2
2
2
31
31 =+=
x
xen
Fx
2
2
31
1+
():
==+
++
limlim
()
x
x
x
x
x 2
2
56 3
1
limx
x
x
x +=
2
2
56 3
limx
xx x
xee +
+== 1
52
1
1
2
=+
= limx
xxx
x
32
3
551
D’altra banda:
Per tant:
g)
Transformem
Ara realitzem:
D’altra banda, tenim:
Per tant:
h)
=+
=
+
+lim
lim(
x
xx xx
x
x3
341
2
2
56
3
))
limx
xx xx
x
+
+=
3
34
2
2
56
3
limx
xxx
xe
+
++
+=
2
2
26 32
1
=+
=+
limx
xx
x
62
16
2
2
lim()x
x
xx
+
+
+=
31
12 2
=++
+
+
+
+lim
x
xx
xx
11
131
2
131
2+
+
311
2 2
xx
x ()
limx
xxx
x +
++
+=
2
2
232
1
=++
+=+
+
+
131
11
1
131
22
x
xxx
=+++
+= 1
321
1
22
2
xxx
x
xx
x
xx
x
2
2
2
2
32
11
32
11
++
+=+
++
+=
xx
xen
Fx
2
2
32
11
1 ++
++
():
=++
+=
+
+
lim
lim()()
x
xxx
x
x 2
2
232
11
limx
xxx
x +
++
+=
2
2
232
1
lim()
x
x
xx
e+
+==+
2325
37
2
limlimxx x
xxx ++
==+2
253
76
1435
22
=++
limx
xx
x1
125
2
252
2255
37
2x
C M
Y K
146
8. Límits
Transformem
Ara caculem:
D’altra banda:
Per tant:
4.APLICACIÓ DELS LÍMITS: ASÍMPTOTES D’UNAFUNCIÓ
16.a)•Asímptotes verticals:
Els punts x0en què el límit pot donar infinit estroben entre els zeros del denominador:
x +2 =0 x =2
El límit en aquest punt és:
La recta x =2 és l’única asímptota vertical.
•Asímptotes horitzontals:
Per tant, la recta y =3 és una asímptota horit-zontal per totes dues bandes.
•Asímptotes obliqües:
Com que
no hi ha asímptotes obliqües.
mfx
xx
xx xx==
+=
±±lim
()lim
(),
312
0
limx
xx ±+
=31
23
limx
xx+
=2
312
limx
xx xx
xe
+
+==
3
340
2
2
56
3
+++
+= lim
x
xxx
xxx
43
32
4520
318424
limx
x
x
xx
++=
4
34
56 2
3
=+
+
+lim
x
xx
xx
11
344
2
344
2++ x
xxx
434
56
2
3
limx
xx xx
x
+
+=
3
34
2
2
56
3
=+
+
11
344
2xx
=+++
=++
= 1334
341
4
34
22
22
xxx
x
x
x
3
341
3
341
2
2
2
2
xx
x
xx
x
+=+
+=
3
341
12
2
xx
xen
Fx+
+()
:b)•Asímptotes verticals:
Com que x2+1 �0 x ��, no hi ha asímpto-tes verticals.
•Asímptotes horitzontals:
Com que no és finit, no hi ha
asímptotes horitzontals d’aquesta funció.
•Asímptotes obliqües:
Vegem si n’hi ha:
Anàlogament, quan x tendeix a menys infinit.Aleshores, la recta y =x +4 és una asímptota obli-qua de la funció per totes dues bandes.
c)•Asímptotes verticals:
Com que per a tot real
no té asímptotes verticals.
•Asímptotes horitzontals:
Com que la recta y =0 és una
asímptota horitzontal per totes dues bandes.
•Asímptotes obliqües:
Vegem si existeixen els límits:
Com que m =0, la funció h (x) no té asímptotesobliqües.
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
17.Segons la definició de límit d’una funció, tenim:
>0, >0 �0 <�x 1�<
�(4 x +2) 6�<
Per tant, veurem que, donat qualsevol �0, podemtrobar un �� 0 tal que, si 0��x 1���, aleshores�(4 x +2) 6��.
Però:
�(4 x +2) 6� =�4 x 4� =�4 (x 1)� =4 �x 1�
lim()x
x+=1
426
mhx
xxe xxx====
±±lim
()lim
110 2
lim()
lim(())xx
hx
xmihxmxb
±±==
lim,x
xe
±=
2
0
xeexx
xx0
0
202
lim, =�
bgxxxx
x xx==
+=
++lim(())lim
4
14
2
2
mgx
xxx
xx xx==
+
+=
++lim
()lim
32
3
41
lim()
lim(())xx
gx
xmigxmxb
±±==
limx
xx
x ±
+
+
32
2
4
1
146
8. L
ímits
Transformem
Ara caculem:
D’altra banda:
Per tant:
4. APLICACIÓ DELS LÍMITS: ASÍMPTOTES D’UNAFUNCIÓ
16. a) • Asímptotes verticals:
Els punts x0 en què el límit pot donar infinit estroben entre els zeros del denominador:
x + 2 = 0 x = 2
El límit en aquest punt és:
La recta x = 2 és l’única asímptota vertical.
• Asímptotes horitzontals:
Per tant, la recta y = 3 és una asímptota horit-zontal per totes dues bandes.
• Asímptotes obliqües:
Com que
no hi ha asímptotes obliqües.
mf x
xx
x xx x= =
+=
± ±lim
( )lim
( ),
3 12
0
limx
xx± +
=3 1
23
limx
xx +
=2
3 12
limx
xxx x
xe
+
+= =
3
3 40
2
2
56
3
+ + +
+=lim
x
x x x
x x x
4 3
3 2
4 5 20
3 18 4 24
limx
x
x
xx
+ +=
4
3 4
562
3
= +
+
+lim
x
xx
xx
11
3 44
2
3 44
2+ +x
xxx
43 4
562
3
limx
xxx x
x
+
+=
3
3 4
2
2
56
3
= +
+
11
3 44
2xx
= ++ +
= ++
=13 3 4
3 41
4
3 4
2 2
2 2
x x x
x
x
x
3
3 41
3
3 41
2
2
2
2
x x
x
x x
x
+= +
+=
3
3 41
12
2
x x
xen
F x+
+( )
:b) • Asímptotes verticals:
Com que x2 + 1 � 0 x � �, no hi ha asímpto-tes verticals.
• Asímptotes horitzontals:
Com que no és finit, no hi ha
asímptotes horitzontals d’aquesta funció.
• Asímptotes obliqües:
Vegem si n’hi ha:
Anàlogament, quan x tendeix a menys infinit.Aleshores, la recta y = x + 4 és una asímptota obli-qua de la funció per totes dues bandes.
c) • Asímptotes verticals:
Com que per a tot real
no té asímptotes verticals.
• Asímptotes horitzontals:
Com que la recta y = 0 és una
asímptota horitzontal per totes dues bandes.
• Asímptotes obliqües:
Vegem si existeixen els límits:
Com que m = 0, la funció h (x) no té asímptotesobliqües.
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
17. Segons la definició de límit d’una funció, tenim:
> 0, > 0 �0 < �x 1� <
�(4 x + 2) 6 � <
Per tant, veurem que, donat qualsevol � 0, podemtrobar un � � 0 tal que, si 0 � �x 1� � �, aleshores�(4 x + 2) 6 � � .
Però:
�(4 x + 2) 6 � = �4 x 4 � = �4 (x 1)� = 4 �x 1�
lim( )x
x + =1
4 2 6
mh x
x x ex x x= = = =
± ±lim
( )lim
1 102
lim( )
lim ( ( ) )x x
h x
xm i h x m x b
± ±= =
lim ,x
xe±
=2
0
x e ex x
x x0
0
202
lim ,= �
b g x xx x
xx x= =
+=
+ +lim ( ( ) ) lim
4
14
2
2
mg x
xx x
x xx x= =
+
+=
+ +lim
( )lim
3 2
3
41
lim( )
lim ( ( ) )x x
g x
xm i g x m x b
± ±= =
limx
x x
x±
+
+
3 2
2
4
1
CM
YK
147
8. Límits
Així, si prenem x tal que es verificarà:
Per tant, donat qualsevol � 0, n’hi ha prou de prendre:
— En particular, si = 1, tenim � = 0,25; així, doncs,l’entorn
(1 0, 25, 1 + 0, 25) = (0,75, 1, 25)
compleix la condició exigida en l’enunciat.
18. Segons la definició de límit d’una funció en un punt,tenim:
> 0, > 0 �0 < � x ( 2) � <
Per tant, hem de veure que, donat qualsevol � 0, po-dem trobar un � � 0 tal que, si:
Però:
Així, si prenem x tal que �x + 2� � , es verificarà:
Per tant, n’hi ha prou de prendre
— En particular, per a = 0, 3, tenim � = 0, 1.
Aleshores, l’entorn:
( 2 0,1, 2 + 0,1) = ( 2,1, 1,9)
compleix la condició exigida en l’enunciat.
19. Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:
+<
xx2
515
lim , |x
xx
M x M+
+= > > >
25
15
0 0
=13
.
6 142
1 3 2 33
xx
+= + < =
13
=+
= + = +6 12
23 6 3 2
xx x
6 142
16 14 2
2x x+
=+
=
0 26 14
21< + <
+<x
x, aleshores
+<
6 142
1x
limx
x +=
2
6 142
1
=4
( )4 2 6 4 1 44
x x+ = < =
x <14
,Per tant, hem de veure que, donat qualsevol > 0,podem trobar un M > 0 tal que, si x > M, aleshores:
Ara bé:
Així, si prenem x tal que x � M, es compleix:
Per tant, donat qualsevol > 0, n’hi ha prou de pren-
dre
— En particular, per a = 0,005, tenim M = 80.
20. Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:
Per tant, hem de veure que, donat qualsevol > 0,podem trobar M > 0 tal que, si x < M, aleshores:
Ara bé:
Així, si prenem x tal que x < M, es verificarà:
Per tant, donat > 0, n’hi ha prou de prendre
— En particular, per a
21. Dividim numerador i denominador per x2:
=
+
+ +
=+
limx
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
2
2 2 2
4
4
2
4 4
2
2
3 5
2 3
limx
x x
x x x+
+
+ +=
2
4 2 2
3 5
2 3
= = =0 23 0 20 2
15, ,,
,.M
M =3
2 32
3 32
2 2 2
x
x x M= <
= =3 32 2x x
2 32
2 3 22
2
2 2
2
x
x
x x
x= =
2 32
2
2
x
x<
<2 3
22
2
x
x
lim , |x
x
xM x M= > > <
2 32 0 0
2
2
M =2
5.
xx x x M+
= = <2
515
25
25
25
xx
x xx x
+=
+=
25
15
25
25
xx+
<2
515
147
8. L
ímits
Així, si prenem x tal quees verificarà:
Per tant, donat qualsevol �0, n’hi ha prou de prendre:
—En particular, si =1, tenim �=0,25; així, doncs,l’entorn
(1 0, 25, 1 +0, 25) =(0,75, 1, 25)
compleix la condició exigida en l’enunciat.
18.Segons la definició de límit d’una funció en un punt,tenim:
>0, >0 �0<�x (2)�<
Per tant, hem de veure que, donat qualsevol �0, po-dem trobar un �� 0 tal que, si:
Però:
Així, si prenem x tal que �x +2��, es verificarà:
Per tant, n’hi ha prou de prendre
—En particular, per a =0, 3, tenim �=0, 1.
Aleshores, l’entorn:
(2 0,1, 2 +0,1) =(2,1, 1,9)
compleix la condició exigida en l’enunciat.
19.Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:
+<
xx2
515
lim,|x
xx
MxM+
+=>>>
25
15
00
=13
.
6142
13233
xx
+=+<=
13
=+
=+=+612
23632
xxx
6142
16142
2xx +
=+
=
02614
21 <+<
+< x
x,aleshores
+<
6142
1x
limx
x+=
2
6142
1
=4
() 4264144
xx +=<=
x< 14
,Per tant, hem de veure que, donat qualsevol >0,podem trobar un M >0 tal que, si x >M, aleshores:
Ara bé:
Així, si prenem x tal que x �M, es compleix:
Per tant, donat qualsevol >0, n’hi ha prou de pren-
dre
—En particular, per a =0,005, tenim M =80.
20.Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:
Per tant, hem de veure que, donat qualsevol >0,podem trobar M >0 tal que, si x <M, aleshores:
Ara bé:
Així, si prenem x tal que x <M, es verificarà:
Per tant, donat >0, n’hi ha prou de prendre
—En particular, per a
21.Dividim numerador i denominador per x2:
=
+
++
=+
limx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
2
222
4
4
2
44
2
2
35
23
limx
xx
xxx+
+
++=
2
422
35
23
=== 0230202
15 ,,,
,. M
M=3
232
332
222
x
xxM=<
==3322
xx
232
2322
2
22
2
x
x
xx
x==
232
2
2
x
x<
<23
22
2
x
x
lim,|x
x
xMxM =>><
23200
2
2
M=2
5.
xxxxM+
==<2
515
25
25
25
xx
xxxx
+=
+=
25
15
25
25
xx+
<2
515
C M
Y K
148
8. Límits
22.Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada:
23.En resulta la indeterminació 1.
Transformem
Per tant, podem escriure:
D’altra banda:
=+
+
+
+
lim
(
x
xx
xx
xx
0
2
1
111
2
2))
13
x
lim()x
x xx ++=0
21
13
xxxx
xx
22
2
11111
++=++=+
+
():
xxenFx
211
1+++
():
=++
==6
3030
6
233
=
++
=+
limx
xx
6
31
35
=
++
=+
limx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
6
3352
22
2
22
=++
=+
limx
x
xxxx
6
33522
=++
++=
+lim
x
xxxx
xxxx
335
335
22
22
=
+ ()()++
=+
limx
xxxx
xxxx
335
335
22
22
22
++
++=
335
335
22
22
xxxx
xxxx
=+ () +lim
xxxxx 335
22
limx
xxxx+
+ ()= 33522
=+
++==
100
1001
10
=
+
++
=+
limx
xx
xx
135
123
1
2
24Per tant:
24.En resulta la indeterminació 1.
Transformem
x23 =1 +x23 1 =1 +x24 =
Per tant, podem escriure:
D’altra banda:
Per tant:
25.Expressem el valor del límit en funció de k:
Per resoldre la indeterminació, dividim numerador idenominador per x3:
=++
+=
+ 400000
40
kk
=
++
+
= limx
kxx
xxx
425
131
3
23
=
++
+
= lim
()
x
kx
x
x
xx
x
x
x
xx
425
31
3
3
2
33
2
333
lim()
x
kxx
xx
++
+=
425
31
32
2
lim()
x
kxx
xx
++
+=
425
31
32
2
lim()x
x xe =2
25
2203
=+= lim(())x
x2
5220
lim()lim()()
xxx
xxx
x=
+
2
2
24
52
522=
2
=+ lim
(
x
x
x
x
2
2
14
4
111
4
2
2))
52 x
lim()x
x x=2
25
2 3
=+ 111
42
x
xenFx
231
1+
():
lim()x
x xxe+
++==+0
21
13
lim()limxx
xxx
xx
x+=
+=+
0
230
2
3
1
148
8. L
ímits
22. Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada:
23. En resulta la indeterminació 1 .
Transformem
Per tant, podem escriure:
D’altra banda:
= +
+
+
+
lim
(
x
x x
x x
x x
0
2
1
111
2
2 ))1
3x
lim ( )x
xx x+ + =0
21
1 3
x x x x
x x
2 2
2
1 1 111
+ + = + + = +
+
( ) :
x x enF x
2 1 11
+ + +( )
:
=+ +
= =6
3 0 3 0
6
2 33
=
+ +
=+
limx
x x
6
31
35
=
+ +
=+
limx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
6
3 3 52
2 2
2
2 2
=+ +
=+
limx
x
x x x x
6
3 3 52 2
=+ +
+ +=
+lim
x
x x x x
x x x x
3 3 5
3 3 5
2 2
2 2
=
+( ) ( )+ +
=+
limx
x x x x
x x x x
3 3 5
3 3 5
22
22
2 2
+ +
+ +=
3 3 5
3 3 5
2 2
2 2
x x x x
x x x x
= +( )+
limx
x x x x3 3 52 2
limx
x x x x+
+( ) =3 3 52 2
=+
+ += =
1 0 0
1 0 0 1
10
=
+
+ +
=+
limx
x x
x x
13 5
12 3
1
2
2 4 Per tant:
24. En resulta la indeterminació 1 .
Transformem
x2 3 = 1 + x2 3 1 = 1 + x2 4 =
Per tant, podem escriure:
D’altra banda:
Per tant:
25. Expressem el valor del límit en funció de k:
Per resoldre la indeterminació, dividim numerador idenominador per x3:
=+ +
+=
+4 0 00 0 0
40
k k
=
+ +
+
=limx
kx x
x x x
42 5
1 3 1
3
2 3
=
++
+
=lim
( )
x
k x
x
x
x x
x
x
x
x x
4 2 5
3 1
3
3
2
3 3
2
3 3 3
lim( )
x
k x x
x x
+ +
+=
4 2 5
3 1
3 2
2
lim( )
x
k x x
x x
+ +
+=
4 2 5
3 1
3 2
2
lim ( )x
xx e=2
25
2 203
= + =lim ( ( ))x
x2
5 2 20
lim ( ) lim( ) ( )
x xx
xx x
x=
+
2
2
24
52
5 2 2=
2
= +lim
(
x
x
x
x
2
2
14
4
111
4
2
2 ))5
2x
lim ( )x
xx =2
25
23
= +111
42x
x enF x
2 3 11
+( )
:
lim ( )x
xx x e++ + = = +0
21
1 3
lim ( ) limx x
x xx
x x
x+ =
+= +
0
23 0
2
3
1
CM
YK
149
8. Límits
Per decidir si aquest límit és + , o , hem de com-parar els signes del numerador i del denominadorquan la variable es fa cada vegada més petita:
Com que el denominador es fa negatiu quan x , perquè el límit sigui + , el numerador ha deser negatiu (o 0):
4 + k 0 k 4
El cas k = 4 correspon a una indeterminació, per laqual cosa l’hem d’estudiar a part:
Així, perquè es compleixi la condició de l’enunciat, hade ser:
k < 4
26. Expressem el valor del límit en funció del paràme-tre a:
Per resoldre la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:
Si imposem que el límit anterior sigui 4:
27. Com que f és una funció racional, perquè x = 0 siguiuna asímptota vertical s’ha d’anul.lar el denominadoren x = 0:
0 a = 0 a = 0
56
4245
aa= =
=+
+=
5 0 06 0 0
56
a a
=
+
+
=+
limx
ax x
x x
52 4
63 1
2
2
=
+
+
=+
limx
a x
x
x
x x
x
x
x
x x
5 2 4
6 3 1
2
2 2 2
2
2 2 2
limx
a x x
x x+
+
+=
5 2 4
6 3 1
2
2
limx
a x x
x x+
+
+=
5 2 4
6 3 1
2
2
=+
+= +lim
x
x
x x
2 5
3 12
2
2
lim( )
x
x x
x x
+
+=
4 4 2 5
3 1
3 2
2
xx x x
< + <01 3 1
02 3
Per tant, x = 0 és una asímptota vertical de f si, i noméssi, a = 0.
D’altra banda, perquè y = 0 sigui una asímptota horit-zontal de f s’ha de complir:
Ara bé, com que
aleshores aquesta condició es compleix independent-ment dels valors dels paràmetres a i b.
Es compleix la condició de l’enunciat, doncs, per a:
a = 0 , b �
28. En primer lloc, s’ha de complir:
Calculem aquests límits en funció de m i n:
Així, doncs, s’ha de complir
En segon lloc, hem de demanar:
Calculem aquests límits:
=
+
=±
limx
xx x
nxx x
11 2
5
mn
m n= =3 3 0
=+
=±
limx
xnx11 2
5
=+
=±
lim( )
x
m n x xnx
3 11 25
2
=+
+=
±lim
x
mx x nx xnx
2 24 2 3 155
limx
mx xnx
x±
+
+=
2 4 25
3
lim ( ( ) ) lim ( ( ) )x x
f x x o f x x+
= =3 1 3 1
mn
= 3.
=
+
+
=+
+=
±lim
x
mx x
nx
mn
mn
4 2
50 0
0
2
=
+
+
=±
limx
mx
x
x
x x
nx
x
x
x
2
2 2 2
2
2 2
4 2
5
lim( )x
mx xnx x±
+
+=
2 4 25
lim( )
lim( )
x x
f xx
of x
x+= =3 3
f xb
x af x f x
x x( ) , lim ( ) lim ( )= = =
+0
lim ( ) lim ( )x x
f x o f x+
= =0 0
149
8. L
ímits
Per decidir si aquest límit és +, o , hem de com-parar els signes del numerador i del denominadorquan la variable es fa cada vegada més petita:
Com que el denominador es fa negatiu quan x , perquè el límit sigui +, el numerador ha deser negatiu (o 0):
4 +k 0 k 4
El cas k =4 correspon a una indeterminació, per laqual cosa l’hem d’estudiar a part:
Així, perquè es compleixi la condició de l’enunciat, hade ser:
k <4
26.Expressem el valor del límit en funció del paràme-tre a:
Per resoldre la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:
Si imposem que el límit anterior sigui 4:
27.Com que f és una funció racional, perquè x =0 siguiuna asímptota vertical s’ha d’anul.lar el denominadoren x =0:
0 a =0 a =0
56
4245
aa ==
=+
+=
500600
56
aa
=
+
+
=+
limx
axx
xx
524
631
2
2
=
+
+
=+
limx
ax
x
x
xx
x
x
x
xx
524
631
2
222
2
222
limx
axx
xx +
+
+=
524
631
2
2
limx
axx
xx +
+
+=
524
631
2
2
=+
+=+ lim
x
x
xx
25
312
2
2
lim()
x
xx
xx
+
+=
4425
31
32
2
xxxx
<+< 0131
0 23
Per tant, x =0 és una asímptota vertical de f si, i noméssi, a =0.
D’altra banda, perquè y =0 sigui una asímptota horit-zontal de f s’ha de complir:
Ara bé, com que
aleshores aquesta condició es compleix independent-ment dels valors dels paràmetres a i b.
Es compleix la condició de l’enunciat, doncs, per a:
a =0 , b �
28.En primer lloc, s’ha de complir:
Calculem aquests límits en funció de m i n:
Així, doncs, s’ha de complir
En segon lloc, hem de demanar:
Calculem aquests límits:
=
+
=±
limx
xxx
nxxx
112
5
mn
mn == 330
=+
=±
limx
xnx112
5
=+
=±
lim()
x
mnxxnx
31125
2
=+
+=
±lim
x
mxxnxxnx
2242315
5
limx
mxxnx
x±
+
+=
242
53
lim(())lim(())xx
fxxofxx+
== 3131
mn
=3.
=
+
+
=+
+=
±lim
x
mxx
nx
mn
mn
42
500
0
2
=
+
+
=±
limx
mx
x
x
xx
nx
x
x
x
2
222
2
22
42
5
lim() x
mxxnxx ±
+
+=
2425
lim()
lim()
xx
fxx
ofx
x +== 33
fxb
xafxfx
xx(),lim()lim() ===
+0
lim()lim()xx
fxofx+
== 00
C M
Y K
150
8. Límits
Així, doncs, s’ha de complir
Finalment,
Per tant, els valors de m i n perquè es compleixi l’e-nunciat són:
m =33 , n =11
ACTIVITATS
Abans de començar
•Límit finit d’una funció en un punt (pàg. 164); límit in-finit d’una funció en un punt (pàg. 166); límits lateralsd’una funció en un punt (pàg. 165); límit finit d’una fun-ció en l’infinit (pàg. 168); límit infinit d’una funció enl’infinit (pàg. 169).
•Una indeterminació és una expressió, que s’obté en cal-cular el seu límit, el valor de la qual no està determinat.
Existeixen les indeterminacions següents:
•Asímptota vertical (pàg. 182); asímptota horitzontal(pàg. 183); asímptota obliqua (pàg. 183).
Qüestions
29.Sí, ja que en la definició de límit en un punt no inter-vé el valor de la funció en aquest punt.
Per exemple, no està definida en x =0,
però clarament
30.Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.
Per exemple:
f(x) =x20x �
g(x) =x20 x �
31.Sí. Per exemple:
està definida en x0=0 i x =0 és asímptota vertical de f.
32. a)Cert. Per exemple, f (x) =tg x té com a asímpto-
tes verticals les rectes
b)Fals, ja que només en pot tenir una per l’esquerrai una per la dreta.
c)Cert. Per exemple, P(x) =0 té com a asímptota ho-ritzontal x =0 i Q (x) =x +2 té com a asímptotaobliqua y =x +2.
xkk =+,.2
�
fxxsix
six()=
=
10
00
lim()lim()xx
fxgx ==00
0
lim().x
fx=0
2
fxx
x()=
2
;;;;;; 000
1000
mn
m == 333.
==11
111n
n.
=
+
=±
limx
x
nx
n
112
511
d)Cert. Per exemple:
té dues asímptotes obliques: y =2 x +1 per la dre-ta, y =x +3 per l’esquerra.
EXERCICIS I PROBLEMES
33.a)f (1) =2
b)
c)
d)�f (2)
e)
f)
g)f (3) =2
h)
i)
—Com que
Com que
Com que
34.a)Com que 3 �2, l’expressió analítica de f en unentorn de x =3 és f(x) =x 4, aleshores:
=3 4 =7
b)Com que x =2 és un punt frontera entre dos in-tervals en els quals f té una expressió analítica di-ferent, hem de calcular a partir dels lí-mits laterals:
=(2)2+3 (2) +4 =6
Com que els límits laterals en x =2 existeixen icoincideixen, en concloem que el límit de la fun-ció en x =2 existeix i que el seu valor és:
lim()x
fx=2
6
lim()lim()xx
fxxx ++ =++=22
234
lim()lim()xx
fxx ===22
4246
lim()x
fx2
lim()lim()limlimxxxx
fxxx ===3333
44
lim().x
fx3
lim()lim(),xx
fxfx + ==33
21
= lim().x
fx2
0
lim()lim(),xx
fxfx + ==22
0
lim().x
fx1
lim()lim(),xx
fxfx + ==11
12
lim()x
fx +=3
1
lim()x
fx=3
2
lim()x
fx +=2
0
lim()x
fx=2
0
lim()x
fx +=1
2
lim()x
fx=1
1
fxxsix
xsix()=
+
+<
210
30
150
8. L
ímits
Així, doncs, s’ha de complir
Finalment,
Per tant, els valors de m i n perquè es compleixi l’e-nunciat són:
m = 33 , n = 11
ACTIVITATS
Abans de començar
• Límit finit d’una funció en un punt (pàg. 164); límit in-finit d’una funció en un punt (pàg. 166); límits lateralsd’una funció en un punt (pàg. 165); límit finit d’una fun-ció en l’infinit (pàg. 168); límit infinit d’una funció enl’infinit (pàg. 169).
• Una indeterminació és una expressió, que s’obté en cal-cular el seu límit, el valor de la qual no està determinat.
Existeixen les indeterminacions següents:
• Asímptota vertical (pàg. 182); asímptota horitzontal(pàg. 183); asímptota obliqua (pàg. 183).
Qüestions
29. Sí, ja que en la definició de límit en un punt no inter-vé el valor de la funció en aquest punt.
Per exemple, no està definida en x = 0,
però clarament
30. Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.
Per exemple:
f(x) = x2 0 x �
g(x) = x2 0 x �
31. Sí. Per exemple:
està definida en x0 = 0 i x = 0 és asímptota vertical de f.
32. a) Cert. Per exemple, f (x) = tg x té com a asímpto-
tes verticals les rectes
b) Fals, ja que només en pot tenir una per l’esquerrai una per la dreta.
c) Cert. Per exemple, P(x) = 0 té com a asímptota ho-ritzontal x = 0 i Q (x) = x + 2 té com a asímptotaobliqua y = x + 2.
x k k= + , .2
�
f x xsi x
si x( ) =
=
10
0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x g x= =0 0
0
lim ( ) .x
f x =0
2
f xx
x( ) =
2
; ; ; ; ; ;000
1 00 0
mn
m= =3 33.
= =11
1 11n
n .
=
+
=±
limx
x
nx
n
112
511
d) Cert. Per exemple:
té dues asímptotes obliques: y = 2 x + 1 per la dre-ta, y = x + 3 per l’esquerra.
EXERCICIS I PROBLEMES
33. a) f ( 1) = 2
b)
c)
d) � f (2)
e)
f )
g) f (3) = 2
h)
i)
— Com que
Com que
Com que
34. a) Com que 3 � 2, l’expressió analítica de f en unentorn de x = 3 és f(x) = x 4, aleshores:
= 3 4 = 7
b) Com que x = 2 és un punt frontera entre dos in-tervals en els quals f té una expressió analítica di-ferent, hem de calcular a partir dels lí-mits laterals:
= ( 2)2 + 3 ( 2) + 4 = 6
Com que els límits laterals en x = 2 existeixen icoincideixen, en concloem que el límit de la fun-ció en x = 2 existeix i que el seu valor és:
lim ( )x
f x =2
6
lim ( ) lim ( )x x
f x x x+ +
= + + =2 2
2 3 4
lim ( ) lim ( )x x
f x x= = =2 2
4 2 4 6
lim ( )x
f x2
lim ( ) lim ( ) lim limx x x x
f x x x= = =3 3 3 3
4 4
lim ( ).x
f x3
lim ( ) lim ( ),x x
f x f x+
= =3 3
2 1
=lim ( ) .x
f x2
0
lim ( ) lim ( ),x x
f x f x+
= =2 2
0
lim ( ).x
f x1
lim ( ) lim ( ),x x
f x f x+
= =1 1
1 2
lim ( )x
f x+
=3
1
lim ( )x
f x =3
2
lim ( )x
f x+
=2
0
lim ( )x
f x =2
0
lim ( )x
f x+
=1
2
lim ( )x
f x =1
1
f xx si x
x si x( ) =
+
+ <
2 1 0
3 0
CM
YK
151
8. Límits
c) Com que l’expressió analítica de f és diferent perals punts de l’esquerra d’1 i de la dreta d’1, hemde calcular els límits laterals per a determinar el va-lor del límit:
= 12 + 3 1 + 4 = 6
Com que els límits laterals de f en x = 1 no coinci-deixen, no existeix
d) Com que 2 > 1, f (x) = 2 x 1 en un entorn de x = 2, aleshores:
35. a)
b)
c)
d)
e)
f)
36. a)
Hem obtingut una indeterminació. Per a eliminar-la extraiem els factors x 1 del numerador i del de-nominador:
x3 + 2 x2 x 2 = (x 1) (x2 + 3 x + 2)
x2 + 3 x 4 = (x 1) (x + 4)
=+
+=
1 2 1 1 2
1 3 1 4
00
3 2
2
limx
x x x
x x
+
+=
1
3 2
2
2 2
3 4
lim(ln ( )) lim( )x
x
xe x+ = + = + =
1
1
11 1 1 2
=+
=3 3 12 3 1
18
3 6
lim limx
x
x
xx
xx
+=
+
3
6
3
3 12 1
3 12 1
=
lim( )x
x3
6
limx
x x
x x
+=
+
3
2
2
2
2
10 4
2 7 14
3 10 3 4
2 3 7 3 1441=
= + =( ( )) ( )5 1 1 4 5 523 3
= ( ) +( ) =lim lim ( )x x
x x1 1
235 4
= ( ) +( ) =lim limx x
x x1 1
235 4
limx
x x +( ) =1
235 4
= + =3 2 2 5 2 1 4
= + =lim ( ) lim ( )x x
x x2 2
3 2 5 1
= + =lim ( ) limx x
x x2 2
3 2 5 1
limx
x x+( ) =2
3 2 5 1
lim ( )x
x x+ = + =0
2 26 8 0 6 0 8 8
lim ( ) lim ( )x x
f x x= = =2 2
2 1 2 2 1 3
lim ( ).x
f x1
lim ( ) lim ( )x x
f x x+ +
= = =1 1
2 1 2 1 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x x x= + + =1 1
2 3 4
Simplificant les potències comunes de x 1, deter-minem el valor del límit:
b)
Per a eliminar aquesta indeterminació factoritzemel numerador i el denominador per x 2:
x2 x 2 = (x + 1) (x 2)
3 x 6 = 3 (x 2)Simplificant:
c)
Multipliquem i dividim per l’expressió conjugadadel numerador:
Hem tornat a obtenir la indeterminació ,
però ara prové dels factors polinòmics:
d)
Atès que la indeterminació prové d’una funció ra-cional, la podem eliminar extraient i simplificant
=+
+=
2 0 2 0 12 0
0 4 0 6 0
00
3 2
3 2
limx
x x x
x x x
+
+=
0
3 2
3 2
2 2 12
4 6
= =46
23
=+
+ +( )=
+
+ +=lim
( ) ( )
( )x
x x
x x2 2 2
2 2
2 5 3
2 2
2 5 3
lim( )x
x
x x + +( )=
2
2
2
4
2 5 3
00
=
+ +( )=
2 4
2 2 2 5 3
00
2
2( )
=
+ +( )=lim
( )x
x
x x2
2
2
4
2 5 3
=+
+ +( )=lim
( )x
x
x x2
2
2
5 9
2 5 3
=+( ) + +( )
+ +( )=lim
( )x
x x
x x2
2 2
2
5 3 5 3
2 5 3
limx
xx+
=2
2 5 32
limx
xx+
=+
=2
2 25 32
2 5 32 2
00
lim( ) ( )
( )x
x x
x
+=
+=
2
1 2
3 22 1
31
limx
x xx
= =2
2 223 6
2 2 23 2 6
00
lim( ) ( )
( ) ( )x
x x x
x x
+ +
+=
+ +
+1
2 21 3 2
1 41 3 1 2
1 4465
=
151
8. L
ímits
c)Com que l’expressió analítica de f és diferent perals punts de l’esquerra d’1 i de la dreta d’1, hemde calcular els límits laterals per a determinar el va-lor del límit:
=12+3 1 +4 =6
Com que els límits laterals de f en x =1 no coinci-deixen, no existeix
d)Com que 2 >1, f (x) =2 x 1 en un entorn de x =2, aleshores:
35.a)
b)
c)
d)
e)
f)
36.a)
Hem obtingut una indeterminació. Per a eliminar-la extraiem els factors x 1 del numerador i del de-nominador:
x3+2 x2x 2 =(x 1) (x2+3 x +2)
x2+3 x 4 =(x 1) (x +4)
=+
+=
12112
1314
00
32
2
limx
xxx
xx
+
+=
1
32
2
22
34
lim(ln())lim()x
x
xex
+=+=+=
1
1
11112
=+
=331231
18
36
limlimx
x
x
xx
xx
+=
+
3
6
3
3121
3121
=
lim() xx 36
limx
xx
xx
+=
+
3
2
2
2
2
104
2714
31034
23731441 =
=+= (())() 5114552 33
=()+ ()= limlim()xx
xx11
2 3 54
=()+ ()= limlimxx
xx11
2 354
limx
xx+ ()= 1
2 354
=+= 3225214
=+= lim()lim()xx
xx22
3251
=+= lim()limxx
xx22
3251
limx
xx + ()= 23251
lim()x
xx +=+=0
226806088
lim()lim()xx
fxx ===22
212213
lim().x
fx1
lim()lim()xx
fxx ++ ===11
212111
lim()lim()xx
fxxx =++=11
234
Simplificant les potències comunes de x 1, deter-minem el valor del límit:
b)
Per a eliminar aquesta indeterminació factoritzemel numerador i el denominador per x 2:
x2x 2 =(x +1) (x 2)
3 x 6 =3 (x 2)Simplificant:
c)
Multipliquem i dividim per l’expressió conjugadadel numerador:
Hem tornat a obtenir la indeterminació,
peròara prové dels factors polinòmics:
d)
Atès que la indeterminació prové d’una funció ra-cional, la podem eliminar extraient i simplificant
=+
+=
2020120
04060
00
32
32
limx
xxx
xxx
+
+=
0
32
32
2212
46
==46
23
=+
++ ()=
+
++= lim
()()
()x
xx
xx222
22
253
22
253
lim()
x
x
xx++ ()=
2
2
2
4
253
00
=
++ ()=
24
22253
00
2
2()
=
++ ()= lim
()x
x
xx2
2
2
4
253
=+
++ ()= lim
()x
x
xx2
2
2
59
253
=+ ()++ ()
++ ()= lim
()x
xx
xx2
22
2
5353
253
limx
xx+
=2
2532
limx
xx+
=+
=2
22532
25322
00
lim()()
() x
xx
x
+=
+=
2
12
3221
31
limx
xxx
==2
222
36222326
00
lim()()
()() x
xxx
xx
++
+=
++
+ 1
22 132
141312
14465
=
C M
Y K
152
8. Límits
els factors x 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador:
2 x3+2 x212 x =x (2 x2+2 x 12)
x34 x2+6 x =x (x24 x +6)
e)
Per tant, atès que la indeterminació procedeix de l’anul.lació d’un factor irracional (el deno-minador), multipliquem i dividim pel seu con-jugat:
Ara, com que la indeterminació procedeix de l’a-nul.lació de factors polinòmics, la podem eliminarfactoritzant-los i simplificant els binomis x 5 delnumerador i del denominador:
f)
Per a eliminar la indeterminació multipliquem elnumerador i el denominador pel conjugat del de-nominador:
=+ ()
++ ()++ ()lim
()
x
xxx
xxxx1
22
22
132
3232==
limx
x
xx ++=
1
2
2
1
32
lim()
()() x
x
xx ++=
++=
1
2
2
2
2
1
32
11
1321
00
=++
=2564
24
=++ ()= lim
()
() x
xx
x 5
5264
25
lim()
x
xx
x
++ ()=5
5264
210
=++ ()
+=
() 55256425616
00
=++ ()
+= lim
()
x
xx
x 5
5264
2616
lim()
x
xx
xx
++ ()+ ()++ ()
=5
5264
264264
limx
x
x+=
5
5
264
limx
x
x+=
+=
5
5
264
55
2564
00
=+
+=
202012
04062
2
2
=+
+= lim
()
() x
xxx
xxx 0
2
2
2212
46
limx
xxx
xxx
+
+=
0
32
32
2212
46
Extraiem els factors x (1) =x +1 dels polinomisdel numerador i del denominador que provoquenla indeterminació en anul.lar-se en x =1:
37.Calculem el valor del límit en funció del paràmetre a:
Perquè això sigui una indeterminació, el numeradorha de ser 0, és a dir:
a 8 =0 a =8
—Si a =8, obtenim la indeterminacióPer a eli-
minar-la extraiem del numerador i del denomi-nador tots els factors de la forma x (1) ==x +1:
38.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)lim()x
fx=1
lim()x
fx +=1
lim()x
fx=1
lim()x
fx=2
lim()x
fx +=2
lim()x
fx=+2
lim()x
fx=+
==816
117
()
limlim()()
() xx
xx
x
xx
x
+=
+
+ 1
2
21
826
1
186
1(() x=
1
00
.
=+
=aa ()()
()
1216
11
80
2
2
limx
axx
x
+=
1
2
2
26
1
=+
=2113
343
2()()
=+
= limx
xx1
223
3
=++ ()
+= lim
()()
()() x
xxxx
xx 1
21132
311
lim()
x
xxx
x
+ ()+
=1
22
2
132
33
=+ ()+
=(())()()
()
111321
313
00
22
2
=+ ()+
= lim()
x
xxx
x 1
22
2
132
33
=+ ()
+= lim
()
() x
xxx
xx 1
22
22
132
32
152
8. L
ímits
els factors x 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador:
2 x3 + 2 x2 12 x = x (2 x2 + 2 x 12)
x3 4 x2 + 6 x = x (x2 4 x + 6)
e)
Per tant, atès que la indeterminació procedeix de l’anul.lació d’un factor irracional (el deno-minador), multipliquem i dividim pel seu con-jugat:
Ara, com que la indeterminació procedeix de l’a-nul.lació de factors polinòmics, la podem eliminarfactoritzant-los i simplificant els binomis x 5 delnumerador i del denominador:
f)
Per a eliminar la indeterminació multipliquem elnumerador i el denominador pel conjugat del de-nominador:
=+( )
+ +( ) + +( )lim
( )
x
x x x
x x x x1
2 2
2 2
1 3 2
3 2 3 2==
limx
x
x x+ +=
1
2
2
1
3 2
lim( )
( ) ( )x
x
x x+ +=
+ +=
1
2
2
2
2
1
3 2
1 1
1 3 2 1
00
=+ +
=2 5 6 4
24
=+ +( )
=lim( )
( )x
x x
x5
5 2 6 4
2 5
lim( )
x
x x
x
+ +( )=
5
5 2 6 4
2 10
=+ +( )
+=
( )5 5 2 5 6 42 5 6 16
00
=+ +( )
+=lim
( )
x
x x
x5
5 2 6 4
2 6 16
lim( )
x
x x
x x
+ +( )+( ) + +( )
=5
5 2 6 4
2 6 4 2 6 4
limx
x
x +=
5
5
2 6 4
limx
x
x +=
+=
5
5
2 6 4
5 5
2 5 6 4
00
=+
+=
2 0 2 0 12
0 4 0 62
2
2
=+
+=lim
( )
( )x
x x x
x x x0
2
2
2 2 12
4 6
limx
x x x
x x x
+
+=
0
3 2
3 2
2 2 12
4 6
Extraiem els factors x ( 1) = x + 1 dels polinomisdel numerador i del denominador que provoquenla indeterminació en anul.lar-se en x = 1:
37. Calculem el valor del límit en funció del paràmetre a:
Perquè això sigui una indeterminació, el numeradorha de ser 0, és a dir:
a 8 = 0 a = 8
— Si a = 8, obtenim la indeterminació Per a eli-
minar-la extraiem del numerador i del denomi-nador tots els factors de la forma x ( 1) == x + 1:
38. a)
b)
c)
d)
e)
f )
g) lim ( )x
f x =1
lim ( )x
f x+
=1
lim ( )x
f x =1
lim ( )x
f x =2
lim ( )x
f x+
=2
lim ( )x
f x = +2
lim ( )x
f x = +
= =8 1 6
1 17
( )
lim lim( )( )
( )x x
x x
x
x x
x
+=
+
+1
2
2 1
8 2 6
1
1 8 6
1 (( )x=
1
00
.
=+
=a a( ) ( )
( )
1 2 1 6
1 1
80
2
2
limx
a x x
x
+=
1
2
2
2 6
1
=+
=2 1 1 3
343
2( ) ( )
=+
=limx
x x1
22 33
=+ +( )
+=lim
( ) ( )
( ) ( )x
x x x x
x x1
21 1 3 2
3 1 1
lim( )
x
x x x
x
+( )+
=1
2 2
2
1 3 2
3 3
=+( )+
=(( ) ) ( ) ( )
( )
1 1 1 3 2 1
3 1 3
00
2 2
2
=+( )+
=lim( )
x
x x x
x1
2 2
2
1 3 2
3 3
=+( )
+=lim
( )
( )x
x x x
x x1
2 2
2 2
1 3 2
3 2
CM
YK
153
8. Límits
h)
39. a)
Per decidir si aquest límit és + , o , hem d’es-tudiar el signe de les imatges de valors pròxims a 2en acostar-nos-hi per cada banda:
— Per a valors pròxims a 2 per l’esquerra:
— Per a valors pròxims a 2 per la dreta:
Així, doncs,
b)
Per saber si el límit és + , o , hem de calcularels límits laterals:
— Si ens acostem a 1 per l’esquerra:
— Si ens acostem a 1 per la dreta:
Així, doncs,
c) ja que tant el nume-
rador com el denominador són sempre positius.
d)
e)
= (5 ( )3 + 1 000)5 = ( )5 =
f) lim( ) ( )x x x+ +
=+ +
=3 2 2
7
6 9
7
3 6 3 9
= + =lim ( )lim
xx
x
5 100035
lim ( )x
x + =5 10003 5
= = =
+ + + +14
14
03 5 12( ( ) ( ) )
= =+
++
limlim ( )
x
x xx1
4
3 5 12
limx
x x
+
+
=14
3 5 12
lim ,x x
= = = +0 2 2
1
2
1
2 0
10
lim .x
xx
+
+=
1
2 51
x
x
xxx
2
1
25 0
1 0
51
+ >
+ >
+
+= +
+lim
x
x
xxx
2
1
25 0
1 0
51
+ >
+ <
+
+=lim
lim( )
x
xx
+
+=
+
+=
1
2 251
1 51 1
60
lim( )
.x
x
x=
2 2
1
2
1 0
2 0
1
22 2 2
<
>=
+
x
x
x
xx( )lim
( )
1 0
2 0
1
22 2 2
<
>=
x
x
x
xx( )lim
( )
lim( ) ( )x
x
x= =
2 2 2
1
2
1 2
2 2
10
lim ( )x
f x+
= 2 ja que el numerador és sempre ne-
gatiu i el denominador, x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2,sempre és positiu.
g )
Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el sig-ne dels límits laterals:
— Límit per l’esquerra:
— Límit per la dreta:
Així, doncs,
h)
Per tal d’eliminar la indeterminació, extraiem elsfactors x 2 del numerador i del denominador:
x2 x 2 = (x 2) (x + 1)
3 x2 12 x + 12 = 3 (x 2)2
Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el sig-ne dels límits laterals:
— Límit per l’esquerra:
— Límit per la dreta:
Així,
i)
= (+ )(+ ) = +
=+
= =
+ +97 7
2 2 23
( )( ) ( )
lim liml
x
x
x
x x+ +
=9
79
7
2 2 23 iim
xx
+
=
2 3
lim lim( )x x
x x
x x
xx+
=+
=2
2
2 2
2
3 12 12
13 2
x
xxxx
+ >
>
+= +
+
1 0
3 2 01
3 22( )lim
( )
x
xxxx
+ >
<
+=
1 0
3 2 01
3 22( )lim
( )
=+
=2 1
3 2 230( )
lim lim( ) ( )
(x x
x x
x x
x x
+=
+
2
2
2 2
2
3 12 12
2 1
3 xx=
2 2)
limx
x x
x x +=
+=
2
2
2
2
2
2
3 12 12
2 2 2
3 2 12 2 12
000
lim .x
x
x x=
5 2
3
4 5
=+
limx
x
x x5 2
3
4 5
<
= + >
3 0
4 5 1 5 02
x
x x x x( ) ( )
= +limx
x
x x5 2
3
4 5
<
= + <
3 0
4 5 1 5 02
x
x x x x( ) ( )
limx
x
x x= =
5 2 2
3
4 5
3 5
5 4 5 5
150
= =7
0,
153
8. L
ímits
h)
39.a)
Per decidir si aquest límit és +, o , hem d’es-tudiar el signe de les imatges de valors pròxims a 2en acostar-nos-hi per cada banda:
—Per a valors pròxims a 2 per l’esquerra:
—Per a valors pròxims a 2 per la dreta:
Així, doncs,
b)
Per saber si el límit és +, o , hem de calcularels límits laterals:
—Si ens acostem a 1 per l’esquerra:
—Si ens acostem a 1 per la dreta:
Així, doncs,
c)ja que tant el nume-
rador com el denominador són sempre positius.
d)
e)
=(5 ()3+1000)5=()5=
f)lim()() xxx ++
=++
=322
7
69
7
3639
=+= lim()lim
xx
x
510003
5
lim()x
x+= 5100035
===
++++14
14
0351
2(()())
==+
++
limlim()
x
xx x 14
3512
limx
xx
+
+
=14
3512
lim,xx
===+022
1
2
1
20
10
lim.x
xx
+
+=
1
251
x
x
xx x
2
1
250
10
51
+>
+>
+
+=+ + lim
x
x
xx x
2
1
250
10
51
+>
+<
+
+= lim
lim()
x
xx
+
+=
+
+=
1
225
11511
60
lim()
.x
x
x=
22
1
2
10
20
1
2222
<
>= +
x
x
x
x x ()lim
()
10
20
1
2222
<
>=
x
x
x
x x ()lim
()
lim()() x
x
x==
222
1
2
12
22
10
lim()x
fx+
=2ja que el numerador és sempre ne-
gatiu i el denominador, x2+6 x +9 =(x +3)2,sempre és positiu.
g)
Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el sig-ne dels límits laterals:
—Límit per l’esquerra:
—Límit per la dreta:
Així, doncs,
h)
Per tal d’eliminar la indeterminació, extraiem elsfactors x 2 del numerador i del denominador:
x2x 2 =(x 2) (x +1)
3 x212 x +12 =3 (x 2)2
Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el sig-ne dels límits laterals:
—Límit per l’esquerra:
—Límit per la dreta:
Així,
i)
=(+)(+)=+
=+
==
++9
77
2223
()()()
limliml
x
x
x
xx++
=9
79
7
2223
iimxx +
=
23
limlim() xx
xx
xx
xx +
=+
=2
2
22
2
31212
132
x
xxx x
+>
>
+=+ +
10
3201
32 2 ()lim
()
x
xxx x
+>
<
+=
10
3201
32 2 ()lim
()
=+
=21
32230 ()
limlim()()
( xx
xx
xx
xx
+=
+
2
2
22
2
31212
21
3xx=
22
)
limx
xx
xx+=
+=
2
2
2
2
2
2
31212
222
3212212
000
lim.x
x
xx=
52
3
45
= + limx
x
xx 52
3
45
<
=+>
30
451502
x
xxxx ()()
=+ limx
x
xx 52
3
45
<
=+<
30
451502
x
xxxx ()()
limx
x
xx==
522
3
45
35
5455
150
==7
0,
C M
Y K
154
8. Límits
j)
=2(6 (+) +3)=2=0
40.a)
=4 ()33 ()2+2 () ==4 () 3 (+) +2 () ==() (+) +() =
b)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x2:
c)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x:
d)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-
merador i denominador per
===+
limx
x
x
81
11
2010
2
36
36
=+
limx
x
x
x
x
x
x
x
x
82
23
2 3
2
23
2 3
limx
xx
xx+
=8
2 3
2 3
x23:
limx
xx
xx+
=8
2 3
2 3
=
+
+
=+
+=
+lim
x
x
x
54
93
1
50
901
54
=
+
+
=+
limx
xxx
x
x
x
x
xx
54
932
22
limx
x
xxx+
+
+=
54
932
limx
x
xxx+
+
+=
54
932
=
+
=+
=+
limx
xx
x
753
29
70020
72
2
2
=
+
=+
limx
x
x
x
xx
x
xx
753
29
2
222
2
22
limx
xx
x +
+=
753
29
2
2
limx
xx
x +
+=
753
29
2
2
lim()x
xxx += 43232
lim(lim)lim()
x
x
x
x x
+
+
+
+
==+
226363
e)
Multipliquem i dividim pel conjugat:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, dividimnumerador i denominador per x2:
ja que el denominador sempre és positiu.
f)
=0()
Per tal d’eliminar la indeterminació, fem el pro-ducte de fraccions:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, dividimnumerador i denominador per x3:
=+
+=
+lim
x
xx
xxx
1830
328
3
32
limx
x
xx
xx +
+
+=
6
34
352 2
2
=+
+ ++limlim
xx
x
xx
xx
6
34
352 2
2
=
limx
x
xx
xx +
+
+=
6
34
352 2
2
=++
==20
0000
20
=
++
=+
limx
x
xxxx
27
1235
2
2424
=
++
=+
limx
x
xx
x
xx
x
xx
27
235
2
22
2
44
2
44
limx
x
xx+
++=
27
235
2
22
=++
=
=++
=+
++
lim()
limlim
x
xx
x
xx
27
235
2
22
=++
=+
limx
x
xx
27
235
2
22
=+
++=
+lim
()()x
xx
xx
22
22
235
235
=+ ()++ ()
+++
limx
xxxx
xx
2222
22
235235
235==
limx
xx+
+ ()=22
235
limx
xx+
+ ()=22
235
154
8. L
ímits
j )
= 2( 6 (+ ) + 3)= 2 = 0
40. a)
= 4 ( )3 3 ( )2 + 2 ( ) == 4 ( ) 3 (+ ) + 2 ( ) == ( ) (+ ) + ( ) =
b)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x2:
c)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x:
d)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-
merador i denominador per
= = =+
limx
x
x
81
11
2 01 0
2
36
36
=+
limx
x
x
x
x
x
x
x
x
8 2
23
23
2
23
23
limx
x x
x x+=
8 23
23
x23 :
limx
x x
x x+=
8 23
23
=
+
+
=+
+=
+lim
x
x
x
54
93
1
5 0
9 0 1
54
=
+
+
=+
limx
xx x
x
x
x
x
xx
5 4
9 32
2 2
limx
x
x x x+
+
+=
5 4
9 32
limx
x
x x x+
+
+=
5 4
9 32
=
+
=+
=+
limx
x x
x
75 3
29
7 0 02 0
72
2
2
=
+
=+
limx
x
x
x
x x
x
x x
7 5 3
2 9
2
2 2 2
2
2 2
limx
x x
x+
+=
7 5 3
2 9
2
2
limx
x x
x+
+=
7 5 3
2 9
2
2
lim ( )x
x x x+ =4 3 23 2
lim ( lim )lim ( )
x
x
x
xx
+
+
+
+
= =+2 26 3 6 3 e)
Multipliquem i dividim pel conjugat:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, dividimnumerador i denominador per x2:
ja que el denominador sempre és positiu.
f)
= 0 ( )
Per tal d’eliminar la indeterminació, fem el pro-ducte de fraccions:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, dividimnumerador i denominador per x3:
=+
+=
+lim
x
x x
x x x
18 30
3 2 8
3
3 2
limx
x
x x
xx+
+
+=
6
3 4
3 522
2
=+
++ +lim lim
x x
x
x x
xx
6
3 4
3 522
2
=
limx
x
x x
xx+
+
+=
6
3 4
3 522
2
=+ +
= =2 0
0 0 0 0
20
=
+ +
=+
limx
x
x x x x
27
1 2 3 5
2
2 4 2 4
=
+ +
=+
limx
x
x x
x
x x
x
x x
2 7
2 3 5
2
2 2
2
4 4
2
4 4
limx
x
x x+ + +=
2 7
2 3 5
2
2 2
=+ +
=
=+ +
=+
+ +
lim ( )
lim lim
x
x x
x
x x
2 7
2 3 5
2
2 2
=+ +
=+
limx
x
x x
2 7
2 3 5
2
2 2
=+
+ +=
+lim
( ) ( )x
x x
x x
2 2
2 2
2 3 5
2 3 5
=+( ) + +( )
+ ++lim
x
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
2 3 5 2 3 5
2 3 5==
limx
x x+
+( ) =2 22 3 5
limx
x x+
+( ) =2 22 3 5
CM
YK
155
8. Límits
merador i denominador i simplificant els factors x 3:
41. a)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per n2:
b)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per n2:
42. a)
Per resoldre la indeterminació 1 , hem d’expres-
sar la base de la forma i introduir F (x)
en l’exponent:
Així:
= +limx
x
x1
1
32
2
32
23
2+
=
xx
2
23 12
lim limx
x
x
x
x x
+
= +5
31
1
32
2
2
3 12
2
2
=
+3 12
2x
= ++
= +15 3
31
1
32
2 2
2 2
x x
x x
5
31
5
31
2
2
2
2= + =
x
x
x
x
11
+F x( )
= =
+
+limlim
( )
x
x
x
x
x5
31
2
2
3 12
2
limx
x
x
x
+
=5
3
2
2
3 12
2
=+ +
= +0
1
lim limx x
n
n n
n
n
nn
+ +
+
=
+
=
3
2 2
2
2
2
3 3
1
lim limn
nn
bn
n+ +=
+=
3
2
3
=+ +
= =4 0 0
2 042
2
lim limn n
n
n
n
n n
n
n n
n
+ +
+
=
+4 2 1
2 2
422
2 2 2
2
2 2
11
22
2
2
n
n
=
lim limn
nn
an n
n+ +=
+=
4 2 1
2 2
2
2
=+
= =3 13 3
26
13
lim lim( ) ( )
( ) (x x
x x
x
x x
x x
+=
3
2
2 3
4 3
9
3 1
3 ++=
3)
g)
Efectuem el producte:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, multi-pliquem el numerador i el denominador per x2:
h)
Per tal d’eliminar la indeterminació, efectuem laresta de fraccions:
Eliminem aquesta indeterminació factoritzant nu-
=+
=limx
x x
x3
2
2
4 3
9
00
=+ +
=lim( )
x
x x x
x3 2
3 7 3
9
limx
xx
x
x=
3 237 3
9
= =lim limx x
xx
x
x3 3 237 3
9
limx
xx
x
x=
3 237 3
9
=+
+= = +
3 1 0 08 0 8
( )
=
+
+
=limx
xx x
x
3 115 5
816
2
2
=
+
+
=limx
x
x
x
x
x
x x
x
x x
3 15 5
8 16
3
2
2
2 2 2
2
2 2
limx
x x x
x
+
+=
3 15 5
8 16
3 2
2
=+
+=lim
x
x x x
x
3 15 5
8 16
3 2
2
limx
x
x
x+=
3 1
2
582
2
=+
=lim limx x
x
x
x3 1
2
58
02
2
( )
limx
x
x
x+=
3 1
2
582
2
=
+
+
= =+
limx
x
x x
1830
32 8
183
62
2
limx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
18 30
3 2 8
3
3 3
3
3
2
3 3
155
8. L
ímits
merador i denominador i simplificant els factors x 3:
41.a)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per n2:
b)
Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per n2:
42.a)
Per resoldre la indeterminació 1, hem d’expres-
sar la base de la forma i introduir F(x)
en l’exponent:
Així:
=+ limx
x
x1
1
32
2
32
23
2+
=
xx
2
231
2
limlimx
x
x
x
xx
+
=+5
31
1
32
2
2
312
2
2
=
+ 312
2x
=++
=+ 153
31
1
32
22
22
xx
xx
5
31
5
31
2
2
2
2 =+=x
x
x
x
11
+Fx()
==
+
+lim
lim()
x
x
x
x
x5
31
2
2
312
2
limx
x
x
x
+
=5
3
2
2
312
2
=++
=+0
1
limlimxx
n
nn
n
n
nn
++
+
=
+
=
3
22
2
2
2
33
1
limlimn
nn
bn
n ++=
+=
3
2
3
=++
==400
2042
2
limlimnn
n
n
n
nn
n
nn
n
++
+
=
+421
22
42
2
222
2
22
11
22
2
2
n
n
=
limlimn
nn
ann
n ++=
+=
421
22
2
2
=+
==3133
26
13
limlim()()
()( xx
xx
x
xx
xx
+=
3
2
23
43
9
31
3++=
3)
g)
Efectuem el producte:
Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, multi-pliquem el numerador i el denominador per x2:
h)
Per tal d’eliminar la indeterminació, efectuem laresta de fraccions:
Eliminem aquesta indeterminació factoritzant nu-
=+
= limx
xx
x 3
2
2
43
9
00
=++
= lim()
x
xxx
x 32
373
9
limx
xx
x
x=
32 373
9
== limlimxx
xx
x
x 332 373
9
limx
xx
x
x=
32 373
9
=+
+==+
3100808
()
=
+
+
= limx
xxx
x
31155
816
2
2
=
+
+
= limx
x
x
x
x
x
xx
x
xx
3155
816
3
2
2
222
2
22
limx
xxx
x
+
+=
3155
816
32
2
=+
+= lim
x
xxx
x
3155
816
32
2
limx
x
x
x +=
31
2
58 2
2
=+
= limlimxx
x
x
x 31
2
58
0 2
2
()
limx
x
x
x +=
31
2
58 2
2
=
+
+
==+
limx
x
xx
1830
328
183
62
2
limx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
1830
328
3
33
3
3
2
33
C M
Y K
156
8. Límits
b)
Per eliminar la indeterminació, expressem la base
de la forma
Introduïm ara en l’exponent i
apliquem la definició del nombre e:
c)
Per eliminar la indeterminació, expressem la base
de la forma
3 x 8 =1 +(3 x 8) 1 =1 +(3 x 9) =
Introduïm ara en l’exponent i
aplicant les propietats dels límits, fem aparèixer elnombre e:
limx
xx x ()=
33 38
Fxx
()=1
39
=+ 111
39 x
11
+Fx()
:
lim()lim()lim
x
xx
x
xx
xxx
=()=3
33
338381
3
===
+
+
eex
x
x
lim5
2412
0
=++ +
+
lim
li
x
x
x1
142
5
425
mmxxx
++
=
5426
2
=++
=+
+
+lim
x
xx
x
x1
142
5
425
5426
2
limx
x
xx ++
=4342
2
6
Fxx
()=+ 425
=++
=++
14342
421
142
5
xx
xx
4342
14342
1xx
xx +
=++
=
11
+Fx()
:
limlimx
x
x
xx
xx ++ +
=+
4342
4342
2
6=
+
+
lim()
x
x2
61
==
+
eex
x
x
lim3
1
313
2
2
=+ lim
lim
x
x
x
x
11
32
2
32
2+
=
313
2
2
xx
d)
Expressem la base de la forma
Introduïm en l’exponent i obtenim l’ex-
pressió del nombre e:
Ara bé,
aleshores:
=e=0
lim()lim
x
xx xx
xe
x
+ ++
+=
2
2323
562
2
2++= 2
=+
=+ + lim, yx x2
32
limlimxx x
perquèx +
=+
=22
32
32
==+
eexxlim2
32
=+
+
+lim
lim
x
x
x
x
2
12
111
2
222
322
()()
xx
+
+
=
=+
+
=+
++
lim()
()
x
xx
x
x2
12
232
111
2
2
limlim()()
x
x
x
xxx
x+ ++
+=+
2
232
2
562
3233
22
() x+=
12 x+
xx
x
+=++=+
+
312111
2
()
11
+Fx()
:
=+ ()=++
lim()lim
()()
x
xx
x
2
32
3122
=++
+=
+
lim()()
lim()
x
x xx
x
x
2
32 23
2
22
=++
+=
+
lim
lim()
x
x xxx
x
2
232 56
2
22
lim()
x
x xxx
+ ++
+=
2
232 56
2
2
== eex
xx
xlim
()3
33
39
=+
+
lim
lim
x
x
x
x
3
139
111
9
33
393
xxx
()
=
=+= lim()
x
xx
xx
x3
139
393
111
39
156
8. L
ímits
b)
Per eliminar la indeterminació, expressem la base
de la forma
Introduïm ara en l’exponent i
apliquem la definició del nombre e:
c)
Per eliminar la indeterminació, expressem la base
de la forma
3 x 8 = 1 + (3 x 8) 1 = 1 + (3 x 9) =
Introduïm ara en l’exponent i
aplicant les propietats dels límits, fem aparèixer elnombre e:
limx
xxx( ) =
333 8
F xx
( ) =1
3 9
= +111
3 9x
11
+F x( )
:
lim( ) lim( )lim
x
xx
x
xxx x
x
= ( ) =3
33
33 8 3 8 13
= = =
+
+
e ex
x
x
lim5
2412
0
= +++
+
lim
li
x
x
x1
14 2
5
4 25
mmx x
x+ +
=
54 2 6
2
= ++
=+
+
+lim
x
xx
x
x1
14 2
5
4 25
54 2 6
2
limx
x
xx+ +
=4 34 2
2
6
F xx
( ) =+4 25
= ++
= ++
14 3 4 2
4 21
14 2
5
x x
x x
4 34 2
14 34 2
1xx
xx+
= ++
=
11
+F x( )
:
lim limx
x
x
xx
xx+ ++
=+
4 34 2
4 34 2
2
6=
+
+
lim( )
x
x2
61
= =
+
e ex
x
x
lim3
1
31 3
2
2
= +lim
lim
x
x
x
x
11
32
2
32
2+
=
3 13
2
2
xx
d)
Expressem la base de la forma
Introduïm en l’exponent i obtenim l’ex-
pressió del nombre e:
Ara bé,
aleshores:
= e = 0
lim( ) lim
x
xxx x
xex
++ +
+=
2
232 3
5 62
2
2 ++ =2
=+
= ++
lim ,yxx 2
32
lim limx xx
perquèx+
=+
=2 2
32
32
= =+e ex xlim
2
32
= +
+
+lim
lim
x
x
x
x
2
12
111
2
22 2
3 22
( )( )
xx
+
+
=
= +
+
=+
++
lim( )
( )
x
xx
x
x2
12
232
111
2
2
lim lim ( )( )
x
x
x
x xx
x++ +
+= +
2
232
2
5 62
32 33
2 2( )x+ =
12x +
x x
x
+ = + + = +
+
3 1 2 111
2
( )
11
+F x( )
:
= +( ) =+ +lim ( )
lim( ) ( )
x
xxx
2
323 1
2 2
=+ +
+=
+
lim( ) ( )
lim( )
x
xx x
x
x
2
322 3
2
2 2
=+ +
+=
+
lim
lim( )
x
xx xx
x
2
2325 6
2
2 2
lim( )
x
xx xx
++ +
+=
2
2325 6
2
2
= =e ex
x x
xlim
( )3
3 3
3 9
= +
+
lim
lim
x
x
x
x
3
13 9
111
9
33
3 93
x xx
( )
=
= + =lim( )
x
xx
xx
x3
13 9
3 93
111
3 9
CM
YK
157
8. Límits
= e+ = +
Així, que el límit sigui e significa que els límits lateralsno coincideixen, és a dir, que no existeix límit.
43. Expressem el límit en funció de a:
Perquè el límit sigui e2, ha de ser a 0, ja que si no ellímit serà 1.
En aquest cas, obtenim una indeterminació del tipus1 .
Per decidir el valor del límit, hem d’expressar la base
de la forma i introduir F (x) a l’exponent:
Perquè el límit sigui e2:
44. — Asímptotes verticals:
Hem de trobar en la gràfica els punts x0 en els quals
En trobem tres:
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f xx
+
= +
= +=
2
2
2
lim ( ) lim ( )x x
f x o f x+ ++
= ± = ±0 0
e ea
aa
2 15 215
30= = =
= =
+
e ex
ax
xa
lim
4
515
15
= ++
+
lim
lim
x
xax
x
x
11
1 3
1 344
5 15
=
x
= + =+
lim( )
x
xx
ax
x1
11 3
1 31
1 34
5
limx
ax
xx+
=3 23 1
45
= +11
1 3 x
3 23 1
13 23 1
1 13 2 3 1
3 1xx
xx
x x
x= + = +
+=
11
+F x( )
= =+
+
+limlim
lim
x
ax
xx
xx
3 23 1
1
45
aax 45
limx
a x
xx+
=3 23 1
45
lim( ) lim
x
xxx x
xex
+
+
++ +
+=
2
232 3
5 62
2
2 ++ =2
És asímptota vertical per les dues bandes.
És asímptota vertical per les dues bandes.
És asímptota vertical per les dues bandes.
— Asímptotes horitzontals:
Hem de calcular i veure si és real:
És asímptota horitzontal per l’esquerra.
És asímptota horitzontal per la dreta.
45. Busquem una funció racional, o sigui, de la forma:
Imposem les condicions que volem que compleixi enl’ordre més fàcil:
• El denominador és de grau 1: Q (x) = a x + b, a 0.
• x = 2 és una asímptota vertical:
Això només és possible si el denominador s’anul·laen x = 2 (i el numerador no, ja que el denominadornomés té un factor x 2), aleshores:
0 = Q (2) = a 2 + b b = 2 a , P (2) 0
• Té l’asímptota horitzontal y = 3:
Això significa que:
Això implica que P (x) sigui de grau 1, ja que si fosde grau 0, el límit seria 0; si fos de grau més gran que1, el límit seria infinit.
Així, P (x) = cx + d, i perquè el límit sigui 3:
= =ca
c a3
32
12
=+
=
+
=± ±
lim( )
limx x
cx da x
cdx
ax
32
= =± ±
lim( )
( )lim
( )
( )x x
P x
Q x
P x
a x
f xP xQ x
( )( )( )
=
lim ( )x
f x y+
= =0 0
lim ( )x
f x y= =1 1
lim ( )x
f x±
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f xx
+
=
==
4
4
4
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f xx
+
=
= +=
1
1
1
157
8. L
ímits
=e+=+
Així, que el límit sigui esignifica que els límits lateralsno coincideixen, és a dir, que no existeix límit.
43.Expressem el límit en funció de a:
Perquè el límit sigui e2, ha de ser a 0, ja que si no ellímit serà 1.
En aquest cas, obtenim una indeterminació del tipus1.
Per decidir el valor del límit, hem d’expressar la base
de la forma i introduir F (x) a l’exponent:
Perquè el límit sigui e2:
44.—Asímptotes verticals:
Hem de trobar en la gràfica els punts x0en els quals
En trobem tres:
lim()
lim()x
x
fx
fxx
+
=+
=+=
2
2
2
lim()lim()xx
fxofx++
+ =±=±00
eea
aa
215215
30 ===
==
+
eex
ax
xa
lim
4
515
15
=++
+
lim
lim
x
xax
x
x
11
13
1344
515
=
x
=+=+
lim()
x
xx
ax
x1
113
131
134
5
limx
ax
xx +
=3231
45
=+ 11
13x
3231
13231
113231
31xx
xx
xx
x=+=+
+=
11
+Fx()
==+
+
+lim
limlim
x
ax
xx
xx 32
311
45
aax45
limx
ax
xx +
=3231
45
lim()lim
x
xx xx
xe
x
+
+
+ ++
+=
2
2323
562
2
2++= 2
És asímptota vertical per les dues bandes.
És asímptota vertical per les dues bandes.
És asímptota vertical per les dues bandes.
—Asímptotes horitzontals:
Hem de calcular i veure si és real:
És asímptota horitzontal per l’esquerra.
És asímptota horitzontal per la dreta.
45.Busquem una funció racional, o sigui, de la forma:
Imposem les condicions que volem que compleixi enl’ordre més fàcil:
•El denominador és de grau 1:Q (x) =a x +b, a 0.
•x =2 és una asímptota vertical:
Això només és possible si el denominador s’anul·laen x =2 (i el numerador no, ja que el denominadornomés té un factor x 2), aleshores:
0 =Q (2) =a 2 +b b =2 a , P (2) 0
•Té l’asímptota horitzontal y =3:
Això significa que:
Això implica que P (x) sigui de grau 1, ja que si fosde grau 0, el límit seria 0; si fos de grau més gran que1, el límit seria infinit.
Així, P (x) =cx +d, i perquè el límit sigui 3:
==ca
ca 3
32
12
=+
=
+
=±±
lim()
limxx
cxdax
cdx
ax
32
==±±
lim()
()lim
()
() xx
Px
Qx
Px
ax
fxPxQx
()()()
=
lim()x
fxy+
== 00
lim()x
fxy == 11
lim()x
fx±
lim()
lim()x
x
fx
fxx
+
=
==
4
4
4
lim()
lim()x
x
fx
fxx
+
=
=+=
1
1
1
C M
Y K
158
8. Límits
Per tant,
•La gràfica de f passa pel punt (1, 0):
Hem obtingut, finalment, que la funció f ha deser:
Podem dibuixar-la gràficament a partir de les pro-pietats que li hem demanat i d’una petita taula de va-lors:
x034
f (x)6
46.Primerament hem de determinar el valor del pendenta:
Ara, podem trobar l’ordenada en el origen, b:
=+
+=
100200
12
=
+
+
=±
limx
xx
xx
111
213
3
2
=
+
+
=±
limx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
3
3
2
33
3
3
2
33
1
23
mfx
xxx
xxx xx==
+
+=
±±lim
()lim
32
32
1
23
92
32
fxaxa
axx
x()
()==
332
332
== 33da
da
0131
123
==+
=+
= fad
aad
a()
()
fxaxd
ax()
()=
+ 32
L’asímptota trobada és, doncs,
—Perquè
en què an0 i bm0, tingui una asímptota obli-qua, ha de complir-se que:
En efecte, demostrarem que (1) n =m +1:
Suposem que n m +1. Podria ser:
•n >m +1:
Ja que no es compleix (1).
•n <m +1:
afx
xPx
xQx xx===
±±lim
()lim
()()
=
++
++
=±
+
lim
...
... ()
x
nn
mnmn
n
aa
xb
x
b
x
a0
10
1
00=
=
++
++
=±+ lim
...
...x
nn
nn
mm
nn
ax
x
a
x
bx
x
bx
x
0
10
=++
++=
±+ lim...
... x
nn
mm
axa
bxbx0
10
afx
xPx
xQx xx===
±±lim
()lim
()()
mfx
x x=
±lim
(){}() �01
=++++
+++
axaxaxa
bxbxn
nn
n
mm
mm
11
10
11
...
...bbxb 10 +
fxPxQx
()()()
==
yx =12
14
.
=+
+=
100400
14
=
+
+
=±
limx
xx
xx
132
426
2
2
=
+
+
=±
limx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
2
222
2
222
32
426
=+
+=
±lim
x
xx
xx
2
2
32
426
=++
+=
±lim
x
xxxxx
xx
22223
426
3232
2
=+
+=
±lim
x
xx
xx
x32
2
1
232
bfxmxx
==±
lim(())
X
Y
f(x) =3x – 3x – 2
158
8. L
ímitsPer tant,
• La gràfica de f passa pel punt (1, 0):
Hem obtingut, finalment, que la funció f ha deser:
Podem dibuixar-la gràficament a partir de les pro-pietats que li hem demanat i d’una petita taula de va-lors:
x 0 3 4
f (x) 6
46. Primerament hem de determinar el valor del pendenta:
Ara, podem trobar l’ordenada en el origen, b:
=+
+=
1 0 02 0 0
12
=
+
+
=±
limx
x x
x x
11 1
21 3
3
2
=
+
+
=±
limx
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
3
3
2
3 3
3
3
2
3 3
1
2 3
mf x
xx x
x x xx x= =
+
+=
± ±lim
( )lim
3 2
3 2
1
2 3
92
32
f xax a
a xx
x( )
( )= =
3 32
3 32
= =3 3da
d a
0 13 1
1 23
= =+
=+
=fa d
aa d
a( )
( )
f xax d
a x( )
( )=
+32
L’asímptota trobada és, doncs,
— Perquè
en què an 0 i bm 0, tingui una asímptota obli-qua, ha de complir-se que:
En efecte, demostrarem que (1) n = m + 1:
Suposem que n m + 1. Podria ser:
• n > m + 1:
Ja que no es compleix (1).
• n < m + 1:
af x
xP x
xQ xx x= = =
± ±lim
( )lim
( )( )
=
+ +
+ +
=±
+
lim
...
...( )
x
n n
mn m n
n
aa
xb
x
b
x
a0
10
1
00=
=
+ +
+ +
=± +
lim
...
...x
nn
n n
mm
n n
a x
x
a
x
b x
x
b x
x
0
10
=+ +
+ +=
± +lim
...
...x
nn
mm
a x a
b x b x0
10
af x
xP x
xQ xx x= = =
± ±lim
( )lim
( )( )
mf x
xx=
±lim
( ){ } ( )� 0 1
=+ + + +
+ + +
a x a x a x a
b x b xn
nn
n
mm
mm
11
1 0
11
...
... bb x b1 0+
f xP xQ x
( )( )( )
= =
y x=12
14
.
=+
+=
1 0 04 0 0
14
=
+
+
=±
limx
x x
x x
13 2
42 6
2
2
=
+
+
=±
limx
x
x
x
x x
x
x
x
x x
2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
4 2 6
=+
+=
±lim
x
x x
x x
2
2
3 2
4 2 6
=+ +
+=
±lim
x
x x x x x
x x
2 2 2 2 3
4 2 6
3 2 3 2
2
=+
+=
±lim
x
x x
x x
x3 2
2
1
2 3 2
b f x mxx
= =±
lim ( ( ) )
X
Y
f(x) = 3x – 3x – 2
CM
YK
159
8. Límits
Ja que no és compleix (1).
Està, doncs, demostrat que la funció només pottenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, ex-cedeix en una unitat el de Q, m.
47. D’acord amb la definició de límit infinit en un punt :
Sigui, doncs, K > 0 fix.
Hem de trobar > 0 que compleix la condició de ladefinició.
Per trobar-lo, imposarem que es compleixi el que vo-lem:
Si llegim aquest resultat de dreta a esquerra, tenim:
Així, si prenem es compleix la definició.
— En particular, si prenem K = 10 000, el valor de és:
Aleshores, l’entorn que proposem és:
(3 , 3 + ) = (2,98, 3,02)
= = =2
10 000
2100
0 02,
=2
K
xK x
K< >32 4
3 2( )
< =xK K
34 2
4
33
42
2
( )( )
xK x
K> <
0 34
3 2< < >x
xK
( )
lim( )
,x x
K= + > >3 2
4
30 0
=
+ +
+ +
= =±
+ +
lim
...
...x
nm n m
m mm
a
x
a
x
bb
x
b
10
1
0
000
=
+ +
+ +±
+ +
+
+
lim
...
...x
nn
m m
mm
m
a x
x
a
x
b x
x
b
10
1
1
100
1
x
xm+
=
=+ +
+ +=
± +lim
...
...x
nn
mm
a x a
b x b x0
10
48. Per calcular el límit de f (x) en hem d’usar la
seva expressió analítica per a
Així:
Perquè aquest límit sigui finit, el numerador s’ha d’a-nular:
El valor del límit per a m = 4 és, resolent la indeter-minació:
49. Perquè x = 2 sigui una asímptota vertical, el denomi-nador s’ha d’anular (i el numerador no) en x = 2:
b 2 + 6 = 0 b = 3
Perquè y = 4 sigui asímptota horitzontal:
Per tant, perquè es compleixen les dues condicions,ha de ser:
b = 3 , a = 4 ( 3) = 12
50. Activitat TIC.
51. Activitat TIC.
=
+
+
= =±
limx
ax
bx
ab
a b
8
64
=+
+=
+
+
=± ±
486
8
6lim lim
x x
axbx
axx xbxx x
= + =232
3 6
= =lim
( )
limx x
x x
x32
32
4 6
232
+ =32
2 3( )x
lim ( ) limx x
f xxx
= =32
32
29 43 2
994
0 4= =m m
=
9940
m
lim ( ) limx x
f xmx
x
m= =
32
32
2
2
93 2
932
3 2232
=
x32
.
x =32
159
8. L
ímits
Ja que no és compleix (1).
Està, doncs, demostrat que la funció només pottenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, ex-cedeix en una unitat el de Q, m.
47.D’acord amb la definició de límit infinit en un punt :
Sigui, doncs, K >0 fix.
Hem de trobar >0 que compleix la condició de ladefinició.
Per trobar-lo, imposarem que es compleixi el que vo-lem:
Si llegim aquest resultat de dreta a esquerra, tenim:
Així, si prenem es compleix la definició.
—En particular, si prenem K =10000, el valor de és:
Aleshores, l’entorn que proposem és:
(3 , 3 +) =(2,98, 3,02)
===2
10000
2100
002 ,
=2
K
xKx
K <> 324
32
()
<= xKK
342
4
33
42
2
()()
xKx
K><
034
32 <<> x
xK
()
lim()
,xx
K =+>>32
4
300
=
++
++
==±
++
lim
...
...x
nmnm
mmm
a
x
a
x
bb
x
b
10
1
0
000
=
++
++±
++
+
+
lim
...
...x
nn
mm
mm
m
ax
x
a
x
bx
x
b
10
1
1
100
1
x
xm+
=
=++
++=
±+ lim...
... x
nn
mm
axa
bxbx0
10
48.Per calcular el límit de f (x) enhem d’usar la
seva expressió analítica per a
Així:
Perquè aquest límit sigui finit, el numerador s’ha d’a-nular:
El valor del límit per a m =4 és, resolent la indeter-minació:
49.Perquè x =2 sigui una asímptota vertical, el denomi-nador s’ha d’anular (i el numerador no) en x =2:
b 2 +6 =0 b =3
Perquè y =4 sigui asímptota horitzontal:
Per tant, perquè es compleixen les dues condicions,ha de ser:
b =3 , a =4 (3) =12
50.Activitat TIC.
51.Activitat TIC.
=
+
+
==±
limx
ax
bx
ab
ab
8
64
=+
+=
+
+
=±±
486
8
6limlim
xx
axbx
axxxbxxx
=+= 232
36
== lim
()
limxx
xx
x32
32
46
232
+=32
23 () x
lim()limxx
fxxx
==32
32
29432
994
04 == mm
=
9940
m
lim()limxx
fxmx
x
m==
32
32
2
2
932
932
32232
=
x32
.
x=32
C M
Y K
160
9. Continuïtat
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
•x3+4 x22 x =8 x3+4 x22 x 8 =0
i si factoritzem el membre de l’esquerra usant el mèto-de de Ruffini:
1428
4408
1020
x3+4 x22 x 8 =(x +4) (x22)
Per tant, l’última equació es pot escriure:
Les solucions de l’equació són, doncs,
D’acord amb el que s’ha explicat en teoria, una funció fels zeros de la qual coincideixin amb els de les solucionsde l’equació F(x) =c és:
f(x) =F(x) c =x3+4 x22 x 8
•a)Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:
0 =f(x) =x33 x210 x
Per a fer-ho, factoritzem el membre de la dreta:
0 =x33 x210 x =x(x23 x 10)
Els zeros de la funció són, doncs,
x1=2 , x2=0 , x3=5
b)Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:
0 =g(x) =x4 4 x2+4
Per a fer-ho observem que es compleix:
x44 x2+4 =(x22)2
=
==
=
x
xxx
x
0
31002
52
xxx 123 422 === ,,
()() xxxx
xx+=
+==
==±420
404
2022
2
Així, hem de resoldre l’equació:
Per tant, els zeros de g són:
1.CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
1.Veurem que es verifiquen les tres condicions de con-tinuïtat en x0:
a)C1:f(2) ==(2)32 (2)25 (2) +9 =3
C2:
=(2)32 (2)25 (2) +9 =3
C3:
Per tant, f és contínua en x0=2.
b)C1:
C2:
C3:
Aleshores, g és contínua en x0=4.
c)C1:h(3) =3 3 1 =8
C2:Com que h està definida a trossos i té diferentexpressió analítica a tots dos costats de x0=3, per calcular hem de calcu-
lar els límits laterals:
C3:
Aleshores, h és contínua en x0=3.
lim()()x
hxh ==3
83
= lim()x
hx3
8
lim()lim()
lim(xx
x
hxx
hx +
===33
3
313318
))lim() === +x
x3
111138
lim()x
hx3
lim()()x
gxg ==4
19
4
lim()limxx
gxx
x=
+=
+=
4422
6
2
46
42
19
g()446
42
218
19 2 =
+==
lim()()x
fxf ==2
32
lim()lim()xx
fxxxx =+=22
32259
xix 12 22 ==
() xxx222
20202 ===±
Continuïtat 9
160
9. C
ontin
uïta
t
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
• x3 + 4 x2 2 x = 8 x3 + 4 x2 2 x 8 = 0
i si factoritzem el membre de l’esquerra usant el mèto-de de Ruffini:
1 4 2 8
4 4 0 8
1 0 2 0
x3 + 4 x2 2 x 8 = (x + 4) (x2 2)
Per tant, l’última equació es pot escriure:
Les solucions de l’equació són, doncs,
D’acord amb el que s’ha explicat en teoria, una funció fels zeros de la qual coincideixin amb els de les solucionsde l’equació F(x) = c és:
f(x) = F(x) c = x3 + 4 x2 2 x 8
• a) Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:
0 = f(x) = x3 3 x2 10 x
Per a fer-ho, factoritzem el membre de la dreta:
0 = x3 3 x2 10 x = x(x2 3 x 10)
Els zeros de la funció són, doncs,
x1 = 2 , x2 = 0 , x3 = 5
b) Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:
0 = g(x) = x4 4 x2 + 4
Per a fer-ho observem que es compleix:
x4 4 x2 + 4 = (x2 2)2
=
==
=
x
x xx
x
0
3 10 02
52
x x x1 2 34 2 2= = =, ,
( ) ( )x xx x
x x+ =
+ = =
= = ±4 2 0
4 0 4
2 0 22
2
Així, hem de resoldre l’equació:
Per tant, els zeros de g són:
1. CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
1. Veurem que es verifiquen les tres condicions de con-tinuïtat en x0:
a) C1: f( 2) == ( 2)3 2 ( 2)2 5 ( 2) + 9 = 3
C2:
= ( 2)3 2 ( 2)2 5 ( 2) + 9 = 3
C3:
Per tant, f és contínua en x0 = 2.
b) C1:
C2:
C3:
Aleshores, g és contínua en x0 = 4.
c) C1: h(3) = 3 3 1 = 8
C2: Com que h està definida a trossos i té diferentexpressió analítica a tots dos costats de x0 = 3, per calcular hem de calcu-
lar els límits laterals:
C3:
Aleshores, h és contínua en x0 = 3.
lim ( ) ( )x
h x h= =3
8 3
=lim ( )x
h x3
8
lim ( ) lim ( )
lim (x x
x
h x x
h x+
= = =3 3
3
3 1 3 3 1 8
)) lim ( )= = =+x
x3
11 11 3 8
lim ( )x
h x3
lim ( ) ( )x
g x g= =4
19
4
lim ( ) limx x
g xx
x=
+=
+=
4 4 2 2
6
2
4 6
4 2
19
g( )44 6
4 2
218
192
=+
= =
lim ( ) ( )x
f x f= =2
3 2
lim ( ) lim ( )x x
f x x x x= + =2 2
3 22 5 9
x i x1 22 2= =
( )x x x2 2 22 0 2 0 2= = = ±
Continuïtat9
CM
YK
161
9. Continuïtat
d) C1:
C2:
C3:
Aleshores, i és contínua en x0 = 0.
2. Per a veure que una funció no és contínua en x0, n’hiha prou de veure que no es compleix alguna de lescondicions de continuïtat en x0:
a) C1: f és una funció racional, aleshores:
D(f) = � {x � � x 1 = 0} = � {1}
Com que 1 D(f), no existeix f(1); aleshores,no es compleix C1 i, per tant, f no és contínuaen x0 = 1.
b) C1: g( 5) = 5 + 8 = 3
C2: Com que g té una expressió analítica diferenta cada costat de x0 = 5, hem de calcular el lí-mit de g en x0 a partir dels límits laterals.
Com que no
existeix i per tant, no es compleix
C2; aleshores, g no és contínua en x0 = 5.
3. Hem de demostrar que f(x) = 2 x + 3 és contínua enx0 = 5, és a dir, que:
> 0 , > 0 � �x 5� <�f(x) f(5)� <
Sigui, doncs, > 0 fix. Hem de trobar un real > 0 demanera que si �x 5� < , es compleixi:
�f(x) f(5)� <
Per a fer-ho, intentarem expressar la condició que vo-lem que es compleixi, �f(x) f(5)� < , en termes de �x 5� i obtenir a partir d’ella un valor de :
�f(x) f(5)� = �(2 x + 3) (2 5 + 3)� =
= �2 x 10� = 2 �x 5�
Així, doncs, si prenem x tal que es veri-ficarà:
( )2 3 13 2 5 22
x x+ = < =
lim ( ) lim ( ),x x
g x g x+
= =5 5
23 3
lim ( ) lim ( )x x
g x x+ +
= + = + =5 5
8 5 8 3
= = =lim ( ) ( )x
x5
2 22 5 2 23
lim ( )x
g x =5
lim ( ) ( )x
i x i= =0
1 0
=lim ( )x
i x0
1
lim ( ) lim
lim ( )
x x
x
i xx
i x+
= = =
=
0 0
0
11
10 1
1
llim ( )x
x+
= =0
2 1 2 0 1 1
i( )01
0 11= = Per tant, donat qualsevol > 0, n’hi ha prou de pren-
dre
— En particular, per a = 0,1, tenim = 0,05.
4. Calculem els límits laterals de f en x0 = 0, recordant quela funció valor absolut es definia a trossos:
Com que f(0) = 1, tenim:
és contínua per l’esquer-
ra en x0 = 0.
no és contínua per la
dreta en x0 = 0.
5. • x0 = 1: f( 1) = 1 1 = 2
= ( 1) = 1 2 = f( 1)
f no és contínua per l’esquerra en x0 = 1, ales-hores no és contínua en aquest punt.
• x0 = 3: f(3) = 32 + 2 3 + 5 = 2
f és contínua per l’esquerra en x0 = 3.
= 32 + 2 3 + 5 = 2 = f(3)
f és contínua per la dreta en x0 = 3.
Com que f és contínua lateralment en x0 = 3, f éscontínua en aquest punt.
6. a) Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior del’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en elsextrems, a = 0 i b = 3:
• Si x0 és un punt qualsevol de l’interval (0, 3),ales-
hores f és contínua en l’interval (0, 3).
•
f és contínua per la dreta en a = 0.
•
f no és contínua per l’esquerra en b = 3.Així, f és contínua en l’interval [0, 3).
f
f x xx x
( )
lim ( ) lim ( )
3 3 11 2
2 3 2 1
2
3 3
= =
= = =
lim ( ) lim ( )x x
f x x x+ +
= + + =3 3
2 2 5
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x x f= = = =3 3
1 3 1 2 3
lim ( ) lim ( )x x
f x x= =1 1
lim ( ) ( )x
f x f f= =0
1 0
lim ( ) lim lim limx x x x
f xxx
xx+ + + +
= = = =0 0 0 0
1 1
= = =lim lim ( )x x
xx0 0
1 1
lim ( ) limx x
f xxx
= =0 0
xx
x
si x
si x=
<
0
0
lim ( ),x
g x5
x <52
,
=2
.
lim ( ) ( )x
f x f f+
= =0
1 1 0
lim ( ) lim ( ) ( ),x x x x
f x x x f x= = =0 0
2 20 0
f
f x xx x
( )
lim ( ) lim ( )
0 0 2 2
2 0 2 20 0
= =
= = =+ +
161
9. C
ontin
uïta
t
d)C1:
C2:
C3:
Aleshores, i és contínua en x0=0.
2.Per a veure que una funció no és contínua en x0, n’hiha prou de veure que no es compleix alguna de lescondicions de continuïtat en x0:
a)C1:f és una funció racional, aleshores:
D(f) =�{x � �x 1 =0} =�{1}
Com que 1 D(f), no existeix f(1); aleshores,no es compleix C1 i, per tant, f no és contínuaen x0=1.
b)C1:g(5) =5 +8 =3
C2:Com que g té una expressió analítica diferenta cada costat de x0=5, hem de calcular el lí-mit de g en x0a partir dels límits laterals.
Com queno
existeix i per tant, no es compleix
C2; aleshores, g no és contínua en x0=5.
3.Hem de demostrar que f(x) =2 x +3 és contínua enx0=5, és a dir, que:
>0 , >0 ��x 5�<�f(x) f(5)�<
Sigui, doncs, >0 fix. Hem de trobar un real >0 demanera que si �x 5�<, es compleixi:
�f(x) f(5)�<
Per a fer-ho, intentarem expressar la condició que vo-lem que es compleixi, �f(x) f(5)�<, en termes de �x 5�i obtenir a partir d’ella un valor de :
�f(x) f(5)�=�(2 x +3) (2 5 +3)�=
=�2 x 10�=2 �x 5�
Així, doncs, si prenem x tal quees veri-ficarà:
() 23132522
xx +=<=
lim()lim(),xx
gxgx + ==55
233
lim()lim()xx
gxx ++ =+=+=55
8583
=== lim()()x
x5
2225223
lim()x
gx=5
lim()()x
ixi ==0
10
= lim()x
ix0
1
lim()lim
lim()
xx
x
ixx
ix +
===
=
00
0
11
101
1
llim()x
x +==0
212011
i()01
011 ==Per tant, donat qualsevol >0, n’hi ha prou de pren-
dre
—En particular, per a =0,1, tenim =0,05.
4.Calculem els límits laterals de f en x0=0, recordant quela funció valor absolut es definia a trossos:
Com que f(0) =1, tenim:
és contínua per l’esquer-
ra en x0=0.
no és contínua per la
dreta en x0=0.
5.•x0=1: f(1) =1 1 =2
=(1) =1 2 =f(1)
f no és contínua per l’esquerra en x0=1, ales-hores no és contínua en aquest punt.
•x0=3: f(3) =32+2 3 +5 =2
f és contínua per l’esquerra en x0=3.
=32+2 3 +5 =2 =f(3)
f és contínua per la dreta en x0=3.
Com que f és contínua lateralment en x0=3, f éscontínua en aquest punt.
6.a)Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior del’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en elsextrems, a =0 i b =3:
•Si x0és un punt qualsevol de l’interval (0, 3),ales-
hores f és contínua en l’interval (0, 3).
•
f és contínua per la dreta en a =0.
•
f no és contínua per l’esquerra en b =3.Així, f és contínua en l’interval [0, 3).
f
fxxxx
()
lim()lim()
33112
2321
2
33
==
===
lim()lim()xx
fxxx ++ =++=33
225
lim()lim()()xx
fxxf ====33
13123
lim()lim()xx
fxx ==11
lim()()x
fxff ==0
10
lim()limlimlimxxxx
fxxx
xx
++++ ====0000
11
=== limlim()xx
xx 00
11
lim()limxx
fxxx
==00
xx
x
six
six=
<
0
0
lim(),x
gx5
x< 52
,
=2
.
lim()()x
fxff +==0
110
lim()lim()(),xxxx
fxxxfx ===00
22 00
f
fxxxx
()
lim()lim()
0022
202200
==
=== ++
C M
Y K
162
9. Continuïtat
b)Hem d’estudiar la continuïtat de g en l’interiorde l’interval, (1, +), i la seva continuïtat lateralen a =1.
•x0(1, +):
Aleshores, g és contínua en (1, +).
•a =1:
Aleshores, g és contínua per la dreta en a =1.
Així, g és contínua en l’interval [1, +).
c)Per a estudiar la continuïtat de h en [2, 2], pri-merament l’expressarem com una funció definidaa trossos:
La funció h és contínua en (2, 2), ja que:
•Si x0(2, 0],
•Si x0(0, 2),
•Si x0=0,
Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta dea =2 i per l’esquerra de b =2:
•En a =2, tenim:
Aleshores, és contínua per la dreta en a =2.
•En b =2, tenim:
Aleshores, h és contínua per l’esquerra en b =2.
Per tant, la funció h és contínua en [2, 2].
7.a)Com que f és una funció racional, és contínua en elseu domini, és a dir, en el conjunt de punts en elsquals no s’anul.la el seu denominador. I és discontí-nua en els punts que no pertanyen al seu domini, jaque no es compleix C1. Calculem aquests punts:
x25 x +6 =0 x =2 o x =3
hihxxxx
()lim()lim 24422
2===
hihxxxx
()lim()lim === ++ 24422
2
lim()limlimlimxxxx
hxxh ++ ====00
2
0
2
00 x(()x
lim()lim()xxxx
hxxxhx ===00
202
0
lim()lim()xxxx
hxxxhx ===00
202
0
= hxx
x
six
six()
[,]
(,]
2
2
20
02
hxxx
xx
six
six()
()[,]
(,]=
20
02
==== + lim()()x
xg1
1001
lim()limxx
gxx ++ ==11
1
lim()lim()xxxx
gxxxgx ===00
11 00
Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f enaquests punts hem de veure si es compleix o no C2,i per què no es compleix si la resposta és negativa:
C2:
Així, es compleix C2; per tant, f presenta en x0=2una discontinuïtat evitable.
C2:
f té una discontinuïtat de salt infinit en x0=3.
b)Si x0<2,
Aleshores, g és contínua en x0.
Si és una funció racional,
aleshores és contínua en el seu domini, que és elconjunt de punts en què no s’anul.la el seu deno-minador, i discontínua en els altres punts, és a dir,en els zeros del seu denominador:
x 5 =0 x =5
Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g enx0=5:
g presenta en x0=5 una discontinuïtat no evi-table de salt infinit.
Queda per estudiar la continuïtat en x0=2:
no es compleix C2, ja que
Aleshores, g presenta una discontinuïtat de saltfinit en x0=2.
lim()lim()xx
gxgx + ==22
217
lim()lim()
lim(
xx
x
gxx
g+
=+=+=22
2
4242
xxxx x
)lim =+
=+
= +2
35
2325
17
lim()lim
lim()lim
xx
x
gxxx
gx
++ =+
=+
=
55
5
35
xx
xx+
=5
35
xgxxx
0235
>=+
,()
lim()lim()()xxxx
gxxxgx =+=+=00
44 00
lim()lim
lim(
xx
x
fxx
xx
xx
=+
=
=
332
3
2
56
2=
=+
=
=
++
23
2
56 332
)()
lim()lim
x
fxx
xx xx
llim()() x
xxx
+=+3
223
== lim()() x
xxx 2
223
1
lim()limxx
fxx
xx=
+=
222
2
56
162
9. C
ontin
uïta
tb) Hem d’estudiar la continuïtat de g en l’interior
de l’interval, (1, + ), i la seva continuïtat lateralen a = 1.
• x0 (1, + ):
Aleshores, g és contínua en (1, + ).
• a = 1:
Aleshores, g és contínua per la dreta en a = 1.
Així, g és contínua en l’interval [1, + ).
c) Per a estudiar la continuïtat de h en [ 2, 2], pri-merament l’expressarem com una funció definidaa trossos:
La funció h és contínua en ( 2, 2), ja que:
• Si x0 ( 2, 0],
• Si x0 (0, 2),
• Si x0 = 0,
Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta dea = 2 i per l’esquerra de b = 2:
• En a = 2, tenim:
Aleshores, és contínua per la dreta en a = 2.
• En b = 2, tenim:
Aleshores, h és contínua per l’esquerra en b = 2.
Per tant, la funció h és contínua en [ 2, 2].
7. a) Com que f és una funció racional, és contínua en elseu domini, és a dir, en el conjunt de punts en elsquals no s’anul.la el seu denominador. I és discontí-nua en els punts que no pertanyen al seu domini, jaque no es compleix C1. Calculem aquests punts:
x2 5 x + 6 = 0 x = 2 o x = 3
h i h x xx x
( ) lim ( ) lim2 4 42 2
2= = =
h i h x xx x
( ) lim ( ) lim= = =+ +
2 4 42 2
2
lim ( ) lim lim limx x x x
h x x h+ +
= = = =0 0
2
0
2
00x (( )x
lim ( ) lim ( )x x x x
h x x x h x= = =0 0
202
0
lim ( ) lim ( )x x x x
h x x x h x= = =0 0
202
0
=h xx
x
si x
si x( )
[ , ]
( , ]
2
2
2 0
0 2
h xx x
x x
si x
si x( )
( ) [ , ]
( , ]=
2 0
0 2
= = = =+
lim ( ) ( )x
x g1
1 0 0 1
lim ( ) limx x
g x x+ +
= =1 1
1
lim ( ) lim ( )x x x x
g x x x g x= = =0 0
1 10 0
Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f enaquests punts hem de veure si es compleix o no C2,i per què no es compleix si la resposta és negativa:
C2:
Així, es compleix C2; per tant, f presenta en x0 = 2una discontinuïtat evitable.
C2:
f té una discontinuïtat de salt infinit en x0 = 3.
b) Si x0 < 2,
Aleshores, g és contínua en x0.
Si és una funció racional,
aleshores és contínua en el seu domini, que és elconjunt de punts en què no s’anul.la el seu deno-minador, i discontínua en els altres punts, és a dir,en els zeros del seu denominador:
x 5 = 0 x = 5
Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g enx0 = 5:
g presenta en x0 = 5 una discontinuïtat no evi-table de salt infinit.
Queda per estudiar la continuïtat en x0 = 2:
no es compleix C2, ja que
Aleshores, g presenta una discontinuïtat de saltfinit en x0 = 2.
lim ( ) lim ( )x x
g x g x+
= =2 2
217
lim ( ) lim ( )
lim (
x x
x
g x x
g+
= + = + =2 2
2
4 2 4 2
xxxxx
) lim=+
=+
=+2
35
2 32 5
17
lim ( ) lim
lim ( ) lim
x x
x
g xxx
g x
+ +=
+= +
=
5 5
5
35
xx
xx+
=5
35
x g xxx0 2
35
> =+
, ( )
lim ( ) lim ( ) ( )x x x x
g x x x g x= + = + =0 0
4 40 0
lim ( ) lim
lim(
x x
x
f xx
x x
xx
=+
=
=
3 3 2
3
2
5 6
2=
=+
=
=
+ +
2 3
2
5 63 3 2
)( )
lim ( ) lim
x
f xx
x xx x
llim( )( )x
xx x+
= +3
22 3
= =lim( )( )x
xx x2
22 3
1
lim ( ) limx x
f xx
x x=
+=
2 2 2
2
5 6
CM
YK
163
9. Continuïtat
c) La funció es pot expressar com a
A partir de la gràfica de g s’obté que g és contínuaen �. D’altra banda, f és contínua en � {0}. Així,per la propietat L4.6 de límits, h és contínua en � {0}.
Ara bé, h presenta en x0 = 0 una discontinuïtat, jaque 0 D(h).
Per classificar la discontinuïtat, hem d’estudiar elcompliment de la condició C2:
Quan x tendeix a 0 per qualsevol costat, ten-
deix a + , i com que la funció sinus és periòdica,oscil.larà infinitament entre 1 i 1 en anar augmen-
tant Per tant, no s’apropa a cap valor, per la
qual cosa no existeix cap límit lateral.Així, h té una discontinuïtat essencial en x0 = 0.
8. Com que x0 = 1 és un zero del denominador, ja que( 1)2 ( 1) 2 = 0, 1 no pertany al domini de f; ales-hores, no es compleix C1, i per tant, f és discontínuaen x0 = 1.
Per comprovar que la discontinuïtat en x0 = 1 és evi-table, hem de veure que es compleix C2:
aleshores, es compleix C2.
Si definim la funció g de la forma:
coincideix amb f en el domini d’aquesta última i éscontínua en x0 = 1.
2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES
9. a) f(x) = (x 5)3 = x3 15 x2 + 75 x 125 és una fun-ció polinòmica, aleshores és contínua en el seu do-mini, D(f) = �.
g xf x
x
x xsi x D f
x
( )( ) ( ) { , }
lim=
=+
=1
21 2
2�
= =1
13
1f x si x( )
=lim ( )x
f x1
13
lim ( ) lim
lim
x x
x
f xx
x xx
=+
=
=+
1 1 2
1
1
21
(( )( )
lim ( ) lim
x x
f xx
x x
+= =
=+ +
1 21
1 213
1 1
++=
=+
+= =
+
1
21
1 21
1 213
2
1
x xx
x xxlim
( )( )
12x
h g f en què g x sin x i f xx
= = =� , ( ) ( ) .12
h x sinx
( ) =12
b) i(x) = log (x + 3) és la composició de la fun-ció f(x) = x + 3, polinòmica i, per tant, contínua en�, amb la funció g(x) = log x, contínua en (0, + ).
