lógica proposicional

LOGICA

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Proposición

Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa

Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un

predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no

afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

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Ejemplos– 1 + 4 = 5 (Verdad)

– La Pampa es una nación. (Falso)– 8 + 23 (no es proposición)– María (ídem anterior)

Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

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Proposición Atómica

Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa.

Ejemplos:– La casa es grande. (es atómica)

– La casa no es grande. ( no es atómica)

– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

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Proposición Molecular

Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

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Proposiciones Moleculares

Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.– No es cierto que Juan llegó temprano– Juan no llegó temprano– Luis es arquitecto y Martín es médico.– La medalla no es de plata y el diploma parece

falso.– Matías aprobó pero Lucas no.

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Simbolización

Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.

Ejemplo:– El Sr.Domínguez es el gerente.

Si se considera

p = “El Sr.Domínguez es el gerente”

esta proposición puede ser simbolizada como p.

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Simbolización

Para simbolizar un proposición– Identificar las proposiciones simples o atómicas– Simbolizar las proposiciones simples o

atómicas encontradas.– Utilizar los conectivos lógicos para

relacionarlas.

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Simbolización

Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.

p : “Vamos en bicicleta”.

q : “Vamos a pie”

Simbolización: p v q– No es cierto que Juan llegó temprano

p = “Juan llegó temprano”.

Simbolización : p

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Simbolización

Ejemplo– La medalla no es de plata y el diploma

parece falso.

p : “La medalla es de plata”.

q : “El diploma parece falso”

Simbolización: p ^ q

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Simbolización

Ejemplo– Matías aprobó el examen pero Lucas no.

r = “Matías aprobó el examen”.

s = “Lucas aprobó el examen”

Simbolización : r ^ s

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La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve”

La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los

17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que

no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

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Tabla de Verdad

La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

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Negación

Indique el valor de verdad de:– El número 9 no es divisible por 3.– No es cierto que los perros vuelan.

p

p p

V F

F V

p

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Conjunción

Indique el valor de verdad de :– 6 es un número par y divisible por 3.– ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

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Disyunción

Indique el valor de verdad de :– 2 es primo o es impar.– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

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Construcción de tablas de verdad

¿Cuántas filas tiene la tabla?– 1 proposición 2 valores (V o F)– 2 proposiciones 4 valores de verdad– 3 proposiciones 8 valores de verdad– .........– n proposiciones 2n valores de verdad.

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Ejemplos

Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones

p ^ q

( p v q ) ^ p

(p ^ r ) v ( p ^ q)

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Ejercicio

Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:

(p ^ q ) v (r ^ p ) v s

(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

21

Ejercicio

Sabiendo que

(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

22

Ejercicio

Sabiendo que

( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

23

Proposiciones moleculares

Según su valor de verdad pueden ser

– Tautología

– Contradicción

– Contingencia

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Tautología

Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Ejemplo: p v p

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Contradicción

Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Ejemplo: p ^ p

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Contingencia

Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.

Ejemplo: p ^ q

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¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología?

¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

EjerciciosFormaliza las siguientes proposiciones:

No es cierto que no me guste bailarMe gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

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Equivalencia Lógica

Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)

Ejemplo: (p q) p q

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Ejemplo:

p q p v q (p q)

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

p q p q p q

V V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

(p q) p q

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Leyes de De Morgan

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p q) p q

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p q) p q

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Proposición condicional

Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe

p q

donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

32

Proposición condicional

Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos

entonces aprenderemos matemática

p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos "

q = "aprenderemos matemática"

Simbolizando: p q

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Proposición condicional

Ejemplo:

Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano

p = "vamos a la fiesta"

q = "nos acostaremos temprano"

Simbolizando: p q

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Tabla de verdad del condicional

p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

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Proposición Condicional

Existen distintas formas de leer un condicional:– “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”.

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Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo:

p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par

– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par

– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par

– Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

37

Proposición condicional

La contra positiva de la proposición condicional p q es la proposición

q p

Muestre la equivalencia lógica:

p q q p

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Proposición bicondicional

Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

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p q (p q) ^ (q p)

p q p q q p (p q) ^ (q p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

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1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa.

a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas

2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que

( p q ) r ( s t ) sea falsa

3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones

a) ( p q ) q

b) ( p q ) ( p q )

c) q ( p q)