matemáticas discretas b

8/17/2019 Matemáticas Discretas B

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Matemáticas

Discretas II

Técnicas de Conteo

Introducción

Principios

multiplicativo yaditivo

Permutaciones

Permutación sinrepetición

Permutación conrepetición

Permutacionesdistinguibles

PermutacionesCirculares

CombinacionesEl principio delpalomar

El principio deInclusión-Exclusión

Principio de

Inducción

Matemática

Ecuaciones de

RecurrenciaSucesiones

ERLH de orden k

Solución de unaERLH de orden 1


Solución de unaERLH de orden k

Solución de unaERLnH de orden k

Matemáticas Discretas II

Departamento de Ingenieŕıa de SistemasUniversidad de Antioquia

3 de diciembre de 2014

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Introducción

Principios


Permutaciones







Principio de

Inducción

Matemática

Ecuaciones de


ERLH de orden k





Contenido

Técnicas de ConteoIntroducción

Principios multiplicativo y aditivoPermutacionesPermutación sin repeticiónPermutación con repeticiónPermutaciones distinguiblesPermutaciones Circulares

CombinacionesEl principio del palomarEl principio de Inclusión-Exclusión

Principio de Inducción Matemática

Ecuaciones de RecurrenciaSucesionesERLH de orden kSolución de una ERLH de orden 1Solución de una ERLH de orden 2Solución de una ERLH de orden k

Solución de una ERLnH de orden k

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Principio de

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ERLH de orden k





Introducción

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudian lasformas en las cuales podemos contar los objetos de un conjuntofinito. Esta disciplina de estudio despierta gran inteŕes ya queson muchos los problemnas de conteo que surgen frecuentementeen areas tan diversas de las matemáticas puras como el álgebra,

la probabilidad y la geometŕıa, aśı como también en camposaplicados de la f́ısica y las ciencias de la computación.

Ejemplos

Un niño tiene tres gorras y cuatro cadenas. Si piensa usar gorra y

cadena para una fiesta. ¿Cuántas diferentes combinaciones puedellevar?

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Principios aditivo y multiplicativo

Principio aditivo: Si una operación se puede hacer de mmaneras diferentes y otra de n maneras distintas, y si las dos

operaciones en cuestión no pueden hacerse juntas ni ensucesión, por tratarse de operaciones excluyentes, entoncesel número total de formas en que pueden realizarse ambasoperaciones es m + n. En general, si se tiene k operacionesque se pueden hacer de m1, m2, . . . , mk maneras distintas, ysi no se pueden realizar conjuntamente, entonces el número

total de formas en que pueden realizarse las k operaciones esm1 + m2 + . . . + mk formas diferentes.

Principio multiplicativo: Si una operación se puede hacerde m maneras diferentes y otra de n maneras distintas, y siambas no son excluyentes, sino que se pueden llevar a cabo

juntas o en sucesión, entonces el número total de formas enque pueden realizarse ambas operaciones es m · n. Engeneral, si se tiene k operaciones que se pueden hacer dem1, m2, . . . , mk maneras distintas, y si se pueden realizarconjuntamente o en sucesión, entonces el número total deformas en que pueden realizarse las k operaciones esm1 · m2 · · · mk formas diferentes.

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Ejemplos:

Una señora dispone de un pollo para cocinaro. En su librode recetas encuentra tres recetas diferentes para hacerlo al

horno, dos para hacerlo frito y cuatro para prepararlococido. ¿ De cuántas maneras diferentes puede la señorapreparar su pollo?

En un restuarante se ofrecen platos con las siguientesopciones: tres tipos de sopas diferentes, cuatro secosdistintos, dos bebidas a escoger y dos tipos de postre ¿ De

cuántas formas diferentes puede un cliente elegir un plato?

Un vendedor tiene 5 clientes en Ecuador y 13 clientes enEspaña. ¿De cuántas formas puede él telefonear

a un cliente en Ecuador y luego a uno en España? a un cliente de Ecuador o a uno de España?