Per tant, i = g � f és contínua en tots els punts x0 enels quals g és contínua en f(x0) = x0 + 3, és a dir, enels punts x0 tals que
x0 + 3 (0, + ) x0 + 3 > 0
x0 > 3 x0 ( 3, + )
Així, i és contínua en l’interval ( 3, + ).
c) g(x) = x ex és el producte de la funció identitat, x,contínua en �, per la funció exponencial de baseel nombre e, ex, contínua en �, aleshores g és con-tínua en �.
d) és la suma de la funcióf(x) = x3, polinòmica i, per tant, contínua en �,amb la funció
Així, serà contínua en tots aquells punts en elsquals g ho sigui. Hem d’estudiar, doncs, la conti-nuïtat de
La funció g(x)= x + 1 és la composició de la fun-ció f1(x) = x + 1, contínua en �, amb la funció
contínua en [0, + ); aleshores, gserà contínua en els punts x0 en els quals f2 siguicontínua en f1(x0) = x0 + 1, és a dir, en què:
f1(x0) = x0 + 1 [0, + )
x0 + 1 0 x0 1 x0 [ 1, + )
Aleshores, g = f2 � f1 és contínua en [ 1, + ) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [ 1,+ ).
e) és una funció racional, aleshores
és contínua en el seu domini, és a dir, en � { 6}.
f) k(x) = sin2 x � cos x, i aquesta funció és el produc-te de les funcions f(x) = sin2 x i g(x)= cos x.
La funció f és, al seu torn, producte de dues fun-cions, f(x) = sin x � sin x. Així, com que la funciósinus és contínua en �, f també ho és.
De la mateixa manera, la funció cosinus és contí-nua en �; aleshores, k és producte de dues fun-cions contínues en �, i, per tant, és contínua en �.
3. TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT
10. Vegem que f(x) = 2 x2 3 x 5 compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:
• f és una funció polinòmica; aleshores, és contínua entot � i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3].
h xxx
( ) =+
2 16
g x x( ) .= + 1
12x
. j x x x( ) = +3 1
g x x( ) .= + 1
f x x2( ) ,=
163
9. C
ontin
uïta
t
c)La funció es pot expressar com a
A partir de la gràfica de g s’obté que g és contínuaen �. D’altra banda, f és contínua en �{0}. Així,per la propietat L4.6 de límits, h és contínua en �{0}.
Ara bé, h presenta en x0=0 una discontinuïtat, jaque 0 D(h).
Per classificar la discontinuïtat, hem d’estudiar elcompliment de la condició C2:
Quan x tendeix a 0 per qualsevol costat, ten-
deix a +, i com que la funció sinus és periòdica,oscil.larà infinitament entre 1 i 1 en anar augmen-
tantPer tant, no s’apropa a cap valor, per la
qual cosa no existeix cap límit lateral.Així, h té una discontinuïtat essencial en x0=0.
8.Com que x0=1 és un zero del denominador, ja que(1)2(1) 2 =0, 1 no pertany al domini de f; ales-hores, no es compleix C1, i per tant, f és discontínuaen x0=1.
Per comprovar que la discontinuïtat en x0=1 és evi-table, hem de veure que es compleix C2:
aleshores, es compleix C2.
Si definim la funció g de la forma:
coincideix amb f en el domini d’aquesta última i éscontínua en x0=1.
2.PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES
9.a)f(x) =(x 5)3=x315 x2+75 x 125 és una fun-ció polinòmica, aleshores és contínua en el seu do-mini, D(f) =�.
gxfx
x
xxsixDf
x
()()(){,}
lim=
=+
=1
212 2�
==1
13
1 fxsix ()
= lim()x
fx1
13
lim()lim
lim
xx
x
fxx
xxx
=+
=
=+
112
1
1
21
(()()
lim()lim
xx
fxx
xx
+==
= ++
121
1213
11
++=
=+
+== +
1
21
121
1213
2
1
xxx
xx xlim
()()
12
x
hgfenquègxsinxifxx
=== �,()().12
hxsinx
()=12
b)i(x) =log (x +3) és la composició de la fun-ció f(x) =x +3, polinòmica i, per tant, contínua en�, amb la funció g(x) =log x, contínua en (0, +).
Per tant, i =g �f és contínua en tots els punts x0enels quals g és contínua en f(x0) =x0+3, és a dir, enels punts x0tals que
x0+3 (0, +) x0+3 >0
x0>3 x0(3, +)
Així, i és contínua en l’interval (3, +).
c)g(x) =x exés el producte de la funció identitat, x,contínua en �, per la funció exponencial de baseel nombre e, ex, contínua en �, aleshores g és con-tínua en �.
d)és la suma de la funcióf(x) =x3, polinòmica i, per tant, contínua en �,amb la funció
Així, serà contínua en tots aquells punts en elsquals g ho sigui. Hem d’estudiar, doncs, la conti-nuïtat de
La funció g(x)=x +1és la composició de la fun-ció f1(x) =x +1, contínua en �, amb la funció
contínua en [0, +); aleshores, gserà contínua en els punts x0en els quals f2siguicontínua en f1(x0) =x0+1, és a dir, en què:
f1(x0) =x0+1 [0, +)
x0+1 0 x01 x0[1, +)
Aleshores, g =f2�f1és contínua en [1, +) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [1,+).
e)és una funció racional, aleshores
és contínua en el seu domini, és a dir, en �{6}.
f)k(x) =sin2x �cos x, i aquesta funció és el produc-te de les funcions f(x) =sin2x i g(x)=cos x.
La funció f és, al seu torn, producte de dues fun-cions, f(x) =sin x �sin x. Així, com que la funciósinus és contínua en �, f també ho és.
De la mateixa manera, la funció cosinus és contí-nua en �; aleshores, k és producte de dues fun-cions contínues en �, i, per tant, és contínua en �.
3.TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT
10.Vegem que f(x) =2 x23 x 5 compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:
•f és una funció polinòmica; aleshores, és contínua entot �i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3].
hxxx
()=+
216
gxx (). =+1
12
x.jxxx ()=+
31
gxx (). =+1
fxx 2(), =
C M
Y K
164
9. Continuïtat
•f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:
f(2) =2 223 2 5 =3 <0
f(3) =2 323 3 5 =4 >0
Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema:
c (2, 3) tal que f(c) =0, aleshores f talla l’eix d’abs-cisses en c (2, 3), que és el que volíem demostrar.
11.Les solucions de l’equació x3+4 x22 x 8 =0 coin-cideixen exactament amb els zeros de la funció:
f(x) =x3+4 x22 x 8
Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera:
Demostrar, usant el teorema de Bolzano, que la fun-ció f(x) =x3+4 x22 x 8 té un zero en l’interval (1,2).
Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teo-rema de Bolzano en l’interval [1, 2]:
•f és una funció polinòmica, aleshores és contínua en�; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].
•f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:
f(1) =13+4 122 1 8 =5 <0
f(2) =23+4 222 2 8 =12 >0
Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: c (1, 2) tal que f(c) =0,que és el que volíem demostrar.
12.El teorema de Bolzano ens dóna un criteri d’existèn-cia d’arrels en un interval obert, que és el primer quevolem demostrar.
Vegem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, enl’interval [1, 2]:
•f(x) =ex3 és la diferència de dues funcions con-tínues en �; en particular, és contínua en l’interval[1, 2].
•Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:
f(1) =e13 �2,71 3 =0,29 <0
f(2) =e23 �7,39 3 =4,39 >0
Per tant, es compleix la tesi:
c (1, 2) tal que f(c) =0
El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’e-xistència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2).
La demostració d’aquest teorema ens proporciona unmètode constructiu per a determinar el valor d’aquest
zero amb tantes xifres decimals correctes com es de-sitgi: en el nostre cas, com que ens demanen un errormenor que 0,1, n’hi ha prou de donar una xifra deci-mal de c.
Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud0,1:
[1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2]
Calculem les imatges dels extrems d’aquests in-tervals i ens quedem amb un d’ells en què les imat-ges dels extrems tinguin signe diferent. Per exemple(i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]:
f(1) =e13 �0,29 <0
f(1,1) =e1,13 �0,004 >0
Tal com hem escollit l’interval, es continuen complintles hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores, escomplirà la tesi:
c�(1, 1,1) tal que f(c�) =0
Com que c�és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt
mitjà d’aquest interval, serà menor
que la meitat de la longitud de l’interval:
Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1.
13.La funció no té zeros, ja que si en tingués
algun seria el zero del numerador, x =0, però aquestpunt no és del domini de f, ja que també és un zerodel denominador: tg 0 =0.Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval:
—No entrem en contradicció amb el teorema de Bol-zano, ja que no es compleix una de les seves hipò-tesis:
f no és contínua enja que:
14.Sí. Per exemple:
•f(x) =x2és positiva en els extrems de l’interval [1, 1], f(1) =f(1) =1 >0, i té un zero, x0=0, enl’interval (1, 1).
xDf 02
=()
434
,,
434
,
fxx
tgx()=
<=< c105111
200501 ,
,,,
1112
105+
=,
,,
164
9. C
ontin
uïta
t• f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-
terval:
f(2) = 2 22 3 2 5 = 3 < 0
f(3) = 2 32 3 3 5 = 4 > 0
Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema:
c (2, 3) tal que f(c) = 0, aleshores f talla l’eix d’abs-cisses en c (2, 3), que és el que volíem demostrar.
11. Les solucions de l’equació x3 + 4 x2 2 x 8 = 0 coin-cideixen exactament amb els zeros de la funció:
f(x) = x3 + 4 x2 2 x 8
Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera:
Demostrar, usant el teorema de Bolzano, que la fun-ció f(x) = x3 + 4 x2 2 x 8 té un zero en l’interval (1,2).
Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teo-rema de Bolzano en l’interval [1, 2]:
• f és una funció polinòmica, aleshores és contínua en�; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].
• f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:
f(1) = 13 + 4 12 2 1 8 = 5 < 0
f(2) = 23 + 4 22 2 2 8 = 12 > 0
Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: c (1, 2) tal que f(c) = 0, que és el que volíem demostrar.
12. El teorema de Bolzano ens dóna un criteri d’existèn-cia d’arrels en un interval obert, que és el primer quevolem demostrar.
Vegem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, enl’interval [1, 2]:
• f(x) = ex 3 és la diferència de dues funcions con-tínues en �; en particular, és contínua en l’interval[1, 2].
• Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:
f(1) = e1 3 � 2,71 3 = 0,29 < 0
f(2) = e2 3 � 7,39 3 = 4,39 > 0
Per tant, es compleix la tesi:
c (1, 2) tal que f(c) = 0
El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’e-xistència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2).
La demostració d’aquest teorema ens proporciona unmètode constructiu per a determinar el valor d’aquest
zero amb tantes xifres decimals correctes com es de-sitgi: en el nostre cas, com que ens demanen un errormenor que 0,1, n’hi ha prou de donar una xifra deci-mal de c.
Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud0,1:
[1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2]
Calculem les imatges dels extrems d’aquests in-tervals i ens quedem amb un d’ells en què les imat-ges dels extrems tinguin signe diferent. Per exemple(i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]:
f(1) = e1 3 � 0,29 < 0
f(1,1) = e1,1 3 � 0,004 > 0
Tal com hem escollit l’interval, es continuen complintles hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores, escomplirà la tesi:
c� (1, 1,1) tal que f(c�) = 0
Com que c� és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt
mitjà d’aquest interval, serà menor
que la meitat de la longitud de l’interval:
Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1.
13. La funció no té zeros, ja que si en tingués
algun seria el zero del numerador, x = 0, però aquestpunt no és del domini de f, ja que també és un zerodel denominador: tg 0 = 0.Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval:
— No entrem en contradicció amb el teorema de Bol-zano, ja que no es compleix una de les seves hipò-tesis:
f no és contínua en ja que:
14. Sí. Per exemple:
• f(x) = x2 és positiva en els extrems de l’interval [ 1, 1], f( 1) = f(1) = 1 > 0, i té un zero, x0 = 0, enl’interval ( 1, 1).
x D f0 2= ( )
434
, ,
434
,
f xx
tg x( ) =
< = <c 1 051 1 1
20 05 0 1,
,, ,
1 1 12
1 05+
=,
, ,
CM
YK
165
9. Continuïtat
• g(x) = sin x és negativa en els extrems de l’interval
i té dos
zeros, x0 = 0 i x1 = , en l’interval
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
15. La funció f és contínua en
( , 1) � (1, 3) � (3, + )
independentment del valor de a i b, ja que és una fun-ció polinòmica en cadascun d’aquests intervals.
Per tant, perquè la funció sigui contínua en �, n’hi ha prou d’imposar que sigui contínua en x0 = 1 i en x0= 3.
• x0 = 1:
f(1) = 2 1 + 1 = 3
Així, f és contínua en x = 1 si i només si a b = 3. (1)
• x0 = 3:
f(3) = 32 3 = 6
Així, f és contínua en x = 3 si i només si 3 a b = 6. (2)
Finalment, f és contínua en � si i només si es verifi-quen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són lasolució del sistema:
16. La funció és contínua en ( , 2), ja que ve donada peruna expressió polinòmica en aquest interval.
També és contínua en (2, + ), ja que ve donada peruna expressió racional el denominador de la qual no-més s’anul.la en x = 1, que no pertany a aquest inter-val.
Així, f serà contínua en �, si i només si ho és en x = 2.
Per a imposar que f sigui contínua en x = 2, imposa-rem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analí-tica de f(x) és diferent segons que x sigui menor o ma-jor que 2:
f és contínua en x = 2 f és contínua per l’es-querra i per la dreta en i lim ( ) ( ).
xf x f
+=
22
x f x fx
= =2 22
lim ( ) ( )
a b
a ba b
=
== =
3
3 632
32
,
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x x f+ +
= = = =3 3
2 23 3 3 6 3
lim ( ) lim ( )x x
f x a x b a b a b= = =3 3
3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x a x b a b a b+ +
= = =1 1
1
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x x f= + = + = =1 1
2 1 2 1 1 3 1
Ara bé, f(2) = 6 i els límits laterals, expressats en fun-ció dels paràmetres m i n, són:
= 4 m 2 2 = 8 m 2
Per tant, f és contínua en � si i només si:
17. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 3 indepen-dentment del valor de k, ja que no està definida enaquest punt; aleshores, no es compleix la condició C1.
Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complirC2, és a dir, ha d’existir i ser finit.
Ara bé, si el numerador x2 5 x 2 k pren un valor L � 0 en x0 = 3, aleshores no es pot complir C2, ja que:
Aleshores, f presentarà una discontinuïtat de salt infi-nit en x0 = 3.
Per tant, el numerador s’ha d’anul.lar en x0 = 3; ales-hores, k ha de ser:
( 3)2 5 ( 3) 2 k = 0
9 + 15 2 k = 0 k = 12
Vegem si en aquest cas f té efectivament o no una dis-continuïtat evitable:
Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0 = 3 si inomés si k = 12.
18. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2 indepen-dentment del valor del paràmetre m, ja que el seu de-nominador s’anul.la en aquest punt i, per tant, no escompleix la condició C1.
Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infi-nit, algun dels límits laterals ha de ser (i han d’exis-tir tots dos).
lim ( )( )( )
xf x
x x
x=
+
+= =
3
3 8
33 8 11
limx
x xx +
=3
2 5 243
lim ( ) limx x
f xx x k
xL
=+
= =3 3
2 5 23 0
8 2 6 1
32 6 12
m m
nn
= =
+ = =
=+
= +6
3 32
n n
lim ( ) limx x
f xx nx
n+ +
=+
+=
+
+=
2 2
31
3 22 1
lim ( ) lim ( )x x
f x m x= =2 2
4 2
= =2
3
2 2
3
2, , sin sin 11 0< ,
2
3
2, .
lim ( )x
f x3
165
9. C
ontin
uïta
t
•g(x) =sin x és negativa en els extrems de l’interval
ité dos
zeros, x0=0 i x1=, en l’interval
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
15.La funció f és contínua en
(, 1) �(1, 3) �(3, +)
independentment del valor de a i b, ja que és una fun-ció polinòmica en cadascun d’aquests intervals.
Per tant, perquè la funció sigui contínua en �, n’hi ha prou d’imposar que sigui contínua en x0=1 i en x0=3.
•x0=1:
f(1) =2 1 +1 =3
Així, f és contínua en x=1 si i només si ab=3. (1)
•x0=3:
f(3) =323 =6
Així, f és contínua en x =3 si i només si 3 a b =6. (2)
Finalment, f és contínua en �si i només si es verifi-quen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són lasolució del sistema:
16.La funció és contínua en (, 2), ja que ve donada peruna expressió polinòmica en aquest interval.
També és contínua en (2, +), ja que ve donada peruna expressió racional el denominador de la qual no-més s’anul.la en x =1, que no pertany a aquest inter-val.
Així, f serà contínua en �, si i només si ho és en x =2.
Per a imposar que f sigui contínua en x =2, imposa-rem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analí-tica de f(x) és diferent segons que x sigui menor o ma-jor que 2:
f és contínua en x =2 f és contínua per l’es-querra i per la dreta en i lim()().
xfxf +=
22
xfxfx
== 222
lim()()
ab
abab
=
===
3
3632
32
,
lim()lim()()xx
fxxf ++ ====33
2233363
lim()lim()xx
fxaxbabab ===33
33
lim()lim()xx
fxaxbabab ++ ===11
1
lim()lim()()xx
fxxf =+=+==11
2121131
Ara bé, f(2) =6 i els límits laterals, expressats en fun-ció dels paràmetres m i n, són:
=4 m 2 2 =8 m 2
Per tant, f és contínua en �si i només si:
17.La funció f té una discontinuïtat en x0=3 indepen-dentment del valor de k, ja que no està definida enaquest punt; aleshores, no es compleix la condició C1.
Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complirC2, és a dir, ha d’existir i ser finit.
Ara bé, si el numerador x25 x 2 k pren un valor L �0 en x0=3, aleshores no es pot complir C2, ja que:
Aleshores, f presentarà una discontinuïtat de salt infi-nit en x0=3.
Per tant, el numerador s’ha d’anul.lar en x0=3; ales-hores, k ha de ser:
(3)25 (3) 2 k =0
9 +15 2 k =0 k =12
Vegem si en aquest cas f té efectivament o no una dis-continuïtat evitable:
Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0=3 si inomés si k =12.
18.La funció f té una discontinuïtat en x0=2 indepen-dentment del valor del paràmetre m, ja que el seu de-nominador s’anul.la en aquest punt i, per tant, no escompleix la condició C1.
Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infi-nit, algun dels límits laterals ha de ser (i han d’exis-tir tots dos).
lim()()()
xfx
xx
x=
+
+==
3
38
33811
limx
xxx+
=3
2524
3
lim()limxx
fxxxk
xL
=+
==33
252
30
8261
32612
mm
nn
==
+==
=+
=+6
332
nn
lim()limxx
fxxnx
n++ =
+
+=
+
+=
22
31
3221
lim()lim()xx
fxmx ==22
42
==2
3
22
3
2,,sinsin110 <,
2
3
2,.
lim()x
fx3
C M
Y K
166
9. Continuïtat
Ara bé, com que f és una funció racional:
Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempreque 4 m +1 �0.
Vegem què passa si 4 m +1 =0, és a dir,
Així, si es compleix C2; aleshores no tenim
una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt
infinit en x0=2 si i només si
19.El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de
l’intervalsignifica que existeix algun real
per al qual (x, f(x)) =(x, g(x)), o equi-
valentment, f(x) =g(x).
Hem de demostrar, doncs, que l’equació
sin 2 x =2 x 1 té alguna solució en
sin 2 x =2 x 1 sin 2 x 2 x +1 =0
Així, n’hi ha prou de veure que la funció
h(x) =sin 2 x 2 x +1
té algun zero en l’interval
Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesidel teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixenles seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens de-manaven:
•h és suma de funcions contínues en �, aleshores és
contínua en �; en particular, és contínua en42
,.
42,.
42,:
42,
m14
.
m=14
,
=+
=+=14
214
214
21442
lim()()
()x
xx
x
=+
=14
12282 2
2
limx
xxx
limx
xx
x
+
=2
2 14
37
2
m=14
:
=+
=+ mm 2327
041
0
2
lim()limxx
fxmxx
x++ =
+=
22
2372
=+
=+ mm 2327
041
0
2
lim()limxx
fxmxx
x=
+=
22
2372
•Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:
Aleshores, efectivament,en el qual
h(c) =0 f(c) =g(c) les gràfiques de f i g es
tallen en
20.Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun puntés equivalent a veure que existeix una solució de l’equació f(x) =g(x), o equivalentment, que la funcióh(x) =f(x) g(x) =2x +131 xté algun zero.
El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zerosde funcions contínues en intervals. Com que h és la di-ferència de dues funcions contínues en �(ja que sóncomposició de funcions contínues en �), podem bus-car un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b,de manera que h(a) i h(b) tinguin signe diferent.
Ja que:
per a reals prou grans h és positiva, i per a valors pro-pers al zero h és negativa.
Per tant, pel teorema de Bolzano, existeix almenys unpunt c tal que h(c) =2c +131 c=0. És a dir, l’equa-ció 2x +1=31 xté almenys una solució.
Per a determinar aquest punt en l’interval demanat,trobarem el valor de la funció h en 0, 1, 2, 3...:
h(0) =20 +131 0=2 3 =1 <0
h(1) =21 +131 1=2230=4 1 =3 >0
Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es trobaen l’interval (0, 1).
21.Volem trobar el valor de x tal que x =ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que �c ln 2�<0,05.
Per a fer-ho, observem que:
x =ln 2 ex=2 ex2 =0
Per tant, podem convertir el problema a trobar el zerode la funció f(x) =ex2 amb un error menor que0,05.
Per a fer-ho, buscarem un interval en què f compleixiel teorema de Bolzano.
lim()lim()xx
xxhx
+===<
00
11232310
lim()lim()xx
xxhx
++
+==+=+ 230
11
xc 042
=,.
, c42
hsin2
22
22
110 =+=<
hsin4
24
24
112
0 =+=>
x42
,
166
9. C
ontin
uïta
tAra bé, com que f és una funció racional:
Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempreque 4 m + 1 � 0.
Vegem què passa si 4 m + 1 = 0, és a dir,
Així, si es compleix C2; aleshores no tenim
una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt
infinit en x0 = 2 si i només si
19. El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de
l’interval significa que existeix algun real
per al qual (x, f(x)) = (x, g(x)), o equi-
valentment, f(x) = g(x).
Hem de demostrar, doncs, que l’equació
sin 2 x = 2 x 1 té alguna solució en
sin 2 x = 2 x 1 sin 2 x 2 x + 1 = 0
Així, n’hi ha prou de veure que la funció
h(x) = sin 2 x 2 x + 1
té algun zero en l’interval
Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesidel teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixenles seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens de-manaven:
• h és suma de funcions contínues en �, aleshores és
contínua en �; en particular, és contínua en4 2
, .
4 2, .
4 2, :
4 2,
m14
.
m =14
,
=+
= + =14
2 14
214
2 14 42
lim( )( )
( )x
x x
x
=+
=14
12 2822
2
limx
x xx
limx
x x
x
+
=2
214
3 7
2
m =14
:
=+
=+m m2 3 2 7
04 1
0
2
lim ( ) limx x
f xm x x
x+ +=
+=
2 2
2 3 72
=+
=+m m2 3 2 7
04 1
0
2
lim ( ) limx x
f xm x x
x=
+=
2 2
2 3 72
• Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:
Aleshores, efectivament, en el qual
h(c) = 0 f(c) = g(c) les gràfiques de f i g es
tallen en
20. Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun puntés equivalent a veure que existeix una solució de l’equació f(x) = g(x), o equivalentment, que la funcióh(x) = f(x) g(x) = 2x + 1 31 x té algun zero.
El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zerosde funcions contínues en intervals. Com que h és la di-ferència de dues funcions contínues en � (ja que sóncomposició de funcions contínues en �), podem bus-car un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b,de manera que h(a) i h(b) tinguin signe diferent.
Ja que:
per a reals prou grans h és positiva, i per a valors pro-pers al zero h és negativa.
Per tant, pel teorema de Bolzano, existeix almenys unpunt c tal que h(c) = 2c + 1 31 c = 0. És a dir, l’equa-ció 2x + 1 = 31 x té almenys una solució.
Per a determinar aquest punt en l’interval demanat,trobarem el valor de la funció h en 0, 1, 2, 3...:
h(0) = 20 + 1 31 0 = 2 3 = 1 < 0
h(1) = 21 + 1 31 1 = 22 30 = 4 1 = 3 > 0
Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es trobaen l’interval (0, 1).
21. Volem trobar el valor de x tal que x = ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que �c ln 2� < 0,05.
Per a fer-ho, observem que:
x = ln 2 ex = 2 ex 2 = 0
Per tant, podem convertir el problema a trobar el zerode la funció f(x) = ex 2 amb un error menor que0,05.
Per a fer-ho, buscarem un interval en què f compleixiel teorema de Bolzano.
lim ( ) lim ( )x x
x xh x += = = <0 0
1 12 3 2 3 1 0
lim ( ) lim ( )x x
x xh x+ +
+= = + = +2 3 01 1
x c0 4 2= , .
,c4 2
h sin2
22
22
1 1 0= + = <
h sin4
24
24
1 12
0= + = >
x4 2
,
CM
YK
167
9. Continuïtat
A més, aquest interval ha de tenir longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que0,05.
No costa de veure que en l’interval [0, 1] f compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano.
Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals:
[0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]
i calculem les imatges dels extrems, de manera queens quedem amb l’interval en què les imatges delsseus extrems tenen signe diferent:
f(0,6) = 0,18 < 0 ; f(0,7) = 0,01 > 0
L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si conside-rem el punt mitjà:
es compleix que:
Així, c� = 0,65 és una aproximació de c = ln 2 amb unerror menor que 0,05.
22. Sigui x0 > 0. Hem de demostrar que existeix un real
c tal que c2 = x0, i en aquest cas, c = x0 (podem su-posar c � 0).
Podem pensar que el que busquem és una solució del’equació x2 = x0 o, equivalentment, un zero de la fun-ció f(x) = x2 x0.
Com que f és polinòmica, és contínua en �; aleshores,si trobem dos reals a i b en els quals f té signe diferent,el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix unpunt c de l’interval que defineixen a i b en el qual f s’a-nul.la, que és el que volíem demostrar.
Ara bé, observem que:
f(0) = 02 x0 = x0 < 0
prou gran
en el qual f(b) > 0.
Així, hem trobat dos reals, a = 0 i b, en els quals f tésigne diferent, aleshores existeix c (0, b) tal quef(c) = 0, és a dir, c2 = x0, aleshores c és una arrel qua-drada de x0.
ACTIVITATS
Abans de començar
• Continuïtat d’una funció en un punt (pàg. 192); conti-nuïtat lateral (pàg. 194); continuïtat en un interval (pàg.195).
• Tipus de discontinuïtats que pot presentar una funció enun punt (pàg. 196).
• Teoremes relatius a la continuïtat (pàg. 200 i 202).
< = =c c0 7 0 6
20 12
0 05, , ,
,
=+
=c0 6 0 7
20 65
, ,,
Qüestions
23. f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infiniten x0
els límits laterals existeixen i, almenys, un d’ells ésinfinit
x = x0 és una asímptota vertical de f.
El recíproc no és cert, ja que pot passar que x = x0sigui una asímptota vertical de f i no existeixi un delslímits laterals de f en x0, per la qual cosa x0 seria unadiscontinuïtat essencial.
24. Considerem la funció:
f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap lí-mit lateral de f en cap punt x0 �:
Considerem 1 > > 0 qualsevol.
> 0 , x1 � , x2 � �
tals que:
�x1 x0� < , �x2 x0� <
i no pot passar simultàniament que:
�f(x1) f(x0)� = �1 f(x0)� <
�f(x2) f(x0)� = � 1 f(x0)� = �1 + f(x0)� <
ja que, en aquest cas, la desigualtat triangular ens di-ria que:
2 = �1 + 1� = �1 + f(x0) f(x0) + 1�
�1 + f(x0)� + �1 f(x0)� < + = 2 1 <
la qual cosa contradiu l’elecció del .
Com que podem prendre x1 < x0 i x2 < x0 o x1 > x0 i x2 > x0, això demostra que no existeixen elslímits laterals en cap punt; aleshores, f presenta unadiscontinuïtat essencial en tots els punts.
En canvi, �f � = 1 és contínua en tot punt, ja que és unafunció constant.
25. No, ja que si g és contínua en x0, en particular es com-pleix C2, aleshores existeix i és finit.
Ara bé, com que f(x) = g(x) si x � x0 i a l’hora de cal-cular un límit és indiferent el valor de la funció en elpunt considerat (no ha d’estar necessàriament defini-da en aquest punt), es compleix que:
Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té unadiscontinuïtat en x0 aquesta ha de ser evitable (es potevitar redefinint f(x0) = g(x0)).
lim ( ) lim ( )x x x x
f x g x=0 0
lim ( )x x
g x0
f xsi x
si x( ) =
1
1
�
� �
= ± = ±+
lim ( ) lim ( )x x x x
f x o f x0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x x x b+ +
= = +20
167
9. C
ontin
uïta
t
A més, aquest interval ha de tenir longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que0,05.
No costa de veure que en l’interval [0, 1] f compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano.
Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals:
[0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]
i calculem les imatges dels extrems, de manera queens quedem amb l’interval en què les imatges delsseus extrems tenen signe diferent:
f(0,6) =0,18 <0 ; f(0,7) =0,01 >0
L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si conside-rem el punt mitjà:
es compleix que:
Així, c�=0,65 és una aproximació de c =ln 2 amb unerror menor que 0,05.
22.Sigui x0>0. Hem de demostrar que existeix un real
c tal que c2=x0, i en aquest cas, c =x0(podem su-posar c �0).
Podem pensar que el que busquem és una solució del’equació x2=x0o, equivalentment, un zero de la fun-ció f(x) =x2x0.
Com que f és polinòmica, és contínua en �; aleshores,si trobem dos reals a i b en els quals f té signe diferent,el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix unpunt c de l’interval que defineixen a i b en el qual f s’a-nul.la, que és el que volíem demostrar.
Ara bé, observem que:
f(0) =02x0=x0<0
prou gran
en el qual f(b) >0.
Així, hem trobat dos reals, a =0 i b, en els quals f tésigne diferent, aleshores existeix c (0, b) tal quef(c) =0, és a dir, c2=x0, aleshores c és una arrel qua-drada de x0.
ACTIVITATS
Abans de començar
•Continuïtat d’una funció en un punt (pàg. 192); conti-nuïtat lateral (pàg. 194); continuïtat en un interval (pàg.195).
•Tipus de discontinuïtats que pot presentar una funció enun punt (pàg. 196).
•Teoremes relatius a la continuïtat (pàg. 200 i 202).
<== cc0706
2012
005,,,
,
=+
= c0607
2065
,,,
Qüestions
23.f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infiniten x0
els límits laterals existeixen i, almenys, un d’ells ésinfinit
x =x0és una asímptota vertical de f.
El recíproc no és cert, ja que pot passar que x =x0sigui una asímptota vertical de f i no existeixi un delslímits laterals de f en x0, per la qual cosa x0seria unadiscontinuïtat essencial.
24.Considerem la funció:
f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap lí-mit lateral de f en cap punt x0�:
Considerem 1 >>0 qualsevol.
>0 , x1� , x2� �
tals que:
�x1x0�<, �x2x0�<
i no pot passar simultàniament que:
�f(x1) f(x0)�=�1 f(x0)�<
�f(x2) f(x0)�=�1 f(x0)�=�1 +f(x0)�<
ja que, en aquest cas, la desigualtat triangular ens di-ria que:
2 =�1 +1�=�1 +f(x0) f(x0) +1�
�1 +f(x0)�+�1 f(x0)�<+=21<
la qual cosa contradiu l’elecció del .
Com que podem prendre x1<x0i x2<x0 o x1>x0 i x2>x0, això demostra que no existeixen elslímits laterals en cap punt; aleshores, f presenta unadiscontinuïtat essencial en tots els punts.
En canvi, �f�=1 és contínua en tot punt, ja que és unafunció constant.
25.No, ja que si g és contínua en x0, en particular es com-pleix C2, aleshores existeixi és finit.
Ara bé, com que f(x) =g(x) si x �x0i a l’hora de cal-cular un límit és indiferent el valor de la funció en elpunt considerat (no ha d’estar necessàriament defini-da en aquest punt), es compleix que:
Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té unadiscontinuïtat en x0aquesta ha de ser evitable (es potevitar redefinint f(x0) =g(x0)).
lim()lim()xxxx
fxgx =00
lim()xx
gx0
fxsix
six()=
1
1
�
��
=±=± + lim()lim()xxxx
fxofx00
lim()lim()xx
fxxxb++
==+2
0
C M
Y K
168
9. Continuïtat
26.Un exemple senzill és el següent:
Les funcions f i g presenten una discontinuïtat de saltfinit en x0=0, però el seu quocient,
és una funció constant i, per tant, contínua en x0=0.
27.a)Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0=2 [1, 5] i f(2) =1 <0, existeix un entorn E(2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en
E(2) �(2, 5)
Aleshores, x (2, 5) tal que f(x) <0.
b)Certa. Com que f és contínua en [1, 5] i ja que f(1) =2 <0 i f(5) =3 >0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores,
c (1, 5) tal que f(c) =0. Per tant, f talla l’eixOX en c [1, 5].
c)Falsa (en general), ja que f podria tenir una gràfi-ca com la de la figura:
d)Certa, ja que la seva gràfica podria oscil.lar al vol-tant de l’eix OX entre les abscisses x =1 i x =2.
e)Certa. Pel teorema dels valors intermedis, com quef és contínua en l’interval
[1, 5] i 2, 5 (f(1), f(5)) =(2, 3)
c (1, 5) �[1, 5] tal que f(c) =2,5
hxfxgx
()()()
==1
fxsix
sixgx
si(),() =
>=
1
1
0
0
1
1
xx
six>
0
0
f)Certa. Pel teorema de Weierstrass, com que f éscontínua en [1, 2], assoleix el seu mínim absoluten aquest interval, m, i el seu màxim absolut enaquest interval, M, en sengles punts x1i x2d’aquestinterval; aleshores, �x [1, 2],
m =f(x1) f(x) f(x2) =M
m f M en [1, 2]
és a dir, f està fitada en [1, 2].
EXERCICIS I PROBLEMES
28.a)Sigui >0. Hem de trobar un >0 tal que:
�x 1�<�f(x) f(1)�<
Intentem expressar la condició que volem que escompleixi en termes de l’expressió que fitaremper , �x 1�:
�f(x) f(1)�=�4 x 1 (4 1 1)�=
=�4 x 4�=4 �x 1�Ara:
�f(x) f(1)�<
Podem prendre, doncs,
En particular, si =0,4, podem prendre
b)Sigui >0. Hem de trobar >0 tal que:
�x +5�<�g(x) g(5)�<
Ara bé:
Aleshores:
�g(x) g(5)�<
Podem prendre, doncs, =2 >0.
En particular, si =0,4, podem prendre
=2 =2 0,4 =0,8
29.a)Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extremsdes de l’interior de l’interval:
•x0(2, 4):
+<+<12
552 xx
=+
=+x
x5
212
5
gxgx
()()=++
= 513
2513
2
===4
044
01,
,
=>4
0.
<< 4114
xx
X
Y
f
X
Y
f
168
9. C
ontin
uïta
t26. Un exemple senzill és el següent:
Les funcions f i g presenten una discontinuïtat de saltfinit en x0 = 0, però el seu quocient,
és una funció constant i, per tant, contínua en x0 = 0.
27. a) Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0 = 2 [1, 5] i f(2) = 1 < 0, existeix un entorn E (2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en
E (2) � (2, 5)
Aleshores, x (2, 5) tal que f(x) < 0.
b) Certa. Com que f és contínua en [1, 5] i ja que f(1) = 2 < 0 i f(5) = 3 > 0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores,
c (1, 5) tal que f(c) = 0. Per tant, f talla l’eixOX en c [1, 5].
c) Falsa (en general), ja que f podria tenir una gràfi-ca com la de la figura:
d) Certa, ja que la seva gràfica podria oscil.lar al vol-tant de l’eix OX entre les abscisses x = 1 i x = 2.
e) Certa. Pel teorema dels valors intermedis, com quef és contínua en l’interval
[1, 5] i 2, 5 (f(1), f(5)) = ( 2, 3)
c (1, 5) � [1, 5] tal que f(c) = 2,5
h xf xg x
( )( )( )
= = 1
f xsi x
si xg x
si( ) , ( )=
>=
1
1
0
0
1
1
xx
si x >
0
0
f) Certa. Pel teorema de Weierstrass, com que f éscontínua en [1, 2], assoleix el seu mínim absoluten aquest interval, m, i el seu màxim absolut enaquest interval, M, en sengles punts x1 i x2 d’aquestinterval; aleshores, � x [1, 2],
m = f(x1) f(x) f(x2) = M
m f M en [1, 2]
és a dir, f està fitada en [1, 2].
EXERCICIS I PROBLEMES
28. a) Sigui > 0. Hem de trobar un > 0 tal que:
�x 1� < �f(x) f(1)� <
Intentem expressar la condició que volem que escompleixi en termes de l’expressió que fitaremper , �x 1�:
�f(x) f(1)� = �4 x 1 (4 1 1)� =
= �4 x 4� = 4 �x 1�Ara:
�f(x) f(1)� <
Podem prendre, doncs,
En particular, si = 0,4, podem prendre
b) Sigui > 0. Hem de trobar > 0 tal que:
�x + 5� < �g(x) g( 5)� <
Ara bé:
Aleshores:
� g(x) g( 5)� <
Podem prendre, doncs, = 2 > 0.
En particular, si = 0,4, podem prendre
= 2 = 2 0,4 = 0,8
29. a) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extremsdes de l’interior de l’interval:
• x0 (2, 4):
+ < + <12
5 5 2x x
=+
= +x
x5
212
5
g x gx
( ) ( ) =+ +
=513
25 13
2
= = =4
0 44
0 1,
,
= >4
0.
< <4 1 14
x x
X
Y
f
X
Y
f
CM
YK
169
9. Continuïtat
Aleshores, f és contínua en x0.
• a = 2:
per tant,
f és contínua per la dreta en a = 2.
• b = 4:
per tant,
f és contínua per l’esquerra en b = 4.
Així, f és contínua en l’interval [2, 4].
b) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terior de l’interval, que és l’interval ( 3, + ), i lacontinuïtat per la dreta en a = 3:
• x0 ( 3, + ):
x0 > 3 x0 + 3 > 0
Aleshores, g és contínua en x = x0.
• a = 3:
Aleshores, g no és contínua per la dreta en a = 3.
Així, g és contínua en l’interval ( 3, + ).
30. Els punts de discontinuïtat són aquells en què s’inter-romp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valori l’existència dels límits laterals en aquest punt:
• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals són infinits; aleshores, és no evitable de saltinfinit.
• x = 2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen i són finits, però diferents; ales-hores, és no evitable de salt finit.
• x = 1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen, són finits i coincideixen, peròsón diferents de f(1); aleshores, és evitable.
• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixel límit per la dreta; aleshores, és essencial.
• x = 6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixf(6), i com que els límits laterals en aquest punt exis-
=+
= = +
+
1
3
10
3lim ( )
xx
lim ( ) limx x
g xx+ +
=+
=3 3
1
3
=+
=+
=1
3
1
30
00
lim ( )( )
x xx x
g x
lim ( ) limx x x x
g xx
=+
=0 0
1
3
lim ( ) lim ( ) ( )x x x x
f x x x f x= = =0 0
1 10 0teixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una dis-continuïtat evitable.
31. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè la imatged’aquest punt no està definida, per tant, no es com-pleix C1.
Per classificar la discontinuïtat hem de veure si com-pleix o no C2, i en cas negatiu trobar-ne el motiu:
Com que els límits laterals existeixen, són finits i coin-cideixen, existeix i és finit, per tant, es compleix C2.
Per tant, la discontinuïtat en x0 = 3 és evitable.
32. a) Com que f és racional, els seus punts de disconti-nuïtat són aquells en els quals no està definida,que són els zeros de denominador:
x2 x 2 = 0 x = 1 o x = 2
Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar elcompliment de C2.
Com que es compleix C2, x0 = 1 és una disconti-nuïtat evitable.
Com que els límits laterals en x0 = 2 són infinits, ladiscontinuïtat en x0 = 2 és no evitable de salt infinit.
b) En ( , 0) � (0, + ), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica.
Així, l’únic punt possible de discontinuïtat és x0 = 0. Comprovem si ho és o no:
g(0) = 02 3 = 3
Aleshores es compleix C1.
els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen, aleshores no es compleix C2 i x0 = 0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.
c) En es contínua, ja que és
composició d’una funció contínua, en
( , 0) � (0, + ) amb una funció contínua en
lim ( ) lim ( )
lim (x x
x
g x x
g x+
= + = + =0 0
0
5 2 5 0 2 2
)) lim ( )= = =+x
x0
2 23 0 3 3
lim ( ) limx x
f xx
x x=
+= =
2 2 2
3 3
2
90
=+
+= =lim
( )
( )( )x
x
x x1
3 1
1 23
1 21
lim ( ) limx x
f xx
x x=
+=
1 1 2
3 3
2
lim ( )x
f x =3
7
lim ( ) lim ( )x x
f x x+ +
= = =3 3
4 5 4 3 5 7
lim ( ) lim ( )x x
f x x= = =3 3
2 22 3 2 7
lim ( ) lim ( ) ( ),x x
f x x f+ +
= = =2 2
1 2 1 2
lim ( ) lim ( ) ( ),x x
f x x f= = =4 4
1 4 1 4
( , ), ( ) =01
h x sinx
f xx
( ) ,=1
169
9. C
ontin
uïta
t
Aleshores, f és contínua en x0.
•a =2:
per tant,
f és contínua per la dreta en a =2.
•b =4:
per tant,
f és contínua per l’esquerra en b =4.
Així, f és contínua en l’interval [2, 4].
b)Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terior de l’interval, que és l’interval (3, +), i lacontinuïtat per la dreta en a =3:
• x0(3, +):
x0>3 x0+3 >0
Aleshores, g és contínua en x =x0.
•a =3:
Aleshores, g no és contínua per la dreta en a =3.
Així, g és contínua en l’interval (3, +).
30.Els punts de discontinuïtat són aquells en què s’inter-romp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valori l’existència dels límits laterals en aquest punt:
•x =3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals són infinits; aleshores, és no evitable de saltinfinit.
•x =2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen i són finits, però diferents; ales-hores, és no evitable de salt finit.
•x =1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen, són finits i coincideixen, peròsón diferents de f(1); aleshores, és evitable.
•x =3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixel límit per la dreta; aleshores, és essencial.
•x =6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixf(6), i com que els límits laterals en aquest punt exis-
=+
==+
+
1
3
10
3lim()
xx
lim()limxx
gxx
++ =+
=33
1
3
=+
=+
=1
3
1
30
00
lim()()
xxxx
gx
lim()limxxxx
gxx
=+
=00
1
3
lim()lim()()xxxx
fxxxfx ===00
11 00teixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una dis-continuïtat evitable.
31.La funció f és discontínua en x0=3 perquè la imatged’aquest punt no està definida, per tant, no es com-pleix C1.
Per classificar la discontinuïtat hem de veure si com-pleix o no C2, i en cas negatiu trobar-ne el motiu:
Com que els límits laterals existeixen, són finits i coin-cideixen, existeix i és finit, per tant, es compleix C2.
Per tant, la discontinuïtat en x0=3 és evitable.
32.a)Com que f és racional, els seus punts de disconti-nuïtat són aquells en els quals no està definida,que són els zeros de denominador:
x2x 2 =0 x =1 o x =2
Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar elcompliment de C2.
Com que es compleix C2, x0=1 és una disconti-nuïtat evitable.
Com que els límits laterals en x0=2 són infinits, ladiscontinuïtat en x0=2 és no evitable de salt infinit.
b)En (, 0) �(0, +), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica.
Així, l’únic punt possible de discontinuïtat és x0=0. Comprovem si ho és o no:
g(0) =023 =3
Aleshores es compleix C1.
els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen, aleshores no es compleix C2 i x0=0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.
c)En es contínua, ja que és
composició d’una funció contínua,en
(, 0) �(0, +) amb una funció contínua en
lim()lim()
lim(xx
x
gxx
gx +
=+=+=00
0
525022
))lim() === +x
x0
223033
lim()limxx
fxx
xx=
+==
222
33
2
90
=+
+== lim
()
()() x
x
xx 1
31
123
121
lim()limxx
fxx
xx=
+=
112
33
2
lim()x
fx=3
7
lim()lim()xx
fxx ++ ===33
454357
lim()lim()xx
fxx ===33
222327
lim()lim()(),xx
fxxf ++ ===22
1212
lim()lim()(),xx
fxxf ===44
1414
(,),()= 01
hxsinx
fxx
(), =1
C M
Y K
170
9. Continuïtat
�, g(x) =sin x.
En (0, +), h(x) =x 5 és contínua perquè és po-linòmica.
L’única possible discontinuïtat és x0=0. Vegem siho és o no, i de quin tipus en cas afirmatiu:
f(0) =0 5 =5
Aleshores, es compleix C1.
no existeix, ja que quan
x tendeix a 0 per l’esquerra, tendeix a , i
com que la funció sinus és periòdica de període 2, cada unitats passa de valer 1 a valer 1, o a l’in-
revés; aleshores, oscil.la infinitament entre aquestsdos valors, sense tendir, en conseqüència, a capreal.
Per tant, x0=0 és una discontinuïtat essencial.
33.El punt x0=2 és una discontinuïtat de f, ja que enaquest punt s’anul.la el denominador de la disconti-nuïtat; aleshores, no està definida f(2) i, per tant, noes compleix C1.
Per veure que és evitable, hem de veure que es compleixC2:
El límit de f en x0=2 existeix i és finit; aleshores, efec-tivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtatevitable.
Per a evitar la discontinuïtat, n’hi ha prou de definirla imatge de x0=2 donant-li el valor que ha de pren-dre perquè sigui contínua,
A més, com que f és contínua en �{2}, ja que l’úniczero del seu denominador és x0=2, la funció així de-finida serà contínua en �:
34.a)La funció f és la suma de les funcions g(x) =x2ih(x) =ln(x 4).
La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en �.
La segona és la composició de dues funcions, h(x) =(h2�h1) (x), en què h1(x) =x 4 i h2(x) ==ln x.
Com que h1és contínua en �, ja que és polinòmi-ca, i h2és contínua en (0, +), i com que no estàdefinida en (, 0], la funció h és contínua exac-tament en els puntsx �tals que h1(x) =x 4 >0, és a dir, en (4, +).
lim().xx
fx=0
6
=+
=+= lim()()
x
xx
x 2
24
2246
lim()limxx
fxxx
x=
+=
22
228
2
1x
lim()limxx
hxsinx
=00
1
Com que f és la suma de dues funcions contínuesen (4, +) (i en cap altre punt), f és contínua enl’interval (4, +) (i en cap altre punt).
b)Si definim les funcions i
g(x) =x2+3, podem expressar h com el seu quo-
cient:
La funció f és la composició de dues funcions:f =f2�f1, en què Comque f1és polinòmica, és contínua en �, i com quef2és contínua en el seu domini, que és [0, +), te-nim que f és contínua exactament en els punts xtals que x +1 �0 x �1, que defineixen l’in-terval [1, +).
D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant,contínua en �. A més, g(x) >0, x.
Així, h és contínua exactament en [1, +).
c)La funció j és contínua en (2, 3) �(3, +), ja queen aquests intervals ve donada per una expressióanalítica polinòmica.
Com que en (, 2)l’expressió de j és racional, no-més serà discontínua en aquells punts d’aquest in-terval en els quals s’anul.li el denominador:
x +5 =0 x =5 (, 2)
Així, j és discontínua en x =5.
Vegem si és contínua en x =2 i x =3:
•x =2:
C1:j(2) =3 2 1 =5, aleshores es compleix C1.
C2:
aleshores, en x0=2, j presenta una discon-tinuïtat.
•x =3:
C1:j(3) =2 3 +2 =8
C2:
aleshores es compleix C2.
C3:aleshores es compleix C3.
Així, j és contínua en x =3.
Finalment, j és contínua en �{5, 2}.
d)Considerem les funcions g1(x) =2 sin x i g2(x) =ex. És clar que g(x) =(g2�g1) (x), i comque tant g1com g2són contínues en �, la se-va composició, és a dir g, és contínua en �.
e)La funció i és el quocient de les funcions
f(x) =cos 2xi g(x) =ln x2.
lim()lim()xx
jxx ++ =+=+=33
222328
lim()lim()xx
jxx ===33
313318
lim()lim()xx
jxx ++ ===22
313215
lim()limxx
jxx
=+
=+
=22
45
425
47
fxxyfxx 12 1 ()(). =+=
hfg
=.
fxx ()=+1
gxfx
xxx
fx
six
sixx
()()
lim()=
=+
==
2
2
282
6
2
22
lim()(),x
jxj ==3
83
170
9. C
ontin
uïta
t�, g(x) = sin x.
En (0, + ), h(x) = x 5 és contínua perquè és po-linòmica.
L’única possible discontinuïtat és x0 = 0. Vegem siho és o no, i de quin tipus en cas afirmatiu:
f(0) = 0 5 = 5
Aleshores, es compleix C1.
no existeix, ja que quan
x tendeix a 0 per l’esquerra, tendeix a , i
com que la funció sinus és periòdica de període 2, cada unitats passa de valer 1 a valer 1, o a l’in-
revés; aleshores, oscil.la infinitament entre aquestsdos valors, sense tendir, en conseqüència, a capreal.
Per tant, x0 = 0 és una discontinuïtat essencial.
33. El punt x0 = 2 és una discontinuïtat de f, ja que enaquest punt s’anul.la el denominador de la disconti-nuïtat; aleshores, no està definida f(2) i, per tant, noes compleix C1.
Per veure que és evitable, hem de veure que es compleixC2:
El límit de f en x0 = 2 existeix i és finit; aleshores, efec-tivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtatevitable.
Per a evitar la discontinuïtat, n’hi ha prou de definirla imatge de x0 = 2 donant-li el valor que ha de pren-dre perquè sigui contínua,
A més, com que f és contínua en � {2}, ja que l’úniczero del seu denominador és x0 = 2, la funció així de-finida serà contínua en �:
34. a) La funció f és la suma de les funcions g(x) = x2 ih(x) = ln(x 4).
La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en �.
La segona és la composició de dues funcions, h(x) = (h2 � h1) (x), en què h1(x) = x 4 i h2(x) == ln x.
Com que h1 és contínua en �, ja que és polinòmi-ca, i h2 és contínua en (0, + ), i com que no estàdefinida en ( , 0], la funció h és contínua exac-tament en els punts x � tals que h1(x) = x 4 >0, és a dir, en (4, + ).
lim ( ) .x x
f x =0
6
=+
= + =lim( )( )
x
x x
x2
2 4
22 4 6
lim ( ) limx x
f xx x
x=
+=
2 2
2 2 82
1x
lim ( ) limx x
h x sinx
=0 0
1
Com que f és la suma de dues funcions contínuesen (4, + ) (i en cap altre punt), f és contínua enl’interval (4, + ) (i en cap altre punt).
b) Si definim les funcions i
g(x) = x2 + 3, podem expressar h com el seu quo-
cient:
La funció f és la composició de dues funcions:f = f2 � f1, en què Comque f1 és polinòmica, és contínua en �, i com quef2 és contínua en el seu domini, que és [0, + ), te-nim que f és contínua exactament en els punts xtals que x + 1 � 0 x � 1, que defineixen l’in-terval [ 1, + ).
D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant,contínua en �. A més, g(x) > 0, x.
Així, h és contínua exactament en [ 1, + ).
c) La funció j és contínua en (2, 3) � (3, + ), ja queen aquests intervals ve donada per una expressióanalítica polinòmica.
Com que en ( , 2)l’expressió de j és racional, no-més serà discontínua en aquells punts d’aquest in-terval en els quals s’anul.li el denominador:
x + 5 = 0 x = 5 ( , 2)
Així, j és discontínua en x = 5.
Vegem si és contínua en x = 2 i x = 3:
• x = 2:
C1: j(2) = 3 2 1 = 5, aleshores es compleix C1.
C2:
aleshores, en x0 = 2, j presenta una discon-tinuïtat.
• x = 3:
C1: j(3) = 2 3 + 2 = 8
C2:
aleshores es compleix C2.
C3: aleshores es compleix C3.
Així, j és contínua en x = 3.
Finalment, j és contínua en � { 5, 2}.
d) Considerem les funcions g1(x) = 2 sin x i g2(x) = ex. És clar que g(x) = (g2 � g1) (x), i comque tant g1 com g2 són contínues en �, la se-va composició, és a dir g, és contínua en �.
e) La funció i és el quocient de les funcions
f(x) = cos 2x i g(x) = ln x2.
lim ( ) lim ( )x x
j x x+ +
= + = + =3 3
2 2 2 3 2 8
lim ( ) lim ( )x x
j x x= = =3 3
3 1 3 3 1 8
lim ( ) lim ( )x x
j x x+ +
= = =2 2
3 1 3 2 1 5
lim ( ) limx x
j xx
=+
=+
=2 2
45
42 5
47
f x x y f x x1 21( ) ( ) .= + =
hfg
= .
f x x( ) = + 1
g xf x
x xx
f x
si x
si xx
( )( )
lim ( )=
=+
= =
2
2
2 82
6
2
22
lim ( ) ( ),x
j x j= =3
8 3
CM
YK
171
9. Continuïtat
D’una banda, si considerem les funcions f1(x) = 2x i f2(x) = cos x, tenim que f = f2 � f1. Comque f1 és contínua en � i f2 també, f = f2 � f1 és con-tínua en �.
D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) = x2 i g2(x) = ln x, g = g2 � g1. Com que g1 éscontínua en � i g2 és contínua en el seu domini,D(g2) = (0, + ), la funció g és contínua exacta-ment en el conjunt de punts x � tals que g1(x) = x2 > 0 és a dir, en � {0}.
Així, la funció es discontínua en � {0}
i els punts en què s’anul.la g, que són x = 1 i x = 1. Així, i és contínua en � { 1, 0, 1}.
35. Transformem el problema de trobar solucions de l’e-quació x4 x2 20 = 0 en el de trobar zeros de la fun-ció f(x) = x4 x2 20.
Com que f és parell si c > 0 tal que f(c) = 0, es com-pleix que f( c) = 0. Així, ens limitarem a veure si f téalgun zero en (0, + ).
Per a fer-ho calcularem un interval en el qual es com-pleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en(0, + ).
Com que a més ens demanen que donem un intervalde longitud menor o igual que 0,5 que contingui aquestzero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...:
Així, l’interval buscat és
36. Vegem que es compleixen les hipòtesis del teoremadels valors intermedis:
• f és contínua en
—
per tant, és contínua en Així, tg2 x
és contínua en
— h(x) = 1 és contínua en perquè és una
funció constant.
Així, f és contínua en perquè és combinació
lineal de funcions contínues en 04
, .
04
,
04
,
04
, .
04
, .
04
, :
f f( ) ;2 8 052
20516
0= < = >
f f( ) ;1 2032
27516
= =
f f( ) ;0 2012
32316
= =
• El valor d = 2 està comprès entre f(0) i
f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 0 + 1 = 1
Així,
Aleshores, pel teorema dels valors intermedis:
Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equa-ció:
Així, el valor buscat és
37. Si definim la funció:
f(x) = 3 x4 4 x3 6 x2 + 12 x 20
les solucions de l’equació corresponen, exactament, atots els zeros de f.
Observem que:
f(0) = 3 04 4 03 6 02 + 12 0 20 =
= 20 < 0
Això ens diu que f té una arrel negativa i una altra depositiva. Així, vegem quin és el signe de f en els entersnegatius i en els positius per a obtenir la part enterad’aquestes arrels:
f(0) = 20 < 0
f( 1) = 31 < 0
f( 2) = 12 > 0
Pel teorema de Bolzano, f té un zero en ( 2, 1), per laqual cosa la seva part entera ha de ser 2.
f(0) = 20 < 0
f(1) = 15 < 0
f(2) = 4 < 0
f(3) = 97 > 0
lim ( ) limx x
f x x+ +
= = +3 4
lim ( ) limx x
f x x= = +3 4
c =6
.
x 04
,
= ± = ± =tg x x13
33 6
f x tg x tg x( ) = + = =2 3 1 213
2 2
=, ( )c tal que f c04
2
1 0 24
4= < < =f f( ) .
f tg4
34
1 3 1 1 42= + = + =
f4
:
ifg
=
g x tg x k k( ) ,= +és contínua en � �2
252
, .
171
9. C
ontin
uïta
t
D’una banda, si considerem les funcions f1(x) =2xi f2(x) =cos x, tenim que f =f2�f1. Comque f1 és contínua en �i f2també, f =f2�f1és con-tínua en �.
D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) =x2i g2(x) =ln x, g =g2�g1. Com que g1éscontínua en �i g2és contínua en el seu domini,D(g2) =(0, +), la funció g és contínua exacta-ment en el conjunt de punts x �tals que g1(x) =x2>0 és a dir, en �{0}.
Així, la funció es discontínua en �{0}
i els punts en què s’anul.la g, que són x =1 i x =1. Així, i és contínua en �{1, 0, 1}.
35.Transformem el problema de trobar solucions de l’e-quació x4x220 =0 en el de trobar zeros de la fun-ció f(x) =x4x220.
Com que f és parell si c >0 tal que f(c) =0, es com-pleix que f(c) =0. Així, ens limitarem a veure si f téalgun zero en (0, +).
Per a fer-ho calcularem un interval en el qual es com-pleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en(0, +).
Com que a més ens demanen que donem un intervalde longitud menor o igual que 0,5 que contingui aquestzero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...:
Així, l’interval buscat és
36.Vegem que es compleixen les hipòtesis del teoremadels valors intermedis:
•f és contínua en
—
per tant, és contínua en Així, tg2x
és contínua en
—h(x) =1 és contínua en perquè és una
funció constant.
Així, f és contínua en perquè és combinació
lineal de funcions contínues en 04
,.
04
,
04
,
04
,.
04
,.
04
,:
ff (); 28052
20516
0 =<=>
ff (); 12032
27516
==
ff (); 02012
32316
==
•El valor d =2 està comprès entre f(0) i
f(0) =3 tg20 +1 =3 0 +1 =1
Així,
Aleshores, pel teorema dels valors intermedis:
Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equa-ció:
Així, el valor buscat és
37.Si definim la funció:
f(x) =3 x44 x36 x2+12 x 20
les solucions de l’equació corresponen, exactament, atots els zeros de f.
Observem que:
f(0) =3 044 036 02+12 0 20 =
=20 <0
Això ens diu que f té una arrel negativa i una altra depositiva. Així, vegem quin és el signe de f en els entersnegatius i en els positius per a obtenir la part enterad’aquestes arrels:
f(0) =20 <0
f(1) =31 <0
f(2) =12 >0
Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 1), per laqual cosa la seva part entera ha de ser 2.
f(0) =20 <0
f(1) =15 <0
f(2) =4 <0
f(3) =97 >0
lim()limxx
fxx++
==+ 34
lim()limxx
fxx ==+ 34
c=6
.
x04
,
=±=±= tgxx13
336
fxtgxtgx ()=+== 231213
22
= ,() ctalquefc 04
2
1024
4 =<<= ff ().
ftg4
34
131142
=+=+=
f4
:
ifg
=
gxtgxkk (), =+ éscontínuaen��2
252
,.
C M
Y K
172
9. Continuïtat
Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 3), per laqual cosa la seva part entera és 2.
38.La funció f és contínua en
ja que en cadascun d’aquests intervals la seva expres-sió analítica és una combinació lineal de funcions con-tínues en �.
Així, hem d’imposar que sigui contínua en
i
•
—
—
Perquè f sigui contínua per l’esquerra en
5 =a +b.
—
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en
independentment del valor de a i b.
•
—
—
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en
independentment del valor de a i b.
—
Perquè f sigui contínua per la dreta en
3 =a +b.
x=2
,
=+= 22
33 cos
lim()lim(cos)xx
fxx ++ =+=
22
23
=+=+= asinbabf22
lim()lim()xx
fxasinxb =+
22
==
fasinbab22
=+=+
x=2
:
=+=+= asinxbabf22
lim()lim(xx
fxasinx ++ =+
22
bb)=
== 52
5 sin
lim()lim()xx
fxsinx ==
22
5
fasinbab =+=+22
x=2
:
x=2
:
x=2
02222
,,,+ ��
Per tant, perquè f sigui contínua eni en
i amb això en �, els paràmetres a i b han de
complir:
39.La funció f té una discontinuïtat en x0=2, ja que elseu denominador s’anul.la en aquest punt, aleshoresno està definida f(2) i, per tant, no es compleix C1.
El tipus de discontinuïtat dependrà del fet que es com-pleixi C2:
El valor d’aquest límit depèn del valor del numera-dor:
•Si 4 k �0, és a dir, si k �4, és ; aleshores, tenimuna discontinuïtat de salt infinit.
•Si 4 k =0, és a dir, si k =4, tenim una indetermi-
nació que podem resoldre descomponent el nu-
merador en factors i simplificant:
Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in-finit en x0=2 si i només si k �4.
40.Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x =x a l’estudi dels zeros de la funció:
h(x) =3 ln x x.
Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teoremade Bolzano en [1, 3]:
•h és contínua en aquest interval, ja que és la su-ma d’una funció contínua en (0, +), 3 ln x, ambuna funció contínua en �, x. Aleshores, és con-tínua en (0, +); en particular, és contínua en [1, 3] � (0, +).
•La imatge dels dos extrems de l’interval té signe opo-sat:
h(1) =3 ln 1 1 =3 0 1 =1 <0
h(3) =3 ln 3 3 =3 (ln 3 1) >0
=
+
+= lim
()
() x
xx
x 2
3223
2232
223
=4
limx
xxx+
+=
2
2344
24
00
,
=+
+=
3242224
40
2()()
()kk
lim()limxx
fxxxk
x=
+
+=
22
234
24
=+
=+==
5
341
ab
abab,
x=2
,
x=2
x=2
,
x=2
x=2
172
9. C
ontin
uïta
tPel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 3), per laqual cosa la seva part entera és 2.
38. La funció f és contínua en
ja que en cadascun d’aquests intervals la seva expres-sió analítica és una combinació lineal de funcions con-tínues en �.
Així, hem d’imposar que sigui contínua en
i
•
—
—
Perquè f sigui contínua per l’esquerra en
5 = a + b.
—
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en
independentment del valor de a i b.
•
—
—
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en
independentment del valor de a i b.
—
Perquè f sigui contínua per la dreta en
3 = a + b.
x =2
,
= + =22
3 3cos
lim ( ) lim ( cos )x x
f x x+ +
= + =
2 2
2 3
= + = + =a sin b a b f2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x a sin x b= +
2 2
==
f a sin b a b2 2
= + = +
x =2
:
= + = + =a sin x b a b f2 2
lim ( ) lim (x x
f x a sin x+ +
= +
2 2
bb) =
= =52
5sin
lim ( ) lim ( )x x
f x sin x= =
2 2
5
f a sin b a b= + = +2 2
x =2
:
x =2
:
x =2
02 2 2 2
, , , +� �
Per tant, perquè f sigui contínua en i en
i amb això en �, els paràmetres a i b han de
complir:
39. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2, ja que elseu denominador s’anul.la en aquest punt, aleshoresno està definida f( 2) i, per tant, no es compleix C1.
El tipus de discontinuïtat dependrà del fet que es com-pleixi C2:
El valor d’aquest límit depèn del valor del numera-dor:
• Si 4 k � 0, és a dir, si k � 4, és ; aleshores, tenimuna discontinuïtat de salt infinit.
• Si 4 k = 0, és a dir, si k = 4, tenim una indetermi-
nació que podem resoldre descomponent el nu-
merador en factors i simplificant:
Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in-finit en x0 = 2 si i només si k � 4.
40. Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x = x a l’estudi dels zeros de la funció:
h(x) = 3 ln x x.
Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teoremade Bolzano en [1, 3]:
• h és contínua en aquest interval, ja que és la su-ma d’una funció contínua en (0, + ), 3 ln x, ambuna funció contínua en �, x. Aleshores, és con-tínua en (0, + ); en particular, és contínua en [1, 3] � (0, + ).
• La imatge dels dos extrems de l’interval té signe opo-sat:
h(1) = 3 ln 1 1 = 3 0 1 = 1 < 0
h(3) = 3 ln 3 3 = 3 (ln 3 1) > 0
=
+
+=lim
( )
( )x
x x
x2
3 223
2 232
223
= 4
limx
x xx+
+=
2
23 4 42 4
00
,
=+
+=
3 2 4 22 2 4
40
2( ) ( )( )
k k
lim ( ) limx x
f xx x k
x=
+
+=
2 2
23 42 4
= +
= += =
5
34 1
a b
a ba b,
x =2
,
x =2
x =2
,
x =2
x =2
CM
YK
173
9. Continuïtat
43. Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtatsón els zeros del denominador:
x2 1 = 0 x = 1 o x = 1
Calculem els límits laterals en aquests punts:
Si x < 1 x2 1 > 0
Si 1 < x < 1 x2 1 < 0
Si x > 1 x2 1 > 0
44. No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti aaquesta conclusió. El teorema que coneixem que pro-varia que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teoremade Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi decontinuïtat en [0, 3], ja que en x = 1 [0, 3] el deno-minador de la funció s’anul.la, i per tant no es compleixC1.
45. Les gràfiques de f i g es tallen existeix un valor xper al qual f(x) = g(x) h(x) = f(x) g(x) = 0.
Així, n’hi ha prou de comprovar que h té un zero enl’interval [a, b]. Per a fer-ho, veurem que h compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].
• h(x) = f(x) g(x) és la diferència de dues funcionscontínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquestinterval.
• f(a) < g(a) h(a) = f(a) g(a) < 0
• f(b) > g(b) h(b) = f(b) g(b) > 0
Pel teorema de Bolzano, c (a, b) tal que h(c) = 0, amb la qual cosa queda demostrat el quees demanava.
46. Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’inter-val [ , 2 ], s’han de complir les seves dues hipòtesis:
La funció f ha de ser contínua en [ , 2 ]:
f és contínua en ( , 0) � ( , 2 ), ja que és suma dedues funcions contínues en � i, per tant, en aquests in-tervals.
Si a � 0, f és contínua en (0, ), ja que és producte dedues funcions contínues en � i, per tant, en aquest in-terval.
Queda per veure la continuïtat en els punts frontera
= = ++
limx x1 2
1
1
10
= =
= =
+lim
lim
x
x
x
x
1 2
1 2
1
1
10
1
1
10
= = +limx x1 2
1
1
10
Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema deBolzano; aleshores, es compleix la seva tesi:
c (1, 3) tal que h(c) = 0
Així, l’equació 3 ln x = x té una solució real en l’inter-val (1, 3).
41. Perquè f sigui contínua en x = 1, s’ha de complir (i amb això és suficient) la condició C3:
Si calculem aquest límit:
El valor de la imatge de 1 ha de ser f( 1) = 3.
42.
Aquesta funció presenta:
• Dues discontinuïtats evitables: x = 2, x = 2
• Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x = 1
• Dues discontinuïtats no evitables de salt infinit: x = 1 i x = 4
• Una discontinuïtat no evitable essencial: x = 0
— L’expressió analítica d’una funció la gràfica de laqual sigui l’anterior és:
f(x) =
=+
+= =lim
( )( )
( )x
x x
x x1
1 2
11 2
13
lim ( ) limx x
f xx x
x x=
+=
1 1
2
2
2
f f xx
( ) lim ( )=11
X
Y
1
1
2
1
11
3
1
3 22
14
++
+
x
x
x
x xx
x
si x
log( )
cos
( )( )
<<
=
< <
<
<
<
2
2
2 1
1 0
0 1
1
si x
si x
si x
si x
si x <<
<
4
4si x
173
9. C
ontin
uïta
t
43.Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtatsón els zeros del denominador:
x21 =0 x =1 o x =1
Calculem els límits laterals en aquests punts:
Si x <1 x21 >0
Si 1 <x <1 x21 <0
Si x >1 x21 >0
44.No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti aaquesta conclusió. El teorema que coneixem que pro-varia que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teoremade Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi decontinuïtat en [0, 3], ja que en x =1 [0, 3] el deno-minador de la funció s’anul.la, i per tant no es compleixC1.
45.Les gràfiques de f i g es tallen existeix un valor xper al qual f(x) =g(x) h(x) =f(x) g(x) =0.
Així, n’hi ha prou de comprovar que h té un zero enl’interval [a, b]. Per a fer-ho, veurem que h compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].
•h(x) =f(x) g(x) és la diferència de dues funcionscontínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquestinterval.
•f(a) <g(a) h(a) =f(a) g(a) <0
•f(b) >g(b) h(b) =f(b) g(b) >0
Pel teorema de Bolzano, c (a, b) tal que h(c) =0, amb la qual cosa queda demostrat el quees demanava.
46.Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’inter-val [, 2 ], s’han de complir les seves dues hipòtesis:
La funció f ha de ser contínua en [, 2 ]:
f és contínua en (, 0) �(, 2 ), ja que és suma dedues funcions contínues en �i, per tant, en aquests in-tervals.
Si a �0, f és contínua en (0, ), ja que és producte dedues funcions contínues en �i, per tant, en aquest in-terval.
Queda per veure la continuïtat en els punts frontera
==+ + limxx 12
1
1
10
==
==
+ lim
lim
x
x
x
x
12
12
1
1
10
1
1
10
==+ limxx 12
1
1
10
Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema deBolzano; aleshores, es compleix la seva tesi:
c (1, 3) tal que h(c) =0
Així, l’equació 3 ln x =x té una solució real en l’inter-val (1, 3).
41.Perquè f sigui contínua en x =1, s’ha de complir (i amb això és suficient) la condició C3:
Si calculem aquest límit:
El valor de la imatge de 1 ha de ser f(1) =3.
42.
Aquesta funció presenta:
•Dues discontinuïtats evitables: x =2, x =2
•Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x =1
•Dues discontinuïtats no evitables de salt infinit: x =1 i x =4
•Una discontinuïtat no evitable essencial: x =0
—L’expressió analítica d’una funció la gràfica de laqual sigui l’anterior és:
f(x) =
=+
+== lim
()()
() x
xx
xx 1
12
112
13
lim()limxx
fxxx
xx=
+=
11
2
2
2
ffxx
()lim() = 11
X
Y
1
1
2
1
11
3
1
322
14
++
+
x
x
x
xxx
x
six
log()
cos
()()
<<
=
<<
<
<
<
2
2
21
10
01
1
six
six
six
six
six<<
<
4
4 six
C M
Y K
174
9. Continuïtat
dels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar-ne la continuïtat lateral:
•f ha de ser contínua per la dreta en x =:
=sin () +3 =f()
Aleshores, f és contínua per la dreta en x =.
•f ha de ser contínua per tots dos costats en x =0:
=sin 0 +3 =3 =f(0)
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =0.
Aleshores, f és contínua per la dreta en x =0 si inomés si:
•f ha de ser contínua per tots dos costats en x =:
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =.
=cos +b =1 +b
Aleshores, f és contínua per la dreta en x =si inomés si:
•f ha de ser contínua per l’esquerra en x =2 :
=cos 2 +b =1 +b =f(2 )
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =2 .
Per tant, f és contínua en [, 2 ] si i només si elsparàmetres a i b verifiquen les dues equacions:
Així, si es compleix el teorema de
Bolzano en [, 2 ]; aleshores, f s’anul.la com a mí-nim en un punt c de l’interval [, 2 ].
aib ==13
2,
13
11
13
2 a
ba
ab=
+=
== ,
lim()lim(cos)()() xx
fxxb =+=22
=+=11
1a
ba
+=== + 1bfxfxlim()()
lim()lim(cos)xx
fxxb ++ =+=
===cos
()aa
f1
lim()limcos
xxfx
xa
==
103
13
0 afxf
a x==== + lim()()
lim()limcoscos
xxfx
xaaa
++ ===00
01
lim()lim()xx
fxsinx =+=00
3
lim()lim()xx
fxsinx ++ =+= 3
—Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancaten els subintervals en els quals f té diferent ex-pressió analítica i veiem en quin (o quins) d’ells escontinua complint aquest teorema, la qual cosaens indicarà que en aquest interval existeix un zeroc de f.
Així, considerem
[, 2 ] =[, 0] �[0, ] �[, 2 ]
i veiem en quins d’aquests subintervals es complei-xen les hipòtesis del teorema de Bolzano:
•f és contínua en [, 2 ]; aleshores, ho és en ca-dascun dels tres subintervals considerats.
•f() =sin () +3 =3 >0
f(0) =sin 0 +3 =0 +3 =3 >0
f(2 ) =cos 2 +(2) =1 2 =1 <0
Aleshores, només es compleix la segona hipòte-si del teorema de Bolzano en l’interval central,[0, ].
Així, existeix solució, en (0, ), de l’equació:
x (0, )
Per tant, f s’anul.la en:
47.Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les sevesarrels són les solucions de l’equació P(x) =0, que corresponen als zeros de la funció f(x) =P(x).
Hem de demostrar, doncs, que f té almenys un zero.Per a fer-ho, intentarem veure que existeix algun in-terval [a, b] en el qual es compleixen les hipòtesis delteorema de Bolzano.
Com que f és polinòmica, és contínua en �i, per tant,en qualsevol interval tancat [a, b]. N’hi ha prou,doncs, de demostrar que existeixen dos reals a i b enels quals f pren valors de signe diferent.
Per a fer-ho, com que no sabem per on és el zero, hemde recórrer a l’estudi del comportament de la funcióen prendre a molt petit i b molt gran:
P(x) polinomi de grau imparell
lim()lim()()xx
n fxPxa++
==+
lim()lim()()xx
n fxPxa ==
c=2
02 (,)(,) �
== cosxx 02
fxx
()cos
== 013
0
f()cos
() ===<13
3130
174
9. C
ontin
uïta
tdels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar-ne la continuïtat lateral:
• f ha de ser contínua per la dreta en x = :
= sin ( ) + 3 = f( )
Aleshores, f és contínua per la dreta en x = .
• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = 0:
= sin 0 + 3 = 3 = f(0)
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = 0.
Aleshores, f és contínua per la dreta en x = 0 si inomés si:
• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = :
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = .
= cos + b = 1 + b
Aleshores, f és contínua per la dreta en x = si inomés si:
• f ha de ser contínua per l’esquerra en x = 2 :
= cos 2 + b = 1 + b = f(2 )
Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = 2 .
Per tant, f és contínua en [ , 2 ] si i només si elsparàmetres a i b verifiquen les dues equacions:
Així, si es compleix el teorema de
Bolzano en [ , 2 ]; aleshores, f s’anul.la com a mí-nim en un punt c de l’interval [ , 2 ].
a i b= =13
2,
13
11
13
2a
ba
a b=
+ =
= =,
lim ( ) lim (cos )( ) ( )x x
f x x b= + =2 2
= + =1 1
1a
ba
+ = = =+
1 b f x fxlim ( ) ( )
lim ( ) lim (cos )x x
f x x b+ +
= + =
= = =cos
( )a a
f1
lim ( ) limcos
x xf x
xa
= =
10 3
13
0af x f
ax= = = =
+lim ( ) ( )
lim ( ) limcos cos
x xf x
xa a a+ +
= = =0 0
0 1
lim ( ) lim ( )x x
f x sin x= + =0 0
3
lim ( ) lim ( )x x
f x sin x+ +
= + =3
— Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancaten els subintervals en els quals f té diferent ex-pressió analítica i veiem en quin (o quins) d’ells escontinua complint aquest teorema, la qual cosaens indicarà que en aquest interval existeix un zeroc de f.
Així, considerem
[ , 2 ] = [ , 0] � [0, ] � [ , 2 ]
i veiem en quins d’aquests subintervals es complei-xen les hipòtesis del teorema de Bolzano:
• f és contínua en [ , 2 ]; aleshores, ho és en ca-dascun dels tres subintervals considerats.
• f( ) = sin ( ) + 3 = 3 > 0
f(0) = sin 0 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0
f(2 ) = cos 2 + ( 2) = 1 2 = 1 < 0
Aleshores, només es compleix la segona hipòte-si del teorema de Bolzano en l’interval central,[0, ].
Així, existeix solució, en (0, ), de l’equació:
x (0, )
Per tant, f s’anul.la en:
47. Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les sevesarrels són les solucions de l’equació P(x) = 0, que corresponen als zeros de la funció f(x) = P(x).
Hem de demostrar, doncs, que f té almenys un zero.Per a fer-ho, intentarem veure que existeix algun in-terval [a, b] en el qual es compleixen les hipòtesis delteorema de Bolzano.
Com que f és polinòmica, és contínua en � i, per tant,en qualsevol interval tancat [a, b]. N’hi ha prou,doncs, de demostrar que existeixen dos reals a i b enels quals f pren valors de signe diferent.
Per a fer-ho, com que no sabem per on és el zero, hemde recórrer a l’estudi del comportament de la funcióen prendre a molt petit i b molt gran:
P(x) polinomi de grau imparell
lim ( ) lim ( ) ( )x x
nf x P x a+ +
= = +
lim ( ) lim ( ) ( )x x
nf x P x a= =
c =2
0 2( , ) ( , )�
= =cos x x02
f xx
( )cos
= =013
0
f( )cos
( )= = = <13
3 1 3 0
CM
YK
175
9. Continuïtat
Si an és el coeficient del terme de grau més gran deP(x), aleshores an � 0. Suposem que an > 0 (l’altre casés anàleg):
En aquest cas, la qual cosa significa que
a � prou petit tal que f(a) < 0, i la qual cosa significa que b � prou gran tal que
f(b) > 0.
Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzanoen [a, b], aleshores c (a, b) tal que f(c) = 0.
Així, c tal que P(c) = 0.
Si el polinomi és de grau parell, això no és cert, ja queel polinomi P(x) = x2 + 1 no té cap arrel real.
48. Com que hem de veure si f pren el valor 10 en [ 2, 3], hem de comprovar que compleix les hipòtesisdel teorema dels valors intermedis en aquest interval.
• f és contínua en [ 2, 3]. En efecte, ja que és polinò-mica i, per tant, contínua en �; en particular, és con-tínua en qualsevol interval.
• El valor d = 10 està comprès (estrictament) entre f( 2) i f(3):
f( 2) = ( 2)2 + ( 2) + 1 = 3
f(3) = 32 + 3 + 1 = 13
Com que 3 = f( 2) < 10 < f(3) = 13, també es com-pleix aquesta hipòtesi.
Així, doncs, es complirà la tesi d’aquest teorema:
c ( 2, 3) tal que f(c) = 10
— Per trobar aquest interval avaluem f en els enterscompresos en [ 2, 3]:
f( 2) = 3 ; f( 1) = 1 ; f(0) = 1
f(1) = 3 ; f(2) = 7 ; f(3) = 13
Com que 7 = f(2) < 10 < f(3) = 13, tenim que c [2, 3].
Però com que l’interval buscat ha de tenir longi-tud menor o igual que 0,2, dividim aquest inter-val en subintervals de longitud 0,2 els extremsdel qual són 2, 2,2, 2,4, 2,6, 2,8 i 3:
f(2) = 7 ; f(2,2) = 8,04 ; f(2,4) = 9,16
f(2,6) = 10,36 ; f(2,8) = 11,64 ; f(3) = 13
El subinterval en el qual es compleixen les hi-pòtesis del teorema dels valors intermedis és[2,4, 2,6]:
f(2,4) = 9,16 < 10 < 10,36 = f(2,6)
Així, si considerem el punt
mitjà de l’interval [2,4, 2,6], es compleix:
c c < = =2 6 2 4
20 22
0 1, , ,
,
=+
=c2 4 2 6
22 5
, ,,
Aleshores, c� = 2,5 és una aproximació de c quecompleix les condicions de l’enunciat.
49. Hem de veure que si f està definida en [a, b]:
f és constant en [a, b] el màxim i el mínim abso-lut de f en [a, b] coincideixen.
Per a fer-ho, hem de demostrar les dues implicacions:d’esquerra a dreta i de dreta a esquerra:
Suposem que f és constant en [a, b].
Com que f és constant en [a, b], és contínua en [a, b]; aleshores, pel teorema de Weierstrass asso-lirà el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M, enaquest interval en sengles punts x1 i x2 d’aquest in-terval:
m = f(x1) f(x) f(x2) = M x [a, b]
Ara bé, f és constant en [a, b], aleshores:
m = f(x1) = f(x2) = M
és a dir, el mínim absolut i el màxim absolut de fen [a, b] coincideixen.
Suposem que el mínim absolut i el màxim absolutde f en [a, b] coincideixen:
m = M = k �
Per definició d’extrems absoluts, això significaque:
k = m f(x) M = k x [a, b]
f(x) = k x [a, b]
f és constant en [a, b]
50. Suposem que f està definida en [a, b] i és monòtonacreixent en aquest interval, és a dir:
x1 x2 f(x1) f(x2) x1, x2 [a, b]
En particular, si x1 = a:
a x2 f(a) f(x2) x2 [a, b]
Ara bé, com que per a tot x2 de [a, b] es compleix a x2, tenim:
f(a) f(x) x [a, b]
i aquesta és la definició de mínim absolut, aleshores elmínim absolut de f s’assoleix en x = a, extrem inferiorde l’interval.
D’altra banda, si x2 = b:
x1 b f(x1) f(b) , x1 [a, b]
Ara bé, com que per a tot x1 de [a, b] es compleix x1 b, tenim:
f(x) f(b) x [a, b]
i aquesta és la definició de màxim absolut, aleshores el
lim ( ) ,x
f x =
lim ( ) ,x
f x+
= +
175
9. C
ontin
uïta
t
Si anés el coeficient del terme de grau més gran deP(x), aleshores an�0. Suposem que an>0 (l’altre casés anàleg):
En aquest cas,la qual cosa significa que
a �prou petit tal que f(a) <0, i la qual cosa significa que b �prou gran tal que
f(b) >0.
Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzanoen [a, b], aleshores c (a, b) tal que f(c) =0.
Així, c tal que P(c) =0.
Si el polinomi és de grau parell, això no és cert, ja queel polinomi P(x) =x2+1 no té cap arrel real.
48.Com que hem de veure si f pren el valor 10 en [2, 3], hem de comprovar que compleix les hipòtesisdel teorema dels valors intermedis en aquest interval.
•f és contínua en [2, 3]. En efecte, ja que és polinò-mica i, per tant, contínua en �; en particular, és con-tínua en qualsevol interval.
•El valor d =10 està comprès (estrictament) entre f(2) i f(3):
f(2) =(2)2+(2) +1 =3
f(3) =32+3 +1 =13
Com que 3 =f(2) <10 <f(3) =13, també es com-pleix aquesta hipòtesi.
Així, doncs, es complirà la tesi d’aquest teorema:
c (2, 3) tal que f(c) =10
—Per trobar aquest interval avaluem f en els enterscompresos en [2, 3]:
f(2) =3 ; f(1) =1 ; f(0) =1
f(1) =3 ; f(2) =7 ; f(3) =13
Com que 7 =f(2) <10 <f(3) =13, tenim que c [2, 3].
Però com que l’interval buscat ha de tenir longi-tud menor o igual que 0,2, dividim aquest inter-val en subintervals de longitud 0,2 els extremsdel qual són 2, 2,2, 2,4, 2,6, 2,8 i 3:
f(2) =7 ; f(2,2) =8,04 ; f(2,4) =9,16
f(2,6) =10,36 ; f(2,8) =11,64 ; f(3) =13
El subinterval en el qual es compleixen les hi-pòtesis del teorema dels valors intermedis és[2,4, 2,6]:
f(2,4) =9,16 <10 <10,36 =f(2,6)
Així, si considerem el punt
mitjà de l’interval [2,4, 2,6], es compleix:
cc<==2624
2022
01,,,
,
=+
= c2426
225
,,,
Aleshores, c�=2,5 és una aproximació de c quecompleix les condicions de l’enunciat.
49.Hem de veure que si f està definida en [a, b]:
f és constant en [a, b] el màxim i el mínim abso-lut de f en [a, b] coincideixen.
Per a fer-ho, hem de demostrar les dues implicacions:d’esquerra a dreta i de dreta a esquerra:
Suposem que f és constant en [a, b].
Com que f és constant en [a, b], és contínua en [a, b]; aleshores, pel teorema de Weierstrass asso-lirà el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M, enaquest interval en sengles punts x1i x2d’aquest in-terval:
m =f(x1) f(x) f(x2) =M x [a, b]
Ara bé, f és constant en [a, b], aleshores:
m =f(x1) =f(x2) =M
és a dir, el mínim absolut i el màxim absolut de fen [a, b] coincideixen.
Suposem que el mínim absolut i el màxim absolutde f en [a, b] coincideixen:
m =M =k �
Per definició d’extrems absoluts, això significaque:
k =m f(x) M =k x [a, b]
f(x) =k x [a, b]
f és constant en [a, b]
50.Suposem que f està definida en [a, b] i és monòtonacreixent en aquest interval, és a dir:
x1x2f(x1) f(x2) x1, x2[a, b]
En particular, si x1=a:
a x2f(a) f(x2) x2[a, b]
Ara bé, com que per a tot x2de [a, b] es compleix a x2, tenim:
f(a) f(x) x [a, b]
i aquesta és la definició de mínim absolut, aleshores elmínim absolut de f s’assoleix en x =a, extrem inferiorde l’interval.
D’altra banda, si x2=b:
x1b f(x1) f(b) , x1[a, b]
Ara bé, com que per a tot x1de [a, b] es compleix x1 b, tenim:
f(x) f(b) x [a, b]
i aquesta és la definició de màxim absolut, aleshores el
lim(),x
fx=
lim(),x
fx+
=+
C M
Y K
176
9. Continuïtat
màxim absolut de f s’assoleix en x =b, extrem supe-rior de l’interval.
Anàlogament, si f és monòtona decreixent en [a, b],es demostra que el mínim absolut s’assoleix en l’ex-trem superior, x =b, i el màxim absolut, en l’extreminferior, x =a.
En qualsevol cas, queda demostrat que els extrems ab-soluts s’assoleixen en els extrems de l’interval.
Fixeu-vos que només hem utilitzat que f estigui defi-nida en [a, b] i no la hipòtesi de continuïtat.
51.Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una fun-ció en un interval, l’interval ha de ser tancat (d’ex-trems finits) i la funció ha de ser contínua en aquestinterval. Per tant:
a)•L’interval [1, 2] és tancat d’extrems finits.
•f(x) =2 x24 x +5 és polinòmica i, per tant, con-tínua en �; en particular, contínua en [1, 2].
Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a fen [1, 2], aleshores existeixen x1, x2[1, 2]en els quals s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [1, 2], m i M.
—Per trobar-los, observem que la gràfica de fcorrespon a una paràbola amb les branquescap amunt (ja que és un polinomi de grau 2i el coeficient de x2és positiu), aleshores s’as-soleix el mínim absolut en el seu vèrtex,d’abscissa:
Com que x =1 [1, 2], el mínim absolut def en [1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1=1: m =(1, 3).
D'altra banda, el màxim absolut s’assolirà enalgun dels extrems. Per veure en quin d'ells,en comparem les imatges:
f(1) =11 ; f(2) =5
Com que f(1) >f(2), el màxim absolut de f en[1,2]s’assoleix en x2=1: M =(1, 11).
b)•L'interval [0, 3] és tancat d’extrems finits.
•no és contínua en [0, 3], ja que gxx
()=5
2
xba
===2
422
1
en x0=2 [0, 3] s’anul.la el seu denominador,aleshores 2 D(g), de manera que no es com-pleix la hipòtesi C1.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a g en [0, 3].
c)•L’interval (2, 2) no és tancat.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a h en l’interval (2, 2).
d)•L’interval [3, 4] és tancat d’extrems finits.
•i (x) =x2+2 x +3 és polinòmica i, per tant, con-tínua en [3, 4].
Aleshores, podem aplicar el teorema de Weiers-trass a i en [3, 4]. Per tant, existeixen senglespunts x1, x2[3, 4] en els quals s’assoleixen elmínim absolut, m, i el màxim absolut, M, de i en[3, 4].
Per a trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques capavall (ja que el coeficient de x2és negatiu); ales-hores, el màxim absolut de i en �s’assoleix ambl’abscissa del vèrtex:
Com que x =1 [3, 4], el màxim absolut de ien [3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2=1: M =(1, 4).
D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en al-gun dels extrems.
Per veure en quin d’ells s'assoleix, en comparemles imatges:
i(3) =12 ; i(4) =5
Com que i(3) <i(4), el mínim absolut de i en[3, 4] s’assoleix en x1=3: m =(3, 12).
52.Activitat TIC.
53.Activitat TIC.
xba
===2
221
1()
176
9. C
ontin
uïta
tmàxim absolut de f s’assoleix en x = b, extrem supe-rior de l’interval.
Anàlogament, si f és monòtona decreixent en [a, b],es demostra que el mínim absolut s’assoleix en l’ex-trem superior, x = b, i el màxim absolut, en l’extreminferior, x = a.
En qualsevol cas, queda demostrat que els extrems ab-soluts s’assoleixen en els extrems de l’interval.
Fixeu-vos que només hem utilitzat que f estigui defi-nida en [a, b] i no la hipòtesi de continuïtat.
51. Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una fun-ció en un interval, l’interval ha de ser tancat (d’ex-trems finits) i la funció ha de ser contínua en aquestinterval. Per tant:
a) • L’interval [ 1, 2] és tancat d’extrems finits.
• f(x) = 2 x2 4 x + 5 és polinòmica i, per tant, con-tínua en �; en particular, contínua en [ 1, 2].
Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a fen [ 1, 2], aleshores existeixen x1, x2 [ 1, 2]en els quals s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [ 1, 2], m i M.
— Per trobar-los, observem que la gràfica de fcorrespon a una paràbola amb les branquescap amunt (ja que és un polinomi de grau 2i el coeficient de x2 és positiu), aleshores s’as-soleix el mínim absolut en el seu vèrtex,d’abscissa:
Com que x = 1 [ 1, 2], el mínim absolut def en [ 1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1 = 1: m = (1, 3).
D'altra banda, el màxim absolut s’assolirà enalgun dels extrems. Per veure en quin d'ells,en comparem les imatges:
f( 1) = 11 ; f(2) = 5
Com que f( 1) > f(2), el màxim absolut de f en[ 1,2] s’assoleix en x2 = 1: M = ( 1, 11).
b) • L'interval [0, 3] és tancat d’extrems finits.
• no és contínua en [0, 3], ja queg xx
( ) =5
2
xba
= = =2
42 2
1
en x0 = 2 [0, 3] s’anul.la el seu denominador,aleshores 2 D(g), de manera que no es com-pleix la hipòtesi C1.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a g en [0, 3].
c) • L’interval ( 2, 2) no és tancat.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a h en l’interval ( 2, 2).
d) • L’interval [ 3, 4] és tancat d’extrems finits.
• i (x) = x2 + 2 x + 3 és polinòmica i, per tant, con-tínua en [ 3, 4].
Aleshores, podem aplicar el teorema de Weiers-trass a i en [ 3, 4]. Per tant, existeixen senglespunts x1, x2 [ 3, 4] en els quals s’assoleixen elmínim absolut, m, i el màxim absolut, M, de i en[ 3, 4].
Per a trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques capavall (ja que el coeficient de x2 és negatiu); ales-hores, el màxim absolut de i en � s’assoleix ambl’abscissa del vèrtex:
Com que x = 1 [ 3, 4], el màxim absolut de ien [ 3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2 = 1: M = (1, 4).
D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en al-gun dels extrems.
Per veure en quin d’ells s'assoleix, en comparemles imatges:
i( 3) = 12 ; i(4) = 5
Com que i( 3) < i(4), el mínim absolut de i en[ 3, 4] s’assoleix en x1 = 3: m = ( 3, 12).
52. Activitat TIC.
53. Activitat TIC.
xba
= = =2
22 1
1( )
CM
YK
177
10. Derivades
1. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA
1. a) La massa al cap de t1 = 10 dies és:
M (10) = 50 � e 0,1 � 10 = 18,39
La massa al cap de t2 = 20 dies és:
M (20) = 50 � e 0,1 � 20 = 6,77
b) La taxa de variació mitjana entre dos instants ensdóna la velocitat mitjana a què s’ha produït la va-riació de la funció entre els dos instants.
Per tant, si calculem aquestes taxes:
TVM [t0, t1] =
TVM [t1, t2] =
Veiem, doncs, que el material s’ha desintegrat mésràpidament en els primers deu dies, ja que la taxade variació mitjana en [t0, t1] és més elevada, en va-lor absolut, que la de [t1, t2].
2. El pendent de la recta coincideix amb la taxa de va-riació mitjana de la funció entre els dos punts d’abs-cissa considerats:
3. Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitatmitjana del mòbil en els dos intervals:
Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h.
2. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
4. Apliquem la definició de derivada d’una funció en unpunt:
TVMf f
[ , ]( ) ( )
12 1919 1219 12
399 3367
9= = =
TVMf f
[ , ]( ) ( )
3 55 35 3
175 1112
32= = =
m TVMf f
= = = =[ , ]( ) ( )
( )( )
1 22 12 1
8 13
3
= = =M t M t
t t
( ) ( ) , ,,2 1
2 1
6 77 18 3920 10
1 16
= = =M t M t
t t( ) ( ) ,
,1 0
1 0
18 39 5010 0
3 16
a)
b)
5. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2 és:
y f (2) = f (2) (x 2)
Calculem f (2) i f�(2):
• f (2) = (2)2 + 6 2 3 = 5
•
Si substituïm aquests valors, tenim:
y 5 = 2 (x 2) 2 x y + 1 = 0
6. Apliquem la definició de derivada lateral tenint encompte que f té expressions analítiques diferents al’esquerra i a la dreta de 2:
= = =lim limh h
hh0 0
1 1
=+
=lim( ) ( )
h
hh0
2 2 2 2
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
= + =lim ( )h
h0
2 2
=+
=+
=lim lim( )
h h
h hh
h h
h0
2
0
2 2
=+ + +
=lim( ) ( )
h
h hh0
22 6 2 3 5
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
=+
=lim( )h
h
h0 2
2
12
=+
=+
=lim( )
lim( )
( )h h
h h
h h
h h
h h0
2
2 0 2
2
1
2
1
=+
=+
+=lim
( )lim
( )
( )h h
hh
h
h h0
2 2
0
2
2
1
1
1
1 1 1
1
=+
=gg h g
hh( ) lim
( ) ( )1
1 10
= = = =lim lim( )
lim ( )h h h
h hh
h hh
h0
2
0 0
8 88 8
=+ + +
=lim( ) ( ) ( ) ( )
h
h hh0
2 26 1 1 6 1 1
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )1
1 10
Derivades10
177
10. D
eriv
ades
1.TAXA DE VARIACIÓ MITJANA
1.a)La massa al cap de t1=10 dies és:
M (10) =50 �e0,1 �10=18,39
La massa al cap de t2=20 dies és:
M (20) =50 �e0,1 �20=6,77
b)La taxa de variació mitjana entre dos instants ensdóna la velocitat mitjana a què s’ha produït la va-riació de la funció entre els dos instants.
Per tant, si calculem aquestes taxes:
TVM [t0, t1] =
TVM [t1, t2] =
Veiem, doncs, que el material s’ha desintegrat mésràpidament en els primers deu dies, ja que la taxade variació mitjana en [t0, t1] és més elevada, en va-lor absolut, que la de [t1, t2].
2.El pendent de la recta coincideix amb la taxa de va-riació mitjana de la funció entre els dos punts d’abs-cissa considerats:
3.Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitatmitjana del mòbil en els dos intervals:
Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h.
2.DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
4.Apliquem la definició de derivada d’una funció en unpunt:
TVMff
[,]()()
121919121912
3993367
9 ===
TVMff
[,]()()
355353
1751112
32 ===
mTVMff
==== [,]()()
()()
122121
813
3
===MtMt
tt
()(),,,
21
21
67718392010
116
===MtMt
tt()(),
,10
10
183950100
316
a)
b)
5.L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x =2 és:
y f (2) =f(2) (x 2)
Calculem f (2) i f�(2):
•f(2) =(2)2+6 2 3 =5
•
Si substituïm aquests valors, tenim:
y 5 =2 (x 2) 2 x y +1 =0
6.Apliquem la definició de derivada lateral tenint encompte que f té expressions analítiques diferents al’esquerra i a la dreta de 2:
=== limlimhh
hh 00
11
=+
= lim()()
h
hh 0
2222
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
=+= lim()h
h0
22
=+
=+
= limlim()
hh
hhh
hh
h 0
2
0
22
=+++
= lim()()
h
hhh 0
226235
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
=+
= lim() h
h
h 02
2
12
=+
=+
= lim()
lim()
() hh
hh
hh
hh
hh 0
2
202
2
1
2
1
=+
=+
+= lim
()lim
()
() hh
hh
h
hh 0
22
0
2
2
1
1
1
111
1
=+
= gghg
h h()lim
()()1
110
==== limlim()
lim()hhh
hhh
hhh
h0
2
00
8888
=+++
= lim()()()()
h
hhh 0
22611611
=+
= ffhf
h h()lim
()()1
110
Derivades 10
C M
Y K
178
10. Derivades
Com que f�(2) =1 i f�(2+) =0, no existeix f�(2), i, pertant, f no és derivable en x =2.
7.a)Escrivim f (x) =�x 2 �com una funció definida atrossos:
És a dir:
Calculemf�(2) i f�(2+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 2:
Com quef�(2) =1 i f�(2+) =1, no existeix f�(2),i, per tant, f no és derivable en x =2.
b)Calculem f�(0) i f�(0+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 0:
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()0
000
=== limlimhh
h
h 00
444
=+
= lim()
h
hh 0
400
=+
= ffhf
h h()lim
()()0
000
== + limh0
11
=+
== ++ lim()()
limhh
hh
hh 00
2222
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()2
220
== lim()h0
11
=+
== lim()()
limhh
hh
hh 00
2222
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
fxx
x
six
six()=
< 2
2
2
2
fxx
x
six
six()
()=
< 2
2
20
20
=== ++ limlimhh
hh
h0
2
00
=+
= + lim[()]()
h
hh 0
222222
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()2
220
Com quef�(0) =4 i f�(0+) =1, no existeix f�(0); i,per tant, f no és derivable en x =0.
c)Escrivim f com una funció definida a trossos:
Calculem f�(3) i f�(3+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 3:
Com quef�(3) =6 i f�(3+) =6, no existeix f�(3),i, per tant, f no és derivable en x =3.
8.a)Escrivim f com una funció definida a trossos:
La gràfica de f és, doncs, la de la paràbola x21 en(, 1]�[1, +) i la de la paràbola 1 x2
en (1, 1).
En x =1 i x =1 la funció té sengles punts angulo-sos. Aleshores, la funció no és derivable en aquestspunts.
fxxsixx
x()
(,][,)=
+22
2
11011
1
�
(,) sixx2
1011 <
=+
= + lim()
h
hhh 0
66
=++
= + limh
hhh 0
29690
=+
= + lim()()
h
hh 0
223939
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()3
330
== lim()
h
hhh 0
66
== limh
hhh 0
29960
=+
= lim()()
h
hh 0
229339
=+
= ffhf
h h()lim
()()3
330
fxxsixx
x()
(,][,)=
+22
2
99033
9
�
(,) sixx2
9033 <
=+
=== +++ limlimlimhhh
hh
hh 000
0011
–2–112
1
2
3
Y
X
|x2 – 1|
178
10. D
eriv
ades
Com que f�(2 ) = 1 i f�(2+) = 0, no existeix f�(2), i, pertant, f no és derivable en x = 2.
7. a) Escrivim f (x) = � x 2 � com una funció definida atrossos:
És a dir:
Calculem f�(2 ) i f�(2+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 2:
Com que f�(2 ) = 1 i f�(2+) = 1, no existeix f�(2),i, per tant, f no és derivable en x = 2.
b) Calculem f�(0 ) i f�(0+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 0:
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
00 0
0
= = =lim limh h
h
h0 0
44 4
=+
=lim( )
h
hh0
4 0 0
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )0
0 00
= =+
limh 0
1 1
=+
= =+ +
lim( ) ( )
limh h
hh
hh0 0
2 2 2 2
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
22 2
0
= =lim ( )h 0
1 1
=+
= =lim( ) ( )
limh h
hh
hh0 0
2 2 2 2
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
f xx
x
si x
si x( ) =
<2
2
2
2
f xx
x
si x
si x( )
( )=
<2
2
2 0
2 0
= = =+ +
lim limh h
hh
h0
2
00
=+
=+
lim[( ) ] ( )
h
hh0
2 22 2 2 2
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
22 2
0
Com que f�(0 ) = 4 i f�(0+) = 1, no existeix f�(0); i,per tant, f no és derivable en x = 0.
c) Escrivim f com una funció definida a trossos:
Calculem f�(3 ) i f�(3+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 3:
Com que f�(3 ) = 6 i f�(3+) = 6, no existeix f�(3),i, per tant, f no és derivable en x = 3.
8. a) Escrivim f com una funció definida a trossos:
La gràfica de f és, doncs, la de la paràbola x2 1 en( , 1]�[1, + ) i la de la paràbola 1 x2
en ( 1, 1).
En x = 1 i x = 1 la funció té sengles punts angulo-sos. Aleshores, la funció no és derivable en aquestspunts.
f xx si x x
x( )
( , ] [ , )=
+2 2
2
1 1 0 1 1
1
�
( , )si x x2 1 0 1 1<
=+
=+
lim( )
h
h hh0
66
=+ +
=+
limh
h hh0
29 6 9 0
=+
=+
lim( ) ( )
h
hh0
2 23 9 3 9
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
33 3
0
= =lim( )
h
h hh0
66
= =limh
h hh0
29 9 6 0
=+
=lim( ) ( )
h
hh0
2 29 3 3 9
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )3
3 30
f xx si x x
x( )
( , ] [ , )=
+2 2
2
9 9 0 3 3
9
�
( , )si x x2 9 0 3 3<
=+
= = =+ + +
lim lim limh h h
hh
hh0 0 0
0 01 1
–2 –1 1 2
1
2
3
Y
X
|x2 – 1|
CM
YK
179
10. Derivades
b)
En x = 0 la gràfica de f té com a recta tangent l’eixd’ordenades, és a dir, tangent vertical.
Els pendents de les rectes secants per la dreta ten-deixen a infinit, i per l’esquerra no hi ha rectes se-cants, ja que f no està definida per a x < 0.
Així, doncs, la funció no és derivable en x = 0.
c) En [2, + ), la gràfica de f és la de la paràbola x2 + 3, i en ( , 2) és la de la recta 2 x + 3.
En la gràfica s’observa que els pendents de les rectes secants, per tots dos costats, són molt sem-blants en aproximar-se a x = 2.
Comprovarem si f és derivable en x = 2 analítica-ment:
= = =lim limh h
h
h0 0
22 2
=+ +
=limh
hh0
4 2 3 7
=+ + +
=lim( ) ( )
h
hh0
22 2 3 2 3
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
Atès que f�(2 ) = 2 i f�(2+) = 4, no existeix f�(2), i,per tant, f no és derivable en x = 2.
9. a) Escrivim f com una funció definida a trossos:
— Vegem si f compleix les condicions de conti-nuïtat en el punt x0 = 3:
• Existeix f (3) = 0.
• Existeix el límit en el punt i és finit:
• El límit coincideix amb la imatge del punt:
Per tant, la funció f és contínua en el punt x0 = 3.
— Calculem les derivades laterals de f � en x0 = 3:
Atès que f�(3 ) = 1 i f�(3+) = 1 no existeixf�(3), i, per tant, f no és derivable en x = 3.
