matemáticas discretas

Matemáticas DiscretasCurso Propedéutico

Coordinación de Ciencias Computacionales

Conjuntos

Se tiene un “sentimiento íntimo” de que un conjunto debe ser una colección bien definida de elementos. A estos elementos se les suele llamar objetos y se dice que son miembros del conjunto.

El adjetivo “bien definido” implica que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar si está o no en el conjunto que se analiza.

Matemáticas Discretas 3

Conjuntos

Conjunto: Colección finita o infinita de objetos en el que el orden, no tiene importancia.Se llama cardinalidad del conjunto, y se denota #A al número de elementos que forman el conjunto.Subconjunto: Una porción (B) de un conjunto (A). Cada elemento de B pertenece a A, y se denota B⊂A

Conjuntos

Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,..., para representar conjuntos, y minúsculas para los elementos.Dado un conjunto A

● Se escribe x ∈ A si x es un elemento de A;● y ∉ A indica que y no pertenece a A.

Conjuntos

Un conjunto se puede determinar enlistando sus elementos entre llaves como A = {1, 2, 3, 4, 5}, (determinación extensional).

Este conjunto también se puede determinar mediante una propiedad que indica cómo deben ser los elementos (determinación intencional). Entonces A también se puede escribir como A = {x | x es un entero, 1 ≤ x ≤ 5 }.

Conjuntos

Cuando se trata un problema particular, hay un universo o conjunto universal, formulado o implicado, del cual se seleccionan los elementos para formar los conjuntos.

EJEMPLO. Para el universo U = {1, 2, 3, 4, 5}, considérese un conjunto A = {1, 2}. Si B = {x | x2 ∈ U } los elementos de B son 1, 2. Como A y B tienen los mismos elementos se considera que son el mismo conjunto.

Conjuntos

Definición Para un universo U se dice que los conjuntos A y B(tomados de U) son iguales y se escribe A = B, si A y B contienen los mismos elementos.

De esta definición se deduce que ni el orden ni la repetición tienen importancia para un conjunto, de modo que {1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {2, 2, 1, 3} = {1, 2, 1, 3, 1}.

Conjuntos

Un conjunto contable es aquel cuya cardinalidad es igual a la de (un subconjunto de) los números naturales.…en otras palabras es enumerable…observa que puede ser finito o infinito

En caso de ser infinito su cardinalidad es ℵ0.☞ NOTA: Observa que si es finito, entonces seguro es contable, pero si es infinito no es seguro.Ejemplo: Los enteros ℤ son contables.

Conjuntos

Un conjunto incontable o no contable es aquel que no es contable.Su cardinalidad es mayor a la de los números naturales i.e. mayor

que ℵ0, pero no necesariamente ℵ1.Ejemplo: Los reales ℝ son incontables.☞ NOTA: Uno de los grandes problemas en teoría de números es demostrar la cardinalidad de los números reales.

Conjuntos

EJEMPLO Para U = {1, 2, 3,... }, el conjunto de enteros positivos, sea:a) A = {1, 4, 9,...,64, 81} = {x2 | x ∈ U, x2 <100}.b) B = {1, 4, 9, 16} = {y2 | y∈ U, y2 < 20}c) C = {2, 4, 6, 8,...} = {2k | k∈ U }

A y B son ejemplos de conjuntos finitos, mientras que C se denomina conjunto infinito.

Conjuntos

Dado un conjunto finito A|A| denota el número de elementos en A y se denomina cardinalidad o tamaño de A.EJEMPLO Un nombre de variable en FORTRAN ANSI está formado por una sola letra seguida de a lo sumo, cinco caracteres (letras o dígitos). Si U es el conjunto de todos los nombres de variables, entonces, por las reglas de la suma y el producto |U| es 26 +26(36)+ 26(36)2+ ...+ 26(36)5 = 1 617 038 306de modo que U es un conjunto grande, pero todavía finito.

Subconjuntos

Definición Si C, D son conjuntos de un universo U, se dice que C es un subconjunto de D, y se escribe C ⊆ D o D ⊇ C si todo elemento de C es también un elemento de D.

Si existe algún elemento de D que no está en C, C se denomina subconjunto propio de D y se denota por C⊂ D o D ⊃ C.

Subconjuntos

Teorema Sea A, B ⊆ U. Entonces A = B si y sólo si, A ⊆ B y B ⊇ A.