En una libreŕıa hay 11 libros de terror y 5 de misterio. ¿Decuántas formas podemos seleccionar?

un libro de terror o un libre de misterio? un libro de terror y un libro de misterio? un libro de misterio y otro de misterio?

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Principio de

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Ecuaciones de


ERLH de orden k





Suponiendo que no está permitido las repeticiones,¿ Cuántos números de cuatro d́ıgitos pueden formarse a

partir de los dı́gitos 2, 4, 6, 7, 8 y 9 ?

Con los d́ıgitos anteriores:

¿ Cuántos números de 4 d́ıgitos son mayores que 600 ?¿ Cuántos números de 4 d́ıgitos son menores que 600 ?¿ Cuántos números de 4 d́ıgitos son impares?

Supóngase que la placa de un veh́ıculo se forma de tresletras seguidas de tres números, de los cuales el primero nopuede ser cero. ¿ Cuántas placas diferentes pueden formarsesi en una placa no se permiten repeticiones de letras y denúmeros? ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer si las

letras no pueden ser ni O ni L? ¿ Cuántas sucesiones de bits de longitud 10 que comiencen

por 10101 pueden formarse?

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Permutaciones

DefiniciónCualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dadose llama Permutación de los objetos (tomados todos a la vez).Cualquier arreglo de cualquier k ≤ n de estos objetos en unorden dado, se llama Permutación de los n objetos tomadosk a la vez.

Ejemplos

Consideremos el conjunto A = {a,b,c,d}, entonces

1. abcd, bcda y adbc son permutaciones de los 4 objetostomados todos a la vez

2. abc, bca, acd son permutaciones de los cuatro objetostomados 3 a la vez

3. ac, bd, da son permutaciones de los 4 objetos tomados 2 a lavez

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Permutación sin repetición

Los n objetos son distintos y no se permite la repetición alseleccionar k de ellos.

Teorema (Permutación sin repetición)El n´ umero de permutaciones de k objetos tomados de un conjunto de n objetos se representa por P (n, k) y est´ a dado por

P (n, k) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)

DemostraciónEl primer objeto en una permutación de k objetos tomados de unconjunto de n objetos se puede escoger de n maneras diferentes,en seguida, el segundo objeto de la permutación se puede escogerde n − 1 maneras y después, el tercer objeto de la permutación se

puede escoger de n − 2 maneras. Continuando en esta forma,tenemos que él k-́esimo (último) objeto de la permutación sepuede elegir de n − (k − 1) = n − k + 1 maneras. Entonces, segúnel principio del producto del conteo, obtenemos

P (n, k) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)

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ObservaciónConsideramos P (n, 0) = 1

Corolario

Si n y k son enteros con 0 ≤ k ≤ n, entonces

P (n, k) = n!

(n − k)!

TeoremaEl n´ umero de permutaciones de n objetos tomados todos a la vez es n!, es decir,

P (n, n) = n!

Ejemplos:

El número de maneras como un estudiante puede escogeruna primera, una segunda y una tercera opción entre 45empleos poténciales es...

El número de maneras como 5 profesores pueden serasignados a 5 secciones de una universidad es ...

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Ecuaciones de


ERLH de orden k





Ocho caballos compiten en una carrera h́ıpica. Si se sabe quelos caballos nunca cruzan igual la meta, ¿de cuántasmaneras distintas pueden estos ocho caballos ocupar elprimer, segundo y tercer lugar?

¿ Cuántas permutaciones de las letras X Y ZW contienen lasletras Y Z juntas y en ese orden ?

¿ Cuántas permutaciones de las letras X Y ZW contienen lasletras Y Z o ZY en ese orden ?

4 libros de matemáticas, 6 de f́ısica y 2 de qúımica se colocanen un estante, de cuántas formas diferentes se puedenorganizar si los libros de cada materia deben estar juntos.