= =+
limh 0
1 1
=+
= =+ +
lim( ) ( )
limh h
hh
hh0 0
3 3 3 3
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
33 3
0
= =lim ( )h 0
1 1
=+
= =lim( ) ( )
limh h
hh
hh0 0
3 3 3 3
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )3
3 30
lim ( ) ( )h
f x f= =3
0 3
=lim ( )h
f x3
0
lim ( ) lim ( )
lim ( ) limh h
h h
f x x
f x+
= =
=
3 3
3
3 0
333 0
+=( )x
f xx si x
x si x( ) =
<3 3
3 3
=+
= + =+ +
lim( )
lim ( )h h
h h
hh
0 0
44 4
=+ + +
=+
limh
h hh0
24 4 3 7
=+ + +
=+
lim( ) ( )
h
hh0
2 22 3 2 3
=+
=+
ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
1 2
1
2
3 4 X
Y
x
1 2
7
12
3 X
Y
f
3
1
-1 4
179
10. D
eriv
ades
b)
En x =0 la gràfica de f té com a recta tangent l’eixd’ordenades, és a dir, tangent vertical.
Els pendents de les rectes secants per la dreta ten-deixen a infinit, i per l’esquerra no hi ha rectes se-cants, ja que f no està definida per a x <0.
Així, doncs, la funció no és derivable en x =0.
c)En [2, +), la gràfica de f és la de la paràbola x2+3, i en (, 2) és la de la recta 2 x +3.
En la gràfica s’observa que els pendents de les rectes secants, per tots dos costats, són molt sem-blants en aproximar-se a x =2.
Comprovarem si f és derivable en x =2 analítica-ment:
=== limlimhh
h
h 00
222
=++
= limh
hh 0
4237
=+++
= lim()()
h
hh 0
222323
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
Atès que f�(2) =2 i f�(2+) =4, no existeix f�(2), i,per tant, f no és derivable en x =2.
9.a)Escrivim f com una funció definida a trossos:
— Vegem si f compleix les condicions de conti-nuïtat en el punt x0=3:
•Existeix f (3) =0.
•Existeix el límit en el punt i és finit:
•El límit coincideix amb la imatge del punt:
Per tant, la funció f és contínua en el punt x0=3.
—Calculem les derivades laterals de f�en x0=3:
Atès que f�(3) =1 i f�(3+) =1 no existeixf�(3), i, per tant, f no és derivable en x =3.
== + limh0
11
=+
== ++ lim()()
limhh
hh
hh 00
3333
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()3
330
== lim()h0
11
=+
== lim()()
limhh
hh
hh 00
3333
=+
= ffhf
h h()lim
()()3
330
lim()()h
fxf ==3
03
= lim()h
fx3
0
lim()lim()
lim()limhh
hh
fxx
fx +
==
=
33
3
30
3330 += () x
fxxsix
xsix()=
< 33
33
=+
=+= ++ lim()
lim()hh
hh
hh
00
444
=+++
= + limh
hhh 0
24437
=+++
= + lim()()
h
hh 0
222323
=+
= + ffhf
h h()lim
()()2
220
12
1
2
34X
Y
x
12
7
12
3X
Y
f
3
1
-14
C M
Y K
180
10. Derivades
b)—Per tal de determinar si f és contínua en x =4,hem de comprovar que f compleix les condi-cions de continuïtat:
•Existeix f (4) =4.
•Existeix el límit en el punt i és finit:
Com que els límits laterals no coincideixen,no existeix el límit de f en aquest punt.
Atès que no es compleix la segona condició, fno és contínua en x =4.
—Si f no és contínua en x =4, tampoc no pot serderivable.
c)Escrivim f com una funció definida a trossos:
—Vegem si compleixen les condicions de conti-nuïtat per a x =2:
•Existeix f (2) =0.
•Existeix el límit en x =2 i és finit:
•El límit coincideix amb la imatge del punt:
Així, tenim que f és contínua en x =2.
—Calculem f�(2) i f�(2+) tenint en compte que fté expressions analítiques diferents a l’es-querra i a la dreta de 2:
=+
=+= lim()
lim()hh
hh
hh
00
444
== limh
hhh 0
24440
=+
= lim()()
h
hh 0
224224
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
lim()()h
fxf ==2
02
= lim()h
fx2
0
lim()lim()
lim()limhh
hh
fxx
fx +
==
=
22
2
2
40
+==
2
240 () x
fxxsix
xsix()
(,][,)
(=
+2
2
422
4
�
222,)
lim()limhh
fxx ++ ==44
4
lim()lim()hh
fxx =+=+=44
2426
Atès que f�(2) =4 i f�(2+) =4, no existeixf�(2); i, per tant, f no és derivable en x =2.
d)—Per tal de veure si f és contínua en x =0, hemde comprovar que
•Existeix f (0) =0.
•Existeix el límit en el punt i és finit:
Com que els límits laterals no coincideixen,no existeix el límit de f en aquest punt.
Com que la segona condició no es verifica, f noés contínua en x =0.
—Atès que f no és contínua en x =0, tampoc nopot ser derivable en x =0.
3.FUNCIÓ DERIVADA
10.Segons la definició de funció derivada, derivada sego-na i derivada tercera, tenim:
•
•
•
=== limlimhh h 00
4400
=+
= fxfxhfx
h h()lim
()()0
=+
=== lim()
limlimhhh
xhxh
h
h 000
44444
=+
= fxfxhfx
h h()lim
()()0
=+
=+= lim()
lim()hh
hxh
hxhx
00
42424
=+++
= limh
xxhhx
h 0
222242424
=+
= lim()()
h
xhxh 0
222424
=+
= fxfxhfx
h h()lim
()()0
lim()limhh
fxx ++ ==00
0
lim()lim()hh
fxx =+=+=00
22414011
=+
=+= ++ lim()
lim()hh
hh
hh
00
444
=++
= + limh
hhh 0
24440
=+
= + lim()()
h
hh 0
222424
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()2
220
180
10. D
eriv
ades
b) — Per tal de determinar si f és contínua en x = 4,hem de comprovar que f compleix les condi-cions de continuïtat:
• Existeix f (4) = 4.
• Existeix el límit en el punt i és finit:
Com que els límits laterals no coincideixen,no existeix el límit de f en aquest punt.
Atès que no es compleix la segona condició, fno és contínua en x = 4.
— Si f no és contínua en x = 4, tampoc no pot serderivable.
c) Escrivim f com una funció definida a trossos:
— Vegem si compleixen les condicions de conti-nuïtat per a x = 2:
• Existeix f (2) = 0.
• Existeix el límit en x = 2 i és finit:
• El límit coincideix amb la imatge del punt:
Així, tenim que f és contínua en x = 2.
— Calculem f�(2 ) i f�(2+) tenint en compte que fté expressions analítiques diferents a l’es-querra i a la dreta de 2:
=+
= + =lim( )
lim ( )h h
h h
hh
0 0
44 4
= =limh
h hh0
24 4 4 0
=+
=lim( ) ( )
h
hh0
2 24 2 2 4
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
lim ( ) ( )h
f x f= =2
0 2
=lim ( )h
f x2
0
lim ( ) lim ( )
lim ( ) limh h
h h
f x x
f x+
= =
=
2 2
2
2
4 0
+=
=
2
2 4 0( )x
f xx si x
x si x( )
( , ] [ , )
(=
+2
2
4 2 2
4
�
22 2, )
lim ( ) limh h
f x x+ +
= =4 4
4
lim ( ) lim ( )h h
f x x= + = + =4 4
2 4 2 6
Atès que f�(2 ) = 4 i f�(2+) = 4, no existeixf�(2); i, per tant, f no és derivable en x = 2.
d) — Per tal de veure si f és contínua en x = 0, hemde comprovar que
• Existeix f (0) = 0.
• Existeix el límit en el punt i és finit:
Com que els límits laterals no coincideixen,no existeix el límit de f en aquest punt.
Com que la segona condició no es verifica, f noés contínua en x = 0.
— Atès que f no és contínua en x = 0, tampoc nopot ser derivable en x = 0.
3. FUNCIÓ DERIVADA
10. Segons la definició de funció derivada, derivada sego-na i derivada tercera, tenim:
•
•
•
= = =lim limh hh0 0
4 40 0
=+
=f xf x h f x
hh( ) lim
( ) ( )0
=+
= = =lim( )
lim limh h h
x h xh
h
h0 0 0
4 4 44 4
=+
=f xf x h f x
hh( ) lim
( ) ( )0
=+
= + =lim( )
lim ( )h h
h x h
hx h x
0 0
4 24 2 4
=+ + +
=limh
x x h h x
h0
2 2 22 4 2 4 2 4
=+
=lim( ) ( )
h
x h xh0
2 22 4 2 4
=+
=f xf x h f x
hh( ) lim
( ) ( )0
lim ( ) limh h
f x x+ +
= =0 0
0
lim ( ) lim ( )h h
f x x= + = + =0 0
2 24 1 4 0 1 1
=+
= + =+ +
lim( )
lim ( )h h
h h
hh
0 0
44 4
=+ +
=+
limh
h hh0
24 4 4 0
=+
=+
lim( ) ( )
h
hh0
2 22 4 2 4
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
22 2
0
CM
YK
181
10. Derivades
11. •
•
•
12. Apliquem la definició de derivada per calcular la de-rivada en cadascun dels casos:
•
•
=
+
+=lim
( )
( )h
x x h
x x hh0
3 3
3 3
lim( ) ( )
lim( )
h h
f x h f xh
x h xh
+=
+=
0 0
3 3
1 1
= =2 24 3
x
x x
=+
=+
lim( )
( )lim
h h
x h h
x x h h
x h
x x h0 2 2 0 4 3
2 2
2 ++=
h2
=
+
+=lim
( )
( )lim
h h
x x h
x x hh
x x x h h0
2 2
2 2
0
2 2 2 22
2 2x x h h( )+=
lim( ) ( )
lim( )
h h
f x h f xh
x h xh
+=
+=
0 0
2 2
1 1
=+
= =lim( )h
x x h h
x x h
x
x x0
2 2
3 3
2
6 4
6 6 2 6 6
=+
=lim( )
( )h
h x x h h
h x x h0
2 2
3 3
6 6 2
=+
=lim( )h
x x x h x h h
h x x h0
3 3 2 2 3
3 3
2 2 6 6 2
=+
=
+
+lim
( )lim
( )
(h h
x h xh
x x h
x x h0
3 3
0
3 3
32 2 2 2
))3
h=
=+
=f xf x h f x
hh( ) lim
( ) ( )0
= =2 2
4 3
x
x x
=+
+=
+
+=lim
( )
( )lim
( )h h
h x h
h x x h
x h
x x h0 2 2 0 2 2
2 2
=+ + +
+=lim
( )h
x x x h h
h x x h0
2 2 2
2 2
2
=+
=
+ +
f xx h x
h
x x h
h h( ) lim
( )lim
( )
0
2 2
0
21 1 22
2 2x x hh
( )+=
=+
=+
=lim( )
limh hx x h x x h x0 0 2 2
1 1 1
=
+
+=
+=lim
( )( )
lim( )h h
x x hx x h
hh
h x x h0 0
=+
=+
=f xf x h f x
h
x h x
hh h( ) lim
( ) ( )lim
0 0
1 1
•
13. a)
b)
c)
(f + g) = f + g
14. a) f (x) = (4 x6 3 x2 ln x + cos x) =
= (4 x6) + ( 3 x2) + ( ln x) + (cos x) =
(k f) = k f
= 4 (x6) 3 (x2) (ln x) + (cos x) =
= 24 615x xx
sin x
= + =4 6 3 216 1 2 1x xx
sin x( )
= =15
1
5
45
45x
x
f x x x f x x( ) ( )= = = =515
15
115
= =32
32
12x x
f x x x f x x( ) ( )= = = =332
32
132
= =5566
xx
f xx
x f x x( ) ( )= = = =1
55
5 5 1
= =4 43
8 5
x
x x
=+ + +
limh
x x h x h h
x x h x h x h0
3 2 2 3
8 7 6 2 5 3
4 6 4
4 6 4 ++=
h4
=+
=lim( )
( )h
x x h x h h h
x x h h0
3 2 2 3
4 4
4 6 4
=+
=lim( )h
x x x h x h x h h
x x h h0
4 4 3 2 2 3 4
4
4 6 4
4
=
+
+=lim
( )
( )h
x x h
x x hh0
4 4
4 4
lim( ) ( )
lim( )
h h
f x h f xh
x h xh
+=
+=
0 0
4 4
1 1
= =3 32
6 4
x
x x
=+ + +
=limh
x x h h
x x h x h x h0
2 2
6 5 4 3 3
3 3
3 3
=+
=lim( )
( )h
x x h h h
x x h h0
2 2
3 3
3 3
=+
=lim( )h
x x x h x h h
x x h h0
3 3 2 2 3
3 3
3 3
181
10. D
eriv
ades
11.•
•
•
12.Apliquem la definició de derivada per calcular la de-rivada en cadascun dels casos:
•
•
=
+
+= lim
()
()h
xxh
xxhh 0
33
33
lim()()
lim()
hh
fxhfxh
xhxh
+=
+=
00
33
11
==2243
x
xx
=+
=+
lim()
()lim
hh
xhh
xxhh
xh
xxh 022043
22
2++=
h2
=
+
+= lim
()
()lim
hh
xxh
xxhh
xxxhh0
22
22
0
222
22
22xxhh () +
=
lim()()
lim()
hh
fxhfxh
xhxh
+=
+=
00
22
11
=+
== lim() h
xxhh
xxh
x
xx 0
22
33
2
64
66266
=+
= lim()
() h
hxxhh
hxxh 0
22
33
662
=+
= lim() h
xxxhxhh
hxxh 0
33223
33
22662
=+
=
+
+lim
()lim
()
(hh
xhxh
xxh
xxh0
33
0
33
32222
))3
h=
=+
= fxfxhfx
h h()lim
()()0
==22
43
x
xx
=+
+=
+
+= lim
()
()lim
() hh
hxh
hxxh
xh
xxh 022022
22
=+++
+= lim
() h
xxxhh
hxxh 0
222
22
2
=+
=
++
fxxhx
h
xxh
hh()lim
()lim
()
0
22
0
211
22
22xxh
h() +
=
=+
=+
= lim()
limhh xxhxxhx 0022
111
=
+
+=
+= lim
()()
lim() hh
xxhxxh
hh
hxxh 00
=+
=+
= fxfxhfx
h
xhx
h hh()lim
()()lim
00
11
•
13.a)
b)
c)
(f +g)=f+g
14.a)f(x) =(4 x63 x2ln x +cos x)=
=(4 x6)+(3 x2)+(ln x)+(cos x)=
(k f)=k f
=4 (x6)3 (x2)(ln x)+(cos x)=
=2461 5
xxx
sinx
=+= 46321 6121
xxx
sinx ()
==15
1
5
45
4 5 xx
fxxxfxx ()() ====5
15
15
1 15
==32
32
12 xx
fxxxfxx ()() ====3
32
32
1 32
== 55 66 x
x
fxx
xfxx ()() ====1
5 5551
==44
3
85
x
xx
=+++
limh
xxhxhh
xxhxhxh 0
3223
876253
464
464++=
h4
=+
= lim()
() h
xxhxhhh
xxhh 0
3223
44
464
=+
= lim() h
xxxhxhxhh
xxhh 0
4432234
4
464
4
=
+
+= lim
()
()h
xxh
xxhh 0
44
44
lim()()
lim()
hh
fxhfxh
xhxh
+=
+=
00
44
11
==33
2
64
x
xx
=+++
= limh
xxhh
xxhxhxh 0
22
65433
33
33
=+
= lim()
() h
xxhhh
xxhh 0
22
33
33
=+
= lim() h
xxxhxhh
xxhh 0
33223
33
33
C M
Y K
182
10. Derivades
b)
(f g)=fg +f g
15.a)
b)
c)(g�f)=(g�f) f=((ln x)�(5 x4)) (5 x4)=
d)(f�g)=(f�g) g=((5 x4)�(ln x)) (ln x)=
16.a)f (x) =arc cos x és la inversa de g (x) =cos x. Pertant:
Pel teorema fonamental de la trigonometria, sa-bem que:
I, per tant:
Aleshores:
= fxx
()1
12
=12
x
== sinarcxarcx (cos)cos(cos) 12
sinxx =12
cos
== fxgfxsinarcx
()(())(cos)
11
== (()(ln))ln
54120 3
3
xxx
xx
�
===1
5541
520
4 434
3
xxx
xx
x�()()
==514
25
14
5
3
85
xx
x
x
x
(ln)ln
==
1554
25
43
8x
xxx
x
ln
gf
gfgf
f
xxxx== 2
4455 (ln)ln(
=)
() 542
x
=541
3
2
xx
x
(ln)
(ln)
==
5451
205414
2
33 xxxx
x
xxx ln
(ln)
ln
(ln)x2=
fg
fgfg
g
xxxx== 2
4455 ()ln(ln
=)
(ln)x2
==+
xxx
x
35
3 5
25
125
5ln
ln
=+=+=25
125
25
125
35
25
1xxx
xxxx lnln
=()+= xxxx25
25 ln(ln)
=()=()+= fxxxxxxx ()lnln(ln)2 52 52 5b)f (x) =arc tg x és la funció inversa de g (x) =tg x.
Atès que g�(x) =(tg x)�=1 +tg2x, tenim:
c)f (x) =arc cotg x és la funció inversa deg(x) =
Atès que
=1 cotg2x, tenim:
17.a)Calculem la funció inversa de f:
f (x) =2xln f (x) =ln (2x) =x ln 2
Així, doncs, la inversa de f és
Atès que
(k f)=k f
tenim
b)Com que y =exx =ln y, la funció inversa de f(x) =exés g (x) =ln x.
Atès que
tenim
c)és la inversa de g (x) =x2.
Atès que:
g(x) =(x2)=2 x21=2 x
fxx ()=
==== fxgfx
fx
fxex
()(())
()
()11
1
== gxxx
()(ln),1
=== fxgfx
fx
x()
(())()ln
ln11
12
22
==1
211
2 lnln xx
=== gxx
x ()lnlnln
(ln)2
12
gxx
()lnln
. =2
= xfx1
2 lnln()
=+
=+
1
1
1
122
[()] cotgcotg arcxx
=+
=1
12
cotgcotg () arcx
=== fxgfxfx
()(())(())
11
12
cotg
=== gxxtgx
()() cotg1
== cotg. xtgx
1
=+
1
12
x
=+
=+
=1
1
1
122
tgarctgxtgarctgx ()[()]
==+
= fxgfxtgfx
()(())(())
11
12
182
10. D
eriv
ades
b)
(f g) = f g + f g
15. a)
b)
c) (g � f) = (g � f) f = ((ln x) � (5 x4)) (5 x4) =
d) (f � g) = (f � g) g = ((5 x4) � (ln x)) (ln x) =
16. a) f (x) = arc cos x és la inversa de g (x) = cos x. Pertant:
Pel teorema fonamental de la trigonometria, sa-bem que:
I, per tant:
Aleshores:
=f xx
( )1
1 2
= 1 2x
= =sin arc x arc x( cos ) cos ( cos )1 2
sin x x= 1 2cos
= =f xg f x sin arc x
( )( ( )) ( cos )
1 1
= =(( ) (ln ))ln
5 41 203
3
x xx
xx
�
= = =1
5 5 41
520
44 34
3
xx x
xx
x� ( ) ( )
= =5 1 4
25
1 4
5
3
8 5
x x
x
x
x
( ln ) ln
= =
15 5 4
25
4 3
8x
x x x
x
ln
gf
g f g f
f
x x x x= =
2
4 45 5(ln ) ln (=
)
( )5 4 2x
=5 4 13
2
x x
x
( ln )
(ln )
= =
5 4 51
20 54 1 4
2
3 3x x xx
x
x x xln
(ln )
ln
(ln )x 2=
fg
f g f g
g
x x x x= =
2
4 45 5( ) ln (ln=
)
(ln )x 2
= =+
x xx
x
35
35
25
12 5
5ln
ln
= + = + =25
1 25
25
125
35
25
1x x x
xx x xln ln
= ( ) + =x x x x25
25ln (ln )
= ( ) = ( ) + =f x x x x x x x( ) ln ln (ln )25 25 25 b) f (x) = arc tg x és la funció inversa de g (x) = tg x.
Atès que g�(x) = (tg x)� = 1 + tg2 x, tenim:
c) f (x) = arc cotg x és la funció inversa de g (x) =
Atès que
= 1 cotg2 x, tenim:
17. a) Calculem la funció inversa de f:
f (x) = 2x ln f (x) = ln (2x) = x ln 2
Així, doncs, la inversa de f és
Atès que
(k f) = k f
tenim
b) Com que y = ex x = ln y, la funció inversa de f (x) = ex és g (x) = ln x.
Atès que
tenim
c) és la inversa de g (x) = x2.
Atès que:
g (x) = (x2) = 2 x2 1 = 2 x
f x x( ) =
= = = =f xg f x
f x
f x ex( )( ( ))
( )
( )1 1
1
= =g x xx
( ) (ln ) ,1
= = =f xg f x
f x
x( )( ( ))
( ) ln
ln1 1
12
2 2
= =1
21 1
2ln lnx x
= = =g xx
x( )lnln ln
(ln )2
12
g xx
( )lnln
.=2
=x f x1
2lnln ( )
=+
=+
1
1
1
12 2[ ( )]cotg cotgarc x x
=+
=1
1 2cotg cotg( )arc x
= = =f xg f x f x
( )( ( )) ( ( ))
1 1
1 2cotg
= = =g x xtg x
( ) ( )cotg1
= =cotg .xtg x
1
=+
1
1 2x
=+
=+
=1
1
1
12 2tg arc tg x tg arc tg x( ) [ ( )]
= =+
=f xg f x tg f x
( )( ( )) ( ( ))
1 1
1 2
CM
YK
183
10. Derivades
Per tant:
Observem que, efectivament, obtenim el resultatque ja coneixem en els tres casos.
18. a) Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica:
— Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:
f (x) = x2 x 1 ln f (x) = ln (x2 x 1) =
= (2 x 1) ln x
— Derivem els dos costats de la igualtat:
— Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva ex-pressió analítica:
b) Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica.
— Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:
f (x) = (cos x)x
ln f (x) = ln [(cos x)x] = x ln (cos x)
— Derivem els dos costats de la igualtat:
= ln (cos x) x tg x
— Aïllem f�(x) i substituïm f (x) per la seva ex-pressió analítica:
f (x) = f (x) [ln (cos x) x tg x] =
= (cos x)x [ln (cos x) x tg x]
1f x
f x x x tg x( )
( ) ln (cos )=
= + =11
ln (cos )cos
( )x xx
sin x
1f x
f x( )
( ) =
= +x xx
x2 1 2 21
ln
= + =f x f x xx
( ) ( ) ln2 21
12 2
1f x
f x xx( )
( ) ln= +
= +2 21
ln xx
12 2 1
1f x
f x x xx( )
( ) ln ( )= + =
= = =f xg f x f x x
( )( ( )) ( )
1 12
1
2
19. Com que es tracta d’una funció donada en forma im-plícita, utilitzem el mètode de derivació implícita:
— Derivem els dos membres de la igualtat, conside-rant que y és funció de x, i apliquem la regla de lacadena:
(x2 + y2 3 x + 4 y 10) = 0
2 x + 2 y y 3 + 4 y 0 = 0
— Aïllem y�:
4. DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ
20. Considerem la funció r0 = 1 m i
h = 5 mm = 0,005 m
Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:
V � d V = V (r0) h
i, ja que substituint aquests
valors:
d V = 4 r02 h = 4 12 0,005 = 0,0628 m
Aquest valor és una aproximació força bona a l’incre-ment exacte:
V = V (r0 + h) V (r0) =
21. Considerem la funció ih = 0,02.
Atès que aplicant l’aproximació de l’in-
crement, � f, per la diferencial, df, tenim:
f (x0 + h) f (x0) + f (x0) h =
que és una bona aproximació del valor exacte:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
22. Calculem les primeres derivades de f per tal d’intuirl’expressió de la derivada enèsima:
f (x) = 1 ex + x ex = (1 + x) ex
f (x) = (0 + 1) ex + (1 + x) ex = (2 + x) ex
f (x) = ex + (2 + x) ex = (3 + x) ex
15 98 3 997 499, , ...=
= + =41
2 160 02 3 997 5( , ) ,
=f xx
( ) ,1
2
f x x x( ) ,= =0 16
= =43
1 00543
13 0 06313( , ) , m
=V r r r( ) ,43
43 2=
V r r( ) ,=43
3
( )2 4 2 3 03 22 4
y y x yx
y+ + = =
+
183
10. D
eriv
ades
Per tant:
Observem que, efectivament, obtenim el resultatque ja coneixem en els tres casos.
18.a)Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica:
—Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:
f (x) =x2 x1ln f(x) =ln (x2 x1) =
=(2 x 1) ln x
—Derivem els dos costats de la igualtat:
—Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva ex-pressió analítica:
b)Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica.
—Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:
f(x) =(cos x)x
ln f (x) =ln [(cos x)x] =x ln (cos x)
—Derivem els dos costats de la igualtat:
=ln (cos x) x tg x
—Aïllem f�(x) i substituïm f (x) per la seva ex-pressió analítica:
f(x) =f (x) [ln (cos x) x tg x] =
=(cos x)x[ln (cos x) x tg x]
1fx
fxxxtgx()
()ln(cos) =
=+= 11
ln(cos)cos
() xxx
sinx
1fx
fx()
()=
=+ xxx
x 2122
1ln
=+= fxfxxx
()()ln 221
122
1fx
fxxx ()
()ln =+
=+ 221
lnxx
1221
1fx
fxxxx ()
()ln() =+=
=== fxgfxfxx
()(())()
112
1
2
19.Com que es tracta d’una funció donada en forma im-plícita, utilitzem el mètode de derivació implícita:
—Derivem els dos membres de la igualtat, conside-rant que y és funció de x, i apliquem la regla de lacadena:
(x2+y23 x +4 y 10)=0
2 x +2 y y3 +4 y0 =0
—Aïllem y�:
4.DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ
20.Considerem la funció r0=1 m i
h =5 mm =0,005 m
Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:
V �d V =V(r0) h
i, ja que substituint aquests
valors:
d V =4 r02
h =4 120,005 =0,0628 m
Aquest valor és una aproximació força bona a l’incre-ment exacte:
V =V (r0+h) V (r0) =
21.Considerem la funcióih =0,02.
Atès que aplicant l’aproximació de l’in-
crement, �f, per la diferencial, df, tenim:
f (x0+h) f(x0) +f(x0) h =
que és una bona aproximació del valor exacte:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
22.Calculem les primeres derivades de f per tal d’intuirl’expressió de la derivada enèsima:
f(x) =1 ex+x ex=(1 +x) ex
f(x) =(0 +1) ex+(1 +x) ex=(2 +x) ex
f(x) =ex+(2 +x) ex=(3 +x) ex
15983997499 ,,... =
=+= 41
21600239975 (,),
= fxx
(),1
2
fxxx (), == 016
==43
100543
13006313
(,),m
= Vrrr (),43
432
=
Vrr (), =43
3
() 242303224
yyxyx
y++==
+
C M
Y K
184
10. Derivades
Si observem aquestes expressions, podem proposarcom a expressió general la següent:
f(n)(x) =(n +x) ex
Demostrarem ara que aquesta expressió és la soluciódel problema. Utilitzarem el mètode d’inducció com-pleta:
—Demostrem que és certa per a n =1:
f(x) =(1 +x) ex
—Suposem que és certa per a n =k (hipòtesi d’in-ducció):
f(k)(x) =(k +x) ex
—Comprovem que si és certa per a n =k és certa tam-bé per a n =k +1. Per a fer-ho, derivem l’expressióde f(k):
f(k+1)(x) =(f(k)(x))=((k +x) ex)=
=(k +x)ex+(k +x) (ex)=
=(0 +1) ex+(k +x) ex=
=(1 +k +x) ex=((k +1) +x) ex
Efectivament, hem obtingut el resultat que preteníemdemostrar.
23.No és possible aïllar una variable en funció de l’altra.Es tracta, doncs, d’una funció implícita. Apliquem elmètode de derivació implícita:
—Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:
(x2+y24 x 6 y 12)=0
2 x +2 y y4 6 y=0
—Operem i aïllem y�:
Si substituïm les coordenades del punt P=(5,1),ob-tenim el valor del pendent per a x =5:
L’equació general de la recta tangent és:
3 x 4 y 19 =0
24.Com que la recta ha de ser tangent a la circumferèn-cia en el punt P =(4, 2), aquest punt P és un punt dela recta i, a més, el pendent de la recta coincidirà ambla derivada de la funció que defineix la circumferèn-cia en x =4.
Com que es tracta d’una funció implícita, aplicarem elmètode de derivació implícita.
yymxxyx =+= 00134
5 ()()
== y(,) 512513
34
() 26424226
23
yyxyx
yx
y===
—Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:
(x2+y28 x 2 y +8)=0
2 x +2 y y8 2 y=0
—Operem i aïllem y�:
Si substituïm les coordenades del puntP=(4,2),ob-tenim el valor del pendent de la recta tangent a lacircumferència en aquest punt:
L’equació de la recta tangent és:
y (2) =0 (x 4) y +2 =0
25.Considerem la funció en què f(x) i
g(x) són estrictament positives. Apliquem el mètodede derivació logarítmica per calcular h�(x):
—Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
—Derivem als dos costats de la igualtat:
—Aïllem h�(x) i substituïm h(x) per la seva expres-sió:
Finalment, com que
26.L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x =aés y f (a) =f�(a) (x a).
Per tant, si a =1, la recta tangent és:
y f (1) =f(1) (x 1)
=fxgxfxgx
gx
()()()()
()2
==fxgx
fxgx
gx
()()
()()
()2
= hxfxgxfx
fxgx
gx ()()()()
()()
()11
=
hxfxgx
()()()
=:
= hxhxfx
fxgx
gx ()()()
()()
()11
111hx
hxfx
fxgx
gx()
()()
()()
() =
ln()ln()()
ln()ln() hxfxgx
fxgx ==
hxfx
gx()
()
(), =
== y(,) 424421
0
() 22828222
41
yyxyx
yx
y===
184
10. D
eriv
ades
Si observem aquestes expressions, podem proposarcom a expressió general la següent:
f(n) (x) = (n + x) ex
Demostrarem ara que aquesta expressió és la soluciódel problema. Utilitzarem el mètode d’inducció com-pleta:
— Demostrem que és certa per a n = 1:
f (x) = (1 + x) ex
— Suposem que és certa per a n = k (hipòtesi d’in-ducció):
f(k) (x) = (k + x) ex
— Comprovem que si és certa per a n = k és certa tam-bé per a n = k + 1. Per a fer-ho, derivem l’expressióde f(k):
f(k+1) (x) = (f(k)(x)) = ((k + x) ex) =
= (k + x) ex + (k + x) (ex) =
= (0 + 1) ex + (k + x) ex =
= (1 + k + x) ex = ((k + 1) + x) ex
Efectivament, hem obtingut el resultat que preteníemdemostrar.
23. No és possible aïllar una variable en funció de l’altra.Es tracta, doncs, d’una funció implícita. Apliquem elmètode de derivació implícita:
— Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:
(x2 + y2 4 x 6 y 12) = 0
2 x + 2 y y 4 6 y = 0
— Operem i aïllem y�:
Si substituïm les coordenades del punt P=(5, 1), ob-tenim el valor del pendent per a x = 5:
L’equació general de la recta tangent és:
3 x 4 y 19 = 0
24. Com que la recta ha de ser tangent a la circumferèn-cia en el punt P = (4, 2), aquest punt P és un punt dela recta i, a més, el pendent de la recta coincidirà ambla derivada de la funció que defineix la circumferèn-cia en x = 4.
Com que es tracta d’una funció implícita, aplicarem elmètode de derivació implícita.
y y m x x y x= + =0 0 134
5( ) ( )
= =y( , )5 12 51 3
34
( )2 6 4 24 22 6
23
y y x yx
yx
y= = =
— Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:
(x2 + y2 8 x 2 y + 8) = 0
2 x + 2 y y 8 2 y = 0
— Operem i aïllem y�:
Si substituïm les coordenades del puntP=(4, 2), ob-tenim el valor del pendent de la recta tangent a lacircumferència en aquest punt:
L’equació de la recta tangent és:
y ( 2) = 0 (x 4) y + 2 = 0
25. Considerem la funció en què f(x) i
g(x) són estrictament positives. Apliquem el mètodede derivació logarítmica per calcular h�(x):
— Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
— Derivem als dos costats de la igualtat:
— Aïllem h�(x) i substituïm h(x) per la seva expres-sió:
Finalment, com que
26. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = aés y f (a) = f�(a) (x a).
Per tant, si a = 1, la recta tangent és:
y f (1) = f (1) (x 1)
=f x g x f x g x
g x
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
= =f xg x
f x g x
g x
( )( )
( ) ( )
( )2
=h xf xg x f x
f xg x
g x( )( )( ) ( )
( )( )
( )1 1
=
h xf xg x
( )( )( )
= :
=h x h xf x
f xg x
g x( ) ( )( )
( )( )
( )1 1
1 1 1h x
h xf x
f xg x
g x( )
( )( )
( )( )
( )=
ln ( ) ln( )( )
ln ( ) ln ( )h xf xg x
f x g x= =
h xf x
g x( )
( )
( ),=
= =y( , )4 24 42 1
0
( )2 2 8 28 22 2
41
y y x yx
yx
y= = =
CM
YK
185
10. Derivades
Calculem f (1) i f�(1):
• f (1) = 13 9 1 = 8
• f (x) = 3 x2 9 f (1) = 3 12 9 = 6
Si substituïm aquests valors en l’equació de la recta, te-nim:
y ( 8) = 6 (x 1) y = 6 x 2
La recta normal a la gràfica de f en x = a és la perpen-dicular a la recta tangent a f en aquest punt. Alesho-res, la seva equació és:
En particular, si a = 1:
Substituint f (1) i f�(1) pel seu valor, tenim:
— La recta tangent serà paral.lela a l’eix d’abscisses siel seu pendent coincideix amb el pendent d’aquesteix, és a dir, m = 0.
Es tracta, doncs, de calcular en quins punts la de-rivada de f val 0.
Els punts són:
27. — Perquè f (x) sigui contínua en x = 4, s’han de com-plir les condicions següents:
• Ha d’existir f (4):
f (4) = 6 � 4 + b = 24 + b, que existeix per a qual-sevol b �.
• Ha d’existir el límit de f en x = 4 i ha ser finit:
= 2 42 + 4 a + 5 = 4 a + 37
Perquè existeixi el límit, han de coincidir els doslímits laterals. Així, doncs:
• S’ha de complir
24 + b = 4 a + 37 = b + 24
Així, f és contínua en x = 4 b + 24 = 4 a + 37.
f f x f xx x
( ) lim ( ) lim ( )44 4
= =+
:
lim ( ) lim ( )x x
f x f x a b= + = +4 4
4 37 24
lim ( ) lim ( )x x
f x x b b b+ +
= + = + = +4 4
6 6 4 24
lim ( ) lim ( )x x
f x x a x= + + =4 4
22 5
M
N
=
=
( , )
( , )
3 6 3
3 6 3
= = = ±f x x x( ) 0 3 9 0 32
y x yx
= =( ) ( )816
16
496
y ff
x=( )( )
( )111
1
y f af a
x a=( )( )
( )1
— Perquè f (x) sigui contínua en x = 6, s’ha de com-plir:
• Ha d’existir f (6):
f (6) = 6 � 6 + b = 36 + b, que existeix per a qual-sevol b �.
• Ha d’existir el límit de f en x = 6 i ha de ser finit:
Perquè existeixi el límit, han de coincidir els doslímits laterals. Així, doncs:
b + 36 = 9 b = 27
• S’ha de complir
36 + b = 9 b = 27
Així, f és contínua en x = 6 b = 27.
Per tant, f és contínua en x = 4 i x = 6 si:
— Perquè f sigui derivable en x = 4, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:
Com que f�(4 ) = f�(4+), existeix f�(4) = 6. Alesho-res, f és derivable en x = 4.
— Perquè f sigui derivable en x = 6, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:
=+
= =+ +
lim( ) ( )
limh h
hh
h
h0 0
6 4 27 3 66
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
44 4
0
= + =lim ( )h
h0
2 6 6
=+
=+
=lim lim( )
h h
h hh
h h
h0
2
0
2 6 2 6
=+ + +
=lim( ) ( ) ( )
h
h hh0
22 4 10 4 5 3
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )4
4 40
b
b aa i b
=
+ = += =
27
24 4 3710 27
f f xx
( ) lim ( )66
= :
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+
=6 6
lim ( ) lim ( )x x
f x x+ +
= + = + =6 6
2 245 6 45 9
lim ( ) lim ( )x x
f x x b b b= + = + = +6 6
6 6 6 36
185
10. D
eriv
ades
Calculem f (1) i f�(1):
•f (1) =139 1 =8
•f(x) =3 x29 f(1) =3 129 =6
Si substituïm aquests valors en l’equació de la recta, te-nim:
y (8) =6 (x 1) y =6 x 2
La recta normal a la gràfica de f en x =a és la perpen-dicular a la recta tangent a f en aquest punt. Alesho-res, la seva equació és:
En particular, si a =1:
Substituint f (1) i f�(1) pel seu valor, tenim:
—La recta tangent serà paral.lela a l’eix d’abscisses siel seu pendent coincideix amb el pendent d’aquesteix, és a dir, m =0.
Es tracta, doncs, de calcular en quins punts la de-rivada de f val 0.
Els punts són:
27.—Perquè f (x) sigui contínua en x =4, s’han de com-plir les condicions següents:
•Ha d’existir f (4):
f (4) =6 �4 +b =24 +b, que existeix per a qual-sevol b �.
•Ha d’existir el límit de f en x =4 i ha ser finit:
=2 42+4 a +5 =4 a +37
Perquè existeixi el límit, han de coincidir els doslímits laterals. Així, doncs:
•S’ha de complir
24 +b =4 a +37 =b +24
Així, f és contínua en x =4 b +24 =4 a +37.
ffxfxxx
()lim()lim() 444
==+:
lim()lim()xx
fxfxab =+=+44
43724
lim()lim()xx
fxxbbb ++ =+=+=+44
66424
lim()lim()xx
fxxax =++=44
225
M
N
=
=
(,)
(,)
363
363
===± fxxx ()039032
yxyx
== ()() 816
16
496
yff
x = ()()
() 111
1
yfafa
xa = ()()
()1
—Perquè f (x) sigui contínua en x =6, s’ha de com-plir:
•Ha d’existir f (6):
f (6) =6 �6 +b =36 +b, que existeix per a qual-sevol b �.
•Ha d’existir el límit de f en x =6 i ha de ser finit:
Perquè existeixi el límit, han de coincidir els doslímits laterals. Així, doncs:
b +36 =9 b =27
•S’ha de complir
36 +b =9 b =27
Així, f és contínua en x =6 b =27.
Per tant, f és contínua en x =4 i x =6 si:
—Perquè f sigui derivable en x =4, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:
Com que f�(4) =f�(4+), existeix f�(4) =6. Alesho-res, f és derivable en x =4.
—Perquè f sigui derivable en x =6, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:
=+
== ++ lim()()
limhh
hh
h
h 00
6427366
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()4
440
=+= lim()h
h0
266
=+
=+
= limlim()
hh
hhh
hh
h 0
2
0
2626
=+++
= lim()()()
h
hhh 0
22410453
=+
= ffhf
h h()lim
()()4
440
b
baaib
=
+=+==
27
244371027
ffxx
()lim() 66
=:
lim()lim()xx
fxfx + =66
lim()lim()xx
fxx ++ =+=+=66
22456459
lim()lim()xx
fxxbbb =+=+=+66
66636
C M
Y K
186
10. Derivades
Com que f�(6) �f�(6+), no existeix f�(6). Alesho-res, f no és derivable en x =6.
ACTIVITATS
Abans de començar
•Taxa de variació mitjana (pàg. 210); taxa de variació ins-tantània (pàg. 212); derivada d’una funció en un punt(pàg. 212); derivades laterals (pàg. 214); funció derivada(pàg. 216); diferencial d’una funció (pàg. 222).
•Interpretació geomètrica de la taxa de variació mitjanad’una funció en un interval (pàg. 211); derivada d’unafunció en un punt (pàg. 213).
•Derivació logarítmica i derivació implícita (pàg. 221).
Qüestions
28.La gràfica d’una funció derivable no pot tenir una tan-gent vertical en cap dels seus punts, ja que el pendentd’una recta vertical no està definit (en tot cas és ),però com que la funció és derivable, la derivada de lafunció en cada punt és finita i, per tant, existeix el pen-dent de la recta tangent a la gràfica de la funció.
Contràriament, la gràfica d’una funció derivable sí quepot tenir una tangent horitzontal. Per exemple, la fun-ció f (x) =1 té com a recta tangent a la seva gràfica enqualsevol punt la recta y =1, que és horitzontal.
29.Escrivim f (x) =� x �com una funció definida a trossos:
Observem que f és contínua i derivable en �{0}.Així, només hem d’estudiar la continuïtat i derivabili-tat en x =0.
Comprovem si f compleix les tres condicions de con-tinuïtat en x =0.
•Existeix f (0): f (0) =0.
•Existeix el límit de f en x =0 i és finit:
fxxsix
xsix()=
<0
0
=== ++ limlim()hh
hh
hh
0
2
0
121212
=++
= + lim()
h
hh 0
26459
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()6
660
=+
== lim()
limhh
hh
h
h 00
6627966
=+
= ffhf
h h()lim
()()6
660
•
Per tal de veure si f és derivable en x =0 vegem si coin-cideixen les seves derivades laterals:
•
•
Com que és a dir, f no és de-rivable en x =0.
Per tant, f és contínua �x�i derivable �x�{0}.
30.No, ja que pot ser que les derivades laterals siguin +(o ), de manera que coincidirien i, en canvi, la fun-ció no seria derivable en aquest punt. S’ha de dema-nar, doncs, que les derivades laterals existeixin, coin-cideixin i siguin finites.
EXERCICIS I PROBLEMES
31.a)
b)
c)
===lnlnln
ln21
1201
2
TVMff
[,]()()
122121
==
===1121
309
33
33(())()
TVMff
[,]()()
()== 21
1212
==000990
001099
,,
,
=++
=40194012049420
001
22,,()
,
TVMff
[,,](,)()
,4401
40144014
==
+fff ()()(), 000
== limh0
11
=+
== lim()
limhh
hh
hh 00
00
=+
= ffhf
h h()lim
()()0
000
=+
=== +++ lim()
limlimhhh
hh
hh 000
0011
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()0
000
lim()()lim()()xx
fxffxf ===00
000 :
= lim()x
fx0
0
lim()lim
lim()lim(xx
xx
fxx
fx
++ ==
=
00
00
0
xx)== 00
186
10. D
eriv
ades
Com que f�(6 ) � f�(6+), no existeix f�(6). Alesho-res, f no és derivable en x = 6.
ACTIVITATS
Abans de començar
• Taxa de variació mitjana (pàg. 210); taxa de variació ins-tantània (pàg. 212); derivada d’una funció en un punt(pàg. 212); derivades laterals (pàg. 214); funció derivada(pàg. 216); diferencial d’una funció (pàg. 222).
• Interpretació geomètrica de la taxa de variació mitjanad’una funció en un interval (pàg. 211); derivada d’unafunció en un punt (pàg. 213).
• Derivació logarítmica i derivació implícita (pàg. 221).
Qüestions
28. La gràfica d’una funció derivable no pot tenir una tan-gent vertical en cap dels seus punts, ja que el pendentd’una recta vertical no està definit (en tot cas és ),però com que la funció és derivable, la derivada de lafunció en cada punt és finita i, per tant, existeix el pen-dent de la recta tangent a la gràfica de la funció.
Contràriament, la gràfica d’una funció derivable sí quepot tenir una tangent horitzontal. Per exemple, la fun-ció f (x) = 1 té com a recta tangent a la seva gràfica enqualsevol punt la recta y = 1, que és horitzontal.
29. Escrivim f (x) = � x � com una funció definida a trossos:
Observem que f és contínua i derivable en � {0}.Així, només hem d’estudiar la continuïtat i derivabili-tat en x = 0.
Comprovem si f compleix les tres condicions de con-tinuïtat en x = 0.
• Existeix f (0): f (0) = 0.
• Existeix el límit de f en x = 0 i és finit:
f xx si x
x si x( ) =
< 0
0
= = =+ +
lim lim ( )h h
h h
hh
0
2
0
1212 12
=+ +
=+
lim( )
h
hh0
26 45 9
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
66 6
0
=+
= =lim( )
limh h
hh
h
h0 0
6 6 27 9 66
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )6
6 60
•
Per tal de veure si f és derivable en x = 0 vegem si coin-cideixen les seves derivades laterals:
•
•
Com que és a dir, f no és de-rivable en x = 0.
Per tant, f és contínua � x � i derivable � x � {0}.
30. No, ja que pot ser que les derivades laterals siguin +(o ), de manera que coincidirien i, en canvi, la fun-ció no seria derivable en aquest punt. S’ha de dema-nar, doncs, que les derivades laterals existeixin, coin-cideixin i siguin finites.
EXERCICIS I PROBLEMES
31. a)
b)
c)
= = =ln ln ln
ln2 1
12 01
2
TVMf f
[ , ]( ) ( )
1 22 12 1
= =
= = =1 1 2 1
30 9
33
3 3(( ) ) ( )
TVMf f
[ , ]( ) ( )
( )= =2 1
1 21 2
= =0 009 9 0
0 010 99
,,
,
=+ +
=4 01 9 4 01 20 4 9 4 20
0 01
2 2, , ( ),
TVMf f
[ , , ]( , ) ( )
,4 4 01
4 01 44 01 4
= =
+f f f( ) ( ) ( ),0 0 0
= =limh 0
1 1
=+
= =lim( )
limh h
hh
hh0 0
0 0
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )0
0 00
=+
= = =+ + +
lim( )
lim limh h h
hh
hh0 0 0
0 01 1
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
00 0
0
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x x
f x f f x f= = =0 0
0 0 0:
=lim ( )x
f x0
0
lim ( ) lim
lim ( ) lim (x x
x x
f x x
f x
+ += =
=
0 0
0 0
0
xx) = =0 0
CM
YK
187
10. Derivades
32. a)
b)
33. Calcularem la derivada de en el puntx = 0 a partir de la definició:
Per tal d’eliminar la indeterminació, multipliquem nu-merador i denominador pel conjugat del numerador:
34. a)
= + =+1
22
12
2(ln ( ) ln ) lnb b
bb
=+ +
=ln ( ) ln ( )2 0
2b b
TVMf f
[ , ]( ) ( )
0 22 02 0
= =
=+ +
= =limh
h
h0 21 1
02
0
=+ +
=lim( )h
h
h h0
2
21 1
=+
+ +=lim
( )h
h
h h0
2 2
2
1 1
1 1
=+ + +
+ +=lim
( ) ( )
( )h
h h
h h0
2 2
2
1 1 1 1
1 1
=+
=fhhh
( ) lim01 1
0
2
=+
=limh
hh0
21 1 00
=+ + +
=lim( )
h
hh0
2 21 0 1 0
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )0
0 00
f x x( ) = +1 2
=+
=limh h0
23 9
29
=+ +
+=
+lim
( ) ( )( )
lim( )h h
h hh h
h
h h0 0
3 1 33 3
2
3 3==
=
+
+ =limh
hh
h0
13
13
=
+
+ + +=lim
h
hh
h0
2 12 1
2 12 1
=+
=gg h g
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
= + =lim ( )h
h0
3 12 12
=+
=+
=lim lim( )
h h
h hh
h h
h0
2
0
3 12 3 12
=+
=lim( ) ( )
h
hh0
2 23 2 1 3 2 1
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
Perquè TVM [0, 2] = ln 2, s’ha de complir:
= ln 22 = ln 4
i com que la funció ln x és injectiva, aquesta con-dició és equivalent a:
b) La taxa de variació instantània és la derivada de lafunció en el punt:
= =38
38
ln e
= + =ln lim lh
h
h0
83
38
118
3
nn ( )e38 =
= + =ln limh
hh0
1
138
=
+
= + =lim ln lim lnh h
h
h
h h0 0
1
183
83
138
= + =lim ln lnh h
h0
1 83
83
=
+ + +
=limln ln
h
h
h0
223
223
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )2
2 20
= =32
32
ln e
= + =ln lim lh
h
h0
23
32
112
3
nn( )e32 =
=+
= +ln lim ln limh
h
h
h
h0
1
0
3 22
112
3
=
1h
=
+
=+
=lim ln lim lnh h
h
h
h h0 0
1
123
23
3 22
= + =lim ln lnh h
h0
1 23
23
=
+ + +
=limln ln
h
h
h0
023
023
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )0
0 00
24
23
+= =
bb
b
12
22
22 2ln ln ln ln
+=
+= =
bb
bb
187
10. D
eriv
ades
32.a)
b)
33.Calcularem la derivada deen el puntx =0 a partir de la definició:
Per tal d’eliminar la indeterminació, multipliquem nu-merador i denominador pel conjugat del numerador:
34.a)
=+=+ 1
22
12
2(ln()ln)ln bb
bb
=++
=ln()ln() 20
2bb
TVMff
[,]()()
022020
==
=++
== limh
h
h 0211
02
0
=++
= lim() h
h
hh 0
2
211
=+
++= lim
() h
h
hh 0
22
2
11
11
=+++
++= lim
()()
() h
hh
hh 0
22
2
1111
11
=+
= fhh h
()lim 011
0
2
=+
= limh
hh 0
2110
0
=+++
= lim()
h
hh 0
221010
=+
= ffhf
h h()lim
()()0
000
fxx ()=+ 12
=+
= limhh 0
239
29
=++
+=
+lim
()()()
lim() hh
hhhh
h
hh 00
31333
2
33==
=
+
+= limh
hh
h 0
13
13
=
+
+++= lim
h
hh
h 0
2121
2121
=+
= gghg
h h()lim
()()2
220
=+= lim()h
h0
31212
=+
=+
= limlim()
hh
hhh
hh
h 0
2
0
312312
=+
= lim()()
h
hh 0
22321321
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
Perquè TVM [0, 2] =ln 2, s’ha de complir:
=ln 22=ln 4
i com que la funció ln x és injectiva, aquesta con-dició és equivalent a:
b)La taxa de variació instantània és la derivada de lafunció en el punt:
==38
38
lne
=+= lnlimlh
h
h0
83
38
118
3
nn()e38=
=+= lnlimh
h h0
1
138
=
+
=+= limlnlimlnhh
h
h
hh00
1
183
83
138
=+= limlnlnhh
h0
183
83
=
+++
= limlnln
h
h
h 0
223
223
=+
= ffhf
h h()lim
()()2
220
==32
32
lne
=+= lnlimlh
h
h0
23
32
112
3
nn()e32=
=+
=+ lnlimlnlimh
h
h
h
h0
1
0
322
112
3
=
1h
=
+
=+
= limlnlimlnhh
h
h
hh00
1
123
23
322
=+= limlnlnhh
h0
123
23
=
+++
= limlnln
h
h
h 0
023
023
=+
= ffhf
h h()lim
()()0
000
24
23
+==
bb
b
12
22
222 lnlnlnln
+=
+==
bb
bb
C M
Y K
188
10. Derivades
35.a)Per definició, la velocitat és la funció derivada dela posició:
v (t) =x(t) =(3 t36 t2)=3 3 t26 2 t =
=9 t212 t
Per definició, l’acceleració és la funció derivada se-gona de la posició, és a dir, la funció derivada de lavelocitat:
a(t) =x(t) =(x(t))=(v(t))=(9 t212 t)=
=9 2 t 12 1 =18 t 12
b)N’hi ha prou de substituir t =3 s en les expressionsanalítiques de les funcions posició, velocitat i ac-celeració:
x (3) =3 336 32=27 m
c)Obtenim el valor de t per al qual v (t) és 12:
9 t212 t =12
9 t212 t 12 =0
No considerem un temps negatiu. Així, doncs, t =2 s.
d)El valor de t per al qual a(t) val 8 és:
36.La velocitat és la funció derivada de la posició, i sabemque el seu valor en un determinat instant coincideixamb el pendent de la recta tangent a la gràfica de lafunció posició en aquest instant de temps.
Així, doncs, en cada tram corresponent a un segmentde la gràfica de e(t), el mòbil es mou a velocitat cons-tant igual al pendent de la recta que conté aquest seg-ment, ja que coincideix amb la recta tangent en totsels punts d’aquest tram. Per tant:
—Des del moment de la sortida (t=0 s) fins a t=1 s, elmòbil es desplaça a velocitat
—En t =1 s, el mòbil frena i passa a moure’s a velo-citat
—En t =4 s, el mòbil frena novament fins que s’atu-ra, ja que
vms
==6684
0
vms
==5341
23
vms
==3010
3
181282018
109
tts ===
344012
22
tttit ===
am
s()318312422 ==
vms
()393123452
==
—En t =8 s, retorna a l’origen a velocitat
i arriba al punt de partida en l’instant t =14 s.
37.El pendent m de la recta tangent a la gràfica de lafunció en x =1 és tg en què és l’angle buscat,però a més aquest pendent coincideix amb f�(1).Així, doncs:tg =m =f(1)
Calculem f�(1):
f(x) =6 x 2 f(1) =6 1 2 =4
Per tant, tg =4 =arc tg 4 =75, 96°
38.Recordem que l’equació de la recta tangent a la gràfi-ca de la funció f (x) en un punt x =a és:
y f (a) =f(a) (x a)
a)Calculem f (e) i f(e):
•f (e) =ln e =1
•
L’equació de la recta tangent en x =e és:
b)Calculem f(2) i f(2):
•f (2) =e2
•f(x) =exf(2) =e2
L’equació de la recta tangent en x =2 és:
y e2=e2(x 2) y =e2x e2=e2(x 1)
c)Calculem f(4) i f(4):
•
•
L’equació de la recta tangent en x =4 es:
39.L’equació de la recta tangent a f(x) en x =0 és:
y f (0) =f(0) (x 0)
Calculem f(0) i f(0):
•
•
f(0) =0
L’equació de la recta tangent és, doncs:
y 0 =0 (x 0) y =0
= fxxxxxx
xx()
()()
()
21024210
1024
22
22
f()00
0100240
2
2 ==
yxyx
==+ 214
44
1 ()
=== fxx
f ()()1
24
1
24
14
f()442 ==
ye
xeyxe
== 11
()
== fxx
fee
()()11
vms
==05
14856
,
188
10. D
eriv
ades
35. a) Per definició, la velocitat és la funció derivada dela posició:
v (t) = x (t) = (3 t3 6 t2) = 3 3 t2 6 2 t =
= 9 t2 12 t
Per definició, l’acceleració és la funció derivada se-gona de la posició, és a dir, la funció derivada de lavelocitat:
a (t) = x (t) = (x (t)) = (v(t)) = (9 t2 12 t) =
= 9 2 t 12 1 = 18 t 12
b) N’hi ha prou de substituir t = 3 s en les expressionsanalítiques de les funcions posició, velocitat i ac-celeració:
x (3) = 3 33 6 32 = 27 m
c) Obtenim el valor de t per al qual v (t) és 12:
9 t2 12 t = 12
9 t2 12 t 12 = 0
No considerem un temps negatiu. Així, doncs, t = 2 s.
d) El valor de t per al qual a(t) val 8 és:
36. La velocitat és la funció derivada de la posició, i sabemque el seu valor en un determinat instant coincideixamb el pendent de la recta tangent a la gràfica de lafunció posició en aquest instant de temps.
Així, doncs, en cada tram corresponent a un segmentde la gràfica de e(t), el mòbil es mou a velocitat cons-tant igual al pendent de la recta que conté aquest seg-ment, ja que coincideix amb la recta tangent en totsels punts d’aquest tram. Per tant:
— Des del moment de la sortida (t=0 s) fins a t=1 s, elmòbil es desplaça a velocitat
— En t = 1 s, el mòbil frena i passa a moure’s a velo-citat
— En t = 4 s, el mòbil frena novament fins que s’atu-ra, ja que
vms
= =6 68 4
0
vms
= =5 34 1
23
vms
= =3 01 0
3
18 12 82018
109
t t s= = =
3 4 4 012
22t t t i t= = =
am
s( )3 18 3 12 42
2= =
vms
( )3 9 3 12 3 452= =
— En t = 8 s, retorna a l’origen a velocitat
i arriba al punt de partida en l’instant t = 14 s.
37. El pendent m de la recta tangent a la gràfica de lafunció en x = 1 és tg en què és l’angle buscat,però a més aquest pendent coincideix amb f�(1).Així, doncs: tg = m = f (1)
Calculem f�(1):
f (x) = 6 x 2 f (1) = 6 1 2 = 4
Per tant, tg = 4 = arc tg 4 = 75, 96°
38. Recordem que l’equació de la recta tangent a la gràfi-ca de la funció f (x) en un punt x = a és:
y f (a) = f (a) (x a)
a) Calculem f (e) i f (e):
• f (e) = ln e = 1
•
L’equació de la recta tangent en x = e és:
b) Calculem f (2) i f (2):
• f (2) = e2
• f (x) = ex f (2) = e2
L’equació de la recta tangent en x = 2 és:
y e2 = e2 (x 2) y = e2 x e2 = e2 (x 1)
c) Calculem f (4) i f (4):
•
•
L’equació de la recta tangent en x = 4 es:
39. L’equació de la recta tangent a f (x) en x = 0 és:
y f (0) = f (0) (x 0)
Calculem f (0) i f (0):
•
•
f (0) = 0
L’equació de la recta tangent és, doncs:
y 0 = 0 (x 0) y = 0
=f xx x x x x
x x( )
( ) ( )
( )
2 10 24 2 10
10 24
2 2
2 2
f ( )00
0 10 0 240
2
2= =
y x yx
= = +214
44
1( )
= = =f xx
f( ) ( )1
24
1
2 4
14
f ( )4 4 2= =
ye
x e yxe
= =11
( )
= =f xx
f ee
( ) ( )1 1
vms
= =0 5
14 856
,
CM
YK
189
10. Derivades
40. Com que calculem els punts tals que
Així, doncs:
Per tant, el punt buscat és:
41. Una recta és paral.lela a l’eix d’abscisses si té el mateixpendent que aquest, és a dir, m = 0.
Com que el pendent de la recta tangent a la gràficad’una funció en un punt coincideix amb la derivadad’aquesta funció en aquest punt, resolem l’equacióf�(x) = 0. Per a fer-ho, calculem la derivada de f:
f (x) = 4 x3 + 12 x2 4 x 12
4 x3 + 12 x2 4 x 12 = 0
Descomponem utilitzant Ruffini:
Els punts buscats són:
(1, 4), ( 1, 12), ( 3, 4)
42. Dues rectes són paral.leles si tenen el mateix pendent.
Per tant, el pendent d’una recta paral.lela a
Resolem l’equació Per a fer-ho, calculem
la derivada de f:
Per tant, el punt buscat és:
43. Una recta horitzontal té pendent igual a 0.
Resolem l’equació f�(x) = 0. Per a fer-ho, calculem laderivada de f:
=+
+f x
x x x x
x( )
( ) ( )
( )
2 4 4 2
4
2 2
2 2
774
,
= = =f xx x
x( )2
22
232
7
=f x( ) .32
3 2 1 03
232
x y és m+ = = =( )
.
( ) ( ) ( )x x x
x
x
x
+ + =
=
=
=
1 1 4 12 0
1
1
3
4 12 4 12
1 4 16 12
4 16 12 0
1 4 12
4 12 0
33
33
, ln
= = = =f xx
x( ) 31
31
3
33
=f x( ) .3
tg º ,60 3= Així, doncs:
2 x 8 = 0 x = 0
El punt buscat és: (0, 1)
— El pendent de les rectes paral.leles a la recta
Calculem la derivada de f:
Vegem quines abscisses verifiquen f (x) = 1.
Aleshores, les abscisses que compleixen f�(x)= 1 són
de la forma és a dir, sempre positives.
44. El pendent de la recta tangent a f en x = 1 coincideixamb f�( 1). Calculem la derivada de f:
f (x) = (m x3 + 2 x2 + 3 x 1) = 3 m x2 + 4 x + 3
Determinem f ( 1):
f ( 1) = 3 m ( 1)2 + 4 ( 1) + 3 = 3 m 1
Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11és:
11 = 3 m 1 m = 4
45. — Com que la recta és tangent a la corba en el puntd’abscissa x = 1 i el punt de tangència és ( 1, 7 � ( 1) + 2) = ( 1, 5), aleshores s’ha de com-plir:
2 ( 1)3 + a ( 1)2 + b ( 1) 1 = 5
a b = 2
— El pendent m de la recta tangent a la corba enaquest punt ha de ser el de la recta y = 7 x + 2, és adir, 7. I coincideix amb la derivada de la funció enaquest punt:
f (x) = 6 x2 + 2 a x + b f ( 1) = 2a + b + 6
Per tant,
f ( 1) = 7 2 a + b + 6 = 7
2 a + b = 1
Resolem el sistema format per les equacions que hemobtingut:
a b
a ba i b
=
+ == =
2
2 11 3
xx
=+( )
,2 2416
=+
xx( )2 24
16
16
41 16 4
2 22 2x
xx x
( )( )
+= = +
=+ +
+=
+f x
x x x
x
x
x( )
( )
( ) ( )
2 4 4
4
16
4
2 2
2 2 2 2
3 3 7 03
31x y és m+ = = =
( )
2 4 4 2
40
2 2
2 2
x x x x
x
( ) ( )
( )
+
+=
189
10. D
eriv
ades
40.Com que calculem els punts tals que
Així, doncs:
Per tant, el punt buscat és:
41.Una recta és paral.lela a l’eix d’abscisses si té el mateixpendent que aquest, és a dir, m =0.
Com que el pendent de la recta tangent a la gràficad’una funció en un punt coincideix amb la derivadad’aquesta funció en aquest punt, resolem l’equacióf�(x) =0. Per a fer-ho, calculem la derivada de f:
f(x) =4 x3+12 x24 x 12
4 x3+12 x24 x 12 =0
Descomponem utilitzant Ruffini:
Els punts buscats són:
(1, 4), (1, 12), (3, 4)
42.Dues rectes són paral.leles si tenen el mateix pendent.
Per tant, el pendent d’una recta paral.lela a
Resolem l’equació Per a fer-ho, calculem
la derivada de f:
Per tant, el punt buscat és:
43.Una recta horitzontal té pendent igual a 0.
Resolem l’equació f�(x) =0. Per a fer-ho, calculem laderivada de f:
=+
+fx
xxxx
x()
()()
()
2442
4
22
22
774
,
=== fxxx
x ()2
22
232
7
= fx().32
32103
232
xyésm +===()
.
()()() xxx
x
x
x
++=
=
=
=
114120
1
1
3
412412
141612
416120
1412
4120
33
33
,ln
==== fxx
x ()31
31
3
33
= fx(). 3
tgº, 603 =Així, doncs:
2 x 8 =0 x =0
El punt buscat és: (0, 1)
—El pendent de les rectes paral.leles a la recta
Calculem la derivada de f:
Vegem quines abscisses verifiquen f(x) =1.
Aleshores, les abscisses que compleixen f�(x)=1 són
de la forma és a dir, sempre positives.
44.El pendent de la recta tangent a f en x =1 coincideixamb f�(1).Calculem la derivada de f:
f(x) =(m x3+2 x2+3 x 1)=3 m x2+4 x +3
Determinem f(1):
f(1) =3 m (1)2+4 (1) +3 =3 m 1
Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11és:
11 =3 m 1 m =4
45.—Com que la recta és tangent a la corba en el puntd’abscissa x =1 i el punt de tangència és (1, 7 �(1) +2) =(1, 5), aleshores s’ha de com-plir:
2 (1)3+a (1)2+b (1) 1 =5
a b =2
—El pendent m de la recta tangent a la corba enaquest punt ha de ser el de la recta y =7 x +2, és adir, 7. I coincideix amb la derivada de la funció enaquest punt:
f(x) =6 x2+2 a x +b f(1) =2a +b +6
Per tant,
f(1) =7 2 a +b +6 =7
2 a +b =1
Resolem el sistema format per les equacions que hemobtingut:
ab
abaib
=
+===
2
2113
xx
=+ ()
,22
416
=+
xx()
224
16
16
41164 22
22 x
xxx
()()
+==+
=++
+=
+fx
xxx
x
x
x()
()
()()
244
4
16
4
22
2222
33703
31 xyésm +===
()
2442
40
22
22
xxxx
x
()()
()
+
+=
C M
Y K
190
10. Derivades
46.Anomenem derivada de la funció f(x) en el punt x =a el límit, si existeix:
Les derivades laterals de f(x) en x =a són:
•Per l’esquerra:
•Per la dreta:
Calculem les derivades laterals de f en x =1:
Com que f�(1) i f�(1+) existeixen, coincideixen i són
finits, existeix Aleshores, f (x) és derivableen x =1.
47.En els intervals (, 4) i (6, +), la gràfica de la fun-ció és una semirecta, i en els intervals (4, 0) i (0, 3) lagràfica de la funció és un segment. Aleshores, la funcióés lineal en cadascun d’aquests intervals. Per tant, lafunció és derivable i, en conseqüència, contínua.
En l’interval (3, 6), la funció té una gràfica sense can-vis bruscos de pendent (punts angulosos, de retro-cés...). Aleshores, podem afirmar que és derivable i,per tant, contínua.
Estudiem ara la continuïtat i derivabilitat en els ex-trems dels intervals.
•En x =4, la funció presenta una discontinuïtat desalt, ja que:
Aleshores, no és contínua i, per tant, no és derivable.
lim()lim()hh
fxfx + ==44
11
= f(), 112
=
+++
== ++ limlimhh
h
hhh 00
112
112
212
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()1
110
=+
++=
++= lim
()lim
() hh
h
hh
h
hh 0
2
0
11
1111
12
=+++
++= lim
()()
() h
hh
hh 0
1111
11
=
++
=+
= limlimhh
h
hh
h 00
111
211
=+
= ffhf
h h()lim
()()1
110
=+ +
+ fafahfa
h h()lim
()()0
=+
fafahfa
h h()lim
()()0
=+
= fafahfa
hfbfa
ba hba()lim
()()lim
()()0
•En x =0, la funció és contínua, ja que:
però no és derivable, ja que les derivades laterals nocoincideixen:
•En x =3, la funció és contínua, ja que:
però no és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la gràfica de f per l’esquerra i per ladreta en x =3 no coincideixen.
•En x =6, la funció és contínua, ja que:
i també és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la seva gràfica en punts propers a x =6 per tots dos costats tendeixen a 0.
48.Podem eliminar el valor absolut en la definició de f (x) si la definim a trossos:
Si x <0, f (x) =1, que és derivable i, per tant, contí-nua.
Si x >0, f (x) =1, que és derivable i, per tant, contí-nua.
En x =0,
Aleshores, f no és contínua en aquest punt i, per tant,no pot ser-hi derivable.
Per tant:
f (x) és contínua i derivable en � {0} i no és contínuani derivable en x=0.
49.a)Vegem què han de verificar a i b perquè f com-pleixi les tres condicions de continuïtat en x =0:
•Existeix f (0): f (0) =030 =0
•Existeix el límit en x0=0 i és finit:
=+ lim()x
fx0
lim()lim()limxxx
fx+ ====000
1111
fx
xx
xx
six
six
xx
xx
six
()=
==<
=
==>
10
10
10
lim()lim()xx
fxfx + ==66
1
lim()lim()xx
fxfx + ==33
2
====+
ff ()()()
() 02104
34
02230
0
lim()lim()()xx
fxfxf ===00
00
190
10. D
eriv
ades
46. Anomenem derivada de la funció f(x) en el punt x = a el límit, si existeix:
Les derivades laterals de f (x) en x = a són:
• Per l’esquerra:
• Per la dreta:
Calculem les derivades laterals de f en x = 1:
Com que f�(1 ) i f�(1+) existeixen, coincideixen i són
finits, existeix Aleshores, f (x) és derivableen x = 1.
47. En els intervals ( , 4) i (6, + ), la gràfica de la fun-ció és una semirecta, i en els intervals ( 4, 0) i (0, 3) lagràfica de la funció és un segment. Aleshores, la funcióés lineal en cadascun d’aquests intervals. Per tant, lafunció és derivable i, en conseqüència, contínua.
En l’interval (3, 6), la funció té una gràfica sense can-vis bruscos de pendent (punts angulosos, de retro-cés...). Aleshores, podem afirmar que és derivable i,per tant, contínua.
Estudiem ara la continuïtat i derivabilitat en els ex-trems dels intervals.
• En x = 4, la funció presenta una discontinuïtat desalt, ja que:
Aleshores, no és contínua i, per tant, no és derivable.
lim ( ) lim ( )h h
f x f x+
= =4 4
1 1
=f ( ) ,112
=
+ + +
= =+ +
lim limh h
h
hhh0 0
1 12
1 12
212
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
11 1
0
=+
+ +=
+ +=lim
( )lim
( )h h
h
h h
h
h h0
2
0
1 1
1 1 1 1
12
=+ + +
+ +=lim
( ) ( )
( )h
h h
h h0
1 1 1 1
1 1
=
++
=+
=lim limh h
h
hh
h0 0
11 1
2 1 1
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )1
1 10
=++
+f a
f a h f ahh
( ) lim( ) ( )
0
=+
f af a h f a
hh( ) lim
( ) ( )0
=+
=f af a h f a
hf b f a
b ah b a( ) lim
( ) ( )lim
( ) ( )0
• En x = 0, la funció és contínua, ja que:
però no és derivable, ja que les derivades laterals nocoincideixen:
• En x = 3, la funció és contínua, ja que:
però no és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la gràfica de f per l’esquerra i per ladreta en x = 3 no coincideixen.
• En x = 6, la funció és contínua, ja que:
i també és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la seva gràfica en punts propers a x = 6 per tots dos costats tendeixen a 0.
48. Podem eliminar el valor absolut en la definició de f (x) si la definim a trossos:
Si x < 0, f (x) = 1, que és derivable i, per tant, contí-nua.
Si x > 0, f (x) = 1, que és derivable i, per tant, contí-nua.
En x = 0,
Aleshores, f no és contínua en aquest punt i, per tant,no pot ser-hi derivable.
Per tant:
f (x) és contínua i derivable en � {0} i no és contínuani derivable en x = 0.
49. a) Vegem què han de verificar a i b perquè f com-pleixi les tres condicions de continuïtat en x = 0:
• Existeix f (0): f (0) = 03 0 = 0
• Existeix el límit en x0 = 0 i és finit:
=+
lim ( )x
f x0
lim ( ) lim ( ) limx x x
f x+
= = = =0 0 0
1 1 1 1
f x
xx
xx
si x
si x
xx
xx
si x
( ) =
= = <
=
= = >
1 0
1 0
1 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+
= =6 6
1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+
= =3 3
2
= = = = +f f( )( )( )
( )02 10 4
34
02 23 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x f x f= = =0 0
0 0
CM
YK
191
10. Derivades
Perquè existeixi el límit, s’ha de complir b = 0.
•
Per tant, perquè f sigui contínua, s’ha de complir
a �, b = 0
b) Com que derivabilitat implica continuïtat, perquèsigui derivable en x = 0 ha de ser contínua en x = 0; per tant, b = 0.
Determinem els valors de a per als quals f és deri-vable en x = 0, és a dir, per als quals existeix f�(0).Calculem f�(0 ) i f�(0+):
•
•
b = 0
Perquè existeixi f�(0), les derivades laterals de f en0 han de coincidir; per tant:
a = f (0+) = f (0 ) = 1
Així, perquè f sigui derivable, s’ha de complir:
a = 1, b = 0
50. Perquè f sigui contínua en s’han de complir
les tres condicions de continuïtat:
• Existeix
• Existeix el límit de f en i és finit:
lim ( )x
f x+
=
2
= = = =lim ( )x
f x sin x sin
2
5 52
5
lim ( )x
f x =
2
2
f a sin b a b= + = +2 2
f2
:
x =2
,
=+ +
= =+ +
lim( )
limh h
a h bh
a hh
a0 0
0 0
=+
=+
+f
f h fhh
( ) lim( ) ( )
00 0
0
= =lim( )
h
h h
h0
2 11
=+ +
=lim( ) ( )
h
h hh0
30 0 0
=+
=ff h f
hh( ) lim
( ) ( )0
0 00
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x x
f x f f x f= = =0 0
0 0 0:
lim ( ) lim ( )x x
f x ax b a b b+ +
= + = + =0 0
0
lim ( ) lim ( )x x
f x x x= = =0 0
3 30 0 0
= a + b
Perquè existeixi el límit s’ha de complir: a + b = 5
•
Perquè f sigui contínua en s’han de complir
les tres condicions de continuïtat:
• Existeix
• Existeix el límit de f en i és finit::
Perquè coincideixin, s’ha de complir a + b = 3.
•
Resolem el sistema format per les equacions que hemobtingut:
Perquè f sigui derivable en les derivades la-
terals en aquesta abscissa han d’existir, coincidir i serfinites:
•
=+
= = =lim( cos )
limcos
h h
hh
hh0 0
5 15
15 0 0
= =lim( cos ) ( ( ) )
h
hh0
5 4 1 1
=
+
limh
sin h sin
0
52
42
1=
h
=
+
ff h f
h22 2
0lim =
h
x =2
,
+ =
+ = += =
a b
a ba b
5
34 1,
lim ( )x
f x f a b= = +
22
3:
= + =22
3 3cos
lim ( ) lim ( cos )x x
f x x+ +
= + =
2 2
2 3
= + = +a sin b a b2
lim ( ) lim ( )x x
f x a sin x b= + =
2 2
2
f f a sin b a b2 2 2
= + = +:
x =2
,
lim ( )x
f x f a b= = +
22
: 5
= + = + =+
lim ( )x
a sin x b a sin b
2
2
191
10. D
eriv
ades
Perquè existeixi el límit, s’ha de complir b =0.
•
Per tant, perquè f sigui contínua, s’ha de complir
a �, b =0
b)Com que derivabilitat implica continuïtat, perquèsigui derivable en x =0 ha de ser contínua en x =0; per tant, b =0.
Determinem els valors de a per als quals f és deri-vable en x =0, és a dir, per als quals existeix f�(0).Calculem f�(0) i f�(0+):
•
•
b =0
Perquè existeixi f�(0), les derivades laterals de f en0 han de coincidir; per tant:
a =f(0+) =f(0) =1
Així, perquè f sigui derivable, s’ha de complir:
a =1, b =0
50.Perquè f sigui contínua en s’han de complir
les tres condicions de continuïtat:
•Existeix
•Existeix el límit de f en i és finit:
lim()x
fx +=
2
==== lim()x
fxsinxsin
2
552
5
lim()x
fx=
2
2
fasinbab =+=+22
f2
:
x=2
,
=++
== ++ lim()
limhh
ahbh
ahh
a00
00
=+
=+
+ ffhf
h h()lim
()()0
000
== lim()
h
hh
h 0
21
1
=++
= lim()()
h
hhh 0
3000
=+
= ffhf
h h()lim
()()0
000
lim()()lim()()xx
fxffxf ===00
000 :
lim()lim()xx
fxaxbabb ++ =+=+=00
0
lim()lim()xx
fxxx ===00
33000
=a +b
Perquè existeixi el límit s’ha de complir:a +b=5
•
Perquè f sigui contínua en s’han de complir
les tres condicions de continuïtat:
•Existeix
•Existeix el límit de f en i és finit::
Perquè coincideixin, s’ha de complir a +b =3.
•
Resolem el sistema format per les equacions que hemobtingut:
Perquè f sigui derivable en les derivades la-
terals en aquesta abscissa han d’existir, coincidir i serfinites:
•
=+
=== lim(cos)
limcos
hh
hh
hh 00
515
1500
== lim(cos)(())
h
hh 0
5411
=
+
limh
sinhsin
0
52
42
1=
h
=
+
ffhf
h 222
0lim=
h
x=2
,
+=
+=+==
ab
abab
5
341 ,
lim()x
fxfab ==+
22
3:
=+= 22
33 cos
lim()lim(cos)xx
fxx ++ =+=
22
23
=+=+ asinbab2
lim()lim()xx
fxasinxb =+=
22
2
ffasinbab222
=+=+ :
x=2
,
lim()x
fxfab ==+
22
:5
=+=+= + lim()x
asinxbasinb
2
2
C M
Y K
192
10. Derivades
•
Com que i és finit, existeix
per tant, f és derivable en
Perquè f sigui derivable en les derivades late-
rals en han d’existir, coincidir i ser finites:
•
•
Com que no existeix
per tant, f no és derivable en
51.—Prenem logaritmes neperians a tots dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln f (x) =ln (tg2x)x=x ln (tg2x)
x=2
. f2
;
==
+
ff2
022
,
=== + 22120
limh
sinhh
=+
= + lim()()
h
sinhh 0
23411
=
++
= + limcos
h
hsin
h 0
22
342
1
=
+ +
+ ffhf
h 222
0lim=
h
=== 41
4000
limcos
h
hh
=+
== limcos
lim(cos)
hh
hh
hh 00
414141
=
+
= limh
sinhsin
h 0
42
142
1
=
+
ffhf
h 222
0lim=
h
2
x=2
,
x=2
. f2
;
==
+
ff2
02
=+
=== ++ lim(cos)
limcos
hh
hh
hh 00
414
1400
=+
= + lim(cos)()
h
hh 0
41411
=
+
+ limh
sinhsin
0
42
142
1=
h
=
+ +
+ ffhf
h 222
0lim=
h
—Derivem els dos membres:
=(x)ln (tg2x) +x (ln (tg2x))=
—Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva expres-sió:
52.a)f(x) =(x4ln x)=(x4)ln x +x4(ln x)=
b)f(x) =(x ln x x)=(x ln x)x=
=ln x
c)
d)f(x) =(exsin x)=(ex)sin x +ex(sin x)=
=exsin x +excos x =ex(sin x +cos x)
53.a)
b)
==122
22
2
12
2
sinxsinxsinxx
xx
x
()()
()
==1222
12
1sinxsinx
xx
== fxsinxsinx
xx ()22
12
=
==1
3
1
35 32 3
xxx
====12
12
23
13
23
23
153 xxx
=== fxx
xx ()
2 3
4 3
23
43
2
12
12
xx=
23
=++
=()()()()
()()
011101
1
2
122
xx
xx
=++
=()()()()
()
1111
12
xxxx
x
=+
= fxxx
()11
=+=+= xxxxxxxx
ln(ln)ln1
1
=+=+ 41
41343
xxxx
xx ln(ln)
=+ ()ln()cos
tgxtgxx
sinxxx 222
=+= fxfxtgxx
sinxx()()ln()
cos22
=+=+ ln()cos
ln()cos
tgxx
tgxxtgx
xsinxx
22
2 22
=+= ln()() tgxx
tgxtgxtgx
222
=+= ln()() tgxxtgx
tgx2
22 1
12
fxfxxtgx
()()(ln()) ==
192
10. D
eriv
ades
•
Com que i és finit, existeix
per tant, f és derivable en
Perquè f sigui derivable en les derivades late-
rals en han d’existir, coincidir i ser finites:
•
•
Com que no existeix
per tant, f no és derivable en
51. — Prenem logaritmes neperians a tots dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln f (x) = ln (tg2 x)x = x ln (tg2 x)
x =2
.f2
;
= =
+
f f2
0 22
,
= = =+
2 2 1 20
limh
sin hh
=+
=+
lim( ) ( )
h
sin hh0
2 3 4 1 1
=
+ +
=+
limcos
h
h sin
h0
22
3 42
1
=
++
+f
f h f
h22 2
0lim =
h
= = =41
4 0 00
limcos
h
hh
=+
= =limcos
lim(cos )
h h
hh
hh0 0
4 1 4 1 4 1
=
+
=limh
sin h sin
h0
42
1 42
1
=
+
ff h f
h22 2
0lim =
h
2
x =2
,
x =2
.f2
;
= =
+
f f2
02
=+
= = =+ +
lim( cos )
limcos
h h
hh
hh0 0
4 14
14 0 0
=+
=+
lim( cos ) ( )
h
hh0
4 1 4 1 1
=
+
+lim
h
sin h sin
0
42
1 42
1=
h
=
++
+f
f h f
h22 2
0lim =
h
— Derivem els dos membres:
= (x) ln (tg2 x) + x (ln (tg2 x)) =
— Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva expres-sió:
52. a) f (x) = (x4 ln x) = (x4) ln x + x4 (ln x) =
b) f (x) = (x ln x x) = (x ln x) x =
= ln x
c)
d) f (x) = (ex sin x) = (ex) sin x + ex (sin x) =
= ex sin x + ex cos x = ex (sin x + cos x)
53. a)
b)
= =12 2
2 2
2
12
2
sin x sin x sin xx
x x
x
( ) ( )
( )
= =12 2 2
12
1sin x sin xx x
= =f xsin x sin x
x x( )
2 2
12
=
= =1
3
1
353 23x x x
= = = =12
12
23
13
23
23
153x x x
= = =f xx
xx( )
23
43
23
43
2
12
12
xx =
23
=+ +
=( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 1 1 0 1
1
2
12 2
x x
x x
=+ +
=( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1 2
x x x x
x
=+
=f xxx
( )11
= + = + =x x x x x x xx
ln (ln ) ln1
1
= + = +41
4 13 4 3x x xx
x xln ( ln )
= +( ) ln( )cos
tg x tg xx
sin x xx2 2 2
= + =f x f x tg xx
sin x x( ) ( ) ln( )
cos2 2
= + = +ln( )cos
ln( )cos
tg xx
tg x xtg x
xsin x x
22
22 2
= + =ln( ) ( )tg xx
tg xtg x tg x2
22
= + =ln( ) ( )tg x xtg x
tg x22
21
1 2
f xf x x tg x
( )( ) ( ln( ))= =
CM
YK
193
10. Derivades
c) f (x) = (ln [ln (cos x)]) =
d)
54. a) Calculem les primeres derivades per tal d’intuirl’expressió general de la derivada enèsima:
f (x) = ((x a) 1) =
= (x a) 1 1 (x a) = (x a) 2
f (x) = (f (x)) = ( (x a) 2) =
f xx a
x a( ) ( )= =1 1
=+
2
12x
+=
+=
+=
1
1
4
2 2 1
4
2 12 2 2 2x
x
x x
x
x x( ) ( )
=+ +
+ + +
2 1 1
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
x x x
x x x x
( )
[( ) ( )][( ) ( ))]
+ +
+=
( )( ) ( )( )
( )
2 0 1 1 2 0
1
2 2
2 2
x x x x
x
=+
+
x
x x
2
2 2 2 2
1
1 1( ) ( )
+ +
+=
( ) ( ) ( )( )
( )
x x x x
x
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1
=+
+
1
1 1
1
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( )
x x
x
=
+
+=
1
11
1
1
12
2
2
2
2x
x
x
x
=+
=f x arcx
x( ) cos
2
2
1
1
= =1
ln(cos ) cos ln(cos )xsin x
xtg x
x
= =1 1
ln(cos ) cos(cos )
x xx
= =1
ln(cos )(ln (cos ))
xx
= =12
2
22
2
2 22
cos ln cos lnx sin x
sin x
x sin x
sx
xx iin x
= =12
1
2
2 2
2 2
(cos ln )
sin x
x sin x
x
x
x
= =12
1
2
2 2 2
22
cos ln
sin x
x sin x
x
x x
x
= ( 2) (x a) 2 1 (x a) = 2 (x a) 3
f (x) = (f (x)) = (2 (x a) 3) =
= 2 ( 3) (x a) 3 1 (x a) =
= 3 2 (x a) 4
f(4)(x) = (f (x)) = ( 3 2 (x a) 4) =
= 3 2 ( 4) (x a) 4 1 (x a) =
= 4 3 2 (x a) 5
Proposem com a expressió general per a la deriva-da enèsima:
f(n)(x) = ( 1)n n! (x a) (n + 1)
Demostrem, utilitzant el mètode d’inducció com-pleta, que aquesta expressió és correcta:
• És certa per a n = 1:
f (x) = ( 1)1 1! (x a) (1+1) = (x a) 2
• Suposem que és certa per a n = k (hipòtesi d’in-ducció):
f(k) = ( 1)k k! (x a) (k+1)
• Comprovem que si és certa per a n = k, és certatambé per a n = k + 1:
f(k+1) = (f(k)) = (( 1)k k! (x a) (k+1)) =
= ( 1)k k! ( (k + 1))(x a) (k+1) 1 (x a) =
= ( 1)k ( 1) (k + 1) k! (x a) (k+1+1) =
= ( 1)k+1 (k + 1)! (x a) ((k+1)+1)
b) Calculem les primeres derivades per a intuir l’ex-pressió general de la derivada enèsima:
f (x) = sin x
f (x) = (sin x) = cos x
f (x) = (f (x)) = (cos x) = sin x
f (x) = (f (x)) = ( sin x) = cos x
f(4)(x) = (f (x)) = ( cos x) = ( sin x) = sin x
A partir d’aquí, es repeteix la sèrie, ja quef(4) (x) = f (x):
f(5)(x) = cos x
f(6)(x) = sin x
f(7)(x) = cos x
f(8)(x) = sin x ...
Per tant, l’expressió general de la derivada enèsi-ma és:
55. Els punts en què la circumferència talla l’eix d’or-denades són aquells en els quals l’abscissa és 0. Fem x = 0 en l’equació de la circumferència, i tenim:
f x sin x nn( )( ) = +2
193
10. D
eriv
ades
c)f(x) =(ln [ln (cos x)])=
d)
54.a)Calculem les primeres derivades per tal d’intuirl’expressió general de la derivada enèsima:
f(x) =((x a)1)=
=(x a)11(x a)=(x a)2
f(x) =(f(x))=((x a)2)=
fxxa
xa ()() ==11
=+
2
12
x
+=
+=
+=
1
1
4
221
4
212222
x
x
xx
x
xx ()()
=++
+++
211
1111
22
2222
xxx
xxxx
()
[()()][()())]
++
+=
()()()()
()
201120
1
22
22
xxxx
x
=+
+
x
xx
2
2222
1
11 ()()
++
+=
()()()()
()
xxxx
x
2222
22
1111
1
=+
+
1
11
1
2222
22
()()
()
xx
x
=
+
+=
1
11
1
1
1 2
2
2
2
2x
x
x
x
=+
= fxarcx
x()cos
2
2
1
1
==1
ln(cos)cosln(cos) xsinx
xtgx
x
==11
ln(cos)cos(cos)
xxx
==1
ln(cos)(ln(cos))
xx
==12
2
22
2
22 2
coslncosln xsinx
sinx
xsinx
sx
xx
iinx
==12
1
2
22
22
(cosln)
sinx
xsinx
x
x
x
==12
1
2
222
22
cosln
sinx
xsinx
x
xx
x
=(2) (x a)21(x a)=2 (x a)3
f(x) =(f(x))=(2(x a)3)=
=2 (3) (x a)31(x a)=
=3 2 (x a)4
f(4)(x) =(f(x))=(32 (x a)4)=
=3 2 (4) (x a)41(x a)=
=4 3 2 (x a)5
Proposem com a expressió general per a la deriva-da enèsima:
f(n)(x) =(1)nn! (x a)(n +1)
Demostrem, utilitzant el mètode d’inducció com-pleta, que aquesta expressió és correcta:
•És certa per a n =1:
f(x) =(1)11! (x a)(1+1)=(x a)2
•Suposem que és certa per a n =k (hipòtesi d’in-ducció):
f(k)=(1)kk! (x a)(k+1)
•Comprovem que si és certa per a n =k, és certatambé per a n =k +1:
f(k+1)=(f(k))=((1)kk! (x a)(k+1))=
=(1)kk! ((k +1))(x a)(k+1)1(x a)=
=(1)k(1) (k +1) k! (x a)(k+1+1)=
=(1)k+1(k +1)! (x a)((k+1)+1)
b)Calculem les primeres derivades per a intuir l’ex-pressió general de la derivada enèsima:
f (x) =sin x
f(x)=(sin x)=cos x
f(x) =(f(x))=(cos x)=sin x
f(x) =(f(x))=(sin x)=cos x
f(4)(x) =(f(x))=(cos x)=(sin x) =sin x
A partir d’aquí, es repeteix la sèrie, ja quef(4)(x) =f (x):
f(5)(x) =cos x
f(6)(x) =sin x
f(7)(x) =cos x
f(8)(x) =sin x ...
Per tant, l’expressió general de la derivada enèsi-ma és:
55.Els punts en què la circumferència talla l’eix d’or-denades són aquells en els quals l’abscissa és 0. Fem x =0 en l’equació de la circumferència, i tenim:
fxsinxnn()
()=+2
C M
Y K
Per tant, el punt de tall amb la part positiva de l’eixd’ordenades és
Busquem l’equació de la recta tangent a la circum-ferència en aquest punt.
Coneixem, doncs, un punt de pas d’aquesta recta
D’altra banda, pel fet que la recta és tangent a la cir-cumferència en el puntel seu pendentcoincideix amb la derivada de la funció que ens dónala circumferència.
Utilitzem el mètode de derivació implícita per a tro-bar la derivada, considerant que y és funció de x.
—Derivem els dos membres de la igualtat:
(x2+y2+2 x 2 y 2)=0
2 x +2 y y+2 2 y=0
—Efectuem operacions i obtenim y:
(2 y 2) y=2 x 2
Si substituïm les coordenades del punt
trobem el valor del pendent per ax =0:
Així, doncs, l’equació de la recta és:
xy += 3330
yx += ()() 131
30
=+
+= + y(,)
()013
10
113
1
3
P=+ (,) 013
==+
yx
yxy
2222
11
(,), 013 +
(,). 013 +
(,). 013 +
=±
=±223
213
020220212
222++==
±= yyy
Gràficament, la circumferència és la de centre(1, 1)i radi 2:
56.a)Hem de trobar la diferència de volum existent
entre una esfera de radi i una altra
de radi 20 0,2 =19,8 cm.
Considerem la funció
r0=20 cm y h =0,2 cm.
Si aproximem l’increment de la funció per la dife-rencial de la funció, tenim:
V d V =V(r0) hi, com que
Substituint aquests valors:
V d V =4 202(0,2) =1005,3 cm3
Per tant, el volum és 1005, 3 cm3.
b)Considerem la funció i h =0,12.
Ja que aplicant l’aproximació de
l’increment, �f, per la diferencial, df, tenim:
f (x0+h) f (x0) +f(x0) h
que és una bona aproximació del valor exacte:
57.Activitat TIC.
58.Activitat TIC.
25125011985634 ,,... =
+= 2512251
2250125012 ,,, �
= fxx
(),1
2
fxxx (), == 025
=== Vrrrr ()43
43
34322
Vrr (), =43
3
402
20 =cm
O
Y
X
r = 2
C = (–1, 1)
10. Derivades
194
Per tant, el punt de tall amb la part positiva de l’eixd’ordenades és
Busquem l’equació de la recta tangent a la circum-ferència en aquest punt.
Coneixem, doncs, un punt de pas d’aquesta recta
D’altra banda, pel fet que la recta és tangent a la cir-cumferència en el punt el seu pendentcoincideix amb la derivada de la funció que ens dónala circumferència.
Utilitzem el mètode de derivació implícita per a tro-bar la derivada, considerant que y és funció de x.
— Derivem els dos membres de la igualtat:
(x2 + y2 + 2 x 2 y 2) = 0
2 x + 2 y y + 2 2 y = 0
— Efectuem operacions i obtenim y :
(2 y 2) y = 2 x 2
Si substituïm les coordenades del punt
trobem el valor del pendent per a x = 0:
Així, doncs, l’equació de la recta és:
x y+ =3 3 3 0
y x+ =( ) ( )1 31
30
=+
+=
+y
( , ) ( )0 1 3
1 0
1 1 3
1
3
P = +( , )0 1 3
= =+
yx
yxy
2 22 2
11
( , ),0 1 3+
( , ).0 1 3+
( , ).0 1 3+
=±
= ±2 2 3
21 3
0 2 0 2 2 02 12
22 2+ + = =
±=y y y
Gràficament, la circumferència és la de centre ( 1, 1)i radi 2:
56. a) Hem de trobar la diferència de volum existent
entre una esfera de radi i una altra
de radi 20 0,2 = 19,8 cm.
Considerem la funció
r0 = 20 cm y h = 0,2 cm.
Si aproximem l’increment de la funció per la dife-rencial de la funció, tenim:
V d V = V (r0) hi, com que
Substituint aquests valors:
V d V = 4 202 ( 0,2) = 1 005,3 cm3
Per tant, el volum és 1 005, 3 cm3.
b) Considerem la funció i h = 0,12.
Ja que aplicant l’aproximació de
l’increment, �f, per la diferencial, df, tenim:
f (x0 + h) f (x0) + f (x0) h
que és una bona aproximació del valor exacte:
57. Activitat TIC.
58. Activitat TIC.
25 12 5 011985 634, , ...=
+ =25 12 251
2 250 12 5 012, , ,�
=f xx
( ) ,1
2
f x x x( ) ,= =0 25
= = =V r r r r( )43
43
3 43 2 2
V r r( ) ,=43
3
402
20= cm
O
Y
X
r = 2
C = (–1, 1)
10. D
eriv
ades
194
CM
YK
195
11. Aplicacions de les derivades
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
• a)
La solució de la inequació és, doncs,
b)
La solució d’aquesta inequació és, per tant,
c)
Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa,la inequació no té solució.
• a) x2 + 1 0 , x2 1
Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, jaque x2 0; aleshores, no té solució.
b) (x 3)2 4, �x 3 � 2, 2 x 3 2,
1 x 5
La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5].
3 12
32
3 3 22
32
32
( ), ,
xx
x x x x
x x
> >
>3
2
112
, .+
2 38
5 12
34
2 3 4 5 18
34
2 3 20
x x x
x x x
x
<
<
,
( ),
xx xx x
x
+< + <
<
48
34
18 1 6
1 12
, ,
, x >1
12
, .4715
3 7 5 2 31
21
3 7 10 151 22
7
x xx
x xx
x
+
+ +
+
( ) ,
,
2223
214 44 3
15 47
+x
x x
x x
, ,
,4715
c) 2 (5 x2) > 3 x , 10 2 x2 > 3 x ,
2 x2 + 3 x 10 < 0
Com que es compleix que:
i el producte de dos nombres és negatiu si i només siaquests nombres tenen signe diferent, la inequació éscompleix si:
No té solució.
La solució de la inequació és, doncs,
d)
En aquest cas, 15 x2 4 x + 2 = 0 no té solucions reals,la qual cosa vol dir que sempre té el mateix signe (jaque és una funció contínua en qualsevol interval tan-cat). Així, com que en x = 0 l’expressió és 2 > 0, seràpositiva per a tot real x; aleshores, la inequació no tésolució.
• a) = + = + =
= +
f x x x x x
x
( ) ( ln ) ( ln ) ( )
(ln )
4 4
4
2 2
224
22 1 = +xx
x
2 15
32
2 2 1 5 3
4 2 15
2x xx x
x x
> >
>
, ( )
22 215 4 2 0, x x + <
+34
894
34
894
, .
x x
x x
+ < < +
++
> >
3 894
034
894
3 894
034
894
+
+
x
x
34
894
34
894
3 8
,
994
034
894
3 894
034
894
> > +
++
< <
x
x x
2 3 103 89
43 89
42x x x x+ = + +
+
Aplicacions de les derivades11
195
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
•a)
La solució de la inequació és, doncs,
b)
La solució d’aquesta inequació és, per tant,
c)
Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa,la inequació no té solució.
•a)x2+1 0 , x21
Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, jaque x20; aleshores, no té solució.
b)(x 3)24, �x 3�2, 2 x 3 2,
1 x 5
La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5].
312
32
3322
32
32
(),,
xx
xxxx
xx
>>
>3
2
112
,. +
238
512
34
234518
34
2320
xxx
xxx
x
<
<
,
(),
xxxxx
x
+<+<
<
48
34
1816
112
,,
,x>1
12
,.4715
375231
21
371015122
7
xxx
xxx
x
+
++
+
(),
,
2223
214443
1547
+x
xx
xx
,,
,4715
c)2 (5 x2) >3 x , 10 2 x2>3 x ,
2 x2+3 x 10 <0
Com que es compleix que:
i el producte de dos nombres és negatiu si i només siaquests nombres tenen signe diferent, la inequació éscompleix si:
No té solució.
La solució de la inequació és, doncs,
d)
En aquest cas, 15 x24 x +2 =0 no té solucions reals,la qual cosa vol dir que sempre té el mateix signe (jaque és una funció contínua en qualsevol interval tan-cat). Així, com que en x =0 l’expressió és 2 >0, seràpositiva per a tot real x; aleshores, la inequació no tésolució.
•a)=+=+=
=+
fxxxxx
x
()(ln)(ln)()
(ln)
44
4
22
224
221
=+ xx
x
215
32
22153
4215
2xx
xx
xx
>>
>
,()
22215420 ,xx+<
+34
894
34
894
,.
xx
xx
+<<+
++
>>
3894
034
894
3894
034
894
+
+
x
x
34
894
34
894
38
,
994
034
894
3894
034
894
>>+
++
<<
x
xx
2310389
4389
42
xxxx +=+++
Aplicacions de les derivades 11
C M
Y K
196
11. Aplicacions de les derivades
b)
c)
d)k(x) =(x2ex)=(x2)ex+x2(ex)=
=2 x ex+x2exln e =2 xex+x2ex=
=xex(2 +x)
e)
f)
1.DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ
1.Calcularem el valor de la derivada de la funció en elpunt i decidirem a partir del seu signe si la funció éscreixent o decreixent en aquest punt:
a)f(x) =(2 x3x2)=6 x22 x , f(2) =20 >0 f és estrictament creixent en x =2.
b)
és estrictament
creixent en x =5.
c)
és estrictament
decreixent en x =1.
==< ff ()131
221
32
02
3
=()= fxxx
x(), 2
3
22
32
3
==> ff ()()
55251
51
78
02
2
=+
=+
fxxx
xxx
x()
()()
(
2211
2111
1))
()
2
2
2
21
1
=
=xx
x
==()
=
=
ixx
e
xexe
ex
xx
x ()()
()2
1
2xxexe
e
xxe
ex
x
xx
x
x
x ==
=
22
12
12
2ex
====
=
mxtgxtgxxx
x
x
()()()()cos
c
22222
12
2
oos22
x
=()==
=
hxxx
x
()()
(
2212
2
99
12
9))()
()
1122
22
9
12
1
920
9
=
==
x
xx
x
x
==
=
gxx
x
xxxx
()
()()(
2
2
2222
4
44))
()
()()
()(
x
xxxx
x
x
x
22
22
22
4
2420
4
8
=
==2224)
2.Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció iveure quin signe hi té la derivada segona:
a)0 =f(x) =6 x22 x x =0 o
f(x) =(6 x22 x)=12 x 2
f(0) =12 0 2 =2 <0 f té un màxim relatiuen x =0.
té un mínim re-
latiu en .
b)
f té un màxim relatiu
en .
f té un mínim relatiu
en .
c)
f�(0) =0, aleshores amb això no en tenim prou pera decidir.
Per tant, estudiarem el creixement i el decreixe-ment de la funció f a partir d’una taula:
Per tant, x =0 no és un extrem relatiu de f, ales-hores f no té extrems relatius.
3.a)1.f(x) =(x33 x29 x +1)=
=3 x26 x 9
03
22300
622
2
3
2====
=
fxx
xxx
fx
x
()
()()
=
=
xxx
x
x
xx
322
3
32
3
323
22
22
122
()
99
242
1229
42
3
4
3
3
34
33
4
x
xx
xxx
x
x
=
=
()=
()
()
()
24
423
3
x
x
x=+ 12
+=
()> f() 12
4
20 3
x=12
=
()< f() 12
4
20 3
021
1
210121
2
2
2
==
===+
fxxx
x
xxxox
()()
22
221212122
= fxxxxxx
()()()()()
((())
()
x
x
=
=
14
1
22
3
x=13
==> ff13
1213
220
x=13
x(, 0)0
f(x)0
f(x)
(,) 02 3
196
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
b)
c)
d) k (x) = (x2ex) = (x2) ex + x2 (ex) =
= 2 x ex + x2 ex ln e = 2 xex + x2ex =
= xex (2 + x)
e)
f)
1. DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ
1. Calcularem el valor de la derivada de la funció en elpunt i decidirem a partir del seu signe si la funció éscreixent o decreixent en aquest punt:
a) f (x) = (2 x3 x2) = 6 x2 2 x , f (2) = 20 > 0 f és estrictament creixent en x = 2.
b)
és estrictament
creixent en x = 5.
c)
és estrictament
decreixent en x = 1.
= = <f f( )13 1
2 2 1
32
02
3
= ( ) =f x xx
x( ) ,2
3
2 2
32
3
= = >f f( )( )
55 2 5 1
5 1
78
02
2
=+
=+
f xxx
x x x
x( )
( ) ( )
(
2 211
2 1 1 1
1))
( )
2
2
2
2 1
1
=
=x x
x
= =( )
=
=
i xx
e
x e x e
ex
x x
x( )
( )
( )2
1
2 xxe x e
e
xx e
ex
x
x x
x
x
x= =
=
2 2
12
1 2
2 ex
= = = =
=
m x tg x tg x xx
x
x
( ) ( ) ( ) ( )cos
c
2 2 22 2
12
2
oos2 2x
= ( ) = =
=
h x x x
x
( ) ( )
(
2 212
2
9 9
12
9)) ( )
( )
112 2
2 2
9
12
1
92 0
9
=
= =
x
xx
x
x
= =
=
g xx
x
x x x x
( )
( ) ( ) (
2
2
2 2 2 2
4
4 4))
( )
( ) ( )
( ) (
x
x x x x
x
x
x
2 2
2 2
2 2
4
2 4 2 0
4
8
=
= =22 24)
2. Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció iveure quin signe hi té la derivada segona:
a) 0 = f (x) = 6 x2 2 x x = 0 o
f (x) = (6 x2 2 x) = 12 x 2
f (0) = 12 0 2 = 2 < 0 f té un màxim relatiuen x = 0.
té un mínim re-
latiu en .
b)
f té un màxim relatiu
en .
f té un mínim relatiu
en .
c)
f �(0) = 0, aleshores amb això no en tenim prou pera decidir.
Per tant, estudiarem el creixement i el decreixe-ment de la funció f a partir d’una taula:
Per tant, x = 0 no és un extrem relatiu de f, ales-hores f no té extrems relatius.
3. a) 1. f (x) = (x3 3 x2 9 x + 1) =
= 3 x2 6 x 9
03
2 23 0 0
6 2 2
2
3
2= = = =
=
f xx
xx x
f x
x
( )
( )( )
=
=
x xx
x
x
x x
3 22
3
32
3
3 23
2 2
2 2
12 2
( )
99
24 2
12 2 9
4 2
3
4
3
3
3 4
33
4
x
xx
x x x
x
x
=
=
( )=
( )
( )
( )
24
4 2 33
x
x
x = +1 2
+ =
( )>f ( )1 2
4
20
3
x = 1 2
=
( )<f ( )1 2
4
20
3
02 1
1
2 1 0 1 2 1
2
2
2
= =
= = = +
f xx x
x
x x x o x
( )( )
22
2 2 1 2 1 2 12 2
=f xx x x x x
( )( ) ( ) ( ) ( )
((( ) )
( )
x
x
=
=
14
1
2 2
3
x =13
= = >f f13
1213
2 2 0
x =13
x ( , 0) 0
f (x) 0
f(x)
( , )0 23
CM
YK
197
11. Aplicacions de les derivades
Els zeros de f� són:
3 x2 6 x 9 = 0 x = 1 o x = 3
Com que f i f� són polinòmiques, no tenenpunts de discontinuïtat.