Demostración Se deja como ejercicio

Subconjuntos

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, 4, 5} con A = {1, 2, 3}, B = {3,4}, C = {1, 2, 3, 4}. Entonces se cumplen las siguientes relaciones de subconjuntos:a) A ⊆ C b) A ⊂ C c) B ⊂ C d) A ⊆ Ae) B ⊈ A (es decir, B no es un subconjunto de A)f) A ⊄ A

Subconjuntos

Teorema Sea A, B, C ⊆ U.● Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. ● Si A ⊂ B y B ⊆ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊆ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

Conjunto vacío

Definición El conjunto nulo o vacío es aquél que no contiene elementos y se denota por ∅ o {}.

Se observa que |∅| = 0, pero {0} ≠ ∅. Además, ∅ ≠ {∅}, pues {∅} es un conjunto con un elemento: el conjunto vacío.

Conjunto vacío

Interesa, en primer lugar, el caso en que dos conjuntos cumplen una relación de subconjuntos. Sin embargo, para los conjuntos A, B del universo U puede suceder que A no sea subconjunto de B. Esto se expresa por A ⊈ B y tiene lugar cuando hay algún elemento x ∈ A tal que x ∉ B.

Conjunto vacío

Teorema Para cualquier universo U, sea A⊆ U. Entonces ∅ ⊆ A; si A ≠ ∅ entonces ∅ ⊂ A.

Demostración Si el primer resultado no es verdadero, entonces ∅A, de modo que hay un elemento x del universo con x ∈ ∅, pero x ∉A. Pero x ∈ ∅ es imposible. Además, si A ≠ ∅, entonces hay un elemento a ∈ A (y a ∉ ∅), de modo que ∅ ⊂ A.

Operaciones de conjuntos

Definición Dados A, B ⊆ U, se definen las propiedades siguientes:a) A ∪ B (la unión de A y B) = {x | x ∈ A o x ∈ B}b) A ∩ B (la intersección de A y B) = { x | x ∈ A y x ∈ B}c) A △ B (la diferencia simétrica de A y B) =

A △ B ={x | x ∈ A o x ∈ B, pero x ∉A ∩ B}

La unión o conjunción de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a todos los desenlaces que pertenecen sólo a A, sólo a B, o a ambos A y B.A⋃BImplicaciones:

● No exclusividad. Los elementos que pertenecen● a A y a B son parte de A⋃B● Si ocurre A entonces ocurre A⋃B● Si ocurre B entonces ocurre A⋃B

Ejemplo: Lanzar dos dados

x=3: A={(1,2),(2,1)}

x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}

x=6: C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

A⋃B={(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)};

B⋃C={(1,3),(2,2),(3,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

A⋃C={(1,2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)};

La intersección de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a aquellos desenlaces que pertenecen a ambos A y B.A⋂BImplicaciones:Si ocurre A⋂B entonces ocurren A y B

Ejemplo: Lanzar dos dados

x=3: A={(1,2),(2,1)}

x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}

x=1er dado sacó 2: C={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}

A⋂B= ∅;

B⋂C={(2,2)};

A⋂C={(2,1)};

Ejemplo: Escoger una cartax=Figuras: A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}

x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}

x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}

A⋂B={OZ,OC,OR}

B⋂C={O1}

A⋂C=∅

Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente

excluyentes si no contienen desenlaces comunes; es decir, si

su intersección es el conjunto vacio

A⋂B=∅

Implicaciones:● Si ocurre A, entonces no ocurre B

● Si ocurre B, entonces no ocurre A

Ejemplo: Escoger una carta

x=Figuras:

A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}

x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}

x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}

A⋂B={OZ,OC,OR}

B⋂C={O1}

A⋂C=∅Figuras y Oros no son disjuntos

Oros y Ases no son disjuntos

Figuras y Ases son disjuntos

Figuras, Oros y Ases no son disjuntosMatemáticas Discretas 27

Ejemplo: AmoniácidosLeucina: A={UUA,UUG,CUU,CUC,CUA,CUG}

Metionina: B={AUG}

Valina: C={GUU,GUC,GUA,GUG}

Leucina ∩ Metionina=∅Leucina ∩ Valina=∅Metionina ∩ Valina=∅Leucina, Metionina y Valina son mutuamente excluyentes

Si A, B ⊆ U, entonces A ∪ B, A ∩ B, A △ B ⊆ U. Por tanto son operaciones binarias en P ( U)También se puede decir que en estas operaciones P (U) es cerrado.

