funciones matemáticas

Bachiller:

Bustamante G. Jesús M

ITS Sistema SAIA

Barcelona, 2.014

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Son funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.

CARACTERISTICAS

En las ecuaciones hiperbólicas, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas

DEFINIDAS L a función f: [R![R, definida por:

f(x) = senh x = , x " R, se denomina

función seno hiperbólico.

f(x) = cosh x = , x " R, se denomina

función coseno hiperbólico.

f(x) = tgh x = , x " R, se llama

función tangente hiperbólico.

f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama

función cotangente hiperbólico.

f(x) = sech x = , x " R, se llama

función secante hiperbólico.

f(x) = cosch x = , x " 0, se llama

función cosecante hiperbólico

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

SENO HIPERBÓLICO:

El seno hiperbólico de un número real x, que se designa con sinh(x) está definido mediante la siguiente ecuación:

Donde ex es la función exponencial.

Esta función, junto con el

coseno hiperbólico y la

tangente hiperbólica,

conforman unas reglas como

las trigonométricas

tradicionales, pero con

algunas excepciones. Entre

ellas:

cosh2x−sinh2x=1

tanh(x)=sinh(x)cosh(x)

La función sinh(x) es una

función impar, ya que para

todo valor de x, se cumple

que sinh(−x)=−sinh(x)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−∞,+∞)

Imagen (−∞,+∞) Propiedades: Biyectiva, Impar, Trascendente y Estrictamente creciente

Límites

limx→−∞sinhx=−∞ limx→+∞sinhx=+∞

FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO

El coseno hiperbólico de

un número real x, que se

designa mediante

cosh(x) está definido

mediante la fórmula:

Donde ex = exp(x) ,

siendo exp(x) la función

exponencial, es decir, la

potencia de base

irracional e y exponente

x.

Su inversa es el

Argumento Coseno

Hiperbólico de x, esto se

denota por cosh−1(x) o

bien argcosh(x)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)

Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectivaen el codominio, Par, Convexa, Trascendente

Límites

limx→−∞coshx=+∞

limx→+∞coshx=+∞

FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO

El coseno hiperbólico de

un número real x, que

se designa mediante

cosh(x) está definido

mediante la fórmula:

Donde ex = exp(x) ,

siendo exp(x) la

función exponencial,

es decir, la potencia de

base irracional e y

exponente x .

Su inversa es el

Argumento Coseno

Hiperbólico de x, esto

se denota por

cosh−1(x) o bien

argcosh(x)

FUNCIONES HIPERBÓLICASDominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)

Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Par, Convexa y Trascendente

Límites

limx→−∞coshx=+∞

limx→+∞coshx=+∞

FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

FUNCIONES HIPERBÓLICASSi se sustituye de acuerdo

con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:

tanhx= ex−e−x

ex+e−x

TANGENTE HIPERBÓLICA

de un número real x se

designa mediante tanhx y

se define como el cociente

entre el seno hiperbólico y

el coseno hiperbólico del

número real x. La fórmula

es entonces:

FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−1,1)

Imagen (−1,1) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Impar, Estrictamente creciente y Trascendente

Límites

limx→−∞tanhx=−1

limx→+∞ tanhx=1

FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OTRAS LÍNEAS: Cotangente hiperbólica

Secante hiperbólica

Cosecante hiperbólica

FUNCIONES PARABOLASTambién llamadas funciones

CUADRATICAS. Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

CARACTERISTICAS Las funciones cuya

ecuación es y = ax2 + bx + c con a,b y c números y a distinto de 0 (el valor de b y c si puede ser 0) se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y.

Estas parábolas son más

o menos abiertas y con

las ramas hacia arriba o

hacia abajo, según cual

sea el valor de a:· Si a >

0, las ramas van hacia

arriba.· Si a < 0, las

ramas van hacia abajo.

Además cuanto mayor

sea |a|, menos abierta es

la parábola.

FUNCIONES PARABOLASFORMA DE CALCULARLA

Se representar la función

cuadrática de ecuación y =

2x2 - 4x + 5

1º Calculamos las coordenadas

del vértice. Como a = 2, b =

- 4, c = 5, la abscisa del

vértice será -(-4/2 · 2)=1, la

ordenada del vértice se

obtendrá sustituyendo la

abscisa en la x de la

función: 2·12– 4 · 1 + 5 = 3.

Con lo cual el vértice tendrá

de coordenadas (1, 3) .

2º Determinamos puntos de

la parábola a izquierda y

derecha del vértice,

dando valores a x y

obteniendo los

correspondientes valores

de y, al sustituir la x en la

función por esos valores.

x -1 0 2 3

y 11 5 5 11

FUNCIONES PARABOLAS3º Representamos

gráficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos.

El eje de simetría de la parábola tiene por ecuación x = 1. El punto de intersección con el eje de ordenadas es el (0,5). No se corta con el eje de abscisas porque la ecuación 2x2 - 4x + 5 = 0 no tiene solución.

FUNCIONES ELIPSESLa elipse es el lugar

geométrico de todos los

puntos de un plano, tales

que la suma de las

distancias a otros dos

puntos fijos llamados

focos es constante.

CARACTERÍSTICAS La línea que une los dos

focos se llama eje

principal de la elipse A A' y

la mediatriz de los mismos

eje secundario P P'.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'

El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistanciafocal, respectivamente.

FUNCIONES ELIPSESFORMA DE CALCULARLA

Por el teorema de Pitágoras:

Por definición de elipse:

FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEs una curva plana y

cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro y coplanario llamado centro en una cantidad constante (radio).

CARECTERÍSTICAS

Sólo posee longitud.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos .

La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene,

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: el conjunto vacío (plano exterior); o un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador

FUNCIONES CIRCUNFERENCIA La longitud de una

circunferencia es:

donde es la longitud del radio.

(número pi), por definición,

es el cociente entre la

longitud de la circunferencia

y el diámetro:

El área del círculo

delimitado por la

circunferencia es:

FORMA DE CALCULAR

Ecuación en coordenadas

cartesianas: En un sistema

de coordenadas cartesianas

x-y, la circunferencia con

centro en el punto (a, b) y

radio r consta de todos los

puntos (x, y) que satisfacen

la ecuación

Cuando el centro está en el

origen (0, 0), la ecuación

anterior se simplifica al

FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEcuación de una circunferencia

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos

extremos de un diámetro:

la ecuación de la

circunferencia es:

GRAFICA