2. Els intervals que hem de considerar són ( , 1), ( 1, 3) i (3, + ).
3. Elaborem una taula en què indiquem la mo-notonia de f a partir del signe de f�:
Per tant, f és estrictament creixent en ( , 1) i en (3, + ), i estrictament decreixenten ( 1, 3).
b) 1.
La funció f� no té zeros, ja que el numeradormai no s’anul.la.
Els punts de discontinuïtat de f� són els zerosdel denominador:
2. Hem de considerar els intervals
i .
3. Elaborem la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en
i en .
c) 1.
Els zeros de f� son:
Els punts de discontinuïtat de f� són aquells enels quals s’anul.la el denominador:
x x2 1 0 1= = ±
x
xx
2 10 0= =
= ( ) = =f x xx
x
x
x( ) 2
2 21
2
2 1 1
+12
,,12
+12
,
,12
( )2 1 012
2x x+ = =
=+
=
=+
f xxx
x x
( )
( ) ( )
(
12 1
1 2 1 1 2
22 1
3
2 12 2x x+=
+) ( )
2. Els intervals determinats pels zeros i els puntsde discontinuïtat de f� són:
( , 1) , ( 1, 0) , (0, 1) i (1, + )
3. Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament decreixent en ( , 1) i ( 1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, + ).
d) 1. f (x) = (e x2) = e x2 ( 2 x) = 2 xe x2
Els zeros de f� són: 2 xe x2= 0 x = 0
f� no té punts de discontinïtat, ja que és pro-ducte de dues funcions contínues en �.
2. Els intervals que hem de considerar són ( , 0) i (0, + ).
3. Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en ( , 0) i es-trictament decreixent en (0, + ).
2. DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ
4. Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quinsigne té:
a) f(x) = x3 x2 , f (x) = 3 x2 2 x ,
f (x) = 6 x 2
f ( 3) = 6 ( 3) 2 < 0 f és còncava en x = 3.
b) f(x) = 2 x3 3 x2 , f (x) = 6 x2 6 x ,
f (x) = 12 x 6
f (0) = 12 0 6 < 0 f és còncava en x = 0.
c)
és convexa en x = 5.= >f f( )( )
54
5 103
f xxx
f xx x
x
f x
( ) , ( )( )
,
( )
=+
=
=
2 2
2
11
2 1
14
(( )x 1 3
x ( , 1) 1 ( 1, 3) 3 (3, + )
f (x) + 0 0 +
f(x)
x
f (x) + � +
f(x) �
+12
,12
,12
x ( , 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )
f (x) � 0 + � +
f(x)
x ( , 0) 0 (0, + )
f (x) + 0
f(x)
197
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Els zeros de f�són:
3 x26 x 9 =0 x =1 o x =3
Com que f i f�són polinòmiques, no tenenpunts de discontinuïtat.
2.Els intervals que hem de considerar són (, 1), (1, 3) i (3, +).
3.Elaborem una taula en què indiquem la mo-notonia de f a partir del signe de f�:
Per tant, f és estrictament creixent en (, 1) i en (3, +), i estrictament decreixenten (1, 3).
b)1.
La funció f�no té zeros, ja que el numeradormai no s’anul.la.
Els punts de discontinuïtat de f�són els zerosdel denominador:
2.Hem de considerar els intervals
i .
3.Elaborem la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en
i en .
c)1.
Els zeros de f�son:
Els punts de discontinuïtat de f�són aquells enels quals s’anul.la el denominador:
xx2
101 ==±
x
xx
21
00 ==
=()== fxxx
x
x
x()
2
221
2
211
+12
, ,12
+12
,
,12
() 21012
2xx +==
=+
=
=+
fxxx
xx
()
()()
(
121
12112
221
3
2122
xx +=
+ )()
2.Els intervals determinats pels zeros i els puntsde discontinuïtat de f�són:
(, 1) , (1, 0) , (0, 1) i (1, +)
3.Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament decreixent en (, 1) i (1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, +).
d)1.f(x) =(ex2)=ex2
(2 x) =2 xex2
Els zeros de f�són: 2 xex2=0 x =0
f�no té punts de discontinïtat, ja que és pro-ducte de dues funcions contínues en �.
2.Els intervals que hem de considerar són (, 0) i (0, +).
3.Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en (, 0)i es-trictament decreixent en (0, +).
2.DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ
4.Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quinsigne té:
a)f(x) =x3x2, f(x) =3 x22 x ,
f(x) =6 x 2
f(3) =6 (3) 2 <0 f és còncava en x =3.
b)f(x) =2 x33 x2, f(x) =6 x26 x ,
f(x) =12 x 6
f(0) =12 0 6 <0 f és còncava en x =0.
c)
és convexa en x =5. => ff ()()
54
510 3
fxxx
fxxx
x
fx
(),()()
,
()
=+
=
=
22
2
11
21
14
(() x13
x(, 1)1(1, 3)3(3, +)
f(x)+00+
f(x)
x
f(x)+�+
f(x)�
+12
,12
,12
x(, 1)1(1, 0)0(0, 1)1(1, +)
f(x)�0+�+
f(x)
x(, 0)0(0, +)
f(x)+0
f(x)
C M
Y K
198
11. Aplicacions de les derivades
d)
és còncava en x =3.
e)
és còncava
en x =1.
f)
=4 <0 f és còncava en
5.Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estu-diar el signe de la derivada tercera (o de la primera de-rivada que no s’anul.li a partir de la tercera) en aquestspunts:
a)•
•té un punt d’in-
flexió en .
b)•
•té un punt
d’inflexió en .
c)•no té solució; aleshores, f
no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.
d)•no té solució; alesho-
res, f no té punts d’inflexió.
01
12
3==
()fx
x
()
04
13 == fx
x()
()
x=12
==> fxff (), 1212
120
012612
=== fxxx ()
x=13
==> fxff (), 613
60
06213
=== fxxx ()
x=3
4.
fxtgxfxx
fxsinx
x(),()
cos,()
cos===
12 23
== fsin 3
42
3434
2
22
22
3cos
= 3
==< fxf ()()
31241
421
214
04
33
fxxfxx
x
fxxx
(),(),
()
==
=
23
22
324
4
32
3
4
(() 233
x
=
()< ff ()3
1
31
02
3
fxxfxx
x
fx
x
(),(),
()
==
=
()
2
2
23
11
1
1
e)•
x =0 o x =2, però x =2 no és del domini def; aleshores, només hem de considerar x =0.
•
té un punt d’inflexió
en x =0.
f)•
•
f té un punt d’inflexió en x =k, k �.
6.a)1.f(x) =x3x28 x , f(x) =3 x22 x 8,
f(x) =6 x 2
Els zeros de f�són: 0 =6 x 2
f� no té punts de discontinuïtat, ja que és po-linòmica.
2.Els intervals definits pels zeros (i els punts de
discontinuitat) de f�són i .
3.Elaborem una taula en què indiquem la curva-tura de f a partir del signe de f�:
Per tant, la funció és còncava en i
convexa en .
b)1.g(x) =x33 x +2 , g(x) =3 x23 ,
g(x) =6 x
Els zeros de g�són: 0 =6 x x =0
gés polinòmica; aleshores, no té punts de dis-continuïtat.
2.Els intervals que hem de considerar són (, 0) i (0, +).
13
,+
,13
13
,+ ,13
x=13
=+
=+
fxsinx
x
fksink
()cos
()()
co
24
24
2
4
2
ss()4
201
20k
=+
=>
020 3 ==== fxsinx
xsinxxk
k
()cos
,
. �
=
()< ff ()0
96
820 5
=
()fx
xx
x
(),312096
82
63
35
0324
42
03244
33
4==
()= fx
xx
x
xx ()
x
f(x)0+
f(x)
13
,+13
,13
� �
198
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esd)
és còncava en x = 3.
e)
és còncava
en x = 1.
f )
= 4 < 0 f és còncava en
5. Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estu-diar el signe de la derivada tercera (o de la primera de-rivada que no s’anul.li a partir de la tercera) en aquestspunts:
a) •
• té un punt d’in-
flexió en .
b) •
• té un punt
d’inflexió en .
c) • no té solució; aleshores, f
no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.
d) • no té solució; alesho-
res, f no té punts d’inflexió.
01
123
= =
( )f x
x
( )
04
1 3= =f x
x( )
( )
x =12
= = >f x f f( ) ,1212
12 0
0 12 612
= = =f x x x( )
x =13
= = >f x f f( ) ,613
6 0
0 6 213
= = =f x x x( )
x =3
4.
f x tg x f xx
f xsin x
x( ) , ( )
cos, ( )
cos= = =
12
2 3
= =fsin3
42
3434
2
22
22
3cos=
3
= = <f x f( )( )
3 1 24 1
4 2 1
214
04
3 3
f x x f xx
x
f xx x
( ) , ( ) ,
( )
= =
=
23
2 2
3 24
4
32
3
4
(( )2 3 3x
=
( )<f f( )3
1
3 1
02
3
f x x f xx
x
f x
x
( ) , ( ) ,
( )
= =
=
( )
2
2
23
11
1
1
e) •
x = 0 o x = 2, però x = 2 no és del domini def; aleshores, només hem de considerar x = 0.
•
té un punt d’inflexió
en x = 0.
f) •
•
f té un punt d’inflexió en x = k , k �.
6. a) 1. f(x) = x3 x2 8 x , f (x) = 3 x2 2 x 8,
f (x) = 6 x 2
Els zeros de f� són: 0 = 6 x 2
f � no té punts de discontinuïtat, ja que és po-linòmica.
2. Els intervals definits pels zeros (i els punts de
discontinuitat) de f� són i .
3. Elaborem una taula en què indiquem la curva-tura de f a partir del signe de f�:
Per tant, la funció és còncava en i
convexa en .
b) 1. g(x) = x3 3 x + 2 , g (x) = 3 x2 3 ,
g (x) = 6 x
Els zeros de g� són: 0 = 6 x x = 0
g és polinòmica; aleshores, no té punts de dis-continuïtat.
2. Els intervals que hem de considerar són ( , 0) i (0, + ).
13
, +
,13
13
, +,13
x =13
=+
=+
f xsin x
x
f ksin k
( )cos
( )( )
co
2 4
2 4
2
4
2
ss ( )4
2 01
2 0k
=+
= >
0 2 03
= = = =f xsin x
xsin x x k
k
( )cos
,
.�
=
( )<f f( )0
96
8 20
5
=
( )f x
x x
x
( ) ,3 120 96
8 2
6 3
35
03 24
4 2
0 3 244
33
4= =
( )=f x
x x
x
x x( )
x
f (x) 0 +
f(x)
13
, +13
,13
��
CM
YK
199
11. Aplicacions de les derivades
3. La taula de curvatura de g és:
Per tant, g és còncava en ( , 0) i convexa en(0, + ).
c) 1.
h� no té zeros, ja que el numerador mai no s’a-nul.la.
Els punts de discontinuïtat de h� són els zerosdel denominador
(1 x)3 = 0 x = 1
h xx
x
h xx x
x
h xx
( )
( )( )
( )( )
=
=
=
2
2
2
3
12
12
1
2. Els intervals que hem de considerar són ( , 1) i (1, + ).
3. Elaborem la taula de curvatura de h:
Per tant, h és convexa en ( , 1) i còncava en(1, + ).
d) 1. i(x) = 2 sin x , i (x) = 2 cos x ,
i (x) = 2 sin x
Els zeros de i� són:
2 sin x = 0 x = k , k �
i� no té discontinuïtat, ja que sin x és una fun-ció contínua en �.
2. Hem de considerar els intervals:
(k , (k + 1) ), k �
x ( , 0) 0 (0, + )
g (x) 0 +
g(x) �� x ( , 1) 1 (1, + )
h (x) + �h(x) �� �
3. Elaborem la taula de curvatura de i:
Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k 1) , 2 k ) i còncava en els de la forma (2 k , (2 k + 1) ), en què k �.
x ... ((2 k 1) , 2 k ) 2 k (2 k , (2 k + 1) ) (2 k + 1) ...
i (x) + 0 0
i(x)
� �
e)
Per tant, , per la qual cosa j� i i� tenen
el mateix signe. Així, doncs, les funcions j i i tenenels mateixos intervals de concavitat i convexitat.
f) 1. k(x) = xex , k (x) = ex (x + 1) ,
k (x) = ex (x + 2)
Els zeros de k� són: 0 = ex (x + 2) x = 2
k� és contínua; aleshores, no té punts de dis-continuïtat
2. Hem de considerar els intervals ( , 2) i ( 2, + ).
3. Elaborem la taula de curvatura de k:
Així, doncs, k és còncava en ( , 2) i convexaen ( 2, + ).
=j x i x( ) ( )12
j x x sin x i x( ) cos ( )= = =2
12
x ( , 2) 2 ( 2, + )
k (x) 0 +
k(x) ��
3. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS
7. a) 1. Domini: D(f) = �, ja que f és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
f(0) = 03 02 8 0 = 0
3. Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats pelfet que f és polinòmica, i veiem quin és el seusigne en cadascun:
0 8
1 332
3 37
1 332
2 37
3 2= =
=+
=
= =
f x x x x
x
x i
( )
,
, xx = 0
x ( , 2,37) 2,37 ( 2,37, 0)
f(x) 0 +
x 0 (0, 3,37) 3,37 (3,37, + )
f(x) 0 0 +
199
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
3.La taula de curvatura de g és:
Per tant, g és còncava en (, 0) i convexa en(0, +).
c)1.
h�no té zeros, ja que el numerador mai no s’a-nul.la.
Els punts de discontinuïtat de h�són els zerosdel denominador
(1 x)3=0 x =1
hxx
x
hxxx
x
hxx
()
()()
()()
=
=
=
2
2
2
3
12
12
1
2.Els intervals que hem de considerar són (, 1) i (1, +).
3.Elaborem la taula de curvatura de h:
Per tant, h és convexa en (, 1) i còncava en(1, +).
d)1.i(x) =2 sin x , i(x) =2 cos x ,
i(x) =2 sin x
Els zeros de i�són:
2 sin x =0 x =k, k �
i�no té discontinuïtat, ja que sin x és una fun-ció contínua en �.
2.Hem de considerar els intervals:
(k, (k +1) ), k �
x(, 0)0(0, +)
g(x)0+
g(x)� �x(, 1)1(1, +)
h(x)+�h(x)� ��
3.Elaborem la taula de curvatura de i:
Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k 1) , 2 k) i còncava en els de la forma (2 k, (2 k +1) ), en què k �.
x...((2 k 1), 2 k)2 k(2 k, (2 k +1))(2 k +1)...
i(x)+00
i(x)��
e)
Per tant, , per la qual cosa j�i i�tenen
el mateix signe. Així, doncs, les funcions j i i tenenels mateixos intervals de concavitat i convexitat.
f)1.k(x) =xex, k(x) =ex(x +1) ,
k(x) =ex(x +2)
Els zeros de k�són: 0 =ex(x +2) x =2
k�és contínua; aleshores, no té punts de dis-continuïtat
2.Hem de considerar els intervals (, 2) i (2, +).
3.Elaborem la taula de curvatura de k:
Així, doncs, k és còncava en (, 2) i convexaen (2, +).
= jxix ()()12
jxxsinxix ()cos() ===2
12
x(, 2)2(2, +)
k(x)0+
k(x)� �
3.REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS
7.a)1.Domini: D(f) =�, ja que f és polinòmica.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
f(0) =03028 0 =0
3.Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats pelfet que f és polinòmica, i veiem quin és el seusigne en cadascun:
08
1332
337
1332
237
32==
=+
=
==
fxxxx
x
xi
()
,
,xx=0
x(, 2,37)2,37(2,37, 0)
f(x)0+
x0(0, 3,37)3,37(3,37, +)
f(x)00+
C M
Y K
200
11. Aplicacions de les derivades
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
f(x) f(x) f(x)
5.Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes ja que és una funció poli-nòmica no constant ni lineal.
f té branques infinites en +i , ja que:
lim(),lim()xx
fxfx+
=+=
6.Monotonia i extrems relatius:
Calculem f�i n’estudiem el signe en els inter-vals determinats pels seus zeros i punts de dis-continuïtat:
f(x) =3 x22 x 8
f(x) =0 x =2 i
Com que f�no té discontinuïtats pel fet que és polinòmica, considerem la taula:
x=43
Així, f és estrictament creixent en
i en (2, +), i és estrictament decreixent en
7.Curvatura i punts d’inflexió:
f(x) =6 x 2
f(x) =0
Com que f�no té discontinuïtats pel fet que éspolinòmica, els intervals que hem de considerarsón els que defineixen els seus zeros, és a dir:
Aleshores, f és còncava en l’interval
és convexa en l’interval i té un punt
d’inflexió en .
Amb aquesta informació, en podem elaborar lagràfica:
x=13
13
,+
,,13
x=13
43
2,.
,43
b)1.Domini:D(g) =�,ja que g és polinòmica.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =g(x) =x33 x +2
x =1 i x =2
—Amb l’eix OY:
g(0) =033 0 +2 =2
3.Signe: com que g és polinòmica, consideremels intervals donats pels zeros de g i hi calculemels signes:
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
g(x) g(x) g(x)
5.Asímptotes i branques infinites:
g no té asímptotes pel fet que és polinòmica degrau major que 1.
g té branques infinites en +i , ja que:
6.Monotonia i extrems relatius:
Calculem g�i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que no té discon-tinuïtats:
g(x) =3 x23
g(x) =0 x =1 i x =1
lim(),lim()xx
gxgx+
=+=
x2(2, +)
f(x)+00+
f(x)Mm
43
2, 43
,43
f(x) = x3 – x2 – 8xY
X
5
–55
–5
–10
x
f(x)0+
13
,+ 13
,13
� �x(, 2)2(2, 1)1(1, +)
g(x)0+0+
200
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
f( x) f(x) f( x)
5. Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes ja que és una funció poli-nòmica no constant ni lineal.
f té branques infinites en + i , ja que:
lim ( ) , lim ( )x x
f x f x+
= + =
6. Monotonia i extrems relatius:
Calculem f� i n’estudiem el signe en els inter-vals determinats pels seus zeros i punts de dis-continuïtat:
f (x) = 3 x2 2 x 8
f (x) = 0 x = 2 i
Com que f� no té discontinuïtats pel fet que és polinòmica, considerem la taula:
x =43
Així, f és estrictament creixent en
i en (2, + ), i és estrictament decreixent en
7. Curvatura i punts d’inflexió:
f (x) = 6 x 2
f (x) = 0
Com que f� no té discontinuïtats pel fet que éspolinòmica, els intervals que hem de considerarsón els que defineixen els seus zeros, és a dir:
Aleshores, f és còncava en l’interval
és convexa en l’interval i té un punt
d’inflexió en .
Amb aquesta informació, en podem elaborar lagràfica:
x =13
13
, +
, ,13
x =13
43
2, .
,43
b) 1. Domini: D(g) = �, ja que g és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = g(x) = x3 3 x + 2
x = 1 i x = 2
— Amb l’eix OY:
g(0) = 03 3 0 + 2 = 2
3. Signe: com que g és polinòmica, consideremels intervals donats pels zeros de g i hi calculemels signes:
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
g( x) g(x) g( x)
5. Asímptotes i branques infinites:
g no té asímptotes pel fet que és polinòmica degrau major que 1.
g té branques infinites en + i , ja que:
6. Monotonia i extrems relatius:
Calculem g� i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que no té discon-tinuïtats:
g (x) = 3 x2 3
g (x) = 0 x = 1 i x = 1
lim ( ) , lim ( )x x
g x g x+
= + =
x 2 (2, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
43
2,43
,43
f(x) = x3 – x2 – 8xY
X
5
–5 5
–5
–10
x
f (x) 0 +
13
, +13
,13
��
x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )
g(x) 0 + 0 +
CM
YK
201
11. Aplicacions de les derivades
Així, considerem la taula següent:
Per tant, g és estrictament creixent en ( , 1) i (1, + ), estrictament decreixent en( 1, 1) i presenta un màxim en x = 1 i un mí-nim en x = 1.
7. Curvatura i punts d’inflexió:
Calculem g� i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que, pel fet queés polinòmica, no té discontinuïtats:
g (x) = 6 x g (x) = 0 x = 0
Així, en resulta la taula següent:
Per tant, g és còncava en ( , 0), convexa en(0, + ) i en x = 0 presenta un punt d’inflexió.
Així, podem respresentar la gràfica de g:
c) 1. Domini:
D(h) = {x � � 1 x 0} = � {1}
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
h(x) = 0 x2 = 0 x = 0
— Amb l’eix OY:
h( )00
1 00
2
= =
g(x) = x3 – 3x + 2
Y
–1 X–3
–1
1
2
3
4
1 2 3
3. Signe: Considerem els intervals determinatspel seu únic zero, x = 0, i el seu únic punt dediscontinuïtat, x = 1.
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
h( x) h(x) h( x)
5. Asímptotes i branques infinites:
• la recta x = 1 és una asímptota vertical, ja que:
• h no té asímptotes horitzontals, ja que:
• A.O:
Així, y = x 1 és asímptota oblíqua de h, pertots dos costats.
6. Monotonia i extrems relatius:
Calculem h� i considerem els intervals donatspels seus zeros i les seves discontinuïtats:
h (x) = 0 x = 0 i x = 2
h té una discontinuïtat en x = 1.
Així, considerem la taula següent:
= =
= =
h xx
x
x x x
x
x
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1
2 1 1
1
2 x
x
2
21( )
mh x
xx
x xb
x x
x
= = =
=
± ±
±
lim( )
lim
lim
2
21
(( ( ) ( ))
lim
lim
h x x
xx
xx
x
=
= + =
=
±
2
1
±
±
+=
= =lim
x x xx
xxx
2 2
1
11
lim ( ) , lim ( )x x
h x h x+
= = +
lim ( )x
h x =1
x ( , 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + )
g (x) + 0 0 +
g(x) M mx ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )
h(x) + 0 + �
x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )
h (x) 0 + � + 0
h(x) m � M
x ( , 0) 0 (0, + )
g (x) 0 +
g(x) PI� �
201
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Així, considerem la taula següent:
Per tant, g és estrictament creixent en (, 1) i (1, +), estrictament decreixent en(1, 1) i presenta un màxim en x =1 i un mí-nim en x =1.
7.Curvatura i punts d’inflexió:
Calculem g�i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que, pel fet queés polinòmica, no té discontinuïtats:
g(x) =6 x g(x) =0 x =0
Així, en resulta la taula següent:
Per tant, g és còncava en (, 0), convexa en(0, +) i en x =0 presenta un punt d’inflexió.
Així, podem respresentar la gràfica de g:
c)1.Domini:
D(h) ={x ��1 x 0} =�{1}
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
h(x) =0 x2=0 x =0
—Amb l’eix OY:
h()00
100
2
==
g(x) = x3 – 3x + 2
Y
–1X –3
–1
1
2
3
4
123
3.Signe: Considerem els intervals determinatspel seu únic zero, x =0, i el seu únic punt dediscontinuïtat, x =1.
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
h(x) h(x) h(x)
5.Asímptotes i branques infinites:
•la recta x =1 és una asímptota vertical, ja que:
•h no té asímptotes horitzontals, ja que:
•A.O:
Així, y =x 1 és asímptota oblíqua de h, pertots dos costats.
6.Monotonia i extrems relatius:
Calculem h�i considerem els intervals donatspels seus zeros i les seves discontinuïtats:
h(x) =0 x =0 i x =2
hté una discontinuïtat en x =1.
Així, considerem la taula següent:
==
==
hxx
x
xxx
x
x
()
()()
()
2
2
2
1
211
1
2x
x
2
21()
mhx
xx
xxb
xx
x
===
=
±±
±
lim()
lim
lim
2
21
((()())
lim
lim
hxx
xx
xx
x
=
=+=
=
±
2
1
±
±
+=
== lim
xxxx
xx x
22
1
11
lim(),lim()xx
hxhx+
==+
lim()x
hx=1
x(, 1)1(1, 1)1(1, +)
g(x)+00+
g(x)Mmx(, 0)0(0, 1)1(1, +)
h(x)+0+�
x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)
h(x)0+�+0
h(x)m�M
x(, 0)0(0, +)
g(x)0+
g(x)PI
��
C M
Y K
202
11. Aplicacions de les derivades
4.TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES
8.Vegem si f(x) =x3x2satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]:
•f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinò-mica.
•f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica.
•f(0) =f(1): f(0) =0302=0 =1312=f(1); alesho-res, també es verifica.
Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1, 2) i estrictament decreixent en (, 0)i (2, +). A més, presenta en x =0 un mínimrelatiu i en x =2 un màxim relatiu.
7.Curvatura i punts d’inflexió:
Calculem h�, els seus zeros i les seves disconti-nuïtats i a partir d’aquests punts determinemels intervals en què estudiem el signe de h�.
Com que h�no té zeros i té una discontinuïtaten x =1, en resulten els intervals següents:
Així, h és convexa en (, 1) i còncava en (1, +).
Per tant, la representació gràfica de h és:
==
=
hxxx
x
xxxx
()()
()()()(
2
1
221221
2
2
22
=
=
x
x
x
)()
()
()
1
1
2
1
4
3
x(, 1)1(1, +)
h(x)+�
h(x)�� �
h(x) =
X 5
Yx2
1 – x
10
5
–5
–5
Per tant, f verifica la hipòtesi del teorema de Rolle;aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema:
c (0, 1) �f(c) =0
Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0la derivada:
f(x) =3 x22 x , f(x) =0 x =0 o
Com que 0(0, 1), el valor de c és
—Atès que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de La-grange, ja que són les dues primeres del teoremade Rolle.
Per tant, se satisfarà la tesi:
Observem que és la mateixa condició que la obtin-guda en el teorema de Rolle; aleshores, ja hem
calculat el valor de c:
(Això es deu al fet que el teorema de Rolle és el casparticular del teorema de Lagrange en què es veri-fica que f(a) =f(b).)
9.a)
Per tal d’eliminar la indeterminació, apliquem laregla de L’Hôpital:
b)
Efectuem la resta:
Apliquem la regla de L’Hôpital
Apliquem altre cop la regla de L’Hôpital
=2201200
32
+=
limcos()cos()sin()
six
xxxxx
x
++
1
2
2
1111
1nn()cos()cos()lnsin() x
xx
xxxx ++
=
11
11
11
limsin()cos()
sin()lncx
xxx
xxx
+
+1
111
11oos() x
=+
+=
1
01100
00
limlnsin()
limsin()
xx
xxx
xx=
11
11
1=
lnlnsin()
xxx1
00
limlnsin() x
xxx
=1
11
limlimx
x
xx
xex
ex
ex=
+
0
3
40
33
4
333
4
cos
cos
sin
eexx 4
44
3040
34
+=
=+
+=
sin
limx
x
x
ex
ex==
0
3
4
3
4
1111
00
cos
cos
c=23
.
===
c
fcff
(,)
()()()
01
1010
0010
0
c=23
.
x=23
202
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es 4. TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES
8. Vegem si f(x) = x3 x2 satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]:
• f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinò-mica.
• f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica.
• f(0) = f(1): f(0) = 03 02 = 0 = 13 12 = f(1); alesho-res, també es verifica.
Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1, 2) i estrictament decreixent en ( , 0)i (2, + ). A més, presenta en x = 0 un mínimrelatiu i en x = 2 un màxim relatiu.
7. Curvatura i punts d’inflexió:
Calculem h�, els seus zeros i les seves disconti-nuïtats i a partir d’aquests punts determinemels intervals en què estudiem el signe de h�.
Com que h� no té zeros i té una discontinuïtaten x = 1, en resulten els intervals següents:
Així, h és convexa en ( , 1) i còncava en (1, + ).
Per tant, la representació gràfica de h és:
= =
=
h xx x
x
x x x x
( )( )
( )( ) ( ) (
2
1
2 2 1 2 2 1
2
2
2 2
=
=
x
x
x
)( )
( )
( )
1
1
2
1
4
3
x ( , 1) 1 (1, + )
h (x) + �
h(x) � ��
h(x) =
X5
Y x2
1 – x
10
5
–5
–5
Per tant, f verifica la hipòtesi del teorema de Rolle;aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema:
c (0, 1) � f (c) = 0
Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0la derivada:
f (x) = 3 x2 2 x , f (x) = 0 x = 0 o
Com que 0 (0, 1), el valor de c és
— Atès que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de La-grange, ja que són les dues primeres del teoremade Rolle.
Per tant, se satisfarà la tesi:
Observem que és la mateixa condició que la obtin-guda en el teorema de Rolle; aleshores, ja hem
calculat el valor de c:
(Això es deu al fet que el teorema de Rolle és el casparticular del teorema de Lagrange en què es veri-fica que f(a) = f(b).)
9. a)
Per tal d’eliminar la indeterminació, apliquem laregla de L’Hôpital:
b)
Efectuem la resta:
Apliquem la regla de L’Hôpital
Apliquem altre cop la regla de L’Hôpital
=22 0 12 0 0
32
+=
limcos( ) cos( ) sin( )
six
x x x xx
x
+ +
1
2
2
1 1 11
1nn( ) cos( ) cos( ) ln sin( )x
xx
xx x x+ +
=
11
11
1 1
limsin( ) cos( )
sin( ) ln cx
x xx
xx x
+
+1
1 11
11 oos( )x
=+
+=
1
0 1 10 0
00
limln sin( )
limsin( )
x x
xx x
x x=
1 1
11
1=
lnln sin( )
xx x 1
00
limln sin( )x
xx x
=1
11
lim limx
x
x x
xe x
e x
e x=
+
0
3
4 0
33
4
3 3 3
4
cos
cos
sin
ee xx4 4 4
3 04 0
34
+=
=+
+=
sin
limx
x
x
e x
e x= =
0
3
4
3
4
1 11 1
00
cos
cos
c =23
.
= = =
c
f cf f
( , )
( )( ) ( )
0 1
1 01 0
0 01 0
0
c =23
.
x =23
CM
YK
203
11. Aplicacions de les derivades
Apliquem la regla de L’Hôpital
Per tant
g)
Per a resoldre la indeterminació utilitzant L’Hôpi-tal, prenem els logaritmes:
h)
Prenem el logaritme de la indeterminació:
Apliquem la regla de L’Hôpital
Per tant
5. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS
10. 1. Volem optimitzar la funció que ens dóna el pro-ducte d’un dels nombres pel cub de l’altre.
Si anomenem x el primer nombre i y el segon,l’expressió analítica d’aquesta funció és f(x, y) == x � y3.
2. Per tal de relacionar les dues variables, imposemque els nombres han de sumar 48 i aïllem una va-riable en funció de l’altra:
x + y = 48 x = 48 y
limx
xxe=
2
31
4 38
8
2
lim lim limx x x
x
x
xxx x
= = =2
3
2
2 2 2
8 38
2
3
23
2
38
=2
1limx xx
x
x
x2
3
2
3
4 8
8=ln lim
ln
xx2 4
00
=
ln lim limx
x
x
x=
2
31
4
8
2
=2
31
4
8
2
lnx x
limx
xx=
2
31
4
81
2
ln lim ( ) lim ( )x
x
x
xx x+ = +21
21
2 2 =
= + =+
lim ln( ) limln(
x xxx
x12
222 ))
lim lim
xx
x x
xx x
=
=+
=+
=
2
21
2
20
2
2
lim ( )x
xx + =21
02
limx
x
xe e= =
0
111
1
limx
x =0
11
11
1x
== [ ] = =lim ln ln( ) limln( )
x xxx
xx0 0
11 1
1 00
c)
Com que la indeterminació és del tipus , apli-
quem directament la regla de L’Hôpital:
d)
Per resoldre la indeterminació prenem el logarit-me:
Reescrivim la indeterminació per obtenir-neuna del tipus:
Apliquem la regla de L’Hôpital:
Per tant
e)
Transformem la indeterminació en una del tipus
per tal d’aplicar la regla de L’Hôpital:
f)
Prenem el logaritme de la indeterminació:
ln lim lim lnx
x
xx x=
0
1
0
11
11
=
1
0
1 11
x
x x xlim ln ==
limx
x
x=
0
1
11
1
lim ( ln ) limln
lim
li
x x xx x
x
x
x
x
= = =
=
0
2
02
03
1
1
2
mm limx x
xx
x= =
0
3
0
2
2 20
lim ( ln )x
x x =0
2 0
lim( cos )x
xx e= =0
01 1
=cx4 oos ( )sin
cosx x x
x+
= =2 0
10
2
=+ +
=limsin cos cos sin
cosx
x x x x x x xx0
22 2 2
=+
=limsin cos
sinx
x x x xx0
22
lim cossin sin
cosx
xx
x
x xx
= =0
2
21
11 1
lim ln( cos ) limln( cos )
x xx x
x
x
[ ] = =0 0
11
1
= =lim ln( cos ) ( )x
x x0
1 0
ln lim( cos ) lim ln( cos )x
x
x
xx x=0 0
1 1 =
lim( cos )x
xx =0
01 0
lim limx x x x
x
e e+ += = =
2 2 20
limx x
x
e+=
2
L’Hôpital
L’Hôpital
203
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Apliquem la regla de L’Hôpital
Per tant
g)
Per a resoldre la indeterminació utilitzant L’Hôpi-tal, prenem els logaritmes:
h)
Prenem el logaritme de la indeterminació:
Apliquem la regla de L’Hôpital
Per tant
5.OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS
10.1.Volem optimitzar la funció que ens dóna el pro-ducte d’un dels nombres pel cub de l’altre.
Si anomenem x el primer nombre i y el segon,l’expressió analítica d’aquesta funció és f(x, y) ==x �y3.
2.Per tal de relacionar les dues variables, imposemque els nombres han de sumar 48 i aïllem una va-riable en funció de l’altra:
x +y =48 x =48 y
limx
x xe =
2
31
438
8
2
limlimlimxxx
x
x
xxxx
===2
3
2
222
838
2
3
23
2
38
=2
1limxxx
x
x
x 2
3
2
3
48
8= lnlim
ln
xx2
4
00
=
lnlimlimx
x
x
x=
2
31
4
8
2
=2
31
4
8
2
lnxx
limx
x x=
2
31
4
81
2
lnlim()lim()x
x
x
xxx +=+
21
21
22=
=+=+
limln()limln(
xx xx
x 12
2 22
))
limlim
xx
xx
x xx
=
=+
=+
=
2
21
2
20
2
2
lim()x
xx+=
21
02
limx
x
xee ==
0
11 1
1
limx
x=0
11
11
1x
==[]== limlnln()limln()
xx xx
xx 00
111
100
c)
Com que la indeterminació és del tipus , apli-
quem directament la regla de L’Hôpital:
d)
Per resoldre la indeterminació prenem el logarit-me:
Reescrivim la indeterminació per obtenir-neuna del tipus:
Apliquem la regla de L’Hôpital:
Per tant
e)
Transformem la indeterminació en una del tipus
per tal d’aplicar la regla de L’Hôpital:
f)
Prenem el logaritme de la indeterminació:
lnlimlimlnx
x
x xx=
0
1
0
11
11
=
1
0
111
x
xxxlimln==
limx
x
x=
0
1
11
1
lim(ln)limln
lim
li
xxxxx
x
x
x
x
===
=
0
2
02
03
1
1
2
mmlimxx
xx
x==
0
3
0
2
220
lim(ln)x
xx=0
20
lim(cos)x
xxe ==
0
011
=c x4oos()sin
cosxxx
x+
==20
10
2
=++
= limsincoscossin
cos x
xxxxxxxx 0
2222
=+
= limsincos
sin x
xxxxx 0
22
limcossinsin
cos x
xx
x
xxx
==0
2
21
111
limln(cos)limln(cos)
xxxx
x
x
[]==00
11
1
== limln(cos)()x
xx0
10
lnlim(cos)limln(cos)x
x
x
xxx =
0011=
lim(cos)x
xx=
0
010
limlimxxxx
x
ee ++===
2220
limxx
x
e +=
2
L’Hôpital
L’Hôpital
C M
Y K
204
11. Aplicacions de les derivades
L’expressió de la funció que s’optimitzarà depe-nent d’una sola variable és:
f(y) =x y3=(48 y) y3=48 y3y4
3.Busquem els extrems relatius de f:
0 =f(y) =144 y24 y3y =0 o y =36
Vegem que y =36 és un màxim relatiu calculantf�:
f(y) =288 y 12 y2, f(36) =5184 <0 y =36 és un màxim relatiu de f.
Els nombres que volíem cercar són
y =36 i x =48 36 =12
11.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con:
en què r és el radi de la base i h l’altura del con.
2.Per tal de relacionar les variables r i h de la funcióque s’optimitzarà, fem un dibuix que ens mostri uncon inscrit en una esfera de radiR.
Observem que podem relacionar els valors de R, ri h mitjançant el teorema de Pitàgores:
R2=r2+(h R)2r2=R2(h R)2
En el nostre cas, com que el radi de l’esfera és R =20 cm:
r2=202(h 20)2=40 h h2
Així, la funció que optimitzarem s’expressa comuna funció d’una variable de la manera següent:
3.Trobem els extrems relatius de V(h):
Òbviament, en h =0 no s’assoleix el màxim vo-lum.
013
803
0803
2==
==
Vhhh
hoh
()()
Vhrhhhh
hh
()()
()
===
=
13
13
40
13
40
22
23
R
h – R R
r
Vrhrh (,)=13
2
Comprovem si correspon a un màxim
relatiu:
és un
màxim relatiu de la funció V(h).
El con de major volum que es pot inscriure en una esfera de radi R =20 cm és el que té altura
cm i radi de la base:
12.1.La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna l’àrea de la superfície cilíndrica que consti-tueix el bidó.
Si anomenem h l’altura i r el radi de la base, l’àreadel cilindre (incloent-hi les tapes) és:
A(h, r) =h 2 r +2 r2=2 r (h +r)
2.Per tal de relacionar les dues variables, imposem elque desitgem: que la capacitat del bidó (és a dir, elvolum del cilindre) sigui de 150 L =0,15 m3:
la funció que s’optimitzarà té la següent expressióanalítica en funció de r:
3.Busquem els extrems relatius de A(r):
Comprovem que aquest valor és un mínim relatiu
és un mínim relatiu de A(r).
El bidó cilíndric amb capacitat per a 150 l que ne-cessita menys xapa per a la seva fabricació és el queté el radi de la base r =28,8 cm i altura:
hcm ===015
02880576576 2
,
(,),,
=+
=>=
Arr
Ar
(),
,,
064
034
120288
3
3cm
003
4
034
0288
2
3
==+
==
Arr
r
rm
(),
,,
Arrhrrr
r
rr
()(),
,
=+=+=
=+
22015
032
2
2
015015 2
2 ,,
=== Vrhhr
rcm == 40803
803
403
22
h=803
=<= Vh803
13
801600803
()
= Vhh ()()13
806
h=803
204
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esL’expressió de la funció que s’optimitzarà depe-nent d’una sola variable és:
f(y) = x y3 = (48 y) y3 = 48 y3 y4
3. Busquem els extrems relatius de f:
0 = f (y) = 144 y2 4 y3 y = 0 o y = 36
Vegem que y = 36 és un màxim relatiu calculantf �:
f (y) = 288 y 12 y2 , f (36) = 5 184 < 0 y = 36 és un màxim relatiu de f.
Els nombres que volíem cercar són
y = 36 i x = 48 36 = 12
11. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con:
en què r és el radi de la base i h l’altura del con.
2. Per tal de relacionar les variables r i h de la funcióque s’optimitzarà, fem un dibuix que ens mostri uncon inscrit en una esfera de radi R.
Observem que podem relacionar els valors de R, ri h mitjançant el teorema de Pitàgores:
R2 = r2 + (h R)2 r2 = R2 (h R)2
En el nostre cas, com que el radi de l’esfera és R = 20 cm:
r2 = 202 (h 20)2 = 40 h h2
Així, la funció que optimitzarem s’expressa comuna funció d’una variable de la manera següent:
3. Trobem els extrems relatius de V(h):
Òbviament, en h = 0 no s’assoleix el màxim vo-lum.
013
80 3
0803
2= =
= =
V h h h
h o h
( ) ( )
V h r h h h h
h h
( ) ( )
( )
= = =
=
13
13
40
13
40
2 2
2 3
R
h – RR
r
V r h r h( , ) =13
2
Comprovem si correspon a un màxim
relatiu:
és un
màxim relatiu de la funció V(h).
El con de major volum que es pot inscriure en una esfera de radi R = 20 cm és el que té altura
cm i radi de la base:
12. 1. La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna l’àrea de la superfície cilíndrica que consti-tueix el bidó.
Si anomenem h l’altura i r el radi de la base, l’àreadel cilindre (incloent-hi les tapes) és:
A (h, r) = h 2 r + 2 r2 = 2 r (h + r)
2. Per tal de relacionar les dues variables, imposem elque desitgem: que la capacitat del bidó (és a dir, elvolum del cilindre) sigui de 150 L = 0,15 m3:
la funció que s’optimitzarà té la següent expressióanalítica en funció de r:
3. Busquem els extrems relatius de A(r):
Comprovem que aquest valor és un mínim relatiu
és un mínim relatiu de A(r).
El bidó cilíndric amb capacitat per a 150 l que ne-cessita menys xapa per a la seva fabricació és el queté el radi de la base r = 28,8 cm i altura:
h cm= = =0 15
0 2880 576 57 62
,
( , ), ,
= +
= > =
A rr
A r
( ),
,,
0 64
0 34
12 0 28 8
3
3 cm
00 3
4
0 34
0 288
2
3
= = +
= =
A rr
r
r m
( ),
,,
A r r h r rr
r
rr
( ) ( ),
,
= + = + =
= +
2 20 15
0 32
2
2
0 150 152
2,
,= = =V r h h
r
r cm= =40803
803
403
22
h =803
= < =V h803
13
80 160 0803
( )
=V h h( ) ( )13
80 6
h =803
CM
YK
205
11. Aplicacions de les derivades
La distància mínima entre la recta i la paràbola és,doncs:
14. 1. La funció que ens interessa maximitzar és la queens dóna l’àrea d’un rectangle, A = b � h, en què bés la longitud de la seva base i h la seva altura.
2. Podem relacionar les variables b i h tenint encompte l’única cosa que sabem del rectangle: queestà inscrit en una circumferència de radi r.
D’acord amb la figura:
L’expressió de A(b, h) com a funció de b és, doncs:
3. Trobem els extrems relatius d’aquesta funció:
El rectangle de major àrea que es pot inscriure en una circumferència de radi r és el que té base
i altura h = és adir, el quadrat de costat
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
15. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica del tipus:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 0
Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es com-pleixin les condicions demanades.
• Passa per l’origen de les coordenades:
f (0) = 0 d = 0
• Presenta un extrem relatiu en ( 2, 0):
• f ( 2) = 0 a ( 2)3 + b ( 2)2 + c ( 2) + d = 0
8 a + 4 b 2 c + d = 0
• f ( 2) = 0 3 a ( 2)2 + 2 b ( 2) + c = 0 12 a 4 b + c = 0
2 r.4 2 22 2r r =( )b r= 2
0 44
4 2
2 22
2 2
2 2 2
= =
= =
A b r bb
r b
r b b b r
( )
A b b h b r b( ) = = 4 2 2
rb h
h r b22 2
2 2
2 24= + =
b
h2
rh
b2
d12
12
12
2
2
7 28
2
=
+
=
13. 1. La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna la distància d’un punt (x, y) de la paràbola ala recta y = x 2.
Atès que la distància d’un punt (p1, p2) a una rec-ta Ax + By + C = 0 ve donada per la fórmula:
L’expressió analítica de la funció que s’optimitzaràen funció de les variables x i y és:
2. Podem relacionar les variables x i y imposant que el punt (x, y) és de la gràfica de la funció f(x) = x2:
(x, y) = (x, f(x)) = (x, x2) y = x2
Per tant, la funció que s’optimitzarà és:
3. Per tal de trobar els extrems relatius, hem de deri-var la funció d.
Encara que el valor absolut no és derivable, en elspunts en els quals s’anul.la, en aquest cas no tenimcap problema.
En efecte, si el valor absolut s’anul.lés en algunpunt, això voldria dir que la distància d’aquest punta la recta és 0, és a dir, que el punt és de la recta;aleshores, la mínima distància s’assoliria en aquestpunt.
Comprovem, no obstant això, que �x x2 2� nos’anul.la mai:
�x x2 2 � = 0 x x2 2 = 0
i aquesta equació no té arrels reals.
Per tant, el seu valor absolut es pot expressar permitjà d’una única expressió analítica:
�x x2 2 � = (x x2 2) = x2 x + 2
En resum, la funció que volíem optimitzar és:
Ara no tenim cap problema per a trobar extremsrelatius:
Comprovem que és un mínim:
d és un mínim de d.= > =x12
2
20
12
=d x( )2
2
x =12
02 1
22 1 0
12
= = = =d xx
x x( )
d xx x x x
( ) = =+
2 22
2
2
2
d xx x
( ) =2 2
2
d x yx y x y
( , )( )
=+
=2
1 1
2
22 2
dAp Bp C
A B=
+ +
+
1 2
2 2
205
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
La distància mínima entre la recta i la paràbola és,doncs:
14.1.La funció que ens interessa maximitzar és la queens dóna l’àrea d’un rectangle, A =b �h, en què bés la longitud de la seva base i h la seva altura.
2.Podem relacionar les variables b i h tenint encompte l’única cosa que sabem del rectangle: queestà inscrit en una circumferència de radi r.
D’acord amb la figura:
L’expressió de A(b, h) com a funció de b és, doncs:
3.Trobem els extrems relatius d’aquesta funció:
El rectangle de major àrea que es pot inscriure en una circumferència de radi r és el que té base
i alturah =és adir, el quadrat de costat
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
15.Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica del tipus:
f(x) =ax3+bx2+cx +d , a 0
Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es com-pleixin les condicions demanades.
•Passa per l’origen de les coordenades:
f (0) =0 d =0
•Presenta un extrem relatiu en (2, 0):
•f(2)=0a(2)3+b(2)2+c(2)+d=0
8 a +4 b 2 c +d =0
•f(2) =0 3 a (2)2+2 b (2) +c =0 12 a 4 b +c =0
2r.422
22rr= () br =2
044
42
222
22
222
==
==
Abrbb
rb
rbbbr
()
Abbhbrb ()==422
rbh
hrb2
2222
224 =+=
b
h2
rh
b2
d12
12
12
2
2
728
2
=
+
=
13.1.La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna la distància d’un punt (x, y) de la paràbola ala recta y =x 2.
Atès que la distància d’un punt (p1, p2) a una rec-ta Ax +By +C =0 ve donada per la fórmula:
L’expressió analítica de la funció que s’optimitzaràen funció de les variables x i y és:
2.Podem relacionar les variables x i y imposant que el punt (x, y) és de la gràfica de la funció f(x) =x2:
(x, y) =(x, f(x)) =(x, x2) y =x2
Per tant, la funció que s’optimitzarà és:
3.Per tal de trobar els extrems relatius, hem de deri-var la funció d.
Encara que el valor absolut no és derivable, en elspunts en els quals s’anul.la, en aquest cas no tenimcap problema.
En efecte, si el valor absolut s’anul.lés en algunpunt, això voldria dir que la distància d’aquest punta la recta és 0, és a dir, que el punt és de la recta;aleshores, la mínima distància s’assoliria en aquestpunt.
Comprovem, no obstant això, que �x x22�nos’anul.la mai:
�x x22�=0 x x22 =0
i aquesta equació no té arrels reals.
Per tant, el seu valor absolut es pot expressar permitjà d’una única expressió analítica:
�x x22�=(x x22) =x2x +2
En resum, la funció que volíem optimitzar és:
Ara no tenim cap problema per a trobar extremsrelatius:
Comprovem que és un mínim:
dés un mínim de d. =>= x12
2
20
12
= dx()2
2
x=12
021
2210
12
==== dxx
xx ()
dxxxxx
()==+
22 2
2
2
2
dxxx
()=2
2
2
dxyxyxy
(,)()
=+
=2
11
2
2 22
dApBpC
AB=
++
+
12
22
C M
Y K
206
11. Aplicacions de les derivades
•Presenta un extrem relatiu en:
Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions se-güent:
Així, la solució és f(x) =3 x3+12 x2+12 x.
16.Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica de la forma:
f(x) =ax3+bx2+cx +d , a 0
Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es com-pleixin les condicions demanades.
•Passa pel punt (0, 1):
f (0) =1 d =1
•Passa pel punt (1, 0):
f (1) =0 a +b +c +d =0
•En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té unpendent nul:
f(1) =0 3 a +2 b +c =0
•El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:
f(1) =0 3 a +b =0
Resolem el sistema d’equacions:
Així, la solució és:f(x) =x3+3 x23 x +1.
17.Considerem la funció f(x) =x34 x +2. És clar que lessolucions de l’equació x34 x +2 =0 coincideixenamb els zeros de la funció f.
Per tant, el problema plantejat equival a demostrarque la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1).
—Vegem que f té algun zero en l’interval (0, 1). Pera fer-ho, comprovem que f compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en [0, 1]:
d
abcd
abc
ab
ab
=
+++=
++=
+=
==
1
0
320
30
13 ,,,, cd == 31
d
abcd
abc
ab
=
++=
+=
+=
0
8420
1240
12430
==== abcd34
330 ,,,
=++= fabc23
0323
223
02
+= 12430 ab
x=23
•f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.
• f té signe oposat en els extrems de [0, 1]:
f(0) =2 >0 ; f(1) =1 <0
Per tant, es compliran les tesis del teorema:
c (0, 1) �f(c) =0
—Vegem que el zero c és únic. Ho farem per reduc-ció a l’absurd.
Suposem que existeix un altre zero c��c de f enl’interval (0, 1).
La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c�, jaque:
•f és polinòmica, aleshores és contínua en I.
•f és polinòmica, aleshores és derivable en I {c, c}.
•f (c) =f (c) =0.
Per tant, x0I �(0, 1) �f(x0) =0.
Però si calculem els zeros de f�:
i cap d’ells pertany a (0, 1), aleshores:
�x0(0, 1)�f(x0) =0
Hem obtingut una contradicció, que prové de su-posar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1);aleshores, c és l’únic zero de f en (0, 1).
18.Les solucions de l’equació x33 x2+2 x +2 =0 coin-cideixen amb els zeros de la funció:
f(x) =x33 x2+2 x +2
Així, ens podem replantejar el problema i demostrarque f té un únic zero en l’interval (1, 0). Hem de veu-re, doncs, dues coses:
—Existència:
Com que f és polinòmica i f(1) =4 <0 i f(0) =2 >0, compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [1, 0].
Podem concloure’n, doncs, que existeix un zero def en (1, 0).
—Unicitat:
Suposem que el zero de f en (1, 0) no fos únic, ésa dir, que existeixen c <c�de l’interval (1, 0) talsque f(c) =f(c�) =0.
Donat que f és polinòmica, és derivable en �, i pertant, compleix les dues primeres hipòtesis del teo-rema de Rolle en qualsevol interval tancat.
A més, atès que f(c) =f(c�) =0, també compleixla tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval[c, c�]; aleshores, ha d’existir un zero de f�en (c, c�) �(1, 0).
03423
312
2===±=± fxxx (),
206
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es• Presenta un extrem relatiu en :
Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions se-güent:
Així, la solució és f(x) = 3 x3 + 12 x2 + 12 x.
16. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica de la forma:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 0
Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es com-pleixin les condicions demanades.
• Passa pel punt (0, 1):
f (0) = 1 d = 1
• Passa pel punt (1, 0):
f (1) = 0 a + b + c + d = 0
• En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té unpendent nul:
f (1) = 0 3 a + 2 b + c = 0
• El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:
f (1) = 0 3 a + b = 0
Resolem el sistema d’equacions:
Així, la solució és: f(x) = x3 + 3 x2 3 x + 1.
17. Considerem la funció f(x) = x3 4 x + 2. És clar que lessolucions de l’equació x3 4 x + 2 = 0 coincideixenamb els zeros de la funció f.
Per tant, el problema plantejat equival a demostrarque la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1).
— Vegem que f té algun zero en l’interval (0, 1). Pera fer-ho, comprovem que f compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en [0, 1]:
d
a b c d
a b c
a b
a b
=
+ + + =
+ + =
+ =
= =
1
0
3 2 0
3 0
1 3, ,, ,c d= =3 1
d
a b c d
a b c
a b
=
+ + =
+ =
+ =
0
8 4 2 0
12 4 0
12 4 3 0
= = = =a b c d34
3 3 0, , ,
= + + =f a b c23
0 323
223
02
+ =12 4 3 0a b
x =23
• f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.
• f té signe oposat en els extrems de [0, 1]:
f(0) = 2 > 0 ; f(1) = 1 < 0
Per tant, es compliran les tesis del teorema:
c (0, 1) � f(c) = 0
— Vegem que el zero c és únic. Ho farem per reduc-ció a l’absurd.
Suposem que existeix un altre zero c� � c de f enl’interval (0, 1).
La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c�, jaque:
• f és polinòmica, aleshores és contínua en I.
• f és polinòmica, aleshores és derivable en I {c, c }.
• f (c) = f (c ) = 0.
Per tant, x0 I � (0, 1) � f (x0) = 0.
Però si calculem els zeros de f�:
i cap d’ells pertany a (0, 1), aleshores:
� x0 (0, 1) � f (x0) = 0
Hem obtingut una contradicció, que prové de su-posar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1);aleshores, c és l’únic zero de f en (0, 1).
18. Les solucions de l’equació x3 3 x2 + 2 x + 2 = 0 coin-cideixen amb els zeros de la funció:
f(x) = x3 3 x2 + 2 x + 2
Així, ens podem replantejar el problema i demostrarque f té un únic zero en l’interval ( 1, 0). Hem de veu-re, doncs, dues coses:
— Existència:
Com que f és polinòmica i f( 1) = 4 < 0 i f(0) = 2 > 0, compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [ 1, 0].
Podem concloure’n, doncs, que existeix un zero def en ( 1, 0).
— Unicitat:
Suposem que el zero de f en ( 1, 0) no fos únic, ésa dir, que existeixen c < c� de l’interval ( 1, 0) talsque f(c) = f(c�) = 0.
Donat que f és polinòmica, és derivable en �, i pertant, compleix les dues primeres hipòtesis del teo-rema de Rolle en qualsevol interval tancat.
A més, atès que f(c) = f(c�) = 0, també compleixla tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval[c, c�]; aleshores, ha d’existir un zero de f� en (c, c�) � ( 1, 0).
0 3 42 3
31 22= = = ± = ±f x x x( ) ,
CM
YK
207
11. Aplicacions de les derivades
Per tant, és possible deduir la curvatura de f directa-ment a partir de la monotonia de f�:
Com que f és contínua, en podem deduir:
f té un punt d’inflexió en x = 2
f té un punt d’inflexió en x = 4
f té un punt d’inflexió en x = 7
20. Estudiarem primerament com ha de ser la derivada enl’interval [2, + ).
• Com que en x (2, 4),
en aquest interval.
• Com que f(x) = 1 en (4, + ) , f�(x) = 0 en aquest in-terval.
• Com que en x = 2 i x = 4 la gràfica de la funció pre-senta un pic, tenim que � f�(2) i � f�(4).
Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f�en l’interval ( , 2), a partir dels intervals de monoto-nia i convexitat.
• Monotonia i extrems relatius: f� és estrictament crei-xent allà on (f�)� és positiva i estrictament decreixentallà on (f�)� és negativa.
Ara bé, com que (f�)� = f �, resulta que f� és estricta-ment creixent allà on f és convexa i estrictament de-creixent allà on f és còncava. Per tant:
=f x( )32
f x x( ) =32
5
f és convexa en
f és còncava en
( , )
( , )
4 7
7 +
f és convexa en
f és còncava en
( , )
( , )
2 4
4 7
f és convexa en
f és còncava en
( , )
( , )
2
2 4
No obstant això, si calculem els zeros de f�:
observem que en realitat no existeix cap altre zerode f� en ( 1, 0).
Així, el zero de f en ( 1, 0) és únic.
19. Podem determinar els màxims i els mínims relatius de fa partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus puntsd’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.
• Monotonia: El signe de la funció f� ens informa de lamonotonia de f.
D’acord amb la gràfica de f, podem construir la se-güent taula de monotonia de f:
Com que f és contínua (ja que és derivable), po-dem deduir:
f té un mínim relatiu en x = 1
f té un màxim relatiu en x = 10
• Curvatura: El signe de la funció f� ens informa de lacurvatura de f.
Podem obtenir el signe de f� a partir de la gràfica def� perquè f� = (f�)�; aleshores, f� serà positiva allà onf� sigui estrictament creixent i negativa allà on f� si-gui estrictament decreixent.
f és creixent en
f és decreixent en
( , )
(
4 10
100, )+
f és decreixent en
f és creixent en
( , )
(
1
1,, )4
0 3 6 2 13
31 6 0 4
2= = + = ±
= =
f x x x x
x o x
( )
, ,
x ( , 1) 1 (2, 4) (4, + )
f(x) PI PI 1
f (x) m M 032
32
5x
,12
212
,112
�� �
x ( , 1) 1 (1, 4) 4 (4, 10) 10 (10, + )
f (x) 0 + 0 + 0
f(x)
x ( , 2) 2 (2, 4) 4 (4, 7) 7 (7, + )
f (x) M m M
f(x)
� � � �
• Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f�.
Podem representar f� a partir del següent resum de les seves característiques:
Interval ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 ( 1, 0) 0 1 (1, 2) (2, 4) (4, + )
Signe f + 0 0 + 00
Monotonia m M32
12
1,12
,0112
207
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Per tant, és possible deduir la curvatura de f directa-ment a partir de la monotonia de f�:
Com que f és contínua, en podem deduir:
f té un punt d’inflexió en x =2
f té un punt d’inflexió en x =4
f té un punt d’inflexió en x =7
20.Estudiarem primerament com ha de ser la derivada enl’interval [2, +).
•Com que en x (2, 4),
en aquest interval.
•Com que f(x) =1 en (4, +) , f�(x) =0 en aquest in-terval.
•Com que en x =2 i x =4 la gràfica de la funció pre-senta un pic, tenim que �f�(2) i �f�(4).
Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f�en l’interval (, 2), a partir dels intervals de monoto-nia i convexitat.
•Monotonia i extrems relatius: f�és estrictament crei-xent allà on (f�)�és positiva i estrictament decreixentallà on (f�)�és negativa.
Ara bé, com que (f�)�=f�, resulta que f�és estricta-ment creixent allà on f és convexa i estrictament de-creixent allà on f és còncava. Per tant:
= fx()32
fxx ()=32
5
fésconvexaen
féscòncavaen
(,)
(,)
47
7+
fésconvexaen
féscòncavaen
(,)
(,)
24
47
fésconvexaen
féscòncavaen
(,)
(,)
2
24
No obstant això, si calculem els zeros de f�:
observem que en realitat no existeix cap altre zerode f�en (1, 0).
Així, el zero de f en (1, 0) és únic.
19.Podem determinar els màxims i els mínims relatius de fa partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus puntsd’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.
•Monotonia: El signe de la funció f�ens informa de lamonotonia de f.
D’acord amb la gràfica de f, podem construir la se-güent taula de monotonia de f:
Com que f és contínua (ja que és derivable), po-dem deduir:
f té un mínim relatiu en x =1
f té un màxim relatiu en x =10
•Curvatura: El signe de la funció f�ens informa de lacurvatura de f.
Podem obtenir el signe de f�a partir de la gràfica def�perquè f�=(f�)�; aleshores, f�serà positiva allà onf�sigui estrictament creixent i negativa allà on f�si-gui estrictament decreixent.
féscreixenten
fésdecreixenten
(,)
(
410
100,) +
fésdecreixenten
féscreixenten
(,)
(
1
1,,)4
036213
31604
2==+=±
==
fxxxx
xox
()
,,
x(, 1)1(2, 4)(4, +)
f(x)PIPI1
f(x)mM032
32
5 x
,12
212
, 112
� ��
x(, 1)1(1, 4)4(4, 10)10(10, +)
f(x)0+0+0
f(x)
x(, 2)2(2, 4)4(4, 7)7(7, +)
f(x)MmM
f(x)����
•Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f�.
Podem representar f�a partir del següent resum de les seves característiques:
Interval(, 2)2(2, 1)1(1, 0)01(1, 2)(2, 4) (4, +)
Signe f+00+00
MonotoniamM32
12
1,12
, 0112
C M
Y K
208
11. Aplicacions de les derivades
21.Si considerem que la velocitat de sortida del projectilés vo, i l’angle , les components de la velocitat són:
v0x=v0· cos v0y=v0· sin
Tenint en compte que l’acceleració del projectil és lagravetat (només té component vertical i és constant).fent coincidir l’origen de coordenades amb el punt departida del projectil, les equacions del moviment són:
x =v0cos · t
L’abast horitzontal del projectil s’obté igualant la com-ponent vertical a 0 (y =0), i el temps que trigaria a as-solir-lo és:
Així, doncs, l’abast del projectil en funció de l’angle serà:
Busquem els extrems relatius de x():
Comprovem que l’angle de 45°és efectivament l’angled’abast màxim:
és l’angle pel qual l’abast serà màxim.
22.Si definim g =f�, atès que f�=(f�)�=g�, aplicant el quehem vist en l’exercici resolt, podem afirmar:
=° 45
=< xv
g()(sincos)
2445450
02
==° arctg145
sincossinsin 2
=ccos
=== tg1
=v
g
202
ccossincossin2222
0 ()==
=+ ()= xv
g()coscossin(sin) 0
202
xvg
()sincos =20
2
0 = t
ttv
g=
20sin
012
12
0 02
0 == vtgttvgt sinsin
yvtgt =02 1
2sin
g�(x) =f�(x) =0 x (a, b) g =f�és constant en(a, b).
Sigui k �el valor constant que pren f�en (a, b).
Demostrarem que si f�(x) =k x (a, b), aleshoresf(x) =kx +k�, x �, en què k�és constant.
Considerem dos punts qualssevol x1<x2de l’interval(a, b).
Atès que [x1, x2] �(a, b) i és derivable en (a, b), f com-pleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en[x1, x2], aleshores:
Però f(c) =k c (a, b), aleshores:
Això significa que el pendent de la recta secant a f enqualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k;aleshores, f és una recta de pendent k en (a, b); en cascontrari, existirien tres punts de la corba y =f(x) no ali-neats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta queuneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) i la recta que uneix elspunts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Aixòno és possible, perquè hem vist que el pendent de lesrectes secants a aquesta corba és m =k.
Així, l’expressió analítica de f és de la forma:
f(x) =kx +k1x �, en què k1�
23.a)1.Domini:
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
x24 =0 x =±2—Amb l’eix OY:
0 D(f), aleshores f no talla l’eix OY.
04
402
2=== fx
xx
x ()
DfDxDxxx
xx
()(){}
({})
=()==
=
2
2
40
40
�
�
�
��=
==+
{}
{}{}(,][,)
0
40222
xx ��
fxfxxx
k()() 21
21
=
= (,)(,)()()()
cxxabfcfxfx
xx12
21
21
�
Y
X 1
1
k
–1
2
–2 –3 –4 –5 –6 –7
–1
23456
208
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
21. Si considerem que la velocitat de sortida del projectilés vo, i l’angle , les components de la velocitat són:
v0x = v0 · cos v0y = v0 · sin
Tenint en compte que l’acceleració del projectil és lagravetat (només té component vertical i és constant).fent coincidir l’origen de coordenades amb el punt departida del projectil, les equacions del moviment són:
x = v0 cos · t
L’abast horitzontal del projectil s’obté igualant la com-ponent vertical a 0 (y = 0), i el temps que trigaria a as-solir-lo és:
Així, doncs, l’abast del projectil en funció de l’angle serà:
Busquem els extrems relatius de x( ):
Comprovem que l’angle de 45° és efectivament l’angled’abast màxim:
és l’angle pel qual l’abast serà màxim.
22. Si definim g = f�, atès que f� = (f�)� = g�, aplicant el quehem vist en l’exercici resolt, podem afirmar:
= °45
= <xv
g( ) ( sin cos )
24 45 45 00
2
= = °arctg 1 45
sin cos sinsin2 =ccos
= = =tg 1
=v
g
2 02
ccos sin cos sin2 2 2 20( ) = =
= +( ) =xv
g( ) cos cos sin ( sin )0
2 02
xvg
( ) sin cos=2 0
2
0=t
ttv
g=
2 0 sin
012
12
002
0= =v t gt t v gtsin sin
y v t gt= 021
2sin
g�(x) = f �(x) = 0 x (a, b) g = f� és constant en(a, b).
Sigui k � el valor constant que pren f� en (a, b).
Demostrarem que si f�(x) = k x (a, b), aleshoresf(x) = kx + k� , x �, en què k� és constant.
Considerem dos punts qualssevol x1 < x2 de l’interval(a, b).
Atès que [x1, x2] � (a, b) i és derivable en (a, b), f com-pleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en[x1, x2], aleshores:
Però f (c) = k c (a, b), aleshores:
Això significa que el pendent de la recta secant a f enqualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k;aleshores, f és una recta de pendent k en (a, b); en cascontrari, existirien tres punts de la corba y = f(x) no ali-neats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta queuneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) i la recta que uneix elspunts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Aixòno és possible, perquè hem vist que el pendent de lesrectes secants a aquesta corba és m = k.
Així, l’expressió analítica de f és de la forma:
f(x) = kx + k1 x �, en què k1 �
23. a) 1. Domini:
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
x2 4 = 0 x = ±2— Amb l’eix OY:
0 D(f), aleshores f no talla l’eix OY.
04
4 02
2= = =f xx
xx( )
D f D x D x x x
x x
( ) ( ) { }
({ } )
= ( ) = =
=
2
2
4 0
4 0
�
�
�
� � =
= = +
{ }
{ } { } ( , ] [ , )
0
4 0 2 22x x� �
f x f xx x
k( ) ( )2 1
2 1
=
=( , ) ( , ) ( )( ) ( )
c x x a b f cf x f x
x x1 22 1
2 1
�
Y
X1
1
k
–1
2
–2–3–4–5–6–7
–1
2 3 4 5 6
CM
YK
209
11. Aplicacions de les derivades
3. Signe: Construïm una taula amb els inter-vals determinats pels zeros de f en el seu domi-ni:
4. Simetria i periodicitat:
És una funció imparell, ja que:
Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en
D(f) � [0, + ) = [2, + )
ja que la part en l’altra semirecta s’obté fentuna simetria respecte de l’origen.
5. Asímptotes i branques infinites (en [2, + )):
• Si tingués una asímptota vertical seria x = 0,però com que f no està definida en un entornde l’abscissa x = 0, no té sentit parlar d’a-símptota.
•
Aleshores y = 1 és una asímptota horitzontalper la dreta.
• No té asímptotes obliqües per la dreta, ja queté una asímptota horitzontal.
6. Intervals de monotonia i extrems:
Atès que:
f (x) > 0 x D(f ) =
= ( , 2) � (2, + )
f és estrictament creixent en (2, + ) i no té ex-trems relatius.
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
=+
( )= + =
= ±
12 32
4
0 12 32 0
2 6
2
23
2
x
x x
f x x
x
( )
33D f( )
=
+
=f x
x x xx
xx x
( )( )
4 2 44
4
2 2
2
4 2
= =
=
f x
x
xx x
x
x x
( )2
2
2
2 2
44 1
4
4
lim ( ) lim
lim
x x
x
f xx
x x
x
+ +
+
= =
= =
2
2 2
2
4
14
1
f xx
xx
xf x( )
( )( )= = =
2 24 4
2 4
2
– 2
– 2– 4
f(x) =x2 – 4
x
Y
X
y = –1
y = 1
Aleshores f no té punts d’inflexió, i com quef �(x) < 0 x (2, + ), f és còncava en (2, + ).
Amb tota aquesta informació, podem elaboraruna gràfica aproximada de f com la següent:
b) 1. Domini: Com que la funció és radical d’índexparell, el seu domini és el conjunt de punts enquè els denominador és més gran o igual azero:
D(f) = { x � � x2 + 4 x 5 =
= (x 1) (x + 5) 0} = ( , 5] � [1, + )
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
0 D(f), aleshores f no talla l’eix OY.
3. Signe: Com que f és una arrel quadrada, f(x) 0, x D(f).
4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que:
f(x) � f( x) � f(x) per a algun x.
5. Asímptotes i branques infinites:
• f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .
• , aleshores f no té
asímptotes horitzontals.
• mx x
x
x x
x
x
x
x
=+
=
=+
=
=
+
+
+
lim
lim
lim
2
2
2
4 5
4 5
+
+ =
= + =
x
x
x
x x
x xx
2
2 2 2
2
4 5
14 5
1lim
limx
x x±
+ = +2 4 5
0 4 5
4 5 01
5
2
2
= = +
+ ==
=
f x x x
x xx
x
( )
x ( , 2) 2 2 (2, + )
f(x) 0 0 +
209
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
3.Signe: Construïm una taula amb els inter-vals determinats pels zeros de f en el seu domi-ni:
4.Simetria i periodicitat:
És una funció imparell, ja que:
Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en
D(f) �[0, +) =[2, +)
ja que la part en l’altra semirecta s’obté fentuna simetria respecte de l’origen.
5.Asímptotes i branques infinites (en [2, +)):
•Si tingués una asímptota vertical seria x =0,però com que f no està definida en un entornde l’abscissa x =0, no té sentit parlar d’a-símptota.
•
Aleshores y =1 és una asímptota horitzontalper la dreta.
•No té asímptotes obliqües per la dreta, ja queté una asímptota horitzontal.
6.Intervals de monotonia i extrems:
Atès que:
f(x) >0 x D(f) =
=(, 2)�(2, +)
f és estrictament creixent en (2, +) i no té ex-trems relatius.
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
=+
()=+=
=±
1232
4
012320
26
2
23
2
x
xx
fxx
x
()
33Df()
=
+
= fx
xxxx
xxx
()()
4244
4
22
2
42
==
=
fx
x
xxx
x
xx
()2
2
2
22
441
4
4
lim()lim
lim
xx
x
fxx
xx
x
++
+
==
==
2
22
2
4
14
1
fxx
xx
xfx ()
()() ===
2244
24
2
– 2
– 2 – 4
f(x) =x2– 4
x
Y
X
y = –1
y = 1
Aleshores f no té punts d’inflexió, i com quef�(x) <0 x (2, +), f és còncava en (2, +).
Amb tota aquesta informació, podem elaboraruna gràfica aproximada de f com la següent:
b)1.Domini: Com que la funció és radical d’índexparell, el seu domini és el conjunt de punts enquè els denominador és més gran o igual azero:
D(f) ={ x � �x2+4 x 5 =
=(x 1) (x +5) 0} =(, 5] �[1, +)
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
0 D(f), aleshores f no talla l’eix OY.
3.Signe: Com que f és una arrel quadrada, f(x) 0, x D(f).
4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que:
f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.
5.Asímptotes i branques infinites:
•f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .
•, aleshores f no té
asímptotes horitzontals.
•mxx
x
xx
x
x
x
x
=+
=
=+
=
=
+
+
+
lim
lim
lim
2
2
2
45
45
+
+=
=+=
x
x
x
xx
xx x
2
222
2
45
145
1 lim
limx
xx±
+=+2
45
045
4501
5
2
2
==+
+==
=
fxxx
xxx
x
()
x(, 2)22(2, +)
f(x)00+
C M
Y K
210
11. Aplicacions de les derivades
Per tant, y =x+2 és asímptota obliqua per ladreta.
•
xxx
xxlim
2245
=+
2245 +
=
xx
bxxx
xx
x
x
=+=
=++
lim(())
lim(
2
2
451
45xxxxx
xxx
)()2
2
45
45
+
+
=
mxx
x
xx
x
x
x
x
=+
=
=+
=
=
lim
lim
lim
2
2
2
45
45
+=
=+=
x
x
x
xx
xx x
2
222
2
45
145
1 lim
xxx
xx
x
xxxx
x
x
=
++
=
=
+
45
452
222
lim
lim+
++
=
=++
=
45
1451
40
10012
2
x
xx
xxxxx
=+ ()
+lim
245
22
2
22
2
45
45
45
4
++ ()++
=
=+
++
xx
xxx
xxx
xxlim
xxx +
=
5
bxxxx
=+ ()= +lim
2451
Per tant, y =x2 és asímptota obliqua per l’es-querra.
6.Intervals de monotonia i extrems:
0=f(x)0=x+2x=2D(f)
Per tant, f no té extrems relatius.
Pel que fa a la seva monotonia, podem donar lataula següent:
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Com que f�(x)<0xD(f�), f és còncavaen el seu domini i no té punts d’inflexió.
Amb tota aquesta informació, podem fer unagràfica de f com la següent:
=
+++
+
+=
=
fx
xxxx
xx
xx()
() 14522
45
45
9
2
2
2
(() xx23
45 +
=+
+
=+
+
fxx
xx
x
xx()
24
245
2
4522
=+
=40
10012
2
222
45
45=
+
=
=
xxx
x
x
x
xx
xx
xlim
llimx
x
xx+
=
45
1451 2
x(,5)(1, +)
f(x)+
f(x)
Y
X– 5 – 10510
x2 + 4x – 5
5
y = –
x –
2
y = x + 2
f(x) =
210
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Per tant, y = x + 2 és asímptota obliqua per ladreta.
•
x x x
xxlim
2 24 5=
+
22 4 5+
=
x x
b x x x
x x
x
x
= + =
=+ +
lim ( ( ) )
lim(
2
2
4 5 1
4 5 xx x x x
x x x
)( )2
2
4 5
4 5
+
+
=
mx x
x
x x
x
x
x
x
=+
=
=+
=
=
lim
lim
lim
2
2
2
4 5
4 5
+ =
= + =
x
x
x
x x
x xx
2
2 2 2
2
4 5
14 5
1lim
xx x
xx
x
x xxx
x
x
=
+ +
=
=
+
4 5
4 52
2 2 2
lim
lim+
+ +
=
=+ +
=
45
14 5 1
4 0
1 0 0 12
2
x
x x
x x x xx
=+( )
+lim
2 4 5 22
2
2 2
2
4 5
4 5
4 5
4
+ +( )+ +
=
=+
++
x x
x x x
x x x
xxlim
xx x+
=
5
b x x xx
= +( ) =+
lim 2 4 5 1
Per tant, y = x 2 és asímptota obliqua per l’es-querra.
6. Intervals de monotonia i extrems:
0 = f (x) 0 = x + 2 x = 2 D(f)
Per tant, f no té extrems relatius.
Pel que fa a la seva monotonia, podem donar lataula següent:
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Com que f�(x) < 0 x D(f �), f és còncavaen el seu domini i no té punts d’inflexió.
Amb tota aquesta informació, podem fer unagràfica de f com la següent:
=
+ ++
+
+=
=
f x
x x xx
x x
x x( )
( )1 4 5 22
4 5
4 5
9
2
2
2
(( )x x2 34 5+
=+
+
=+
+
f xx
x x
x
x x( )
2 4
2 4 5
2
4 52 2
=+
=4 0
1 0 0 12
2
2 2 2
4 5
4 5=
+
=
=
xx x
x
x
x
x x
xx
xlim
llimx
x
x x+
=
45
14 5 1
2
x ( , 5) (1, + )
f (x) +
f(x)
Y
X– 5– 10 5 10
x2 + 4x – 5
5
y = – x – 2
y = x
+ 2
f(x) =
CM
YK
211
11. Aplicacions de les derivades
Amb tota aquesta informació, podem traçaruna gràfica aproximada de f com la següent:
ACTIVITATS
Abans de començar
• Creixement i decreixement d’una funció en un punt(pàg. 232); extrems d’una funció (pàg. 233); relació en-tre creixement i decreixement d’una funció en un punt ila derivada de la funció en aquest punt (pàg. 233).
• Convexitat i concavitat d’una funció f en un punt (pàg.236); punts d’inflexió de f (pàg. 237); relació entre con-vexitat i concavitat d’una funció en un punt i la derivadasegona de la funció en aquest punt (pàg. 237).
• Optimització d’una funció i procediment (pàg. 249).
• Regla de L’Hôpital (pàg. 246), exemples dels casos d’in-determinació als quals es pot aplicar, exemples dels casos
d’indeterminació 0 i 0 (pàg. 246),
dels casos , 00 i 1 (pàg. 248).
Qüestions
24. Sí. Per exemple, �x � té un mínim relatiu en x = 0, enquè es contínua però no derivable (ja que és un puntangulós).
25. a) Falsa, ja que x = a pot ser un punt d’inflexió.
Per exemple, f(x) = x3 té derivada tercera, f�(0) =
= 0, però x = 0 no és un extrem relatiu, sinó unpunt d’inflexió.
b) Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, talque f�(x0) � 0.
Per exemple, f(x) = x3 + x té derivada tercera, f �(0) = 0, però f�(0) = 1; aleshores, la recta tangenta la gràfica de f en x = 0 té pendent 1 i, per tant, noés horitzontal.
c) Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe def�, no de f�.
Per exemple, f(x) = cos x és tres vegades derivable,és estrictament decreixent en (0, ), però f�(x) = sin x > 0 en aquest interval.
26. El càlcul és incorrecte perquè s’ha aplicat la regla deL’Hôpital de manera incorrecta:
00
, ,
2 4
2
– 2– 4
Y
X
f(x) = 5 – x2
c) 1. Domini:
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
3. Signe:
4. Simetria i periodicitat:
És una funció parell, ja que
Per tant, en tenim prou d’estudiar la gràfica de
f en [0, + ) � D(f) = i fer una sime-tria respecte de l’eix d’ordenades.
5. Asímptotes i branques infinites
• f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .
• f no pot tenir asímptotes horitzontals ni obli-qües, ni branques infinites, ja que la variableno pot tendir a sense sortir del domini de f.
6. Intervals de monotonia i extrems:
Construïm una taula amb els intervals queels zeros de f� ens determinen en el dominide f:
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Com que f�(x) < 0 x D(f �), f és còncava enel seu domini i no té punts d’inflexió.
= =
=
f x
x xx
x
x
x
( )
1 55
5
5
5
2
2
2
2(( )3
= =
= =
f xx
x
x
x
f x x
( )
( )
2
2 5 5
0 0
2 2
en , .0 5( )
,0 5
= =5 2x f x( ).
f x x( ) ( )= 5 2
f x x x D f( ) ( ) ,= =5 0 5 52
f ( ) ,0 5 0 5 2 242= = =
=
= ± = ±
0 5
5 2 24
2x
x ,
0 5 2= =f x x( )
D f x x
x x
( ) { }
{ } [ , ]
= =
= =
�
�
5 0
5 5 5
2
2
x 0
f (x) + 0
f(x) M
( , )0 5( , )5 0
211
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Amb tota aquesta informació, podem traçaruna gràfica aproximada de f com la següent:
ACTIVITATS
Abans de començar
•Creixement i decreixement d’una funció en un punt(pàg. 232); extrems d’una funció (pàg. 233); relació en-tre creixement i decreixement d’una funció en un punt ila derivada de la funció en aquest punt (pàg. 233).
•Convexitat i concavitat d’una funció f en un punt (pàg.236); punts d’inflexió de f (pàg. 237); relació entre con-vexitat i concavitat d’una funció en un punt i la derivadasegona de la funció en aquest punt (pàg. 237).
•Optimització d’una funció i procediment (pàg. 249).
•Regla de L’Hôpital (pàg. 246), exemples dels casos d’in-determinació als quals es pot aplicar, exemples dels casos
d’indeterminació 0 i 0(pàg. 246),
dels casos , 00i 1(pàg. 248).
Qüestions
24.Sí. Per exemple, �x�té un mínim relatiu en x =0, enquè es contínua però no derivable (ja que és un puntangulós).
25.a)Falsa, ja que x =a pot ser un punt d’inflexió.
Per exemple, f(x) =x3té derivada tercera, f�(0)=
=0, però x =0 no és un extrem relatiu, sinó unpunt d’inflexió.
b)Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, talque f�(x0) �0.
Per exemple, f(x) =x3+x té derivada tercera, f�(0) =0, però f�(0) =1; aleshores, la recta tangenta la gràfica de f en x =0 té pendent 1 i, per tant, noés horitzontal.
c)Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe def�, no de f�.
Per exemple, f(x) =cos x és tres vegades derivable,és estrictament decreixent en (0, ), però f�(x) =sin x >0 en aquest interval.
26.El càlcul és incorrecte perquè s’ha aplicat la regla deL’Hôpital de manera incorrecta:
00
,,
24
2
– 2 – 4
Y
X
f(x) =5 – x2
c)1.Domini:
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
3.Signe:
4.Simetria i periodicitat:
És una funció parell, ja que
Per tant, en tenim prou d’estudiar la gràfica de
f en [0, +) �D(f) =i fer una sime-tria respecte de l’eix d’ordenades.
5.Asímptotes i branques infinites
•f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .
•f no pot tenir asímptotes horitzontals ni obli-qües, ni branques infinites, ja que la variableno pot tendir a sense sortir del domini de f.
6.Intervals de monotonia i extrems:
Construïm una taula amb els intervals queels zeros de f�ens determinen en el dominide f:
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Com que f�(x) <0 x D(f�), f és còncava enel seu domini i no té punts d’inflexió.
==
=
fx
xxx
x
x
x
()
155
5
5
5
2
2
2
2 (()3
==
==
fxx
x
x
x
fxx
()
()
2
255
00
22
en,. 05 ()
, 05
== 52
xfx().
fxx ()() =52
fxxxDf ()(), == 50552
f(), 05052242
===
=
=±=±
05
5224
2x
x,
052
== fxx ()
Dfxx
xx
(){}
{}[,]
==
==
�
�
50
555
2
2
x0
f(x)+0
f(x)M
(,) 05 (,) 50
C M
Y K
212
11. Aplicacions de les derivades
Si l’apliquem com cal:
Per tant, el resultat també era incorrecte.
EXERCICIS I PROBLEMES
27.Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la enel punt per a veure quin és el seu signe.
a)
és estrictament
creixent en x =0.
b)f�(x) =(x2+cos x)�=2 x sin x,
f�() =2 0 >0 f és estrictament creixent enx =.
f�() =2 0 <0 f és estrictament decreixenten x =.
28.Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zerosi els punts de discontinuïtat, ja que el signe de f�és el que ens permet d’estudiar la monotonia de f:
a)1.f(x) =(x44 x3+4 x21)=
=4 x312 x2+8 x
Els zeros de f són:f(x) =0 x =0 , x =1 o x =2
Com que f és polinòmica, no té discontinuï-tats.
2.Els intervals que hem de considerar són els de-finits pels zeros de f�(ja que no té discontinuï-tats):
(, 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, +)
3.El signe de f�en cada interval ens indica la mo-notonia de f en aquest interval, d’acord amb lataula següent.
=++
+=> ff ()
()0
002
02
12
0 2
=+
=+
+fx
x
x
xxx
x()
()()
(
1
2
1212
22
2
2))
()
2
2
22
22
2
=
=++
+
xx
x
limln
lim()(ln)
limxxx
xx
xx
x
===111
1111
=== limx
x1
1
limln
limln
lim
xx
x
xx
xx
=
=
11
1
11
1=
=+
ln()
(ln)
limln
(ln)
xxxx
xxx x
11
11
2
122
01
0 ==
x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)
f(x)0+00+
f(x)
Per tant, f és estrictament decreixent en(, 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixenten (0, 1) i en (2, +).
D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de creixement i decreixement en po-dem concloure:
f té un mínim en x =0: m =(0, 1)
f té un màxim en x =1: M =(1, 0)
f té un mínim en x =2: m =(2, 1)
b)1.
Els zeros de f�són:
0 =f(x) 2 x 4 =0 x =2
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros deldenominador:
x2=0 x =0
2.Hem de considerar els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f:
(, 0) , (0, 2) i (2, +)
3.La taula de monotonia de f, completada ambels seus extrems relatius, és:
Per tant: f és estrictament decreixent en (, 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en(2, +) i té un mínim relatiu en x =2:m =(2, 2 +ln 4).
c)1.
Com que f�(x) <0 x D(f�) =(, 3) ==D(f) {3}, és estrictament decreixent en (,3), i no té extrems relatius.
29.Hem de calcular la derivada segona i veure quin signeté en els punts considerats:
a)f(x) =e3 x+1, f(x) =3 e3 x+1
f(x) =9 e3 x+1, f(2) =9 e6+1>0 f és con-vexa en x =2.
b)
és còncava en x =2.
30.Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els ze-ros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f�el que ens permet d’estudiar la curvatura de f:
=< ff ()240
1250
fxx
xfx
xx
x
fxx
(),()()
()
=+
=++
+
=
2
1
41
1
2
2
2
22
332
23
1264
1
+
+
xx
x()
=()= fxxx
()31
23
=+=+= fxx
xxx
xx
x()ln
4412
24 2222
x(, 0)0(0, 2)2(2, +)
f(x)�0+
f(x)�m
212
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Si l’apliquem com cal:
Per tant, el resultat també era incorrecte.
EXERCICIS I PROBLEMES
27. Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la enel punt per a veure quin és el seu signe.
a)
és estrictament
creixent en x = 0.
b) f�(x) = (x2 + cos x)� = 2 x sin x,
f�( ) = 2 0 > 0 f és estrictament creixent enx = .
f�( ) = 2 0 < 0 f és estrictament decreixenten x = .
28. Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zerosi els punts de discontinuïtat, ja que el signe de f� és el que ens permet d’estudiar la monotonia de f:
a) 1. f (x) = (x4 4 x3 + 4 x2 1) =
= 4 x3 12 x2 + 8 x
Els zeros de f són:f (x) = 0 x = 0 , x = 1 o x = 2
Com que f és polinòmica, no té discontinuï-tats.
2. Els intervals que hem de considerar són els de-finits pels zeros de f� (ja que no té discontinuï-tats):
( , 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, + )
3. El signe de f� en cada interval ens indica la mo-notonia de f en aquest interval, d’acord amb lataula següent.
=+ +
+= >f f( )
( )0
0 0 2
0 2
12
02
=+
=+
+f x
x
x
x x x
x( )
( ) ( )
(
1
2
1 2 1 2
22
2
2 ))
( )
2
2
2 2
2 2
2
=
=+ +
+
x x
x
limln
lim( )(ln )
limx x x
xx
xx
x
= = =1 1 1
1 1 11
== =limx
x1
1
limln
limln
lim
x x
x
xx
xx
=
=
1 1
1
1 1
1=
=+
ln ( )
(ln )
limln
(ln )
x x xx
x xxx
11
11
2
1 22
01
0= =
x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )
f (x) 0 + 0 0 +
f(x)
Per tant, f és estrictament decreixent en( , 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixenten (0, 1) i en (2, + ).
D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de creixement i decreixement en po-dem concloure:
f té un mínim en x = 0: m = (0, 1)
f té un màxim en x = 1: M = (1, 0)
f té un mínim en x = 2: m = (2, 1)
b) 1.
Els zeros de f� són:
0 = f (x) 2 x 4 = 0 x = 2
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros deldenominador:
x2 = 0 x = 0
2. Hem de considerar els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f:
( , 0) , (0, 2) i (2, + )
3. La taula de monotonia de f, completada ambels seus extrems relatius, és:
Per tant: f és estrictament decreixent en ( , 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en(2, + ) i té un mínim relatiu en x = 2:m = (2, 2 + ln 4).
c) 1.
Com que f�(x) < 0 x D(f�) = ( , 3) == D(f) {3}, és estrictament decreixent en ( ,3), i no té extrems relatius.
29. Hem de calcular la derivada segona i veure quin signeté en els punts considerats:
a) f(x) = e 3 x+1 , f (x) = 3 e 3 x+1
f (x) = 9 e 3 x+1 , f ( 2) = 9 e6+1 > 0 f és con-vexa en x = 2.
b)
és còncava en x = 2.
30. Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els ze-ros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f� el que ens permet d’estudiar la curvatura de f:
= <f f( )240
1250
f xx
xf x
x x
x
f xx
( ) , ( )( )
( )
=+
=+ +
+
=
2
1
4 1
1
2
2
2
2 2
33 2
2 3
12 6 4
1
+
+
x x
x( )
= ( ) =f x xx
( ) 31
2 3
= + = + =f xx
xx x
xx
x( ) ln
4 4 12
2 422 2 2
x ( , 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )
f (x) � 0 +
f(x) � m
CM
YK
213
11. Aplicacions de les derivades
Per tant, f té un punt d’inflexió en x = 1, PI = ( 1, 0), en el qual passa de ser còncava en( , 1) a ser convexa en ( 1, + ).
31. a) D(f) = � { 1, 5}, ja que x = 1 i x = 5 són les úni-ques rectes de la forma x = k, k �, que no tallenla gràfica de f.
Els punts de tall amb l’eix OX són ( 3, 0),
, (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).
A. V.: x = 1 i x = 5 són asímptotes verticals.
A. H.: y = 2 és una asímptota horitzontal per la dre-ta.
A. O.: f no té asímptotes obliqües.
b) f és estrictament creixent en els intervals ( , 1), (3, 5) i (5, + ), i estrictament decreixenten l’interval ( 1, 3).
f té un únic extrem relatiu: un mínim en m = (3, 2).
f és còncava en els intervals ( , 3) i (5, + ), iconvexa en els intervals ( 3, 1) i ( 1, 5).
f té un únic punt d’inflexió en PI=( 3, 0).
32. Estudiem els set aspectes útils per a fer la representa-ció de cadascuna de les funcions:
a) 1. Domini: D(f) = �, ja que és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
f(0) = 2 03 + 3 02 12 0 + 7 = 7
3. Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f iveiem quin és el seu signe en cadascun:
4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.
5. Asímptotes i branques infinites.
f no té asímptotes, ja que és una funció polinò-mica no constant ni lineal.
f té sengles branques infinites en + i , jaque i .
6. Monotonia i extrems relatius:
Hem de calcular f� i estudiar-ne el signe en els
lim ( )x
f x =lim ( )x
f x+
= +
0 2 3 12 7
72
1
3 2= = + +
= =
f x x x x
x o x
( )
12
0,
x 1 (1, + )
f(x) 0 + 0 +
,72
172
,72
a) 1.
Els zeros de f� són:
però
aleshores, només té sentit el zero
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros
del denominador : x2 = 0 x = 0, però
x = 0 D(f); aleshores, no cal considerar-lo.
2. Els intervals considerats en D(f) = (0, + ) pelszeros i discontinuïtats de f� són:
i
3. La taula de curvatura de f és:
Per tant, f és còncava en i convexa en
.
D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de curvatura en podem concloure
que f té un punt d’inflexió en :
b) 1. f(x) = (x + 1)5 , f (x) = 5 (x + 1)4
f (x) = 20 (x + 1)3
Els zeros de f� són:
0 = 20 (x + 1)3 x = 1
Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats.
2. Els intervals que hem de considerar són:( , 1) i ( 1, + )
3. La taula de curvatura de f, completada amb elsseus punts d’inflexió, és:
PI =12
12
2, ln
x =12
12
, +
012
,
12
, +012
,
12x
x =12
.
x D f=12
( );0 41 1
22= = ±x
x ,
f x x x f x x x
f xx
( ) ln , ( ) ,
( )
= + = +
=
2 41
41
2
2
x
f (x) 0 +
f(x)
12
, +12
012
,
��
x ( , 1) 1 ( 1, + )
f (x) 0 +
f(x) PI
��
213
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Per tant, f té un punt d’inflexió en x =1, PI =(1, 0), en el qual passa de ser còncava en(, 1) a ser convexa en (1, +).
31.a)D(f) =�{1, 5}, ja que x =1 i x =5 són les úni-ques rectes de la forma x =k, k �, que no tallenla gràfica de f.
Els punts de tall amb l’eix OX són (3, 0),
, (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).
A. V.:x =1 i x =5 són asímptotes verticals.
A. H.:y =2 és una asímptota horitzontal per la dre-ta.
A. O.:f no té asímptotes obliqües.
b)f és estrictament creixent en els intervals (, 1), (3, 5) i (5, +), i estrictament decreixenten l’interval (1, 3).
f té un únic extrem relatiu: un mínim en m =(3, 2).
f és còncava en els intervals (, 3) i (5, +), iconvexa en els intervals (3, 1) i (1, 5).
f té un únic punt d’inflexió en PI=(3, 0).
32.Estudiem els set aspectes útils per a fer la representa-ció de cadascuna de les funcions:
a)1.Domini: D(f) =�, ja que és polinòmica.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
f(0) =2 03+3 0212 0 +7 =7
3.Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f iveiem quin és el seu signe en cadascun:
4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.
5.Asímptotes i branques infinites.
f no té asímptotes, ja que és una funció polinò-mica no constant ni lineal.
f té sengles branques infinites en +i , jaque i .
6.Monotonia i extrems relatius:
Hem de calcular f�i estudiar-ne el signe en els
lim()x
fx= lim()x
fx+
=+
023127
72
1
32==++
==
fxxxx
xox
()
12
0,
x1(1, +)
f(x)0+0+
,72
172
,72
a)1.
Els zeros de f�són:
però
aleshores, només té sentit el zero
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros
del denominador : x2=0 x =0, però
x =0 D(f); aleshores, no cal considerar-lo.
2.Els intervals considerats en D(f) =(0, +)pelszeros i discontinuïtats de f�són:
i
3.La taula de curvatura de f és:
Per tant, f és còncava en i convexa en
.
D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de curvatura en podem concloure
que f té un punt d’inflexió en:
b)1.f(x) =(x +1)5, f(x) =5 (x +1)4
f(x) =20 (x +1)3
Els zeros de f�són:
0 =20 (x +1)3x =1
Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats.
2.Els intervals que hem de considerar són:(, 1) i (1, +)
3.La taula de curvatura de f, completada amb elsseus punts d’inflexió, és:
PI=12
12
2 ,ln
x=12
12
,+
012
,
12
,+ 012
,
12
x
x=12
.
xDf =12
(); 0411
2 2 ==±x
x,
fxxxfxxx
fxx
()ln,(),
()
=+=+
=
241
41
2
2
x
f(x)0+
f(x)
12
,+12
012
,
� �
x(, 1)1(1, +)
f(x)0+
f(x)PI� �
C M
Y K
214
11. Aplicacions de les derivades
intervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:
f(x) =(2 x3+3 x212 x +7)=
=6 x2+6 x 12Els zeros de f�són:
0 =6 x2+6 x 12 x =2 o x =1
Com que f�és polinòmica, no té discontinuïtat;aleshores, els intervals que hem de considerar són:
Així, f és estrictament creixent en (, 2), téun màxim relatiu en (2, 27), decreix estricta-ment entre 2 i 1, assoleix un mínim relatiu en(1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, +).
7.Curvatura i punts d’inflexió:
Hem de calcular f�i estudiar-ne el signe en elsintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:
f(x) =(6 x2+6 x 12)=12 x +6
Els zeros de f�són: 0 =12 x +6
Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats; aleshores, els intervals que hem de consi-derar són:
Aleshores f és còncava en l’interval,
té un punt d’inflexió en,
, i passa a ser convexa en
l’interval .
Amb aquesta informació, podem elaborar unagràfica com la que adjuntem:
+12
,
PI=12
272
,
x=12
,12
x=12
x
f(x)0+
f(x)PI
+,12
12
,12
� �
Y
X – 101020 – 20
10
20
30
40
f(x) =2x3+ 3x2– 12x+ 7
b)1.Domini: D(f) =�, ja que f és polinòmica.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) x =1 o x =3
—Amb l’eix OY:
f(0) =044 03+4 029 =9
3.Signe: Si considerem els intervals determinatspels zeros de f (ja que no té punts de disconti-nuïtat):
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.
5.Asímptotes i branques infinites:
f és polinòmica de grau major que 1, aleshoresno té asímptotes.
Com que , f té branques infi-
nites per tots dos costats.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
f(x) =4 x312 x2+8 x
Els zeros de f�són:f(x) =0 x =0, x =1 o x =2.
Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats.
Per tant, els intervals de monotonia de f són:
Els extrems relatius de f són, d’acord ambaquesta taula:
m =(0, 9) , M =(1, 8) , m =(2, 9)
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f(x) =12 x224 x +8
Els zeros de f�són:
Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats.
===
=+=
fxxo
x
(),
,
013
3042
13
3158
lim()x
fx±
=+
x(, 1)1(1, 3)3(3, +)
f(x)+00+
x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)
f(x)0+00+
f(x)mMm
x(, 2)2(2, 1)1(1, +)
f(x)+00+
f(x)Mm
214
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:
f (x) = (2 x3 + 3 x2 12 x + 7) =
= 6 x2 + 6 x 12Els zeros de f� són:
0 = 6 x2 + 6 x 12 x = 2 o x = 1
Com que f� és polinòmica, no té discontinuïtat;aleshores, els intervals que hem de considerar són:
Així, f és estrictament creixent en ( , 2), téun màxim relatiu en ( 2, 27), decreix estricta-ment entre 2 i 1, assoleix un mínim relatiu en(1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, + ).
7. Curvatura i punts d’inflexió:
Hem de calcular f� i estudiar-ne el signe en elsintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:
f (x) = (6 x2 + 6 x 12) = 12 x + 6
Els zeros de f� són: 0 = 12 x + 6
Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats; aleshores, els intervals que hem de consi-derar són:
Aleshores f és còncava en l’interval ,
té un punt d’inflexió en ,
, i passa a ser convexa en
l’interval .
Amb aquesta informació, podem elaborar unagràfica com la que adjuntem:
+12
,
PI =12
272
,
x =12
,12
x =12
x
f (x) 0 +
f(x) PI
+,12
12
,12
��
Y
X– 10 10 20– 20
10
20
30
40
f(x) = 2x3 + 3x2– 12x + 7
b) 1. Domini: D(f) = �, ja que f és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) x = 1 o x = 3
— Amb l’eix OY:
f(0) = 04 4 03 + 4 02 9 = 9
3. Signe: Si considerem els intervals determinatspels zeros de f (ja que no té punts de disconti-nuïtat):
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.
5. Asímptotes i branques infinites:
f és polinòmica de grau major que 1, aleshoresno té asímptotes.
Com que , f té branques infi-
nites per tots dos costats.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f (x) = 4 x3 12 x2 + 8 x
Els zeros de f� són: f (x) = 0 x = 0, x = 1 o x = 2.
Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats.
Per tant, els intervals de monotonia de f són:
Els extrems relatius de f són, d’acord ambaquesta taula:
m = (0, 9) , M = (1, 8) , m = (2, 9)
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f (x) = 12 x2 24 x + 8
Els zeros de f� són:
Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats.
= = =
= + =
f x x o
x
( ) ,
,
0 13
30 42
13
31 58
lim ( )x
f x±
= +
x ( , 1) 1 ( 1, 3) 3 (3, + )
f(x) + 0 0 +
x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )
f (x) 0 + 0 0 +
f(x) m M m
x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
CM
YK
215
11. Aplicacions de les derivades
Els punts d’inflexió de f són, d’acord ambaquesta taula:
PI = (0,42, 8,56) , PI = (1,58, 8,56)
La gràfica que podem elaborar de f a partir d’a-questes dades és:
x
f (x) + 0 0 +
f(x) PI PI
+13
3,, ++1
33
+,13
31
33
33
, 13
3
� � �
Y
X
f(x) = x4 – 4x3+ 4x2 – 9–5
5–5
5
–10
10
c) 1. Domini: Com que f és racional, el seu domini és:
D(f) = � {x � � x 4 = 0} = � {4}
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) x2 8 x + 12 = 0 x = 2 o x = 6
— Amb l’eix OY:
3. Signe: Si considerem els intervals definits pelspunts de discontinuïtat i els zeros de f en el seudomini:
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) � f(x) � f( x) per a algun x.
f ( )00 8 0 12
0 43
2
=+
=
x ( , 2) 2 (2, 4) (4, 6) 6 (6, + )
f(x) 0 + 0 +
Per tant, els intervals de curvatura de f són:
5. Asímptotes i branques infinites:
• La recta x = 4 és una asímptota vertical, ja que
• f no té asímptotes horitzontals, ja que
•
Per tant, la recta y = x 4 és asímptota obliqua pels dos costats.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f� no té zeros, ja que x2 8 x + 20 és irreductible, i té una discontinuïtaten x = 4; aleshores, els intervals que hem de distingir són:
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
=+
f xx x x x x
x( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 8 4 8 20 2 4
4
2 2
4==
8
4 3( )x
=+
=f xx x x x
x
x x( )
( ) ( ) ( )
( )
2 8 4 8 12 1
4
82
2
2 ++ 20
4 2( )x
b f x mxx x x x
xx x= =
+ +
± ±lim ( ( ) ) lim
2 28 12 44
=+
=±
limx
xx
4 124
4
mf x
xx x
x xx x= =
+=
± ±lim
( )lim
2
2
8 12
41
lim ( ) .x
f x±
= ±
lim ( ) .x
f x =4
x ( , 4) 4 (4, + )
f (x) + � +
f(x) �
215
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Els punts d’inflexió de f són, d’acord ambaquesta taula:
PI =(0,42, 8,56) , PI =(1,58, 8,56)
La gràfica que podem elaborar de f a partir d’a-questes dades és:
x
f(x)+00+
f(x)PIPI
+ 13
3,,+ + 1
33
+ , 13
31
33
33
,13
3
���
Y
X
f(x) = x4–4x3+ 4x2– 9–5
5 –5
5
–10
10
c)1.Domini: Com que f és racional, el seu domini és:
D(f) =�{x� �x 4 =0} =�{4}
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) x28 x +12 =0 x =2 o x =6
—Amb l’eix OY:
3.Signe: Si considerem els intervals definits pelspunts de discontinuïtat i els zeros de f en el seudomini:
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.
f()008012
043
2
=+
=
x(, 2)2(2, 4)(4, 6)6(6, +)
f(x)0+0+
Per tant, els intervals de curvatura de f són:
5.Asímptotes i branques infinites:
•La recta x =4 és una asímptota vertical, ja que
•f no té asímptotes horitzontals, ja que
•
Per tant, la recta y =x 4 és asímptota obliqua pels dos costats.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
f�no té zeros, ja que x28 x +20 és irreductible, i té una discontinuïtaten x =4; aleshores, els intervals que hem de distingir són:
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
=+
fxxxxxx
x()
()()()()
()
28482024
4
22
4==8
43
() x
=+
= fxxxxx
x
xx()
()()()
()
2848121
4
82
2
2++20
42
() x
bfxmxxxxx
x xx==
++
±±lim(())lim
228124
4=
+=
±lim
x
xx
4124
4
mfx
xxx
xx xx==
+=
±±lim
()lim
2
2
812
41
lim().x
fx±
=±
lim().x
fx=4
x(, 4)4(4, +)
f(x)+�+
f(x)�
C M
Y K
216
11. Aplicacions de les derivades
d)1.Domini:
D(f) =�{x��x22 x =0} =�{0, 2}
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) (x 1)3=0 x =1
—Amb l’eix OY:
f no talla l’eix d’ordenades, ja que:
0 D(f) �f(0)
3.Signe: Si considerem els intervals determi-nats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.