EJEMPLO Con U={1,2,3, ... ,9,10}, A={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7}, C={7,8,9} tenemos

a) A∩B = {3, 4, 5} b) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

c) B∩C = {7} d) A∩C = ∅e) A△B = {1, 2, 6, 7} f) A∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

g) A△C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

Definición Si S, T⊆ U, cuando S ∩ T = ∅, entonces S y T se denominan disjuntos o mutuamente disjuntos.

Teorema Si S, T⊆ U, S ∪ T = S △ T si y sólo si S y T son disjuntos.

Demostración Se comienza con S, T disjuntos. Si x∈S∪T, entonces x∈S o x∈T (o ambos). Pero como S y T son disjuntos, x∉S∩T, de modo que x∈S△T. Por tanto, como x∈S∪T implica que x∈S△T, resulta S∪T⊆S△T. Para la inclusión opuesta, si y∈S△T, entonces y∈S o y∈T. De modo que y∈S∪T . Por tanto, S△T⊆S∪T y por lo tanto resulta que S△T = S ∪T.A la inversa , si S∪T=S△T y suponiendo que S∩T≠∅, sea x∈S∩T . Entonces, x∈S y x∈T , de modo que x∈S∪T. Sin embargo, x∉S△T lo cual contradice la igualdad de conjuntos dada. En consecuencia, S y T son disjuntos.

Se dice que un evento es el complemento de otro evento A,

si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que

no pertecen a A, y se denota Ac.Implicaciones:

● Ac es el evento de que no ocurra A.● Si ocurre A, entonces no ocurre Ac.● Si ocurre Ac entonces no ocurre A

Definición Para un conjunto A ⊆ U, el complemento de A, denotado por U - A o Ac , está dado por {x | x∈ U, x∉A }. Para U ={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9}Ac ={6, 7, 8, 9, 10},Bc ={1, 2, 8, 9, 10}, Cc ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}

Ejemplo: Lanzar una monedaAguila/Cara: A={anverso}Sol/Cruz: B={reverso}

A=Bc; Ac=B

Ejemplo: Lanzar un dadox=2: A={2}x=Par: B={2,4,6}x=Impar: C={1,3,5}B=Cc; Bc=CAc={1,3,4,5,6}

Ejemplo: Edad de una persona en años

x=3ª edad: A={x≥65, x∈N+}

x=votante: B={x≥18, x∈N+}

x=reservista: C={x≥18 ⋀ x<45, x∈N+}

Ac={x<65, x∈N+};

Bc={x<18, x∈N+};

Cc={x<18 ∨ x≥45, x∈N+}

Definición Para A, B ⊆ U, el complemento (relativo) de A en B, denotado por B – A , está dado por {x | x ∈ B, x ∉ A}.

Para U={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9} se tiene:

a) B – A ={6,7} b) A – B = {1, 2} c) A – C = Ad) C – A = C e) A – A = ∅ f) U – A = AC

Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC

1) a)⇒b) Si A, B son conjuntos cualesquiera, entonces B⊆A∪B. Para la inclusión opuesta, si x∈A∪B, entonces x∈A o x∈B, pero como A⊆B, en ambos casos se tiene x∈B; de modo que A∪B⊆B y resulta la igualdad.2) b)⇒c) Dados los conjuntos A, B, siempre se tiene que A⊇A∩B. Para la inclusión opuesta, sea y∈A. Si se tiene A∪B=B, y∈A⇒y∈A∪B⇒ y∈B⇒ y∈A∩B, entonces A⊆A∩B y se concluye que A=A∩B.

Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC

3) c)⇒d) z∈BC ⇒ z∉B⇒ z∉A∩B, pues A∩B⊆B. Con A∩B=A, z∉A∩B⇒ z∉A⇒ z∈ AC , de modo que BC ⊆ AC .4) d)⇒a) Por último, w∈A⇒ w∉ AC y como BC ⊆ AC , w∉ AC ⇒ w∉

BC ⇒ w∈B , y A⊆B.

Debe tener alguna importancia que las leyes 2 a 10 se presenten por pares. Estos pares se llaman duales. Una proposición se puede obtener a partir de la otra intercambiando en todos los casos en que se presente ∪ por ∩, y viceversa, y donde aparezca U por ∅, y viceversa.