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Principiosmultiplicativo yaditivo

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Permutación con repetición

Los n objetos son distintos y se permite la repetición alseleccionar k de ellos.

Teorema (Permutación con repetición)

El n´ umero de arreglos ordenadados de k objetos, seleccionados entre n objetos distintos y permitiendo elementos repetidos es nk

Ejemplos:

¿ Cuántos números de 3 d́ıgitos se pueden formar utilizandolos d́ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se permiten d́ıgitosrepetidos

El número de maneras distintas en las que es posiblecontestar una prueba de verdadero y falso que consta de 5preguntas es...

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Permutaciones distinguibles

En ocasiones hay interés en permutar ciertos objetos de los cualeshay algunos que, si bien son diferentes objetivamente hablando,para fines prácticos son considerados como si fuesen iguales eidénticos. Este tipo de objetos se denominan indistinguibles.

Teorema (Permutaciones distinguibles)

El n´ umero de permutaciones distinguibles de n objetos tomados a la vez y en los cuales n1 de ellos son iguales, n2 de ellos son de otro tipo e iguales,. . . , nk de otro tipo e iguales, est´ a dada por

P (n; n1, n2, . . . , nk) = n!

n1!n2! . . . nk!

En donde n = n1 + n2 + . . . + nk

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Ejemplos:

¿ Cuántas señales diferentes, cada una consiste de 6 banderas

colgadas en una ĺınea vertical, podemos formar con 4banderas rojas idénticas y con 2 banderas blancas idénticas?

Seis fichas rojas, tres blancas y dos azules se colocan en fila.Se supone que las fichas de un mismo color no sondistinguibles entre si. ¿Cuántas colocaciones son posibles?

¿ Cuántas palabras se pueden formar con las letras de lapalabra MISSISSIPPI?

¿ Cuántas palabras se pueden formar con las letras de lapalabra CICLOPENTANOPERHIDROFENANTRENO?

La selección Colombia ganó 9 y empato 3 partidos de 16 que

jugó en la fase eliminatoria para el mundial de Brasil. ¿ Decuántas maneras posibles pudo la selección terminar conestos datos?

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Permutaciones Circulares

Una permutación circular consiste en ordenar n objetos alrededorde un circulo, es decir, que no tiene principio ni final. Paratrabajar con estas permutaciones se fija arbitrariamente un

elemento como el primero, para luego realizar las permutacionessobre los n − 1 restantes tomando todas las posiciones sobre lacircunferencia relativas al primer elemento fijo. El número deformas de ordenar los n objetos es igual a (n − 1)!

Ejemplos:

¿ De cuantas formas se pueden ubicar 8 personas en unamesa circular de 8 sillas?

Si 8 personas A, B, C , D, E , F , G, H se sientan alrededor deuna mesa circular, en donde A, B, C , D son hombres y el resto

mujeres ¿De cuantas formas diferentes se pueden sentar las 8

personas de tal manera de que dos personas del mismo sexono se sienten juntas?

¿De cuantas formas diferentes se pueden sentar las 8personas de tal manera de que las personas del mismo sexo

se sienten juntas?

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Recurrencia

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Combinaciones

DefiniciónSupongamos que tenemos un conjunto con n objetos. Unacombinación de estos n objetos tomados k objetos (k ≤ n) a lavez es cualquier agrupación, con k objetos, que se puede formarde los n objetos.

ObservaciónDos combinaciones son distintas si difieren, por lo menos, enalgún elemento. No importa el orden, y en esto se diferencia lascombinaciones de las permutaciones.

Ejemplo: Las combinaciones del conjunto A = {a,b,c,d}tomando 3 objetos a la vez son abc, abd, acd, bcd. Las siguientescombinaciones son iguales: abc, bca, cba, bca.

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Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

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El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez se

simboliza por C (n, k) ónk

.