La gràfica que podem elaborar amb tota aques-ta informació és:
f�no té zeros, ja que el seu numerador és constant, i només té una dis-continuïtat en x =4; aleshores, els intervals de curvatura són:
f(x) =x2– 8x + 12
x – 4– 5
5
– 5510
Y
15
y = x – 4
x(, 4)4(4, +)
f(x)+�f(x)� ��
x(, 0)(0, 1)1(1, 2)(2, +)
f(x)+0+
5.Asímptotes i branques infinites:
•x =0 i x =2 són asímptotes verticals, ja que:
•f no té asímptotes horitzontals, ja que:
•
Per tant, y =x 1 és asímptota obliqua pels doscostats.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f�són:
Els punts de discontinuïtat de f�són els zerosdel denominador:
(x22 x)2=0 x22 x =0
x =0 o x =2
Els intervals de monotonia són, finalment, elsdeterminats pels zeros i els punts de disconti-nuïtat de f�:
004322
13
1
432==++
==
=
fxxxxx
x
x
()
0,73
oox=+= 132,73
=
=
fx
xxxxx
xx
()
()()()()
()
312122
2
223
222
432
22
4322
2
=
=++ xxxx
xx ()
mfx
xx
xx
b
xx
x
===
=
±±lim
()lim
()
lim
1
21
3
32
±±
±
=
=
(())
lim()
fxmx
x
xxx
x
1
21
3
2==
=++
=
=
±
±
lim
lim
x
x
xxxxx
xx
3232
2
3312
2
xxx
xx
2
2
31
21
+=
lim()x
fx±
=±
lim()lim()xx
fxfx ==02
x(, 0,73)0,73(0,73, 0)(0,1)1(1, 2)(2, 2,73)2,73(2,73, +)
f(x)+000+
f(x)Mm
216
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
d) 1. Domini:
D(f) = � {x � � x2 2 x = 0} = � {0, 2}
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) (x 1)3 = 0 x = 1
— Amb l’eix OY:
f no talla l’eix d’ordenades, ja que:
0 D(f) � f(0)
3. Signe: Si considerem els intervals determi-nats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.
La gràfica que podem elaborar amb tota aques-ta informació és:
f � no té zeros, ja que el seu numerador és constant, i només té una dis-continuïtat en x = 4; aleshores, els intervals de curvatura són:
f(x) =x2 – 8x + 12
x – 4– 5
5
– 5 5 10
Y
15
y = x
– 4
x ( , 4) 4 (4, + )
f (x) + �f(x) �� �
x ( , 0) (0, 1) 1 (1, 2) (2, + )
f(x) + 0 +
5. Asímptotes i branques infinites:
• x = 0 i x = 2 són asímptotes verticals, ja que:
• f no té asímptotes horitzontals, ja que:
•
Per tant, y = x 1 és asímptota obliqua pels doscostats.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f� són:
Els punts de discontinuïtat de f� són els zerosdel denominador:
(x2 2 x)2 = 0 x2 2 x = 0
x = 0 o x = 2
Els intervals de monotonia són, finalment, elsdeterminats pels zeros i els punts de disconti-nuïtat de f�:
0 0 4 3 2 2
1 3
1
4 3 2= = + +
= =
=
f x x x x x
x
x
( )
0,73
oo x = + =1 3 2,73
=
=
f x
x x x x x
x x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 1 2 1 2 2
2
2 2 3
2 22
4 3 2
2 2
4 3 2 2
2
=
=+ +x x x x
x x( )
mf x
xx
x x
b
x x
x
= = =
=
± ±lim
( )lim
( )
lim
1
21
3
3 2
±±
±
=
=
( ( ) )
lim( )
f x m x
x
x xx
x
1
21
3
2==
=+ +
=
=
±
±
lim
lim
x
x
x x x x x
x x
3 2 3 2
2
3 3 1 2
2
xx x
x x
2
2
3 1
21
+=
lim ( )x
f x±
= ±
lim ( ) lim ( )x x
f x f x= =0 2
x ( , 0,73) 0,73 ( 0,73, 0) (0,1) 1 (1, 2) (2, 2,73) 2,73 (2,73, + )
f (x) + 0 0 0 +
f(x) M m
CM
YK
217
11. Aplicacions de les derivades
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.
5. Asímptotes i branques infinites:
• f no té asímptotes verticals, ja que:
• f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja
que , però y = 0 és asímpto-
ta horitzontal per l’esquerra:
0 L’Hôpital L’Hôpital
• f no té asímptota obliqua per la dreta, jaque:
• f té una branca infinita per la dreta, ja que
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f (x) = (x2ex) = 2 xex + x2ex = ex(x2 + 2 x)
Els zeros de f� són: f (x) = 0 x = 2 o x = 0.
Com que f� és contínua, els intervals de monoto-nia de f són els determinats pels zeros de f�:
Els extrems relatius són M = ( 2, 0,54) im = (0, 0).
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f (x) = ex (x2 + 2 x) + ex (2 x + 2) =
= ex (x2 + 4 x + 2)
Els zeros de f� són:
= + + =
= =
= + =
f x x x
x
o x
( ) 0 4 2 0
2 2
2 2
2
3,41
0,559
lim .x
xx e+
= +2
mx e
xx e
x
x
x
x= = = ++ +
lim lim2
lim=xx x x
x
ee= =
22 0lim
lim lim limx
x
x x x xx e
x
e
x
e= = =2
2 2
limx
xx e+
= +2
lim ( ) ( ),x a
f x f a a= �
x ( , 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
– 2 2 4 6
– 2
– 4
2
4
Y
X
(x – 1)3
x2 – 2xf(x) = Y =
x –
1
Els punts x = 0,73 i x = 2,73 corresponen a ex-trems relatius:
M = ( 0,73, 2,60) , m = (2,73, 2,60)
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
A causa de la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràficaprescindint d’aquest punt.
Observem, tanmateix, que com que f�(1) = 0 ix = 1 no és un extrem relatiu, x = 1 ha de ser unpunt d’inflexió, PI = (1, 0).
Amb tota aquesta informació, elaborem la grà-fica següent:
e) 1. Domini: D(f) = �, ja que x2 i ex tenen com a do-mini �.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) = x2ex x = 0
— Amb l’eix OY:
f(0) = 02 e0 = 0
3. Signe: Com que f no té discontinuïtats, hem deconsiderar els intervals definits pels seus zeros:
x ( , 0) 0 (0, + )
f(x) + 0 +
Com que f no té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f :
x ( , 3,41) 3,41 ( 3,41, 0,59) 0,59 ( 0,59, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) PI PI
� � �
217
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.
5.Asímptotes i branques infinites:
•f no té asímptotes verticals, ja que:
•f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja
que , però y =0 és asímpto-
ta horitzontal per l’esquerra:
0L’HôpitalL’Hôpital
•f no té asímptota obliqua per la dreta, jaque:
•f té una branca infinita per la dreta, ja que
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
f(x) =(x2ex)=2 xex+x2ex=ex(x2+2 x)
Els zeros de f�són: f(x) =0 x =2 o x =0.
Com que f�és contínua, els intervals de monoto-nia de f són els determinats pels zeros de f�:
Els extrems relatius són M =(2, 0,54) im =(0, 0).
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f(x) =ex(x2+2 x) +ex (2 x +2) =
=ex (x2+4 x +2)
Els zeros de f�són:
=++=
==
=+=
fxxx
x
ox
()0420
22
22
2
3,41
0,559
lim.x
xxe
+=+
2
mxe
xxe
x
x
x
x===+
++limlim
2
lim =xxxx
x
ee ==
220 lim
limlimlimx
x
xxxx xex
e
x
e===
222
limx
xxe
+=+
2
lim()(),xa
fxfaa =�
x(, 2)2(2, 0)0(0, +)
f(x)+00+
f(x)Mm
– 2246
– 2
– 4
2
4
Y
X
(x – 1)3
x2 – 2xf(x) =Y = x – 1
Els punts x =0,73 i x =2,73 corresponen a ex-trems relatius:
M =(0,73, 2,60) , m =(2,73, 2,60)
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
A causa de la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràficaprescindint d’aquest punt.
Observem, tanmateix, que com que f�(1) =0 ix =1 no és un extrem relatiu, x =1 ha de ser unpunt d’inflexió, PI =(1, 0).
Amb tota aquesta informació, elaborem la grà-fica següent:
e)1.Domini: D(f) =�, ja que x2i extenen com a do-mini �.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) =x2exx =0
—Amb l’eix OY:
f(0) =02e0=0
3.Signe: Com que f no té discontinuïtats, hem deconsiderar els intervals definits pels seus zeros:
x(, 0)0(0, +)
f(x)+0+
Com que fno té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f:
x(, 3,41)3,41(3,41, 0,59)0,59(0,59, +)
f(x)+00+
f(x)PIPI ���
C M
Y K
218
11. Aplicacions de les derivades
Els punts d’inflexió són PI =(3,41, 0,38)i PI =(0,59, 0,19).
Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:
f)1.Domini:
D(f) =D(x2) �D(ln x) =
=��(0, +) =(0, +)
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) =x2ln x x =1
—Amb l’eix OY:
No talla l’eix de coordenades, ja que:
0 D(f)
3.Signe: Hem de considerar els intervals definitsen D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té dis-continuïtats:
4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que D(f) ==(0, +) i no és periòdica.
5.Asímptotes i branques infinites:
•f només pot tenir com a asímptota vertical larecta x =0:
0L’Hôpital
limx
==0
2
20
x
limlnlimln
limxxx
xxx
x
x
x
===0
2
02
03
1
1
2
– 6– 4– 22
– 2
2
4
6
Y
X
f(x) = x2ex
Per tant, x =0 no és asímptota vertical, sinó(cosa que ens resultarà útil).
•f només pot tenir una asímptota horitzontalper la dreta:
Per tant, f no té asímptotes horitzontals.
•f només pot tenir una asímptota obliqua perla dreta:
Per tant, f no té asímptotes obliqües.
•f té una branca infinita per la dreta.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f�són:
fés contínua en el seu domini, (0, +); ales-hores, els intervals de monotonia de f són:
f té un mínim en m =(0,61, 0,18).
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f�són:
fés contínua en el seu domini, (0, +); ales-hores, els intervals de curvatura de f són:
f té un punt d’inflexió en:
PI =(0,22, 0,07)
=== fxxe ()0320,22
=++=+ fxxxxx ()lnln 1221
32
=== fxxe ()0120,61
=+=+ fxxxxxxxx ()lnln 21
22
mxx
xxx
xx===+
++lim
lnlimln.
2
limlnx
xx+
=+2
lim()x
fx=0
0
x(0, 1)1(1, +)
f(x)0+
x(0, 0,61)0,61(0,61, +)
f(x)0+
f(x)m
x(0, 0,22)0,22(0,22, +)
f(x)0+
f(x)PI� �
218
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esEls punts d’inflexió són PI = ( 3,41, 0,38) i PI = ( 0,59, 0,19).
Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:
f ) 1. Domini:
D(f) = D(x2) � D(ln x) =
= � � (0, + ) = (0, + )
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) = x2 ln x x = 1
— Amb l’eix OY:
No talla l’eix de coordenades, ja que:
0 D(f)
3. Signe: Hem de considerar els intervals definitsen D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té dis-continuïtats:
4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que D(f) == (0, + ) i no és periòdica.
5. Asímptotes i branques infinites:
• f només pot tenir com a asímptota vertical larecta x = 0:
0 L’Hôpital
limx
= =0
2
20
x
lim ln limln
limx x x
x xx
x
x
x
= = =0
2
02
03
1
1
2
– 6 – 4 – 2 2
– 2
2
4
6
Y
X
f(x) = x2 ex
Per tant, x = 0 no és asímptota vertical, sinó(cosa que ens resultarà útil).
• f només pot tenir una asímptota horitzontalper la dreta:
Per tant, f no té asímptotes horitzontals.
• f només pot tenir una asímptota obliqua perla dreta:
Per tant, f no té asímptotes obliqües.
• f té una branca infinita per la dreta.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f� són:
f és contínua en el seu domini, (0, + ); ales-hores, els intervals de monotonia de f són:
f té un mínim en m = (0,61, 0,18).
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f� són:
f és contínua en el seu domini, (0, + ); ales-hores, els intervals de curvatura de f són:
f té un punt d’inflexió en:
PI = (0,22, 0,07)
= = =f x x e( ) 032 0,22
= + + = +f x x x x x( ) ln ln1 2 21
3 2
= = =f x x e( ) 012 0,61
= + = +f x x x x x x x x( ) ln ln21
22
mx x
xx x
x x= = = +
+ +lim
lnlim ln .
2
lim lnx
x x+
= +2
lim ( )x
f x =0
0
x (0, 1) 1 (1, + )
f(x) 0 +
x (0, 0,61) 0,61 (0,61, + )
f (x) 0 +
f(x) m
x (0, 0,22) 0,22 (0,22, + )
f (x) 0 +
f(x) PI ��
CM
YK
219
11. Aplicacions de les derivades
Amb aquestes dades podem representar gràfi-cament f de manera aproximada:
g) 1. Domini:
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
f(0) = tg (2 0 ) = 0
3. Signe: Hem de considerar els intervals definitspels zeros de f en el seu domini, ja que f és con-tínua en el seu domini:
0 2
2
= =
=
f x x k k
x k k
( ) ,
,
�
�
D f x x k k
k
( ) ,
,
= = + =
= +
� � �
�
22
4 2kk �
f(x) = x2 lnx
– 2 2
– 2
2
4
6
4– 4 X
Y
0,2 10,4 0,6 0,8
x ... ...
f(x) 0 +
k k+2 4 2
,k2
k k+4
12 2
( ) ,
4. Simetries i periodicitat:
f és imparell, ja que:
f( x) = tg (2 ( x) ) = tg ( 2 x ) =
= tg (2 x + ) = tg (2 x + 2 ) =
= tg (2 x ) = f(x)
f és periòdica de període , ja que la funció
tg x és periòdica de període .
Com que la funció té període , n’hi ha prou
d’estudiar la seva gràfica en un interval de lon-
gitud , però com que és imparella, podem
considerar un interval centrat en l’origen i en tindrem prou de representar la funció en el
subinterval .
5. Asímptotes i branques infinites :
Com que la funció és periòdica, l’únic que pottenir són asímptotes verticals, que només poden aparèixer en els punts de disconti-
nuïtat: , per tant,
és una asímptota vertical de f.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
= =f xx x
( )cos ( ) cos ( )
1
22
2
22 2
x =4
lim ( )x
tg x = +
4
2
en 04
,
04
,
2
2
2
f no té zeros, ja que el numerador és un realno nul, però té discontinuïtats en els zeros deldenominador:
Per tant, en la funció f és estrictament
creixent, ja que f� és positiva en aquest interval.
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f� en són:
f (x) = 0 sin (2 x ) = 0
2 x = k x = 0
Els punts de discontinuïtat de f � en són
els zeros del seu denominador en aquell interval:
cos ( )3 2 0 22
4
x x k
x
= = +
=
04
,
04
,
=f xx
x( )
( )
( )
8 2
23
sin
cos
04
,
cos ( )
,
2 2 0 22
4 2
x x k
k x k k
= = +
= +� �
219
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Amb aquestes dades podem representar gràfi-cament f de manera aproximada:
g)1.Domini:
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
f(0) =tg (2 0 ) =0
3.Signe: Hem de considerar els intervals definitspels zeros de f en el seu domini, ja que f és con-tínua en el seu domini:
02
2
==
=
fxxkk
xkk
(),
,
�
�
Dfxxkk
k
(),
,
==+=
=+
���
�
22
42kk�
f(x) = x2lnx
– 22
– 2
2
4
6
4 – 4X
Y
0,21 0,40,60,8
x......
f(x)0+
kk +242
, k2
kk +4
122
(),
4.Simetries i periodicitat:
f és imparell, ja que:
f(x) =tg (2 (x) ) =tg (2 x ) =
=tg (2 x +) =tg (2 x +2 ) =
=tg (2 x ) =f(x)
f és periòdica de període , ja que la funció
tg x és periòdica de període .
Com que la funció té període, n’hi ha prou
d’estudiar la seva gràfica en un interval de lon-
gitud , però com que és imparella, podem
considerar un interval centrat en l’origen i en tindrem prou de representar la funció en el
subinterval .
5.Asímptotes i branques infinites :
Com que la funció és periòdica, l’únic que pottenir són asímptotes verticals, que només poden aparèixer en els punts de disconti-
nuïtat: , per tant,
és una asímptota vertical de f.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
== fxxx
()cos()cos()
1
22
2
222
x=4
lim()x
tgx=+
4
2
en04
,
04
,
2
2
2
fno té zeros, ja que el numerador és un realno nul, però té discontinuïtats en els zeros deldenominador:
Per tant, en la funció f és estrictament
creixent, ja que f�és positiva en aquest interval.
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f�en són:
f(x) =0 sin (2 x ) =0
2 x =kx =0
Els punts de discontinuïtat de f�en són
els zeros del seu denominador en aquell interval:
cos()3
2022
4
xxk
x
==+
=
04
,
04
,
= fxx
x()
()
()
82
23
sin
cos
04
,
cos()
,
2202
2
42
xxk
kxkk
==+
=+ ��
C M
Y K
220
11. Aplicacions de les derivades
Per tant, els intervals de curvatura de f en
són:
Com que f és imparell, en x =0 f té un puntd’inflexió, PI =(0, 0).
Amb tot això, podem representar f en
, fer una simetria respecte de l’origen
per tal d’obtenir la representació en
i reproduir aquesta gràfica en cada interval de
la forma 424
12
+++ kk ,().
44,
04
,
04
,
– 3– 2– 1123
f(x) = tg (2x – �)
– 1
– 2
– 3
1
2
3
Y
X
x0
f(x)0+�f(x)�
40
4,
�
h)1.Domini: D(f) =�, ja que és composició de dues funcions que tenen domini �.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
—Amb l’eix OY:
3.Signe: Com que f és contínua, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:
x...((4 (2k 1) +1) , (4 2 k +1) )(4 2 k +1) ((4 2 k +1) , (4 (2 k +1) +1) )...
f(x)+0
4.Simetria i periodicitat:
f no té simetria, ja que f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.
Tanmateix, f és periòdica de període 8, ja que el cosinus és una funció periòdica de període 2.
Per tant, podem estudiar el comportament de f únicament en un interval de longitud 8, per exemple [3, 5].
5.Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes verticals, ja que és contínua, i no en pot tenir d’un altre tipus (ni branques infinites) perquèés periòdica.
6.Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f�en [3, 5] són:
Com que f�és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [3, 5] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:
04
04
41 =+
=+
=== fxxx
kkxkx (),() sin�= ox3
=+
=+
fxxx
()sinsin4
14
144
f()00
42
2=
+== cos0,71
0442
41 ==++
=+=+ fxxx
kkxkk ()cos,(), ��
220
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esPer tant, els intervals de curvatura de f en
són:
Com que f és imparell, en x = 0 f té un puntd’inflexió, PI = (0, 0).
Amb tot això, podem representar f en
, fer una simetria respecte de l’origen
per tal d’obtenir la representació en
i reproduir aquesta gràfica en cada interval de
la forma 4 2 4
12
+ + +k k, ( ) .
4 4,
04
,
04
,
– 3 – 2 – 1 1 2 3
f(x) = tg (2x – �)
– 1
– 2
– 3
1
2
3
Y
X
x 0
f (x) 0 + �f(x) �
40
4,
�
h) 1. Domini: D(f) = �, ja que és composició de dues funcions que tenen domini �.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
— Amb l’eix OY:
3. Signe: Com que f és contínua, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:
x ... ((4 (2 k 1) + 1) , (4 2 k + 1) ) (4 2 k + 1) ((4 2 k + 1) , (4 (2 k + 1) + 1) ) ...
f(x) + 0
4. Simetria i periodicitat:
f no té simetria, ja que f(x) � f( x) � f(x) per a algun x.
Tanmateix, f és periòdica de període 8 , ja que el cosinus és una funció periòdica de període 2 .
Per tant, podem estudiar el comportament de f únicament en un interval de longitud 8 , per exemple [ 3 , 5 ].
5. Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes verticals, ja que és contínua, i no en pot tenir d’un altre tipus (ni branques infinites) perquèés periòdica.
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
Els zeros de f� en [ 3 , 5 ] són:
Com que f� és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [ 3 , 5 ] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:
04
04
4 1=+
=+
= = =f xx x
k k x k x( ) , ( )sin � =o x 3
=+
=+
f xx x
( ) sin sin4
14
14 4
f ( )00
42
2=
+= =cos 0,71
04 4 2
4 1= =+ +
= + = +f xx x
k k x k k( ) cos , ( ) ,� �
CM
YK
221
11. Aplicacions de les derivades
f té extrems relatius en M = ( , 1) i m = (3 , 1).
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f� en [ 3 , 5 ] són:
Com que f� és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [ 3 , 5 ] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:
Per la periodicitat, x = 3 i x = 5 també corresponen a punts d’inflexió. Aleshores, f té tres punts d’inflexióen [ 3 , 5 ]:
( 3 , 0) , ( , 0) i (5 , 0)
Amb tot això, la gràfica de f és la següent:
04
4 1 3=+
= = + =f xx
f x x k k x x( ) ( ) ( ) , ,cos � == =o x 5
=+
=+
f xx x
( )14 4
14
116 4
cos cos
– 15 – 10 – 5 5 10
– 5
5
Y
X
f(x) = cos x + �4
x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )
f(x) 0 0 +
x ( 3 , ) ( , 3 ) 3 (3 , 5 )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
x 3 ( 3 , ) ( , 5 ) 5
f (x) 0 0 + 0
f(x) PI ��
33. Estudiarem els aspectes de f que ens ajuden a repre-sentar la seva gràfica:
1. Domini: D(f) = �, ja que és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
— Amb l’eix OX:
0 = f(x) = (x + 2)2 (x 1)
x = 2 o x = 1
— Amb l’eix OY:
f(0) = (0 + 2)2 (0 1) = 4
3. Signe: Hem de considerar els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats:
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) �� f( x) � f(x) per a algun x.
5. Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes, ja que és polinòmica de graumés gran que 1.
f té branques infinites per tots dos costats, ja que
6. Intervals de creixement i extrems relatius:
f (x) = 2 (x + 2) (x 1) + (x + 2)2 1 =
= 3 x (x + 2)
lim ( ) .x
f x±
= ±
221
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
f té extrems relatius en M =(, 1) i m =(3, 1).
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
Els zeros de f�en [3, 5] són:
Com que f�és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [3, 5] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:
Per la periodicitat, x =3i x =5 també corresponen a punts d’inflexió. Aleshores, f té tres punts d’inflexióen [3, 5]:
(3, 0) , (, 0) i (5, 0)
Amb tot això, la gràfica de f és la següent:
04
413 =+
==+= fxx
fxxkkxx ()()(),, cos�=== ox5
=+
=+
fxxx
()144
14
1164
coscos
– 15– 10– 5510
– 5
5
Y
X
f(x) = cosx + �4
x(, 2)2(2, 1)1(1, +)
f(x)00+
x(3, )(, 3)3(3, 5 )
f(x)+00+
f(x)Mm
x3(3, )(, 5)5
f(x)00+0
f(x)PI� �
33.Estudiarem els aspectes de f que ens ajuden a repre-sentar la seva gràfica:
1.Domini: D(f) =�, ja que és polinòmica.
2.Talls amb els eixos:
—Amb l’eix OX:
0 =f(x) =(x +2)2(x 1)
x =2 o x =1
—Amb l’eix OY:
f(0) =(0 +2)2(0 1) =4
3.Signe: Hem de considerar els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats:
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.
5.Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes, ja que és polinòmica de graumés gran que 1.
f té branques infinites per tots dos costats, ja que
6.Intervals de creixement i extrems relatius:
f(x) =2 (x +2) (x 1) +(x +2)21 =
=3 x (x +2)
lim().x
fx±
=±
C M
Y K
222
11. Aplicacions de les derivades
Els zeros de f�són x =2 i x =0.
f�no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; ales-hores, els intervals de monotonia de f són els de-terminats pels zeros de f�:
f té dos extrems relatius:M =(2, 0) i m ==(0, 4)
7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f(x) =3 (x +2) +3 x 1 =6 x +6
El zero de f�és x =1, i com que no té disconti-nuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de cur-vatura de f són:
f té un punt d’inflexió en x =1,
PI =(1, 2).
La gràfica de f és:
D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per talde representar-la gràficament podem afirmar:
f és estrictament creixent en (, 2) i en (0, +), i estrictament decreixent en (2, 0).
Els punts (2, 0) i (0, 4) són màxim i mínim rela-tiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems re-latius.
f és còncava en (, 1) i convexa en (1, +), enquè (1, 2) és un punt d’inflexió.
10
5
510
– 5
– 10
– 5
Y
X
f(x) = (x + 2)2 (x – 1)
34.a)Els intervals de creixement de f són aquells en elsquals f�>0, i els de decreixement, aquells en els quals f�<0.
Per tant, hem de considerar els intervals en els qualsf�té un signe constant, que seran els determinatspels zeros i les discontinuïtats de f�en D(f).
En aquest cas, D(f) =�i f�no té discontinuïtats, jaque f és derivable en �i f�és polinòmica. Així, con-sultant la gràfica de f�, podem elaborar la següenttaula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en (, 0) i en(2, +), i estrictament decreixent en (0, 2).
b)La taula de monotonia de f ens permet d’afir-mar que f té un màxim relatiu en x =0 i un mínim relatiu en x =2, i no té més extrems relatius.
D’altra banda, per tal de trobar els punts d’infle-xió, el millor que podem fer és obtenir-los a partirde la taula de curvatura de f, ja que no podem cal-cular explícitament les derivades successives.
Sabem que els intervals de curvatura de f corres-ponen als intervals en què f�té signe constant iaquests corresponen als de monotonia de f�.
Així, doncs, x =1 és un punt d’inflexió de f, ja quef passa de ser còncava a ser convexa, i és contínuaen aquest punt.
c)Tenint en compte la informació que hem obtingutsobre f, que podem resumir en la taula següent:
podem esbossar la següent gràfica de f:
Y
X
f 3
2
1
1234
–1
–2
–3
–1 –2 –3
x(, 2)2(2, 0)0(0, +)
f(x)+00+
f(x)Mm
x(, 1)1(1, +)
f(x)0+
f(x)PI� �
x(, 0)0(0, 2)2(2, +)
f(x)+00+
f(x)Mm
x(, 1)1(0, +)
f(x)m
f(x)0+
f(x)PI� �
x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)
Mmf(x)
PI
� �
222
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esEls zeros de f� són x = 2 i x = 0.
f� no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; ales-hores, els intervals de monotonia de f són els de-terminats pels zeros de f�:
f té dos extrems relatius: M = ( 2, 0) i m == (0, 4)
7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:
f (x) = 3 (x + 2) + 3 x 1 = 6 x + 6
El zero de f� és x = 1, i com que no té disconti-nuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de cur-vatura de f són:
f té un punt d’inflexió en x = 1,
PI = ( 1, 2).
La gràfica de f és:
D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per talde representar-la gràficament podem afirmar:
f és estrictament creixent en ( , 2) i en (0, + ), i estrictament decreixent en ( 2, 0).
Els punts ( 2, 0) i (0, 4) són màxim i mínim rela-tiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems re-latius.
f és còncava en ( , 1) i convexa en ( 1, + ), enquè ( 1, 2) és un punt d’inflexió.
10
5
5 10
– 5
– 10
– 5
Y
X
f(x) = (x + 2)2 (x – 1)
34. a) Els intervals de creixement de f són aquells en elsquals f� > 0, i els de decreixement, aquells en els quals f� < 0.
Per tant, hem de considerar els intervals en els qualsf� té un signe constant, que seran els determinatspels zeros i les discontinuïtats de f� en D(f).
En aquest cas, D(f) = � i f� no té discontinuïtats, jaque f és derivable en � i f� és polinòmica. Així, con-sultant la gràfica de f�, podem elaborar la següenttaula de monotonia de f:
Per tant, f és estrictament creixent en ( , 0) i en(2, + ), i estrictament decreixent en (0, 2).
b) La taula de monotonia de f ens permet d’afir-mar que f té un màxim relatiu en x = 0 i un mínim relatiu en x = 2, i no té més extrems relatius.
D’altra banda, per tal de trobar els punts d’infle-xió, el millor que podem fer és obtenir-los a partirde la taula de curvatura de f, ja que no podem cal-cular explícitament les derivades successives.
Sabem que els intervals de curvatura de f corres-ponen als intervals en què f� té signe constant iaquests corresponen als de monotonia de f�.
Així, doncs, x = 1 és un punt d’inflexió de f, ja quef passa de ser còncava a ser convexa, i és contínuaen aquest punt.
c) Tenint en compte la informació que hem obtingutsobre f, que podem resumir en la taula següent:
podem esbossar la següent gràfica de f:
Y
X
f3
2
1
1 2 3 4
–1
–2
–3
–1–2–3
x ( , 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
x ( , 1) 1 ( 1, + )
f (x) 0 +
f(x) PI ��
x ( , 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )
f (x) + 0 0 +
f(x) M m
x ( , 1) 1 (0, + )
f (x) m
f (x) 0 +
f(x) PI
��
x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )
M mf(x)
PI
��
CM
YK
223
11. Aplicacions de les derivades
(1)
• En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x = 4, i atès que f és derivable en aquest punt (ja queés polinòmica), s’ha de complir f�(4) = 0:
(2)
• En tercer lloc, com que f (n)(x) = 0 x � si n 4,s’ha de complir f�(4) > 0:
f (x) = x 1 , f (4) = 4 1 = 3 > 0
Aleshores, aquesta condició ja es compleix.
Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les rela-cions (1) i (2):
La funció cercada és, doncs:
37. 1. Si anomenem x el preu del lloguer mensual en eu-ros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressióanalítica de la funció que s’ha d’optimitzar és:
B(x, y) = x y
2. Podem relacionar les dues variables tenint encompte que per cada 5 € que s’apuja el preu dellloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, dis-minueix en una unitat.
Per tant, es compleix:
Així, podem expressar B com a funció únicamentde x:
3. Determinem els extrems relatius de B:
015
23215
25
23
= = + + =
= +
B x x x
x
( )
22 580=x
B x x y x x( ) = = +15
232
x k
y ky k
x
y
= +
== =
=
160 5
200200
1605
200115
160
15
232
( )x
y x= +
f x x x x( ) = +16
12
4 133 2
4 3
44 13
c d
cc d
+ =
== =,
= +
= = + =
f x x x c
f c c
( )
( )
12
0 412
4 4 4
2
2
= = + +
+ =
13
416
412
4 4
4 3
3 2f c d
c d
( )35. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Imposem les condicions
que s’observen en la figura:
• La gràfica de f passa pels punts ( 1, 0) (0, 4) i (2, 0):
0 = f( 1) a + b c + d = 0 (1)
4 = f(0) d = 4 (2)
0 = f(2) 8 a + 4 b + 2 c + d = 0 (3)
• El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mí-nim relatiu; per tant, f ha de complir:
0 = f (0) 0 = c (4)
0 = f (2) 0 = 12 a + 4 b + c (5)
0 > f (0) 0 > 2 b (6)
0 < f (2) 0 < 12 a + 2 b (7)
• El punt x = 1 és un punt d’inflexió:
0 = f (1) 0 = 6 a + 2 b (8)
0 f�(1) = 6 a a 0 (9)
Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):
Observem que per a aquests valors es compleixen(6), (7) i (9), per la qual cosa f(x) = x3 3 x2 + 4.
36. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Vegem quines condicions han de satisfer els coefi-cients perquè la derivada segona sigui x 1:
f (x) = 3 ax2 + 2 bx + c , f (x) = 6 ax + 2 b
Per tant: f�(x) = x 1 6 ax + 2 b = x 1, i com quedos polinomis són iguals si i només si tenen iguals totsels coeficients del mateix grau, aquesta igualtat equi-val al sistema:
Per tant, les funcions que cerquem són de la forma:
Imposem que sigui un mínim relatiu:
• En primer lloc, ha de passar pel punt :413
,
413
,
f x x x c x d c d( ) , ,= + +16
12
3 2 �
6 1
2 116
12
a
ba b
=
== =,
+ + =
=
+ + + =
=
+ + =
+
a b c d
d
a b c d
c
a b c
a b
0
4
8 4 2 0
0
12 4 0
6 2 ==
= = = =
0
1 3 0 4a b c d, , ,
223
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
(1)
•En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x =4, i atès que f és derivable en aquest punt (ja queés polinòmica), s’ha de complir f�(4) =0:
(2)
•En tercer lloc, com que f(n)(x) =0 x�si n 4,s’ha de complir f�(4) >0:
f(x) =x 1 , f(4) =4 1 =3 >0
Aleshores, aquesta condició ja es compleix.
Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les rela-cions (1) i (2):
La funció cercada és, doncs:
37.1.Si anomenem x el preu del lloguer mensual en eu-ros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressióanalítica de la funció que s’ha d’optimitzar és:
B(x, y) =x y
2.Podem relacionar les dues variables tenint encompte que per cada 5 €que s’apuja el preu dellloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, dis-minueix en una unitat.
Per tant, es compleix:
Així, podem expressar B com a funció únicamentde x:
3.Determinem els extrems relatius de B:
015
23215
25
23
==++=
=+
Bxxx
x
()
22580 = x
Bxxyxx ()==+15
232
xk
ykyk
x
y
=+
===
=
1605
200200
1605
200115
160
15
232
() x
yx =+
fxxxx ()=+16
12
41332
43
4413
cd
ccd
+=
=== ,
=+
==+=
fxxxc
fcc
()
()
12
0412
444
2
2
==++
+=
13
416
412
44
43
32fcd
cd
()35.Sigui f(x) =ax3+bx2+cx +d. Imposem les condicions
que s’observen en la figura:
•La gràfica de f passa pels punts (1, 0) (0, 4) i (2, 0):
0 =f(1) a +b c +d =0(1)
4 =f(0) d =4(2)
0 =f(2) 8 a +4 b +2 c +d =0(3)
•El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mí-nim relatiu; per tant, f ha de complir:
0 =f(0) 0 =c(4)
0 =f(2) 0 =12 a +4 b +c(5)
0 >f(0) 0 >2 b(6)
0 <f(2) 0 <12 a +2 b(7)
•El punt x =1 és un punt d’inflexió:
0 =f(1) 0 =6 a +2 b(8)
0 f�(1) =6 a a 0(9)
Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):
Observem que per a aquests valors es compleixen(6), (7) i (9), per la qual cosa f(x) =x33 x2+4.
36.Sigui f(x) =ax3+bx2+cx +d.
Vegem quines condicions han de satisfer els coefi-cients perquè la derivada segona sigui x 1:
f(x) =3 ax2+2 bx +c , f(x) =6 ax +2 b
Per tant: f�(x) =x 1 6 ax +2 b =x 1, i com quedos polinomis són iguals si i només si tenen iguals totsels coeficients del mateix grau, aquesta igualtat equi-val al sistema:
Per tant, les funcions que cerquem són de la forma:
Imposem que sigui un mínim relatiu:
•En primer lloc, ha de passar pel punt : 413
,
413
,
fxxxcxdcd (),, =++16
12
32�
61
2116
12
a
bab
=
=== ,
++=
=
+++=
=
++=
+
abcd
d
abcd
c
abc
ab
0
4
8420
0
1240
62==
====
0
1304 abcd ,,,
C M
Y K
224
11. Aplicacions de les derivades
hl
b2
Veiem que x =580 correspon a un màxim de B:
x =580 és un màxim relatiu de B.
Com que la funció B és derivable, el fet que no tin-gui mínims relatius ens assegura que x =580 és unmàxim absolut.
El lloguer que dóna més beneficis a l’agència és de 580 €.
38.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con.
Si anomenem h l’altura del triangle relativa al cos-tat desigual i b la longitud d’aquest costat, tenimque l’expressió analítica de la funció és:
2.Per tal de relacionar les duesvariables, fem un esquema dela situació i observem que, sil és la longitud dels dos cos-tats del triangle, tenim:
Ara bé, com que ens diuen que el paràmetre del
triangle és de10 m,
aleshores:
Per tant, l’expressió de la funció V depenent no-més de la variable b és:
3.Determinem els extrems relatius de V:
0 =V(b) 25 b (4 b) =0 b =0 o b =4
b =0 no correspon a un triangle.
Vegem si b =4 és un mínim o un màxim relatiu mit-jançant una taula de monotonia de V (per no ha-ver de calcular V�):
=+=
=
Vbbbbb
bb
()
(
112
22555
2255
254
2
))
24255b
Vbbhbb ()==1
121
12255
22
hlbbb
b
===
=
2222
25
22
255
10252
=+=, lblb
lhb
hlb
222
22
2
2
=+
=
Vhbb
hbh (,)==132
112
22
==< BxB ()()25
58025
0
Per tant, b =4 és un màxim relatiu, i com que valors negatius de b no tenen sentit en el contextdel problema, de la taula anterior en deduïm quetambé és màxim absolut.
La longitud del costat desigual del triangle perquè el con tingui el volum màxim és b =4 m, i la dels costats iguals, per tant,
39.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónala superfície del camp.
Si anomenem b la longitud del costat del terrenyque dóna al camí i h la d’un dels costats que co-mencen en el camí, l’expressió analítica de la fun-ció és:
S(b, h) =b h
2.Podem relacionar les varia-bles a partir del cost de latanca:
1800 =5 b +0,625 b +0,625 h +0,625 h
1800 =5,625 b +1,25 h
Aleshores,
Per tant, l’expressió de la funció que s’ha d’opti-mitzar depenent d’una sola variable és:
S(b) =b h =b (4,5 b +1440)
3.Busquem els extrems relatius de S(b):
0 =S�(b) =1 �(4,5 b +1440) +b(4, 5) =
=9 b +1440 b =160
Comprovem que b =160 correspon a un màximde S:
S�(b) =9 S�(160) <0 b =160 és un màximrelatiu.
Com que S és derivable i no té més extrems rela-tius, b =160 és també un màxim absolut.
La superfície màxima que es pot envoltar és:
S(160) =160 �(4,5 �160 +1440) =115200 m2
40.1.La funció que s’optimitzarà és la quantitat de xapaemprada en la construcció del barril.
Si anomenem h l’altura del barril i r el radi de les se-ves tapes, l’expressió analítica d’aquesta funció és:
S(h, r) =2 rh +2 r2=2 r (h +r)
hb
b =+
=+5,625
1,254,5
18001440
lb
m ==10
23.
b(0, 4)4(4, 5)
V(b)+0
V(b)M
b
h Terreny
Camí
224
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
hl
b2
Veiem que x = 580 correspon a un màxim de B:
x = 580 és un màxim relatiu de B.
Com que la funció B és derivable, el fet que no tin-gui mínims relatius ens assegura que x = 580 és unmàxim absolut.
El lloguer que dóna més beneficis a l’agència és de 580 €.
38. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con.
Si anomenem h l’altura del triangle relativa al cos-tat desigual i b la longitud d’aquest costat, tenimque l’expressió analítica de la funció és:
2. Per tal de relacionar les duesvariables, fem un esquema dela situació i observem que, sil és la longitud dels dos cos-tats del triangle, tenim:
Ara bé, com que ens diuen que el paràmetre del
triangle és de 10 m,
aleshores:
Per tant, l’expressió de la funció V depenent no-més de la variable b és:
3. Determinem els extrems relatius de V:
0 = V (b) 25 b (4 b) = 0 b = 0 o b = 4
b = 0 no correspon a un triangle.
Vegem si b = 4 és un mínim o un màxim relatiu mit-jançant una taula de monotonia de V (per no ha-ver de calcular V�):
= + =
=
V b b b bb
b b
( )
(
112
2 25 55
2 25 5
25 4
2
))
24 25 5 b
V b b h b b( ) = =1
121
1225 52 2
h lb b b
b
= = =
=
22 2 2
25
2 2
25 5
10 2 52
= + = ,l b lb
l hb
h lb
2 22
22
2
2
= +
=
V h bb
h b h( , ) = =13 2
112
22
= = <B x B( ) ( )25
58025
0
Per tant, b = 4 és un màxim relatiu, i com que valors negatius de b no tenen sentit en el contextdel problema, de la taula anterior en deduïm quetambé és màxim absolut.
La longitud del costat desigual del triangle perquè el con tingui el volum màxim és b = 4 m, i la dels costats iguals, per tant,
39. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónala superfície del camp.
Si anomenem b la longitud del costat del terrenyque dóna al camí i h la d’un dels costats que co-mencen en el camí, l’expressió analítica de la fun-ció és:
S(b, h) = b h
2. Podem relacionar les varia-bles a partir del cost de latanca:
1 800 = 5 b + 0,625 b + 0,625 h + 0,625 h
1 800 = 5,625 b + 1,25 h
Aleshores,
Per tant, l’expressió de la funció que s’ha d’opti-mitzar depenent d’una sola variable és:
S(b) = b h = b ( 4,5 b + 1 440)
3. Busquem els extrems relatius de S(b):
0 = S�(b) = 1 � ( 4,5 b + 1 440) + b( 4, 5) =
= 9 b + 1 440 b = 160
Comprovem que b = 160 correspon a un màximde S:
S�(b) = 9 S�(160) < 0 b = 160 és un màximrelatiu.
Com que S és derivable i no té més extrems rela-tius, b = 160 és també un màxim absolut.
La superfície màxima que es pot envoltar és:
S(160) = 160 � ( 4,5 � 160 + 1 440) = 115 200 m2
40. 1. La funció que s’optimitzarà és la quantitat de xapaemprada en la construcció del barril.
Si anomenem h l’altura del barril i r el radi de les se-ves tapes, l’expressió analítica d’aquesta funció és:
S(h, r) = 2 rh + 2 r2 = 2 r (h + r)
hb
b=+
= +5,625
1,254,5
1 8001 440
lb
m= =10
23 .
b (0, 4) 4 (4, 5)
V (b) + 0
V(b) M
b
hTerreny
Camí
CM
YK
225
11. Aplicacions de les derivades
Aleshores podem formar el triangle rectangleABC, del qual + � és un dels angles aguts, en quèAB és el seu catet adjacent, de longitud x, i BC elseu catet oposat, de longitud:
4,5 + (2 1,8) = 4,5 + 0,2 = 4,7 m
Si apliquem la definició de tangent:
2. Podem posar la variable en funció de la variablex considerant el triangle rectangle ABD i utilitzantla definició de tangent:
Així, doncs, l’expressió de � com a funció de x és:
3. Busquem els extrems relatius de �:
Atès que x és una distància, només considerem valors positius; per tant, eliminem l’extrem x = 0,970.
Vegem si x = 0,970 correspon a un màxim relatiu:
� (0,970) = 0,4 < 0 x = 0,970 és un màxim re-latiu.
Com que en (0, + ) la funció � és derivable i �� noté més zeros, x = 0,970 és el màxim absolut quebuscàvem.
L’observador s’ha de situar a 0,97 m de l’estàtuaper tal d’obtenir-ne un major angle de visió.
42. a) Estudiem alguns aspectes de la funció
per tal de determinarla seva gràfica aproximada en l’interval [1, 3]:
• Punts de pas:
ésun punt de pas.f ( ) ( , )1 1 1 4 1 3 1 1 12= + + =
f x x x( ) = + +1 4 32
=+
++
( )( ) ( )
xx
x
x
x4,7
4,70,2
0,2
2 22 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2
=
=+ +
9,4
4,7
0,4
0,2
x
x
x
x( ) ( )
=
+ +
( )x
xx
x
1
1
1
12 24,7
4,7
0,2
=+
++
2
2 2 2 2
0,2 4,7
4,7
0,2
x x x 00,2
4,7 4,7 0,2
0,2 0,2
2
2 2
2
0 = + =
= +
( )x x
x 44,7 4,5 4,23
0,94 0,970
2 2 =
= ± = ±
x
x
( )x x x x= =arc tg4,7
arc tg4,7
arc tg0,2
tg0,2
arc tg0,2
= =x x
tg4,7
arc tg4,7
( ) ( )+ = =x x x
2. Podem relacionar les dues variables imposant quela capacitat del barril sigui de 160 l = 160 dm3:
Si substituïm en l’expressió analítica de S, obteniml’expressió de S com a funció de r:
3. Busquem els extrems relatius de S:
Comprovem que aquest valor és un mínim de S:
S (2,94) = 12 > 0 r = 2,94 és un mínim rela-tiu de S.
S és derivable en (0, + ) i no té més extrems rela-tius en aquest interval, aleshores r = 2,94 és un mà-xim absolut de S en l’interval (0, + ). Ara bé, comque només tenen sentit valors positius del radi,aquest és l’extrem que buscàvem.
El barril en la construcció del qual s’utilitza menysquantitat de xapa és el que té tapes de radi:
r = 2,94 dm i altura
41. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónal’angle � amb el qual l’observador veu l’estàtua enfunció de la distància x en què es troba respected’ella.
Per tal de trobar l’expressió analítica de � , consi-derem l’angle que forma la visual als peus del’estàtua amb l’horitzontal.
x
4,5
1,8
0,2
h dm= =160
2 .2,94
5,88
= +S rr
( )640
43
0320
4
80
2
3
= = +
= =
S rr
r
r dm
( )
2,94
S r r h r rr
r
rr
( ) ( )= + = + =
= +
2 2160
3202
2
2
1601602
2= = =C r h h
r
225
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Aleshores podem formar el triangle rectangleABC, del qual +�és un dels angles aguts, en quèAB és el seu catet adjacent, de longitud x, i BC elseu catet oposat, de longitud:
4,5 +(2 1,8) =4,5 +0,2 =4,7 m
Si apliquem la definició de tangent:
2.Podem posar la variable en funció de la variablex considerant el triangle rectangle ABD i utilitzantla definició de tangent:
Així, doncs, l’expressió de �com a funció de x és:
3.Busquem els extrems relatius de �:
Atès que x és una distància, només considerem valors positius; per tant, eliminem l’extrem x =0,970.
Vegem si x =0,970 correspon a un màxim relatiu:
�(0,970) =0,4 <0 x =0,970 és un màxim re-latiu.
Com que en (0, +) la funció �és derivable i ��noté més zeros, x =0,970 és el màxim absolut quebuscàvem.
L’observador s’ha de situar a 0,97 m de l’estàtuaper tal d’obtenir-ne un major angle de visió.
42.a)Estudiem alguns aspectes de la funció
per tal de determinarla seva gràfica aproximada en l’interval [1, 3]:
•Punts de pas:
ésun punt de pas.f()(,) 111413111
2=++=
fxxx ()=++ 1432
=+
++
()()()
xx
x
x
x4,7
4,70,2
0,2
222222222
222222
=
=++
9,4
4,7
0,4
0,2
x
x
x
x ()()
=
++
()x
xx
x
1
1
1
122
4,7
4,7
0,2
=+
++
2
2222
0,24,7
4,7
0,2
xxx00,2
4,74,70,2
0,20,2
2
22
2
0=+=
=+
()xx
x44,74,54,23
0,940,970
22=
=±=±
x
x
()xxxx== arctg
4,7arctg
4,7arctg
0,2
tg0,2
arctg0,2
==xx
tg4,7
arctg4,7
()() +==xxx
2.Podem relacionar les dues variables imposant quela capacitat del barril sigui de 160 l =160 dm3:
Si substituïm en l’expressió analítica de S, obteniml’expressió de S com a funció de r:
3.Busquem els extrems relatius de S:
Comprovem que aquest valor és un mínim de S:
S(2,94) =12 >0 r =2,94 és un mínim rela-tiu de S.
S és derivable en (0, +) i no té més extrems rela-tius en aquest interval, aleshores r =2,94 és un mà-xim absolut de S en l’interval (0, +). Ara bé, comque només tenen sentit valors positius del radi,aquest és l’extrem que buscàvem.
El barril en la construcció del qual s’utilitza menysquantitat de xapa és el que té tapes de radi:
r =2,94 dm i altura
41.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónal’angle �amb el qual l’observador veu l’estàtua enfunció de la distància x en què es troba respected’ella.
Per tal de trobar l’expressió analítica de �, consi-derem l’angle que forma la visual als peus del’estàtua amb l’horitzontal.
x
4,5
1,8
0,2
hdm ==160
2.2,94
5,88
=+ Srr
()640
4 3
0320
4
80
2
3
==+
==
Srr
r
rdm
()
2,94
Srrhrrr
r
rr
()() =+=+=
=+
22160
3202
2
2
160160 2
2 === Crhhr
C M
Y K
226
11. Aplicacions de les derivades
ésun punt de pas.
0 =f(x) 1 =x2+4 x 3 x =2 (2, 0)ésun punt de pas.
•Monotonia i extrems:
El punt (2, 0) és un màxim relatiu de f.
Amb aquesta informació, podem dibuixar aproxi-madament la situació indicada:
b)La base del triangle és AB, independentment de C,i la seva longitud és b =2.
L’altura del triangle corresponent a la base AB télongitud h =y (1) =y +1, en què y és l’ordena-da del punt C. Atès que C és un punt de la gràficade f, podem expressar h en funció de x:
L’àrea del triangle ABC és, doncs, en funció de x:
c)Per maximitzar la funció A(x) en [1, 3], busquemels seus extrems relatius en (1, 3), que es trobaranentre els zeros de A�, ja que A és derivable en (1, 3):
Atès que A és contínua en [1, 3] i el seu valor en x =1 i x =3 és 0 (tal com es pot observar gràfica-ment), l’única possibilitat és que x =2 sigui un mà-xim relatiu i, a més, absolut.
L’àrea màxima del triangle s’assolirà, doncs, quanel punt C sigui C =(2, f(2)) =(2, 0).
02
432
2==
+
= Axx
xxx ()
Axbhxx
xx
()==+
=
=+
2
243
2
4
2
23313 ,[,] x
hyxx
xx
=+=+++=
=+
11431
4
2
23
1
Y
X 23
– 1
– 2
=+
+
=
+
=
fxx
xx
x
xx
fx
()
()
24
243
2
43
02
22
== xx 02
f()(,) 3134331312
=++=43.Primer de tot, observem que una recta y =mx +b
forma un triangle amb els semieixos positius de coor-denades si m <0 i b >0.
Els vèrtexs del triangle són l’origen, O =(0, 0), i elspunts de tall amb els eixos A i B:
Si prenem com a base el costat OB, l’altura és el costatOA i l’àrea del triangle és:
Volem optimitzar la funció A.
Per tal d’expressar-la en funció d’una única variable,hem de relacionar b i m, cosa que podem fer si impo-sem que la recta passa per P =(3, 6):
6 =m 3 +b b =6 3 m
Per tant, podem expressar l’àrea del triangle en funcióúnicament de m:
Trobarem els extrems relatius de A(m):
Com que m <0, m =+2 no ens val.
Vegem que m =2 és un mínim relatiu:
és un mínim.
Com que A és derivable en (, 0) i no té més extremsen aquest interval, m =2 és el mínim absolut de A en(, 0).
La recta que cerquem és la que té pendent m =2 i or-denada en l’origen b =6 3 m =6 3 (2) =12.
y =2 x +12
44.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael valor de la maragda després de dividir-la, que de-pendrà del pes de cada tros.
Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre,podem expressar analíticament aquesta funció:
V(x, y) =k x2+k y2=k (x2+y2)
==>= Am ()236
2
92
02 3
= Amm
()36
3
=+=+
=
Ammmm
Am
()
()
92
18362
92
18
0
2
m=±2
Ambm
mm
mmm
()()
===
=+
22
2
263
2
936362
Abh
bm
bbm
===222
2
ymbbAb
ymxbxbm
Bbm
()(,) 000
0
=+==
==+==,,0
x(1, 2)2(2, 3)
f(x)+0
f(x)M
226
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
esés
un punt de pas.
0 = f(x) 1 = x2 + 4 x 3 x = 2 (2, 0) ésun punt de pas.
• Monotonia i extrems:
El punt (2, 0) és un màxim relatiu de f.
Amb aquesta informació, podem dibuixar aproxi-madament la situació indicada:
b) La base del triangle és AB, independentment de C,i la seva longitud és b = 2.
L’altura del triangle corresponent a la base AB télongitud h = y ( 1) = y + 1, en què y és l’ordena-da del punt C. Atès que C és un punt de la gràficade f, podem expressar h en funció de x:
L’àrea del triangle ABC és, doncs, en funció de x:
c) Per maximitzar la funció A(x) en [1, 3], busquemels seus extrems relatius en (1, 3), que es trobaranentre els zeros de A�, ja que A és derivable en (1, 3):
Atès que A és contínua en [1, 3] i el seu valor en x = 1 i x = 3 és 0 (tal com es pot observar gràfica-ment), l’única possibilitat és que x = 2 sigui un mà-xim relatiu i, a més, absolut.
L’àrea màxima del triangle s’assolirà, doncs, quanel punt C sigui C = (2, f(2)) = (2, 0).
02
4 32
2= =
+
=A xx
x xx( )
A xb h x x
x x
( ) = =+
=
= +
2
2 4 3
2
4
2
2 33 1 3, [ , ]x
h y x x
x x
= + = + + + =
= +
1 1 4 3 1
4
2
2 3
1
Y
X2 3
– 1
– 2
=+
+
=
+
=
f xx
x x
x
x x
f x
( )
( )
2 4
2 4 3
2
4 3
0 2
2 2
= =x x0 2
f ( ) ( , )3 1 3 4 3 3 1 3 12= + + =43. Primer de tot, observem que una recta y = mx + b
forma un triangle amb els semieixos positius de coor-denades si m < 0 i b > 0.
Els vèrtexs del triangle són l’origen, O = (0, 0), i elspunts de tall amb els eixos A i B:
Si prenem com a base el costat OB, l’altura és el costatOA i l’àrea del triangle és:
Volem optimitzar la funció A.
Per tal d’expressar-la en funció d’una única variable,hem de relacionar b i m, cosa que podem fer si impo-sem que la recta passa per P = (3, 6):
6 = m 3 + b b = 6 3 m
Per tant, podem expressar l’àrea del triangle en funcióúnicament de m:
Trobarem els extrems relatius de A(m):
Com que m < 0, m = +2 no ens val.
Vegem que m = 2 és un mínim relatiu:
és un mínim.
Com que A és derivable en ( , 0) i no té més extremsen aquest interval, m = 2 és el mínim absolut de A en( , 0).
La recta que cerquem és la que té pendent m = 2 i or-denada en l’origen b = 6 3 m = 6 3 ( 2) = 12.
y = 2 x + 12
44. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael valor de la maragda després de dividir-la, que de-pendrà del pes de cada tros.
Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre,podem expressar analíticament aquesta funció:
V(x, y) = k x2 + k y2 = k (x2 + y2)
= = > =A m( )236
2
92
0 23
=A mm
( )36
3
= + = +
=
A m mm m
A m
( )
( )
92
18362
92
18
0
2
m = ±2
A mbm
mm
m mm
( )( )
= = =
=+
2 2
2
26 3
2
9 36 362
Ab h
bm
b bm
= = =2 2 2
2
y m b b A b
y m x b xbm
Bbm
( ) ( , )0 0 0
0
= + = =
= = + = = ,, 0
x (1, 2) 2 (2, 3)
f (x) + 0
f(x) M
CM
YK
227
11. Aplicacions de les derivades
46. Si interpretem les solucions de l’equació x3 36 x ++ 10 = 0 com a arrels de la funció f(x) = x3 36 x + 10, elque hem de demostrar és que f no pot tenir dues arrelsreals en ( 1, 2).
Ho farem per mitjà de la reducció a l’absurd i aplicantel teorema de Rolle:
Suposem que existeixen dues arrels de f en l’interval( 1, 2), x1 < x2.
Vegem que f satisfà les hipòtesis del teorema de Rolleen [x1, x2]:
• f és contínua en [x1, x2], ja que és polinòmica.
• f és derivable en (x1, x2), ja que és polinòmica.
• f(x1) = f(x2): f(x1) = 0 = f(x2) per hipòtesi.
Per tant, se satisfarà la tesi:
c (x1, x2) � ( 1, 2) � f (c) = 0
Determinem el valor de c:
Com que f� no té arrels en ( 1, 2), no pot existir el real c.
Hem obtingut, doncs, una contradicció, que prove-nia de suposar l’existència de dues arrels diferentsde f en ( 1, 2).
Per tant, f no pot tenir dues arrels diferents en ( 1, 2).
Així, doncs, o bé f no té arrels en ( 1, 2) o bé nomésen té una.
Vegem que satisfà les hipòtesis del teorema de Bol-zano en [ 1, 2]:
• f és contínua en [ 1, 2], ja que és polinòmica.
• f( 1) i f(2) té diferent signe:
f( 1) = ( 1)3 36 ( 1) + 10 = 45 > 0
f(2) = 23 36 2 + 10 = 54 < 0
Per tant:
c ( 1, 2) � f(c) = 0
Així, f té una (única) arrel en ( 1, 2).
47. En aquells que d’entrada obtinguem indetermina-
cions, tractarem de transformar-la en una del tipus
o per tal de poder aplicar la regla de L’Hôpital:
a)
b) lim( )
x
x x
x=
0 2
1 cos sin
00
lim lim
lim
x x
x xx x
x
x
= =
=
0 02
11
1
sintg
cos
cos
xx x
xx
x
x= =
0
3
0
3
2 212
sinsin
cos
coslim
00
00
00
= = = ±f x x f x x( ) , ( )3 36 0 2 22
en què k �+ és la constant de proporcionalitatque ens dóna el valor d’un tros de maragda a par-tir del quadrat del seu pes.
2. Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola va-riable si imposem que el tros de maragda que es voldividir pesa 16 g:
16 = x + y y = 16 x
Així, V(x, y) té la següent expressió analítica coma funció de x:
V(x) = k (x2 + y2) = k (x2 + (16 x)2) =
= k (2 x2 32 x + 256)
3. Busquem els extrems relatius de V:
V (x) = k (4 x 32) , V (x) = 0 x = 8
Com que 2 k > 0, la gràfica de V és una paràbolaamb les branques cap amunt; aleshores, x = 8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut.
Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, l’hem de dividir en dos trossos de 8 g cadascun (i per-què sigui màxim, no l’hem de dividir).
45. Trobar les arrels de x5 + x 1 = 0 equival a trobar elszeros de f(x) = x5 + x 1. Així, doncs, demostraremque f té una única solució real en (0, 1).
— Existència:
Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [0, 1]:
• f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.
• f(0) i f(1) tenen diferent signe:
f(0) = 05 + 0 1 = 1 < 0
f(1) = 15 + 1 1 = 1 > 0
Per tant, se satisfarà la tesi del teorema:
c (0, 1) � f(c) = 0
És a dir, té una arrel (real) entre 0 i 1.
— Unicitat:
Suposem que existeix una altra arrel de f, c� (0, 1), amb c < c� (anàlogament si c > c�).
Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deRolle en [c, c�]:
• f és contínua en [c, c�], ja que és polinòmica.
• f és derivable en (c, c�), ja que és polinòmica.
• f(c) = f(c�): f(c) = 0 = f(c�)
Per tant, se satisfarà la tesi del teorema:
d (c, c ) � (0, 1) � f (d) = 0
Si ara busquem el valor de d:
f�(x) = 5 x4 + 1 > 0, x �, aleshores no es potanul.lar en cap punt d: hem obtingut una contra-dicció, que provenia de suposar que existia una al-tra arrel de f en (0, 1).
Així, l’arrel de f entre 0 i 1 és única.
227
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
46.Si interpretem les solucions de l’equació x336 x ++10 =0 com a arrels de la funció f(x) =x336 x +10, elque hem de demostrar és que f no pot tenir dues arrelsreals en (1, 2).
Ho farem per mitjà de la reducció a l’absurd i aplicantel teorema de Rolle:
Suposem que existeixen dues arrels de f en l’interval(1, 2), x1<x2.
Vegem que f satisfà les hipòtesis del teorema de Rolleen [x1, x2]:
•f és contínua en [x1, x2], ja que és polinòmica.
•f és derivable en (x1, x2), ja que és polinòmica.
•f(x1) =f(x2): f(x1) =0 =f(x2) per hipòtesi.
Per tant, se satisfarà la tesi:
c(x1, x2) �(1, 2) �f(c) =0
Determinem el valor de c:
Com que f�no té arrels en (1, 2), no pot existir el real c.
Hem obtingut, doncs, una contradicció, que prove-nia de suposar l’existència de dues arrels diferentsde f en (1, 2).
Per tant, f no pot tenir dues arrels diferents en (1, 2).
Així, doncs, o bé f no té arrels en (1, 2) o bé nomésen té una.
Vegem que satisfà les hipòtesis del teorema de Bol-zano en [1, 2]:
•f és contínua en [1, 2], ja que és polinòmica.
•f(1) i f(2) té diferent signe:
f(1) =(1)336 (1) +10 =45 >0
f(2) =2336 2 +10 =54 <0
Per tant:
c(1, 2) �f(c) =0
Així, f té una (única) arrel en (1, 2).
47.En aquells que d’entrada obtinguem indetermina-
cions, tractarem de transformar-la en una del tipus
oper tal de poder aplicar la regla de L’Hôpital:
a)
b)lim()
x
xx
x=
02
1cossin
00
limlim
lim
xx
xxxx
x
x
==
=
002
11
1
sintg
cos
cos
xxx
xx
x
x==
0
3
0
3
2212
sinsin
cos
coslim
00
00
00
===± fxxfxx (),() 3360222
en què k�+és la constant de proporcionalitatque ens dóna el valor d’un tros de maragda a par-tir del quadrat del seu pes.
2.Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola va-riable si imposem que el tros de maragda que es voldividir pesa 16 g:
16 =x +y y =16 x
Així, V(x, y) té la següent expressió analítica coma funció de x:
V(x) =k (x2+y2) =k (x2+(16 x)2) =
=k (2 x232 x +256)
3.Busquem els extrems relatius de V:
V(x) =k (4 x 32) , V(x) =0 x =8
Com que 2 k >0, la gràfica de V és una paràbolaamb les branques cap amunt; aleshores, x =8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut.
Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, l’hem de dividir en dos trossos de 8 g cadascun (i per-què sigui màxim, no l’hem de dividir).
45.Trobar les arrels de x5+x 1 =0 equival a trobar elszeros de f(x) =x5+x 1. Així, doncs, demostraremque f té una única solució real en (0, 1).
—Existència:
Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [0, 1]:
•f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.
•f(0) i f(1) tenen diferent signe:
f(0) =05+0 1 =1 <0
f(1) =15+1 1 =1 >0
Per tant, se satisfarà la tesi del teorema:
c(0, 1) �f(c) =0
És a dir, té una arrel (real) entre 0 i 1.
—Unicitat:
Suposem que existeix una altra arrel de f, c�(0, 1), amb c <c�(anàlogament si c >c�).
Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deRolle en [c, c�]:
•f és contínua en [c, c�], ja que és polinòmica.
•f és derivable en (c, c�), ja que és polinòmica.
•f(c) =f(c�): f(c) =0 =f(c�)
Per tant, se satisfarà la tesi del teorema:
d(c, c) �(0, 1) �f(d) =0
Si ara busquem el valor de d:
f�(x) =5 x4+1 >0, x�, aleshores no es potanul.lar en cap punt d: hem obtingut una contra-dicció, que provenia de suposar que existia una al-tra arrel de f en (0, 1).
Així, l’arrel de f entre 0 i 1 és única.
C M
Y K
228
11. Aplicacions de les derivades
c)
d)
e)
f)
g)limlim
l
xx
xx
x
x
xx==
=
0302
1
3
sin
sin
cos
sincos
iim()()
l
x
x
xxxxx +=
=
02323
sin
sincoscossinsin
iim()
(
x
x
xxx=
=
02263
1161
sin
sincossin
33016 )
=
00
00
=+
=231151
16
00
limlimxx
xxxx
x+
=+ 00
235
233155
sinsin
coscosxx
=
xx
xx
x
x
x
=
+
=
=
lim
lim
0
3
0
2sin
sin
cossin
sin
sinncos
xx
21
121
1
13
3+
=
+
=
00
00
limlimxx
xxtgxx
x
x
=00
2
11
sinsin
cos
coscosxx
=
===03
221
2cosx x
lim
00
00
limlimlimxxx
tgxxxx
xx
==00
2
11
1 sincos
cos=
0
3
2sin
cossin
x
xx
xxx
222320
sinsinco=
+lim
()sscossinsincosco
233333233
xxxxx
()()( +ss22
0606
1
x)=
=+
+=
00
limln()ln()
limxx
xx
x=
00
23
12 sin
sinsin
cos222
13
33
2230
x
xx
xxlim
=
=
sincos
cossinxxxx 332 cossin
=
lim()
x
xx=
+
0
21 sincoscoos
sincossincoscossi
xx
xxxxxx
2
210
=
=+
lim()nnx
2000
20
=
=+
=
00h), i si prenem logaritmes:
0
Aleshores
i)
j)
k)
0
l), i si prenem logaritmes: limx
x x=1
111
===+
limlnlnlnx
x22222
11
limx
x
+=
21
=
ln21
1
2
2
x
x
00
lim()limx
x
x
x
x
x++
== 2121
1
11
=+
=1
1112
00
=
+
+
=
=
limln
ln()
lim
x
xxx
xxx1
11
1
111
xxx
x
xx
x
xx+
=
+
=11
2 11
1
11ln
lnlim
00
limln
limln()() xx
xxx
xxxx
=11 1
111llnx
=
11
xx
== lim
00
limlnln
limln
limxxx x
xx
xx
==111
11111x
=
lim(ln)x
e xex
+==
10
1
====++
limln
limln xxxx
xx
exex
1111
0
==++
limln(ln)limln(ln)
xxxxe
xx
e
1==
lnlim(ln)limln(ln)x
ex
e xxxx
++=
11
==
lim(ln)x
e xx
+=
10
228
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
c)
d)
e)
f )
g) lim lim
l
x x
x x
x
x
x x= =
=
0 3 0 2
1
3
sin
sin
cos
sin cos
iim( ) ( )
l
x
x
x x x x x+=
=
0 23 2 3
sin
sin cos cos sin sin
iim( )
(
x
x
x x x=
=
0 2 26 3
11 6 1
sin
sin cos sin
33 016)
=
00
00
=+
=2 3 11 5 1
16
00
lim limx x
x xx x
x+
=+0 0
2 35
2 3 31 5 5
sinsin
coscos xx
=
xx
xx
x
x
x
=
+
=
=
lim
lim
0
3
0
2sin
sin
cossin
sin
sinncos
xx
21
121
1
13
3+
=
+
=
00
00
lim limx x
x xtg x x
x
x
=0 0
2
11
sinsin
cos
coscos xx
=
= = =0 3
2 21
2cos xx
lim
00
00
lim lim limx x x
tg x xx x
xx
= =0 0
2
11
1sincos
cos=
0
3
2 sin
cossin
x
xx
x xx
2 2 2 3 20
sin sin co=
+lim
( ) ss cossin sin cos co
2 3 33 3 3 2 3 3
x xx x x
( )( ) (+ ss 2 2
0 60 6
1
x )=
=+
+=
00
limln( )ln( )
limx x
xx
x=
0 0
23
12sin
sinsin
cos 22 2
13
3 3
2 2 30
x
xx
xxlim
=
=
sincos
cos sin xxx x3 3 2cos sin
=
lim( )
x
x x=
+
0
2 1sin cos coos
sin cos sin cos cos si
xx
x x x x xx
2
2 10
=
=+
lim( ) nn x
20 0 0
20
=
=+
=
00 h) , i si prenem logaritmes:
0
Aleshores
i)
j)
k)
0
l) , i si prenem logaritmes:limx
xx =1
11 1
= = =+
lim ln ln lnx
x2 2 2 2 21 1
limx
x
+=
21
=
ln 21
1
2
2
x
x
00
lim ( ) limx
x
x
x
x
x+ +
= =2 12 1
1
11
=+
=1
1 112
00
=
+
+
=
=
limln
ln ( )
lim
x
x x x
x x x1
11
1
1 11
xx x
x
xx
x
x x+
=
+
=1 1
211
1
1 1ln
lnlim
00
limln
limln ( )( )x x
xx x
x x xx
=1 11
1 11 lln x
=
11
xx
= =lim
00
limln ln
limln
limx x xx
xx
xx
= =1 1 1
1 1 111x
=
lim (ln )x
ex ex
+= =
10 1
= = = =+ +
limln
limlnx x x x
x x
e xe x
1 11 1
0
= =+ +
lim ln(ln ) limln(ln )
x x x xex
x
e
1==
ln lim (ln ) lim ln(ln )x
ex
ex xx x
+ +=
1 1
==
lim (ln )x
exx
+=
10
CM
YK
229
11. Aplicacions de les derivades
Per tant:
48. Activitat TIC.
49. Activitat TIC.
limx
xx ee
= =1
11 1 1
0
=xlim
11
1 11
1= =x
00
limx
=1
11
= = =x
xxx
xx x
ln limln
lim1 11
1
1
ln lim lim lnx
xx
xx x= =1
11
1
11
229
11. A
plic
acio
ns d
e le
s de
rivad
es
Per tant:
48.Activitat TIC.
49.Activitat TIC.
limx
x xee
==1
1111
0
=xlim
11
111
1 ==x
00
limx
=1
11
===x
xxx
xxx
lnlimln
lim11 1
1
1
lnlimlimlnx
xx
x xx ==1
11
1
11
C M
Y K
230
12. Integrals i aplicacions
1.PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES
1.a)F(x) =(ex(x 1))=ex(x 1) +ex1 =
F és primitivade f.
b)
=xex=f(x) G és primitiva de f.
c)H(x) =(xexx 2)=1 ex+xex1 0 =
=ex(1 +x) 1 xex=f(x) H no és primitiva de f.
2.a)
b)
c)
d)
3.a)
b)
c)1x
dxlnxC =+ xdx=1
xdxx
Cx
C+
=+
+=+4
41
3 411
3
14
xdx=
xdxx
Cx
C7
718
718=
++=+
+
()(sin eCxx
=++1
121CC
exC
x
212
)sin =+
coscos xdxedxxdxx
==1
12=
edx
x
12
exdx
x
12= cos fxdx ()=
fxdxexdx
edxxdx
ed
x
x
x
()(cos)
cos
=+=
=+=
=
5
5
5xxxdx
eCxCexCxx
+=
=+++=++
cos
()sinsin 55 12
fxdxxedx
xdxedx
x
x
()(cos)
cos
cos
=+=
=+=
=
3
3
3xxdxedx
xCeCxeC
x
xx
+=
=+++=++ 33 12 (sin)sin
fxdxexdx
edxxdxeC
x
xx
()(cos)
cos(s
==
==+1iin)
sin
xC
exCx
+=
=+
2
=+=++= Gxxeeexeexxxxx
()()210
=+== exeeexfxxxxx
()
d)
e)
f)
4.a)
b)
c)
d)
5.a)()()()
()
xxxdxxx
C
xx
453451
4
3433
513
=+
+=
=
+
66
6+C
9
44
9
41
3
21
32
1
1
22
22
==
==
xdx
xdx
xdx
xdx
()
==
=+32
arcsinxC
()() xdxxxdx
xdxxdxdx
x
+=++=
=++=
=
121
21
22
2
22
21113
2
212
113
++=
=+
++
++=+++
dxxdxdx
xxxC
xx
22++ xC
1111
31
33
31
xxdx
xdx
xdx
lnxx
+=+=
=++
+
++=+ Clnxx
C1
22
===
=
+
+=
+
222
235
1
3 53 535
35
1
xdxxdxxdx
xC22
58
54
3 5
3 5
xxC
xxC
+=
=+
35
1
58
3 535
35
1
xdxxdxx
C
x
==
+
+=
=
+
xxC3 5+
55
5x
x
dxln
C =+
xdxx
CxC+
=
+
+=+
16
16
15 6
16
1
65
16
xdx=
Integrals i aplicacions 12
230
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
1. PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES
1. a) F (x) = (ex (x 1)) = ex (x 1) + ex 1 =
F és primitivade f.
b)
= xex = f(x) G és primitiva de f.
c) H (x) = (xex x 2) = 1 ex + xex 1 0 =
= ex(1 + x) 1 xex = f(x) H no és primitiva de f.
2. a)
b)
c)
d)
3. a)
b)
c)1x
dx ln x C= +x dx =1
x dxx
Cx
C+
=+
+ = +44 1
34 11
3
14x
dx =
x dxx
Cx
C77 1 8
7 1 8=
++ = +
+
( ) (sine C xx= + +1
12 1 CCe
x Cx
2 12) sin= +
cos cosx dx e dx x dxx= =1
12=
edx
x
12
ex dx
x
12=cosf x dx( ) =
f x dx e x dx
e dx x dx
e d
x
x
x
( ) ( cos )
cos
= + =
= + =
=
5
5
5 xx x dx
e C x C e x Cx x
+ =
= + + + = + +
cos
( ) sin sin5 51 2
f x dx x e dx
x dx e dx
x
x
( ) ( cos )
cos
cos
= + =
= + =
=
3
3
3 xx dx e dx
x C e C x e C
x
x x
+ =
= + + + = + +3 31 2(sin ) sin
f x dx e x dx
e dx x dx e C
x
x x
( ) ( cos )
cos (s
= =
= = + 1 iin )
sin
x C
e x Cx
+ =
= +
2
= + = + + =G x x e e e xe ex x x x x( ) ( )2 1 0
= + = =e x e e e x f xx x x x ( )
d)
e)
f )
4. a)
b)
c)
d)
5. a) ( ) ( )( )
( )
x x x dxx x
C
x x
4 5 34 5 1
4
3 4 33
5 13
=+
+ =
=
+
66
6+ C
9
4 4
9
4 1
3
2 1
32
1
1
2 2
2 2
= =
= =
xdx
xdx
xdx
xdx
( )
==
= +32
arc sin x C
( ) ( )x dx x x dx
x dx x dx dx
x
+ = + + =
= + + =
=
1 2 1
2 1
2 2
2
22
2 1 1 1 3
2
2 12
1 1 3
+ + =
=+
++
+ + = ++ +
dx x dx dx
x xx C
xx22 + +x C
1 1 1 1
3 1
3 3
3 1
x xdx
xdx
xdx
ln xx
+ = + =
= ++
+
++ = +C ln xx
C1
2 2
= = =
=
+
+ =
+
2 2 2
235
1
35 3535
35
1
x dx x dx x dx
xC 22
58
54
35
35
x x C
x x C
+ =
= +
35
1
58
3535
35
1
x dx x dxx
C
x
= =
+
+ =
=
+
xx C35+
55
5x
x
dxln
C= +
x dxx
C x C+
=
+
+ = +
16
16
156
16
1
65
16 x
dx =
Integrals i aplicacions12
CM
YK
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
6. a) x dx
x x x x dx
x dx
+( ) =
= + ( ) + + + =
= +
2
8 24 32 16
8
4
2 3
2
( )
( ) + +
+ + =
= +
x dx x dx
x dx dx
x dx x
3
232
24
32 16
8 ddx x dx
x dx dx
x x x
+ +
+ + =
= + +
24
32 16
38
52
24
12
352 2
2232
32
16
32
+ + + =x
x C
2
5
25
25
25
x
x
x
x
dx dxln
C= = +
x
xdx
x
xdx
x
xdx ln x
2
3
2
3
2
3
2
13
32
13
3
2
13
+=
+=
=+
= 33 2+ + C
sin cos(sin )4
4 1 5
4 1 5=
++ = +
+
x x dxx
Csin x
C
= +13
3
e Cx
e x dxx3
3 2 =13
313
2 3
=x e dxxx e dxx2 3
=
= = + =
= +
2 31
22
33
23
3
xx
x
xdx
lnC
lnC
31 1
22x
xdx =
3 x
xdx =
= + + + =
= + + +
( ) ( )
( ) ( )
x x x dx
x x x
4 2 3
4 2 3
8 1 2
8 1 2 4 =
= + + + =
=+ +
14
14
8 1 4 8
14
8 1
4 2 3
4
dx
x x x dx
x x
( ) ( )
( ))
( )
+
++ =
=+ +
+
2 1
4
2 11
4 8 1
C
x xC
x
x xdx
3
4 2
2
8 1
+
+ +=
( )
cossin
sinxx
dx ln x C= +cotg x dx =
b)
c)
d)
e)
7. a) 1. Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable:
Aleshores:
Substituint en la integral:
2. Calculem la nova integral:
3 3 39 3
8 89 9
t dt t dtt
Ct
C= = + = +
t dt8 313
28
x dx+ =
13
3dx dt dx dt= =
13
2x t+ =
4 3
1
4
1
3
14
1
2 2 2
2
+
+=
++
+=
=+
x
xdx
x
x
xdx
xdx ++
+=
=+
++
=
=
3
1
41
1
32
2
1
4
2
2 2
x
xdx
xdx
x
xdx
arc tg x ++ + +32
1 2ln x C( )
= + + +x
x ln x C3
34 3
3x
dx == + +x dx dx2 4
x xx
dxxx
xx x
dx3 34 3 4 3+ +
= + + =
= + = + +3 23
32
2x x
x x
dx dxln ln
C
9 6
3
9
3
6
3
9
3
6
3
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx dx
dx
+= + =
= + ddx dx dxx x
= + =93
63
= = + =
= +
x dx x dxx x
C
x x x C
12
12
12
32
12
32
223
x dx =1
=x
dx
1 1= =
x
xdx
x
x
xdx
= + + + + +x
x x x x x x C3
2 2
3165
12643
16
231
12. Integrals i aplicacionsb)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6.a)xdx
xxxxdx
xdx
+ ()=
=+()+++=
=+
2
8243216
8
4
23
2
()
()++
++=
=+
xdxxdx
xdxdx
xdxx
3
232
24
3216
8ddxxdx
xdxdx
xxx
++
++=
=++
24
3216
38
52
24
12
3522
2232
32
16
32
+++=x
xC
2
5
25
25
25
x
x
x
x
dxdxln
C ==+
x
xdx
x
xdx
x
xdxlnx
2
3
2
3
2
3
2
13
32
13
3
2
13
+=
+=
=+
=33
2 ++C
sincos(sin) 4
415
415=
++=+
+
xxdxx
Csinx
C
=+13
3
eCx
exdxx
3
32
=13
313
23
= xedxx xedx
x 23
=
==+=
=+
231
22
33
23
3
xx
x
xdx
lnC
lnC
311
22
x
xdx=
3x
xdx=
=+++=
=+++
()()
()()
xxxdx
xxx
423
423
812
8124=
=+++=
=++
14
14
8148
14
81
423
4
dx
xxxdx
xx
()()
())
()
+
++=
=++
+
21
4
211
481
C
xxC
x
xxdx
3
42
2
81
+
++=
()
cossin
sinxx
dxlnxC =+ cotgxdx=
b)
c)
d)
e)
7.a)1.Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable:
Aleshores:
Substituint en la integral:
2.Calculem la nova integral:
33393
8899
tdttdtt
Ct
C ==+=+
tdt8
313
28
xdx +=
13
3 dxdtdxdt ==
13
2 xt +=
43
1
4
1
3
14
1
222
2
+
+=
++
+=
=+
x
xdx
x
x
xdx
xdx++
+=
=+
++
=
=
3
1
41
1
32
2
1
4
2
22
x
xdx
xdx
x
xdx
arctgx++++32
12
lnxC ()
=+++x
xlnxC3
343
3x
dx= =++ xdxdx2
4
xxx
dxxx
xxx
dx33 4343 ++
=++=
=+=++ 323
32
2xx
xx
dxdxlnln
C
96
3
9
3
6
3
9
3
6
3
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dxdx
dx
+=+=
=+ddxdxdxxx
=+=93
63
==+=
=+
xdxxdxxx
C
xxxC
12
12
12
32
12
32
223
xdx=1
=x
dx
11==
x
xdx
x
x
xdx
=+++++x
xxxxxxC3
22
3165
12643
16
231
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
232
12. Integrals i aplicacions
3.Desfem el canvi de variable:
b)1.Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable:
x =4sintAleshores:
dx =4cost dt
Substituint en la integral:
2.Calculem la nova integral tenint en compteque:
Així, doncs:
3.Desfem el canvi de la variable:
8.a)1.Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 2x=t.
Aleshores:
2xln 2dx =dt
Substituint en la integral:
2.Calculem la nova integral:
3.Desfem el canvi de variable:
b)1.Substituïm la variable x per t.
2
12
12
1
12
12
x
x
x
dxln
lntC
lnlnC
+=++=
=++
12
11
12
1lnt
dtln
lntC+
=++
2
12
12
1
1222
12
11
x
xxx
dxln
lndx
lntdt
+=
+=
=+
84
424
arcxx
C sinsinarcsin ++
162
2
2842 =++=+
sinsin t
tCtt++C
812
2
+=
costdt 1616
2cos= tdt
coscos 2122
tt
=+
1616164
1614
22
2
==
=
xdxttdt
t
sincos
(sin)coss
coscoscos
=
==
tdt
ttdttdt 1641622
13
23
13
2
3
89
9
xdxt
Cx
C +=+=
+
+
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable tg x =t.
Aleshores:
Substituint en la integral:
2.Calculem la nova integral:
3.Desfem el canvi de variable:
9.a)1.Identifiquem u i dv, i calculem du i v:
u =2x2du =4x dx
dv =sinx dx v =cosx
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral aplicant el resultat del’exemple 10:
Per tant:
b)1.Identifiquem u i dv, i calculem du i v:
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral:
Per tant:
xlnxdxx
lnxx
C2
33
39=+
xdxx 2
3133
=x
xdx
3
311
3=
xx
dx3
31
xlnxdxlnxx 2
3
3=
udvuvv =
dvxdxvx
==2
3
3
ulnxdux
dx ==1
2
244
2
2
xxdx
xxxxxC
sin
cossincos
=
=+++
422
222
xxdxxxdx
xxx
coscos
[sincos]
==
=+
22422
xxdxxxxxdx sincoscos =+
udvuvv =
e
xdxeCeC
tgxttgx
cos2=+=+
edteCtt
=+
edtt e
xdx
tgx
cos2=
12
cosxdxdt =
232
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
3. Desfem el canvi de variable:
b) 1. Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable:
x = 4 sin tAleshores:
dx = 4 cos t dt
Substituint en la integral:
2. Calculem la nova integral tenint en compteque:
Així, doncs:
3. Desfem el canvi de la variable:
8. a) 1. Substituïm la variable x per t.
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 2x = t.
Aleshores:
2x ln 2 dx = dt
Substituint en la integral:
2. Calculem la nova integral:
3. Desfem el canvi de variable:
b) 1. Substituïm la variable x per t.
2
1 2
12
1
12
1 2
x
x
x
dxln
ln t C
lnln C
+= + + =
= + +
12
11
12
1ln t
dtln
ln t C+
= + +
2
1 2
12
1
1 22 2
12
11
x
x xxdx
lnln dx
ln tdt
+=
+=
=+
84
4 24
arcx x
Csin sin arc sin+ +
162
2
28 4 2= + + = +
sinsint
tC t t ++ C
81 2
2
+=
cos tdt16 162cos =t dt
coscos2 1 22
tt
=+
16 16 16 4
16 1 4
2 2
2
= =
=
x dx t t dt
t
sin cos
( sin ) coss
cos cos cos
=
= =
t dt
t t dt t dt16 4 162 2
13
23
13
2
3
8 9
9
x dxt
Cx
C+ = + =
+
+
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable tg x = t.
Aleshores:
Substituint en la integral:
2. Calculem la nova integral:
3. Desfem el canvi de variable:
9. a) 1. Identifiquem u i dv, i calculem du i v:
u = 2 x2 du = 4 x dx
dv = sin x dx v = cos x
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral aplicant el resultat del’exemple 10:
Per tant:
b) 1. Identifiquem u i dv, i calculem du i v:
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral:
Per tant:
x ln x dxx
ln xx
C23 3
3 9= +
x dxx2
313 3
=x
xdx
3
31 1
3=
xx
dx3
31
x ln x dx ln xx2
3
3=
u dv u v v=
dv x dx vx
= =23
3
u ln x dux
dx= =1
2
2 4 4
2
2
x x dx
x x x x x C
sin
cos sin cos
=
= + + +
4 2 2
2 2 2
x x dx x x dx
x x x
cos cos
[ sin cos ]
= =
= +
2 2 42 2x x dx x x x x dxsin cos cos= +
u dv u v v=
e
xdx e C e C
tg xt tg x
cos2= + = +
e dt e Ct t= +
e dtte
xdx
tg x
cos2=
12cos x
dx dt=
CM
YK
10. a) 1. Descomponem el denominador en factors:
x2 4 = (x 2) (x + 2)
2. Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
2 x + 1 = A1 (x + 2) + A2 (x 2) =
= (A1 + A2) x + 2 A1 2 A2
3. Integrem cadascuna de les fraccions simples:
b) 1. Descomponem el denominador en factors:
2. Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
3. Integrem cadascuna de les fraccions simples:
11. a) 1. Descomponem el denominador en factors:
1
3
36
3
36
3
36
33
6
2xdx
xdx
xdx
ln x ln x
= ++
=
= + 33
36
3
3
+ =
=+
+
C
x
xCln
1
3 3 3
3 3
3 3
21 2
1 2
x
A
x
A
x
A x A x
x x
= ++
=
=+( ) + ( )
( ) +(( )
= +( ) + ( ) =
= + +
=
1 3 3
3 3
0
1 2
1 2 1 2
1
A x A x
A A x A A
A
( )
++
=
= = =
A
A A
A A
2
1 2
1 2
1 3 3
1
2 3
36
36
,
x x x2 3 3 3= ( ) +( )
2 1
4
54
2
34
254
234
2
x
xdx
xdx
xdx
ln x ln
+= +
+=
= + xx C+ +2
2
1 2 254
34
1 2
1 21 2
= +
== =
A A
A AA A,
2 1
4 2 22 2
2
21 2
1 2
x
x
Ax
A
xA x A x
x
+= +
+=
=+ +( ) ( )
( )(xx + 2)
2. L’integrant ja és una fracció simple.
3. Integrem la fracció simple:
b) 1. Descomponem el denominador en factors:
2. Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
3. Integrem les fraccions simples:
2. INTEGRAL DEFINIDA
12. El procediment 1 ens dóna aproximacions per defec-te. Per exemple:
El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés.Per exemple:
L’àrea A considerada és, doncs:
13. Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida perla gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b, podem calcular fàcilment:
0 587
1256
0 832 2, ,= = = =s A S
S f f2 112
32
12
11
12
132
12
56
= ( ) + = + =
s f f232
12
212
132
12
12
12
712
= + = + =( )
x
x xdx
xdx
xdx
ln xx
+
+= + =
=
1
6 9
13
4
3
3 41
2 2( )
+3
C
x
x x
Ax
A
xA x A
x
+
+= + =
=+
( )
1
6 9 3 33
3
21 2
2
1 22
( )( )
xx A x A A x A A
A
A A
+ = + = +
=
= +
1 3 3
1
1 3
1 2 1 1 2
1
1 2
( )
= =A A1 21 4,
x x x2 26 9 3+ = ( )
+= =
= =
1
2 1
1
11
1
1
2 2
2
x xdx
xdx
xdx
x
( )
( ) 11+ C
x x x2 22 1 1+ = ( )
233
12. Integrals i aplicacions10.a)1.Descomponem el denominador en factors:
x24 =(x 2) (x +2)
2.Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
2x +1 =A1(x +2) +A2 (x 2) =
=(A1+A2) x +2A12A2
3.Integrem cadascuna de les fraccions simples:
b)1.Descomponem el denominador en factors:
2.Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
3.Integrem cadascuna de les fraccions simples:
11.a)1.Descomponem el denominador en factors:
1
3
36
3
36
3
36
33
6
2x
dxx
dxx
dx
lnxlnx
=++
=
=+33
36
3
3
+=
=+
+
C
x
xC ln
1
333
33
33
212
12
x
A
x
A
x
AxAx
xx
=++
=
=+ ()+()
()+ (()
=+ ()+()=
=++
=
133
33
0
12
1212
1
AxAx
AAxAA
A
()
++
=
===
A
AA
AA
2
12
12
133
1
23
36
36
,
xxx2
333 =()+ ()
21
4
54
2
34
254
234
2
x
xdx
xdx
xdx
lnxln
+=+
+=
=+xxC ++ 2
2
12254
34
12
1212
=+
===
AA
AAAA,
21
42222
2
212
12
x
x
Ax
A
xAxAx
x
+=+
+=
=++ ()()
()(xx+2)
2.L’integrant ja és una fracció simple.
3.Integrem la fracció simple:
b)1.Descomponem el denominador en factors:
2.Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:
3.Integrem les fraccions simples:
2.INTEGRAL DEFINIDA
12.El procediment 1 ens dóna aproximacions per defec-te. Per exemple:
El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés.Per exemple:
L’àrea A considerada és, doncs:
13.Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida perla gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x =a i x =b, podem calcular fàcilment:
0587
1256
083 22 ,, ==== sAS
Sff 2112
32
12
11
12
132
12
56
=()+=+=
sff 232
12
212
132
12
12
12
712
=+=+= ()
x
xxdx
xdx
xdx
lnxx
+
+=+=
=
1
69
13
4
3
341
22()
+3
C
x
xx
Ax
A
xAxA
x
+
+=+=
=+
()
1
69333
3
212
2
122
()()
xxAxAAxAA
A
AA
+=+=+
=
=+
133
1
13
12112
1
12
()
== AA 12 14 ,
xxx22
693 +=()
+==
==
1
21
1
11
1
1
22
2
xxdx
xdx
xdx
x
()
()11+C
xxx22
211 +=()
233
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
234
12. Integrals i aplicacions
Comprovem que es compleix ID.1:
3.TEOREMES D’INTEGRACIÓ
14.1.Trobem els zeros de f:
cos, xxkk ==+ 02
Z
172
90
1
0
1
0
1
=+=
=+=
(()())
()()
fxgxdx
fxdxgxdx22
4172
120
1
0
1
+=
==
=
(()())
()()
fxgxdx
fxdxgxddx==92
412 0
1
(()()) fxgxdx
D
=
===
0
1
111
212
(()()) fxgxdx
CC
+=
=+=
=+=
0
1
12
1713
2172
1X
Y
1
D1
f(x) – g(x) = – x + 1
1X
Y
1
C2
C1 f(x) + g(x) = 3x + 7
gxdxBB ()=+=
=+=
120
1
1312
24
fxdxAA ()=+=
=+=
120
1
1411
292
1X
Y
1
B2
B1
g(x) = 2x + 3
1X
Y
1
A2
A1
f(x) = x + 4
2.La funció f no té zeros en ,aleshores l’àrea
demanada és:
15.1.Trobem els zeros de f:
x22x 15 =0 x =3 o x =5
2.Els dos zeros es troben entre 4 i 7, aleshores l’àreademanada és:
Per a calcular les integrals, usarem la regla de Bar-row:
La primitiva obtinguda en fer C =0 és:
Finalment:
16.1.Trobem els zeros de f:
x3+2x25x 6 =0 x =1, x =2 ox =3
2.En només hi ha dos zeros de f, x =3 i
x =1, aleshores l’àrea demanada és:
Axxxdx
xxxdx
=++
++
()
()
32
5
3
32
3
1
256
256+
++=
=+
() xxxdx
xxxx
32
1
32
432
256
4
2
3
5
26+
+++
5
3
432
3
1
4
2
3
5
26
xxxx
532
,
AFFFF
FF
=++
+=
=
()()()()
()()
3453
75
27683
+++
+=++=
1753
27
1193
1753
133
2563
563
===3253
3253
2Au
Fxx
xx ()=3
2
315
fxdxxxdx
xxxC
()() ==
=+
2
32
215
315
Afxdxfxdxfxdx =++ ()()()4
3
3
5
5
7
Axdxx
A
==[]=
====
cossin
sinsin
22
201111
2u
2,
234
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
Comprovem que es compleix ID.1:
3. TEOREMES D’INTEGRACIÓ
14. 1. Trobem els zeros de f:
cos ,x x k k= = +02
Z
172
90
1
0
1
0
1
= + =
= + =
( ( ) ( ))
( ) ( )
f x g x dx
f x dx g x dx22
4172
12 0
1
0
1
+ =
= =
=
( ( ) ( ))
( ) ( )
f x g x dx
f x dx g x ddx = =92
4120
1
( ( ) ( ))f x g x dx
D
=
= = =
0
1
11 1
212
( ( ) ( ))f x g x dx
C C
+ =
= + =
= + =
0
1
1 2
1 71 3
2172
1 X
Y
1
D1
f(x) – g(x) = – x + 1
1 X
Y
1
C2
C1f(x) +
g(x
) = 3
x +
7
g x dx B B( ) = + =
= + =
1 20
1
1 31 2
24
f x dx A A( ) = + =
= + =
1 20
1
1 41 1
292
1 X
Y
1
B2
B1
g(x)
= 2
x +
3
1 X
Y
1
A2
A1
f(x) =
x +
4
2. La funció f no té zeros en , aleshores l’àrea
demanada és:
15. 1. Trobem els zeros de f:
x2 2 x 15 = 0 x = 3 o x = 5
2. Els dos zeros es troben entre 4 i 7, aleshores l’àreademanada és:
Per a calcular les integrals, usarem la regla de Bar-row:
La primitiva obtinguda en fer C = 0 és:
Finalment:
16. 1. Trobem els zeros de f:
x3 + 2 x2 5 x 6 = 0 x = 1, x = 2 ox = 3
2. En només hi ha dos zeros de f, x = 3 i
x = 1, aleshores l’àrea demanada és:
A x x x dx
x x x dx
= + +
+ +
( )
( )
3 2
5
3
3 2
3
1
2 5 6
2 5 6 +
+ + =
= +
( )x x x dx
x x xx
3 2
1
32
4 3 2
2 5 6
4
2
3
5
26 +
+ + +
5
3
4 3 2
3
1
4
2
3
5
26
x x xx
532
,
A F F F F
F F
= + +
+ =
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 4 5 3
7 5
27683
++ +
+ = + + =
1753
27
1193
1753
133
2563
563
== =3253
3253
2A u
F xx
x x( ) =3
2
315
f x dx x x dx
xx x C
( ) ( )= =
= +
2
32
2 15
315
A f x dx f x dx f x dx= + +( ) ( ) ( )4
3
3
5
5
7
A x dx x
A
= = [ ] =
= = = =
cos sin
sin sin
2 2
20 1 1 11 2u
2,
CM
YK
17. 1. Trobem els zeros de f:
x3 + x2 10 x + 8 = 0 x = 4, x = 1 o x = 2
2. Els zeros de f determinen els intervals següents:
[ 4, 1] i [1, 2]
L’àrea buscada és, doncs:
18. Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpidque el geomètric:
1. Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfi-ques de f i g:
2. Com que no existeixen punts de tall en [ 1, 2], l’à-rea demanada és:
19. 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de lesdues funcions:
A f x g x dx
x x dx
x
= =
= + + =
=
( ( ) ( ))
( )
1
2
2
1
2
3
3 8
3++ + = =
= =
32
8583
376
512
2
1
2x
x
A5512
2u
f x g x x x x
x o x
( ) ( )
,
= =
= = =+
=
2 2 8
3 412
1 73 41
244 7,
A f x dx f x dx
x x x dx
= + =
= + +
( ) ( )
( )
4
1
1
2
3 2
4
110 8 ++
+ + + =
= + +
( )x x x dx
x xx x
3 2
1
2
4 32
10 8
4 35 8 +
+ + + =
=
4
1
4 32
1
2
4 35 8
4312
2083
x xx x
+ =
= + = =
83
4312
87512
1112
4436
4436
2A u
++ + =
= + +
x x xx
4 3 2
1
32
4
2
3
5
26
1283
163
22 725192
1283
163
2 725192
11 941192
1
=
= + + =
=A11 941192
2u
2. Entre 0 i hi ha un únic punt de tall, , ales-
hores l’àrea buscada serà:
20. a) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:
f(x) = g(x) x2 3 x = x2 + 5 x x = 0 o x = 4
2. Els punts de tall defineixen un únic interval,[0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per lesgràfiques és:
b) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:
2. Els punts de tall determinen dos intervals:
Per tant, l’àrea buscada és:
A f x g x dx
f x g x dx
x
= +
+ =
=
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
(
2
0
0
32
3 +32
2
2
0x
xdx
[ , ] ,2 0 032
i
f x g x x xx
x
x o x
( ) ( ) ,= = =
= =
32
32
2
032
A f x g x dx
x x x x dx
= =
= +
( ( ) ( ))
(( ) ( ))
0
4
2 2
0
43 5 ==
= = =
=
( )2 82
34
643
0
2
0
4 32
0
4
x x dxx
x
== =643
643
2A u
= + + = =2 1 1 2 2 2 2 2 2A u
sin cosx x+ =
4
2 1 ++ =1 2+
sinn cosx x+ +0
4x x dx+ =(cos sin )
4
A x x dx= +(cos sin )0
4
x =4
f x g x x x
tg xxx
x k
( ) ( ) sin cos
sincos
= =
= = = +14
,, k Z
235
12. Integrals i aplicacions
17.1.Trobem els zeros de f:
x3+x210x +8 =0 x =4, x =1 o x =2
2.Els zeros de f determinen els intervals següents:
[4, 1] i [1, 2]
L’àrea buscada és, doncs:
18.Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpidque el geomètric:
1.Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfi-ques de f i g:
2.Com que no existeixen punts de tall en [1, 2], l’à-rea demanada és:
19.1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques de lesdues funcions:
Afxgxdx
xxdx
x
==
=++=
=
(()())
()
1
2
2
1
2
3
38
3+++==
==
32
8583
376
512
2
1
2x
x
A5512
2u
fxgxxxx
xox
()()
,
==
===+
=
228
3412
17341
2447,
Afxdxfxdx
xxxdx
=+=
=++
()()
()
4
1
1
2
32
4
1108++
+++=
=++
() xxxdx
xxxx
32
1
2
432
108
4358+
+++=
=
4
1
432
1
2
4358
4312
2083
xxxx
+=
=+==
83
4312
87512
1112
4436
4436
2Au
+++=
=++
xxxx
432
1
32
4
2
3
5
26
1283
163
22725192
1283
163
2725192
11941192
1
=
=++=
= A11941192
2u
2.Entre 0 i hi ha un únic punt de tall, , ales-
hores l’àrea buscada serà:
20.a)1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:
f(x) =g(x) x23x =x2+5x x =0 o x =4
2.Els punts de tall defineixen un únic interval,[0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per lesgràfiques és:
b)1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:
2.Els punts de tall determinen dos intervals:
Per tant, l’àrea buscada és:
Afxgxdx
fxgxdx
x
=+
+=
=
(()())
(()())
(
2
0
0
32
3+ 3
2
2
2
0x
xdx
[,], 20032
i
fxgxxxx
x
xox
()(), ===
==
32
32
2
032
Afxgxdx
xxxxdx
==
=+
(()())
(()())
0
4
22
0
435==
===
=
() 282
34
643
0
2
0
432
0
4
xxdxx
x
===643
643
2Au
=++== 211222222
Au
sincos xx +=
4
21++= 12 +
sinncos xx ++0
4xxdx += (cossin)
4
Axxdx =+ (cossin)0
4
x=4
fxgxxx
tgxxx
xk
()()sincos
sincos
==
===+ 14
,,kZ
235
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
236
12. Integrals i aplicacions
21.Aplicarem la fórmula del volum del sòlid de revolu-ció generat per la gràfica de f entre x =a i x =b en gi-rar al voltant de l’eix OX
a)En aquest cas, f(x) =x, a =1 i b =4, així doncs:
b)Les dades són f(x) =x2+2, a =2 i b =1, així doncs:
c)En aquest cas, , a =0 i b =5, així doncs:
d)
22.a)Apliquem la fórmula corresponent:
===t
t2
2
5
2152
0152
vvatdttdt ()()()() 5212
5
2
5===
===2
24
0223
Vu
=[] 242 0
2
0
2xx sin
==24
220
2
0
2dxxdx cos
Vxdxx
dx === (sin)cos 2
0
2
0
2122
==25
2252
3Vu
Vxdxxdxx
=()===0
52
0
52
0
5
2
fxx ()=
= Vu153
53
=++=xx
x53
2
1
5
4
34
153
5
=++= () xxdx422
2
144
Vxdx =+= ()22
2
12
= Vu 213
Vxdxx
===2
3
1
4
1
4
321
Vfxdxa
b=()
2
+32
32
xxx
(=
=++
+
dx
xxx
xx
0
32
423
2
0
4
4
3
26
4
3223
0
32
26
0103
9964
0
1
+=
=+=
=
x
003
9964
937192
937192
2+== Au
Així, l’increment de velocitat entre els 2 s i els 6 s és de
b)Podem relacionar l’espai recorregut entre dos ins-tants amb la velocitat mitjançant la regla de Barrow:
Si obtenim l’expressió de v(t), podem calcularaquesta integral.
Per trobar-la, recordem que la velocitat és una pri-mitiva de l’acceleració.
El conjunt de totes les primitives de l’acceleració ésla seva integral indefinida.
Com que la velocitat a t =0s és de 1 ms1, el valorde la constant d’integració corresponent a la fun-ció velocitat és:
La velocitat és, doncs, , així doncs:
L’espai recorregut des de la posició als 3s a la posició
als 7 s és dem.
23.Per definició el treball realitzat per una força és:
Així doncs, el treball realitzat és
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
24.Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és laseva integral indefinida:
a)Trobem la funció primitiva F que passa per A =(1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:
Per tant, la primitiva buscada és:
Fxx
xx ()=+3
2
32
13
1113
21113
32
==++= FCC ()
fxdxxxdxx
xxC ()() =+=++2
32
413
2
WJ =1160
3.
=+==5
3
3
22402
463
1160
3
32
2
6xx
x
WFxdxxxdxa
b==+= ()() 532
2
2
6
1103
=+==tt
t32
3
7
62119
33
1103
xxt
tdt ()() 732
12
3
7=+=
vtt
t ()=+2
21
1002
012
==+= vCC ()
atdttdtt
tC ()() ==+ 12
2
xxvtdt ()()() 733
7=
152
1ms
236
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
21. Aplicarem la fórmula del volum del sòlid de revolu-ció generat per la gràfica de f entre x = a i x = b en gi-rar al voltant de l’eix OX
a) En aquest cas, f(x) = x, a = 1 i b = 4, així doncs:
b) Les dades són f(x) = x2 + 2, a = 2 i b = 1, així doncs:
c) En aquest cas, , a = 0 i b = 5, així doncs:
d)
22. a) Apliquem la fórmula corresponent:
= = =t
t2
2
5
2152
0152
v v a t dt t dt( ) ( ) ( ) ( )5 2 12
5
2
5= = =
= = =2
24
0 2 2 3V u
= [ ]2 4
202
0
2x xsin
= =2 4
2 20
2
0
2dx x dxcos
V x dxx
dx= = =(sin )cos2
0
2
0
2 1 22
= =25
2252
3V u
V x dx x dxx
= ( ) = = =0
5 2
0
5 2
0
5
2
f x x( ) =
=V u153
53
= + + =x x
x5 3
2
1
5
4
34
153
5
= + + =( )x x dx4 2 2
2
14 4
V x dx= + =( )2 2
2
12
=V u21 3
V x dxx
= = =23
1
4
1
4
321
V f x dxa
b= ( )2
+ 32
32
x xx
( =
= + +
+
dx
x x x
x x
0
32
4 2 3
2
0
4
4
3
2 6
4
3 22 3
0
32
2 6
0103
9964
0
1
+ =
= + =
=
x
003
9964
937192
937192
2+ = =A u
Així, l’increment de velocitat entre els 2 s i els 6 s és de
b) Podem relacionar l’espai recorregut entre dos ins-tants amb la velocitat mitjançant la regla de Barrow:
Si obtenim l’expressió de v(t), podem calcularaquesta integral.