Teorema (El principio de dualidad) Si s es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo –, ∩, ∪, e =, entonces el dual de s también es un teorema de la teoría de conjuntos.

Este principio reduce el trabajo de forma considerable. Para cada par de las leyes 2 a 10 sólo se necesita demostrar una de las proposiciones y recurrir a este principio para obtener la otra proposición del par.

Definición Denótese por I un conjunto de índices. Si para cada índice i∈I hay un conjunto Ai ⊆ U

Obsérvese que si x∉ Ai, para todo índice i∈I .Si x∉ Ai para al menos un índice i ∈ I, entonces .

Si el conjunto de índices I es el conjunto Z+, se puede escribir:

EJEMPLO Sea I = {3,4,5,6,7}, y para i∈I seaAi = {1,2,3,...,i}⊆ U = Z+. Entonces,

mientras que

EJEMPLO Sea U = R e I = R+. Si para cada r ∈ R+,Ar = [-r, r] entonces = R, ={0}.

Teorema (Leyes de DeMorgan generalizadas) Sea I un conjunto de índices, donde para cada

▪ Ejercicio: Sean los conjuntos▪ S={0,...,40}

▪ A={2, 3, 5, 6, 14, 28, 32}

▪ B={0, 1, 3, 5, 16, 17, 21, 28, 30, 31, 32, 33}

▪ C={1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 24, 28}

Encuentre: a) A∩B, b) B⋃C, c) A⋃(B⋂C), d) Bc⋂C

Solución:

a) A∩B={3,5,28,32}

b) B⋃C={0,1,2,3,4,5,8,9,10,16,17,18,21,24,28,30,31,32,33}

c) (B⋂C)={1,5,16,28}

A⋃(B⋂C)={1,2,3,5,6,14,16,28,32}

a) Bc={2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20,22,23,24,25,26,27,29,34,3

5,36, 37,38,39,40}

Bc⋂C={2,4,8,9,10,18,24}

▪ Ejercicio: Sean los conjuntos A, B y C de la figura. Encuentre

fórmulas que definan cada uno de los 8 eventos disjuntos indicados

[DeGroot, 2012, Ch1]

Solución:

1: {A ∩ B ∩ C}

2: {A ∩ Bc ∩ C}

3: {Ac ∩ B ∩ C}

4: {A ∩ B ∩ Cc}

5: {A ∩ Bc ∩ Cc}

6: {Ac ∩ B ∩ Cc}

7: {Ac ∩ Bc ∩ C}

8: {Ac ∩ Bc ∩ Cc}

Pista: Piensa en binario

▪ Ejercicio: Dados los tres colores primarios R, G, y B,

Enumere el espacio de búsqueda de una imagen de 3

pixeles, si cada pixel sólo puede tomar un color cada

Solución:

S={RRR,RRG,RRB, RGR, RGG,RGB,

RBR,RBG,RBB,

GRR,GRG,GRB, GGR, GGG,GGB,

GBR,GBG,GBB,

BRR,BRG,BRB, BGR, BGG,BGB,

BBR,BBG,BBB}

▪ Ejercicio: Solución

Demostración de la igualdad de izquierda a derecha:

▪ Sea x un desenlace en A⋃(B⋂C), entonces x está contenido en A o contenido en la

intersección entre B y C.

▪ Si x está contenido en A; entonces, también está contenido en la unión de A con

B. Así mismo, x también está contenido en la unión de A con C. Por tanto, x está

contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A con C.

▪ Si x está contenido en la intersección entre B y C; entonces x está contenido en

B y x está contenido en C. Ya que x está contenido en B, también está contenido

en la unión de A con B. Así mismo, x está contenido en la unión de A con C. Por

tanto, x está contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A

con C.

Esto prueba que A⋃(B⋂C) ⊂ (A⋃B) ⋂ (A⋃C)

▪ Pero esto, no es la igualdad; falta la demostración de derecha a izquierda.

▪ Ejercicio: Solución (cont.)

Demostración de derecha a izquierda:

▪ Sea x un desenlace en (A⋃B) ⋂ (A⋃C). Entonces x está contenido en la unión de A

y B, así como en la unión de A y C. Al estar contenido en la unión de A y B, x está

contenido o bien en A, o bien en B (o en ambos).

▪ Si está en A, entonces está en la unión de A con (B⋂C).

