informe analisis numerico
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Universidad Fermín Toro
Ministerio de Educación Superior
Valera. Estado Trujillo
Análisis Numérico
Profesor
Edecio Freitez
Alumna: Sofía Berrios
C.I: 17605831
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Introduccion
El analisis numerico resulta ser una opcion muy viable para la resolucion de de
ecuaciones, tanto algebraicas(polinomios) como trascendentes en comparacion con otro
tipo de metodos, en la actualidad el aumento del uso de las computadoras ha hecho mas
accesible el empleo de metodos numericos que se encargan de diseñar algoritmos para,
a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos del mundo real.
Los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la
inmensa mayorıa de los metodos que el Analisis numerico propone, dado el
considerable volumen de calculos y manipulaciones de datos que suelen llevar
aparejados
Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los
valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente
determina, en esta breve investigacion se abarcara de manera general los topicos mas
resaltantes que surgen de la aplicación de metodos numericos como son: cuales son los
tipos de errores que se cometen al realizar algun tipo de medicion y cuales son las
principales fuentes de error.
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Índice
Pag.
Introducción……………………………………………..2
Índice…………………………………………………....3
Métodos numéricos definición………………………….4
Importancia de los métodos numéricos…………………5
Tipos de error
Error relativo y error absoluto……………………………5
Fuentes de error:
Errores de redondeo y de truncamiento…………………..6
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Métodos numéricos
Un método numérico es un algoritmo que intenta resolver una operación
matemática compleja en un ordenador.
Antes de entrar en los tipos de errores es necesario definir el término de
medición.
Medir: es determinar una magnitud específica, empleando algún instrumento
graduado con dicha unidad
Los errores asociados a cálculos y medidas que resultan de la aplicación de
métodos numéricos se pueden caracterizar por medio de la observación de su precisión
y exactitud.
Exactitud: Se refiere a la aproximación de un número o una medida a un valor real
Precisión: El número máximo de decimales que considera el ordenador en la
representación interna de un número real se llama precisión.
En base a los conceptos anteriores podemos deducir que el error representa la
inexactitud y la imprecisión de los resultados obtenidos por el método numérico
aplicado.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar
las operaciones y cantidades matemáticas
Importancia de los métodos numéricos
Algunas operaciones matemáticas pueden resultar complicadas, y por más que se
dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin
embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí
donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Los
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métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices.
Tipos de errores
Error absoluto: es la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la
sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco
dispersas que resultaron
Ea=imprecisión=incertidumbre
En términos matemáticos se define como
El error absoluto indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la
medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo
Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error
absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).
Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un
metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir
la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será
1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid.
Tiene mucha más calidad la segunda medida.
Fuentes de error: errores de redondeo y de truncamiento
La elaboración de algoritmos no solo exige un buen conocimiento de los entes
Matemáticos y los métodos numéricos involucrados, sino también un cierto cuidado en
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la disposición de los cálculos para minimizar, en la medida de lo posible, los efectos
indeseados e inevitables de los errores de redondeo que provienen del hecho de que el
ordenador no puede utilizar más que una cantidad limitada de números racionales para
representar todos los números reales
Error de redondeo: se define como la diferencia entre el número considerado y su
representación interna.
Definición Si r ∗ es una aproximación del número real r, se llama error absoluto a |r − r ∗ | y
error relativo a |r − r ∗ | |r| , siempre que sea r ̸= 0
Dos formulaciones equivalentes de un mismo problema pueden arrojar distintos
resultados al efectuar los cálculos en un ordenador. Así mismo, al realizar largas
cadenas de cómputos, los errores de redondeo pueden acumularse de tal modo que
resten validez a los resultados, dando lugar a fenómenos llamados de inestabilidad
numérica. Para controlar la propagación de errores de redondeo, es necesaria, por tanto,
la búsqueda de algoritmos con un número mínimo de operaciones convenientemente
dispuestas, manteniendo, de paso, el tiempo de cálculo dentro de unos lımites
aceptables.
La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los
errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones
del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener
una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos
posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de
redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso
de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo
operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo
tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de
redondeo puede resultar de mucha importancia.
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Errores de truncamiento: se originan al aproximar un proceso infinito por un proceso
finito. En esencia, supongamos que la obtención de la solución de un problema esta
dada por un algoritmo con un número no finito de pasos y que, si consideramos, para
cada n ∈ N, la solución xn del paso n-esimo, se verifica que
lim xn = s.
Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de
Taylor.
Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de
la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.
Siendo el término final:
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta para un
polinomio de n-ésimo den. Para otras funciones continuas diferenciables, como las
exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número
finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de
la aproximación, aunque sea un poco.
Error numérico total
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento.
(Los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo
que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error
total lleva al incremento del otro)
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Conclusión
En un proceso de cálculo el error de los resultados proviene de una diversidad de
fuentes. Para estimarlo es necesario analizar su “composición” remitiéndolo a esas
fuentes. De esta manera pueden distinguirse distintos tipos de errores, para cuya
estimación se requieren, en general, tratamientos diferentes.
Puede tratarse de errores de medición. También se refiere a los que resulten de
representar un número por una secuencia finita de dígitos (como hace necesariamente
una computadora digital), aunque aquél sea conocido, teóricamente, con una precisión
infinita.
Los errores de redondeo se introducen en los procesos de computación por el
hecho de que las computadoras trabajan con un número finito de dígitos después del
punto decimal y tienen que redondear. Son los que se producen por truncar un proceso
matemáticamente infinito (es decir, un proceso que involucra, en algún sentido, un paso
al límite). Tal es lo que sucede al evaluar series por medio de sumas finitas, integrales
por fórmulas de cuadratura, derivadas por aproximaciones en diferencias finitas
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Bibliografía
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. C.Chapra, Steven, Et al.
Ed MC GRAW-HILL . México 1995. 641 pp.
http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html
http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/2011/Intro/Intro.pdf
https://mat.caminos.upm.es/wiki/Métodos_numéricos
http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-
numerico.shtml#ixzz3bmKcyAGk
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