Per trobar-la, recordem que la velocitat és una pri-mitiva de l’acceleració.
El conjunt de totes les primitives de l’acceleració ésla seva integral indefinida.
Com que la velocitat a t = 0s és de 1 ms 1, el valorde la constant d’integració corresponent a la fun-ció velocitat és:
La velocitat és, doncs, , així doncs:
L’espai recorregut des de la posició als 3s a la posició
als 7 s és de m.
23. Per definició el treball realitzat per una força és:
Així doncs, el treball realitzat és
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
24. Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és laseva integral indefinida:
a) Trobem la funció primitiva F que passa per A = (1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:
Per tant, la primitiva buscada és:
F xx
x x( ) = +3
2
32
13
1 113
2 1 113
32= = + + =F C C( )
f x dx x x dxx
x x C( ) ( )= + = + +23
24 13
2
W J=1160
3.
= + = =5
3
3
22 402
463
1160
3
3 2
2
6x x
x
W F x dx x x dxa
b= = + =( ) ( )5 3 22
2
6
1103
= + = =t t
t3 2
3
7
6 2119
33
1103
x xt
t dt( ) ( )7 32
12
3
7= + =
v tt
t( ) = +2
21
1 002
0 12
= = + =v C C( )
a t dt t dtt
t C( ) ( )= = +12
2
x x v t dt( ) ( ) ( )7 33
7=
152
1ms
CM
YK
b) Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’a-nul.la en x = 1:
Per tant, la primitiva buscada és:
25. El conjunt de primitives de f és:
Aquesta integral es pot solucionar per parts:
u n x dux
dx
dv dx v dx x
= =
= = =
11
ln x dx ln x x xx
dx x ln x x C= = +1
f x dx ln x dx( ) =
F xx
x x( ) = +3
2
32
83
0 113
2 1 1
83
32= = + +
=
F C
C
( )( )
( ) ( )
a) El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F pas-si per A = (1, 3) és:
3 = F(1) = 1 ln 1 1 + C = 1 0 1 + C
C = 4
Per tant, la primitiva buscada és:
F(x) = x ln x x + 4
b) Perquè la primitiva F s’anul.li en x = e, la constantd’integració ha de ser:
0 = F(e) = e ln e e + C = e 1 e + C = C
La primitiva buscada és:
F(x) = x ln x x
26. Per definició de primitiva, es complirà F = f.
Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia iels extrems de la funció F.
Concretament, a partir de la gràfica de f podem cons-truir la taula següent:
237
12. Integrals i aplicacions
x ( , 3) 3 ( 3, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )
F (x) = f(x) + 0 0 + 0 0 +
F(x) M m M m
Concloem, doncs, que qualsevol primitiva F de f:
• És creixent en ( , 3) � ( 1, 0) � (2, + ).
• És decreixent en ( 3, 1) � (0, 2).
• Té màxims relatius en x = 3 i x = 0.
• Té mínims relatius en x = 1 i x = 2.
27. a) Procediment 1:
Procediment 2:
Com que és contínua en el seu domini,
podem aplicar el teorema fonamental del càlculprenent a = 3:
b) Procediment 1:
= +
= =
=
t ln t C
ln t dt t ln t
x ln x
x x
( )
( )
(
1
1
11 1
)) ( )( ) =1 1 1ln
u lnt dut
dt
dv dt v t
= =
= =
1
ln t dt ln t t tt
dt t ln t t C= = + =1
1 1
3 tdt
x
x=
f xx
( ) =1
13
1
33
3
tdt ln t ln x ln
tdt ln
xx
x
= =
= ( xx lnx x
= =31
01
)Procediment 2:
Si definim les funcions ,
, és a
dir, f = g � h.
Per tant, la derivada de f serà, per la regla de la ca-dena:
f (x) = (g � h) (x) = g (h(x)) h (x)
Ara bé, pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
f x g x ln xx
ln x
x( ) = ( ) = =
1
2 2
= =g x lnt dt ln xx
( )1
g x ln t dt i h x x tenim que
f x ln t dt
x
x
( ) ( ) ,
( )
= =
= =
1
1lln t dt g h x
h x= ( ( ))
( )
1
f x ln t dtx
( ) =1
= + + =
=+
=
1
21
1 1
20
1 1
2 2
xln x x
x x
ln x
x
ln x
x
( )
( )
(
= +
=
1 1
1
x ln x
ln t dt xx
lln x( ) + =1 1)
b)Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’a-nul.la en x =1:
Per tant, la primitiva buscada és:
25.El conjunt de primitives de f és:
Aquesta integral es pot solucionar per parts:
unxdux
dx
dvdxvdxx
==
===
11
lnxdxlnxxxx
dxxlnxxC ==+1
fxdxlnxdx ()=
Fxx
xx ()=+3
2
32
83
0113
211
83
32
==++
=
FC
C
()()
()()
a)El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F pas-si per A =(1, 3) és:
3 =F(1) =1 ln 1 1 +C =1 0 1 +C
C =4
Per tant, la primitiva buscada és:
F(x) =x ln x x +4
b)Perquè la primitiva F s’anul.li en x =e, la constantd’integració ha de ser:
0 =F(e) =e ln e e +C =e 1 e +C =C
La primitiva buscada és:
F(x) =x ln x x
26.Per definició de primitiva, es complirà F=f.
Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia iels extrems de la funció F.
Concretament, a partir de la gràfica de f podem cons-truir la taula següent:
237
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
x(, 3)3(3, 1)1(1, 0)0(0, 2)2(2, +)
F(x) =f(x)+00+00+
F(x)MmMm
Concloem, doncs, que qualsevol primitiva F de f:
•És creixent en (, 3) �(1, 0) �(2, +).
•És decreixent en (3, 1) �(0, 2).
•Té màxims relatius en x =3 i x =0.
•Té mínims relatius en x =1 i x =2.
27.a)Procediment 1:
Procediment 2:
Com que és contínua en el seu domini,
podem aplicar el teorema fonamental del càlculprenent a =3:
b)Procediment 1:
=+
==
=
tlntC
lntdttlnt
xlnx
xx
()
()
(
1
1
111
))() ()= 111 ln
ulntdut
dt
dvdtvt
==
==
1
lntdtlntttt
dttlnttC ==+=1
11
3tdt
x
x=
fxx
()=1
13
1
3 3
3
tdtlntlnxln
tdtln
x x
x
==
=(xxlnxx
== 31
01
)Procediment 2:
Si definim les funcions ,
, és a
dir, f =g�h.
Per tant, la derivada de f serà, per la regla de la ca-dena:
f(x) =(g�h)(x) =g(h(x)) h(x)
Ara bé, pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
fxgxlnxx
lnx
x()=()==
1
22
== gxlntdtlnxx
()1
gxlntdtihxxtenimque
fxlntdt
x
x
()(),
()
==
==
1
1llntdtghx
hx=(())
()
1
fxlntdtx
()=1
=++=
=+
=
1
21
11
20
11
22
xlnxx
xx
lnx
x
lnx
x
()
()
(
=+
=
11
1
xlnx
lntdtxx
llnx ()+= 11)
C M
Y K
238
12. Integrals i aplicacions
c)Procediment 1:
Procediment 2:
Considerem les funcions , g (x) =
i h(x) =x2, que mantenen la relació
següent:
Per tant, si derivem usant la regla de la cadena:
f(x) =(g (h(x)))=g(h(x)) h(x)
Pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
f(x) =g(x2) (x2)=sinx22x =2x sinx2
d)Procediment 1:
Procediment 2:
Considerem les funcions
i h(x) =x +2.
Podem relacionar aquestes funcions de la manerasegüent:
fxt
tdt
t
tdtghx
xhx()(())
()===
+3
1
3
1
2
34
22
34
gxt
tdt
x()=
3
1
2
34
fxt
tdt
x(), =
+3
1
2
34
2
3
11
21
2
3 4
23
4
2
3
t
tdtlnt
lnxl
xx==
=+
++
()nn
t
tdtlnxln
x
63
3
12163
2
3 4
23
=++
(())==
=+
+=
=++
++
1
21320
31212
612
32
2
32
()()
xx
xx
xxxx+7
== gxtdtxx
()sinsin0
fxtdttdt
tdtghx
x
x()sinsin
sin((
===
==
2
20
0
)))()
0
hx
=sintdtx
0
fxtdtx
()sin =2
0
sincoscoscos tdttx xx
=[]=+= 22
020
0
cos
sin(cos
=
=
x
tdtxx
2
02
1
1 2=
==
)
sinsin xxxx22
202
Per tant, si derivem usant la regla de la cadena:
f(x) =(g(h(x)))=g(h(x)) h(x)
Pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
28.Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la rec-ta té pendent k >0:
Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i laparàbola:
kx =x2x =0 o x =k �0
Per tant, tenint en compte a partir de la gràfica que larecta sempre és per sobre de la paràbola, l’àrea com-presa entre elles és:
Com que sabem que aquesta àrea és de 288:
29.Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la pa-ràbola y =x2bx té les branques cap amunt i passa perl’origen.
X
Y
y = x2– bx
y = – x2
A
2886
123
=== Ak
k
Akxxdxkxxkk
kk
==== ()2
23
0
33
02360
6
X
Y
1A
y = kx
1
y = x2
A
=++=+
+=
=+
fxgxxx
x
x
()()()()
()22
32
21
31
2
3
22212
612732
x
xxx
+
+++
==+
gxt
tdt
x
x
x()
3
1
3
1
2
3 4
22
3
238
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
c) Procediment 1:
Procediment 2:
Considerem les funcions , g (x) =
i h(x) = x2, que mantenen la relació
següent:
Per tant, si derivem usant la regla de la cadena:
f (x) = ( g (h(x))) = g (h(x)) h (x)
Pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
f (x) = g (x2) (x2) = sinx2 2x = 2x sinx2
d) Procediment 1:
Procediment 2:
Considerem les funcions
i h(x) = x + 2.
Podem relacionar aquestes funcions de la manerasegüent:
f xt
tdt
t
tdt g h x
x h x( ) ( ( ))
( )= = =
+ 3
1
3
1
2
34
2 2
34
g xt
tdt
x( ) =
3
1
2
34
f xt
tdt
x( ) ,=
+ 3
1
2
34
2
3
11
2 1
2
34
23
4
2
3
t
tdt ln t
ln x l
x x= =
= +
+ +
( ) nn
t
tdt ln x ln
x
63
3
12 1 63
2
34
23= +
+
( ( ) ) ==
=+
+ =
=+ +
+ +
1
2 13 2 0
3 12 12
6 12
32
2
3 2
( )( )
xx
x x
x x xx + 7
= =g x t dt xx
( ) sin sin0
f x t dt t dt
t dt g h x
x
x( ) sin sin
sin ( (
= = =
= =
2
20
0
)))( )
0
h x
= sin t dtx
0
f x t dtx
( ) sin=2
0
sin cos cos cost dt t xx
x= [ ] = + =2
2
0 20
0
cos
sin (cos
=
=
x
t dt xx
2
02
1
12
=
= =
)
sin sinx x x x2 22 0 2
Per tant, si derivem usant la regla de la cadena:
f (x) = (g(h(x))) = g (h(x)) h (x)
Pel teorema fonamental del càlcul:
Aleshores:
28. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la rec-ta té pendent k > 0:
Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i laparàbola:
kx = x2 x = 0 o x = k � 0
Per tant, tenint en compte a partir de la gràfica que larecta sempre és per sobre de la paràbola, l’àrea com-presa entre elles és:
Com que sabem que aquesta àrea és de 288:
29. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la pa-ràbola y = x2 bx té les branques cap amunt i passa perl’origen.
X
Y
y = x2 – bx
y = – x2
A
2886
123
= = =Ak
k
A kx x dxkx x k k
kk
= = = =( )22 3
0
3 3
0 2 3 60
6
X
Y
1 A
y = kx
1
y = x2
A
= + + =+
+=
=+
f x g x xx
x
x
( ) ( ) ( )( )
( )2 2
3 2
2 1
3 1
2
3
2 22 12
6 12 73 2
x
x x x
+
+ + +
= =+
g xt
tdt
x
x
x( )
3
1
3
1
2
34
2 2
3
CM
YK
Calculem les abscisses dels punts de tall entre les duesparàboles:
Depèn del signe de b quin sigui el primer extrem d’in-tegració, però com que en qualsevol cas només hi hados punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà:
Perquè l’àrea sigui 9:
30. Representem gràficament la cúbica y = x3 i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.
Observem que l’àrea A que volem calcular és la sumade:
• L’àrea A1 limitada per la cúbica, l’eix d’abscisses i lesrectes x = 0 i x = a, en què a és el punt de tall de larecta r amb l’eix d’abscisses.
• L’àrea A2 compresa entre la cúbica, la recta r i les abs-cisses x = a i x = 1.
Per calcular aquestes àrees, hem de determinar l’e-quació de la recta r i el valor de a:
— Càlcul de l’equació r i del valor de a:
L’equació de la recta tangent a f(x) = x3 en x0 = 1és:
y f x f x x x
y x x x x y
=
= =
( ) ( ) ( )
( ) ,0 0 0
03
02
03 1 33 1
3 2=
( )x
y x
Y
y = x3
A1
A2
a
r
1
1
924
6 63
= = = = ±Ab
b b
A x x bx dx
x bx dx
x
b
b
= =
= + =
=
( ( ))
( )
2 2
0
2
2
0
2 2
2 33 2
0
2 3 3
3 2 240
24+ = =
bx b bb
= = =x x bx x o xb2 2 02
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix d’abscissesés:
— Càlcul de l’àrea A:
31. Representem gràficament la paràbola y = x2 i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.
Així podem veure que l’àrea A que volem calcular ésla suma de:
• L’àrea A1 limitada per la paràbola, l’eix OX i les rec-tes x = 0 i x = a, quan a és el punt de tall de la recta ramb l’eix OX.
• L’àrea A2 determinada per la paràbola i la recta en-tre les abscisses x = a i x = 1.
Per calcular aquestes àrees, hem d’obtenir l’equacióde la recta r i el valor del punt a.
— Càlcul de l’equació de la recta r i del valor de a:
L’equació de la recta tangent a f(x) = x2 en x0 = 1és:
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix OX és:
0 2 112
= =a a
y f x f x x x
y x x x x
y
=
=
=
( ) ( ) ( )
( )
(
0 0 0
02
0 02
1 2 xx y x=1 2 1) ,
X
Y y = x2
1
1
A2
A1
ra
A A A
x dx x x dx
x dx
= + =
= + =
= +
1 2
3
0
23 3
23
1
3
0
3 2( ( ))
223 3
23
1
23
1
3
0
1
3 2
3 2
=
=
x dx x dx
x dx x dx
( )
( ) ==
= =
=
23
1
4
0
1 2
23
1
4
3
22
14
x xx
= =
= =
012
23
14
16
112
112
2A u
0 3 223
= =a a
239
12. Integrals i aplicacionsCalculem les abscisses dels punts de tall entre les duesparàboles:
Depèn del signe de b quin sigui el primer extrem d’in-tegració, però com que en qualsevol cas només hi hados punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà:
Perquè l’àrea sigui 9:
30.Representem gràficament la cúbica y =x3i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.
Observem que l’àrea A que volem calcular és la sumade:
•L’àrea A1limitada per la cúbica, l’eix d’abscisses i lesrectes x =0 i x =a, en què a és el punt de tall de larecta r amb l’eix d’abscisses.
•L’àrea A2compresa entre la cúbica, la recta r i les abs-cisses x =a i x =1.
Per calcular aquestes àrees, hem de determinar l’e-quació de la recta r i el valor de a:
—Càlcul de l’equació r i del valor de a:
L’equació de la recta tangent a f(x) =x3en x0=1és:
yfxfxxx
yxxxxy
=
==
()()()
(),000
03
02
0 31331
32 =
() x
yx
Y
y = x3
A1
A2
a
r
1
1
924
663
====± Ab
bb
Axxbxdx
xbxdx
x
b
b
==
=+=
=
(())
()
22
0
2
2
0
22
2332
0
233
32240
24+==
bxbbb
=== xxbxxoxb 22
02
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix d’abscissesés:
—Càlcul de l’àrea A:
31.Representem gràficament la paràbola y =x2i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.
Així podem veure que l’àrea A que volem calcular ésla suma de:
•L’àrea A1limitada per la paràbola, l’eix OX i les rec-tes x =0 i x =a, quan a és el punt de tall de la recta ramb l’eix OX.
•L’àrea A2determinada per la paràbola i la recta en-tre les abscisses x =a i x =1.
Per calcular aquestes àrees, hem d’obtenir l’equacióde la recta r i el valor del punt a.
—Càlcul de l’equació de la recta r i del valor de a:
L’equació de la recta tangent a f(x) =x2en x0=1és:
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix OX és:
02112
== aa
yfxfxxx
yxxxx
y
=
=
=
()()()
()
(
000
02
00 2
12xxyx = 121 ),
X
Yy = x2
1
1
A2
A1
ra
AAA
xdxxxdx
xdx
=+=
=+=
=+
12
3
0
233
23
1
3
0
32 (())
2233
23
1
23
1
3
0
1
32
32
=
=
xdxxdx
xdxxdx
()
()==
==
=
23
1
4
0
12
23
1
4
3
22
14
xxx
==
==
012
23
14
16
112
112
2Au
03223
== aa
239
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
240
12. Integrals i aplicacions
•Integració per canvi de variable (pàg. 265) i integracióper parts (pàg. 266).
•Regla de Barrow (pàg. 274).
•Àrea de la regió limitada per la gràfica d’una funció con-tínua i l’eix OX (pàg. 275 i 276); àrea limitada per les grà-fiques de dues funcions contínues (pàg. 277 i 278) i vo-lum d’un sòlid de revolució (pàg. 279).
Qüestions
33.Sí, ja que les altres primitives s’obtenen sumant unaconstant a la primitiva coneguda.
No, ja que si H és primitiva de dues funcions f i g, te-nim, per definició de primitiva:
34.Comprovem queF(x) =ln (x) és primitiva de
Per tant:
Així, F(x) =f(x) x D(f), per la qual cosa és unaprimitiva de f.
Prenem x en valor absolut perquè el logaritme està definit únicament en els reals positius i hem de considerar tant valors positius com negatius, ja queD(f) =�{0}.
35.Qualsevol funció contínua en un interval tancat com-pleix el teorema del valor mitjà del càlcul integral.
Per exemple, si considerem la funció f(x) =x i l’interval [0, 6], es compleix el teorema del valor mitjàper a:
Això significa que si la funció prengués el valor cons-tant f(3) =3 en l’interval [0, 6], contindria la mateixaàrea que conté efectivament la funció f(x) =x enaquest interval.
36.És 0. Recordem que f és una funció imparell si f(x) =f(x), xD(f).
Aplicant la propietat ID.3 amb c =0:
(1) fxdxfxdxfxdxa
aa
a()()() =+
0
0
cxdx
x
====0
82
0
62
60
2
6
62
0
63
=
>
<
Fxx
six
xsix
Fx ()(
10
10
))=1x
Fxxxsix
xsix()ln
ln
ln()==
>
<
0
0
fxx
(): =1
=
===
Hf
HgfHg
—Càlcul de l’àrea A:
32.Com que la gràfica d’una funció i la de la seva inversasón simètriques respecte de la bisectriu del primer i eltercer quadrants, el sòlid de revolució generat per lafunció y =f(x) en girar al voltant de l’eix OY entre lesabscisses x0i x1és idèntic, tot i que en posició vertical,al generat per la funció y =f1(x) en girar al voltant del’eix OX entre les abscisses f(x0) i f(x1).
Per tant, el volum del sòlid que ens interessa coinci-deix amb el sòlid de revolució generat per la funció y =f1(x)=x2en girar al voltant de l’eix OX entreles abscisses , que po-dem calcular mitjançant la fórmula:
ACTIVITATS
Abans de començar
•Primitiva d’una funció (pàg. 260); integral indefinidad’una funció (pàg. 261) i integral definida d’una funció(pàg. 271).
Vxdxxdx
x
===
==
()22
0
34
0
3
5
0
3
5243
5== 0
2435
2435
3Vu
fif ()() 000993 ====
X
Y9
3
y = x2
X
Y
9
3
y = x
– 9
AAA
xdxxxdx
=+=
=+=
12
2
0
122
12
121 (())
==+=
=
xdxxdxxdx
xdx
2
0
122
12
1
12
1
2
0
1
21 ()
(221
313
12
1
3
0
12
12
1
xdx
xxx
=
==
)
00014
13
14
112
112
2
=
=== Au
240
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
• Integració per canvi de variable (pàg. 265) i integracióper parts (pàg. 266).
• Regla de Barrow (pàg. 274).
• Àrea de la regió limitada per la gràfica d’una funció con-tínua i l’eix OX (pàg. 275 i 276); àrea limitada per les grà-fiques de dues funcions contínues (pàg. 277 i 278) i vo-lum d’un sòlid de revolució (pàg. 279).
Qüestions
33. Sí, ja que les altres primitives s’obtenen sumant unaconstant a la primitiva coneguda.
No, ja que si H és primitiva de dues funcions f i g, te-nim, per definició de primitiva:
34. Comprovem que F(x) = ln (x) és primitiva de
Per tant:
Així, F (x) = f(x) x D(f), per la qual cosa és unaprimitiva de f.
Prenem x en valor absolut perquè el logaritme està definit únicament en els reals positius i hem de considerar tant valors positius com negatius, ja queD(f) = � {0}.
35. Qualsevol funció contínua en un interval tancat com-pleix el teorema del valor mitjà del càlcul integral.
Per exemple, si considerem la funció f(x) = x i l’interval [0, 6], es compleix el teorema del valor mitjàper a:
Això significa que si la funció prengués el valor cons-tant f(3) = 3 en l’interval [0, 6], contindria la mateixaàrea que conté efectivament la funció f(x) = x enaquest interval.
36. És 0. Recordem que f és una funció imparell si f( x) = f(x), x D(f).
Aplicant la propietat ID.3 amb c = 0:
(1)f x dx f x dx f x dxa
a a
a( ) ( ) ( )= +
0
0
cx dx
x
= = = =0
82
0
62
6 0
2
6
62
0
63
=
>
<
F xx
si x
xsi x
F x( ) (
10
10
)) =1x
F x xx si x
x si x( ) ln
ln
ln( )= =
>
<
0
0
f xx
( ) :=1
=
== =
H f
H gf H g
— Càlcul de l’àrea A:
32. Com que la gràfica d’una funció i la de la seva inversasón simètriques respecte de la bisectriu del primer i eltercer quadrants, el sòlid de revolució generat per lafunció y = f(x) en girar al voltant de l’eix OY entre lesabscisses x0 i x1 és idèntic, tot i que en posició vertical,al generat per la funció y = f 1(x) en girar al voltant del’eix OX entre les abscisses f(x0) i f(x1).
Per tant, el volum del sòlid que ens interessa coinci-deix amb el sòlid de revolució generat per la funció y = f 1(x) = x2 en girar al voltant de l’eix OX entreles abscisses , que po-dem calcular mitjançant la fórmula:
ACTIVITATS
Abans de començar
• Primitiva d’una funció (pàg. 260); integral indefinidad’una funció (pàg. 261) i integral definida d’una funció(pàg. 271).
V x dx x dx
x
= = =
= =
( )2 2
0
34
0
3
5
0
3
5243
5= =0
2435
2435
3V u
f i f( ) ( )0 0 0 9 9 3= = = =
X
Y9
3
y = x2
X
Y
9
3
y = x
– 9
A A A
x dx x x dx
= + =
= + =
1 2
2
0
12 2
12
12 1( ( ))
== + =
=
x dx x dx x dx
x dx
2
0
12 2
12
1
12
1
2
0
1
2 1( )
(22 1
313
12
1
3
0
12
12
1
x dx
xx x
=
= =
)
00 014
13
14
112
112
2
=
= = =A u
CM
YK
Si en la primera integral fem el canvi t = x:
t = x f imparelldt = dx
x = tdx = dt
Substituint en (1):
EXERCICIS I PROBLEMES
37. a)
b)
c)
d)
38. a)
f(x) = x4 , g(x) = arc tg x
b)
= = +f xx
g x x( ) , ( )1
1 8
x
xdx
xx dx x C
7
8
87 8
118
1
18
18
1
+=
=+
= + +( )
ln( )
=+
= +( )arc tg xx
dxarc tg x
C42
51
1 5
arc tg x
xdx
4
21 +=
1
3
13
13
1
3
13
13
2 2
2
+=
+
=
=
+
xdx
xdx
xdxx arc tg
xC= +
33 3
3 535
5 535
5cos cos sinx dx x dx x C= = +
66 6
632
1
125
2 212
32
32
1
x
xdx x dx x dx
xC
= = =
=
+
+ =
+
xx x C2 +
8 8 813
1
6
313
13
1
3
x dx x dxx
C
x x C
= =
+
+ =
= +
+
f x dx f x dx f x dx
f x dx f
a
a
a
a( ) ( ) ( )
( ) (
= + =
= +
0
0
xx dxaa
) = 000
= = =f t dt f t dt f x dxa a a
( ) ( ) ( )0 0 0
f x dx f t dt f t dta a
a( ) ( ) ( )= = =
0 0
0
c)
d)
e)
f)
39. a)
b)
c)
= + + +x
x xx
C4
2
41
ln
1 12x
dxx
dx == +x dx x dx3 2
x x x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
5 3
2
5
2
3
2 2 2
2 1
21
+=
= + =dx
5
4
1 2
3
54
1 1 23
1
3
3
x x xdx
xdx
xdx
xdx
+ =
= + ==
= + +5
8
432x
x x Cln
= +( )ln( )2
23
ee
arc tg x Cx
1
12xdx
+== ( )2 3e dxx
23
12x xe
xdx
+=
e Cx313
1= + +ln( )
f xx
g x e x( ) , ( )= = +1
1 3
e
edx
ee dx
x
x xx
3
3 33
1
13
1
13
+=
+=
e12
= arc sin 22 x C+
f xx
g x e x( ) , ( )= =1
1 2
2
e
edx
ee dx
x
x
x
x
2
4
2 2
2
112
1
12
=
= =( )
= + +1 2sin x C
= +
=
f x x
g x x
( ) ( )
( ) sin
1
2
12
= + =12
1 2 2 212( sin ) cosx x d x
cos
sin )
2
1 2
x
xdx
+=
=+
=f xx
g x x( ) , ( )1
1 24
x
xdx
xx dx arc tg x C
3
8
4 23 4
114
1
14
14
+=
=+
= +( )
241
12. Integrals i aplicacionsSi en la primera integral fem el canvi t =x:
t =xf imparelldt =dx
x =tdx =dt
Substituint en (1):
EXERCICIS I PROBLEMES
37.a)
b)
c)
d)
38.a)
f(x) =x4, g(x) =arc tg x
b)
==+ fxx
gxx (),()1
18
x
xdx
xxdxxC
7
8
878
118
1
18
18
1
+=
=+
=++()
ln()
=+
=+ () arctgxx
dxarctgx
C4
2
51
15
arctgx
xdx
4
21+
=
1
3
13
13
1
3
13
13
22
2
+=
+
=
=
+
xdx
xdx
xdxxarctg
xC =+
333
3535
5535
5 coscossin xdxxdxxC ==+
666
632
1
125
2212
32
32
1
x
xdxxdxxdx
xC
===
=
+
+=
+
xxxC2
+
88813
1
6
313
13
1
3
xdxxdxx
C
xxC
==
+
+=
=+
+
fxdxfxdxfxdx
fxdxf
a
a
a
a()()()
()(
=+=
=+
0
0
xxdxa a
)=00 0
=== ftdtftdtfxdxaaa
()()()000
fxdxftdtftdtaa
a()()() ===
00
0
c)
d)
e)
f)
39.a)
b)
c)
=+++x
xxx
C4
2
41
ln
112 x
dxx
dx= =+ xdxxdx3
2
xxx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
53
2
5
2
3
222
21
21
+=
=+= dx
5
4
12
3
54
1123
1
3
3
xxxdx
xdx
xdx
xdx
+=
=+==
=++5
8
43 2
xxxC ln
=+()ln()2
23
ee
arctgxCx
1
12
xdx
+= =() 23 edx
x
23
12
xxe
xdx
+=
eCx 3 1
31 =++ ln()
fxx
gxex
(),() ==+1
13
e
edx
eedx
x
xxx
3
333
1
13
1
13
+=
+=
e12
=arcsin22x
C+
fxx
gxex
(),() ==1
12
2
e
edx
eedx
x
x
x
x
2
4
22
2
112
1
12
=
==()
=++ 12 sinxC
=+
=
fxx
gxx
()()
()sin
1
2
12
=+=12
122212 (sin)cos xxdx
cos
sin)
2
12
x
xdx
+=
=+
= fxx
gxx (),()1
12
4
x
xdx
xxdxarctgxC
3
8
4234
114
1
14
14
+=
=+
=+()
241
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
242
12. Integrals i aplicacions
d)
e)
f)
40.a)
b)
t =1 +x8
dt =8x7dx
c)
t =x4
dt =4x3dx
d)
t =1 +sin 2xdt =2 cos 2x dx
e)
t =e2 x
dt =2e2 xdx
f)
t =1 +e3 x
dt =3e3 x
=++13
13
ln() eCx
e
edx
tdttC
x
x
3
31
13
113 +
==+= ln
=+=+12
12
2arcsinarcsin tCeC
x
e
edx
tdt
x
x
2
421
12
1
1==
=++ 12 sinxC
cos
sin
2
12
12
1 x
xdx
tdttC
+==+=
=+14
4arctgxC
x
xdx
tdtarctgtC
3
321
14
1
1
14 +
=+
=+=
=++18
18
ln() xC
x
xdx
tdttC
7
81
18
118 +
==+= ln
=
=+
tarctgx
dtx
dx1
12
tdtt
Carctgx
C4
55
55=+=+
arctgx
xdx
4
21+
=
=+ 433 4
xxC
dx=3
331
3 44 xdx
xdx =
()() xdxxxxdx
xdxxdxx
23642
64
1331
33
+=+++=
=++22
753
73
5
dxdx
xxxxC
+=
=++++
1dxgxxC =+ cot =12
sinxdx
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
1 x
xdx
x
xdx == cot= gxdx
2—Els dos procediments són, en realitat, el mateix: es
basen a reconèixer una funció auxiliar en l’inte-grant.
En el mètode de conversió a integral immediata,identifiquem una funció g(x) i la seva derivada enl’integrant.
En el mètode de substitució, definim una nova va-riable com una funció t =g(x) i transformem dx endt a partir d’aquella relació:
t =g(x) dt =g(x) dx
El mètode de conversió a integral immediata ésmés ràpid, però requereix el reconeixement previde la funció g(x) i de la seva derivada en l’inte-grant, la qual cosa acostuma a ser difícil.
41.a)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u =x du =dxdv =sinx dx v =cosx
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral:
Per tant:
b)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral:
Per tant:
xxdxx
xx
C
xxC
566
6636
616
lnln
ln
=+=
=+
xdxxx 5
6616636
== xx
dx6
611
6=
xx
dx6
61
xxdxxx 5
6
6lnln =
udvuvv =
dvxdxvx
==5
6
6
uxdux
dx == ln1
xxdx5
ln
xxdxxxxC sincossin =++
cossin xdxx =
xxdxxxxdx sincoscos =+
udvuvv =
xxdx sin
242
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
d)
e)
f)
40. a)
b)
t = 1 + x8
dt = 8 x7 dx
c)
t = x4
dt = 4 x3 dx
d)
t = 1 + sin 2 xdt = 2 cos 2 x dx
e)
t = e2 x
dt = 2 e2 x dx
f )
t = 1 + e3 x
dt = 3 e3 x
= + +13
1 3ln( )e Cx
e
edx
tdt t C
x
x
3
31
13
1 13+
= = + =ln
= + = +12
12
2arc sin arc sint C e Cx
e
edx
tdt
x
x
2
4 21
12
1
1= =
= + +1 2sin x C
cos
sin
2
1 2
12
1x
xdx
tdt t C
+= = + =
= +14
4arc tg x C
x
xdx
tdt arc tg t C
3
3 21
14
1
1
14+
=+
= + =
= + +18
1 8ln( )x C
x
xdx
tdt t C
7
81
18
1 18+
= = + =ln
=
=+
t arc tg x
dtx
dx1
1 2
t dtt
Carc tg x
C45 5
5 5= + = +
arc tg x
xdx
4
21 +=
= +4 334 x x C
dx =3
3 31
34 4x
dxx
dx=
( ) ( )x dx x x x dx
x dx x dx x
2 3 6 4 2
6 4
1 3 3 1
3 3
+ = + + + =
= + + 22
7 53
73
5
dx dx
x xx x C
+ =
= + + + +
1dx g x x C= +cot=12sin x
dx
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
1x
xdx
x
xdx= =cot =g x dx2
— Els dos procediments són, en realitat, el mateix: esbasen a reconèixer una funció auxiliar en l’inte-grant.
En el mètode de conversió a integral immediata,identifiquem una funció g(x) i la seva derivada enl’integrant.
En el mètode de substitució, definim una nova va-riable com una funció t = g(x) i transformem dx endt a partir d’aquella relació:
t = g(x) dt = g (x) dx
El mètode de conversió a integral immediata ésmés ràpid, però requereix el reconeixement previde la funció g(x) i de la seva derivada en l’inte-grant, la qual cosa acostuma a ser difícil.
41. a)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u = x du = dxdv = sin x dx v = cos x
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral:
Per tant:
b)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral:
Per tant:
x x dxx
xx
C
xx C
56 6
66 36
616
ln ln
ln
= + =
= +
x dxx x5
6 616 6 36
= =x
xdx
6
61 1
6=
xx
dx6
61
x x dx xx5
6
6ln ln=
u dv u v v=
dv x dx vx
= =56
6
u x dux
dx= =ln1
x x dx5 ln
x x dx x x x Csin cos sin= + +
cos sinx dx x=
x x dx x x x dxsin cos cos= +
u dv u v v=
x x dxsin
CM
YK
c)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:
dv = dx v = x
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral:
Per tant:
d)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:
u = sin x du = cos x dx
dv = ex dx v = ex
2. Apliquem l’expressió du:
3. Per resoldre la nova integral repetim el procés:
u = cos x du = sin x dx
dv = ex dx v = ex
Agrupem els termes i aïllem la integral:
Per tant:
e x dxe
x x Cxx
sin (sin cos )= +2
e x dx
e x e x e x dx
e x dx
x
x x x
x
sin
sin cos sin
sin
=
=
2 ==
=
e x e x
e x dxe x e x
x x
xx x
sin cos
sinsin cos
2
e x dx ex x=cos cos xx e x dxx+ sin
e x dx e x e x dxx x xsin sin cos=
u dv u v v=
e x dxx sin
ln ln (ln )x dx x x x C x x C= + = +1
xx
dx dx x= =1
ln lnx dx x x xx
dx=1
u dv u v v=
u ln x dux
dx= =1
ln x dx e)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u = 3 x du = 3 dx
dv = ex dx v = ex
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral:
Per tant:
f)
1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u = x2 du = 2x dx
dv = cosx dx v = sinx
2. Apliquem l’expressió du:
3. Resolem la nova integral. Per a fer-ho, repetimel procediment general de la integració perparts.
Així:
Per tant:
= x2 sin x 2 [ x cos x + sin x] + C =
= x2 sin x + 2 x cos x 2 sin x + C =
= (x2 2) sin x + 2 x cos x + C
x x dx2 cos =
2 2x x dx x x xsin [ cos sin ]= +
2 2x x dx x x dx
u x du dx
dv x dx v
sin sin
sin co
=
= =
= = ss
sin cos cos
cos
x
x x dx x x x dx
x dx sin x
= +
=
x x dx x x x x dx2 2 2cos sin sin=
u dv u v v=
x x dx2 cos
3 3 3
3 1
x e dx x e e C
e x C
x x x
x( )
= + =
= +
3 3 3e dx e dx ex x x= =
3 3 3x e dx x e e dxx x x=
u dv u v v=
3 x e dxx
243
12. Integrals i aplicacionsc)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:
dv =dx v =x
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral:
Per tant:
d)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:
u =sinx du =cosx dx
dv =exdx v =ex
2.Apliquem l’expressió du:
3.Per resoldre la nova integral repetim el procés:
u =cosx du =sinx dx
dv =exdx v =ex
Agrupem els termes i aïllem la integral:
Per tant:
exdxe
xxCx
x
sin(sincos) =+2
exdx
exexexdx
exdx
x
xxx
x
sin
sincossin
sin
=
=
2==
=
exex
exdxexex
xx
xxx
sincos
sinsincos
2
exdxexx
= coscosxxexdxx
+sin
exdxexexdxxxx
sinsincos =
udvuvv =
exdxx
sin
lnln(ln) xdxxxxCxxC =+=+ 1
xx
dxdxx ==1
lnln xdxxxxx
dx =1
udvuvv =
ulnxdux
dx ==1
lnxdxe)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u =3x du =3dx
dv =exdx v =ex
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral:
Per tant:
f)
1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.
u =x2du =2x dx
dv =cosx dx v =sinx
2.Apliquem l’expressió du:
3.Resolem la nova integral. Per a fer-ho, repetimel procediment general de la integració perparts.
Així:
Per tant:
=x2sin x 2 [x cosx +sinx] +C =
=x2sinx +2x cosx 2 sinx +C =
=(x22) sinx +2x cosx +C
xxdx2
cos=
22 xxdxxxx sin[cossin] =+
22 xxdxxxdx
uxdudx
dvxdxv
sinsin
sinco
=
==
==ss
sincoscos
cos
x
xxdxxxxdx
xdxsinx
=+
=
xxdxxxxxdx22
2 cossinsin =
udvuvv =
xxdx2
cos
333
31
xedxxeeC
exC
xxx
x()
=+=
=+
333 edxedxexxx
==
333 xedxxeedxxxx
=
udvuvv =
3xedxx
243
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
244
12. Integrals i aplicacions
42.a)
x23x 4 =(x +1) (x 4)
3x 1 =A (x 4) +B (x +1) =
=(A +B) x 4 A +B
b)
x3+2x2x 2 =(x 1) (x +1) (x +2)
4x 1 =A (x +1) (x +2) +
+B (x 1) (x +2) +C (x 1) (x +1) =
=(A +B +C) x2+(3A +B) x +2A 2B C
43.a)Com que apareix el factor , apliquem elcanvi de variable x =2sin t.
4422
41
22
2
==
=
xdxttdt
t
(sin)cos
sincosttdttdt
ttdtdt
cos
coscos
==
=+
=+
4
122
222
2
sin
tdt
ttC
=
=++= 22
222
x
41
22
12
1
52
13
2
32
x
xxxdx
xdx
xdx
xd
+=
=++
++
xx
xxxC
=
=++++12
152
132 lnlnln
=== ABC12
52
3 ,,
0
43
122
=++
=+
=
ABC
AB
ABC
=++
++
Ax
Bx
Cx 112
,
41
2232
x
xxx +=
31
34
45
1
115
445
1
2
x
xxdx
xdx
xdx
x
=
=+
+=
=+ ln+++115
4 lnxC
3
1445
115
=+
=+==
AB
ABAB,
=++
+
AxBxxx
()()()()
,4141
31
3414 2
x
xx
Ax
Bx
=+
+=
b)Com que en l’integrant apareix l’arrel
, apliquem el canvi
44.El conjunt de totes les primitives de f és la seva integralindefinida:
=x32x2+3x +C
D’aquestes, la que passa per (1, 3) és la que té perconstant d’integració:
3 =(1)32 (1)2+3 (1) +C =6 +C
C =9
La primitiva en qüestió és, doncs, x32x2+3x +9.
fxdxxxdx ()() =+= 3432
1
5
1
55
5
22
22
2
xxdx
tt
t
t
=
=
coscos
sin
cosddt
t
tt
t
tdt
=
==15
1
112
22
cos
coscos
sin
cos
===
==
15
1
15
1
3
2 sin
cos
sin
cos
cos
t
t
t
tdt
tdt55
15
5
15
15
sin
sincos
tC
arcx
C
x
+=
=+=
=+=+
225
5C
xx
C
5=xt cos x22
5 ()
sinsinarc arcx
=+ 22
2ssin
sinsinarcsin
xC
arcxx
2
22
22
+=
=+
+=
=+
cossin
sin
arcx
C
arcx
2
22
2xx
arcx
C
arcx
x
21
2
22
1
2+=
=+
sinsin
sin+=
=++
xC
arcxxx
C
2
22
42
2
2
sin
xttarcx
dxtdt
==
=
22
2
sinsin
cos
xt
tarcx
dxt
cost
==
=
55
52
coscos
sin
244
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
42. a)
x2 3x 4 = (x + 1) (x 4)
3 x 1 = A (x 4) + B (x + 1) =
= (A + B) x 4 A + B
b)
x3 + 2 x2 x 2 = (x 1) (x + 1) (x + 2)
4 x 1 = A (x + 1) (x + 2) +
+ B (x 1) (x + 2) + C (x 1) (x + 1) =
= (A + B + C) x2 + (3 A + B) x + 2 A 2 B C
43. a) Com que apareix el factor , apliquem elcanvi de variable x = 2sin t.
4 4 2 2
4 1
2 2
2
= =
=
x dx t t dt
t
( sin ) cos
sin cos tt dt t dt
t tdt dt
cos
coscos
= =
=+
= +
4
1 22
2 2 2
2
sin
t dt
t t C
=
= + + =2 2
22 2x
4 1
2 2
12
1
52
13
2
3 2
x
x x xdx
xdx
xdx
xd
+=
= ++
++
xx
x x x C
=
= + + + +12
152
1 3 2ln ln ln
= = =A B C12
52
3, ,
0
4 3
1 2 2
= + +
= +
=
A B C
A B
A B C
= ++
++
Ax
Bx
Cx1 1 2
,
4 1
2 23 2
x
x x x+=
3 1
3 4
45
1
115
445
1
2
x
x xdx
xdx
xdx
x
=
=+
+ =
= +ln ++ +115
4ln x C
3
1 445
115
= +
= += =
A B
A BA B,
=+ +
+
A x B xx x
( ) ( )( )( )
,4 14 1
3 1
3 4 1 42
x
x x
Ax
Bx
=+
+ =
b) Com que en l’integrant apareix l’arrel
, apliquem el canvi
44. El conjunt de totes les primitives de f és la seva integralindefinida:
= x3 2 x2 + 3 x + C
D’aquestes, la que passa per ( 1, 3) és la que té perconstant d’integració:
3 = ( 1)3 2 ( 1)2 + 3 ( 1) + C = 6 + C
C = 9
La primitiva en qüestió és, doncs, x3 2 x2 + 3 x + 9.
f x dx x x dx( ) ( )= + =3 4 32
1
5
1
5 5
5
2 2
2 2
2
x xdx
t t
t
t
=
=
cos cos
sin
cosddt
t
tt
t
tdt
=
= =15
1
1 12
2 2
cos
coscos
sin
cos
== =
= =
15
1
15
1
3
2sin
cos
sin
cos
cos
t
t
t
tdt
t dt55
15
5
15
15
sin
sin cos
t C
arcx
C
x
+ =
= + =
= + = +
2 2 55
Cx
xC
5 = x tcosx2 25( )
sin sin arcarcx
= +22
2 ssin
sin sin arc sin
xC
arcx x
2
22
22
+ =
= +
+ =
= +
cos sin
sin
arcx
C
arcx
2
22
2xx
arcx
C
arcx
x
21
2
22
1
2 + =
= +
sin sin
sin + =
= + +
xC
arcx x x
C
2
22
42
2
2
sin
x t t arcx
dx t dt
= =
=
22
2
sin sin
cos
xt
t arcx
dxt
cos t
= =
=
5 5
52
coscos
sin
CM
YK
45. Si F és una primitiva de f, F = f, aleshores el signe de lafunció f ens permet d’obtenir la monotonia i els ex-trems relatius de F.
D’acord amb la gràfica de f, podem deduir el següentcomportament de qualsevol primitiva seva F:
L’única de les tres gràfiques que presenta un compor-tament compatible amb aquesta taula és la a. Per tant,l’única gràfica que pot ser-ho d’una primitiva de f és la a.
46. a)
b)
c)
d)
e)
t = ln x
f)
u = x du = dxdv = ex dx v = ex
47. Com que f(x) = ex < 0 x �, l’àrea A delimitada perla gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x = 1 i x = 2coincideix amb:
A f x dx e dx e dx
e
x x
x
= = = =
=
( )1
2
1
2
1
2
1
22 2 13 3
21 1= = =e e
ee
Ae
eu
= = =
=
xe e e e e e
e e
x x
2
5
2
5 5 2 5 2
5 2
5 2
4
( )
e dxx =2
5
xe e dx xex x x=2
5
2
5xe dxx =
2
5
= = =ln(ln ) ln(ln ) lnlnln
,3 232
0 46
=dtx
dx1
2
3tln
ln
ln=
1 1
2
3
2
3
x xdx
tdt
ln ln
ln= =
x dx x ee
e= [ ] = = =1
11
1 1 0 1ln ln ln
cos sinsin
sin
x x dxx5
6
2
2
2
2
6
6
26
= =
=
ssin66
26
016
16
= =
5
7 7
57
1
1
57
5
20
1
20
1
0
1
+=
+=
= =
xdx
xdx
arc tg x77
1 0
57 4
0528
( )arc tg arc tg =
= =
( )
( ) (
3 6 33
6
3 6 3 0
23
0
3
0
3
3
x dxx
x= =
= 00 9) =
48. 1. Calculem els zeros de f:
f(x) = ln x = 0 x = eln x = e0 = 1
2. Com que 1 [e, e2], l’àrea A buscada coincideixamb:
dv = dx v = x
49. 1. Calculem els zeros de f:
2. En [0, 2 ], la funció f(x) = cos x té 2 zeros:
; aleshores, l’àrea A del recinte
que delimita amb l’eix d’abscisses en aquest inter-val coincideix amb:
— Si apliquem la regla de Barrow:
Clarament, obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, pel fet que la funció f(x) = cos xcanvia de signe en [0, 2 ].
50. Fem una representació aproximada per tal de veure ladisposició d’aquest triangle.
cos sinx dx x= [ ] = =02
0
20 0 0
A x dx x dx
x dx
= + +
+ =
=
cos cos
cos
si
0
2
2
32
32
2
nn sin sinx x x[ ] + [ ] + [ ] =
= + +
02
2
32
32
2
1 0 1 1 00 1
1 2 1 4 4 2
=
= + + = =
( )
A u
x i x= =2
32
cos ,x x k k= = +02
Z
= =
= =
x x
e e e e e
e
e(ln )
(ln ) (ln )
1
1 1 1
2
2 2 2 ee
e A e u
=
= =
0
2 2 2
= =u x dux
ln1
ln x x xx
dxe
e
=1
2
A x dxe
e= =ln
2
X
Y
y = 3x
y = – x + 8
A1 A2
1 a
245
12. Integrals i aplicacions
x ( , 0) 0 (0, + )
F (x) = f(x) 0 +
F(x) m
45.Si F és una primitiva de f, F=f, aleshores el signe de lafunció f ens permet d’obtenir la monotonia i els ex-trems relatius de F.
D’acord amb la gràfica de f, podem deduir el següentcomportament de qualsevol primitiva seva F:
L’única de les tres gràfiques que presenta un compor-tament compatible amb aquesta taula és la a.Per tant,l’única gràfica que pot ser-ho d’una primitiva de f és la a.
46.a)
b)
c)
d)
e)
t =ln x
f)
u =x du =dxdv =exdx v =ex
47.Com que f(x) =ex<0 x�, l’àrea A delimitada perla gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x =1 i x =2coincideix amb:
Afxdxedxedx
e
xx
x
====
=
()1
2
1
2
1
2
1
222133
2 11=== ee
ee
Ae
eu
===
=
xeeeeee
ee
xx
2
5
2
55252
52
52
4
()
edxx
=2
5
xeedxxexxx
=2
5
2
5xedx
x=
2
5
=== ln(ln)ln(ln)lnlnln
, 3232
046
= dtx
dx1
2
3t ln
ln
ln=
11
2
3
2
3
xxdx
tdt
lnln
ln==
xdxxee
e=[]===
1
111101 lnlnln
cossinsin
sin
xxdxx 5
6
2
2
2
2
6
6
26
==
=
ssin6
62
60
16
16
==
5
77
57
1
1
57
5
20
1
20
1
0
1
+=
+=
==
xdx
xdx
arctgx77
10
574
0528
() arctgarctg=
==
()
()(
3633
6
3630
23
0
3
0
3
3
xdxx
x ==
=009 )=
48.1.Calculem els zeros de f:
f(x) =ln x =0 x =eln x=e0=1
2.Com que 1 [e, e2], l’àrea A buscada coincideixamb:
dv =dx v =x
49.1.Calculem els zeros de f:
2.En [0, 2], la funció f(x) =cosx té 2 zeros:
; aleshores, l’àrea A del recinte
que delimita amb l’eix d’abscisses en aquest inter-val coincideix amb:
—Si apliquem la regla de Barrow:
Clarament, obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, pel fet que la funció f(x) =cosxcanvia de signe en [0, 2].
50.Fem una representació aproximada per tal de veure ladisposició d’aquest triangle.
cossin xdxx =[]== 02
0
2000
Axdxxdx
xdx
=++
+=
=
coscos
cos
si
0
2
2
32
32
2
nnsinsin xxx []+[]+[]=
=++
02
2
32
32
2
1011001
121442
=
=++==
()
Au
xix ==2
32
cos, xxkk ==+ 02
Z
==
==
xx
eeeee
e
e(ln)
(ln)(ln)
1
111
2
222ee
eAeu
=
==
0
222
== uxdux
ln1
lnxxxx
dxe
e
=1
2
Axdxe
e== ln
2
X
Y
y = 3x
y = – x + 8
A1A2
1a
245
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
x(, 0)0(0, +)
F(x) =f(x)0+
F(x)m
C M
Y K
246
12. Integrals i aplicacions
De la seva observació en deduïm que la seva àrea A ésla suma de:
•L’àrea A1del recinte limitat per la recta y =3x, l’eixOX i les rectes x =0 i x =a, en què a és l’abscissa delpunt de tall entre les dues rectes de l’enunciat.
•L’àrea A2del recinte limitat per la recta y =x +8,l’eix OX i les rectes x =a i x =8.
Per calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a:
3a =a +8 a =2
Per tant:
Podem comprovar geomètricament el resultat cal-culant directament l’àrea del triangle:
51.
Com que per a x [0, 3], el valor de laintegral anterior coincideix amb l’àrea del recinte li-mitat per la gràfica de la funció f(x) =, l’eixd’abscisses i les rectes x =0 i x =3.
Podem dibuixar aproximadament aquest recinte, R, apartir d’una gràfica aproximada de la funció f:
•Domini:
D(f) =[3, 3]
•Zeros:
•Extrems:
•Monotonia:
x
f(x) 0+0
99f(x)——
322
3,32
232
232
2,
322
332
2,
=()=+=
=
fxxxxxx
x
xx
x
()9199
9
9
22
2
22
2==
===±
92
9
092032
2
2
2
2
x
x
fxxx ()
xxxxox 903032==== ,
xx 92
xx 902
xxdxx
912
932
9
2
0
3232
0
3
==
=
()
()==
x2
3
0
3
3099 ()
Abh
Au ====2
80322
24242 ()()
AAAxdxxdx
x
=+=++=
=+
120
2
2
8
2
0
2
38
32
()
xxx
Au
2
2
8
2
28
32032142424
+=
=+== ()()
Podem fer, finalment, una representació aproxima-da de f amb aquesta informació:
52.La integral dx representa l’àrea del re-
cinte limitat per la corba y =x (x 3)2i l’eix OX si 0 ia són punts de tall entre aquesta corba i l’eix d’abscis-ses, no hi ha punts de tall entre la corba i l’eix d’abs-cisses fora de l’interval [0, a], i la funció que ens defi-neix la corba, f(x) =x (x 3)2, és més gran o igual que0 en aquest interval.
Calculem els punts de tall entre la corba y =x (x 3)2
i l’eix d’abscisses:
0 =x (x 3)2x =0 o x =3
Com que la funció només talla l’eix d’abscisses en 0 i3, el valor de a ha de ser a =3, i només queda veure quef(x) =x (x 3)2és positiva entre 0 i 3:
Per tant, el valor de a buscat és a =3.
—L’equació de la corba és:
y =x (x 3)2=x36x2+9x
i l’àrea del recinte és:
53.1.Trobem els punts de tall entre f i g:
f(x) =g(x) 4x x2=x x =0 o x =3
2.Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea Adel recinte comprès entre les dues funcions i lesrectes x =1 i x =2 és:
Afxgxdx == (()())1
2
Axxdxxxxdx
xx
x
==+=
=+
()() 369
42
9
2
0
332
0
3
43
22
0
3
2
2274
0274
274
=== Au
xx
xfxxxen =
[,]
()()()[
030
30300 2
2,,]3
xxa
()32
0
X
Y
f
R
1 – 33
1
246
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
De la seva observació en deduïm que la seva àrea A ésla suma de:
• L’àrea A1 del recinte limitat per la recta y = 3 x, l’eixOX i les rectes x = 0 i x = a, en què a és l’abscissa delpunt de tall entre les dues rectes de l’enunciat.
• L’àrea A2 del recinte limitat per la recta y = x + 8,l’eix OX i les rectes x = a i x = 8.
Per calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a:
3 a = a + 8 a = 2
Per tant:
Podem comprovar geomètricament el resultat cal-culant directament l’àrea del triangle:
51.
Com que per a x [0, 3], el valor de laintegral anterior coincideix amb l’àrea del recinte li-mitat per la gràfica de la funció f(x) = , l’eixd’abscisses i les rectes x = 0 i x = 3.
Podem dibuixar aproximadament aquest recinte, R, apartir d’una gràfica aproximada de la funció f:
• Domini:
D(f) = [ 3, 3]
• Zeros:
• Extrems:
• Monotonia:
x
f (x)0+ 0
9 9f(x) — —
3 22
3,3 2
23 2
23 2
2,
3 22
33 2
2,
= ( ) = + =
=
f x x x x xx
x
x x
x
( ) 9 1 99
9
9
2 2
2
2 2
2==
= = = ±
9 2
9
0 9 2 03 2
2
2
2
2
x
x
f x x x( )
x x x x o x9 0 3 0 32 = = = =,
x x9 2
x x9 02
x x dxx
912
932
9
2
0
3 232
0
3
= =
=
( )
( )= =
x23
0
3
30 9 9( )
Ab h
A u= = = =2
8 0 3 22
24 24 2( ) ( )
A A A x dx x dx
x
= + = + + =
= +
1 20
2
2
8
2
0
2
3 8
32
( )
xxx
A u
2
2
8
2
28
3 2 0 32 14 24 24
+ =
= + = =( ) ( )
Podem fer, finalment, una representació aproxima-da de f amb aquesta informació:
52. La integral dx representa l’àrea del re-
cinte limitat per la corba y = x (x 3)2 i l’eix OX si 0 ia són punts de tall entre aquesta corba i l’eix d’abscis-ses, no hi ha punts de tall entre la corba i l’eix d’abs-cisses fora de l’interval [0, a], i la funció que ens defi-neix la corba, f(x) = x (x 3)2, és més gran o igual que0 en aquest interval.
Calculem els punts de tall entre la corba y = x (x 3)2
i l’eix d’abscisses:
0 = x (x 3)2 x = 0 o x = 3
Com que la funció només talla l’eix d’abscisses en 0 i3, el valor de a ha de ser a = 3, i només queda veure quef(x) = x (x 3)2 és positiva entre 0 i 3:
Per tant, el valor de a buscat és a = 3.
— L’equació de la corba és:
y = x (x 3)2 = x3 6 x2 + 9 x
i l’àrea del recinte és:
53. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:
f(x) = g(x) 4 x x2 = x x = 0 o x = 3
2. Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea Adel recinte comprès entre les dues funcions i lesrectes x = 1 i x = 2 és:
A f x g x dx= =( ( ) ( ))1
2
A x x dx x x x dx
xx
x
= = + =
= +
( ) ( )3 6 9
42
9
2
0
33 2
0
3
43
22
0
3
2
2274
0274
274
= = =A u
x x
xf x x x en=
[ , ]
( )( ) ( ) [
0 3 0
3 03 0 02
2 ,, ]3
x xa
( )3 2
0
X
Y
f
R
1– 3 3
1
CM
YK
54. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:
f(x) = g(x) 2 x x2 = x2 x 2
2. Aquests punts defineixen un únic interval, ,aleshores l’àrea buscada és:
55. 1. Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) = x2 x (que defineix la paràbola):
x x2 = (x2 x) (x + 1)(x + 2)
0 = (x2 x) ((x + 1) (x + 2) + 1) =
= x (x 1) (x2 + 3 x + 3) x = 0 o x = 1
2. Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interes-sa és:
Per tal d’aplicar la regla de Barrow, calculem la in-tegral indefinida:
4 2
3 22
x
x xdx
+
+ +== + +( )x x dx2 1
x xx x
x x dx
x
x x
+ ++ =
= ++
+ +
22
2
1 2
14 2
3
( )( )
222 + =x x dx
A f x g x dx
x xx x
x x
= =
=+ +
( ( ) ( ))
( )( )( )
0
1
22
1 2dx
0
1
f x g xx x
x xx x( ) ( ) ,
( )( )=
+ +=
22
1 2
A f x g x dx
x x x x dx
= =
=
( ( ) ( ))
( ( ))
12
2
2 212
2 222
212
2
3 2
2 3 2
23
32
2
=
= + + =
= + +
( )x x dx
x xx = =
= =
12
2
2
143
1324
12524
12524
A u
12
2,
x o x= =12
2
x x x dx x x= =( ) ) ( )2
1
224 3 ddx
x xA
1
2
2 3
1
23
2 3103
76
136
136
=
= = = = uu2i per tal de calcular la nova integral:
x2 + 3 x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:
56. La fórmula que ens dóna el volum buscat és:
57. a) Sabem que els extrems de F en [1, 2 ] es trobenentre els extrems de l’interval i els punts en què s’a-nul.la F .
Per a determinar els punts en què s’anul.la F , cal-culem primerament aquesta funció.
Com que t sin t és contínua en �, ho és en qualse-vol interval tancat. Per tant, el teorema fonamen-tal del càlcul ens diu que:
Els zeros d’aquesta funció són:
x sin x = 0 x = k , k �
= =F x t t dt x xx
( ) sin sin0
= = =2 4
08 8
2 23V u
Vx
dxx
dx
x
=+
=+
=
=
0
2
2
2
20
21
4
1
4
2
12
2+
= =2
0
2
0
2
12 2
dx arc tgx
Ax x
x x x
x x
= + + + + =
= +
3 2
0
1
3 2
3 22 1 6 2
3
ln ln
221
2
56
2
3
2
60
1
2
6
+
+=
=
xx
xln
( )
( )
ln =
= + = + =
01
2
56
3
2
56
22716
2
6
6
8
ln
ln ln 00 21
0 21 2
,
,=A u
=+ + +
+ +
+ = + + +
=
A x B xx x
x A B x A B
A
( ) ( )( )( )( )
2 11 2
4 2 2
4 ++
= += =
+
+ +=
+
B
A BA B
x
x xdx
xdx
2 22 6
4 2
3 2
212
,
+++
=
= + + + +
62
2 1 6 2
xdx
x x Cln ln
4 2
3 2 1 22
x
x x
Ax
Bx
+
+ +=
++
+=
= + ++
+ +
x xx
x
x xdx
3 2
23 24 2
3 2
247
12. Integrals i aplicacions
54.1.Trobem els punts de tall entre f i g:
f(x) =g(x) 2x x2=x2x 2
2.Aquests punts defineixen un únic interval, ,aleshores l’àrea buscada és:
55.1.Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) =x2x (que defineix la paràbola):
x x2=(x2x) (x +1)(x +2)
0 =(x2x) ((x +1) (x +2) +1) =
=x (x 1)(x2+3x +3) x =0 o x =1
2.Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interes-sa és:
Per tal d’aplicar la regla de Barrow, calculem la in-tegral indefinida:
42
322
x
xxdx
+
++= =++ () xxdx
21
xxxx
xxdx
x
xx
+++=
=++
++
22
2
12
142
3
()()
222+= xxdx
Afxgxdx
xxxx
xx
==
=++
(()())
()()()
0
1
22
12dx
0
1
fxgxxx
xxxx ()(),
()()=
++=
22
12
Afxgxdx
xxxxdx
==
=
(()())
(())
12
2
2212
2222
212
2
32
232
23
32
2
=
=++=
=++
() xxdx
xxx==
==
12
2
2
143
1324
12524
12524
Au
12
2,
xox ==12
2
xxxdxxx == ())()2
1
22
43ddx
xxA
1
2
23
1
23
23103
76
136
136
=
====uu2
i per tal de calcular la nova integral:
x2+3x +2 =(x +1)(x +2)
Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:
56.La fórmula que ens dóna el volum buscat és:
57.a)Sabem que els extrems de F en [1, 2] es trobenentre els extrems de l’interval i els punts en què s’a-nul.la F.
Per a determinar els punts en què s’anul.la F, cal-culem primerament aquesta funció.
Com que t sin t és contínua en �, ho és en qualse-vol interval tancat. Per tant, el teorema fonamen-tal del càlcul ens diu que:
Els zeros d’aquesta funció són:
x sinx =0 x =k , k�
== Fxttdtxxx
()sinsin0
===24
088
223
Vu
Vx
dxx
dx
x
=+
=+
=
=
0
2
2
2
20
2 1
4
1
4
2
12
2+
== 20
2
0
2
122
dxarctgx
Axx
xxx
xx
=++++=
=+
32
0
1
32
322162
3
lnln
221
2
56
2
3
2
60
1
2
6
+
+=
=
xx
xln
()
()
ln=
=+=+=
01
2
56
3
2
56
22716
2
6
6
8
ln
lnln0021
0212
,
, = Au
=+++
++
+=+++
=
AxBxxx
xABxAB
A
()()()()()
2112
422
4++
=+==
+
++=
+
B
ABAB
x
xxdx
xdx
2226
42
32
21 2
,
+++
=
=++++
62
2162
xdx
xxC lnln
42
3212 2
x
xx
Ax
Bx
+
++=
++
+=
=+++
++
xxx
x
xxdx
32
2 3242
32
247
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
C M
Y K
248
12. Integrals i aplicacions
En [1, 2], Fté dos zeros:x =i x =2.
Per tant, els candidats a extrems de F són x =1, x =, x =2.
Per veure quins són extrems i de quin tipus, hemd’estudiar la monotonia de F:
x1(1, )(, 2)2
F(x)+0
F(x)
Completem aquesta taula amb les imatges dels trespunts:
u =t du =dtdv =sin t dt v =cos t
Aleshores:
F(1) =sin 1 cos 1 =0,30 , F() =
F(2) =2
Així, la monotonia de F és la següent:
x1(1, )(, 2)2
F(x)0,302
De la seva observació en podem concloure que:
•M =(, ) és màxim absolut (i relatiu) de F en[1, 2].
•m =(2, 2) és mínim absolut de F en [1, 2].
b)Per trobar els punts en què s’anul.la G, comença-rem calculant l’expressió d’aquesta funció:
Siguin les funcions
Es compleix:
Per tant, si derivem:
G(x) =(f �h)(x) =f(h(x)) h(x)
Com que et2és una funció contínua, podem apli-
car el teorema fonamental del càlcul per a deter-minar f:
== fxedtet
xx
()22
0
Gxedtedtfhx
fh
te
thx
x
()(())
(
()====
=
2
2
2
00
�))()x
fxedtihtet
xx
()(). ==22
0
=+ [] tttx
cossin0==sincos xxx
== tttdtx
(cos)(cos)0
== Fxttdtx
()sin0
La derivada de G és, doncs:
G(x) =f(ex2) (ex2
)=e(ex2)2
ex22x =
=2x ex2e2x2
Els punts en què Gs’anul.la són:
0 =2x ex2e2x2
x =0
58.La velocitat és una primitiva de l’acceleració. Per tant,com que la integral indefinida de l’acceleració és:
la velocitat serà de la forma per.
Aquesta informació ja ens permet calcular l’incrementde velocitat entre els instants demanats t =3 s i t =5 s:
L’increment de velocitat experimentada és, doncs, de34 ms1.Tanmateix, la posició és una primitiva de la velocitat,així la regla de Barrow ens diu que:
Així si coneixem la funció v(t), podem calcular l’espairecorregut.Per a conèixer v(t), hem de determinar el valor de C0,i això ho farem imposant que parteix del repòs, és adir, que la velocitat inicial (per a t =0) és 0:
Finalment, l’increment d’espai entre t =3 s i t =5 s és de:
59.Efectuem una representació gràfica aproximada:
xxtt
dttt
()() 5353
2
5
22
2
3
523
=+=+
==
3
5
1253689m
005030
20
532
2
000
2
==++==
=+
vCCC
vttt
()
()
xxvtdt ()()() 533
5=
vvtt
C
C
()() 5353
2
1252
572
2
0
3
5
0
=++
=+++= C034
C0�vtt
tC ()=++ 5
32
2
0
atdttdttt
C ()() =+=++ 53532
2
X
Y
1
y = x2
13r
A2
A1
–1
248
12. I
nteg
rals
i ap
licac
ions
En [1, 2 ], F té dos zeros: x = i x = 2 .
Per tant, els candidats a extrems de F són x = 1, x = , x = 2 .
Per veure quins són extrems i de quin tipus, hemd’estudiar la monotonia de F:
x 1 (1, ) ( , 2 ) 2
F (x) + 0
F(x)
Completem aquesta taula amb les imatges dels trespunts:
u = t du = dtdv = sin t dt v = cos t
Aleshores:
F(1) = sin 1 cos 1 = 0,30 , F( ) =
F(2 ) = 2
Així, la monotonia de F és la següent:
x 1 (1, ) ( , 2 ) 2
F(x) 0,30 2
De la seva observació en podem concloure que:
• M = ( , ) és màxim absolut (i relatiu) de F en[1, 2 ].
• m = (2 , 2 ) és mínim absolut de F en [1, 2 ].
b) Per trobar els punts en què s’anul.la G , comença-rem calculant l’expressió d’aquesta funció:
Siguin les funcions
Es compleix:
Per tant, si derivem:
G (x) = (f � h) (x) = f (h(x)) h (x)
Com que e t2 és una funció contínua, podem apli-car el teorema fonamental del càlcul per a deter-minar f :
= =f x e dt etx
x( )2 2
0
G x e dt e dt f h x
f h
te
th xx
( ) ( ( ))
(
( )= = = =
=
2
2
2
0 0
� ))( )x
f x e dt i h t etx
x( ) ( ) .= =2 2
0
= +[ ]t t tx
cos sin0== sin cosx x x
= =t t t dtx
( cos ) ( cos )0
= =F x t t dtx
( ) sin0
La derivada de G és, doncs:
G (x) = f (ex2) (ex2) = e (ex2)2 ex2 2 x =
= 2 x ex2 e2 x2
Els punts en què G s’anul.la són:
0 = 2 x ex2 e2 x2
x = 0
58. La velocitat és una primitiva de l’acceleració. Per tant,com que la integral indefinida de l’acceleració és:
la velocitat serà de la forma per .
Aquesta informació ja ens permet calcular l’incrementde velocitat entre els instants demanats t = 3 s i t = 5 s:
L’increment de velocitat experimentada és, doncs, de34 ms 1.Tanmateix, la posició és una primitiva de la velocitat,així la regla de Barrow ens diu que:
Així si coneixem la funció v(t), podem calcular l’espairecorregut.Per a conèixer v(t), hem de determinar el valor de C0,i això ho farem imposant que parteix del repòs, és adir, que la velocitat inicial (per a t = 0) és 0:
Finalment, l’increment d’espai entre t = 3 s i t = 5 s és de:
59. Efectuem una representació gràfica aproximada:
x x tt
dtt t
( ) ( )5 3 53
2
5
2 2
2
3
5 2 3
= + = +
= =
3
5
125 36 89 m
0 0 5 03 0
20
532
2
0 0 0
2
= = + + = =
= +
v C C C
v t tt
( )
( )
x x v t dt( ) ( ) ( )5 33
5=
v v tt
C
C
( ) ( )5 3 53
2
1252
572
2
0
3
5
0
= + +
= + ++ =C 0 34
C0 �v t t
tC( ) = + +5
32
2
0
a t dt t dt tt
C( ) ( )= + = + +5 3 532
2
X
Y
1
y = x2
1 3r
A2
A1
–1
CM
YK
249
12 IntegralsObservem que l’àrea A que ens interessa és la suma de:
• L’àrea A1 compresa entre la paràbola i l’eix OX, en-tre les abscisses x = 0 i x = a, en què aquesta darreraés la del punt de tall de la recta tangent a la paràbo-la en x = 3, r.
• L’àrea A2 de la regió compresa entre la paràbola i larecta r, entre les abscisses x = a i x = 3.
Hem de determinar l’equació de r i el valor de a percalcular el valor de les àrees A1 i A2.
— Equació de r i valor de a:
Pel fet que la recta és tangent a f(x) = x2 en x0 = 3,l’equació de r és:
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix d’abscissesés:
— Determinació de l’àrea buscada:
A A A
x dx x x dx
x
= + =
= + =
=
1 2
2
0
32 2
32
3
3
6 9
3
( ( ))
+ + = + =
0
32 3
2
32
3
33 9
98
98
94
xx x
A ==94
2u
0 6 932
= =a a
y f x f x x x
y x x x x y
=
= =
( ) ( ) ( )
( ) ,0 0 0
02
0 02 9 6(( )x
y x=
3
6 9
60. Per simetria, el volum del cos definit per l’arc de grà-fica de f(x) = 3 x entre x = 0 i x = 1 en girar al voltantde l’eix OY coincideix amb el del definit per l’arc
de gràfica de entre f(0) = 0 i f(1) = 3
en girar al voltant de l’eix OX.
Aquest volum podem calcular-lo amb la fórmula:
Podem comprovar el resultat calculant directament elvolum del cos, que és un con d’altura h = f(1) = 3 i radide la base r = 1 0 = 1:
61. Activitat TIC.
62. Activitat TIC.
V r h
V u
= = =
=
13
13
1 32 2
3
Vx
dx x dxx
= = = =
=
3 9 9 3
2
0
32
0
3 3
0
3
99 3= =V u
1 X
Y
1
y = 3x
–1
f xx
=1
3( )
249
12 In
tegr
als
Observem que l’àrea A que ens interessa és la suma de:
•L’àrea A1compresa entre la paràbola i l’eix OX, en-tre les abscisses x =0 i x =a, en què aquesta darreraés la del punt de tall de la recta tangent a la paràbo-la en x =3, r.
•L’àrea A2de la regió compresa entre la paràbola i larecta r, entre les abscisses x =a i x =3.
Hem de determinar l’equació de r i el valor de a percalcular el valor de les àrees A1i A2.
—Equació de r i valor de a:
Pel fet que la recta és tangent a f(x) =x2en x0=3,l’equació de r és:
El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix d’abscissesés:
—Determinació de l’àrea buscada:
AAA
xdxxxdx
x
=+=
=+=
=
12
2
0
322
32
3
3
69
3
(())
++=+=
0
323
2
32
3
339
98
98
94
xxx
A==94
2u
06932
== aa
yfxfxxx
yxxxxy
=
==
()()()
(),000
02
00 296(() x
yx =
3
69
60.Per simetria, el volum del cos definit per l’arc de grà-fica de f(x) =3x entre x =0 i x =1 en girar al voltantde l’eix OY coincideix amb el del definit per l’arc
de gràfica de entre f(0) =0 i f(1) =3
en girar al voltant de l’eix OX.
Aquest volum podem calcular-lo amb la fórmula:
Podem comprovar el resultat calculant directament elvolum del cos, que és un con d’altura h =f(1) =3 i radide la base r =1 0 =1:
61.Activitat TIC.
62.Activitat TIC.
Vrh
Vu
===
=
13
13
1322
3
Vx
dxxdxx
====
=
3993
2
0
32
0
33
0
3
99
3== Vu
1X
Y
1
y = 3x
–1
fxx
=1
3()
C M
Y K
250
Propostes d’avauació
UNITATS 1. MATRIUS/2. DETERMINANTS
1.a)2A+3B =
b)
c)A (B) =
d)A A B B =
2.
3.a)(A +B)t=At +Bt
b)(3A)t=3At
4.a)B
B
=
=
402
024
225
104
223
120
36126
1806
3
618
120
66
A
At
=
= ()
333
26
40
22
618
120
66
At====() 3A
t
ABABttt+==+
102
42
02
()
ABtt==
26
40
22
84
02
20
;
() ABt
+=
102
42
02
AB +=1040
222;
()() 2411
35
1
11418
1
1
1
==
=44184 =
5714
37
2919
915
13
293
193
35AB=
47
921
b)
5.
Si A1és inversa de A, aleshores es compleix queA1A=AA1 =I, en què I és la matriu identitat.Apliquem aquestes igualtats a les matrius donades perl’enunciat i obtenim:
6.Recordem que el rang d’una matriu és igual que el me-nor nombre de files o columnes diferents de zero.
Rang (A) =2, perquè té dues files diferents de 0.
Rang (B) =3, perquè hi ha tres files no nul·les.
527
0225
85
006111
FF 325722
527
0225
85
0575
75
FF
FF
21
31
1565
B=
527
143
697
67
0136
FF 2176 A=
67
76
123
21613
7281
19536
591
130
727
=
=
591
130
727
123
21613
=
=
7281
19536
123
2300
0230
0023
==
100
010
001
1
A=11
23
21613
7281
19536
B
B
=
=
13
224
34
75
011
13
333
63
11
21=
Propostes d’avaluació
�
��
250
Pro
post
es d
’ava
uaci
ó
UNITATS 1. MATRIUS/2. DETERMINANTS
1. a) 2A + 3B =
b)
c) A ( B) =
d) A A B B =
2.
3. a) (A + B)t = At + Bt
b) (3A)t = 3At
4. a) B
B
=
=
4 0 2
0 2 4
2 2 5
1 0 4
2 2 3
1 2 0
36 12 6
18 0 6
3
6 18
12 0
6 6
A
A t
=
=( )
33 3
2 6
4 0
2 2
6 18
12 0
6 6
At = = == ( )3 A t
A B A Bt t t+ = = +
10 2
4 2
0 2
( )
A Bt t= =
2 6
4 0
2 2
8 4
0 2
2 0
;
( )A B t+ =
10 2
4 2
0 2
A B+ =10 4 0
2 2 2;
( ) ( )2 41 1
3 5
1
114 18
1
1
1
= =
= 44 18 4=
57 14
3 7
29 19
9 15
13
293
193
3 5A B =
4 7
9 21
b)
5.
Si A 1 és inversa de A, aleshores es compleix queA 1 A = A A 1 = I, en què I és la matriu identitat.Apliquem aquestes igualtats a les matrius donades perl’enunciat i obtenim:
6. Recordem que el rang d’una matriu és igual que el me-nor nombre de files o columnes diferents de zero.
Rang (A) = 2, perquè té dues files diferents de 0.
Rang (B) = 3, perquè hi ha tres files no nul·les.
5 2 7
0225
85
0 06111
F F3 25722
5 2 7
0225
85
0575
75
F F
F F
2 1
3 1
1565
B =
5 2 7
1 4 3
6 9 7
6 7
0136
F F2 176
A =6 7
7 6
123
21 61 3
7 28 1
19 53 6
5 9 1
1 3 0
7 2 7
=
=
5 9 1
1 3 0
7 2 7
123
21 61 3
=
=
7 28 1
19 53 6
123
23 0 0
0 23 0
0 0 23
= =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A =1 123
21 61 3
7 28 1
19 53 6
B
B
=
=
13
22 4
3 4
7 5
0 11
13
3 33
6 3
1 1
2 1=
Propostes d’avaluació
�
��
CM
YK
251
Propostes d’avaluació
El rang(C) = 3, perquè té tres files no nul·les.
Rang (D) = 3, ja que la matriu té tres files no nul·les.
7. Perquè una matriu sigui invertible, el seu determinantha de ser no nul.
a)
Resolem l’equació i obtenim dos valors:
t1 = 18 i t2 = 6. Per a valors de t diferents dels an-teriors, la matriu serà invertible.
• Per a t = 1 A = 285;
A t
t
A t
t
t
=
= = +
3 0 12
0 12
3 9
3 0 12
0 12
3 9
3 2 336 324 0t = ;
9 8 9 1
0 13 9 7
0 0 35 137039
F F3 235
117
9 8 9 1
0 13 9 7
0359
0359
F F
F F
2 1
3 119
+
+D =
9 8 9 1
9 5 0 8
1 3 1 4
6 0 2
0 873
0 0 23 24
F F3 278
+
6 0 2
0 873
0 7 3
F F
F F
2 1
3 1
1312
C =
6 0 2
2 8 3
3 7 2
b)
t1 = 1 i t2 = 1. Per a valors diferents de t la matriués invertible.
• Per a t = 2;
8. Aplicarem les propietats dels determinants.
a)
b) aquest determinant és el transposat de
l’enunciat i, a més, les columnes estan intercanviades:
9. Com que log (a b) = log a + log b, tenim que:
log 30 = log (10 3) = log 10 + log 3 = 1 + log 3
log 300 = log (100 3) = log 100 + log 3 = 2 + log 3
Si substituïm en el determinant:
p m
q n
m p
n q= = =( ) .5 5
p m
q n
m n p q
n q
m p
n q
n q
n q
m p
n q
n q
n q
+ +=
+ = + =
= + =
4 4
4 44
5 4 0 55
B =1 13
1 0 2
1 3 2
2 0 1
B
t
t
B
t
t
t
=
= = + =
1 0
1 1 0
0 1
1 0
1 1 0
0 1
1 02 ;
A =1 1285
107 108 12
36 39 36
3 27 3
Aadjt =
107 108 12
36 39 36
3 27 3
�
�
��
D3
D3
D5
= +
+ + + +
0
1 1 1
0 1 2
3 1 2 3 3 4 4 32 2( ) ( ) (log log log log log 33 2)
=
1 1 1
3 30 300
3 30 3002 2 2
log log log
log log log( ) ( ) ( )
=
11 1 1
3 1 3 2 3
3 1 3 2 32 2
log log log
log log log
+ +
+ +( ) ( ) ( ))
( ) ( ) (
2
2 2
1 1 1
3 3 3
3 1 3 2 3
=
=
+ +
log log log
log log log )) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
0 1 2
3 1 3 2 3
+
+ +
=
log log log
�
�
�
251
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
El rang(C) =3, perquè té tres files no nul·les.
Rang (D) =3, ja que la matriu té tres files no nul·les.
7.Perquè una matriu sigui invertible, el seu determinantha de ser no nul.
a)
Resolem l’equació i obtenim dos valors:
t1=18 i t2=6. Per a valors de t diferents dels an-teriors, la matriu serà invertible.
•Per a t =1 A=285;
At
t
At
t
t
=
==+
3012
012
39
3012
012
39
32
3363240 t=;
9891
01397
0035137039
FF 3235
117
9891
01397
0359
0359
FF
FF
21
3119
+
+D=
9891
9508
1314
602
0873
002324
FF 3278
+
602
0873
073
FF
FF
21
31
1312
C=
602
283
372
b)
t1=1 i t2=1. Per a valors diferents de t la matriués invertible.
•Per a t =2;
8.Aplicarem les propietats dels determinants.
a)
b)aquest determinant és el transposat de
l’enunciat i, a més, les columnes estan intercanviades:
9.Com que log (ab) =log a +log b, tenim que:
log 30 =log (103) =log 10 +log 3 =1 +log 3
log 300 =log (1003) =log 100 +log 3 =2 +log 3
Si substituïm en el determinant:
pm
qn
mp
nq=== (). 55
pm
qn
mnpq
nq
mp
nq
nq
nq
mp
nq
nq
nq
++=
+=+=
=+=
44
444
54055
B=11
3
102
132
201
B
t
t
B
t
t
t
=
==+=
10
110
01
10
110
01
102
;
A=11
285
10710812
363936
3273
Aadjt
=
10710812
363936
3273
�
�
��
D3
D3
D5
=+
++++
0
111
012
3123344322
()()( logloglogloglog332
)
=
111
330300
330300222
logloglog
logloglog ()()()
=
1111
31323
3132322
logloglog
logloglog
++
++ ()()())
()()(
2
22
111
333
31323
=
=
++
logloglog
logloglog))()()()2222
111
012
31323
+
++
=
logloglog
�
�
�
C M
Y K
252
Propostes d’avaluació
D5
=+
+
111
012
111
012
012 222()()() log3log3log3log3444
0112
1244
144
+
=+++
=
=+
log3log3log3
log3 ()+=+= 21244242 () log3log3log3
10.D’acord amb l’enunciat:
Calculem A1a partir dels determinants:
—Determinant de A:
—Transposada de A:
—Adjunta de At:
—Inversa de A:
—L’equació que hem de resoldre és:
=(1 x)3x =1
0
110
011
001
100
010
001
1== AxI
x==
110
011
001
x
x
x
AA
AdjAt
===
=
111
1
110
011
001
110
()
0011
001
AdjAt
()=
=
10
11
10
11
11
11
00
11
10
11
10
11
00
10
10
110
10
11
110
011
001
=
=
At
t
==
111
011
001
100
110
111
A===
111
011
001
1111
A=
111
011
001
�
11.a)Una matriu quadrada té inversa (és invertible) quanel seu determinant és diferent de 0.
Calculem els valors de que no anul·lendet(A) =�A�:
Per tant, A té inversa per a 0 i 2.
b)Per a =3, el determinant de A val:
�A�=3 (3 2) =3 0
Quan el determinant d’una matriu quadrada d’or-dre 3 és diferent de 0, podem assegurar que té 3 fi-les i 3 columnes linealment independents; per tant,rang (A) =3.
c)El det (A) serà 1 quan es compleixi:
1 =(2) 22 +1 =0 =1
El det (A) serà 1 quan =1.
d)
=�A�+0 =(2)
Per a =1, �B�=1(1 2) =1
12.
Si m2 4m +3 =0, és a dir, si m =1 o m =3, rang(A) ==2 <3.
Am
m
m
m
FF =
101
41
03
101
014
0321 4
+
FmFm
mm32
101
014
00342
.
B==
=
+++
=
=+
235
13
2
2123
13
2
22
13
2
133
13
2
=
A===
=
22
13
2
22
011
002
200
2(),
��
252
Pro
post
es d
’ava
luac
ióD5
= +
+
1 1 1
0 1 2
1 1 1
0 1 2
0 1 22 2 2( ) ( ) ( )log 3 log 3 log 3 log 3 44 4
0 11 2
1 2 4 4
1 4 4
+
= ++ +
=
= +
log 3log 3 log 3
log 3( ) + = + =2 1 2 4 4 2 4 2( )log 3 log 3 log 3
10. D’acord amb l’enunciat:
Calculem A 1 a partir dels determinants:
— Determinant de A:
— Transposada de A:
— Adjunta de At:
— Inversa de A:
— L’equació que hem de resoldre és:
= (1 x)3 x = 1
0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1= =A x I
x = =
1 1 0
0 1 1
0 0 1
x
x
x
AA
Adj At= = =
=
1 1 1
1
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 1 0
( )
00 1 1
0 0 1
Adj At( ) =
=
1 0
1 1
1 0
1 1
1 1
1 1
0 0
1 1
1 0
1 1
1 0
1 1
0 0
1 0
1 0
11 0
1 0
1 1
1 1 0
0 1 1
0 0 1
=
=
At
t
= =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
1 0 0
1 1 0
1 1 1
A = = =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
1 1 1 1
A =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
�
11. a) Una matriu quadrada té inversa (és invertible) quanel seu determinant és diferent de 0.
Calculem els valors de que no anul·lendet(A) = �A �:
Per tant, A té inversa per a 0 i 2.
b) Per a = 3, el determinant de A val:
�A � = 3 (3 2) = 3 0
Quan el determinant d’una matriu quadrada d’or-dre 3 és diferent de 0, podem assegurar que té 3 fi-les i 3 columnes linealment independents; per tant,rang (A) = 3.
c) El det (A) serà 1 quan es compleixi:
1 = ( 2) 2 2 + 1 = 0 = 1
El det (A) serà 1 quan = 1.
d)
= �A � + 0 = ( 2)
Per a = 1, �B � = 1(1 2) = 1
12.
Si m2 4m + 3 = 0, és a dir, si m = 1 o m = 3, rang(A) == 2 < 3.
A m
m
m
m
F F=
1 0 1
4 1
0 3
1 0 1
0 1 4
0 32 1
4
+
F m F m
m m3 2
1 0 1
0 1 4
0 0 3 4 2
.
B = =
=
+ + +
=
= +
2 3 5
1 3
2
2 1 2 3
1 3
2
2 2
1 3
2
1 33
1 3
2
=
A = = =
=
2 2
1 3
2
2 2
0 1 1
0 0 2
2 00
2( ) ,
� �
CM
YK
253
Propostes d’avaluació
Tal com es veu en les dues primeres files, el rang nopot ser 1, ja que mai poden ser proporcionals.
UNITAT 3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
1. a) Triangulem la matriu ampliada A
Podem veure que en la tercera fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.
b) Triangulem la matriu ampliada A .
Podem veure que en la segona fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.
x = 2, y = 1 i z = 4
2. a) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients
Per tal de resoldre-ho, substituim la columna dela matriu A corresponent a la incògnita per la co-lumna dels termes independents.
b) Resolem de la mateixa manera que en l’apartatanterior.
A = 75
xA
yA
zA
= =
= =
= =
1
2
3
3815
7315
15
A = = + +
=
1 1 2
2 1 4
2 1 6
6 8 4
4 12 4 30( )
=A
1 1 2
2 1 4
2 1 6
7
1
1A =
1 1 2
2 1 4
2 1 6
1 1 0
0 1 0
0 1 1
1
1
3
F F2 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1
2
3
x i i z= = =79
16
718
,
1 1 1
0 1 3
0 6 0
1
1
1
F F
F F2 1
3 1
21 1 1
2 3 5
1 5 1
1
3
23. a) Escrivim el sistema matricialment
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular ( ) i escrivim la seva inversa.
Resolem el sistema pel mètode de la matriu in-versa
La solució del sistema és:
b) Escrivim el sistema matricialment
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular ( ) i escrivim la seva inversa.
Resolem el sistema pel mètode de la matriu in-versa
X A B= =1 12
2 2 4
1 0 1
1 2 3
2
3
0
= =X
x
y
z
1
1
2
A A= =212
2 2 4
1 0 1
1 2 3
1;
A 0
1 1 1
2 1 3
1 1 1
2
3=
x
y
z 00
x y i z= = =157
37
0,
X A B= =1 17
9 5 2
1 1 1
14 7 7
3
0
6
= =X
x
y
z
17
15
3
0
A A= =717
9 5 2
1 1 1
14 7 7
1;
A 0
2 3 1
1 5 1
3 1 2
3
0
6
=
x
y
z
xA
yA
zA
= =
= =
= =
11875
75
1375
1
2
3
��
253
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Tal com es veu en les dues primeres files, el rang nopot ser 1, ja que mai poden ser proporcionals.
UNITAT 3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
1.a)Triangulem la matriu ampliada A
Podem veure que en la tercera fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.
b)Triangulem la matriu ampliada A.
Podem veure que en la segona fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.
x =2, y =1 i z =4
2.a)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients
Per tal de resoldre-ho, substituim la columna dela matriu A corresponent a la incògnita per la co-lumna dels termes independents.
b)Resolem de la mateixa manera que en l’apartatanterior.
A=75
xA
yA
zA
==
==
==
1
2
3
3815
7315
15
A==++
=
112
214
216
684
412430 ()
= A
112
214
216
7
1
1A=
112
214
216
110
010
011
1
1
3
FF 21
110
101
011
1
2
3
xiiz ===79
16
718
,
111
013
060
1
1
1
FF
FF21
31
2111
235
151
1
3
23.a)Escrivim el sistema matricialment
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular () i escrivim la seva inversa.
Resolem el sistema pel mètode de la matriu in-versa
La solució del sistema és:
b)Escrivim el sistema matricialment
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular () i escrivim la seva inversa.
Resolem el sistema pel mètode de la matriu in-versa
XAB ==11
2
224
101
123
2
3
0
== X
x
y
z
1
1
2
AA == 212
224
101
123
1;
A0
111
213
111
2
3 =
x
y
z00
xyiz ===157
37
0 ,
XAB ==11
7
952
111
1477
3
0
6
== X
x
y
z
17
15
3
0
AA == 717
952
111
1477
1;
A0
231
151
312
3
0
6
=
x
y
z
xA
yA
zA
==
==
==
11875
75
1375
1
2
3
��
C M
Y K
254
Propostes d’avaluació
La solució del sistema és: x =1, y =1 i z =2.
4.a)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) =rang(A) =3icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat. Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-mer, i obtenim que x =0, y =1, z =1.
b)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) =rang(A) =3icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat.Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-
mer, i obtenim que
c)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) =rang(A) =2que ésmenor que el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i indeterminat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,i obtenim que:
d)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants i observem que rang(A) =2
rang(A) =3. Per tant, el sistema és incompa-tible i no té solució.
e)Les matrius associades al sistema són:
AA ==
211
311
131
211
311
131
2
1
1
AA ==
111
213
122
111
213
1222
2
3
0
xtyzt ===23
13
;;
AA ==
242
636
575
242
636
575
0
3
1
xyz === 03
101
10,,.
AA ==
231
113
168
231
113
168
1
0
1
AA ==
111
332
111
111
332
111
0
1
0
Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) =rang(A) =3i coin-cideix amb el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i determinat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,
i obtenim que
5.a)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants, i imposem que el determinant de As’anul·li.
•Per a t =0, , per la qual cosarang (A) =rang (A) =2. El sistema és compati-ble indeterminat. El solucionem mitjançant el mè-tode de Cramer, i els resultats obtinguts són:
•Per a t0,, per la qual cosarang (A) =rang(A) =3 i coincideix amb el nom-bre d’incògnites; per tant, el sistema és compa-tible determinat, amb una única solució. El re-solem pel mètode de Cramer i obtenim que elsresultats són:
b)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants, i imposem que el determinant de As’anul·li.
•Per a t1 =1
No hi ha cap menor 2 ×2 de A el determinantdel qual sigui diferent de 0; per tant, elrang (A) =1
Tampoc no hi ha menors 3 ×3 ni 2 ×2 de Aquetinguin un determinant no nul, de manera querang (A) =1.
Atttit =+=== ()(), 110112
12
A
t
t
tt
A
t
t
t
==
231
462
693
231
462
693tt
t
t
t
2
3
xyzt
===+ 208
553611
32848
55;;
AiA 00
xt
yt
zt ===3211
18
113411
41
22;;
AiA == 00
Att === 35800 ,
A
ttt
=
+ 316228326
19145
301423
AA
ttt
=
+ 316228326
19145
301423
40
12
44
xyz === 112
72
,,.
254
Pro
post
es d
’ava
luac
ióLa solució del sistema és: x = 1, y = 1 i z = 2.
4. a) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat. Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-mer, i obtenim que x = 0, y = 1, z = 1.
b) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat.Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-
mer, i obtenim que
c) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) = rang(A ) = 2 que ésmenor que el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i indeterminat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,i obtenim que:
d) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants i observem que rang(A) = 2
rang(A ) = 3. Per tant, el sistema és incompa-tible i no té solució.
e) Les matrius associades al sistema són:
A A= =
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2
1
1
A A= =
1 1 1
2 1 3
1 2 2
1 1 1
2 1 3
1 22 2
2
3
0
x t y z t= = =23
13
; ;
A A= =
2 4 2
6 3 6
5 7 5
2 4 2
6 3 6
5 7 5
0
3
1
x y z= = =03
101
10, , .
A A= =
2 3 1
1 1 3
1 6 8
2 3 1
1 1 3
1 6 8
1
0
1
A A= =
1 1 1
3 3 2
1 1 1
1 1 1
3 3 2
1 1 1
0
1
0
Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 i coin-cideix amb el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i determinat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,
i obtenim que
5. a) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants, i imposem que el determinant de As’anul·li.
• Per a t = 0, , per la qual cosarang (A) = rang (A ) = 2. El sistema és compati-ble indeterminat. El solucionem mitjançant el mè-tode de Cramer, i els resultats obtinguts són:
• Per a t 0, , per la qual cosarang (A) = rang(A ) = 3 i coincideix amb el nom-bre d’incògnites; per tant, el sistema és compa-tible determinat, amb una única solució. El re-solem pel mètode de Cramer i obtenim que elsresultats són:
b) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants, i imposem que el determinant de As’anul·li.
• Per a t1 = 1
No hi ha cap menor 2 × 2 de A el determinantdel qual sigui diferent de 0; per tant, elrang (A) = 1
Tampoc no hi ha menors 3 × 3 ni 2 × 2 de A quetinguin un determinant no nul, de manera querang (A ) = 1.
A t t t i t= + = = =( ) ( ) ,1 1 0 1 121 2
A
t
t
t t
A
t
t
t
= =
2 3 1
4 6 2
6 9 3
2 3 1
4 6 2
6 9 3tt
t
t
t
2
3
x y zt
= = =+208
553611
328 48
55; ;
A i A0 0
xt
yt
z t= = =3211
18
113411
41
22; ;
A i A= =0 0
A t t= = =358 0 0,
A
t t t
=
+3 16 2 28 3 26
19 14 5
30 14 23
AA
t t t
=
+3 16 2 28 3 26
19 14 5
30 14 23
40
12
44
x y z= = =112
72
, , .
CM
YK
255
Propostes d’avaluació
Els rangs de les dues matrius són idèntics i me-nors que el nombre d’incògnites, el sistema éscompatible indeterminat dependent de dos parà-metres. La solució obtinguda és:
• Per a t2 = 1
El rang (A) = 2, ja que hi ha almenys un menor2 × 2 de A el determinant del qual és no nul.
El rang(A ) = 3, ja que hi ha almenys un menor3 × 3 de A el determinant del qual és no nul.
Podem dir que el sistema és incompatible i, pertant, que no té solució.
• Per a t 1 i t 1
rang (A) = rang (A ) = 3 i és igual al nombred’incògnites del sistema, per la qual cosa el sis-tema és compatible determinat, és a dir, ambuna única solució.
La trobem resolent el sistema per Cramer. La so-lució obtinguda és:
6. La matriu A associada al sistema i la seva ampliada A són:
El determinant de la matriu A és:
Si k = 1, el rang de A i A és 1 i, per tant, el sistema éscompatible indeterminat, ja que es redueix a una úni-ca equació.
Si k = 1, el rang de A i A és 2 i, per tant, el sistemaés també compatible indeterminat.
Si k 1 i k 1, el sistema és compatible determinatsegons el teorema de Rouché-Frobenius, perquè el rangde A i A és 3, que és el nombre d’incògnites. El reso-lem mitjançant la regla de Cramer:
23 2
3 2
1
1 1
1 1
1
1 1
= = + + =
= + =
k k
k
k
k k k k k
k k k k( )22 1( )k +
12 2 3 2
3 2
1
1 1
1
1
1
= = + + =
= + + =
k k
k
k k
k k k k k
k k k k( +1 12) ( )k
A
k
k k
k
k k k k k
k k k k
= = + + =
= + =
1 1
1
1 1
1
1 1
3 2
3 2 2( ) (( )k + 1
A
k
k k
k
A
k k
k k
k k
= =
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
x yt
tz
t
t= =
+=
+0
12
1
36
1; ;
z y x= = =; ,1 3
2 Per tant:
Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent de1 i de 1, aquesta és la solució única del sistema.
7. El sistema serà indeterminat quan, essent compatible,rang(M) < 3 (3 = nombre d’incògnites i M, la matriude coeficients). Perquè passi això, es requereix quedet(M) = 0. Calculem, per tant, els valors de m queanul·len el determinant de M:
Tal com acabem de comprovar, només existeix un va-lor de m que anul·la el determinant. Si el sistema éscompatible per a m = 5, serà indeterminat.
Transformant M obtenim el sistema:
Aquest resultat indica que rang(M) = 2 = rang(M ). Pertant, per a m = 5 tenim un sistema compatible inde-terminat (S.C.I.).
L’última matriu obtinguda equival al sistema:
Substituint z per obtenim la solució general:
x
y
z
= +
=
=
2
x z
y z
=
=
2
0
1 3 2
3 1 4
0 5 5
2
6
0
1 3 22
0 1 1
0 1 1
2
0
0
1 3 2
0 1 1
0 0 0
2
0
03 2
F F +F F1 23
1 0 1
0 1 1
0 0 0
2
0
0
x y z
x y z
y z
+ =
+ =
=
3 2 2
3 4 6
5 5 0
M
m
m
m
= = =
= =
1 3 2
3 1 4
0 5
0 10 50 0
5010
5
;
xA
k k
k kx
yA
= =+
+= =
= =
12
2
2
1 1
1 11 1
( ) ( )
( ) ( )
(( ) ( )
( ) ( )
( ) (
k k
k ky
zA
k k
+
+= =
= =
1 1
1 11 1
1
2
2
32 ++
+= =
1
1 11 1
2
)
( ) ( )k kz
32 3 2 2
3 2
1 1
1
1
1
1
= = + + =
= + =
k
k k
k k
k k k k k
k k k k( 11 12) ( )k +
F F
F
2 1
3
31015 �
� �
255
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Els rangs de les dues matrius són idèntics i me-nors que el nombre d’incògnites, el sistema éscompatible indeterminat dependent de dos parà-metres. La solució obtinguda és:
•Per a t2 =1
El rang (A) =2, ja que hi ha almenys un menor2×2 de A el determinant del qual és no nul.
El rang(A) =3, ja que hi ha almenys un menor3×3 de Ael determinant del qual és no nul.
Podem dir que el sistema és incompatible i, pertant, que no té solució.
•Per a t 1 i t 1
rang (A) =rang (A) =3 i és igual al nombred’incògnites del sistema, per la qual cosa el sis-tema és compatible determinat, és a dir, ambuna única solució.
La trobem resolent el sistema per Cramer. La so-lució obtinguda és:
6.La matriu A associada al sistema i la seva ampliada Asón:
El determinant de la matriu A és:
Si k =1, el rang de A i Aés 1 i, per tant, el sistema éscompatible indeterminat, ja que es redueix a una úni-ca equació.
Si k =1, el rang de A i Aés 2 i, per tant, el sistemaés també compatible indeterminat.
Si k 1 i k 1, el sistema és compatible determinatsegons el teorema de Rouché-Frobenius, perquè el rangde A i Aés 3, que és el nombre d’incògnites. El reso-lem mitjançant la regla de Cramer:
232
32
1
11
11
1
11
==++=
=+=
kk
k
k
kkkkk
kkkk()22
1 () k+
12232
32
1
11
1
1
1
==++=
=++=
kk
k
kk
kkkkk
kkkk(+ 112
)() k
A
k
kk
k
kkkkk
kkkk
==++=
=+=
11
1
11
1
11
32
322()(() k+1
A
k
kk
k
A
kk
kk
kk
==
11
1
11
11
11
11
xyt
tz
t
t==
+=
+0
12
1
36
1;;
zyx === ;,13
2Per tant:
Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent de1 i de 1, aquesta és la solució única del sistema.
7.El sistema serà indeterminat quan, essent compatible,rang(M) <3 (3 =nombre d’incògnites i M, la matriude coeficients). Perquè passi això, es requereix quedet(M) =0. Calculem, per tant, els valors de m queanul·len el determinant de M:
Tal com acabem de comprovar, només existeix un va-lor de m que anul·la el determinant. Si el sistema éscompatible per a m=5, serà indeterminat.
Transformant Mobtenim el sistema:
Aquest resultat indica que rang(M) =2 =rang(M). Pertant, per a m =5 tenim un sistema compatible inde-terminat (S.C.I.).
L’última matriu obtinguda equival al sistema:
Substituint z per obtenim la solució general:
x
y
z
=+
=
=
2
xz
yz
=
=
2
0
132
314
055
2
6
0
1322
011
011
2
0
0
132
011
000
2
0
032 FF+ FF 12 3
101
011
000
2
0
0
xyz
xyz
yz
+=
+=
=
322
346
550
M
m
m
m
===
==
132
314
05
010500
5010
5
;
xA
kk
kkx
yA
==+
+==
==
12
2
2
11
1111
()()
()()
(()()
()()
()(
kk
kky
zA
kk
+
+==
==
11
1111
1
2
2
32
++
+==
1
1111 2
)
()() kkz
32322
32
11
1
1
1
1
==++=
=+=
k
kk
kk
kkkkk
kkkk(1112
)() k+
FF
F
21
3
31015�
��
C M
Y K
256
Propostes d’avaluació
8.Podem fer un esquema de les dades del problema enla taula següent:
Aquesta organització de les dades indicades en el pro-blema ens permet plantejar les equacions que com-pleixen les quantitats x, y, z i w:
Resolem aquest últim sistema per Cramer:
Per tant, A ha gestionat 30 concessionaris; B, 20; C, 50i D, 70.
9.La primera cosa que hem de fer és examinar els valorsde k que anul·len det (M), essent M la matriu de coe-ficients:
Mkk
kkk ==+=
223
410210120
2,
x
y
==
=
10001
030
5011
101
230
011
30
11001
200
05501
101
230
011
20
10100
230
0150
101
230
0
=
= w
111
70 =
z
yzw
yx
xw
xw
=
+=
=
+=
+=
50
2
351085
100
2230
50
100
230xy
yzw
z
xw
xy
yw
=
+=
=
+=
=
=50
t inicialt =1 anyt =3 anys
EMP.Núm. CONC.EMP.Núm. CONC.
AxAxx 5
ByDww 10
Cz =50
A partir d’aquest resultat, ja podem assegurar que pera k 2 i k 3 el rang de M és 2. Com que el rang dela matriu ampliada, M, no pot ser més que 2, per ak 2 i k 3 el sistema és compatible determinat(S.C.D.).
Estudiem ara què succeeix per a k =2 i k =3.
Per a k =2 la matriu Mes pot transformar:
Per tant, per a k =2 el sistema serà compatible inde-terminat (S.C.I.) i les seves solucions dependran d’unparàmetre.
Per a k =3 la matriu Mes pot transformar:
Observa que rang(M) =1 2 =rang(M).
Per tant, per a k =3 el sistema serà incompatible.