TeoremaEl n´ umero total de combinaciones de n objetos tomados k objetos a la vez, donde:

1. los n objetos son distintos,

2. una vez utilizado un objeto no se puede usar de nuevo, y

3. el orden no importa

est´ a dado por

C (n, k) = P (n, k)

k!

M ´ i

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Recurrencia

Sucesiones

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Ejemplos

1. En una clase de 12 hombres y 8 mujeres, ¿De cuántas

maneras se puede seleccionar un comité que esté formadopor 3 hombres y 2 mujeres ?

2. Al reunirse un grupo de personas en la estadio para ver elpartido de la selección Colombia en pantalla grande se danla mano para saludarse. Si en total se dieron 595 apretones

de mano ¿Cuántas personas se saludaron?3. Una caja contiene 6 balotas blancas y 4 negras. ¿De cuántas

formas diferentes se puede extraer 3 balotas del mismo color?

4. Jairo empaca su maleta para irse para Brasil a ver elmundial. Él decide llevarse 3 camisetas de manga larga. 4camisetas de manga corta y 2 pantalones. Si en su armario

hay 16 camisetas de manga larga, 20 camisetas de mangacorta y 13 pantalones,¿ De cuántas maneras diferentes puede empacar la maleta?

M t ´tiEl i i i d l l

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El principio del palomar

El principio del palomar en su versión más sencilla.

“Si tenemos n nidos y en ellos duermen n + 1 palomas, al menos hay un nido en el que duermen más de unapaloma”

Con un lenguaje mas matemático, podŕıamos enunciarlo de lasiguiente manera: Sea X un conjunto de n objetos quedistribuimos en k cajas. El principio del palomar dice entonces

“Si n > k, hay al menos una caja con dos (o más) objetos”

“Si ocurriera que n > 2k, entonces podŕıamos asegurar

que hay al menos una caja con tres (o más) objetos”

En general,

“Dado r, si n > rk, entonces hay al menos una caja que tiene al menos r + 1 objetos”

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Principiosmultiplicativo y

aditivo

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Recurrencia

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Ejemplos

Si se tiene 80 palomas y se distribuyen todas en un palomarde 27 nidos, se puede asegurar que hay al menos un nido con3 palomas

Sea un cuadrado de diagonal 3 en el que marcamos al azar10 puntos. Demostrar que siempre tenemos dos puntos que

están a una distancia no mayor que 1 Demostrar que en cualquier conjunto de 20 números enteros

existe al menos dos números a y b tales que a − b es múltiplode 19

¿Cuál es el mı́nimo de una población para que exista almenos un d́ıa al año donde coincidan las fechas delaniversario de nacimiento de la menos nueve personas?

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¿Cuál es el menor número n que permite garantizar que encualquier conjunto de números naturales con n elementoshaya al menos tres elementos que dan el mismo resto aldividirlos por 100?

Demostrar que si se colocan 73 canicas en 8 cajas: Una delas cajas contiene al menos 10 canicas y si dos de las cajas

están vaćıas entonces algunas de las cajas contendrán almenos 13 canicas.

Las entradas de una matriz 3 × 3 son los números 0, 1 y −1.Probar que entre las 8 sumas que se obtienen por filas,columnas y diagonales hay dos iguales.

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Inducción

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Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





Ejemplos:

Si se tiene 80 palomas y se distribuyen todas en un palomar

de 27 nidos, se puede asegurar que hay al menos un nido con3 palomas.

Sea un cuadrado de diagonal 3 en el que marcamos al azar10 puntos. Demostrar que siempre tenemos dos puntos queestán a una distancia no mayor que 1.

Demostrar que en cualquier conjunto de 20 números enterosexiste al menos dos números a y b tales que a − b es múltiplode 19.

Supongamos que en una reunión hay 100 personas y nospreguntamos por el número de personas que conoce cadauno. Convenimos que si una persona conoce a otra, ésta

tambíen conoce a la primera; y que nadie se conoce aśı mismo. Probar que hay al menos dos personas que tiene elmismo número de conocidos.

