gráficas aproximadas para algunos polinomios de grado 3 o más

Gráficas aproximadas para algunos polinomios de grado

3 o más

• Una vez se identifican los ceros de una función polinómica, se puede construir un boceto o una aproximación a la gráfica de la función manualmente.

• Para construir una gráfica aproximada, localizas los ceros en un plano cartesiano. Localizas el int-y. Finalmente, debemos saber como unir los puntos con una curva suave.

Trazar la gráfica de

• Este es un polinomio de grado 3• Su coeficiente principal es +1, lo

cual indica que la cúbica es creciente en ambos extremos.

• Recuerde: Una gráfica es creciente en ambos extremos cuando sus extremos apuntan en diferentes direcciones.

xxxxf 107)( 23

Trazar la gráfica de

• Encontramos en el estudio anterior que los ceros son: x=0, x=2, x=5.

• Un punto adicional fácil de identificar para un polinomio es el intercepto en y. En este caso si x=0, f(x)=y=0, que coincide con un int-x.

• Como el polinomio es de grado 3, tiene un máximo de 2 puntos de retorno.

xxxxf 107)( 23

)0,2((5,0), 0,0),(

Trazar la gráfica de

xxxxf 107)( 23

1. Localizar ceros en un plano cartesiano

Trazar la gráfica dexxxxf 107)( 23

2. Trazar una curva suave q une los puntos y que muestra las características que hemos indicado.

3. Los puntos de retorno deben estar a cerca de la mitad de la distancia entre dos ceros.

Trazar la gráfica dexxxxf 107)( 23

Nota: Si queremos estimar el valor de la función en los puntos de retorno podemos evaluar la función para valores de x adicionales. Por ejemplo:

•f(1)=•f(4)=

4; el punto (1,4)- 8; el punto (4,-8)

Comportamiento típico de polinomios de grado 3 (cúbicas)

• Polinomios de grado 3 con coeficiente principal positivo.Gráfica azul: 1 cero (int-x)Gráfica rojo: 3 ceros (int-x)

•Polinomios de grado 3 con coeficiente principal negativo.

Gráfica azul: 1 cero (int-x)

Gráfica verde: 3 ceros (int-x)

Trazar la gráfica de

• Este es un polinomio de grado 4• Su coeficiente principal es -2, lo cual

indica que este polinomio es creciente en el extremo izquierdo y decreciente en el extremo derecho. Para un polinomio de grado par, esto implica abrir hacia abajo.

• Recuerde: Una gráfica es creciente en un extremo y decreciente en el otro si sus extremos apuntan en la misma dirección.

242)( 24 xxxg

Trazar la gráfica de

• Los ceros se consiguen:

)1(1)1(12

más. factorizan scuadrático factores dos Estos

112 g(x)

sea o 112 :factoriza que

122

: tenemospor doSustituyen

122

22

2

2

24

x)(xx)(x -g(x)

))(x(x-

))(u(u- -g(x)

uu-g(x)

xu

xxg(x)

242)( 24 xxxg

Trazar la gráfica de

• Los ceros son: x=1, x= -1 [los puntos (1,0) y (-1,0)]. Decimos que tienen multiplicidad doble.

• Un punto adicional fácil de identificar para un polinomio es el intercepto en y. En este caso si x=0, f(x)=y=- 2; o sea el punto (0,-2)

242)( 24 xxxg

Trazar la gráfica de

1. Localizar ceros y el intercepto en y en un plano cartesiano

242)( 24 xxxg

Trazar la gráfica de

242)( 24 xxxg2. Trazar una curva suave q une los puntos y que muestra las características que hemos indicado.

3. En este caso los puntos de retorno coinciden con los intercepts en x.

Práctica 1

• Usa el método presentado anteriormente para trazar la gráfica de las siguientes funciones:

xxxxp 963)( a) 23

66)( c) 23 xxxxh345 24183)( d) xxxxq

))(x-)(x-)(x(x.f(x) 521350 b)

Soluciones

))(x-)(x-)(x(x.f(x) 521350

345 24183)( xxxxq

¿Y ahora qué?

• Una vez hayas estudiado esta presentación y realizado las prácticas (los ejercicios en esta presentación y en el texto), puedes pasar al blog del curso a tomar la prueba corta sobre: Las gráficas de polinomios.

Herramientas visuales disponibles en el Internet• http://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html• http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html• http://www.explorelearning.com/index.cfm?

method=cResource.dspDetail&ResourceID=62