10.a)Esglaonant la matriu ampliada del sistema queda
Nota:ens podem estalviar l’últim pas mirant si la sego-na i la tercera fila de la matriu del sistema (no de l’am-pliada) són proporcionals:
D’una manera o d’una altra, cal buscar els valorsdel paràmetre a que verifiquen a2+6a 8 =0. Lessolucions d’aquesta equació de segon grau sóna =2, a =4. Aleshores,
•Si tenim que
El sistema és compatible determinat.
rangArangA. ==3
aia 24
57
13
1567
680
2
2+
==
+=
aa
aa
aa
121
051
002
a
a++68
4
12
24 aa
Fa
F 327
5+
a
121
0511
073
4
12
162 + aa
FF
FF21
31
2
4 = Aa
aa
121
211
411
4
4
2
63
42
2
3
63
00
2
521
23
FF
Observaque:rangrang
nre.d’incògn
()() MM == 1
iitesrang= () M1
41
41
2
2
41
00
2
021 FF
k=±
=104
4
3
2
�
�
�
�
256
Pro
post
es d
’ava
luac
ió8. Podem fer un esquema de les dades del problema en
la taula següent:
Aquesta organització de les dades indicades en el pro-blema ens permet plantejar les equacions que com-pleixen les quantitats x, y, z i w:
Resolem aquest últim sistema per Cramer:
Per tant, A ha gestionat 30 concessionaris; B, 20; C, 50i D, 70.
9. La primera cosa que hem de fer és examinar els valorsde k que anul·len det (M), essent M la matriu de coe-ficients:
Mk k
kk k= = + =
2 2 3
4 10 2 10 12 02,
x
y
= =
=
100 0 1
0 3 0
50 1 1
1 0 1
2 3 0
0 1 1
30
1 100 1
2 0 0
0 550 1
1 0 1
2 3 0
0 1 1
20
1 0 100
2 3 0
0 1 50
1 0 1
2 3 0
0
=
=w
11 1
70=
z
y z w
yx
x w
x w
=
+ =
=
+ =
+ =
50
2
35 10 85
100
22 3 0
50
100
2 3 0x y
y z w
z
x w
x y
y w
=
+ =
=
+ =
=
= 50
t inicial t = 1 any t = 3 anys
EMP. Núm. CONC. EMP. Núm. CONC.
A x A x x 5
B y D w w 10
C z = 50
A partir d’aquest resultat, ja podem assegurar que pera k 2 i k 3 el rang de M és 2. Com que el rang dela matriu ampliada, M , no pot ser més que 2, per ak 2 i k 3 el sistema és compatible determinat(S.C.D.).
Estudiem ara què succeeix per a k = 2 i k = 3.
Per a k = 2 la matriu M es pot transformar:
Per tant, per a k = 2 el sistema serà compatible inde-terminat (S.C.I.) i les seves solucions dependran d’unparàmetre.
Per a k = 3 la matriu M es pot transformar:
Observa que rang(M) = 1 2 = rang(M ).
Per tant, per a k = 3 el sistema serà incompatible.
10. a) Esglaonant la matriu ampliada del sistema queda
Nota: ens podem estalviar l’últim pas mirant si la sego-na i la tercera fila de la matriu del sistema (no de l’am-pliada) són proporcionals:
D’una manera o d’una altra, cal buscar els valorsdel paràmetre a que verifiquen a2 + 6a 8 = 0. Lessolucions d’aquesta equació de segon grau sóna = 2, a = 4. Aleshores,
• Si tenim que
El sistema és compatible determinat.
rang A rang A .= = 3
a i a2 4
57
13
15 6 7
6 8 0
2
2+
= =
+ =
aa
a a
a a
1 2 1
0 5 1
0 0 2
a
a ++ 6 8
4
12
2 4a a
Fa
F3 27
5+
a
1 2 1
0 5 11
0 7 3
4
12
16 2+a a
F F
F F2 1
3 1
2
4=A a
a a
1 2 1
2 1 1
4 1 1
4
4
2
6 3
4 2
2
3
6 3
0 0
2
52 1
23
F F
Observa que:rang rang
nre. d’incògn
( ) ( )M M= =1
iites rang =( )M 1
4 1
4 1
2
2
4 1
0 0
2
02 1F F
k =±
=10 4
4
3
2
�
�
�
�
CM
YK
257
Propostes d’avaluació
• Si a = 2,
El sistema és compatible indeterminat, ja que
• Si a = 4,
El sistema és incompatible, ja que
b) La solució del sistema en el cas compatible inde-terminat és:
c) Qualsevol valor de la forma z = 1 + 5n dóna lloca solucions amb components enteres.
En efecte, si z = 1 + 5 n , aleshores:
Per exemple, per a n = 0, la solució és x = 1, y = 3,z = 1.
UNITATS 4./5. VECTORS EN L’ESPAI
1. Que el vector sigui ortogonal als vectors i , im-plica que el producte escalar dels vectors és nul.
Aïllant els paràmetres del sistema d’equacions obtin-
gut, trobem que
2. Si tres vectors són linealment dependents, el deter-minant format pels tres ha de ser nul.
Per tant, per a els vectors són linealment in-
dependents.
3. Si = 3, = (1, 3, 3)
Perquè el vector sigui combinació lineal dels altrestres vectors, s’ha de complir la igualtat següent:
a(3, 2, 5) + b(2, 4, 7) + c(1, 3, 3) = (2, 5, 5)
�x
�w
278
3 2 5
2 4 7
1 3
8 27 0278
= + = =;
a i b= =49
13
.
� �� �u v a b
u w a b
= + =
= + + =
0 3 1 0
0 3 2 2 0
;
;
�w�v�u
xn
n i
yn n
=+ +
= +
=+ +
=+
=
4 1 5
51
12 3 1 5
5
15 15
53
( )
( )++ 3 n
x y z=+
=+
=4
5
12 3
5, ,
rang A rang A .= =2 3
=A
1 2 1
0 5 5
0 0 0
4
12
4
rang A rang A .= = 2
=A
1 2 1
0 5 3
0 0 0
4
12
0
Obtenim, aleshores, el sistema d’equacions:
Resolem el sistema i obtenim:
Aleshores,
4. Si els tres vectors formen una base, han de ser lineal-ment independents
per tant, formen una base
ortogonal.
Per a expressar el vector en la base, s’ha de complirla igualtat
a( 1, 1, 1) + b(1, 1, 1) + c(1, 1, 1) = (2, 4, 2)
Obtenim , aleshores, el sistema d’equacions:
Resolem el sistema i trobem: a = 0; b = 1 i c = 3.
Per tant,
5. Operem component a component:
a) = 3 (3, 1, 2) + 2 ( 1, 2, 5) (3, 1, 4) =
= (9, 3, 6) + ( 2, 4, 10) (3, 1, 4) = (4, 0, 12)
b)
c)
1=
22 8520
4 520
8 5020
9720
120
58+ + +=, , , ,
220
35
15
25
174
14
104
, , , ,= + =
35
15
25
14
17 1 1, , ( , ,= 00) =
, , (( , , ) ( ,=35
15
25
14
2 4 10 15 55 20, )) =
�z =15
3 1 214
2 1 2 5 5 3 1 4( , , ) ( ( , , ) ( , , ))) =
212
832
= , ,
1= 2232
3 4 3 1 8152
4+ + + + + =, ,
= ( 112 4 83
23
152
3 1 4, , ) , , ( , , )+ + =
�y = + + =4 3 1 232
1 2 5 3 1 4( , , ) ( , , ) ( , , )
�x
� � �x v w= + 3
+ + =
+ =
+ =
a b c
a b c
a b c
2
4
2
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
4 0
� � � �x u v w= +1151
751
8351
a b c= = =1151
751
8351
; ;
3 2 2
2 4 3 5
5 7 3 5
a b c
a b c
a b c
+ + =
+ =
+ + =
257
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
•Si a =2,
El sistema és compatible indeterminat, ja que
•Si a =4,
El sistema és incompatible, ja que
b)La solució del sistema en el cas compatible inde-terminat és:
c)Qualsevol valor de la forma z =1 +5n dóna lloca solucions amb components enteres.
En efecte, si z =1 +5n, aleshores:
Per exemple, per a n =0, la solució és x =1, y =3,z =1.
UNITATS 4./5. VECTORS EN L’ESPAI
1.Que el vector sigui ortogonal als vectors i , im-plica que el producte escalar dels vectors és nul.
Aïllant els paràmetres del sistema d’equacions obtin-
gut, trobem que
2.Si tres vectors són linealment dependents, el deter-minant format pels tres ha de ser nul.
Per tant, per a els vectors són linealment in-
dependents.
3.Si =3, =(1, 3, 3)
Perquè el vector sigui combinació lineal dels altrestres vectors, s’ha de complir la igualtat següent:
a(3, 2, 5) +b(2, 4, 7) +c(1, 3, 3) =(2, 5, 5)
�x
�w
278
325
247
13
8270278
=+== ;
aib ==49
13
.
����uvab
uwab
=+=
=++=
0310
03220
;
;
�w �v �u
xn
ni
ynn
=++
=+
=++
=+
=
415
51
12315
5
1515
53
()
()++3n
xyz =+
=+
=4
5
123
5,,
rangArangA. == 23
= A
121
055
000
4
12
4
rangArangA. ==2
= A
121
053
000
4
12
0
Obtenim, aleshores, el sistema d’equacions:
Resolem el sistema i obtenim:
Aleshores,
4.Si els tres vectors formen una base, han de ser lineal-ment independents
per tant, formen una base
ortogonal.
Per a expressar el vector en la base, s’ha de complirla igualtat
a(1, 1, 1) +b(1, 1, 1) +c(1, 1, 1) =(2, 4, 2)
Obtenim , aleshores, el sistema d’equacions:
Resolem el sistema i trobem: a =0; b =1 i c =3.
Per tant,
5.Operem component a component:
a)=3(3, 1,2)+2(1,2, 5)(3,1, 4)=
=(9,3, 6)+(2, 4,10)(3,1, 4)=(4,0, 12)
b)
c)
1=
228520
4520
85020
9720
120
58 +++= ,,,,
220
35
15
25
174
14
104
,,,, =+=
35
15
25
14
1711 ,,(,, =00)=
,,((,,)(, =35
15
25
14
2410155520 ,))=
�z=15
31214
21255314 (,,)((,,)(,,)))=
212
832
=,,
1 =2232
34318152
4 +++++= ,,
=(112483
23
152
314 ,,),,(,,) ++=
�y=++= 431232
125314 (,,)(,,)(,,)
�x
��� xvw =+3
++=
+=
+=
abc
abc
abc
2
4
2
=
111
111
111
40
���� xuvw =+1151
751
8351
abc ===1151
751
8351
;;
322
2435
5735
abc
abc
abc
++=
+=
++=
C M
Y K
258
Propostes d’avaluació
d)
6.
El punt M té les coordenades (x, y, z)
Si , aleshores
(x3, y2, z1) =(5, 3, 1)
Igualant components, obtenim que x =1; y =; z =.
7.Sigui el punt M de coordenades (x, y, z). Imposant lacondició de l’enunciat, obtenim la igualtat
3(x2, y+1, z2) +2(x2, y2, z1) =0
Igualant components, obtenim x =2; y =; z =.
8.Sigui M =(x, y, z) i N=(x, y, z). La condició de l’e-nunciat s’expressa matemàticament de la manera se-güent:
Obtenim les igualtats següents:
(x1, y2, z1) =(2, 4, 3)
(x1, y2, z1)=(2, 4, 3)
Igualant components tenim:
x =; y =; z =2; x=; y=; z=3.
9.Siguin les coordenades de A=(x, y, z). Si Aés simè-tric de A respecte de H, aleshores es compleix que:
, per la qual cosa tenim la igualtat
(x5, y3, z2) =(3, 4, 3).
Obtenim x =; y =5; z =.
El punt
10.Tenim la igualtat
m(1, 0, 2) +n(1, 2, 4) =(3, 42).
= A72
572
,,.
72
72
12
AAAH =�� ����� �� 1
2
143
73
103
53
23
13
ANAB�� ������
=23
AMAB�� �������
=13
85
15
75
45
25
AMAB�� �������
=25
AMxyz�� ���
=(,,) 321
AB����
=(,,) 531
8113
43
73
283
43
353
1 =+= ,,,,,8
,,,, =2423
143
113
73
433
=
211
323
,, =+++ (,,),,(, 31423
43
103
31,,)= 2
�a=+ 213
31231423
1 (,,)(,,)(,225312 ,)(,,)=Obtenim el sistema
Resolem el sistema i obtenim m =5 i n =2.
11.Apliquem la fórmula del producte escalar:
a)(1, 3, 5)(2, 7, 3) =(1)2 +37 +5(3) =4
b)(2, 3, 2)(6, 1, 3) =62 +13 +32 =21
c)(3, 0, 6)(8, 2, 6) =(3)8 +02 +66 =12
12.Escrivim els vectors que defineixen els costats del trian-gle.
Apliquem l’expressió que permet obtenir el cosinus del’angle entre dos vectors.
13.El vector que busquem té com a components. Imposarem que el producte escalar dels
vectors sigui nul.
a)
En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació x +6z =0.
En què x =6z; per tant, qualsevol vector ambl’expressió (6z, y, z) és perpendicular a .
b)
En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació 3x +4y =0.
En què y =. Per tant, qualsevol vector amb l’ex-
pressió (x, , z) és perpendicular a .
14.El vector , si és perpendicular a , verifica
. Aquesta condició dóna l’equació x +2z =0.
Si el mòdul del vector és 3, l’equació resultant és
Si l’angle que forma amb és de 45º, de l’expressiódel cosinus d’un angle entre dos vectors, n’obteniml’equació x +2y =7,64.
�u
xyz222
3 ++=
�� wv=0
�v �wxyz =(,,)
�v 34x
34x
�� vx
�v=(,,) 340
�u
�� ux
�u=(,,) 106
�xxyz =(,,)
==°
=
cos,
c
110597
ABAC
ABAC
��������
��������
oos,
cos
=°
=
12767
ABBC
ABBC
��������
��������
114636
BCAC
BCAC
��������
��������=° ,
ABACi
BC
��������
����==
=
(,,);(,,)
(,
155421
574 ,)
mn
n
mn
=
=
+=
3
24
242
258
Pro
post
es d
’ava
luac
iód)
6.
El punt M té les coordenades (x, y, z)
Si , aleshores
(x 3, y 2, z 1) = ( 5, 3, 1)
Igualant components, obtenim que x = 1; y = ; z = .
7. Sigui el punt M de coordenades (x, y, z). Imposant lacondició de l’enunciat, obtenim la igualtat
3(x 2, y+1, z 2) + 2(x 2, y 2, z 1) = 0
Igualant components, obtenim x = 2; y = ; z = .
8. Sigui M = (x, y, z) i N = (x , y , z ). La condició de l’e-nunciat s’expressa matemàticament de la manera se-güent:
Obtenim les igualtats següents:
(x 1, y 2, z 1) = (2, 4, 3)
(x 1, y 2, z 1)= (2, 4, 3)
Igualant components tenim:
x = ; y = ; z = 2; x = ; y = ; z = 3.
9. Siguin les coordenades de A = (x, y, z). Si A és simè-tric de A respecte de H, aleshores es compleix que:
, per la qual cosa tenim la igualtat
(x 5, y 3, z 2) = ( 3, 4, 3).
Obtenim x = ; y = 5; z = .
El punt
10. Tenim la igualtat
m(1, 0, 2) + n( 1, 2, 4) = (3, 4 2).
=A72
572
, , .
72
72
12
AA AH=� ���� � ���1
2
143
73
103
53
23
13
AN AB� ��� � ���
=23
AM AB� ���� � ���
=13
85
15
75
45
25
AM AB� ���� � ���
=25
AM x y z� ����
= ( , , )3 2 1
AB� ���
= ( , , )5 3 1
8113
43
73
283
43
353
1= + =, , , ,, 8
, , , ,= 2 423
143
113
73
433
=
2 11
323
, ,= ++ +( , , ) , , ( ,3 1 423
43
103
3 1,, ) =2
�a = +2
13
3 1 2 3 1 423
1( , , ) ( , , ) ( , 22 5 3 1 2, ) ( , , ) =Obtenim el sistema
Resolem el sistema i obtenim m = 5 i n = 2.
11. Apliquem la fórmula del producte escalar:
a) ( 1, 3, 5) (2, 7, 3) = ( 1) 2 + 3 7 + 5( 3) = 4
b) (2, 3, 2) (6, 1, 3) = 6 2 + 1 3 + 3 2 = 21
c) ( 3, 0, 6) (8, 2, 6) = ( 3) 8 + 0 2 + 6 6 = 12
12. Escrivim els vectors que defineixen els costats del trian-gle.
Apliquem l’expressió que permet obtenir el cosinus del’angle entre dos vectors.
13. El vector que busquem té com a components. Imposarem que el producte escalar dels
vectors sigui nul.
a)
En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació x + 6 z = 0.
En què x = 6 z; per tant, qualsevol vector ambl’expressió ( 6 z, y, z) és perpendicular a .
b)
En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació 3 x + 4 y = 0.
En què y = . Per tant, qualsevol vector amb l’ex-
pressió (x, , z) és perpendicular a .
14. El vector , si és perpendicular a , verifica
. Aquesta condició dóna l’equació x + 2z = 0.
Si el mòdul del vector és 3, l’equació resultant és
Si l’angle que forma amb és de 45º, de l’expressiódel cosinus d’un angle entre dos vectors, n’obteniml’equació x + 2 y = 7,64.
�u
x y z2 2 2 3+ + =
� �w v = 0
�v�w x y z= ( , , )
�v34x
34x
� �v x
�v = ( , , )3 4 0
�u
� �u x
�u = ( , , )1 0 6
�x x y z= ( , , )
= = °
=
cos ,
c
1 105 97AB AC
AB AC
� ��� � ���
� ��� � ���
oos ,
cos
= °
=
1 27 67AB BC
AB BC
� ��� � ���
� ��� � ���
11 46 36BC AC
BC AC
� ��� � ���
� ��� � ��� = °,
AB AC i
BC
� ��� � ���
� ���= =
=
( , , ); ( , , )
( ,
1 5 5 4 2 1
5 7 4, )
m n
n
m n
=
=
+ =
3
2 4
2 4 2
CM
YK
259
Propostes d’avaluació
Si resolem el sistema de les tres equacions obtenim dosvectors:
15. Per tal de trobar els productes vectorials, calcularemels determinants.
a)
b)
c)
d)
16. Per tal de trobar un vector perpendicular als dos queens dóna l’enunciat, calculem el producte vectorialdels dos vectors.
17. Per tal de trobar el volum, calculem el producte mixtdels tres vectors.
18. El volum del paral·lelepípede determinat per tres vec-tors coincideix amb el valor absolut del seu productemixt
Així doncs,
19. Sabem que si tres vectors són linealment dependents,el valor del producte mixt dels tres és 0. Per saber si elsgrups següents són linealment dependents, calculemel producte mixt.
a) (1, 0, 2), (3, 2, 5) i ( 2, 4, 3)
Els vectors són linealment independents.
b) ( 3, 2, 5), (0, 3, 1) i (4, 1, 2)
1 0 2
3 2 5
2 4 3
6 0=
6 70 17536
6 70 17876
m m
m m
= =
= =
[ , , ]� � �u v w m m= = =
1 2 3
5 1
4 2 0
6 7 17
[ , , ]� � �u v w u= =
1 2 0
3 2 5
1 1 2
11 3
� �v u× = ( , , )14 22 4
� � �u v w× × =( ) ( , , )21 130 22
� �v w× = ( , , )30 4 5
� �u w× = ( , , )22 0 11
� �v u× = ( , , )16 8 10
� �a b
i j k
a a a
b b b
× = 1 2 3
1 2 3
� �w i w1 20 6 2 95 0 3 3 2 0 41 1= =( , , , , , ) ( , , , , ,, )6
Els vectors són linealment independents.
20. Calculem el producte mixt i igualem el resultata 0:
Per a m = 1 els vectors són linealment dependents. Larelació de dependència entre aquests és que els tressón el mateix vector ( 1, 1, 1).
Per a m 1 els vectors són linealment indepen-dents.
21. D’acord amb el procediment estàndard per a de-terminar la dependència o independència lineald’un conjunt de vectors, considerem l’equació vecto-rial:
Substituint els vectors per les seves components i ope-rant:
(0, 0, 0) = a (1, 2, 1) + b (2, 1, 2) + c (1, 1, 1) =
= (a, 2 a, a) + (2 b, b, 2 b) + (c, c, c) =
= (a + 2b + c, 2a + b c, a + 2b + c)
Igualant component a component:
Com que hi ha solucions no trivials, concloem queels vectors , , són linealment dependents.
Considerant la solució particular corresponent a = 1,obtenim:
Hem expressat com a combinació lineal de i .
UNITAT 6. GEOMETRIA AFÍ
1. a) L’equació paramètrica és:
L’equació contínua és
b) Per tal de trobar punts d’una recta, només hemde donar valors al paràmetre . Proporcionant elsvalors 1,2 i 3 obtenim els punts B = (4, 2, 2),C = (5, 6, 5) i D = (6, 22, 17).
x y z=
+=
31
24
13
r
x
y
z
=
= +
= +
=
3
2 4
1 3
�w�v�u
1 1 1 0� � � � � � �u v w u v w+ + = =( )
�w�v�u
0 2
0 2
0 2
= + +
= +
= + +
=
=
=
a b c
a b c
a b c
a
b
c
a u b v c w� � � �+ + = 0
= + =
1
1
1
2 3 1 03 2
m m
m m
m m
m m
=
3 2 5
0 3 1
4 1 2
53 0
259
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Si resolem el sistema de les tres equacions obtenim dosvectors:
15.Per tal de trobar els productes vectorials, calcularemels determinants.
a)
b)
c)
d)
16.Per tal de trobar un vector perpendicular als dos queens dóna l’enunciat, calculem el producte vectorialdels dos vectors.
17.Per tal de trobar el volum, calculem el producte mixtdels tres vectors.
18.El volum del paral·lelepípede determinat per tres vec-tors coincideix amb el valor absolut del seu productemixt
Així doncs,
19.Sabem que si tres vectors són linealment dependents,el valor del producte mixt dels tres és 0. Per saber si elsgrups següents són linealment dependents, calculemel producte mixt.
a)(1, 0, 2), (3, 2, 5) i (2, 4, 3)
Els vectors són linealment independents.
b)(3, 2, 5), (0, 3, 1) i (4, 1, 2)
102
325
243
60 =
67017536
67017876
mm
mm
==
==
[,,] ��� uvwmm ===
123
51
420
6717
[,,] ��� uvwu ==
120
325
112
113
�� vu ×=(,,) 14224
��� uvw ××= ()(,,) 2113022
�� vw ×=(,,) 3045
�� uw ×=(,,) 22011
�� vu ×=(,,) 16810
��ab
ijk
aaa
bbb
×=123
123
�� wiw 12 0629503320411 == (,,,,,)(,,,,,,)6
Els vectors són linealment independents.
20.Calculem el producte mixt i igualem el resultata 0:
Per a m =1 els vectors són linealment dependents. Larelació de dependència entre aquests és que els tressón el mateix vector (1, 1, 1).
Per a m1 els vectors són linealment indepen-dents.
21.D’acord amb el procediment estàndard per a de-terminar la dependència o independència lineald’un conjunt de vectors, considerem l’equació vecto-rial:
Substituint els vectors per les seves components i ope-rant:
(0, 0, 0) =a(1, 2, 1) +b(2, 1, 2) +c(1, 1, 1) =
=(a, 2a, a) +(2b, b, 2b) +(c, c, c)=
=(a +2b +c, 2a +b c, a +2b +c)
Igualant component a component:
Com que hi ha solucions no trivials, concloem queels vectors , , són linealment dependents.
Considerant la solució particular corresponent a =1,obtenim:
Hem expressat com a combinació lineal de i .
UNITAT 6. GEOMETRIA AFÍ
1.a)L’equació paramètrica és:
L’equació contínua és
b)Per tal de trobar punts d’una recta, només hemde donar valors al paràmetre . Proporcionant elsvalors 1,2 i 3 obtenim els punts B =(4, 2, 2),C =(5, 6, 5) i D =(6, 22, 17).
xyz=
+=
31
24
13
r
x
y
z
=
=+
=+
=
3
24
13
�w �v �u
1110 ������� uvwuvw ++== ()
�w �v �u
02
02
02
=++
=+
=++
=
=
=
abc
abc
abc
a
b
c
aubvcw ����++=0
=+=
1
1
1
231032
mm
mm
mm
mm
=
325
031
412
530
C M
Y K
260
Propostes d’avaluació
2.Per a trobar una recta necessitem un punt, que pot serel punt A, i un vector director que el determinen A iB, . Les equacions que determinenaquesta recta r són:
(x, y, z) =(3, 5, 7) +(2, 5, 5)
3.a)Determinem els vectors
Calculem el determinant
L’equació del pla resultant és
: 10x 10y +30 =0
b)Tenim el punt A i el vector director de la recta, ensfalta un vector que podem determinar amb el puntA i el punt de la recta (3, 1, 0).
Utilitzant el mètode de l’apartat anterior obteniml’equació del pla : 2x 3y +z +3 =0.
c)L’equació cartesiana del pla és 1x0+7y0+
+0z0+d =0. Imposem les coordenades del puntA i obtenim l’equació 14 +7(1) +02 +d ==0, d’on obtenim d =3.
Per tant, : x +7y +3 =0.
d)El pla XZ té com a vectors directors (1,0,0) i(0, 0, 1) i sabem que el pla passa pel puntO =(0, 0, 0). Utilitzem el procediment de l’apar-tat a)i obtenim que el pla que busquem és
: y =0.
4.a)Els vectors directors de les rectes són linealment
ment independents ja que . Escollim
un punt A de r i un punt Ade s i determinem si
son linealment dependents o inde-pendents
I calculem el determinant dels tres vectors
=
110
313
246
420
AAAA === (,,)(,,)(,, 02401203�� ���
)6
{,,} ������ ���vvAA
11
31
24
x
y
z
=
151
211
3111
0
ABiAC��������
== (,,)(,,) 5111111
5250
5210
xy
xz
=
+=
xyz==
+ 32
55
75
x
y
z
=
=
=+
32
55
75
AB����
=(,,) 255
Com que el rang les rectes s’en-creuen.
b)Considerem les matrius
Calculem el rang de les matrius mitjançant els deter-minants i . Com que rang (M) ==rang (M)=3 les rectes es tallen, és a dir, són secants.
Per tal de trobar el punt de tall, resolem el sistema d’equacions i obtenim que el punt de tall és
5.Comprovem si els vectors directors són linealment de-pendents.
•Per a m =2, els vectors són linealment dependents,de manera que les rectes o són paral·leles o coin-cideixen.Escollim el punt A =(1, 9, 4) de r i esbrinem si per-tany a s, substituint les coordenades del punt enl’equació de la recta s:
Com que el punt de r no pertany a s, les rectes r is per a m =2 són paral·leles.
•Per a m 2 els vectors són linealment inde-
pendents i el rangen què
.Per tant, les rectes es tallaran.
6.Comprovem si els vectors normals dels plans són li-nealment independents:
Podem veure que els vectors són linealment indepen-dents, de manera que els plans són secants, és a dir, estallen.
7.Les matrius associades són
En calculem el rang mitjançant determinants. Podemveure que rang (M) =rang (M) =3, per la qual cosaels plans es tallen.
MiM ==
110
351
111
110
351
111
1
4
4
11
11
21
AA=�� ���
(,,) 442
{,,} ������ ���vvAA=2
132
954
421
+=
22
62
11
=+
=mm
P=32
032
,,.
= M0 M=2
MiM ==
111
210
121
121
111
210
1221
121
0
3
0
3
{,,} ������ ���vvAA=3
260
Pro
post
es d
’ava
luac
ió2. Per a trobar una recta necessitem un punt, que pot ser
el punt A, i un vector director que el determinen A iB, . Les equacions que determinenaquesta recta r són:
(x, y, z) = (3, 5, 7) + ( 2, 5, 5)
3. a) Determinem els vectors
Calculem el determinant
L’equació del pla resultant és
: 10 x 10 y + 30 = 0
b) Tenim el punt A i el vector director de la recta, ensfalta un vector que podem determinar amb el puntA i el punt de la recta (3, 1, 0).
Utilitzant el mètode de l’apartat anterior obteniml’equació del pla : 2x 3y + z + 3 = 0.
c) L’equació cartesiana del pla és 1 x0 + 7 y0 +
+ 0 z0 + d = 0. Imposem les coordenades del puntA i obtenim l’equació 1 4 + 7 ( 1) + 0 2 + d == 0, d’on obtenim d = 3.
Per tant, : x + 7 y + 3 = 0.
d) El pla XZ té com a vectors directors (1,0,0) i(0, 0, 1) i sabem que el pla passa pel puntO = (0, 0, 0). Utilitzem el procediment de l’apar-tat a) i obtenim que el pla que busquem és
: y = 0.
4. a) Els vectors directors de les rectes són linealment
ment independents ja que . Escollim
un punt A de r i un punt A de s i determinem si
son linealment dependents o inde-pendents
I calculem el determinant dels tres vectors
=
1 1 0
3 1 3
2 4 6
42 0
A A AA= = =( , , ) ( , , ) ( , ,0 2 4 0 1 2 0 3� ����
)6
{ , , }� ��� � ����v v AA
11
31
24
x
y
z
=
1 5 1
2 1 1
3 1 11
0
AB i AC� ��� � ���
= =( , , ) ( , , )5 1 1 1 1 11
5 2 5 0
5 2 1 0
x y
x z
=
+ =
x y z= =
+32
55
75
x
y
z
=
=
= +
3 2
5 5
7 5
AB� ���
= ( , , )2 5 5
Com que el rang les rectes s’en-creuen.
b) Considerem les matrius
Calculem el rang de les matrius mitjançant els deter-minants i . Com que rang (M) == rang (M) = 3 les rectes es tallen, és a dir, són secants.
Per tal de trobar el punt de tall, resolem el sistema d’equacions i obtenim que el punt de tall és
5. Comprovem si els vectors directors són linealment de-pendents.
• Per a m = 2, els vectors són linealment dependents,de manera que les rectes o són paral·leles o coin-cideixen.Escollim el punt A = (1, 9, 4) de r i esbrinem si per-tany a s, substituint les coordenades del punt enl’equació de la recta s:
Com que el punt de r no pertany a s, les rectes r is per a m = 2 són paral·leles.
• Per a m 2 els vectors són linealment inde-
pendents i el rang en què
. Per tant, les rectes es tallaran.
6. Comprovem si els vectors normals dels plans són li-nealment independents:
Podem veure que els vectors són linealment indepen-dents, de manera que els plans són secants, és a dir, estallen.
7. Les matrius associades són
En calculem el rang mitjançant determinants. Podemveure que rang (M) = rang (M ) = 3, per la qual cosaels plans es tallen.
M i M= =
1 1 0
3 5 1
1 1 1
1 1 0
3 5 1
1 1 1
1
4
4
11
11
21
AA =� ����
( , , )4 4 2
{ , , }� ��� � ����v v AA = 2
1 32
9 54
4 21
+=
22
62
11
=+
=mm
P =32
032
, , .
=M 0M = 2
M i M= =
1 1 1
2 1 0
1 2 1
1 2 1
1 1 1
2 1 0
1 22 1
1 2 1
0
3
0
3
{ , , }� ��� � ����v v AA = 3
CM
YK
261
Propostes d’avaluació
8. Escrivim l’expressión implícita de la recta r.
Estudiarem els rangs de les matrius M de coeficients il’ampliada M associades als tres plans.
a)
El rang(M) = rang(M ) = 3; per tant, la recta i elpla es tallen.
b)
El rang(M) = rang(M ) = 3; per tant, la recta i elpla es tallen.
c)
El rang(M) = rang(M ) = 2; per tant, la recta estàcontinguda en el pla.
9. Per tal que recta i pla siguin paral·lels s’ha de com-plir que rang(M) = 2 i rang(M ) = 3. Escrivim la matriuM i la matriu ampliada M associada al sistema
Calculem el determinant de la matriu de coeficients
Com que m + 3 = 0 m = 3 tenim que per aquest va-lor de m rang(M) = 2 i rang(M ) = 3, per tant la rectai el pla són paral·lels.
10. A partir de l’equació contínua de la recta:
es poden obtenir les equacions implícites:
Si el pla i la recta són paral·lels, el sistema format perles seves equacions serà incompatible. Perquè això pas-si es requereix que rang (M) < 3 (M matriu de coefi-cients), la qual cosa implica que det(M) = 0. Vegem elsvalors de m que anul·len det(M):
x y
xmz
x y
x mz
x y
x
= +
=
= +
=
=1
113
1
3 11
1
3 ++ =mz 11
x ymz
= + =111
3
M
m
m= = +
1 0 0
0 1 1
1 3
3
M
m
M
m
= =
1 0 0
0 1 1
1 3
1 0 0
0 1 1
1 3
2
1
2
M M= =
1 1 0
2 0 1
1 1 1
1 1 0
2 0 1
1 1 1
2
2
4
M M= =
1 1 0
2 0 1
3 5 1
1 1 0
2 0 1
3 5 1
2
2
4
M M= =
1 1 0
2 0 1
1 1 0
1 1 0
2 0 1
1 1 0
2
2
1
rx y
x z:
+ =
+ =
2 0
2 2 0
Per a aquest valor de m podria ocórrer que la recta per-tanyi al pla. Per veure-ho, prenem un punt qualsevolde la recta. Observant l’equació contínua (amb m = 1),prenem, per exemple, (0, 1, 11).
Substituint en 2 x + y + z = 9, comprovem que no per-tany al pla: 2 0 + ( 1) + 11 9
Per tant, perquè la recta sigui paral·lela, es requereixque m = 1; en els altres casos, la recta s’intersecarà alpla.
Per a m = 2 resolem per Cramer el sistema se-güent:
2 x + y + z = 9
x y = 1
3 x + 2 z = 11
Per tant, quan m = 2 la recta talla el pla en el punt(3, 2, 1).
11. Perquè els plans tinguin una recta comuna, es reque-reix que el sistema que formen sigui compatible i in-determinat. Vegem els valors de m que anul·len el de-terminant:
El sistema serà compatible i determinat (S.C.D.) per am 0,5; 2. Hem de veure a quin valor de m ( 0,5 o2) correspon un sistema compatible indeterminat(S.C.I.).
Per a m = 2:
3 4 11
0 3 1
0 0 0
4
5
0+
( )F F
F F F2 1
3 2 12
3 4 1
3 1 0
3 7 2
4
1
9
M
m
m m m
m
=
+
= =
=± +
=
0
1 4 1
3 1 0
3 7 2
2 3 2 0
3 9 164
2
0 5
2;
,
y z= = =
2 9 1
1 1 0
3 11 2
2 1 1
1 1 0
3 0 2
2
2 1 9
1 1 11
3 0 11
2 1 1
1 1 0
3 0 2
1=
x = =
9 1 1
1 1 0
11 0 2
2 1 1
1 1 0
3 0 2
3
2 1 1
1 1 0
3 0
2 3 0
3 3 0 1
= + =
+ = =
m
m m
m m
�
261
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
8.Escrivim l’expressión implícita de la recta r.
Estudiarem els rangs de les matrius M de coeficients il’ampliada Massociades als tres plans.
a)
El rang(M) =rang(M) =3; per tant, la recta i elpla es tallen.
b)
El rang(M) =rang(M) =3; per tant, la recta i elpla es tallen.
c)
El rang(M) =rang(M) =2; per tant, la recta estàcontinguda en el pla.
9.Per tal que recta i pla siguin paral·lels s’ha de com-plir que rang(M) =2 i rang(M) =3. Escrivim la matriuM i la matriu ampliada Massociada al sistema
Calculem el determinant de la matriu de coeficients
Com que m+3 =0 m=3 tenim que per aquest va-lor de m rang(M) =2 i rang(M) =3, per tant la rectai el pla són paral·lels.
10.A partir de l’equació contínua de la recta:
es poden obtenir les equacions implícites:
Si el pla i la recta són paral·lels, el sistema format perles seves equacions serà incompatible. Perquè això pas-si es requereix que rang (M) <3 (M matriu de coefi-cients), la qual cosa implica que det(M) =0. Vegem elsvalors de m que anul·len det(M):
xy
xmz
xy
xmz
xy
x
=+
=
=+
=
= 1
113
1
311
1
3++= mz11
xymz
=+= 111
3
M
m
m ==+
100
011
13
3
M
m
M
m
==
100
011
13
100
011
13
2
1
2
MM ==
110
201
111
110
201
111
2
2
4
MM ==
110
201
351
110
201
351
2
2
4
MM ==
110
201
110
110
201
110
2
2
1
rxy
xz:
+=
+=
20
220
Per a aquest valor de m podria ocórrer que la recta per-tanyi al pla. Per veure-ho, prenem un punt qualsevolde la recta. Observant l’equació contínua (amb m =1),prenem, per exemple, (0, 1, 11).
Substituint en 2 x +y +z =9, comprovem que no per-tany al pla: 2 0 +(1) +11 9
Per tant, perquè la recta sigui paral·lela, es requereixque m =1; en els altres casos, la recta s’intersecarà alpla.
Per a m =2 resolem per Cramer el sistema se-güent:
2 x +y +z =9
x y =1
3 x +2 z =11
Per tant, quan m =2 la recta talla el pla en el punt(3, 2, 1).
11.Perquè els plans tinguin una recta comuna, es reque-reix que el sistema que formen sigui compatible i in-determinat. Vegem els valors de m que anul·len el de-terminant:
El sistema serà compatible i determinat (S.C.D.) per am 0,5; 2. Hem de veure a quin valor de m (0,5 o2) correspon un sistema compatible indeterminat(S.C.I.).
Per a m =2:
3411
031
000
4
5
0+
() FF
FFF21
321 2
341
310
372
4
1
9
M
m
mmm
m
=
+
==
=±+
=
0
141
310
372
2320
39164
2
05
2;
,
yz ===
291
110
3112
211
110
302
2
219
1111
3011
211
110
302
1 =
x==
911
110
1102
211
110
302
3
211
110
30
230
3301
=+=
+==
m
mm
mm
�
C M
Y K
El vector director de la recta buscada ha de ser paral·lelal vector característic del pla, la qual cosa permet pren-dre com a vector director aquest mateix vector. Així,l’equació de la recta és:
(x, y, z) =(1, 3, 2) +(2, 1, 1)
14. a)L’equació del pla es pot trobar de dues maneresdiferents.La primera consisteix a trobar dos vectors gene-radors del pla. Com que ha de contenir la rectar, el seu vector director ésun delsvectors generadors. L’altra es pot calcular com a
, en què Qés un punt qualsevolde la recta r;per exemple, .
Així, i l’equació vectorial del pla és
,quedóna lloc a l’equació general y+2z+1 =0.
En la segona forma, prenem l’equació Ax +By+
+Cz+D=0 i fem que sigui verificada per tres delspunts del pla: P=(1, 1, 1), Q1=(2, 1, 0) iQ2=(3, 1, 1). Els dos últims estan extrets de larecta r. Q1es dedueix directament de l’equació iQ2s’obté sumant un cop el vector director
a Q1. El sistema d’equacions queens queda és:
que té com a solució A=0, B=D, C=2D. PrenentD=1, per exemple, obtenim l’equació buscada:y+2z+1 =0.
b)Les equacions paramètriques de la recta ssón:
Substituint en les equacions del pla anterior, te-nim:
Per tant, el punt de tall és M=(1 +2, 7 +4, 5 +6) =(3, 3, 1)
Una altra manera de calcular aquest punt és a par-tir de l’equació contínua de la recta s, quees potdescompondre en dues equacions implícites i re-soldre el sistema format per aquestes i l’equacióde l’apartat anterior.
c)L’equació contínua de la recta és:xyzxyz
==+
+==
+ 131
131
111
12
14
12
()()
.
++++=
==
7225310
81602
x
y
z
=+
=+
=+
1
72
53
ABCD
QBD
A
++=
+=
0
20
3+++= BCD0
vr���
=(,,) 121
(,,)(,,)(,,)(,,) xyz=++ 111121121
PQ�� ��
== (,,)(,,)(,,) 210111121
Q=(,,) 210PQ�� ��
vr���
=(,,) 121
Per a m =0,5:
En el primer cas:
rang(M) =2 =rang (M) S.C.I.
En el segon:
rang(M) =2 3 =rang(M) S.I.
Els plans tindran una recta comuna per a m =2.
12.Siguinun vector director de r iun de s, tals queisiguin linealment independents; aleshores, el
pla per (1, 2, 3) paral·lel a r i s és :[(1, 2, 3);, ].Busquemi .
De l’equació de la recta r es poden obtenir fàcilmentles equacions paramètriques:
D’on deduïm que=(1, 2, 1) és un vector directorde la recta r.
La forma contínua de l’equació de la recta s ens indicaque un dels seus vectors directors és=(4, 1, 1).
Observem queisón linealment independents;així doncs, calculem l’equació general del pla per (1, 2, 3) amb la direcció de (1, 2, 1) i (4, 1, 1):
Aleshores, es pot escriure ordenadament:
x +3 y 7 z +14 =0
El pla perpendicular a r que passa per (1, 2, 3) té pervector normal=(1, 2, 1), per la qual cosa la sevaequació serà de la forma x +2 y +z +A =0.
Calculem el valor de A imposant que (1, 2, 3) sigui delpla:
1 +2 2 +3 +A =0 A =8
Aleshores, l’equació del pla és:
x +2 y +z 8 =0
13.Si el punt (1, 3, a) és del pla, ha de complir la sevaequació:
2(1)3 +a+3 =0 a =2
�u
x
y
z
xyz
=
=+=
114
221
311
132730 ()()
�v �u
�v
�u
rxz
yz
x
y
z
:=
=
=+
=+
=+
1
21
1
12
0
�v �u
�v �u
�v �u
�v �u
182
05112
000
8
500
5
2
6
1023
1
21
312
F
FF
FFF +
() 0541
3150
372
4
1
9
,
,
Propostes d’avaluació
262
�
El vector director de la recta buscada ha de ser paral·lelal vector característic del pla, la qual cosa permet pren-dre com a vector director aquest mateix vector. Així,l’equació de la recta és:
(x, y, z) = ( 1, 3, 2) + ( 2, 1, 1)
14. a) L’equació del pla es pot trobar de dues maneresdiferents.La primera consisteix a trobar dos vectors gene-radors del pla. Com que ha de contenir la rectar, el seu vector director és un delsvectors generadors. L’altra es pot calcular com a
, en què Q és un punt qualsevol de la recta r;per exemple, .
Així, i l’equació vectorial del pla és
, q u edóna lloc a l’equació general y + 2 z + 1 = 0.
En la segona forma, prenem l’equació Ax + By +
+ Cz + D = 0 i fem que sigui verificada per tres delspunts del pla: P = (1, 1, 1), Q1 = (2, 1, 0) iQ2 = (3, 1, 1). Els dos últims estan extrets de larecta r. Q1 es dedueix directament de l’equació iQ2 s’obté sumant un cop el vector director
a Q1. El sistema d’equacions queens queda és:
que té com a solució A = 0, B = D, C = 2D. PrenentD = 1, per exemple, obtenim l’equació buscada:y + 2 z + 1 = 0.
b) Les equacions paramètriques de la recta ssón:
Substituint en les equacions del pla anterior, te-nim:
Per tant, el punt de tall és M = (1 + 2, 7 + 4, 5 + 6) = (3, 3, 1)
Una altra manera de calcular aquest punt és a par-tir de l’equació contínua de la recta s, que es potdescompondre en dues equacions implícites i re-soldre el sistema format per aquestes i l’equacióde l’apartat anterior.
c) L’equació contínua de la recta és:x y z x y z
= =+
+= =
+13 1
13 1
11 1
12
14
12
( ) ( )
.
+ + + + =
= =
7 2 2 5 3 1 0
8 16 0 2
x
y
z
= +
= +
= +
1
7 2
5 3
A B C D
Q B D
A
+ + =
+ =
0
2 0
3 ++ + =B C D 0
vr���
= ( , , )1 2 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z = + +1 1 1 1 2 1 1 2 1
PQ� ���
= =( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 0 1 1 1 1 2 1
Q = ( , , )2 1 0PQ� ���
vr���
= ( , , )1 2 1
Per a m = 0,5:
En el primer cas:
rang(M) = 2 = rang (M ) S.C.I.
En el segon:
rang(M) = 2 3 = rang(M ) S.I.
Els plans tindran una recta comuna per a m = 2.
12. Siguin un vector director de r i un de s, tals quei siguin linealment independents; aleshores, el
pla per (1, 2, 3) paral·lel a r i s és : [(1, 2, 3); , ].Busquem i .
De l’equació de la recta r es poden obtenir fàcilmentles equacions paramètriques:
D’on deduïm que = (1, 2, 1) és un vector directorde la recta r.
La forma contínua de l’equació de la recta s ens indicaque un dels seus vectors directors és = (4, 1, 1).
Observem que i són linealment independents;així doncs, calculem l’equació general del pla per (1, 2, 3) amb la direcció de (1, 2, 1) i (4, 1, 1):
Aleshores, es pot escriure ordenadament:
x + 3 y 7 z + 14 = 0
El pla perpendicular a r que passa per (1, 2, 3) té pervector normal = (1, 2, 1), per la qual cosa la sevaequació serà de la forma x + 2 y + z + A = 0.
Calculem el valor de A imposant que (1, 2, 3) sigui delpla:
1 + 2 2 + 3 + A = 0 A = 8
Aleshores, l’equació del pla és:
x + 2 y + z 8 = 0
13. Si el punt ( 1, 3, a) és del pla, ha de complir la sevaequació:
2 ( 1) 3 + a + 3 = 0 a = 2
�u
x
y
z
x y z
=
= + =
1 1 4
2 2 1
3 1 1
1 3 2 7 3 0( ) ( )
�v�u
�v
�u
rx z
y z
x
y
z
:=
=
= +
= +
= +
1
2 1
1
1 2
0
�v�u
�v�u
�v�u
�v�u
1 8 2
0 51 12
0 0 0
8
500
5
2
6
1023
1
2 1
3 1 2
F
F F
F F F+
( )0 5 4 1
3 1 5 0
3 7 2
4
1
9
,
,
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
262
�
CM
YK
263
Propostes d’avaluació
d) Per construcció, aquesta recta passa perP = (1, 1, 1) i talla s en M = (3, 3, 1). Per com-provar que també talla r, podem veure si el siste-ma format per les equacions contínues de lesrectes és compatible determinat.
Sumant la primera i la tercera equació tenim4 x = 8, és a dir, x = 2. D’aquí, a més,y = 1. De la segona equació, z = 0, valor quetambé compleix la quarta equació. Per tant, la rec-ta de l’apartat c) talla la recta r en el punt(2, 1, 0).Aquest apartat es pot raonar també sensebuscar el punt d’intersecció amb r. En efecte,la recta trobada en l’apartat c) passa per P i perM per construcció. Com que, a més, està contin-guda en el pla , que també conté la recta r, la in-tersecció entre les dues està assegurada, tret quefossin paral·leles, que no és, evidentment, el cas.
UNITAT 7. GEOMETRIA MÈTRICA
1. Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors directors de les rectes.
2. Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors normals als plans.
3. Si la recta i el pla són paral·lels, el vector director dela recta i el vector normal al pla han de ser perpendi-culars; per tant, el seu producte escalar ha de sernul.
Si imposem la condició, obtenim l’equació 3 m 3 + 4 = 0; per tant, m = .
4. La distància entre dos punts és el mòdul del vector quedeterminen.
5. Per tal de trobar la distància d’una recta a un pla, hemd’escollir un punt de la recta i calcular la distància d’a-quest al pla mitjançant la fórmula de la distància.
AB AB u� ��� � ���
= = + + =(– , , ); ( )1 5 2 1 5 2 302 2 2
13
d n mr
� �� � ��= =( , , ); ( , , )3 1 2 3 2
��
� �
n
n
n n
=
=
=
( , , );
( , , )
arc cos
1 2 3
1 1 1
�� �n n
= °107 97,
d d
dr s
r
� �� ���
� ��= =
=
( , , ); ( , , )1 2 3 2 2 1
arc cosdd
d ds
r s
���
� �� ��� = °63 55,
x y z
x y z
x y
y=+
=
= =+
=21
12 1
12
14
12
2 5
++ =
+ =
=
2 1
2 3
2
z
x y
x z
a) Escollim el punt A = ( 1, 0, 3) de r
b) Escollim el punt B = (0, 3, 1) de s, i aplicant lafórmula:
6. a) Per tal de saber si el punt pertany al pla, substi-tuïm les coordenades del punt en l’equació delpla. Si es verifica l’equació, el punt pertany alpla.
2 1 + 4 1 + 5 2 1 0. Per tant, el punt no per-tany al pla.
b) Aplicant la fórmula de la distància:
c) Si la recta és perpendicular al pla, aleshores és pa-ral·lela al vector normal al pla. Per tant, el vectordirector de la recta és el vector normal al pla.
r : (x, y, z) = (2, 4, 5) + (1, 1, 2)
7. a) Observem que . Com que els vectors sónproporcionals, les rectes poden ser paral·leles ocoincidents. Per comprovar-ho, hem de mirar sialgun punt de r pertany a s.
Podem veure que el punt P = (1, 0, 1) de r nopertany a s. Per tant, les rectes són paral·leles.
b) Escollim el punt A = (0, 1, 0) de s. Calculem elvector
8. Per tal de trobar la distància entre dos plans hem detenir en compte la seva posició relativa
a) Els plans 1 i 2 es tallen en
una recta d ( 1, 2) = 0
b) Els plans 1 i 2 es tallen en
una recta d ( 1, 2) = 0
9. Trobem, efectuant el producte vectorial, un vector per-pendicular als vectors directors de les rectes.
31
21
11
01
21
13
31
88
AP
d r sAP d
d
s
s
� ���
� ��� ���
���
=
=×
=
( , , )
( , )
1 1 1
73
== 1 53, u
d dr s
� �� ���= 2
d( , )A u=15 6
6
d( , )B u=2 3
3
d( , )( )
( ) ( )A =
+
+ +=
=
1 1 0 2 3 3 1
1 2 3
9
14
2 2 2
uu u=8114
263
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
d)Per construcció, aquesta recta passa perP =(1, 1, 1)i talla s en M =(3, 3, 1). Per com-provar que també talla r, podem veure si el siste-ma format per les equacions contínues de lesrectes és compatible determinat.
Sumant la primera i la tercera equació tenim4x =8, és a dir, x =2. D’aquí, a més,y=1. De la segona equació, z=0, valor quetambé compleix la quarta equació. Per tant, la rec-ta de l’apartat c)talla la recta r en el punt(2,1,0).Aquest apartat es pot raonar també sensebuscar el punt d’intersecció amb r. En efecte,la recta trobada en l’apartat c)passa per Pi perMper construcció. Com que, a més, està contin-guda en el pla , que també conté la recta r, la in-tersecció entre les dues està assegurada, tret quefossin paral·leles, que no és, evidentment, el cas.
UNITAT 7. GEOMETRIA MÈTRICA
1.Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors directors de les rectes.
2.Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors normals als plans.
3.Si la recta i el pla són paral·lels, el vector director dela recta i el vector normal al pla han de ser perpendi-culars; per tant, el seu producte escalar ha de sernul.
Si imposem la condició, obtenim l’equació 3m 3 +4 =0; per tant, m =.
4.La distància entre dos punts és el mòdul del vector quedeterminen.
5.Per tal de trobar la distància d’una recta a un pla, hemd’escollir un punt de la recta i calcular la distànciad’a-quest al pla mitjançant la fórmula de la distància.
ABABu��������
==++= (–,,);() 15215230222
13
dnm r
������== (,,);(,,) 31232
��
��
n
n
nn
=
=
=
(,,);
(,,)
arccos
123
111
��� nn=° 10797 ,
dd
drs
r
������
���==
=
(,,);(,,) 123221
arccosdd
dds
rs
���
������=° 6355 ,
xyz
xyz
xy
y=
+=
==+
= 21
121
12
14
12
25
++=
+=
=
21
23
2
z
xy
xz
a)Escollim el punt A=(1, 0, 3) de r
b)Escollim el punt B=(0, 3, 1) de s, i aplicant lafórmula:
6.a)Per tal de saber si el punt pertany al pla, substi-tuïm les coordenades del punt en l’equació delpla. Si es verifica l’equació, el punt pertany alpla.
21 +41 +52 1 0. Per tant, el punt no per-tany al pla.
b)Aplicant la fórmula de la distància:
c)Si la recta és perpendicular al pla, aleshores és pa-ral·lela al vector normal al pla. Per tant, el vectordirector de la recta és el vector normal al pla.
r: (x, y, z) =(2, 4, 5) +(1, 1, 2)
7.a)Observem que . Com que els vectors sónproporcionals, les rectes poden ser paral·leles ocoincidents. Per comprovar-ho, hem de mirar sialgun punt de r pertany a s.
Podem veure que el punt P =(1, 0, 1) de r nopertany a s. Per tant, les rectes són paral·leles.
b)Escollim el punt A =(0, 1, 0) de s. Calculem elvector
8.Per tal de trobar la distància entre dos plans hem detenir en compte la seva posició relativa
a)Els plans 1i 2es tallen en
una rectad (1, 2)=0
b)Els plans 1i 2es tallen en
una rectad (1, 2)=0
9.Trobem, efectuant el producte vectorial, un vector per-pendicular als vectors directors de les rectes.
31
21
11
01
21
13
31
88
AP
drsAPd
d
s
s
����
�������
���
=
=×
=
(,,)
(,)
111
73
==153 ,u
dd rs
������=2
d(,) Au =156
6
d(,) Bu =23
3
d(,)()
()()A=
+
++=
=
1102331
123
9
14
222
uuu =8114
C M
Y K
264
Propostes d’avaluació
Trobem l’equació del pla que conté r i .
Trobem l’equació del pla que conté s i .
: 13x +10y +19z +3 =0
La recta perpendicular a r i a s és:
10.Perquè la distància d’un pla a sigui no nul·la, aquestpla ha de ser paral·lel a . Així, els plans que disten unitats de es troben entre els del feix de plans pa-ral·lels a , l’equació dels quals és:
K: x +2y z +K =0
Calculem la distància d’un pla qualsevol del feixa :
Perquè aquesta distància sigui igual a :
Els plans la distància a dels quals és són dos:
1: x +2y z 5 =0 , 2: x +2y z +7 =0
—Aquests dos plans, 1i 2, són paral·lels entre ells,ja que tots dos són paral·lels a .
11.Calculem, en primer lloc, la distància del punt P =(20, 6, 0) a la recta donada en l’enunciat, r; per fer-ho, considerem un punt A d’aquesta recta i el vector
.De l’equació contínua prenem A =(6, 0, 2); d’on:
=(20 6, 6 0, 0 2) =(14, 6 2)
I, com que=(2, 2, 3) és un vector director, tenim:�v
AP����
AP����
6
==
==
165
167
KK
o
KK
61
661 === d
KK (,)
6
dKK
(,)()
=++
=1
121
1
6 222
6
txz
xyz:
:
:
+=
+++=
18980
13101930
xyz
=
224
122
254
0
�p
+= :18980 xz
xyz
=
224
122
254
0
�p
�������pdd rs =×=(,,) 254
Aquesta distància ha de coincidir amb la distància de P =(20, 6, 0) al pla 5x +y 4 z =m:
Els valors de m que satisfan la condició del problemasón m =190 i m =22.
12.Representem la situació exposada en l’enunciat en lafigura següent:
En observar la figura, advertim la necessitat de calcu-lar el punt Q, intersecció del pla amb la seva per-pendicular per P. Calcularem, en primer lloc, laperpendicular al pla : x +3 y +z =5 per P =(0, 2, 0):
A continuació, trobem el punt Q, per la qual cosa hemde resoldre el sistema que formen les equacions de larecta r i el pla : x +3y +z =5. Per fer-ho, utilitza-rem el mètode de Cramer:
===
101
320
151
101
310
131
1
100
312
yz1135
101
310
131
1 =
xz
xy
xyz
x
=
=
++=
=
0
32
35
001
210
531
101
3
=
10
131
1
r:xy
zxz
xy=
+=
=
=
23
0
32
v = (1, −1, 0)
r
Q�
Pʹ
P
2425201640
514
106
42
8410
222 =+
++=±
=±
mm
(6610684190
22=±= mm )
dPrvAP
v(,)
(,,)(,,)=
×=
×
++
�����
�2231462
2222
33
224616
17242
2=
==(,,)
264
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Trobem l’equació del pla que conté r i .
Trobem l’equació del pla que conté s i .
: 13 x + 10 y + 19 z + 3 = 0
La recta perpendicular a r i a s és:
10. Perquè la distància d’un pla a sigui no nul·la, aquestpla ha de ser paral·lel a . Així, els plans que disten unitats de es troben entre els del feix de plans pa-ral·lels a , l’equació dels quals és:
K: x + 2 y z + K = 0
Calculem la distància d’un pla qualsevol del feixa :
Perquè aquesta distància sigui igual a :
Els plans la distància a dels quals és són dos:
1: x + 2 y z 5 = 0 , 2: x + 2 y z + 7 = 0
— Aquests dos plans, 1 i 2, són paral·lels entre ells,ja que tots dos són paral·lels a .
11. Calculem, en primer lloc, la distància del punt P = (20, 6, 0) a la recta donada en l’enunciat, r; per fer-ho, considerem un punt A d’aquesta recta i el vector
.De l’equació contínua prenem A = (6, 0, 2); d’on:
= (20 6, 6 0, 0 2) = (14, 6 2)
I, com que = (2, 2, 3) és un vector director, tenim:�v
AP� ���
AP� ���
6
= =
= =
1 6 5
1 6 7
K K
o
K K
61
66 1= = =d
KK( , )
6
dK K
( , )( )
=+ +
=1
1 2 1
1
62 2 2
6
tx z
x y z:
:
:
+ =
+ + + =
18 9 8 0
13 10 19 3 0
x y z
=
2 2 4
1 2 2
2 5 4
0
�p
+ =: 18 9 8 0x z
x y z
=
2 2 4
1 2 2
2 5 4
0
�p
� � �� ���p d dr s= × = ( , , )2 5 4
Aquesta distància ha de coincidir amb la distància de P = (20, 6, 0) al pla 5 x + y 4 z = m:
Els valors de m que satisfan la condició del problemasón m = 190 i m = 22.
12. Representem la situació exposada en l’enunciat en lafigura següent:
En observar la figura, advertim la necessitat de calcu-lar el punt Q, intersecció del pla amb la seva per-pendicular per P. Calcularem, en primer lloc, laperpendicular al pla : x + 3 y + z = 5 per P = (0, 2, 0):
A continuació, trobem el punt Q, per la qual cosa hemde resoldre el sistema que formen les equacions de larecta r i el pla : x + 3 y + z = 5. Per fer-ho, utilitza-rem el mètode de Cramer:
= = =
1 0 1
3 2 0
1 5 1
1 0 1
3 1 0
1 3 1
1
1 0 0
3 1 2
y z11 3 5
1 0 1
3 1 0
1 3 1
1=
x z
x y
x y z
x
=
=
+ + =
=
0
3 2
3 5
0 0 1
2 1 0
5 3 1
1 0 1
3
=
1 0
1 3 1
1
r: xy
zx z
x y=
+=
=
=
23
0
3 2
v = (1, −1, 0)
r
Q�
Pʹ
P
2 425 20 1 6 4 0
5 1 4
106
42
84 10
2 2 2=
+
+ += ±
= ±
m m
( 66 106 84190
22= ± =m m)
d P rv AP
v( , )
( , , ) ( , , )=
×=
×
+ +
� � ���
�2 2 3 14 6 2
2 22 2 33
22 46 16
172 42
2=
= =( , , )
CM
YK
265
Propostes d’avaluació
Si coneixem les coordenades de Q = (1, 1, 1), és fàcilobtenir les coordenades de P = (x, y, z), imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP :
Les coordenades de P seran, per tant (2, 4, 2).
Finalment, trobem les equacions implícites d’una rec-ta amb la direcció de (1, 1, 0) i que passa perP = (2, 4, 2):
en què
13. Fem un esquema gràfic de la situació considerada enl’enunciat:
En observar la figura s’aprecia que necessitem un vec-tor director de la recta intersecció dels plans. Calculemaquest vector i obtenim les equacions paramètriques dela recta a partir de les equacions implícites d’aquesta,que estan formades per les equacions de cadascun delsdos plans.
Substituint z per , obtenim les equacions paramètri-ques de la recta intersecció:
x
y
z
= +
=
=
2
x =
=
z
y z
2
0
1 0 1
0 1 1
2
0F F1 22+
1 2 3
0 11 1
2
0
F F2 125
x y z
x y z
+ =
=
2 3 2
2 4
1 2 3
2 1 1
2
4
�1
�2
av
x y
z
+ =
=
6
2
x y z= =
21
41
20
( , , ) , ,
, ,
1 1 10
22
20
22 4 2
=+ + +
= = =
x y z
x y z
El vector = (1, 1, 1), obtingut prenent els coeficientsde , és un vector director de la recta intersecciódels plans. Per calcular l’angle n’hi ha prou d’apli-car la definició de producte escalar als vectores
i :
Per tant, i són perpendiculars.
14. De l’equació contínua de la recta donada, en deduïmque (1, 1, 2) és un dels seus vectors directors.
Deduïm l’equació del pla , que passa per P = (3, 2, 1) i és perpendicular a la recta r. El vector(1, 1, 2) serà un vector perpendicular de ; per tant,l’equació general de serà:
x + y 2 z + D = 0
Imposant que (3, 2, 1) sigui de la recta, obtenim:
0 = 3 + 2 2 1 + D = 3 + D D = 3
Així, l’equació de és:
x + y 2 z 3 = 0
De l’equació contínua de la recta, en deduïm les se-ves equacions implícites:
Calculem M, intersecció de la recta r amb el pla .Per fer-ho, hem de resoldre el següent sistema per Cra-mer:
Per tant, M = (4, 3, 2).
Partint de les coordenades de M, és fàcil obtenirP = (x, y, z) imposant que M sigui el punt mitjà delsegment PP :
x y z
x y
y z
x
+ =
=
+ =
=
2 3
1
2 8
3 1 2
1 1 0
8 2 1
1 1 2
1
=
= = =
1 0
0 2 1
4
1 3 2
1 1 0
0 8 1
1 1 2
1 1 0
0 2 1
3
1 1 3
1 1 1
y z00 2 8
1 1 2
1 1 0
0 2 1
2=
r: x yz
x y
y z
x y
= =
=
=
4 32
2
4 3
2 3 2( );
==
+ =
1
2 8y z
�v�a
� � � �
� �a v a v
a v
=
= =
cos
cos( , , ) ( , , )0 1 1 1 1 1 2 3
02
= =cos
�v�a
�v
�
�
265
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Si coneixem les coordenades de Q =(1, 1, 1), és fàcilobtenir les coordenades de P=(x, y, z), imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP:
Les coordenades de Pseran, per tant (2, 4, 2).
Finalment, trobem les equacions implícites d’una rec-ta amb la direcció de (1, 1, 0) i que passa perP=(2, 4, 2):
en què
13.Fem un esquema gràfic de la situació considerada enl’enunciat:
En observar la figura s’aprecia que necessitem un vec-tor director de la recta intersecció dels plans. Calculemaquest vector i obtenim les equacions paramètriques dela recta a partir de les equacions implícites d’aquesta,que estan formades per les equacions de cadascun delsdos plans.
Substituint z per , obtenim les equacions paramètri-ques de la recta intersecció:
x
y
z
=+
=
=
2
x=
=
z
yz
2
0
101
011
2
0FF 12 2 + 123
0111
2
0
FF 21 25
xyz
xyz
+=
=
232
24
123
211
2
4
�1
�2
a v
xy
z
+=
=
6
2
xyz==
21
41
20
(,,),,
,,
1110
22
20
2242
=+++
===
xyz
xyz
El vector=(1, 1, 1), obtingut prenent els coeficientsde , és un vector director de la recta intersecciódels plans. Per calcular l’angle n’hi ha prou d’apli-car la definició de producte escalar als vectores
i:
Per tant,isón perpendiculars.
14.De l’equació contínua de la recta donada, en deduïmque (1, 1, 2) és un dels seus vectors directors.
Deduïm l’equació del pla , que passa per P =(3, 2, 1) i és perpendicular a la recta r. El vector(1, 1, 2) serà un vector perpendicular de ; per tant,l’equació general de serà:
x +y 2 z +D =0
Imposant que (3, 2, 1) sigui de la recta, obtenim:
0 =3 +2 2 1 +D =3 +D D =3
Així, l’equació de és:
x +y 2 z 3 =0
De l’equació contínua de la recta, en deduïm les se-ves equacions implícites:
Calculem M, intersecció de la recta r amb el pla .Per fer-ho, hem de resoldre el següent sistema per Cra-mer:
Per tant, M =(4, 3, 2).
Partint de les coordenades de M, és fàcil obtenirP=(x, y, z) imposant que M sigui el punt mitjà delsegment PP:
xyz
xy
yz
x
+=
=
+=
=
23
1
28
312
110
821
112
1
=
===
10
021
4
132
110
081
112
110
021
3
113
111
yz0028
112
110
021
2 =
r:xyz
xy
yz
xy
==
=
=
432
2
43
232 ();
==
+=
1
28 yz
�v �a
����
��avav
av
=
==
cos
cos (,,)(,,) 01111123
02
== cos
�v �a
�v
�
�
C M
Y K
266
Propostes d’avaluació
Per tant, les coordenades de Psón (5, 4, 3).
El pla demanat coincideix amb ; per tant, la sevaequació serà:
x +y 2z =3
15.Sigui Ala projecció de A sobre el pla . Aés la inter-secció de amb la recta r perpendicular al pla que pas-sa pel punt A.
El vector (1, 2, 2), construït amb els coeficients de lesincògnites de l’equació de , és un vector perpendi-cular a ; per tant, la recta r serà:
La intersecció d’aquesta recta amb el pla s’obtindràresolent:
La projecció de A sobre el pla serà el punt Adecoordenades (2, 2, 2). La distància entre A i As’obtécalculant el mòdul del vector :
16.Sigui A =(a1, a2, a3) i B =(b1, b2, b3). Com que el puntA pertany al pla donat, sabem que 2a1+a2+a3=0.D’al-tra banda, el punt B ha de complir l’equació de la rec-ta; per tant:
[](,,)(,,)
(,,)
==
=+
AA�� ���
426262244
24422
444622+=
[] AA�� ���
xyz
xy
yz
yz
xy
++=
=
=
++=
=
2210
22
0
22210
22
yyz
xz
xz
xz
xz
=
+=
=
+=
=
410
22
410
22
+==
===
xxx
xzy
42210918
222
()
,
xyzxy
yz==
=
=4
62
62
22
0,
r
�
A
A
(,,),,
,,
4323
22
21
2543
=+++
===
xyz
xyz
A més, sabem que. D’aquí obtenim que
a1=b1, a2=b2i a3=b3. Aleshores, el sistema ques’ha de resoldre és:
que té com a solució
Per tant, els punts buscats són:
17.En primer lloc, hem de trobar un vector director de larecta, ja sigui escrivint l’equació paramètrica o per al-tres mètodes. Així, per exemple, l’equació de la rectaes pot escriure:
r: (x, y, z) =(0, 1, 2) +(1, 1, 1), i el vector és, ales-hores (1, 1, 1).
L’equació del pla és: x 1 +y1 (z2) =0, quesimplificant obtenim: x +y z=0. És evident queel pla passa per l’origen de coordenades i, per això, ladistància del (0, 0, 0) al pla és 0.
UNITAT 8. LÍMITS
1.a)c)
b)d)
2.a)
b)
c)
d)
3.Per a calcular aquest límit, calculem els límits lateralsquan
lim()x
x +==3
24945
lim()x
x+=3
25
x3
lim()lim()xx
fxfx === 333
11
lim()
()
lim()
lim() x
x
x
fx
gx
fx
gx===
10
lim()()lim()lim()xxx
fxgxfxgx ()==1= 01
lim()()lim()lim()xxx
fxgxfxgx + ()=+=+ 1001 =
limx
xx+=3
2214 lim
x
x
x
+=
0
31
212
limx
xx+
+=
4
42
0 lim()x
x=2
324
AiB ==13
83
213
83
2 ,,,,
bbib 12313
83
2 === ,.
20
25
36
123
12
23
bbb
bb
bb
+=
+=
+=
[](,,)
AB�� ���
2000 =
bb
bb12
23
250
360
+=
+=
266
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Per tant, les coordenades de P són (5, 4, 3).
El pla demanat coincideix amb ; per tant, la sevaequació serà:
x + y 2 z = 3
15. Sigui A la projecció de A sobre el pla . A és la inter-secció de amb la recta r perpendicular al pla que pas-sa pel punt A.
El vector (1, 2, 2), construït amb els coeficients de lesincògnites de l’equació de , és un vector perpendi-cular a ; per tant, la recta r serà:
La intersecció d’aquesta recta amb el pla s’obtindràresolent:
La projecció de A sobre el pla serà el punt A decoordenades (2, 2, 2). La distància entre A i A s’obtécalculant el mòdul del vector :
16. Sigui A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3). Com que el puntA pertany al pla donat, sabem que 2 a1 + a2 + a3 = 0. D’al-tra banda, el punt B ha de complir l’equació de la rec-ta; per tant:
[ ] ( , , ) ( , , )
( , , )
= =
= +
A A� ����
4 2 6 2 6 2 2 4 4
2 4 4 22 44 4 62 2+ =
[ ]A A� ����
x y z
x y
y z
y z
x y
+ + =
=
=
+ + =
=
2 2 10
2 2
0
2 2 2 10
2 2
yy z
x z
x z
x z
x z
=
+ =
=
+ =
=
4 10
2 2
4 10
2 2
+ = =
= = =
x x x
x z y
4 2 2 10 9 18
2 2 2
( )
,
xy z x y
y z= =
=
=4
62
62
2 2
0,
r
�
A
A
( , , ) , ,
, ,
4 3 23
22
21
25 4 3
=+ + +
= = =
x y z
x y z
A més, sabem que . D’aquí obtenim que
a1 = b1, a2 = b2 i a3 = b3. Aleshores, el sistema ques’ha de resoldre és:
que té com a solució
Per tant, els punts buscats són:
17. En primer lloc, hem de trobar un vector director de larecta, ja sigui escrivint l’equació paramètrica o per al-tres mètodes. Així, per exemple, l’equació de la rectaes pot escriure:
r: (x, y, z) = (0, 1, 2) + (1, 1, 1), i el vector és, ales-hores (1, 1, 1).
L’equació del pla és : x 1 + y 1 (z 2) = 0, quesimplificant obtenim : x + y z = 0. És evident queel pla passa per l’origen de coordenades i, per això, ladistància del (0, 0, 0) al pla és 0.
UNITAT 8. LÍMITS
1. a) c)
b) d)
2. a)
b)
c)
d)
3. Per a calcular aquest límit, calculem els límits lateralsquan
lim ( )x
x+
= =3
2 4 9 4 5
lim ( )x
x + =3
2 5
x 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x= = =3 33 1 1
lim( )
( )
lim ( )
lim ( )x
x
x
f x
g x
f x
g x= = =
10
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x( ) = = 1 =0 1
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x+( ) = + = +1 00 1=
limx
x x + =3
2 2 1 4limx
x
x
+=
0
3 1
212
limx
xx+
+=
4
42
0lim ( )x
x =2
3 2 4
A i B= =13
83
213
83
2, , , ,
b b i b1 2 313
83
2= = =, .
2 0
2 5
3 6
1 2 3
1 2
2 3
b b b
b b
b b
+ =
+ =
+ =
[ ]( , , )
AB� ����
20 0 0=
b b
b b1 2
2 3
2 5 0
3 6 0
+ =
+ =
CM
YK
267
Propostes d’avaluació
Com que els límits laterals coincideixen, podem afir-mar que el límit de la funció en x = 3 existeix i val 5.
4. a)
b)
Multipliquem i dividim per
El límit queda
c)
d)
e)
f)
g)
5. Calculem els límits laterals:
lim limx x
x
x x
x x
x+=
( ) +( )2
2
2
2
2
4
4 4
2 2
22
22
40
2
2
2
2
( )=
=+
=limx
xx
= +
2
=+
( ) ( )=
( )=lim lim
x x
x
x
x
x x1 2 2 1 2
2
1
1
1
3
1
300= +
lim( )x
x
x x+
=1 2
2
1
11
limx
xx
x
+= = =
3
3 003 1
1102
5 1
lim
lim
x
x
x x x x
x x x x
x x
+
+
+ +( ) =
=+ + +
+
2 2
2 2
2
2
2
2 ++ +=
=+ + +
=
=
+
+
x x
x
x x x xx
x
2
2 22lim
limxx
xx x
12
11
12
+ + +
=
=( )
( ) + +( )=
+ +=lim lim
x x
x
x x x3 3
3
3 1 2
1
1 2
14
limx
xx
x
x
+ + +
+ +=
3
1 23
1 2
1 2
=
+ +
= =lim limx x
x
xx
x24
11
1
12
0
limx
x
x x x+ +=
4 2
x x x4 2+ +
limx
x x x+( )4 2
limx
xx
x+
++
+= =
3 2
5 125
0
2 1
Igualem els límits i trobem a = 8.
6. a)
• A.V.: El denominador de la funció s’anul·la per ax1= 1 i x2 = 2. Per a aquests valors de x tenim duesasímptotes verticals.
• A.H.: Calculem els límits
La recta x = 1 és una asímptota horitzontal de la funció.
• A.O.: Com que la funció presenta A.H., no té asímp-totes obliqües.
b)
• A.V.: El denominador s’anul·la per a x = 1, de ma-nera que tindrem una asímptota vertical en x = 1.
• A.H.: No té asímptotes horitzontals, ja que:
• A.O.:
La recta y = x 1 és una asímptota obliqua.
c)
• A.V.: El denominador s’anul·la per a x1 = 1 i x2 = 1,de manera que tindrem les asímptotes verticals enaquests valors de x.
• A.H.: Com que el numerador i el denominador te-nen el mateix grau, calculem el límit de la funcióquan x tendeix a infinit i ens donarà l’equació de larecta que és asímptota horitzontal.
La recta y = 1 és una asímptota horitzontal.
• A.O.: Com que x presenta una A.H., no té asímptotaobliqua.
lim ( )x
f x±
= 1
f xx
x( ) =
+2
2
1
1
b f x mxx
xx x= ( ) =
+
+=lim ( ) lim
11
1
mf x
xx= =lim
( )1
lim ( )x
f x±
= ±
f xxx
( ) =+
+
2 31
lim ( )x
f x+
= 1
lim ( )x
f x = 1
f xx
x x
xx x
( )( )( )
=+
=+
2
2
2
2 1 2
lim
lim
x
x
x
x x a a a+
= =
+ + = + + =
3
3
2
6 63
2
9 3 3 6
267
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Com que els límits laterals coincideixen, podem afir-mar que el límit de la funció en x =3 existeix i val 5.
4.a)
b)
Multipliquem i dividim per
El límit queda
c)
d)
e)
f)
g)
5.Calculem els límits laterals:
limlimxx
x
xx
xx
x +=
()+ ()2
2
2
2
2
4
44
22
22
22
40
2
2
2
2
()=
=+
= limx
xx
=+
2
=+
()()=
()= limlim
xx
x
x
x
xx 12212
2
1
1
1
3
1
300=+
lim() x
x
xx+
=12
2
1
11
limx
xx
x
+===
3
300 31
1102
51
lim
lim
x
x
xxxx
xxxx
xx
+
+
++ ()=
=+++
+
22
22
2
2
2
2+++=
=+++
=
=
+
+
xx
x
xxxx x
x
2
222
lim
limxx
xxx
12
11
12
+++
=
=()
()++ ()=
++= limlim
xx
x
xxx 33
3
312
1
12
14
limx
xx
x
x
+++
++=
3
123
12
12
=
++
== limlimxx
x
xx
x 24 1
11
12
0
limx
x
xxx ++=
42
xxx42++
limx
xxx + ()42
limx
xx
x +
++
+==
32
5125
0
21
Igualem els límits i trobem a =8.
6.a)
•A.V.: El denominador de la funció s’anul·la per ax1=1 i x2 =2. Per a aquests valors de x tenim duesasímptotes verticals.
•A.H.: Calculem els límits
La recta x =1 és una asímptota horitzontal de la funció.
•A.O.: Com que la funció presenta A.H., no té asímp-totes obliqües.
b)
•A.V.: El denominador s’anul·la per a x =1, de ma-nera que tindrem una asímptota vertical en x =1.
•A.H.: No té asímptotes horitzontals, ja que:
•A.O.:
La recta y =x 1 és una asímptota obliqua.
c)
•A.V.: El denominador s’anul·la per a x1 =1 i x2 =1,de manera que tindrem les asímptotes verticals enaquests valors de x.
•A.H.: Com que el numerador i el denominador te-nen el mateix grau, calculem el límit de la funcióquan x tendeix a infinit i ens donarà l’equació de larecta que és asímptota horitzontal.
La recta y =1 és una asímptota horitzontal.
•A.O.: Com que x presenta una A.H., no té asímptotaobliqua.
lim()x
fx±
=1
fxx
x()=
+2
2
1
1
bfxmxx
x xx=()=
+
+= lim()lim
11
1
mfx
x x== lim
()1
lim()x
fx±
=±
fxxx
()=+
+
231
lim()x
fx+
=1
lim()x
fx=1
fxx
xx
xxx
()()()
=+
=+
2
2
2
212
lim
lim
x
x
x
xxaaa +
==
++=++=
3
3
2
663
2
9336
C M
Y K
Perquè aquest límit sigui , ha de ser a b =0,
ja que, si no, el límit seria infinit.
Per tant, a =b, i perquè el límit sigui exactament
Resolem la indeterminació dividint el numerador i eldenominador per x:
Si imposem que aquest límit sigui
Per tant, els paràmetres han de ser a =b =2 perquè escompleixi l’enunciat.
8.•Asímptotes verticals:
Com que la funció és racional, les asímptotes verti-cals es troben entre els zeros del denominador:
x41 =0 x4=1 x =±1
Calculem els límits laterals en x =1 i x =+1, candi-dats a asímptotes verticals:
És asímptota vertical per totes dues bandes.
És asímptota vertical per totes dues bandes.
lim
lim
x
x
xx
xxx
x+
+==+
+
1
52
4
1
52
25
1
20
2544
1
20
1
=+
=
= x
lim
lim
x
x
xx
xxx
+
+=
+=
+
1
52
4
1
52
25
1
40
255
1
40
1
4x
x
==+
=
===12
222
aaa
22
:
=+++
==2
00
2
2
1
aaaa
=
+++
=+
limx
ax
ax
2
13
=
+++
=+
limx
xx
ax
x
x
x
ax
x
x
x
2
32
22
2
22
limx
x
axxaxx+
+++=
2
322
=+++
=+
limx
x
axxaxx
2
322
lim()
x
aaxx
axxaxx+
+++=
2
22
2
3
22
:
22
�, d)
•A.V.: El denominador s’anul·la per a x=1, per tant fpresenta una asímptota vertical en aquest valor de x.
•A.H.: f no té asímptotes horitzontals, ja que:
•A.O.:
La recta és una asímptota obliqua.
7.Calculem el límit en funció de a i b:
Per resoldre la indeterminació, multipliquem i dividimpel conjugat de l’expressió:
Per eliminar la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:
=+++
=abab 0
00000
=
+++
=+
limx
abx
a
xx
b
xx
2
132323
=
++++
lim
()
x
abx
x
x
x
ax
x
x
x
bx
x
x
x
2
22
2
44
2
44
2
3==
lim()
x
abxx
axxbxx+
+++=
2
22
2
3
=+++
=+
lim()
x
abxx
axxbxx
2
22
2
3
=++
+++=
+lim
()()x
axxbxx
axxbxx
22
22
3
3
=++ ()+++ ()
+++
limx
axxbxxaxxbxx
axx
2222
2
33
bbxx2
3 +=
limx
axxbxx+
++ ()=22
3
=++=++
limlimxx
axxbxx22
3
=++=++
limlimxx
axxbxx22
3
yx =+34
32
mfx
x
x
xxx
b
xx==
+=
=
±±lim
()lim
l
3
484
34
3
32
iim(())limxx
fxmxxx
xx ±±=
+
2412
1632
2
2116
32
=
lim()x
fx±
=±
fxx
x()
()=
3
22
3
2
Propostes d’avaluació
268
Perquè aquest límit sigui , ha de ser a b = 0,
ja que, si no, el límit seria infinit.
Per tant, a = b, i perquè el límit sigui exactament
Resolem la indeterminació dividint el numerador i eldenominador per x:
Si imposem que aquest límit sigui
Per tant, els paràmetres han de ser a = b = 2 perquè escompleixi l’enunciat.
8. • Asímptotes verticals:
Com que la funció és racional, les asímptotes verti-cals es troben entre els zeros del denominador:
x4 1 = 0 x4 = 1 x = ±1
Calculem els límits laterals en x = 1 i x = +1, candi-dats a asímptotes verticals:
És asímptota vertical per totes dues bandes.
És asímptota vertical per totes dues bandes.
lim
lim
x
x
x x
xx x
x+
+= = +
+
1
5 2
4
1
5 2
2 5
1
20
2 544 1
20
1
=+
=
=x
lim
lim
x
x
x x
xx x
+
+=
+=
+
1
5 2
4
1
5 2
2 5
1
40
2 55
1
40
1
4x
x
= = +
=
= = =1 2
22 2
aa a
22
:
=+ + +
= =2
0 0
2
2
1
a a a a
=
+ + +
=+
limx
ax
ax
2
1 3
=
+ + +
=+
limx
xx
a x
x
x
x
a x
x
x
x
2
32
2 2
2
2 2
limx
x
a x x a x x+ + + +=
2
32 2
=+ + +
=+
limx
x
a x x a x x
2
32 2
lim( )
x
a a x x
a x x a x x+ + + +=
2
2 2
2
3
22
:
22
�,d)
• A.V.: El denominador s’anul·la per a x= 1, per tant fpresenta una asímptota vertical en aquest valor de x.
• A.H.: f no té asímptotes horitzontals, ja que:
• A.O.:
La recta és una asímptota obliqua.
7. Calculem el límit en funció de a i b:
Per resoldre la indeterminació, multipliquem i dividimpel conjugat de l’expressió:
Per eliminar la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:
=+ + +
=a b a b0
0 0 0 0 0
=
+ + +
=+
limx
a bx
a
x x
b
x x
2
1 32 3 2 3
=
+ + ++
lim
( )
x
a b x
x
x
x
a x
x
x
x
b x
x
x
x
2
2 2
2
4 4
2
4 4
2
3==
lim( )
x
a b x x
a x x b x x+ + + +=
2
2 2
2
3
=+ + +
=+
lim( )
x
a b x x
a x x b x x
2
2 2
2
3
=+ +
+ + +=
+lim
( ) ( )x
a x x b x x
a x x b x x
2 2
2 2
3
3
=+ +( ) + + +( )
+ ++lim
x
a x x b x x a x x b x x
a x x
2 2 2 2
2
3 3
bb x x2 3+=
limx
a x x b x x+
+ +( ) =2 2 3
= + + =+ +
lim limx x
a x x b x x2 2 3
= + + =+ +
lim limx x
a x x b x x2 2 3
y x= +34
32
mf x
x
x
x x x
b
x x= =
+=
=
± ±lim
( )lim
l
3
4 8 4
34
3
3 2
iim ( ( ) ) limx x
f x m xx x
x x± ±=
+
24 12
16 32
2
2 116
32
=
lim ( )x
f x±
= ±
f xx
x( )
( )=
3
2 2
3
2
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
268
CM
YK
269
Propostes d’avaluació
• Asímptotes horitzontals:
f (x) no té asímptotes horitzontals.
• Asímptotes obliqües:
La recta y = x és una asímptota obliqua de f per totesdues bandes.
9. • A.V.: El denominador s’anul·la per a x = 1. Alesho-res, la funció té per asímptota vertical la recta x = 1.
=
+
=+
=±
limx
x x x
x
2 1 5
11
0 0 01 0
02 3 4
4
=
+
=±
limx
x
x
x
x x
x
x x
2 5
1
2
4 4 4
4
4 4
=+
=±
limx
x x
x
2 5
1
2
4
=+ +
=±
limx
x x x x
x
5 2 5
4
2 5
1
b f x mxx x
xx
x x= =
+
± ±lim ( ( ) ) lim
5 2
4
2 5
1=
=
+
=+
=±
limx
x x
x
12 5
11
1 0 01 0
13 5
4
=
+
=±
limx
x
x
x
x x
x
x
x
x
5
5
2
5 5
5
5 5
2 5
mf x
x
x x
x xx x= =
+=
± ±lim
( )lim
5 2
5
2 5
=+
= =1 0 0
0 010
=
+
=±
limx
x x
x x
12 5
1 1
3 5
5
=
+
=±
limx
x
x
x
x x
x
x x
5
5
2
5 5
4
5 5
2 5
1
limx
x x
x±
+=
5 2
4
2 5
1
• A.H.: La funció no té asímptota horitzontal, jaque
• A.O.:
Per tant, y = x 3 és una asímptota obliqua per la dre-ta i per l’esquerra.
10. El càlcul d’aquests límits no es pot fer utilitzant la re-gla de L’Hôpital, ja que la derivada de la funció ex-ponencial és ella mateixa. La manera de calcular-losconsisteix a dividir el numerador i el denominador pelfactor adequat (el factor que fa que el coeficient si-
gui una indeterminació del tipus ).
a)
b)
11. a) • A.V.:
Els valors de x que anul·len el denominador sónx = 5 i x = 5. Calculem els límits de la funció quanx tendeix a aquests nombres:
Tenim dues asímptotes verticals representades perles rectes x = 5 i x = 5.
• A.H.:
: per tant, tenim una asímptota ho-
ritzontal representada per la recta y = 3.
• A.O.: No té asímptotes obliqües.
b) • A.V.:
Descomponem en factors els polinomis numeradori denominador de la funció i ens queda:
limx
x
x±=
3
253
2
2
lim ; limx x
x
x
x
x= =
5
2
2 5
2
2
3
25
3
25
x
x
x
e
e=
+=lim
2
2
1
1
0+
=1
0 11
=+
=lim( )( )
lim limx x
x x
x x
f xg x
e e
e e xx
x x
x
x x
x
e e
ee e
e
+=
e
ex
x
x=
+=
+
+lim
1
1
1 01
2
2 001=
lim( )( )
lim limx x
x x
x x x
f xg x
e e
e e+ + +=
+=
ee e
ee e
e
x x
x
x x
x
+=
mf x
x
x x
x x
b
x x
x
= =+
=
=
± ±lim
( )lim
lim
2
2
4 11
±± ±=
+=( ( ) ) limf x x
x
xx
3 1
13
lim ( )x
f x±
= ±
269
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
•Asímptotes horitzontals:
f (x) no té asímptotes horitzontals.
•Asímptotes obliqües:
La recta y =x és una asímptota obliqua de f per totesdues bandes.
9.•A.V.: El denominador s’anul·la per a x =1. Alesho-res, la funció té per asímptotavertical la recta x =1.
=
+
=+
=±
limx
xxx
x
215
11
00010
0234
4
=
+
=±
limx
x
x
x
xx
x
xx
25
1
2
444
4
44
=+
=±
limx
xx
x
25
1
2
4
=++
=±
limx
xxxx
x
525
4
25
1
bfxmxxx
xx
xx==
+
±±lim(())lim
52
4
25
1=
=
+
=+
=±
limx
xx
x
125
11
10010
135
4
=
+
=±
limx
x
x
x
xx
x
x
x
x
5
5
2
55
5
55
25
mfx
x
xx
xx xx==
+=
±±lim
()lim
52
5
25
=+
==100
0010
=
+
=±
limx
xx
xx
125
11
35
5
=
+
=±
limx
x
x
x
xx
x
xx
5
5
2
55
4
55
25
1
limx
xx
x ±
+=
52
4
25
1
•A.H.: La funció no té asímptota horitzontal, jaque
•A.O.:
Per tant, y =x 3 és una asímptota obliqua per la dre-ta i per l’esquerra.
10.El càlcul d’aquests límits no es pot fer utilitzant la re-gla de L’Hôpital, ja que la derivada de la funció ex-ponencial és ella mateixa. La manera de calcular-losconsisteix a dividir el numerador i el denominador pelfactor adequat (el factor que fa que el coeficient si-
gui una indeterminació del tipus).
a)
b)
11.a)•A.V.:
Els valors de x que anul·len el denominador sónx =5 i x =5. Calculem els límits de la funció quanx tendeix a aquests nombres:
Tenim dues asímptotes verticals representades perles rectes x =5 i x =5.
•A.H.:
: per tant, tenim una asímptota ho-
ritzontal representada per la recta y =3.
•A.O.: No té asímptotes obliqües.
b)•A.V.:
Descomponem en factors els polinomis numeradori denominador de la funció i ens queda:
limx
x
x ±=
3
253
2
2
lim;limxx
x
x
x
x==
5
2
25
2
2
3
25
3
25
x
x
x
e
e=
+= lim
2
2
1
1
0+
=1
011
=+
= lim()()
limlimxx
xx
xx
fxgx
ee
eexx
xx
x
xx
x
ee
eee
e
+=
e
e x
x
x =+
=+
+lim
1
1
101
2
2001 =
lim()()
limlimxx
xx
xxx
fxgx
ee
ee +++=
+=
eee
eee
e
xx
x
xx
x
+=
mfx
x
xx
xx
b
xx
x
==+
=
=
±±lim
()lim
lim
2
2
411
±±±=
+= (())lim fxx
x
x x
31
13
lim()x
fx±
=±
C M
Y K
270
Propostes d’avaluació
El denominador s’anul·la quan x =0; x =1 i x =3.Calculem els límits de la funció quan x tendeix aaquests nombres:
Per tant, l’única asímptota vertical està represen-tada per la recta x =3.
•A.H.:
per tant, tenim una asímptota horitzontal repre-sentada per la recta y =1.
•A.O.: No té asímptotes obliqües.
c)•A.V.: El valor de x que anul·la el denominador és
. Calculem el límit de la funció en aquest
punt.
Per tant, és una asímptota vertical.
•A.H.:
No té asímptotes horitzontals.
•A.O.:
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és
. yx =12
13
bx
xx
x
x xx=
+=
+limlim
36
6412
26
64
2
===2
61
3
m
xx
x
x
xx xx=
+=
+limlim
366436
64
2
2
2
==== limx
x
x
3
6
36
12
2
2
limlimxx
x
xxx +
==36
6436
22
x=23
limx
x
x+=
23
2
2
36
64
323
6
623
22
4
43
6
0+
==
x=23
limlimxx
xxx
xxxxx
±±
+
+=
+ 32
32
2 2
43
112
1443
1
2 xx+
=,
lim();lim();lim(xxx
gxgxg ==013
23
32
xx)=
gxxxx
xxx
xxx
xxx()
()()
()(=
+
+=
+32
32
2
43
12
133)
d)•A.V.: No té asímptotes verticals.
•A.H.:
No té asímptotes horitzontals.
•A.O.:
Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’es-querra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’o-rigen de l’equació de l’asímptota obliqua:
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’es-querra és y =6x 3
12.De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals escorresponen amb x =8 i x =2.
L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y =6
Per tal de determinar l’equació de l’asímptota obliquaper la dreta, necessitem dos punts de la recta. Consi-derem (2,2) i (6,5).
El vector director de la recta serà:
El seu pendent és
L’equació de l’asímptota obliqua és
En què b la trobem en imposar que passi pel punt (2, 2):
UNITAT 9. CONTINUÏTAT
1.a)fxx
xx
xx
x
xx
()()()
()=
+=
+=
=+
2
22
1
21
11
1
11
yx =+34
12
yxb =+34
m=34
v�== (,)(,)(,) 652243
bxxxxx
x
x
x=++ ()== lim()lim() 4636433
mxx
x
mxx
x
x
x
x
=++ ()=+
=++ (
+lim
lim
463
463))=
=+ ()=
x
xx
x x
x
lim466
1
lim
lim
x
x
x
x
xx
xx
+
+
++ ()=+
++ ()=
463
463
270
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
El denominador s’anul·la quan x = 0; x = 1 i x = 3.Calculem els límits de la funció quan x tendeix aaquests nombres:
Per tant, l’única asímptota vertical està represen-tada per la recta x = 3.
• A.H.:
per tant, tenim una asímptota horitzontal repre-sentada per la recta y = 1.
• A.O.: No té asímptotes obliqües.
c) • A.V.: El valor de x que anul·la el denominador és
. Calculem el límit de la funció en aquest
punt.
Per tant, és una asímptota vertical.
• A.H.:
No té asímptotes horitzontals.
• A.O.:
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és
.y x=12
13
bx
xx
x
xx x=
+=
+lim lim
3 6
6 412
2 6
6 4
2
== =2
61
3
m
xx
x
x
x xx x=
+=
+lim lim
3 66 4 3 6
6 4
2
2
2
== = =limx
x
x
3
6
36
12
2
2
lim limx x
x
xxx+
= =3 6
6 436
2 2
x =23
limx
x
x +=
23
2
2
3 6
6 4
323
6
623
22
4
43
6
0+
= =
x =23
lim limx x
x x x
x x xx x
± ±
+
+=
+3 2
3 2
22
4 3
11 2
144 3
1
2x x+
= ,
lim ( ) ; lim ( ) ; lim (x x x
g x g x g= =0 1 3
23
32
xx) =
g xx x x
x x x
x x x
x x x( )
( )( )
( )(=
+
+=
+3 2
3 2
2
4 3
1 2
1 33)
d) • A.V.: No té asímptotes verticals.
• A.H.:
No té asímptotes horitzontals.
• A.O.:
Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’es-querra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’o-rigen de l’equació de l’asímptota obliqua:
Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’es-querra és y = 6x 3
12. De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals escorresponen amb x = 8 i x = 2.
L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y = 6
Per tal de determinar l’equació de l’asímptota obliquaper la dreta, necessitem dos punts de la recta. Consi-derem (2,2) i (6,5).
El vector director de la recta serà:
El seu pendent és
L’equació de l’asímptota obliqua és
En què b la trobem en imposar que passi pel punt (2, 2):
UNITAT 9. CONTINUÏTAT
1. a) f xx
x x
x x
x
xx
( )( )( )
( )=
+=
+=
=+
2
2 2
1
2 1
1 1
1
11
y x= +34
12
y x b= +34
m =34
v�= =( , ) ( , ) ( , )6 5 2 2 4 3
b x x x xx
x
x
x= + +( ) = =lim ( ) lim ( )4 6 3 6 4 3 3
mx x
x
mx x
x
x
x
x
=+ +( )
= +
=+ +(
+lim
lim
4 6 3
4 6 3))=
=+( )
=
x
x x
xx
x
lim4 6 6
1
lim
lim
x
x
x
x
x x
x x
+
+
+ +( ) = +
+ +( ) =
4 6 3
4 6 3
CM
YK
271
Propostes d’avaluació
Com que els límits laterals són diferents, la funcióés discontínua en x = 1, i presenta una disconti-nuïtat no evitable de salt infinit.
b)
La funció és discontínua en x = 1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.
c)
La funció és discontínua en x = 1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.
d)
La funció és discontínua en x = 1 i x =0, i presen-ta una discontinuïtat no evitable de salt finit en totsdos casos.
e)
La funció és discontínua en x = 3 i x = 0, ipresenta una discontinuïtat no evitable de salt in-finit.
lim ( )x
f x++
= = +3
3
0
lim ( )x
f x = =3
3
0
f xx x x
( ) = =+
33
18
9
332
lim ( ) lim ( )
lim ( )x x
x
f x f x
f x
+= =
=
1 1
0
1 2
=+
3 30
lim ( )x
f x
f x
x
x
x
si x
six( ) =
+
6
52 4
3 3
1
2
1 0
0
x
si x
lim ( )x
f x++
= = +3
3
0
lim ( )x
f x = =1
2
0
f xx x
x x
x xx x
x
( )( )( )( )( )
=+
=+
+=
=+
2
2
6
2
2 32 1
3xx + 1
lim ( )x
f x++
= = +1
1
0
lim ( )x
f x+
= = +1
1
0
f xx x x
( )( )
=+ +
=+
1
2 1
1
12 2
lim ( )x
x++
= = +1
2
0f
lim ( )x
x = =1
2
0f
f)
La funció és contínua en x = 0 i discontínua en x = 1 on presenta una discontinuïtat no evitablede salt infinit.
g)
La funció és discontínua en x = 1 i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt finit.
2. Calcularem els límits laterals i els igualarem. De l’e-quació que en resulti, aïllarem k.
a)
b)
c)
3. Calcularem els límits laterals en els punts crítics i elsigualem per tal de trobar el valor dels paràmetres.
a)
b) lim ( )
lim ( )x
x
f x
f x m n+
=
= + +=
1
1
1
21 2 ++ +m n
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f x nn
+
=
==
2
2
3
2 53 2 5 =n 4
lim ( )
lim ( )x
x
f x m
f xm m
+
=
==
0
01
1 == 1
lim ( )
lim ( )
x
x
f x
f x kk k
+
=
==
3
3
4
34 3 == 7
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f x kk k
+
=
== =
0
0
1
21 2
122
lim ( ) ( )
lim ( )x
x
f x k
f x k+
= +
=
+2
2
2 2
4
4 2 kk k
k
=
=
4
8
lim ( ) lim ( )x x
f x e f x+
= =1 1
0
f xe si x
x si x
x
( )ln
=>
1
1
lim ( ) ( )
lim ( )
lim
x
x
x
f x f
f x+
= =
= = ++
0
1
1
0 1
1
0
= =f x( )1
0
f xx
x x
xx x x
si x
si x( ) ( )= +
=+
=+
=
2 11
10
1 0
271
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Com que els límits laterals són diferents, la funcióés discontínua en x =1, i presenta una disconti-nuïtat no evitable de salt infinit.
b)
La funció és discontínua en x =1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.
c)
La funció és discontínua en x =1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.
d)
La funció és discontínua en x =1 i x =0, i presen-ta una discontinuïtat no evitable de salt finit en totsdos casos.
e)
La funció és discontínua en x =3 i x =0, ipresenta una discontinuïtat no evitable de salt in-finit.
lim()x
fx+ +==+3
3
0
lim()x
fx==3
3
0
fxxxx
()==+
33
18
9
33 2
lim()lim()
lim()xx
x
fxfx
fx
+ ==
=
11
0
12
= + 330
lim()x
fx
fx
x
x
x
six
six ()=
+
6
524
33
1
2
10
0
x
six
lim()x
fx+ +==+3
3
0
lim()x
fx==1
2
0
fxxx
xx
xxxx
x
()()()()()
=+
=+
+=
=+
2
2
6
2
2321
3xx+1
lim()x
fx+ +==+1
1
0
lim()x
fx+ ==+1
1
0
fxxxx
()()
=++
=+
1
21
1
122
lim()x
x+ +==+1
2
0f
lim()x
x==1
2
0f
f)
La funció és contínua en x =0 i discontínua en x =1 on presenta una discontinuïtat no evitablede salt infinit.
g)
La funció és discontínua en x =1 i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt finit.
2.Calcularem els límits laterals i els igualarem. De l’e-quació que en resulti, aïllarem k.
a)
b)
c)
3.Calcularem els límits laterals en els punts crítics i elsigualem per tal de trobar el valor dels paràmetres.
a)
b)lim()
lim()x
x
fx
fxmn +
=
=++=
1
1
1
212+++ mn
lim()
lim()x
x
fx
fxnn
+
=
==
2
2
3
25325= n4
lim()
lim()x
x
fxm
fxmm
+
=
==
0
01
1==1
lim()
lim()
x
x
fx
fxkkk
+
=
==
3
3
4
343==7
lim()
lim()x
x
fx
fxkkk
+
=
===
0
0
1
212
122
lim()()
lim()x
x
fxk
fxk +
=+
=
+ 2
2
22
4
42kkk
k
=
=
4
8
lim()lim()xx
fxefx + ==11
0
fxesix
xsix
x
()ln
=>
1
1
lim()()
lim()
lim
x
x
x
fxf
fx+
==
==+ +
0
1
1
01
1
0
== fx()1
0
fxx
xx
xxxx
six
six()() =+
=+
=+
=
211
10
10
C M
Y K
272
Propostes d’avaluació
Aquesta vegada no trobem valors concrets per als paràmetres, sinó que obtenim una condició m +n =3. Tots aquests valors de m i n que com-pleixin aquesta condició faran que la funció f(x)sigui contínua.
4.Perquè la discontinuïtat sigui evitable en x =2, s’ha decomplir:
•Que f(2) no existeixi.
•Que existeixi i sigui finit.
f(2) no existeix, ja que s’anul·la el denominador.
Perquè existeixi el límit quan x tendeix a 2, el polino-mi del numerador ha de ser divisible entrex 2; així,doncs, dividirem els polinomis de manera exacta.
En fer-ho, obtenim l’equació 7 4a =0; per tant,
a =.
5.A priori sembla que el teorema es contradiu, però unteorema es compleix dins d’un “marc”, és a dir,sotaunes condicions. Per poder aplicar el teorema de Bol-zano:
•La funció ha de ser contínua en l’interval tan-cat.
•La funció en els extrems de l’interval tancat pren va-lors amb signe oposat.
L’enunciat ens confirma la segona condició,però no ens diu res sobre la primera. Ara la compro-varem:
Com que els límits laterals no són iguals en un punt del’interval considerat, la funció és discontínua en aquestinterval.
Hem comprovat que no es compleix la primera con-dició; per tant, no podem aplicar el teorema i, en con-seqüència, aquest no es contradiu.
6.a)f(1) =1 +2 =1
f és contínua per l’esquerra en x0=1.
f no és contínua per la dreta en x0=1.
b)g(2) =E(2) +2 =2 +2 =4
g no és contínua per l’esquerra en x0=2.
=+=+== lim()()x
xg2
112342
lim()lim(())xx
gxExx =+=22
lim()lim()xx
fxf ++ ===11
3311
lim()lim()()xx
fxxf =+==11
211
lim()
lim()x
x
fx
fx +
=
=
2
2
2
3
74
lim()x
fx2
g és contínua per la dreta en x0=2.
c)
=0 =h(3)
f és contínua per l’esquerra en x0=3.
no es pot definir, ja que si x és major
que 3 però molt pròxima a aquest valor,
no es pot definir, ja que si x és menor
que 3 però molt pròxima a aquest valor,
h és contínua per la dreta en x0=3
7.a)Estudiem el domini de la funció:
Aquests són, per tant, els possibles punts de disconti-nuïtat.
Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitablesde salt infinit en x =5 i x =7.
b)Estudiem el domini de la funció: ,l’únic punt de discontinuïtat és x =0, o bé el punton s’uneixen els dos trossos que defineixen la fun-
ció. Estudiem el valor dels seus límits: x=1
Df()={} �0
lim()
()()(
x
xex
xx
e
+
+=
=+
52
5
1
215
155225))
lim()
(
==
+
+=
=+
1540
1
215
1
5
72
7
e
ex
xx
e
x
x
7772715
8
0
7)
()() +==
e
xxxix
Df
22150075
57
+===
={} (), �
=== 39032
h()
lim()limlim()xxx
hxxx +++ ===33
2
3
299
xhx2
90 <()
lim()x
hx3
xhx2
90 <()
lim()x
hx +3
=== lim()()x
x3
22939
lim()limxx
hxx ==33
29
hh ()();() ==== 3390339022
=+=+== + lim()()x
xg2
22242
lim()lim(())xx
gxExx ++ =+=22
272
Pro
post
es d
’ava
luac
ióAquesta vegada no trobem valors concrets per als paràmetres, sinó que obtenim una condició m + n = 3. Tots aquests valors de m i n que com-pleixin aquesta condició faran que la funció f(x)sigui contínua.