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Combinaciones

El principio delpalomar


Principio de

Inducción

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Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





Comprobar que en una reunión de seis personas, o bien tresde ellas se conocen entre śı, o bien tres de ellas no seconocen entre śı

¿Cuál es el mı́nimo de una población para que exista almenos un d́ıa al año donde coincidan las fechas del

aniversario de nacimiento de la menos nueve personas? Demostrar que si se colocan 73 canicas en 8 cajas: Una de

las cajas contiene al menos 10 canicas y si dos de las cajasestán vaćıas entonces algunas de las cajas contendrán almenos 13 canicas.

MatemáticasEl principio de Inclusión-Exclusión



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Sucesiones

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El principio de Inclusion-Exclusion

TeoremaSean A y B conjuntos. Entonces,

| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B |

Ejemplos

De un grupo de programadores, 35 están familiarizados conordenadores del tipo A, 41 con ordenadores del tipo B y 46con algunos de los dos ¿Cuántos están familiarizados conambos?

En un curso hay 1500 estudiantes, de ellos, 350 estudianmedicina, 220 enfermeŕıa y 128 ambas carreras. ¿ Cuantosde los estudiantes del curso no estudian ni medicina, nienfermerı́a?

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Recurrencia

Sucesiones

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TeoremaSean A, B y C conjuntos. Entonces,

| A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C |

− | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |

Ejemplos

Una encuesta realizada entre 200 personas arrojó el resultado

siguiente.40 leen El Colombiano42 leen El Mundo45 leen El tiempo13 leen El Colombiano y El Mundo20 leen El Mundo y El Tiempo

18 Leen El Colombiano y El Tiempo7 leen los tres primeros¿ Cuántas personas no leen ninguno de los tres periódicos?¿ Cuántas personas leen únicamente El Colombiano?¿ Cuántas personas leen un solo periódico?

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Recurrencia

Sucesiones

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TeoremaSean A1, A2, . . . ,An conjuntos. Entonces

| A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An |=n

i=1

| Ai | −

i


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Principio de Induccion Matematica

El principio de Inducción matemática nos proporciona una buenatécnica para probar propiedades sobre los números naturales.

Proposicin (Principio de Inducción Matemática)

Sea Q(n) una afirmaci´ on, si se tiene

1. (Paso Base) Q(1) ( 1 cumple la afirmaci´ on)

2. (Paso Inductivo) Q(k) ⇒ Q(k + 1) para cualquier k ∈ N

Se concluye que Q(n) es cierta para todo n ∈ N.

Ejemplos

2n > n para todo n ∈ N

4n + 2 es multiplo de 3 para todo n ∈ N

Conjeture una fórmula para la suma de los primeros nenteros positivos impares. Después pruebe la conjeturautilizando inducción matemática.

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Di t IISucesiones



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DefiniciónUna sucesión sobre un conjunto A es una función en el conjuntoN de los números naturales cuyo rango está contenido en elconjunto A. Es decir, X : N → A es una sucesión, por lo generalX (n) se denotará por xn. La sucesión X se denotará por

(xn)n∈N

A cada xn se le llaman valores o términos de la sucesión.

Ejemplos

((−1)n)n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .)

2nn∈N =

21 ,

22 ,

23 , . . .

1n2

n∈N

=

112

, 122

, 132

, . . .

(3)n∈N = (3, 3, 3, 3, 3, . . .)

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Recurrencia

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Las sucesiones que están dadas por un proceso recursivo soncomunes en la ciencia de las computadoras. Con frecuenciaresulta conveniente especificar los valores de unas condicionesiniciales x1, x2, . . . y una fórmula para obtener xn+1 cuando seconocen algunos términos anteriores.