▪ Si está en B y no en A, como pertenece a la intersección (A⋃B) ⋂ (A⋃C), pero

no está en A, eso significa ¡que tiene que estar en C!, y por ende, como está en

B y C, entonces está en la intersección de B y C.

Esto prueba que (A⋃B) ⋂ (A⋃C) ⊂ A⋃(B⋂C)

▪ Entre la demostración de izquierda a derecha y la de derecha a izquierda queda

demostrada la igualdad, c.q.d.

▪ Ejercicio: Demostrar la propiedad distributiva de la

unión sobre la intersección, y de la intersección sobre la

unión:

A⋂(B⋃C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

Solución: La solución es análoga a la demostración de la propiedad distributiva de la unión

sobre la intersección. Se deja como ejercicio.

Leyes de la teoría de conjuntos

Idempotencia:X∪X=X X∩X=XConmutativa:X∪Y=Y∪X X∩Y=Y∩XAsociativa:(X∪Y)∪Z= X∪(Y∪Z) (X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z)

Distributiva:

X∪(Y∩Z)= (X∪Y)∩(X∪Z)

X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X ∩ Z)

Identidad:

X∪∅=X

X∩S=X

Dominación:

X∪S=S

X∩∅=∅

Complemento:

X∪Xc=S

X=(Xc)c

X∩Xc=∅De Morgan:

(X∪Y)c=Xc∩Yc

(X∩Y)c=Xc∪Yc

S-(X∪Y)= (U-X)∩(U-Y)

S-(X∩Y)= (U-X)∪(U-Y)

Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn, se construye como sigue: U se representa por el interior de un rectángulo, mientras que sus subconjuntos se representan por círculos interiores y otras curvas cerradas.

Diagrama de Venn

En la figura se usan diagramas de Venn para establecer una de las leyes de DeMorgan.

Diagrama de Venn

Diagrama de Venn numerando regiones

La región 3 es Ac ⋂ B⋂ Cc y la región 7 es A⋂ Bc ⋂ Cc. Cada región es un

Diagrama de Venn

A ∪ B está formado por las regiones 2, 3, 5, 6, 7, 8, de modo que (AAl desarrollar (A⋃ B)c ⋃ C está formado por las regiones 1, 4, 6, 7,

Diagrama de Venn

El conjunto Ac consta de las regiones 1, 3, 4, 6, mientras que las regiones

Diagrama de Venn

Los conjuntos A, B de la figura no tienen intersección, así queaquí la regla de la suma da lugar a |A ⋃ B| = |A| + |B|, y esnecesario que A, B sean finitos, pero no requiere condiciónalguna sobre la cardinalidad de U.

Diagrama de Venn

EJEMPLO En una clase de 50 alumnos de primero de universidad,30 estudian BASIC, 25 Pascal, y 10 los dos lenguajes. ¿Cuántosalumnos estudian uno de los lenguajes de programación?.

Producto cartesiano

Definición Dados los conjuntos A, B ⊆ U, el producto cartesiano ocruz de A, B se define por A × B y es igual a

AXB = {(a,b)| a ∊ A, b ∊ B}

Se dice que los elementos de A × B son pares ordenados. Para (a,b), (c, d) ∈ A × B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y sólo si, a = c y b =d.

Producto cartesiano

Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A × B = |A|

Además aunque A, B ⊆ U, no es necesario que A × B ⊆ U, de modo que U

Producto cartesiano

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces,a) A × B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.b) B × A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.c) B2=B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}d) B3=B × B × B = {(a,b,c)|a,b,c∊B} ; (4, 5, 5)∈B3.

Producto cartesiano

EJEMPLO Si U =R, R × R = se conoce como el plano real de la geometría

Producto cartesiano

EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza

Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2,

Producto cartesiano

Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama

Conjunto potencia

Definición Si A es un conjunto del universo U, el conjunto potenciade A, denotado por P(A), es la colección de todos los subconjuntos de A.

Para cualquier conjunto finito A con |A| = n ≥ 0, A tiene 2n

subconjuntos, de modo que |P(A)| = 2n .

Conjunto potencia

Conjunto potencia (sobre Ω): El conjunto

potencia es el conjunto Σ de todos los

subconjuntos de Ω.

Conjunto potencia

EJEMPLO

sea A={x, y, z}

Su conjunto potencia,

P(A)={{},{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z},{x, y, z}}

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