4. Perquè la discontinuïtat sigui evitable en x = 2, s’ha decomplir:
• Que f(2) no existeixi.
• Que existeixi i sigui finit.
f(2) no existeix, ja que s’anul·la el denominador.
Perquè existeixi el límit quan x tendeix a 2, el polino-mi del numerador ha de ser divisible entre x 2; així,doncs, dividirem els polinomis de manera exacta.
En fer-ho, obtenim l’equació 7 4a = 0; per tant,
a = .
5. A priori sembla que el teorema es contradiu, però unteorema es compleix dins d’un “marc”, és a dir, sotaunes condicions. Per poder aplicar el teorema de Bol-zano:
• La funció ha de ser contínua en l’interval tan-cat.
• La funció en els extrems de l’interval tancat pren va-lors amb signe oposat.
L’enunciat ens confirma la segona condició,però no ens diu res sobre la primera. Ara la compro-varem:
Com que els límits laterals no són iguals en un punt del’interval considerat, la funció és discontínua en aquestinterval.
Hem comprovat que no es compleix la primera con-dició; per tant, no podem aplicar el teorema i, en con-seqüència, aquest no es contradiu.
6. a) f( 1) = 1 + 2 = 1
f és contínua per l’esquerra en x0 = 1.
f no és contínua per la dreta en x0 = 1.
b) g(2) = E(2) + 2 = 2 + 2 = 4
g no és contínua per l’esquerra en x0 = 2.
= + = + = =lim ( ) ( )x
x g2
1 1 2 3 4 2
lim ( ) lim ( ( ) )x x
g x E x x= + =2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f+ +
= = =1 1
3 3 1 1
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x x f= + = =1 1
2 1 1
lim ( )
lim ( )x
x
f x
f x+
=
=
2
2
2
3
74
lim ( )x
f x2
g és contínua per la dreta en x0 = 2.
c)
= 0 = h( 3)
f és contínua per l’esquerra en x0 = 3.
no es pot definir, ja que si x és major
que 3 però molt pròxima a aquest valor,
no es pot definir, ja que si x és menor
que 3 però molt pròxima a aquest valor,
h és contínua per la dreta en x0 = 3
7. a) Estudiem el domini de la funció:
Aquests són, per tant, els possibles punts de disconti-nuïtat.
Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitablesde salt infinit en x = 5 i x = 7.
b) Estudiem el domini de la funció: ,l’únic punt de discontinuïtat és x = 0, o bé el punton s’uneixen els dos trossos que defineixen la fun-
ció . Estudiem el valor dels seus límits:x =1
D f( ) = { }� 0
lim( )
( )( ) (
x
xe x
x x
e
+
+=
=+
5 2
5
1
2 15
1 55 2 2 5))
lim( )
(
= =
+
+=
=+
1540
1
2 15
1
5
7 2
7
e
e x
x x
e
x
x
777 2 7 15
8
0
7)( ) ( )+
= =e
x x x i x
D f
2 2 15 0 0 7 5
5 7
+ = = =
= { }( ) ,�
= = =3 9 0 32 h( )
lim ( ) lim lim ( )x x x
h x x x+ + +
= = =3 3
2
3
29 9
x h x2 9 0< ( )
lim ( )x
h x3
x h x2 9 0< ( )
lim ( )x
h x+3
= = =lim ( ) ( )x
x3
2 29 3 9
lim ( ) limx x
h x x= =3 3
2 9
h h( ) ( ) ; ( )= = = =3 3 9 0 3 3 9 02 2
= + = + = =+
lim ( ) ( )x
x g2
2 2 2 4 2
lim ( ) lim ( ( ) )x x
g x E x x+ +
= + =2 2
CM
YK
273
Propostes d’avaluació
Això correspon a una discontinuïtat essencial de la fun-ció, per al valor x = 0.
Per tant, en presenta una discontinuïtat ine-
vitable de salt finit.
8. Vegem si es compleixen les hipòtesis del teorema delsvalors intermedis:
• f és contínua en :
— g(x) = tg x és contínua en
i, per tant, és contínua en . Així, tg2 x
és contínua en .
— h(x) = 1 és contínua en pel fet de ser una funció constant.
Així, f és contínua en pel fet de ser combinació
lineal de funcions contínues en .
• El valor d = 2 està comprès entre f(0) i :
f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 0 + 1 = 1
Així, .
Aleshores, pel teorema dels valors intermedis:
Per calcular aquest valor, hem d’intentar resoldre l’e-quació:
=, ( )c tal que f c04
2
1 0 24
4= < < =f f( )
f tg4
34
1 3 1 1 42= + = + =
f4
04
,
04
,
04
,
04
,
04
,
� �+2
k k,
04
,
x =1
lim ( )
lim cos
limx
x
x
f x
xcos
=
= =
1
1
11
111 0
+=( )x
lim ( ) lim cosx x
f xx
= =0 0
1
Així, el valor buscat és .
9. Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallin equi-val a buscar els punts on la funció F(x) té zeros,ja que
Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és unafunció polinòmica, són funcions contínues en tot elseu domini, en particular en els intervals que hem d’es-tudiar. Per tant, només hem de comprovar que els ex-trems dels intervals tinguin signes oposats:
Per tant, segons el teorema de Bolzano com a mínimhi ha un zero en cadascun dels intervals.
10. Com que:
• f (x) és contínua x �
• g (x) és contínua x �
• h (x) és contínua x � { 2, 2},
tenim que:
a) f + g és contínua x �
b) g h és contínua x � { 2, 2}
c) f h és contínua x � { 2, 2}
d) Considerant que la funció h s’anul·la per a
x = , la funció és contínua
x � { 2, 23
, 2}
UNITAT 10. DERIVADES
1.
El pendent de la recta secant és 5.
TVMf f
0 11 0
1 09 4
15,
( ) ( )[ ] = = =
gh
23
F f g( ) ( ) ( )
( ) ( )
= =
= +
2 2 2
2 2 2 22 1 3 (( ) ,
( )
( )
( )
( ) = >
= <
= >
=
2 10 5 0
1 1 0
1 2 0
2 6
F
F
F
f x g x f x g x F x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =0 0
c =6
= ± = ± =tg x x13
33 6
,x 04
f x tg x tg x( ) = + = =3 1 213
2 2
273
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Això correspon a una discontinuïtat essencial de la fun-ció, per al valor x =0.
Per tant, en presenta una discontinuïtat ine-
vitable de salt finit.
8.Vegem si es compleixen les hipòtesis del teorema delsvalors intermedis:
•f és contínua en :
—g(x) =tg x és contínua en
i, per tant, és contínua en . Així, tg2x
és contínua en .
—h(x) =1 és contínua en pel fet de ser una funció constant.
Així, f és contínua en pel fet de ser combinació
lineal de funcions contínues en .
•El valor d =2 està comprès entre f(0) i :
f(0) =3tg20 +1 =3 0 +1 =1
Així, .
Aleshores, pel teorema dels valors intermedis:
Per calcular aquest valor, hem d’intentar resoldre l’e-quació:
= ,() ctalquefc 04
2
1024
4 =<<= ff ()
ftg4
34
131142
=+=+=
f4
04
,
04
,
04
,
04
,
04
,
�� +2
kk,
04
,
x=1
lim()
limcos
lim x
x
x
fx
xcos
=
==
1
1
11
1110 += () x
lim()limcosxx
fxx
==00
1
Així, el valor buscat és .
9.Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallin equi-val a buscar els punts on la funció F(x) té zeros,ja que
Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és unafunció polinòmica, són funcions contínues en tot elseu domini, en particular en els intervals que hem d’es-tudiar. Per tant, només hem de comprovar que els ex-trems dels intervals tinguin signes oposats:
Per tant, segons el teorema de Bolzano com a mínimhi ha un zero en cadascun dels intervals.
10.Com que:
•f (x) és contínua x �
•g (x) és contínua x �
•h(x) és contínuax � {2, 2},
tenim que:
a)f +g és contínua x �
b)gh és contínuax � {2, 2}
c)fh és contínuax � {2, 2}
d)Considerant que la funció h s’anul·la per a
x =, la funció és contínua
x � {2, 23
, 2}
UNITAT 10. DERIVADES
1.
El pendent de la recta secant és 5.
TVMff
0110
1094
15 ,
()()[]===
gh
23
Ffg ()()()
()()
==
=+
222
2222213
((),
()
()
()
()=>
=<
=>
=
21050
110
120
26
F
F
F
fxgxfxgxFx ()()()()() === 00
c=6
=±=±= tgxx13
336
, x04
fxtgxtgx ()=+== 31213
22
C M
Y K
274
Propostes d’avaluació
2.L’equació de la recta tangent en x =2 és
yf(2) =f(2) (x 2 )
Calculem f(2) i f(2)•f(2) =2222 =0•f(x) =2x 2f(2) =2
L’equació de la recta tangent és, doncs:
y0 =2 (x 2)y=2 x 4
3.Calculem la derivada: f(x) =2x a.Calculem f(1) =2 a, i sabem que f(1) =2. Igua-lem i obtenim a =0
4.La recta y =4x té un pendent amb valor 4. Calcu-lem f(x) =4ax3 +2bx.Calculem f(1) i igualem el resultat a 4
f(1) =4a +2b =4
Sabem que la funció passa pel punt (1,1), de maneraque f(1) =1;
f(1) =a +b =1. Resolem el sistema format per les equa-cions que hem obtingut:
5.Podem veure que el punt crític de la funció és x =1.
Per veure si és contínua, calculem els límits laterals dela funció al voltant del punt crític.
Els límits laterals coincideixen amb el valor de la fun-ció en x =1; per tant, és contínua en x =1. Calculemla derivada:
Les derivades laterals no coincideixen, per tant la fun-ció no és derivable en x =1
6.Per tal d’estudiar la continuïtat, estudiem els límits la-terals en els punts críticsx =1 i x =0.
D’igualar els límits trobemque b =3 i a =.Calculem la derivada:
52
limx
x ++=0
2233
limx
axbb +=1
limx
axbab ++=+1
limx
xaa +=+1
22
=+
f() 11
= f() 12
=+
>fx
xsix
six()
221
11
limx
x++=1
12
limx
xx +=1
2212
424
134
ab
abaib
+=
+===
La funció no és derivable, ja que les derivades en elspunts crítics no coincideixen.
7.a)
b)
c)
d)
e)
8.a)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln f(x)=ln (x4x) =4x lnx
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f(x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
b)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f(x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
c)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln()lnsin
lnsin
fxx
xx
xx
x
==
=+++++
(ln())ln()ln(ln()()
xxxx x 22
222
1111((() 21
12
xx
x+
=++++
fxxxxx
xx
()(ln())ln(ln())() 2122 11
21
11
1
12+
=ln() x
111
1
1
2 22 fx
fxxxx
x()
()ln(ln())()ln()
=+++xx
21 +
ln()ln(ln())()ln(ln()) fxxxxx
=+=+212
111
=+=+ fxfxxxxx
()()(ln)(ln) 41414
14
441
fxfxx
x
xx
()()ln(ln) =+=+
= fxxxxx ()coscos(sin)sin(sin) 4222
=()+ ()+
fxxx
x
xx
x()
13
11
4
3212
232
44
11
4
2
2
()+ ()
()
xx
x
= fxx
xx()
34
4
2
3
=+
fxxx
xx()
()
31221
7
43
232
= fxxx ()3462
=
<
fx
six
six
xs
()
21
52
10
4iix 0
274
Pro
post
es d
’ava
luac
ió2. L’equació de la recta tangent en x = 2 és
y f (2) = f (2) (x 2 )
Calculem f (2) i f (2)• f (2) = 22 2 2 = 0• f (x) = 2 x 2 f (2) = 2
L’equació de la recta tangent és, doncs:
y 0 = 2 (x 2) y = 2 x 4
3. Calculem la derivada: f (x) = 2x a.Calculem f (1) = 2 a, i sabem que f (1) = 2. Igua-lem i obtenim a = 0
4. La recta y = 4x té un pendent amb valor 4. Calcu-lem f (x) = 4ax3 + 2bx.Calculem f (1) i igualem el resultat a 4
f (1) = 4a + 2b = 4
Sabem que la funció passa pel punt (1,1), de maneraque f(1) = 1;
f(1) = a + b = 1. Resolem el sistema format per les equa-cions que hem obtingut:
5. Podem veure que el punt crític de la funció és x = 1.
Per veure si és contínua, calculem els límits laterals dela funció al voltant del punt crític.
Els límits laterals coincideixen amb el valor de la fun-ció en x = 1; per tant, és contínua en x = 1. Calculemla derivada:
Les derivades laterals no coincideixen, per tant la fun-ció no és derivable en x = 1
6. Per tal d’estudiar la continuïtat, estudiem els límits la-terals en els punts crítics x = 1 i x = 0.
D’igualar els límits trobem que b = 3 i a = .Calculem la derivada:
52
limx
x+
+ =0
22 3 3
limx
ax b b+ =1
limx
ax b a b+
+ = +1
limx
x a a+ = +1
2 2
=+f ( )1 1
=f ( )1 2
=+
>f x
x si x
si x( )
2 2 1
1 1
limx
x+
+ =1
1 2
limx
x x+ =1
2 2 1 2
4 2 4
13 4
a b
a ba i b
+ =
+ == =
La funció no és derivable, ja que les derivades en elspunts crítics no coincideixen.
7. a)
b)
c)
d)
e)
8. a) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln f(x) = ln (x4x) = 4 x ln x
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f (x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
b) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f (x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
c) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:
ln ( ) lnsin
lnsin
f xx
xx
xx
x
= =
= ++ + + +
(ln( ))ln( ) ln(ln( ) ( )
xx x xx2 2
2 2 2
11 1 1 (( ( )2 1
12
x x
x +
= + + ++
f x x xx x
xx( ) (ln( )) ln(ln( ))
( )2 1 22
1 12 1
11
1
12 +=
ln( )x
11 1
1
1
222f x
f x x xx
x( )
( ) ln(ln( )) ( )ln( )
= + ++ xx2 1+
ln ( ) ln (ln( )) ( ) ln(ln( ))f x x x xx= + = +2 1 21 1 1
= + = +f x f x x x xx( ) ( ) (ln ) (ln )4 1 4 14
14
44 1
f xf x x
x
xx
( )( ) ln (ln )= + = +
=f x x x x x( ) cos cos (sin ) sin (sin )4 2 2 2
=( ) +( ) +
f xx x
x
x x
x( )
13
1 1
4
3 2 12
23 2
44
1 1
4
2
2
( ) +( )
( )
x x
x
=f xx
x x( )
3 4
4
2
3
=+
f xx x
x x( )
( )
3 12 21
7
4 3
2 3 2
=f x x x( ) 3 4 62
=
<
f x
si x
si x
x s
( )
2 1
52
1 0
4 ii x0
CM
YK
275
Propostes d’avaluació
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f (x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
9. a)
b)
c)
10. a)
b)
= (1 + x2) 1 1 (1 + x2) =
11. a) La funció f(x) = �x3 1� es pot expressar:
Com que en x = 1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 1) � (1, + )s’expressarà:
=<
>f x
x si x
x si x( )
3 1
3 1
2
2
=<
>
f xx si x
x si x( )
( )
( )
3
3
1 1
1 11
=<
f xx si x
x si x( )
( )3
3
1 1
1 1
=+
+ =+
1
10 2
2
12 2 2 2( )( )
( )xx
x
x
= =+
= + =f x f xx
x( ) ( ( )) (( ) )1
11
22 1
= =+
f x arc tg xx
( ) ( )1
1 2
= = =sin x x
sin x sin xx
2 2
2 221cos
cosec
= =(cos ) cos ( )x sin x x sin x
sin x2
= = =f x f xx
sin x( ) ( ( ))
cos
= ( ) = =f x sin xsin x
sin xx
sin x( ) ln( ) ( )
cos1
( )x x y y
x y x y y y yy x
3 2
2
4 0
3 4 4 2 04 3
+ =
+ + = =
22
2 2( )x y
( )x y x y
x y y y y
2 24 6 2 4 0
2 8 6 2 03
+ =
+ = =xxy1 4
( )x y x y y yxy
x
x
2 2
24 2 2 0
4+ = + = = =
= +f xx
xx
xxx
( )sin
lnsin
cossin
2
1
xx
x x x
xln
sin
sin cos
sin= +
1 1f x
f xx
xx
xx
x x
( )( ) ln
sinsin
sin cos= +
xx
xsin2=
Vegem si f és derivable en x = 1:
f (1 ) = 3 12 = 3 i f (1+) = 3 12 = 3
Com que no coincideixen, f (1) no existeix i, pertant, no és derivable en x = 1.
Així, l’expressió analítica de f és la donada ante-riorment.
A partir de l’expressió analítica de f podem cal-cular f (0):
f (0) = 3 0 = 0
El domini de f serà D(f) = � i el domini de f seràD(f ) = � {1}.
b) La funció g(x) = �x3� 1 es pot expressar:
Com que en x = 0 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 0) � (0, + )s’expressarà:
Vegem si g és derivable en x = 0:
g (0 ) = 0 = g (0+) g (0) = 0
Com que coincideixen, existeix g (x) i derivableen x = 0. Per tant, l’expressió analítica de g queresulta és:
A partir de l’expressió analítica de g podem cal-cular g (1):
g (1) = 3 12 = 3
El domini de g serà D(g) = � i el domini de g seràD(g ) = �.
c) La funció h(x) = �(x 1)3� es pot expressar:
Com que en x = 1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 1) � (1, + )és:
h xx si x
x si x( )
( )
( )=
<1 1
1 1
3
3
=<
g xx si x
x si x( )
3 0
3 0
2
2
=<
>g x
x si x
x si x( )
3 0
3 0
2
2
=<
>g x
x si x
x si x( )
( )
( )
3
3
1 0
1 0
g xx si x
x si x( ) =
<3
3
1 0
1 0
275
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Derivem als dos costats de la igualtat
Aïllem f(x) i substituïm f(x) per la seva expressió:
9.a)
b)
c)
10.a)
b)
=(1 +x2)11(1 +x2)=
11.a)La funció f(x) =�x31�es pot expressar:
Com que en x =1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 1) �(1, +)s’expressarà:
=<
>fx
xsix
xsix()
31
31
2
2
=<
>
fxxsix
xsix()
()
()
3
3
11
111
=<
fxxsix
xsix()
()3
3
11
11
=+
+=+
1
102
2
12222
()()
() xx
x
x
==+
=+= fxfxx
x ()(())(())1
11 2
21
==+
fxarctgxx
()()1
12
===sinxx
sinxsinxx
22
222 1 cos
cosec
==(cos)cos() xsinxxsinx
sinx2
=== fxfxx
sinx()(())
cos
=()== fxsinxsinx
sinxx
sinx()ln()()
cos 1
() xxyy
xyxyyyyyx
32
2
40
3442043
+=
++==
22
22() xy
() xyxy
xyyyy
2246240
286203
+=
+==xxy 14
() xyxyyyxy
x
x
22
24220
4+=+===
=+ fxx
xx
xxx
()sin
lnsin
cossin
2
1
xx
xxx
xln
sin
sincos
sin=+
11fx
fxx
xx
xx
xx
()()ln
sinsin
sincos=+
xx
x sin2=
Vegem si f és derivable en x =1:
f(1) =312=3 i f(1+) =3 12=3
Com que no coincideixen, f(1) no existeix i, pertant, no és derivable en x =1.
Així, l’expressió analítica de fés la donada ante-riorment.
A partir de l’expressió analítica de fpodem cal-cular f(0):
f(0) =30 =0
El domini de f serà D(f) =�i el domini de fseràD(f) =�{1}.
b)La funció g(x) =�x3�1 es pot expressar:
Com que en x =0 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 0) �(0, +)s’expressarà:
Vegem si g és derivable en x =0:
g(0) =0 =g(0+) g(0) =0
Com que coincideixen, existeix g(x) i derivableen x =0. Per tant, l’expressió analítica de gqueresulta és:
A partir de l’expressió analítica de gpodem cal-cular g(1):
g(1) =312=3
El domini de g serà D(g) =�i el domini de gseràD(g) =�.
c)La funció h(x) =�(x 1)3�es pot expressar:
Com que en x =1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 1) �(1, +)és:
hxxsix
xsix()
()
()=
< 11
11
3
3
=<
gxxsix
xsix()
30
30
2
2
=<
>gx
xsix
xsix()
30
30
2
2
=<
>gx
xsix
xsix()
()
()
3
3
10
10
gxxsix
xsix()=
<3
3
10
10
C M
Y K
276
Propostes d’avaluació
Vegem si h és derivable en x =1:
h(1) =0 =h(1+) h(1) =0
Com que coincideixen, existeix h(1) i és deriva-ble en x =1. Per tant, l’expressió analítica de hés:
A partir de l’expressió analítica de hpodem cal-cular h(0):
h(0) =3 (0 1)2=31 =3
El domini de h serà D(h) =�i el domini de hseràD(h) =�.
12.a)Les gràfiques de les dues funcions seran tangentsen el punt d’abscisses x =3 quan en aquest puntcoincideixin les funcions i les funcions derivades,és a dir,
Aleshores,
b)L’equació de la recta tangent demanada es pot cons-truir a partir de qualsevol de les dues funcions, perexemple a partir de f(x).
13.a)En primer lloc es calcula la derivada de la
funció,.
Ara calculem f(0), que proporciona un pendentigual a 1.
b)Per veure si hi ha altres punts, amb pendent igual
a 1, hem de trobar quins valors de x compleixen
que, operant, es
transforma en l’equació de segon grau
2402
xx +=
=+
+= fx
xx
x()
()1
21
11
2
2
=+
+fx
xx
x()
()
2
2
21
1
y4 +==33 () x
Comque,,l’equacióés: ff ()() 3433 ==
93492
633
172
=+
=
==ab
aab ,
fgfg ()(),()() 3333 ==
=<
hxxsix
xsix()
()
()
311
311
2
2
=<
>hx
xsix
xsix()
()
()
311
311
2
2
=<
hxxsix
x()
()
()
11
1
3
3ssix>1
Les solucions són
14.Perquè la funció sigui contínua en el punt x =2, calque els límits laterals existeixin, coincideixin i siguiniguals al valor de la funció en el punt.
Per tant, la funció és contínua en
Per estudiar la derivabilitat, calculem les derivades la-terals en el punt 2.
La funció és derivable en el punt
Si resolem el sistema següent:
obtenim la solució
15.El pendent de la recta tangent ha de ser 1. Per tant, caligualar la derivada de la funció aaquest valor.
L’equació de la recta tangent és
UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
1.a)
En trobem un mínim.
b)
No hi ha cap valor real que compleixi aquesta igual-tat; per tant, la funció que ens ocupa no té extremsrelatius.
=+
=+
= fxx
xfx
x
x();()
2
2
2
2
10
10
13
23
,
f==13
23
=> fxMínim ()60
==== fxxfxxx ();(); 62062013
yx =+ 12 ln().
=+
==+= fxx
xxxx ()
2
11211 2
2
fxx ()ln() =+2
1
ab ==72
4 ,.
426
410
ab
ab
=
=
abab +=+= 4212410 si;x=2siinomés
=+=++
fxxbfb ()() 32122
=+=++
fxaxfa ()() 22242
abab +=+= 47132426 ,.x=2siinoméssi
lim()lim()
lim(xx
x
fxaxxa
f +
=++=+22
2
2
2347
xxxbxb
fbx
)lim()
()
=++=+
=+
+2
35132
2132
xx == 20 i.
276
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Vegem si h és derivable en x = 1:
h (1 ) = 0 = h (1+) h (1) = 0
Com que coincideixen, existeix h (1) i és deriva-ble en x = 1. Per tant, l’expressió analítica de h és:
A partir de l’expressió analítica de h podem cal-cular h (0):
h (0) = 3 (0 1)2 = 3 1 = 3
El domini de h serà D(h) = � i el domini de h seràD(h ) = �.
12. a) Les gràfiques de les dues funcions seran tangentsen el punt d’abscisses x = 3 quan en aquest puntcoincideixin les funcions i les funcions derivades,és a dir,
Aleshores,
b) L’equació de la recta tangent demanada es pot cons-truir a partir de qualsevol de les dues funcions, perexemple a partir de f(x).
13. a) En primer lloc es calcula la derivada de la
funció, .
Ara calculem f (0), que proporciona un pendentigual a 1.
b) Per veure si hi ha altres punts, amb pendent igual
a 1, hem de trobar quins valors de x compleixen
que, operant, es
transforma en l’equació de segon grau
2 4 02x x+ =
=+
+=f x
x x
x( )
( )1
2 1
11
2
2
=+
+f x
x x
x( )
( )
2
2
2 1
1
y 4+ == 3 3( )x
Com que , , l’equació és:f f( ) ( )3 4 3 3= =
9 3 492
6 33
172
= +
=
= =a b
aa b,
f g f g( ) ( ), ( ) ( )3 3 3 3= =
=<
h xx si x
x si x( )
( )
( )
3 1 1
3 1 1
2
2
=<
>h x
x si x
x si x( )
( )
( )
3 1 1
3 1 1
2
2
=<
h xx si x
x( )
( )
( )
1 1
1
3
3 ssi x > 1
Les solucions són
14. Perquè la funció sigui contínua en el punt x = 2, calque els límits laterals existeixin, coincideixin i siguiniguals al valor de la funció en el punt.
Per tant, la funció és contínua en
Per estudiar la derivabilitat, calculem les derivades la-terals en el punt 2.
La funció és derivable en el punt
Si resolem el sistema següent:
obtenim la solució
15. El pendent de la recta tangent ha de ser 1. Per tant, caligualar la derivada de la funció aaquest valor.
L’equació de la recta tangent és
UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
1. a)
En trobem un mínim.
b)
No hi ha cap valor real que compleixi aquesta igual-tat; per tant, la funció que ens ocupa no té extremsrelatius.
=+
=+
=f xx
xf x
x
x( ) ; ( )
2
2
2
2
10
10
13
23
,
f = =13
23
= >f x Mínim( ) 6 0
= = = =f x x f x x x( ) ; ( ) ;6 2 0 6 2 013
y x= +1 2ln( ).
=+
= = + =f xx
xx x x( )
2
11 2 1 1
22
f x x( ) ln( )= +2 1
a b= =72
4, .
4 2 6
4 10
a b
a b
=
=
a b a b+ = + =4 2 12 4 10si ;x = 2 si i només
= + = ++f x x b f b( ) ( )3 2 122
= + = ++f x ax f a( ) ( )2 2 2 4 2
a b a b+ = + =4 7 13 2 4 2 6, .x = 2 si i només si
lim ( ) lim ( )
lim (x x
x
f x a x x a
f+
= + + = +2 2
2
2
2 3 4 7
xx x b x b
f bx
) lim ( )
( )
= + + = +
= +
+2
3 5 13 2
2 13 2
x x= =2 0i .
CM
YK
277
Propostes d’avaluació
c)
Aquest punt no pertany al domini de la funció, pertant la funció no té extrems relatius.
2. Imposem les condicions que compleix un punt d’in-flexió i les de l’enunciat per tal de trobar els paràme-tres.
Resolem el sistema i trobem que a = 12; b = 24 ic = 38.
3. Imposem les condicions f (x) < 0 i f (x) > 0 per tal detrobar els intervals de creixement i decreixement.
a)
Els zeros de f són:
Els punts de discontinuïtat de f són aquells queanul·len el denominador:
x2 2 x = 0 x = 0; x = 2
Els intervals determinats pels zeros i els punts dediscontinuïtat són:
( , 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, + )
Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant la funció és estrictament creixent en ( , 0), (0, 1,451) i (3,215, + ), i decreixent en (1,451, 2) i (2, 3,215).
b)
Els zeros de f són: =x
xx
( )
2
40
2 2== 0
= =f xx
x
x( )
( )
1
4
2
42 2 2
x3 22
2 2
14 14
20
7 73
3 215
7 73
1 45
+=
=+
=
= =
x
x x
x
x( )
,
, 11
= =+
f xx
x x
x x
x x( )
( )
7 3
2
3 14 14
22
2
2 2
f a b c
f a b
f a
( )
( )
( )
= + + =
= + + =
= +
1 2 0
2 24 4 0
2 24 2 == 0
x ==2
3
= = =f xx
x xf x
x
x x( ) ; ( ) ;
3 4
2 40
3 4
2 40
2
3
2
2
Els punts de discontinuïtat de f són aquells queanul·len el denominador:
x2 4 = 0 x = 2; x = 2
Els intervals determinats pels zeros i els punts dediscontinuïtat són:
( , 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, + )
Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant f és estrictament creixent en ( , 2) i ( 2, 0), i estrictament decreixent en (0, 2) i (2, + ).
c)
La derivada de la funció serà positiva per a qual-sevol valor de x. De manera que la funció és crei-xent per a tots els reals.
d)
4. a)
, de manera que f(x) es còn-cava per a aquest interval.
, de manera que f(x) és con-vexa per a aquest interval.
b)
, de manera que f(x) és còn-cava per a aquest interval.
, de manera que f(x) ésconvexa per a aquest interval.
c) = = =f x x f x x x( ) ( ); ( ) ( ) ;6 3 6 3 0 3
En f x( , ) ( )+ >1 0
En f x( , ) ( ) <1 0
= + =
+ =
f x e x f x
e x x
x
x
( ) ( ); ( )
( ) ;
4 1 0
4 1 0
2
2 == 1
En f x( , ), ( )0 0+ >
En f x( , ) ( ) <1 0
= = = =f x x f x x x( ) ; ( ) ,6 0 6 0 0
En f x f x és creixent, , ( ) , ( ) .+( ) <3 3 0
En f x f x és creixent, , ( ) , ( ) .+( ) >3 3 3 3 0
En f x f x és decreixent( , ), ( ) , ( )<3 3 0 ..
+x x(2 6 62 ))
( );
20 3 3
2= = ±
xx
=+
=f xx x
xf x( )
( )
( ); ( )
2 6 6
20
2
2
=+
f xx
( )( )
5
1 2
x ( , 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, + )
f (x) + + +
f(x)
x ( , 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, + )
f (x) + +
f(x)
277
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
c)
Aquest punt no pertany al domini de la funció, pertant la funció no té extrems relatius.
2.Imposem les condicions que compleix un punt d’in-flexió i les de l’enunciat per tal de trobar els paràme-tres.
Resolem el sistema i trobem que a =12; b =24 ic =38.
3.Imposem les condicions f(x) <0 i f(x) >0 per tal detrobar els intervals de creixement i decreixement.
a)
Els zeros de fsón:
Els punts de discontinuïtat de f són aquells queanul·len el denominador:
x22x=0 x=0; x=2
Els intervals determinats pels zeros i els punts dediscontinuïtat són:
(, 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, +)
Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant la funció és estrictament creixent en (, 0), (0, 1,451) i (3,215, +), i decreixent en (1,451, 2) i (2, 3,215).
b)
Els zeros de fsón: =x
xx
()
2
40 22==0
== fxx
x
x()
()
1
4
2
4222
x 322
22
1414
20
773
3215
773
145
+=
=+
=
==
x
xx
x
x()
,
,11
==+
fxx
xx
xx
xx()
()
73
2
31414
22
2
22
fabc
fab
fa
()
()
()
=++=
=++=
=+
120
22440
2242==0
x==2
3
=== fxx
xxfx
x
xx();();
34
240
34
240
2
3
2
2
Els punts de discontinuïtat de f són aquells queanul·len el denominador:
x2 4 =0 x =2; x =2
Els intervals determinats pels zeros i els punts dediscontinuïtat són:
(, 2) (2, 0) (0, 2) (2, +)
Construïm la taula de monotonia de f:
Per tant f és estrictament creixent en (, 2) i (2, 0), i estrictament decreixent en (0, 2) i (2, +).
c)
La derivada de la funció serà positiva per a qual-sevol valor de x. De manera que la funció és crei-xent per a tots els reals.
d)
4.a)
, de manera que f(x) es còn-cava per a aquest interval.
, de manera que f(x) és con-vexa per a aquest interval.
b)
, de manera que f(x) és còn-cava per a aquest interval.
, de manera que f(x) ésconvexa per a aquest interval.
c)=== fxxfxxx ()();()(); 636303
Enfx (,)() +> 10
Enfx (,)()< 10
=+=
+=
fxexfx
exx
x
x
()();()
();
410
410
2
2==1
Enfx (,),() 00 +>
Enfx (,)()< 10
==== fxxfxxx ();(), 60600
Enfxfxéscreixent ,,(),(). + ()< 330
Enfxfxéscreixent ,,(),(). + ()> 33330
Enfxfxésdecreixent (,),(),() < 330..
+ xx (2662
))
();
2033 2==±
xx
=+
= fxxx
xfx ()
()
();()
266
20
2
2
=+
fxx
()()
5
12
x(, 0)(0, 1,451)(1,451, 2)(2, 3,215)(3,215, +)
f(x)+++
f(x)
x(, 2)(2, 0)(0, 2)(2, +)
f(x)++
f(x)
C M
Y K
278
Propostes d’avaluació
, de manera que la funció éscòncava per a aquest interval.
, de manera que la funció ésconvexa per a aquest interval.
5.DominiD(f) =�{ 1}
Punts de tall
Eix OX en x =0.
Eix OY en y =0.
Simetria i periodicitat
Ja que f(x)f(x) i f(x) f(x), f no és simètrica.Tampoc és periòdica.
Asímptotes
La recta x =1 és una asímptota vertical ja que:
La recta y =1 és una asímptota horitzontal per la dre-ta i l’esquerra ja que:
No té asímptotes obliqües, perquè presenta una asímp-tota horitzontal.
Intervals de monotonia i extrems relatius
Calculem la funció derivada .
Resolem l’equació f(x) =0 x =0
Considerem els intervals determinats per x =0 i els puntsde discontinuïtat de f:
Per tant f és estrictament decreixent en (, 0) i (1, +), i estrictament creixent en (0,1). En x =0, f té un mínim.
Intervals de curvatura
Calculem la funció derivada segona:
Resolem l’equacióf(x)=0:
Considerem els intervals determinats per i elspunts de discontinuïtat de f:
= x12
+== xx () 221012
=+
fxx
x()
()
()
221
14
= fxx
x()
()
2
13
lim();lim()xx
fxfx+
== 11
lim()x
fx=+1
Enfx (,)() 30 >
Enfx (,)()< 30
Així f és còncava en i convexa en
i (1, +). En té un punt d’inflexió,
Representació gràfica
6.Si anomenem x el costat del quadrat i y el radi del cer-cle, el perímetre és 4x +2y =2.Aïllem:
L’àrea, és a dir, la funció que s’ha de minimitzar és
. Substituint y per la seva expressió, te-nim:
Imposem la condició f(x) =0 i obtenim el valor
x =
Comprovem que correspon a un mínim:
. Per tant, f té un mínim
en .
Així doncs, la longitud del costat del quadrat és de
m i el radi del cercle de m.
7.Sigui el cilindre d’altura y, i base de radi x.El volum del cilindre és .
Aïllant.
La superfície del cilindre, és a dir, la funció que s’hade minimitzar és:
yx
=1
2
xy2
1 =
+
14 +
24
x=+
24
f+
=+
>2
424
0()
x=+
24
+
24
fxxx ()() =++1
4412
fxxy ()=+22
yx
=212
2
()
1
f(x) =(1 – x)
2
x2
Y
3X 579 –3 –5 –7
5
3
–1–11
=12
19
, PI
= x12
12
1, ,12
x(, 0)0(0, 1)1(1, +)
f0+�fm
x1(1, +)
f0+�+
fPI
12
1, 12
,12
�� �
278
Pro
post
es d
’ava
luac
ió, de manera que la funció és
còncava per a aquest interval.
, de manera que la funció ésconvexa per a aquest interval.
5. Domini D(f) = � { 1}
Punts de tall
Eix OX en x = 0.
Eix OY en y = 0.
Simetria i periodicitat
Ja que f( x) f(x) i f( x) f(x), f no és simètrica.Tampoc és periòdica.
Asímptotes
La recta x = 1 és una asímptota vertical ja que:
La recta y = 1 és una asímptota horitzontal per la dre-ta i l’esquerra ja que:
No té asímptotes obliqües, perquè presenta una asímp-tota horitzontal.
Intervals de monotonia i extrems relatius
Calculem la funció derivada .
Resolem l’equació f (x) = 0 x = 0
Considerem els intervals determinats per x = 0 i els puntsde discontinuïtat de f :
Per tant f és estrictament decreixent en ( , 0) i (1, + ), i estrictament creixent en (0,1). En x = 0, f té un mínim.
Intervals de curvatura
Calculem la funció derivada segona:
Resolem l’equació f (x) = 0:
Considerem els intervals determinats per i elspunts de discontinuïtat de f :
=x12
+ = =x x( )2 2 1 012
=+
f xx
x( )
( )
( )
2 2 1
1 4
=f xx
x( )
( )
2
1 3
lim ( ) ; lim ( )x x
f x f x+
= =1 1
lim ( )x
f x = +1
En f x( , ) ( )3 0>
En f x( , ) ( ) <3 0
Així f és còncava en i convexa en
i (1, + ). En té un punt d’inflexió,
Representació gràfica
6. Si anomenem x el costat del quadrat i y el radi del cer-cle, el perímetre és 4 x + 2 y = 2.Aïllem:
L’àrea, és a dir, la funció que s’ha de minimitzar és
. Substituint y per la seva expressió, te-nim:
Imposem la condició f (x) = 0 i obtenim el valor
x =
Comprovem que correspon a un mínim:
. Per tant, f té un mínim
en .
Així doncs, la longitud del costat del quadrat és de
m i el radi del cercle de m.
7. Sigui el cilindre d’altura y, i base de radi x.El volum del cilindre és .
Aïllant .
La superfície del cilindre, és a dir, la funció que s’hade minimitzar és:
yx
=1
2
x y2 1=
+
14+
24
x =+
24
f+
=+
>2
42 4
0( )
x =+
24
+
24
f x x x( ) ( )= + +1
4 4 12
f x x y( ) = +2 2
yx
=2 1 2
2
( )
1
f(x) =(1 – x)2
x2
Y
3 X5 7 9–3–5–7
5
3
–1–1 1
=12
19
,PI
=x12
12
1,,12
x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )
f 0 + �f m
x 1 (1, + )
f 0 + � +
f PI
12
1,12
,12
� ��
CM
YK
279
Propostes de’avaluació
Imposem S (x) = 0 i trobem el valor de x que ho com-
pleix: .
Substituïm aquest valor en la segona derivada
. En x0 tenim un mínim.
La base del cilindre té un radi de ,
i la seva altura és .
8. Anomenem x l’aresta de la base i y l’altura del prisma.La suma de la longitud de les arestes té l’expressió8 x + 4 y = 48; y = 12 2 x.
El volum que és la funció que s’ha de maximitzar tél’expressió V = x2y = x2(12 2 x).
V (x) = 6 x(4 x) = 0 x= 0 o x= 4.
Substituïm els dos valors en la segona derivada:
V (0) = 24 > 0. En x = 0 hi ha un mínim.
V (4) = 24 < 0. En x = 4 hi ha un màxim.
Així, el prisma de base quadrada i màxim volum té la longitud de les seves arestes igual a la seva altura (4 cm); és a dir, és un cub.
9. Anomenem x i y els nombres que busquem.
x + y = 20; y = 20 x.
L’expressió que s’ha de minimitzar és:
S(x)= x2 + y2; S(x) = x2 + (20 x)2
Trobem el valor de x que anul·la S (x) = 4(x 10); x= 10.
Substituïm aquest valor en S (x), S (10) = 4 > 0. Enx= 10 estem davant d’un mínim.
Els nombres que buscàvem són x = y = 10.
10. Fem un esquema gràfic del dipòsit.
Podem veure que la superfície de la base quadrada serà(2 r)2 i la superfície de la paret cilíndrica, 2 r h. Te-nint en compte les dades de cost, podem escriure:
2r
h
r
y =4
3
x =1
23
S x( )( )
= >2 2 1
02
x =1
23
S x x x y xx
( ) = + = +2 2 212 2 126 = V = r2 h h =
C = 70 (2 r)2 + 60 2 r h
Substituint h podem expressar el cost en funció d’unavariable:
C = 70 4 r2 + 60 2 r =
= 70 4 r2 + 60 2
Derivant i igualant a zero deduirem el valor òptim der:
La derivada segona de C tindrà dos termes positius ensubstituir la r per 3; per tant, C (3) > 0. Això ens garanteix que en r = 3 hi ha un mínim de C. En con-seqüència, les dimensions més econòmiques seran
r = 3 m y h = m.
11. Si f passa pel punt (0, 1):
1 = f(0) = 0 0 + 0 + c c = 1
El pendent de la recta 18 x 2 y + 1 = 0, paral·lela
a la tangent a f en (0, 1), és m = = 9.
La funció derivada de f és:
f (x) = 3 ax2 12 x + b
Per tant:
9 = f (0) = 0 0 + b b = 9
La derivada segona de f és f (x) = 6 a x 12.
Si en x = 2 hi ha un punt d’inflexió, la derivada sego-na en x = 2 s’ha d’anul·lar:
0 = f (2) = 6 a 2 12 a = = 1 a = 1
L’expressió analítica de f serà:
f(x) = x3 6 x2 + 9 x + 1
La funció derivada de f serà:
f (x) = 3 x2 12 x + 9
1212
182
14
=
= =
=
C rr
C rr
r
70 8 60 2126
0 70 8 60 2126
2
2
3 660 2126
70 8
60 2126
70 83
126
3
14
3
2
= =
= =
r
h
126r
1262r
1262r
279
Pro
post
es d
e’av
alua
ció
Imposem S(x) =0 i trobem el valor de x que ho com-
pleix:.
Substituïm aquest valor en la segona derivada
. En x0tenim un mínim.
La base del cilindre té un radi de,
i la seva altura és.
8.Anomenem x l’aresta de la base i y l’altura del prisma.La suma de la longitud de les arestes té l’expressió8x +4y =48; y =12 2x.
El volum que és la funció que s’ha de maximitzar tél’expressió V =x2y =x2(12 2x).
V(x) =6x(4 x) =0 x=0 o x=4.
Substituïm els dos valors en la segona derivada:
V(0) =24 >0. En x =0 hi ha un mínim.
V(4) =24 <0. En x =4 hi ha un màxim.
Així, el prisma de base quadrada i màxim volum té la longitud de les seves arestes igual a la seva altura (4 cm);és a dir, és un cub.
9.Anomenem x i y els nombres que busquem.
x +y =20; y =20 x.
L’expressió que s’ha de minimitzar és:
S(x)=x2+y2; S(x) =x2 +(20 x)2
Trobem el valor de x que anul·la S(x) =4(x 10); x=10.
Substituïm aquest valor en S(x), S(10) =4 >0. Enx=10 estem davant d’un mínim.
Els nombres que buscàvem són x =y =10.
10.Fem un esquema gràfic del dipòsit.
Podem veure que la superfície de la base quadrada serà(2r)2i la superfície de la paret cilíndrica, 2r h. Te-nint en compteles dades de cost, podem escriure:
2r
h
r
y=4 3
x=1
2 3
Sx()()
=>221
02
x=1
2 3
Sxxxyxx
()=+=+ 2221 22126 =V =r2h h =
C =70 (2r)2+60 2r h
Substituint h podem expressar el cost en funció d’unavariable:
C =70 4 r2+60 2r =
=70 4 r2+60 2
Derivant i igualant a zero deduirem el valor òptimder:
La derivada segona de C tindrà dos termes positius ensubstituir la r per 3; per tant,C(3) >0. Això ens garanteix que enr =3 hi ha un mínimde C. En con-seqüència, les dimensions més econòmiques seran
r =3 m y h =m.
11.Si f passa pel punt (0, 1):
1 =f(0) =0 0 +0 +c c =1
El pendent de la recta18 x 2 y +1 =0, paral·lela
a la tangent a f en (0, 1), és m ==9.
La funció derivada de f és:
f(x) =3 ax212 x +b
Per tant:
9 =f(0) =0 0 +b b =9
La derivada segona def és f(x) =6a x 12.
Si en x =2 hi ha un punt d’inflexió, la derivada sego-na enx =2 s’ha d’anul·lar:
0 =f(2) =6a 2 12 a ==1 a =1
L’expressió analítica de f serà:
f(x) =x36 x2+9 x +1
La funció derivada de f serà:
f(x) =3 x212 x +9
1212
182
14
=
==
=
Crr
Crr
r
708602126
0708602126
2
2
36602
126708
602126
7083
126
3
14
3
2
==
==
r
h
126r
1262
r
1262
r
C M
Y K
280
Propostes d’avaluació
En els extrems relatius, la primera derivada s’anul·la.Haurem de buscar, per tant, els valors dex que anul·lenla primera derivada:
0 =3 x212 x +9
La derivada segonade f és f(x) =6 x 12. Substituintper3 i 1 en f(x), determinarem si hi ha màxim rela-tiu, mínim relatiu o punt d’inflexió.
f(1) =6 12 =6 <0
hi ha un màxim relatiu en x =1
f(3) =18 12 =6 >0
hi ha un mínim relatiu enx =3
12.a)El domini de la funció és tot�.
Com que no té solució, la funció no ta-lla l’eix horitzontal.
Com que , la funció talla l’eix vertical en elpunt (0,1).
b)La derivada és:
La derivada només s’anul·la per a x =1. Per a qual-sevol valor de x inferior a 1 la derivada és positiva ien qualsevol superior és negativa; per tant, la funciócreix eni decreix en . Per tant, elpunt és un màxim relatiu.
c)•A.V.: No té asímptotes verticals
•A.H.:
Per tant, y=0 és
una asímptota horitzontal en tots dos costats.
•A.O.: No té asímptotes obliqües.
d) La representació gràfica és
f(x) = e–x2 + 2x
X
Y
0,5
1
–1123 –0,5
2
3
–1,5
–0,5
0,5
1,5
2,5
1,52,5
limlimx
xx
x
xxee
++==
2222
0
(,) 1e(,) 1+ (,)1
=+=++
fxexexxxxx
()()()22
222221
f()01 =
exx
=2
20
x=±
=±
=1212108
6126
6
3
1
2
13.Siguinx i y els catets del triangle. Segons Pitàgores, sa-bem que x2+y2=102.Aïllem el valor de la variabley en funció de la x:
El perímetre del triangle és:
Per trobar el màxim d’aquest valor, calculem la deri-vada del perímetre respecte dex.
Igualem aquesta expressió a zero i calculem el valor dela variable x:
El valor negatiu no té sentit en aquest problema. Aixídoncs, ens quedarem amb
Aleshores,
Per tal de fer la comprovació demanada, podem bus-car el signe de la derivada segona de la funcióP(x) enel punt
Que la segona derivada sigui negativa ens diu que elpuntcorrespon a un màxim.
La comprovació també es pot fer analitzant el signe dela primeraderivada de la funció perímetre, tenint encompte que el dominide la funció
14.D’acord amb la relació, el temps, t1, que em-
prarà el cotxe a recórrer els 300 km (que equivalen a300000 m) serà:
tev
nn
==
+
=
=+
15
2
300000
310
5400531
54005nnn2
31
vet
=
(,) 1052(,) 5210
> Px()0< Px()0
La funció creixLa funció decreix
Px()(,). és1010
5252 , ()
Pxx
P ()()
()()
// ==100
10052
100
100502323220 <
x=52.
y=()= 10052522
x=52.
===± xxxx 10021005222
== Pxx
x()01
1000
2
= Pxx
x()1
1002
Pxyxx =++=+ 10101002
yx =1002
280
Pro
post
es d
’ava
luac
ióEn els extrems relatius, la primera derivada s’anul·la.Haurem de buscar, per tant, els valors de x que anul·lenla primera derivada:
0 = 3 x2 12 x + 9
La derivada segona de f és f (x) = 6 x 12. Substituintper 3 i 1 en f (x), determinarem si hi ha màxim rela-tiu, mínim relatiu o punt d’inflexió.
f (1) = 6 12 = 6 < 0
hi ha un màxim relatiu en x = 1
f (3) = 18 12 = 6 > 0
hi ha un mínim relatiu en x = 3
12. a) El domini de la funció és tot �.
Com que no té solució, la funció no ta-lla l’eix horitzontal.
Com que , la funció talla l’eix vertical en elpunt (0,1).
b) La derivada és:
La derivada només s’anul·la per a x = 1. Per a qual-sevol valor de x inferior a 1 la derivada és positiva ien qualsevol superior és negativa; per tant, la funciócreix en i decreix en . Per tant, elpunt és un màxim relatiu.
c) • A.V.: No té asímptotes verticals
• A.H.:
Per tant, y = 0 és
una asímptota horitzontal en tots dos costats.
• A.O.: No té asímptotes obliqües.
d) La representació gràfica és
f(x) = e–x2 + 2x
X
Y
0,5
1
–1 1 2 3–0,5
2
3
–1,5
–0,5
0,5
1,5
2,5
1,5 2,5
lim limx
x x
x
x xe e+ += =2 22 2 0
( , )1 e( , )1 +( , )1
= + =+ +f x e x e xx x x x( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 1
f( )0 1=
e x x =2 2 0
x =±
=±
=12 12 108
612 6
6
3
1
2
13. Siguin x i y els catets del triangle. Segons Pitàgores, sa-bem que x2 + y2 = 102.Aïllem el valor de la variable y en funció de la x:
El perímetre del triangle és:
Per trobar el màxim d’aquest valor, calculem la deri-vada del perímetre respecte de x.
Igualem aquesta expressió a zero i calculem el valor dela variable x:
El valor negatiu no té sentit en aquest problema. Aixídoncs, ens quedarem amb
Aleshores,
Per tal de fer la comprovació demanada, podem bus-car el signe de la derivada segona de la funció P(x) enel punt
Que la segona derivada sigui negativa ens diu que elpunt correspon a un màxim.
La comprovació també es pot fer analitzant el signe dela primera derivada de la funció perímetre, tenint encompte que el domini de la funció
14. D’acord amb la relació , el temps, t1, que em-
prarà el cotxe a recórrer els 300 km (que equivalen a300 000 m) serà:
tev
n n
= =
+
=
= +
1 5
2
300 000
3 10
5 400 5 31
5 400 5 nn n2 31
vet
=
( , )10 5 2 ( , )5 2 10
>P x( ) 0 <P x( ) 0
La funció creix La funció decreix
P x( ) ( , ).és 10 10
5 2 5 2,( )
P xx
P( )( )
( )( )/ /
= =100
1005 2
100
100 502 3 2 3 220<
x = 5 2.
y = ( ) =100 5 2 5 22
x = 5 2.
= = = ±x x x x100 2 100 5 22 2
= =P xx
x( ) 0 1
1000
2
=P xx
x( ) 1
100 2
P x y x x= + + = +10 10 100 2
y x= 100 2
CM
YK
281
Propostes d’avaluació
El temps, t2, que emprarà en n canvis de pneumà-tics serà:
t2 = 10 n
El temps total, T, emprat en la cursa en funció delnombre de canvis de pneumàtics, n, realitzat val-drà:
T(n) = 5 400 + 5 n2 31 n + 10 n =
= 5 400 + 5 n2 21 n
El valor de n que minimitza el temps T haurà d’anul·larla primera derivada de T(n) respecte de n:
T (2,1) = 10 > 0, la qual cosa garanteix que hi ha unmínim per a t = 2,1.
És evident que en una cursa no es poden fer 2,1 can-vis de pneumàtics (només és possible un nombre en-ter de canvis); per tant, direm que l’escuderia ha defer 2 canvis de pneumàtics.
UNITAT 12. INTEGRALS I APLICACIONS
1. a)
b)
c)
2. a)
b) xdx
x
t x x t
dt x dx dx t dt+
= + =
= + =2
2 2
2 2
2
12( )
= =
=
( )( )
t t dt
tt dt
t
22
2
2 22 2
23
22 22
32 2t C
xx C+ =
++ +
= 33 1 32 23 3+ + + = ( ) +t t t C x x Cln( )
+=
+= +
+=
3
13
13 1
11
2 2t
tdt
tt
dt tt
dt( )
dx
x
t x x t
dtx
dx d11
33
3 3
23+
= =
= xx t dt= 3 2
22
2sin
sinx
x
x dxln
C= +cos
= +ln xx
C2
x dx x dx= +132 == + + =ln x
xC
12
12
x x
xdx
x
xdx
x
xdx
+= + =
2 2 2
1
( )e x dx e dx x dx ex
Cx x x+ = + = + +2 23
3
0 10 212110
2 1= = = =T n n n( ) , ,
c)
3. a)
b)
c)
4. a)
b)
c) Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:
Els resultats són A = , B = i C = 1.12
12
2
2 2 22 2x x
Ax
Bx
C
x( ) ( ) ( )= + +
( )( )
( )
x x
xdx
x xx
dx
x d
2 3 2
11 2
1
2
+= =
= xxx
x C= +2
22
25 1
25
55 1
25
5 1
xdx
xdx
x C
= =
= +ln ( )
x x dxu x du
xdx
dv x dx v x
2
2 3
1
13
lnln= =
= =
= =
=
x xdx x x xx
dx
x
2 3 3
3
13
13
1
13
ln ln
lnn x x C+19
3
( )coscos
x x dxu x du dx
dv x dx v x+
= + =
= =1
1
sin
+ = + =
=
( )cos ( )
(
x x dx x x x dx1 1 sin sin
xx x x C+ + +1) cossin
33 3
3
xe dxu x
dv e dx
du dx
v e
xe
xx x
x
=
=
=
=
ddx xe e dx xe e C
e x C
x x x x
x
= = + =
= +
3 3 3 3
3 1( )
32
21
31
++
( )ee
xx + C
3
23
= + =t
t C
2 2
2
1 1
12 2=
tt t
t dt t( )
( 22 1 =)dt
e
edx
t e x t
e t dxt
x
x
x
x
22
2 2 21
1 1
11
+
= + =
= =
ln( )
( )22 1
2 t dt
281
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
El temps, t2, que emprarà en n canvis de pneumà-tics serà:
t2=10 n
El temps total, T, emprat en la cursa en funció delnombre de canvis de pneumàtics, n, realitzat val-drà:
T(n) =5400 +5 n231 n +10 n =
=5400 +5 n221 n
El valor de n que minimitza el temps T haurà d’anul·larla primera derivada de T(n) respecte de n:
T(2,1) =10 >0, la qual cosa garanteix que hi ha unmínim per a t =2,1.
És evident que en una cursa no es poden fer 2,1 can-vis de pneumàtics(només és possible un nombre en-ter de canvis); per tant, direm que l’escuderia ha defer 2 canvis de pneumàtics.
UNITAT 12.INTEGRALS I APLICACIONS
1.a)
b)
c)
2.a)
b)xdx
x
txxt
dtxdxdxtdt+
=+=
=+=2
22
22
2
12 ()
==
=
()()
ttdt
ttdt
t
22
2
2222
23
2222
322 tC
xxC +=
+++
=331322 33
+++=()+ tttCxxC ln()
+=
+=+
+=
3
13
131
11
22 t
tdt
tt
dttt
dt ()
dx
x
txxt
dtx
dxd 11
33
33
2 3 +
==
=xxtdt =32
22
2sin
sinx
x
xdxln
C =+ cos
=+ lnxx
C2
xdxxdx =+1
32==++= lnx
xC
12
12
xx
xdx
x
xdx
x
xdx
+=+= 222
1
() exdxedxxdxex
Cxxx+=+=++
223
3
010212110
21 ==== Tnnn (),,
c)
3.a)
b)
c)
4.a)
b)
c)Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:
Els resultats són A =, B =i C =1. 12
12
2
22222
xx
Ax
Bx
C
x ()()()=++
()()
()
xx
xdx
xxx
dx
xd
232
112
1
2
+==
=xxx
xC =+2
22
251
25
551
25
51
xdx
xdx
xC
==
=+ ln()
xxdxuxdu
xdx
dvxdxvx
2
23
1
13
lnln ==
==
==
=
xxdxxxxx
dx
x
233
3
13
13
1
13
lnln
lnnxxC+19
3
()coscos
xxdxuxdudx
dvxdxvx+
=+=
==1
1
sin
+=+=
=
()cos()
(
xxdxxxxdx 11sinsin
xxxxC +++ 1)cos sin
333
3
xedxux
dvedx
dudx
ve
xe
xxx
x
=
=
=
=
ddxxeedxxeeC
exC
xxxx
x
==+=
=+
3333
31 ()
32
21
31
++
() ee
xx
+C3
23
=+=t
tC
22
2
11
122 =
ttt
tdtt()
(22
1= )dt
e
edx
text
etdxt
x
x
x
x
22
2221
11
11
+
=+=
==
ln()
()221
2tdt
C M
Y K
282
Propostes d’avaluació
d)Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:
Els resultats són A =1, B =2 i C =1
5.Solucionem la integral amb el canvi
Imposem F(0) =0; F(0) =+C, de manera que
C=.
La primitiva que busquem és:
6.Calculem la primitiva i obtenim
Imposem les condicions i obtenim C =2 i a =0.
7.a)
b)
c)edxe
ex
x22
22
1
02
1
0
212
1+
+
==()
32
32332 0
1
01
xdxx
+=+ []= ln()ln
452
10 == ()6652
32
2
2
33
2
2
3
xxdxxx
()==
Fxaxa
xxC ()=++
2
3
3
24
3
2
Fxx ()() =+23
123
2
23
23
dtx
xdxt
xdxxdxtdt
xxdx
=+
==
+
1
212
12
222
21
2
2===++ 2
23
1223
tdtxC ()
tx =+2
1
2 12
11
21=+ ln()
()x
xxC
xdx
x2
2
1
1
1++
()()22= dx
x
xdx
xdx
2
2
1
1
11
+=+
()
x
x
Ax
B
x
C
x
2
32
1
1111
+=++
()()()
2
2
12
112
12
1
2
2xx
dxx
dxx
dx
x
()()
()
=+
+22
12
12
2
12
lnln() dxxx
xC
=
+
8.Trobem els punts de tall de la paràbola amb la recta,y =7:
7 =x2+3 x =±2
Així que integrarem la paràbola entre x =2i x =2.
9.Si representem gràficament el recinte, podem com-provar que aquest es pot descomposar en dos subin-tervals, el primer entre 0 i 1 delimitat per la gràfica de
les paràboles y=x2i y=; i el segon entre 1 i 4 de-
limitat per la recta y=x i la paràbola y=. Calcu-
lem l’àrea de cada recinte:
Per tant:
10.Per trobar el volum, calculem la integral
11.Tenint en compte que, segons l’enunciat, m >0, l’es-quema gràfic de y =(x 1)2i la recta y =m (x 1) és el que s’indica en la figura.
Sigui a l’abscissa del punt de tall entre les corbes dife-rent de (1, 0). Evidentment:
(a 1)2=m (a 1)
I pel fet de ser a 1:
a 1 =m , a =m +1
L’àrea A s’obté:
Amxdxxdx
mx
mm==
=
++
()()
()
11
12
1
12
1
1
2
=
++
1
13
1
11
3
mmx()
1a
A
Y
X
y = (x–1)2 y = m(x–1)
Vxdxxxdx
xx
==+=
=
()() 329124
36
2
1
42
1
4
3221
4341121111 +== xu ()
14
2712
3012
52
122
=+=+== AAAu
Axx
dxx
dxx
12
2
0
12
0
13
0
1
4
3
44====
114
4212321
2
2
1
423
1
4
Axx
dxxx
===22
512
2712
=
x2
4
x2
4
Axdxx
xu =+=+= ()2
2
23
2
22
33
3523
282
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
d) Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:
Els resultats són A = 1, B = 2 i C = 1
5. Solucionem la integral amb el canvi
Imposem F(0) = 0; F(0) = + C, de manera que
C = .
La primitiva que busquem és:
6. Calculem la primitiva i obtenim
Imposem les condicions i obtenim C = 2 i a = 0.
7. a)
b)
c) e dxe
exx
2 22 2
1
02
1
0
212
1++
= = ( )
32
3 2 3320
1
01
xdx x
+= +[ ] =ln( ) ln
452
10= =( )6652
32
2
2
33
2
2
3
x x dx xx( ) = =
F xax a
xx C( ) = + +
2
3
3
24
3
2
F x x( ) ( )= +23
123
2
23
23
dtx
x dxt
x dx x dx t dt
x x dx
=+
= =
+
1
2 12
12
2 2 2
2 1
2
2 == = + +223
12 2 3t dt x C( )
t x= +2 1
21
21
1
2 1= +ln( )
( )x
x xC
xdx
x2
2
1
1
1+ +
( ) ( )22=dx
x
xdx
xdx
2
2
1
1
11
+= +
( )
x
x
Ax
B
x
C
x
2
3 2
1
1 1 1 1
+= + +
( ) ( ) ( )
2
2
12
1 12
12
1
2
2x xdx
xdx
xdx
x
( ) ( )
( )
= +
+22
12
12
2
12
ln ln ( )dx x x
xC
=
+
8. Trobem els punts de tall de la paràbola amb la recta,y = 7:
7 = x2 + 3 x = ±2
Així que integrarem la paràbola entre x = 2 i x = 2.
9. Si representem gràficament el recinte, podem com-provar que aquest es pot descomposar en dos subin-tervals, el primer entre 0 i 1 delimitat per la gràfica de
les paràboles y = x2 i y = ; i el segon entre 1 i 4 de-
limitat per la recta y = x i la paràbola y = . Calcu-
lem l’àrea de cada recinte:
Per tant:
10. Per trobar el volum, calculem la integral
11. Tenint en compte que, segons l’enunciat, m > 0, l’es-quema gràfic de y = (x 1)2 i la recta y = m (x 1) és el que s’indica en la figura.
Sigui a l’abscissa del punt de tall entre les corbes dife-rent de (1, 0). Evidentment:
(a 1)2 = m (a 1)
I pel fet de ser a 1:
a 1 = m , a = m + 1
L’àrea A s’obté:
A m x dx x dx
m x
m m= =
=
+ +
( ) ( )
( )
1 1
12
1
12
1
1
2
=
+ +
1
1 3
1
11
3
m mx( )
1 a
A
Y
X
y = (x–1)2y = m(x–1)
V x dx x x dx
x x
= = + =
=
( ) ( )3 2 9 12 4
3 6
2
1
42
1
4
3 221
4 34 112 1 111+ = =x u( )
14
2712
3012
521 2
2= + = + = =A A A u
A xx
dxx
dxx
12
2
0
1 2
0
1 3
0
1
4
3
4 4= = = =
114
4 2 123212
2
1
4 2 3
1
4
A xx
dxx x
= = =22
512
2712
=
x2
4
x2
4
A x dxx
x u= + = + =( )2
2
2 3
2
223
33
523
CM
YK
283
Propostes d’avaluació
Quantitat que hem d’igualar a :
El valor de m per al qual es compleix la condició pro-posada és m = 2.
Per obtenir les coordenades del punt de tall, n’hi haprou de calcular a a partir de m = 2:
a = 1 + m = 1 + 2 = 3 , y (3) = (3 1)2 = 4
El punt buscat és el de coordenades (3, 4).
12. D’acord amb la teoria, si F i G són primitives d’una ma-teixa funció, s’ha de complir que F(x) = G(x) + k, kconstant.
A més, si F i G són primitives de f:
Aquestes dues expressions, juntament amb la dada delproblema F(x) = x G(x), ens permeten escriure:
en què:
En conseqüència:
Substituint la x per 3 en les funcions obtingudes:
13. Representem gràficament la situació donada en l’e-nunciat:
F f= =32 3
3 13 3( ) , ( ))
( )= =
2
3 1
122
f x F xx
= =2
1 2( ) ( )
( )
( ) ; ( ) ( )2
12
= = =G xx
F x x G xx
xx 1
13 1 2 1
=k k
;; ;12
2= =k
k
G(x)k
x-11 G(3) G(2)
=
=
F x G x k
G G
F x x G x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
;
= +
=
=
1 3 2( ) ( )
( ) ( )
(
x G x G x k
G G
x G
= +
=1 3 2
XX G X k
G G x
G x x) ( )
( ) ( );
( )(=
=1 3
=
=
1
1 3 2
)
( ) ( )
k
G G
1 3 2 3 22
3= = =f x dx F F G G( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m333 3
643
243
8 2= = = =m
43
= =2 3 3
2 3 6m m m m
Calculem l’expressió analítica de la recta tangent:
• L’ordenada del punt d’abscissa x = 4 s’obté fàcilmentsubstituint x per 4 en l’expressió de f:
• La derivada de f en x = 4 ens donarà el pendent dela recta tangent:
L’equació de la recta tangent serà:
L’àrea de recinte limitat (vegeu la figura) s’obté mit-jançant la diferència entre les integrals de
i f(x) entre 0 i 4:
14. a) En primer lloc, es calcula la primitiva de la deri-vada:
A continuació, aplicant F(1) = 3, s’obté la cons-tant:
Així, la funció demanada és:
F x x( ) = +43
53
34
43
353
+ = =C C
F xx
dx x dxx
C x C( ) = = = + = +1
34
434
14
34
34
=23
2A u
18
2
0
4
x x= + = =23
6163
23
3
0
4
x
14
10
4
0
4A x dx x dx= + =
( )14
= = +g x y x 11
( ) ;214
414
1= = +y x y x
=m f (( )41
2 4
14
= =
( ) ( )= =1
2f x x f x
x
( ) = =4 4 2f
4 X
Y
f
A
2
283
Pro
post
es d
’ava
luac
ió
Quantitat que hem d’igualar a :
El valor de m per al qual es compleix la condició pro-posada és m =2.
Per obtenir les coordenades del punt de tall, n’hi haprou de calcular a a partir de m =2:
a =1 +m =1 +2 =3 , y(3) =(3 1)2=4
El punt buscat és el de coordenades (3, 4).
12.D’acord amb la teoria, si F i G són primitives d’una ma-teixa funció, s’ha de complir que F(x) =G(x) +k, kconstant.
A més, si F i G són primitives de f:
Aquestes dues expressions, juntament amb la dada delproblema F(x) =x G(x), ens permeten escriure:
en què:
En conseqüència:
Substituint la x per 3 en les funcions obtingudes:
13.Representem gràficament la situació donada en l’e-nunciat:
Ff == 323
3133 (),())
()==
2
31
12 2
fxFxx
==2
12 ()()
()
();()()2
12
=== Gxx
FxxGxx
xx1
13121
=kk
;;; 12
2 ==k
k
G(x)k
x-11G(3)G(2)
=
=
FxGxk
GG
FxxGx
()()
()()
()()
;
=+
=
=
132()()
()()
(
xGxGxk
GG
xG
=+
= 132
XXGXk
GGx
Gxx )()
()();
()( =
= 13
=
=
1
132
)
()()
k
GG
132322
3=== fxdxFFGG ()()()()()
m33
33
643
243
82 ==== m
43
==233
236mmmm
Calculem l’expressió analítica de la recta tangent:
•L’ordenada del punt d’abscissa x =4 s’obté fàcilmentsubstituint x per 4 en l’expressió de f:
•La derivada de f en x =4 ens donarà el pendent dela recta tangent:
L’equació de la recta tangent serà:
L’àrea de recinte limitat (vegeu la figura) s’obté mit-jançant la diferència entre les integrals de
i f(x) entre 0 i 4:
14.a)En primer lloc, es calcula la primitiva de la deri-vada:
A continuació, aplicant F(1) =3, s’obté la cons-tant:
Així, la funció demanada és:
Fxx ()=+43
53
3 4
43
353
+== CC
Fxx
dxxdxx
CxC ()===+=+1
34
43 4
14
34
3 4
=23
2Au
18
2
0
4
xx =+==23
6163
23
3
0
4
x
14
10
4
0
4Axdxxdx =+=
()14
==+ gxyx11
(); 214
414
1 ==+ yxyx
= mf(()41
24
14
==
()() ==1
2fxxfx
x
()== 442 f
4X
Y
f
A
2
C M
Y K
284
Propuestas de evaluación
b)Tenint en compte que la funció és sempre positi-va, l’àrea demanada s’obté de calcular:
15.Si f(x) =x4x2, f(x) =4x32x.
Extrems relatius
Estudiem el significat de la segona derivada:
Aleshores, el punt (0,0) és un màxim relatiu, i els punts
són mínims relatius.
Punts de tall
Els punts de tall amb l’eix OX són (1, 0), (0, 0) i(1, 0).
Gràfica
f(x) = x4 – x
2
X
Y
12
–0,5
–1
0,5
1
–1 –20,51,5 –1,5–0,5
fxxxxxx (),(),,, ==== 00100114222
1
2
14
1
2
14
,,,
fxx
f
f
f
1
2
1
2
():
(),
=
<
>
122
00
0
2
y>0.
= x,, 01
2
1
2
=== fxxxxx ();(); 0420221032
Fxdxdx
x
()=+=
=+
43
353
437
4
5
4
0
1
0
1
74
33177
0
1
2xu =
16. Observem que, tal com indica l’enunciat, les fun-
cions es tallen en el punt d’abscissa x =:
La primera àrea A es calcularà restant les integrals
de totes dues funcions entre els límits 0 i :
L’àrea B correspon a la suma de la integral de la
funció g(x) =tg x en l’interval més la inte-
gral de la funció f(x) =cos x en l’interval
:
Btgxdxxdx
x
=+=
=
cos
ln(cos
0
4
4
22
))+=
=+
04
4
2 2
22
12
sinx
lnln222
2
22
21
=
=+ ln
42,
2
04
,
Axdxtgxdx
sinx
==
=
cos 2
2
0
4
0
4
[]=
=+
04
04
22
22
21
lnx
lnln
(cos)
==12
2ln
4
Y
X
2
1
42
f
g
A
B
��
4
284
Pro
pues
tas
de e
valu
ació
nb) Tenint en compte que la funció és sempre positi-
va, l’àrea demanada s’obté de calcular:
15. Si f(x) = x4 x2, f (x) = 4x3 2x.
Extrems relatius
Estudiem el significat de la segona derivada:
Aleshores, el punt (0,0) és un màxim relatiu, i els punts
són mínims relatius.
Punts de tall
Els punts de tall amb l’eix OX són ( 1, 0), (0, 0) i(1, 0).
Gràfica
f(x) = x4 – x2
X
Y
1 2
–0,5
–1
0,5
1
–1–2 0,5 1,5–1,5 –0,5
f x x x x x x( ) , ( ) , , ,= = = =0 0 1 0 0 1 14 2 2 2
1
2
14
1
2
14
, , ,
f x x
f
f
f
1
2
1
2
( ) :
( ) ,
=
<
>
12 2
0 0
0
2
y > 0.
=x , ,01
2
1
2
= = =f x x x x x( ) ; ( ) ;0 4 2 0 2 2 1 03 2
F x dx dx
x
( ) = + =
= +
43
353
43 7
4
5
4
0
1
0
1
74
33177
0
1
2x u=
16. Observem que, tal com indica l’enunciat, les fun-
cions es tallen en el punt d’abscissa x = :
La primera àrea A es calcularà restant les integrals
de totes dues funcions entre els límits 0 i :
L’àrea B correspon a la suma de la integral de la
funció g(x) = tg x en l’interval més la inte-
gral de la funció f(x) = cos x en l’interval
:
B tg x dx x dx
x
= + =
=
cos
ln (cos
0
4
4
2 2
)) + =
= +
04
4
22
22
1 2
sin x
ln ln 222
2
22
2 1
=
= +ln
4 2,
2
04
,
A x dx tg x dx
sin x
= =
=
cos2
2
0
4
0
4
[ ] =
= +
04
04
22
22
21
ln x
ln ln
(cos )
== 12
2ln
4
Y
X
2
1
4 2
f
g
A
B
� �
4
CM
YK
285
El treball de recercaEL TREBALL DE RECERCA EN EL BATXILLERAT
El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre unaqüestió determinada. Ve a ser una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hemde buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta.També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic. En aquest cas no es limita a unamera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació per-sonal de manera rigorosa. Es tracta d’una veritable recerca; això significa que no és unsimple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de com-prensió de l’estudiant.En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actorque ha construir i defensar una argumentació pròpia. No es tracta d’arribar a unes conclu-sions estrictament originals o novedoses, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç dedissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del tre-ball científic.El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adqui-rits a les diverses matèries al llarg del Batxillerat. En aquest treball també es posa de mani-fest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, larecerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc.Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personalamb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic.Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’a-questa mena de treballs.
285
El tr
ebal
l de
rece
rca
EL TREBALL DE RECERCA EN EL BATXILLERAT
El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre unaqüestió determinada.Ve a ser una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hemde buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta.També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic.En aquest cas no es limita a unamera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació per-sonal de manera rigorosa.Es tracta d’una veritable recerca;això significa que no és unsimple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de com-prensió de l’estudiant.En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actorque ha construir i defensar una argumentació pròpia.No es tracta d’arribar a unes conclu-sions estrictament originals o novedoses, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç dedissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del tre-ball científic.El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adqui-rits a les diverses matèries al llarg del Batxillerat.En aquest treball també es posa de mani-fest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, larecerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc.Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personalamb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic.Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’a-questa mena de treballs.
C M
Y K
286
El treball de recerca
1.Tema i hipòtesi del treball
EL TREBALL DE RECERCA
1.1.Elecció deltema
Motivació i interès personal
Viabilitat de l’estudi
Nivell de concreció
Què és?
Com es formula?
1.2.Objectius del treball
1.3.Hipòtesi
• Interessos i motivacions personals.
• Tema d’actualitat.
• Interès del receptor.
• Existència d’informació i facilitatd’accés.
• Amplitud del tema.
• General:una visió genèrica del tema.
• Concret:permet d’aprofundir sobre unaspecte puntual del tema.
• Expressió d’allò que es vol demostrar.
• Marca la línia de recerca.
• Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.
• Concreta.
• En base al coneixement previ.
• Tenint en compte les variables que intervenenen la recerca.
2.Disseny del treball
2.1.Índex provisional
Qualitativa(Què és i com funciona)
• No es controlen les variables.
• Propi dels estudis humanístics.
Quantitativa(Què és i com funciona)
• Control rigorós de les variables.
• Propi de les ciències exactes.
2.2.Metodologia
• Reflecteix els aspectes fonamentals del treball.
• Orienta la recerca d’informació.
• Susceptible de ser enriquit, modificat...
• Temporització, seguint cronologia inversa.
• Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.).
• Previsions realistes.
• Recerca bibliogràficai electrònica.
• Entrevistes.
• Enquestes.
• etc.
• Experiment de labo-ratori.
2.3.Pla de treball.Planificació
286
El tr
ebal
l de
rece
rca
1. Tema i hipòtesi del treball
EL TREBALL DE RECERCA
1.1. Elecció deltema
Motivació i interès personal
Viabilitat de l’estudi
Nivell de concreció
Què és?
Com es formula?
1.2. Objectius del treball
1.3. Hipòtesi
• Interessos i motivacions personals.
• Tema d’actualitat.
• Interès del receptor.
• Existència d’informació i facilitatd’accés.
• Amplitud del tema.
• General: una visió genèrica del tema.
• Concret: permet d’aprofundir sobre unaspecte puntual del tema.
• Expressió d’allò que es vol demostrar.
• Marca la línia de recerca.
• Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.
• Concreta.
• En base al coneixement previ.
• Tenint en compte les variables que intervenenen la recerca.
2. Disseny del treball
2.1. Índex provisional
Qualitativa (Què és i com funciona)
• No es controlen les variables.
• Propi dels estudis humanístics.
Quantitativa (Què és i com funciona)
• Control rigorós de les variables.
• Propi de les ciències exactes.
2.2. Metodologia
• Reflecteix els aspectes fonamentals del treball.
• Orienta la recerca d’informació.
• Susceptible de ser enriquit, modificat...
• Temporització, seguint cronologia inversa.
• Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.).
• Previsions realistes.
• Recerca bibliogràficai electrònica.
• Entrevistes.
• Enquestes.
• etc.
• Experiment de labo-ratori.
2.3. Pla de treball. Planificació
CM
YK
287
El treball de recerca
3. Recerca, obtenció i selecció d’informació
Els cercadors
Citació de fontselectròniques
Fitxes bibliogràfiques
Citació de fonts escrites
3.2. Fonts electròniques(internet)
3.1. Fonts bibliogràfiques
• Permeten indagar l’estatde la qüestió en relacióamb el tema objecte detreball.
• Google, Yahoo, etc.
• Introduir paraula de referència
• Afinar la recerca fins a obtenir unnombre reduït d’entrades.
• En carpetes i documents ben classifi-cats i referenciats.
• www.referència del web
• Data de la consulta.
TÍTOL: tema.
• Referència de la font: títol, autor, any,editorial, pàgines.
• Resum del contingut.
• Transcripció de fragments.
• COGNOM, nom (any), Títol. Ciutat,Editorial.
En laboratori
En treballs de camp
3.4. Experiments
• Disseny acurat.
• Control de les variables.
• Registre sistemàtic.
• Interpretació rigorosa.
Què i com
Arxiu d’informacióobtinguda
3.5.Visites i sortidesde camp
• Objectius de la sortida.
• Aspectes que cal observar.
• Observació sistemàtica.
• Fitxes.
• Fotografia i vídeo.
• Fullets, etc.
Arxius dedocuments
Entrevistes
• Experts o personesrellevants.
• Aporten actualitat iexperiència.
Altres
3.3. Fonts orals • Disseny d’entrevistes.
— Objectius de l’enquesta.
— Què pregunten?
• Enregistrament, transcripció...
• Objectius.
• Selecció de la mostra.
• Disseny de l’enquesta: preguntesclarament adreçades a les diversesvariables.
• Preguntes per a validar la sinceritatde les respostes.
Enquestes
287
El tr
ebal
l de
rece
rca
3.Recerca,obtenció i selecció d’informació
Els cercadors
Citació de fontselectròniques
Fitxes bibliogràfiques
Citació de fonts escrites
3.2.Fonts electròniques(internet)
3.1.Fonts bibliogràfiques
• Permeten indagar l’estatde la qüestió en relacióamb el tema objecte detreball.
• Google, Yahoo, etc.
• Introduir paraula de referència
• Afinar la recerca fins a obtenir unnombre reduït d’entrades.
• En carpetes i documents ben classifi-cats i referenciats.
• www.referència del web
• Data de la consulta.
TÍTOL:tema.
• Referència de la font:títol,autor, any,editorial, pàgines.
• Resum del contingut.
• Transcripció de fragments.
• COGNOM, nom (any), Títol.Ciutat,Editorial.
En laboratori
En treballs de camp
3.4.Experiments
• Disseny acurat.
• Control de les variables.
• Registre sistemàtic.
• Interpretació rigorosa.
Què i com
Arxiu d’informacióobtinguda
3.5.Visites i sortidesde camp
• Objectius de la sortida.
• Aspectes que cal observar.
• Observació sistemàtica.
• Fitxes.
• Fotografia i vídeo.
• Fullets, etc.
Arxius dedocuments
Entrevistes
• Experts o personesrellevants.
• Aporten actualitat iexperiència.
Altres
3.3.Fonts orals• Disseny d’entrevistes.
— Objectius de l’enquesta.
— Què pregunten?
• Enregistrament, transcripció...
• Objectius.
• Selecció de la mostra.
• Disseny de l’enquesta:preguntesclarament adreçades a les diversesvariables.
• Preguntes per a validar la sinceritatde les respostes.
Enquestes
C M
Y K
288
El treball de recerca
4.Tractament de la informació
Construcció, anàlisi i interpretació.Procés
• Fitxes estadístiques.
• Taules de dades.
• Gràfics.
5.Redacció i presentació del treball
Parts del treball5.1.Portada
5.2.Índex (capítols, apartats, subapartats)
5.3.Resum (abstract)
Correcció expressiva
Ortografia
Adequació, coherència, cohesió
Aspectes formals
PresentacióOral
Audiovisual
5.4.Introducció
5.5.Desenvolupament
5.6.Conclusió
Ordenació i integració de les fitxes.Einesinformàtiques (base de dades, Excel)
288
El tr
ebal
l de
rece
rca
4. Tractament de la informació
Construcció, anàlisi i interpretació. Procés
• Fitxes estadístiques.
• Taules de dades.
• Gràfics.
5. Redacció i presentació del treball
Parts del treball5.1. Portada
5.2. Índex (capítols, apartats, subapartats)
5.3. Resum (abstract)
Correcció expressiva
Ortografia
Adequació, coherència, cohesió
Aspectes formals
PresentacióOral
Audiovisual
5.4. Introducció
5.5. Desenvolupament
5.6. Conclusió
Ordenació i integració de les fitxes. Einesinformàtiques (base de dades, Excel)
CM
YK
Treball de Recerca de MatemàtiquesPropostes
1. Criptografia: missatges xifrats i seguretat.
La Història ens ofereix una gran quantitat d’exemples d’aplicació de la criptografia, sempre relacionatsamb la seguretat: des de la comunicació d’informació en campanyes militars, fins a les transaccions quees duen a terme en l’actualitat a Internet.El treball de recerca permet l’estudi de la criptografia en diferents àmbits i amb diferents nivells de pro-funditat. L’alumne/a i el professor/a podran decidir, per exemple, centrar el treball en:— L’evolució històrica de la criptografia.— Les eines matemàtiques utilitzades en la implementació dels codis xifrats.— Els tipus de criptografia: simètrica, asimètrica, de corba el·líptica, híbrida, etc.— El sistema criptogràfic RSA, la màquina ENIGMA, etc.
2. La natura i les Matemàtiques: la successió de Fibonacci i el nombre auri.
En flors, petxines, animals..., podem trobar-hi de manera recurrent els nombres que formen la succes-sió de Fibonacci i les proporcions àuries. El treball inclou, per exemple:— Recerca bibliogràfica sobre la successió de Fibonacci i el nombre auri.— Estudi de la seva presència a la natura.— Realització de fotografies d’elements naturals que estiguin relacionats amb el tema.
3. L’equació més bella de la Història: la identitat d’Euler.
La identitat d’Euler proporciona una relació entre alguns dels nombres més importants de la història deles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:— Identificació dels diferents conjunts de nombres i de les seves aplicacions.— Breu biografia de L. Euler i enumeració de la seva contribució als diferents àmbits científics.— Demostració de la identitat d’Euler.
4. Els tres nombres més famosos de les matemàtiques: phi, pi i e.
Els nombres irracionals aporten grans curiositats i meravelles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:— El conjunt de nombres irracionals i la seva classificació en transcendents i algèbrics.— Història i aplicacions dels nombres auri, pi i e.
5. L’evolució de l’escriptura dels nombres.
Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolu-pament i de les seves necessitats.— Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica: egipcis, grecs, babilonis, xinesos,
maies, àrabs, etc.— Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada
civilització.
6. Paradoxes matemàtiques relacionades amb la noció d’infinit.
Recerca d’informació sobre el concepte d’infinit en el transcurs de la història de les matemàtiques.A més, l’alumne/a cercarà informació per tal de demostrar les paradoxes més famoses de la història deles matemàtiques, com ara:— La paradoxa de la trompeta de Torricelli.— La paradoxa de la dicotomia de Zenó.— La paradoxa de l’hotel infinit.
7. Els fractals en el món que ens envolta.
Hi ha moltíssims elements de la natura que presenten estructures fractals. El treball de recerca inclourà:— Definició i propietats dels fractals.
289
El treball de recercaTreball de Recerca de Matemàtiques
Propostes
1.Criptografia:missatges xifrats i seguretat.
La Història ens ofereix una gran quantitat d’exemples d’aplicació de la criptografia, sempre relacionatsamb la seguretat:des de la comunicació d’informació en campanyes militars, fins a les transaccions quees duen a terme en l’actualitat a Internet.El treball de recerca permet l’estudi de la criptografia en diferents àmbits i amb diferents nivells de pro-funditat.L’alumne/a i el professor/a podran decidir, per exemple, centrar el treball en:—L’evolució històrica de la criptografia.—Les eines matemàtiques utilitzades en la implementació dels codis xifrats.—Els tipus de criptografia:simètrica, asimètrica, de corba el·líptica, híbrida, etc.—El sistema criptogràfic RSA, la màquina ENIGMA, etc.
2.La natura i les Matemàtiques:la successió de Fibonacci i el nombre auri.
En flors, petxines, animals..., podem trobar-hi de manera recurrent els nombres que formen la succes-sió de Fibonacci i les proporcions àuries.El treball inclou, per exemple:—Recerca bibliogràfica sobre la successió de Fibonacci i el nombre auri.—Estudi de la seva presència a la natura.—Realització de fotografies d’elements naturals que estiguin relacionats amb el tema.
3.L’equació més bella de la Història:la identitat d’Euler.
La identitat d’Euler proporciona una relació entre alguns dels nombres més importants de la història deles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:—Identificació dels diferents conjunts de nombres i de les seves aplicacions.—Breu biografia de L.Euler i enumeració de la seva contribució als diferents àmbits científics.—Demostració de la identitat d’Euler.
4.Els tres nombres més famosos de les matemàtiques:phi,pi i e.
Els nombres irracionals aporten grans curiositats i meravelles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:—El conjunt de nombres irracionals i la seva classificació en transcendents i algèbrics.—Història i aplicacions dels nombres auri, pi i e.
5.L’evolució de l’escriptura dels nombres.
Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolu-pament i de les seves necessitats.—Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica:egipcis, grecs, babilonis, xinesos,
maies, àrabs, etc.—Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada
civilització.
6.Paradoxes matemàtiques relacionades amb la noció d’infinit.
Recerca d’informació sobre el concepte d’infinit en el transcurs de la història de les matemàtiques.A més, l’alumne/a cercarà informació per tal de demostrar les paradoxes més famoses de la història deles matemàtiques, com ara:—La paradoxa de la trompeta de Torricelli.—La paradoxa de la dicotomia de Zenó.—La paradoxa de l’hotel infinit.
7.Els fractals en el món que ens envolta.
Hi ha moltíssims elements de la natura que presenten estructures fractals.El treball de recerca inclourà:—Definició i propietats dels fractals.
289
El tr
ebal
l de
rece
rca
C M
Y K
—Aplicacions científiques de la teoria fractal.—Realització de fotografies d’elements naturals que presenten estructures fractals i anàlisi de les seves
propietats.
8.Curiositats de la Teoria de nombres.
Molts dels estudis de la Teoria de Nombres estan relacionats amb diferents tipus de nombres i han donatlloc a curiositats numèriques molt interessants.—Definició i propietats dels nombres primers, amics, perfectes, sociables, etc.—Recull de curiositats matemàtiques relacionades amb aquests nombres.L’alumne/a pot optar també per realitzar un programa de càlcul de nombres primers en algun llenguat-ge de programació, com ara el C++.
9.Matemàtiques lúdiques:sudokus i quadrats màgics.
Els sudokus són quadrats màgics.Què són? Com es construeixen? Coneixes el quadrat màgic d’una deles façanes de la Sagrada Família? I el que es troba en una de les obres de Durero?—Investigació sobre els quadrats llatins i els quadrats màgics:propietats i construcció.—Presència dels quadrats màgics en obres com la Sagrada Família.
10.Soroban:l’àbac japonès.
Un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables.Amb una pràctica conti-nuada podem arribar a fer càlculs a més velocitat que amb una calculadora.—Recerca d’informació sobre la forma i l’ús d’una àbac japonès, Soroban.—Construcció casolana d’un àbac japonès, Soroban.—Aprenentatge i pràctica de les diferents operacions matemàtiques.—Redacció d’un manual bàsic d’ús.
A continuació, proposem un esquema del treball.
290
El treball de recerca
— Aplicacions científiques de la teoria fractal.— Realització de fotografies d’elements naturals que presenten estructures fractals i anàlisi de les seves
propietats.
8. Curiositats de la Teoria de nombres.
Molts dels estudis de la Teoria de Nombres estan relacionats amb diferents tipus de nombres i han donatlloc a curiositats numèriques molt interessants.— Definició i propietats dels nombres primers, amics, perfectes, sociables, etc.— Recull de curiositats matemàtiques relacionades amb aquests nombres.L’alumne/a pot optar també per realitzar un programa de càlcul de nombres primers en algun llenguat-ge de programació, com ara el C++.
9. Matemàtiques lúdiques: sudokus i quadrats màgics.
Els sudokus són quadrats màgics. Què són? Com es construeixen? Coneixes el quadrat màgic d’una deles façanes de la Sagrada Família? I el que es troba en una de les obres de Durero?— Investigació sobre els quadrats llatins i els quadrats màgics: propietats i construcció.— Presència dels quadrats màgics en obres com la Sagrada Família.
10. Soroban: l’àbac japonès.
Un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables. Amb una pràctica conti-nuada podem arribar a fer càlculs a més velocitat que amb una calculadora.— Recerca d’informació sobre la forma i l’ús d’una àbac japonès, Soroban.— Construcció casolana d’un àbac japonès, Soroban.— Aprenentatge i pràctica de les diferents operacions matemàtiques.— Redacció d’un manual bàsic d’ús.
A continuació, proposem un esquema del treball.
290
El tr
ebal
l de
rece
rca
CM
YK
Soroban: l’àbac japonès
1. Tema i objectius del treball
1.1. Elecció del tema
L’àbac és un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables. Amb una pràcticacontinuada podem arribar a realitzar operacions matemàtiques a més velocitat que amb una calculadora.Però, les virtuts de l’àbac van més enllà de la simple utilització com a calculadora manual:• Fomenta les habilitats numèriques i el raonament lògic.• Millora la capacitat de concentració i la memòria.• Aporta agilitat mental i ajuda a obtenir una capacitat més gran per al processament d’informació de mane-
ra ordenada.La història de l’àbac japonès Soroban comença en el segle XVI, però la seva versió més moderna data delsegle XX, quan s’adapta millor al sistema decimal. Però l’àbac en general no es va desenvolupar només al’Àsia, sinó també als altres continents.La seva aplicació actual no se circumscriu només a l’àmbit de l’educació infantil: el 1996 es va construir unàbac que utilitzava molècules en comptes de boletes de fusta i que es movien gràcies a un microscopi espe-cial!
1.2. Objectius del treball
• Cercar informació sobre la forma i l’ús d’un àbac japonès Soroban.• Adquirir o construir de manera artesanal un àbac japonès, Soroban. Instal·lar en el propi ordinador un
simulador per a practicar.• Aprendre i practicar les diverses operacions matemàtiques.• Redactar un manual bàsic d’ús, amb dibuixos i/o fotografies.• Realitzar sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.
2. Disseny del treball
En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre la utilització de l’àbac i les seves aplicacions. Haureu decercar informació bibliogràfica i d’Internet sobre els mètodes que s’hi apliquen.
En segon lloc, elaborareu el vostre propi manual d’ús del Soroban. Haureu de decidir com fareu les il·lustra-cions, imprescindibles per a les explicacions (dibuixos, gràfics i/o fotografies).
Finalment, haureu de dissenyar unes sessions pràctiques amb alumnes d’ESO. Vosaltres sereu els profes-sors i serà molt important que penseu bé com fer-ho d’una manera pedagògica i comprensible.
Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball perpoder elaborar un índex provisional.
2.1. Índex provisional
1. Introducció: breu exposició de l’evolució de l’àbac.2. Disposició física dels elements de l’àbac japonès Soroban: com s’hi expressen les xifres.3. Manual d’operacions amb l’àbac japonès Soroban
3.1. Sumes senzilles i abreujades.3.2. Restes senzilles, complexes i amb resultat negatiu.3.3. Multiplicacions: mètode estàndard japonès i mètode de multiplicacions acumulades.3.4. Divisions amb el mètode estàndard japonès.3.5. Potències.3.6. Arrels quadrades amb el mètode estàndard xinès.3.7. Altres operacions amb logaritmes, exponencials i funcions trigonomètriques.
4. Sessions pràctiques amb alumnes d’ESO:4.1. Presentació en Power Point.4.2. Pràctiques guiades.
291
El treball de recercaSoroban:l’àbac japonès
1.Tema i objectius del treball
1.1.Elecció del tema
L’àbac és un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables.Amb una pràcticacontinuada podem arribar a realitzar operacions matemàtiques a més velocitat que amb una calculadora.Però, les virtuts de l’àbac van més enllà de la simple utilització com a calculadora manual:•Fomenta les habilitats numèriques i el raonament lògic.•Millora la capacitat de concentració i la memòria.•Aporta agilitat mental i ajuda a obtenir una capacitat més gran per al processament d’informació de mane-
ra ordenada.La història de l’àbac japonès Sorobancomença en el segle XVI, però la seva versió més moderna data delsegle XX, quan s’adapta millor al sistema decimal.Però l’àbac en general no es va desenvolupar només al’Àsia, sinó també als altres continents.La seva aplicació actual no se circumscriu només a l’àmbit de l’educació infantil:el 1996 es va construir unàbac que utilitzava molècules en comptes de boletes de fusta i que es movien gràcies a un microscopi espe-cial!
1.2.Objectius del treball
•Cercar informació sobre la forma i l’ús d’un àbac japonès Soroban.•Adquirir o construir de manera artesanal un àbac japonès, Soroban.Instal·lar en el propi ordinador un
simulador per a practicar.•Aprendre i practicar les diverses operacions matemàtiques.•Redactar un manual bàsic d’ús, amb dibuixos i/o fotografies.•Realitzar sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.
2.Disseny del treball
En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre la utilització de l’àbac i les seves aplicacions.Haureu decercar informació bibliogràfica i d’Internet sobre els mètodes que s’hi apliquen.
En segon lloc, elaborareu el vostre propi manual d’ús del Soroban.Haureu de decidir com fareu les il·lustra-cions, imprescindibles per a les explicacions (dibuixos, gràfics i/o fotografies).
Finalment, haureu de dissenyar unes sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.Vosaltres sereu els profes-sors i serà molt important que penseu bé com fer-ho d’una manera pedagògica i comprensible.
Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball perpoder elaborar un índex provisional.
2.1.Índex provisional
1.Introducció:breu exposició de l’evolució de l’àbac.2.Disposició física dels elements de l’àbac japonès Soroban:com s’hi expressen les xifres.3.Manual d’operacions amb l’àbac japonès Soroban
3.1.Sumes senzilles i abreujades.3.2.Restes senzilles, complexes i amb resultat negatiu.3.3.Multiplicacions:mètode estàndard japonès i mètode de multiplicacions acumulades.3.4.Divisions amb el mètode estàndard japonès.3.5.Potències.3.6.Arrels quadrades amb el mètode estàndard xinès.3.7.Altres operacions amb logaritmes, exponencials i funcions trigonomètriques.
4.Sessions pràctiques amb alumnes d’ESO:4.1.Presentació en Power Point.4.2.Pràctiques guiades.
291
El tr
ebal
l de
rece
rca
C M
Y K
5.Bibliografia i fonts d’informació.6.Annexos.
2.2.Metodologia
La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fontsbibliogràfiques i electròniques.
Necessitareu un àbac japonès Soroban.El podeu adquirir o bé construir-lo vosaltres mateixos de maneramés o menys casolana.Per aprendre’n la utilització, cercareu la informació en la bibliografia adequada o aInternet.A mesura que avanceu en l’adquisició de les habilitats necessàries, escriureu un manual d’ús quepugui ser utilitzat per altres persones.Practicareu per adquirir agilitat i velocitat en les vostres operacions.
La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més qualitatiu.Dissenyareu unessessions pràctiques amb alumnes d’ESO.Decidireu la manera de realitzar aquestes classes d’ús de l’àbaci, finalment, fareu una enquesta als alumnes per conèixer com han viscut aquesta experiència.
Pla de treball.Planificació
L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:
3.Recerca,obtenció i selecció d’informació
Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball.
3.1.Fonts bibliogràfiques:
Per a la recerca de la informació sobre l’ús de l’àbac, podeu consultar el llibre següent:•YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation:How to master Soroban-Japanese abacus.Ed.
Paperback.
Podeu esmentar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents:•Com a cita textual:escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font
utilitzada.•Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra inves-
tigació teòrica i pràctica.És molt important que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques.
TasquesTemps estimatTemporització
Recerca de tota la informació teòricanecessària sobre l’ús de l’àbac.
1 mesmaig
Elaboració del manual d’ús.1 mesjuny
Pràctica de les operacions.2 mesosjuliol i agost
Disseny i realització de les sessions pràc-tiques amb alumnes d’ESO.Conclusions de les enquestes realitzades.
2 mesossetembre i octubre
Elaboració escrita i audiovisual del treballde recerca.
1 mesnovembre
292
El treball de recerca
5. Bibliografia i fonts d’informació.6. Annexos.
2.2. Metodologia
La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fontsbibliogràfiques i electròniques.
Necessitareu un àbac japonès Soroban. El podeu adquirir o bé construir-lo vosaltres mateixos de maneramés o menys casolana. Per aprendre’n la utilització, cercareu la informació en la bibliografia adequada o aInternet. A mesura que avanceu en l’adquisició de les habilitats necessàries, escriureu un manual d’ús quepugui ser utilitzat per altres persones. Practicareu per adquirir agilitat i velocitat en les vostres operacions.
La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més qualitatiu. Dissenyareu unessessions pràctiques amb alumnes d’ESO. Decidireu la manera de realitzar aquestes classes d’ús de l’àbaci, finalment, fareu una enquesta als alumnes per conèixer com han viscut aquesta experiència.
Pla de treball. Planificació
L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:
3. Recerca, obtenció i selecció d’informació
Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball.
3.1. Fonts bibliogràfiques:
Per a la recerca de la informació sobre l’ús de l’àbac, podeu consultar el llibre següent:• YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japanese abacus. Ed.
Paperback.
Podeu esmentar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents:• Com a cita textual: escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font
utilitzada.• Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra inves-
tigació teòrica i pràctica.És molt important que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques.
Tasques Temps estimat Temporització
Recerca de tota la informació teòricanecessària sobre l’ús de l’àbac.
1 mes maig
Elaboració del manual d’ús. 1 mes juny
Pràctica de les operacions. 2 mesos juliol i agost
Disseny i realització de les sessions pràc-tiques amb alumnes d’ESO.Conclusions de les enquestes realitzades.
2 mesos setembre i octubre
Elaboració escrita i audiovisual del treballde recerca.
1 mes novembre
292
El tr
ebal
l de
rece
rca
CM
YK
Per exemple:
3.2. Fonts electròniques:
Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte. Us heu d’assegurar que les fonts que utilitzeu sónfiables i que la informació que n’obteniu és correcta.
Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta.
Disposeu de molts bons manuals d’ús del Soroban i simuladors als enllaços següents:
http://es.geocities.com/abacosorobanwww.sorobanbrasil.com.br
3.3. Fonts orals:
Enquestes:Dissenyareu una “enquesta de satisfacció” als grups d’alumnes d’ESO que hagin fet les sessions pràctiques.Haureu d’investigar el grau de satisfacció, l’aprofitament de les explicacions, etc. Per exemple:
293
El treball de recerca
NOTACIÓ DE NOMBRES
Font: YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japaneseabacus. Ed. Paperback.
“Cada vareta es divideix en dues parts per una barra horitzontal. A la part superior hi hauna boleta amb un valor de cinc unitats i, a la inferior, s’hi troben quatre boletes amb un valord’una unitat cadascuna. Las boletes tenen valor quan es troben desplaçades cap a la barracentral.”
ENQUESTA
1. Havíeu vist alguna vegada un àbac? Sí No2. Heu trobat interessants aquestes sessions?
Escala d’1(molt poc) a 10 (molt)3. Us ha costat entendre les explicacions? Com creieu que es podrien millorar?
(Resposta oberta: l’alumne/a escriurà la seva opinió)4. Us agradaria aprofundir en l’aprenentatge de l’àbac? Sí NoEtc.
Per exemple:
3.2.Fonts electròniques:
Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte.Us heu d’assegurar que les fonts que utilitzeu sónfiables i que la informació que n’obteniu és correcta.
Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta.
Disposeu de molts bons manuals d’ús del Sorobani simuladors als enllaços següents:
http://es.geocities.com/abacosorobanwww.sorobanbrasil.com.br
3.3.Fonts orals:
Enquestes:Dissenyareu una “enquesta de satisfacció”als grups d’alumnes d’ESO que hagin fet les sessions pràctiques.Haureu d’investigar el grau de satisfacció, l’aprofitament de les explicacions, etc.Per exemple:
293
El tr
ebal
l de
rece
rca
NOTACIÓ DE NOMBRES
Font: YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japaneseabacus.Ed. Paperback.
“Cada vareta es divideix en dues parts per una barra horitzontal. A la part superior hi hauna boleta amb un valor de cinc unitats i, a la inferior, s’hi troben quatre boletes amb un valord’una unitat cadascuna. Las boletes tenen valor quan es troben desplaçades cap a la barracentral.”
ENQUESTA
1. Havíeu vist alguna vegada un àbac? Sí No2. Heu trobat interessants aquestes sessions?
Escala d’1(molt poc) a 10 (molt)3. Us ha costat entendre les explicacions? Com creieu que es podrien millorar?
(Resposta oberta: l’alumne/a escriurà la seva opinió)4. Us agradaria aprofundir en l’aprenentatge de l’àbac? Sí NoEtc.
C M
Y K
4.Tractament de la informació
Podeu organitzar els resultats de l’enquesta en taules o gràfics.Els diagrames de barres i de sectors us aju-daran a visualitzar els resultats obtinguts a les enquestes.Per exemple:un 60% dels alumnes havien vist alguna vegada un àbac i un 40% no l’havien vist mai.
5.Redacció i presentació del treball
Parts del treball
En la presentació escrita i/o audiovisual posareu especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realit-zat.Diferenciareu clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent.
•La portada•L’índex•Un breu resum (abstract)•La introducció•Manual d’ús del Soroban•Sessions pràctiques•Les conclusions
Correcció expressiva
Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes for-mals de la vostra exposició.Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran.
Presentació
El treball es pot presentar de manera oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació siguimés amena i comprensible.Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollidade dades.
294
El treball de recerca
4. Tractament de la informació
Podeu organitzar els resultats de l’enquesta en taules o gràfics. Els diagrames de barres i de sectors us aju-daran a visualitzar els resultats obtinguts a les enquestes.Per exemple: un 60% dels alumnes havien vist alguna vegada un àbac i un 40% no l’havien vist mai.
5. Redacció i presentació del treball
Parts del treball
En la presentació escrita i/o audiovisual posareu especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realit-zat. Diferenciareu clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent.
• La portada• L’índex• Un breu resum (abstract)• La introducció• Manual d’ús del Soroban• Sessions pràctiques• Les conclusions
Correcció expressiva
Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes for-mals de la vostra exposició.Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran.
Presentació
El treball es pot presentar de manera oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació siguimés amena i comprensible. Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollidade dades.
294
El tr
ebal
l de
rece
rca
CM
YK
LG.MatesII_TX.CAT 30/6/09 11:21 P gina 1
Composici n
C M Y CM MY CY CMY K
,!7II4C3-gjfccf!
Matemàtiques IIBATXILLERAT
Mat
emàt
ique
s II
Orie
ntac
ions
i so
luci
onar
i
edeb
é
edeb
éB
ATXI
LLER
AT
Mat
emàt
ique
s II
BATXILLERAT
edebé
www.edebe.com
Orientacions i solucionari
Ori
enta
cion
s i s
oluc
iona
ri
INCLOU GUIA PER ALTREBALL DE RECERCA
top related