Ejemplos

La sucesión de Fibonacci

f 1 = 1, f 2 = 1, f n+1 = f n + f n−1 (n ≥ 2)

La sucesión de los números naturales pares se puede definirpor

a1 = 2, an+1 = an + 2 (n ≥ 1)

La sucesión de Lucas

l1 = 1, l2 = 3, ln+1 = ln + ln−1 (n ≥ 2)

Las expresiones de este tipo reciben el nombre de relación derecurrencia o ecuación de recurrencia.

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Discretas IIEcuación de Recurrencia Lineal homogénea de orden k

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gcon coeficientes constantes

Dada una sucesión (an)n∈N, una ecuación de recurrencialineal homogénea (ERLH) de orden k con coeficientesconstantes es una igualdad de la forma

cnan + cn−1an−1 + . . . + cn−kan−k = 0

donde cn, cn−1, . . . , cn−k son constates distintas de cero yconocidas.

Ejemplos

La sucesíon a1 = 1, a2 = 2, an = an−1 − an−2 para n ≥ 3 es

una ERLH de orden 2. La sucesión de Fibonacci es una ERHL de segundo orden.

a1 = 5, an = 3an−1 para n ≥ 2 es una ERLH de orden 1.

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Recurrencia

Sucesiones

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DefiniciónEncontrar una solución a la ecuación de recurrencia esdeterminar una expresión del tipo an = f (n) en la que el términogeneral depende solo de la posición que ocupa y no de losanteriores términos, que verifique la igualdad de la ecuación derecurrencia.

Observación

Una ERLH tiene infinitas soluciones. Al conjunto de todasellas se le conoce como solución general de la ERLH

Para que la solución sea única es necesario conocer algunostérminos de la sucesión, lo que llamaremos condicionesińıciales. En el ejemplo de la sucesión de fibonacci lascondiciones ińıciales son f 1 = 1 y f 2 = 1.

Matemáticas

Discretas IIEcuación de Recurrencia lineal homogénea de primer

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Recurrencia

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ERLH de orden k





orden

Una ERLH de primer orden es una progresión geométrica de laforma an+1 = ran para n ≥ 1. Si la condición inicial es a0 = A,entonces la solución de esta ecuación está dada por:

an = Arn

Ejemplos

a0 = 5, an+1 = 8an (n ≥ 1)

a0 = 7, an+1 = 1

5an (n ≥ 1)

a0 = 2, a2n+1 = 8a

2n (n ≥ 1)

Averiguar en qué se convierte un capital inicial C 0 al cabode t años a una tasa de inteŕes compuesto anual de i

Matemáticas

Discretas IIEcuación de Recurrencia lineal homogénea de segundo

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Introducción







Combinaciones



Principio de

Inducción

Matemática

Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





orden

Es una ecuación de la formacnan + cn−1an−1 + cn−2an−2 = 0 (n ≥ 2)

Definición (Ecuación Caracteŕıstica de una ERLH)

Dada una ERLH de segundo orden

cnan + cn−1an−1 + cn−2an−2 = 0 (n ≥ 2)

la ecuación

cnr2 + cn−1r + cn−2 = 0

se conoce como ecuación caracteristica de la ERLH

ObservaciónAl polinomio p(r) = cnr

2 + cn−1r + cn−2 se le llama PolinomioCaracterı́stico de la ERLH

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Discretas II

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Introducción







Combinaciones



Principio de

Inducción

Matemática

Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





TeoremaSea (an) una sucesi´ on que cumple con la ERLH

cnan + cn−1an−1 + cn−2an−2 = 0 (n ≥ 2)con las condiciones iniciales a0 = A0 y a1 = A1.

Seg´ un las ráıces del polinomio caracteŕıstico las soluciones de la ecuaci´ on de recurrencia pueden ser de dos tipos:

1. r1 = r2 (reales o complejas), entonces existen constantes α y β tales que

an = αrn1 + βr

n2 (n ≥ 0)

2. r1 = r2 (real o compleja), entonces existen constantes χ y δ

tales que an = χrn + δnrn (n ≥ 0)

Las constantes α y β (o bien χ y δ en el caso 2) se encuentran utilizando las condiciones iniciales.

