lógica proposicional

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LOGICA 1 2 Proposicin Expresin de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposicin es una sentencia (oracin) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oracin del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados. 3 Ejemplos 1 + 4 = 5(Verdad) La Pampa es una nacin. (Falso) 8 + 23 (no es proposicin) Mara (dem anterior) Analiza si son o no proposicionesLus y Marta van de pesca.Luis llam a Marta para salir.El autobs pasa a las seisMaana llover.sintate!cundo sale el autobs?fueron a pescar Luis y Marta finalmente? 4 Proposicin Atmica Una proposicin essimple o atmica si no puede ser descompuesta en proposiciones ms simples. Las proposiciones simples oatmicas son indicadas de manera afirmativa. Ejemplos: La casa es grande.(es atmica) La casa no es grande.( no es atmica) Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atmica) 5 Proposicin Molecular Una proposicin es compuesta omolecular si no es atmica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones ms simples. Una proposicin compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atmicas utilizando conectivos lgicos o trminos de enlace. 6 Proposiciones Moleculares Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie. No es cierto que Juan lleg temprano Juan no lleg temprano Luis es arquitecto y Martn es mdico. La medalla no es de plata y el diploma parece falso. Matas aprob pero Lucas no. 7 Simbolizacin Se utilizarn letras minsculas para simbolizar las proposiciones atmicas. Ejemplo: El Sr.Domnguez es el gerente. Si se considerap = El Sr.Domnguez es el gerente esta proposicin puede ser simbolizada como p. 8 Simbolizacin Para simbolizar un proposicin Identificar las proposiciones simples o atmicas Simbolizar las proposiciones simples o atmicas encontradas. Utilizar los conectivos lgicos para relacionarlas. 9 Simbolizacin Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : Vamos en bicicleta. q : Vamos a pie Simbolizacin: p v q No es cierto que Juan lleg temprano p = Juan lleg temprano. Simbolizacin : p 10 Simbolizacin Ejemplo La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : La medalla es de plata. q : El diploma parece falso Simbolizacin: p ^ q 11 Simbolizacin Ejemplo Matas aprob el examen pero Lucas no. r = Matas aprob el examen. s= Lucas aprob el examen Simbolizacin :r ^ s 12 La formalizacin es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simblico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Seanp: La temperatura est sobre los 17C q: Llueve La temperatura est sobre los 17C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17C. Llueve cuando la temperatura est sobre los 17C. Que la temperatura est sobre los 17C es suficiente para que no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17C. 13 Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposicin molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen. 14 15 Negacin Indique el valor de verdad de: El nmero 9 no es divisible por 3. No es cierto que los perros vuelan. p p p VF FV p 16 Conjuncin Indique el valor de verdad de : 6 es un nmero par y divisible por 3. ( 2 + 5 = 7 )y ( 2 * 3 = 9 ) pqp ^ q VVV VFF FVF FFF 17 Disyuncin Indique el valor de verdad de : 2 es primo o es impar. (2 + 3 =4 ) o (2 * 2 = 5)pqp v q VVV VFV FVV FFF 18 Construccin de tablas de verdad Cuntas filas tiene la tabla? 1 proposicin 2 valores (V o F) 2 proposiciones4 valores de verdad 3 proposiciones8 valores de verdad ......... n proposiciones2n valores de verdad. 19 Ejemplos Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q) 20 Ejercicio Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q )v(r^ p ) v s (qvp)^ (rv s )v( q^ r ) 21 Ejercicio Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible,el valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen 22 Ejercicio Sabiendo que (p ^ q ) v ( p v q )es falsa indicar, de ser posible,el valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen 23 Proposiciones moleculares Segn su valor de verdad pueden ser Tautologa Contradiccin Contingencia 24 Tautologa Una proposicin compuesta omolecular es una tautologa si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen. Ejemplo: pv p 25 Contradiccin Una proposicin compuesta o molecular es una contradiccin si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atmicas que la componen. Ejemplo: p^p 26 Contingencia Sedicequeunaproposicincompuestao molecularesunacontingenciasial construirlatabladeverdadelresultado finalqueseobtiene,esunacombinacin valores de verdad verdaderos y falsos. Ejemplo: p^q 27 Cules de estas proposiciones es una tautologa? Puedes construir una contradiccin a partir de alguna de ellas? Cul?Ejercicios Formaliza las siguientes proposiciones: No es cierto que no me guste bailar Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficcin. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustara acariciarlos. Si y slo si viera un marciano con mis propios ojos, creera que hay vida extraterrestre. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energmeno. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acorden, pensara que estoy como una regadera y dejara que me internaran en un psiquitrico. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar. 28 Equivalencia Lgica Se dice que dos formulas lgicassonequivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) Ejemplo: (p q) p q 29 Ejemplo:pqp v q (p q) VVVF VFVF FVVF FFFV pq p q p q VVFFF VFFVF FVVFF FFVVV (p q) p q 30 Leyes de De Morgan La negacin de una disyuncin es equivalente a la conjuncin de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q La negacin de una conjuncin es equivalente a la disyuncin de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q 31 Proposicin condicional Dadas dos proposiciones p y q, la proposicin"si p entonces q" se llama proposicin condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hiptesis, y q consecuente o tesis.32 Proposicin condicional Ejemplo:Si resolvemos las guas de trabajos prcticos entonces aprenderemos matemtica p = "resolvemos las guas de trabajos prcticos " q = "aprenderemos matemtica" Simbolizando:p q 33 Proposicin condicional Ejemplo:Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p q 34 Tabla de verdad del condicional pqp q VVV FVV VFF FFV La implicacin de p a q es falsa nicamente en el caso de que el antecedentep sea verdadero y que el consecuente q sea falso35 Proposicin CondicionalExisten distintas formas de leer un condicional: Si p entonces q.qes una condicinnecesaria para p p es una condicin suficiente para q. 36 Distintas formas de indicar una proposicin condicional Ejemplo: p : El entero x es mltiplo de 4q : El entero x es par Si el entero x es mltiplo de 4,entonces es par Que el entero x sea mltiplo de 4 es suficiente para que sea par Que el entero x sea par es necesario para que sea mltiplo de 4. 37 Proposicin condicional La contra positiva de la proposicin condicionalp q es la proposicin q p Muestre la equivalencia lgica: p q q p 38 Proposicin bicondicional Observando la tabla notamos que el bicondicionaldistingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.pqp q VVV VFF FVF FFV 39 p q (p q) ^ (q p) pq p qqp(p q) ^ (qp) VVVVV VFFVF FVVFF FFVVV 40 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p qes falsa. a) p q b) q pc)p p d) p q Piensa un ratoy justificatusrespuestas 2) Halla los valores de verdad dep, q, r, s, tpara que( p q ) r ( s t )seafalsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p q ) q b) ( p q ) ( p q ) c) q ( p q)