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Introducción







Combinaciones



Principio de

Inducción

Matemática

Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





Ejemplos

Hallar una fórmula explicita para los términos de la sucesióndefinida por a0 = 1, a1 = 2, an + an−1 − 6an−2 = 0 (n ≥ 2)

Hallar una fórmula explicita para los términos de la sucesióndefinida por a0 = 5, a1 = 12, an − 6an−1 + 9an−2 = 0 (n ≥ 2)

Nos regalan tres sellos y decidimos iniciar una colección. Elaño siguiente, la incrementamos con 8 sellos más(tendŕıamos entonces 11 sellos). Si cada año compramos unnúmero de sellos igual al doble de los que compramos el añoanterior, ¿Al cabo de cuántos años habremos superado elmillón de sellos?

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Discretas IIEcuación de Recurrencia lineal homogénea de segundo

d



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Combinaciones



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Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





orden

Es una ecuación de la forma

cnan + cn−1an−1 + . . . cn−kan−k = 0 (n ≥ k)

De igual manera al caso anterior, se define

Definición (Ecuación Caracteŕıstica de una ERLH)

Dada una ERLH de orden k

cnan + cn−1an−1 + . . . cn−kan−k = 0 (n ≥ k)

la ecuación

cnrk + cn−1r

k−1 + . . . + cn−k = 0

se conoce como ecuación caracteristica de la ERLH

ObservaciónAl polinomio p(r) = cnr

k + cn−1rk−1 + . . . + cn−k se le llama

Polinomio Caracteŕıstico de la ERLH

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Inducción

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Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





Según las ráıces del polinomio caracteŕıstico, las soluciones de laecuación de recurrencia pueden ser de dos tipos:

1. El polinomio tiene k ráıces distintas: r1, r2, . . . , rk (reales ocomplejas), entonces la solución general a la ecuación derecurrencia es igual a

an = α1rn1 + α2r

n2 + . . . + αkr

nk

con α1, α2, . . . , αk constantes.2. Cuando una ráız r de la ecuación caracteŕıstica presente

tiene multiplicidad m ≥ 2, entonces la parte de la soluciónque incluye la ráız es de la forma:

(β m−1nm−1 + β m−2n

m−2 + . . . + β 1n + β 0)rn

donde β 0, β 1, . . . , β m−1 son constantes.

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Combinaciones



Principio de

Inducción

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Ecuaciones de

Recurrencia

Sucesiones

ERLH de orden k





Ejemplos

Hallar una fórmula explicita para los términos de la sucesióndefinida por a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3,an = 5an−1 − 8an−2 + 4an−3 (n ≥ 3)

Hallar una fórmula explicita para los términos de la sucesióndefinida por a0 = 0, a1 = 1, a2 = 3,an − an−1 = 4 [(an−1 − an−2) − (an−2 − an−3)] (n ≥ 3)

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Discretas IIEcuaciones de recurrencia lineal no homogénea

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Ecuaciones de

Recurrencia

SucesionesERLH de orden k





Dada una sucesión (an), una ecuación de recurrencia lineal no

homogénea de orden k es una igualdad de la forma

cnan + cn−1an−1 + . . . + cn−kan−k = bn, n ≥ k (1)

donde cn, cn−1, . . . , cn−k son constates distintas de cero y (bn) esuna sucesión no nula.

Observación

1. A la ecuación cnan + cn−1an−1 + . . . + cn−kan−k = 0, n ≥ kresultante de sustituir por cero el término bn en la ecuación(1), se le llama ecuación de recurrencia homogéneaasociada a la ecuación (1).

2. La solución a la ecuación (1), se puede escribir de la formahn + pn donde hn es la solución de la ecuación homogéneaasociada y pn es una solución particular de (1).

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Ecuaciones de

Recurrencia






Ejemplos

an + 2an−1 = 3. En este caso bn = 3 . Se puede pensar queuna solución particular de esta ecuación puede ser de laforma pn = A (con A una constante). Si sustituimos en laecuación se obtiene

A + 2A = 3

de donde se sigue que A = 1. Por lo tanto pn = 1 es unasolución particular.

an + 2an−1 = n2 − n − 1. En este caso bn = n

2 − n − 1. Seprueba si puede ser solución una sucesión del mismo tipo,

pn = An2 + Bn + C .

an − 3an−1 = 5(7n

). En este caso bn = 5(7n

). Se pruebaentonces con una sucesión de la forma pn = A(7

n).

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Combinaciones



Principio de

Inducción

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Ecuaciones de

Recurrencia






1. En los tres ejemplos anteriores se considero una soluciónparticular generalizando la expresión dada por bn .Obtuvimos una solución particular a partir de bn.

2. Los coeficientes A, B, C , etc. se encuentran sustituyendo pnen la ecuación de recurrencia dada y resolviendo un sistemade ecuaciones.

3. Esta técnica es válida cuando bn , o algún término de bn nosea solución de la ecuación homogénea asociada.

Ejemplos

an − an−1 = 3. Si se prueba con una solución de la forma pn = A, al sustituir se obtiene una contradicción ya queA − A = 3, esto es, 0 = 3. Esto significa que no hay ningunasolución particular polinómica de grado 0. En estos casos se

probará con soluciones polinómicas de grado superior al quetiene la sucesión bn. En este caso si se toma una soluciónparticular del tipo pn = An , sustituyendo se obtiene A = 3.Por lo tanto una solución particular es pn = 3n

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Combinaciones



Principio de

Inducción

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Ecuaciones de

Recurrencia






Pautas para determinar pn

Si bn es un múltiplo constante de una de las expresiones de

la primera columna de la tabla siguiente y no es solución dela ecuación homogénea asociada, entonces la soluciónparticular pn tiene la forma que se muestra en la segundacolumna.

bn pn

C An An + B

n2 An2 + Bn + C n3 An3 + Bn2 + Cn + Drn A · rn

n2rn (An2 + Bn + c)rn

n3rn (An3 + Bn2 + Cn + D)rn

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Permutaciones





Combinaciones



Principio de

Inducción

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Ecuaciones de

Recurrencia






Cuando bn es una suma de múltiplos constantes de términoscomo los de la primer columna (y ninguno de estos essolución de la ecuación homogénea asociada), entonces lasolución particular se forma como la suma de los términoscorrespondientes en la segunda columna.

Si bn (o algún término de bn ) es un múltiplo de algúntérmino de la forma rn donde r es una raiz de la ecuacióncaracteristica de la ERLH asociada, multiplicamos lasolución particular correspondiente a ese sumando por nm

(m es la multiplicidad de la ráız r).

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Permutaciones





Combinaciones



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Ecuaciones de

Recurrencia






Ejemplos

Resolver la ecuación de recurrencia an = an−1 + 12an−2 + 7n

para n ≥ 2. a0 = 3, an − an−1 = 3n

2 − n, para n ≥ 1.

an = 5an−1 − 6an−2 + 2n + 3n, para n ≥ 2.

Qué forma tiene una solución particular de la ecuación derecurrencia

an = 8an−1 + 16an−2 + bncuando bn = 4

n, bn = n4n, bn = n3

n y bn = (n2 + 4n)4n.

Supongamos que la ecuación caracteŕıstica de la ERLHasociada tenga ráıces 1 de multiplicidad 2, 2 de multiplicidad1, 3 de multiplicidad 3 y que el término independiente es

bn = n2 − 5n + 4 + (3n − 5)2n + (n − 5)3n + (4n2 − 2)7n

determinar que forma tiene la solución particular pn.
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