UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

MATEMÁTICA I

UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS

PROFESIONES

BORJA GUZMAN MIGUEL ANDRES

CCAMA YUPANQUI DINCARLOJ

JUAREZ SANCHEZ EDDÚ

LUNA OJEDA LUCERO ESTRELLA

MORE BRAVO JEFFERSON RODRIGO

SEMESTRE 2015-A

CALLAO-PERU

0

1

DEDICATORIA

Esta monografía la cual fue realizada por los

alumnos de aula N°011001 pertenecientes al

curso de Matemática I a cargo del profesor

CARLOS PEÑA MIRANDA, va dedicado

hacia los alumnos de este Semestre 2015A,

como recuerdo del primer trabajo

monográfico realizado en el presente curso,

pues en un futuro al ver esta monografía nos

traerá recuerdos de nuestros inicios en la

Universidad Nacional del Callao.

ÍNDICE

RESUMEN...............................................................................................................3

INTRODUCCIÓN...................................................................................................4

UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS PROFESIONES.......................................................................................................5

1. EN LA INGENIERÍA.......................................................................................5

1.1. Funciones Trigonométricas...........................................................................5

1.2. Función Polinómica......................................................................................8

1.3. Funciones Aplicadas en la Geometría.........................................................10

2. EN LA QUÍMICA GENERAL......................................................................13

2.1. Función Lineal............................................................................................13

2.2. Función exponencial...................................................................................15

2.3. Función logarítmica....................................................................................17

3. EN LA FÍSICA...............................................................................................19

3.1. Función en gases ideales.............................................................................19

3.1.1. Ley de Charles (proceso isobárico).........................................................19

3.1.2. Ley de Gay- Lussac (proceso isócoro)....................................................19

3.1.3. Ley de Boyle-Marriotte (proceso isotérmico).........................................20

4. EN LA ECONOMÍA......................................................................................23

4.1. Función Lineal............................................................................................23

4.1.1. Curvas de Ofertas y Demandas lineales..................................................23

4.1.2. Costos Fijos(CF)......................................................................................24

4.1.3. Costo de Variable(CV)............................................................................25

4.2. Función Cuadrática.....................................................................................27

CONCLUSIONES.................................................................................................31

BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................32

2

RESUMEN

El objetivo de esta monografía es demostrar que las funciones enseñadas al

alumno , no son horas de clases pérdidas como se suele creer, sino que las

funciones es un recurso importante en el momento de desarrollar la habilidad del

profesional puesto que otorga una visión matemática del mundo además de dar

más exactitud al momento de realizar los proyectos que el profesional quiere

aplicar en su trabajo, dejando en claro que solo algunas profesiones dan uso de las

función como las ya mencionadas.

Las funciones al ser un campo de estudio de la matemática sirve como apoyo a

algunas profesiones las cuales usan las matemáticas como fuente principal de

desarrollo, hay diversas profesiones que aplican las funciones en su campo

estudiantil y laboral, pero en esta monografía solo hablaremos de cuatro que son

la ingeniería, química, física y economía. Aunque solo se hablará de algunas

funciones como por ejemplo la función lineal, trigonométrica, exponencial.

Las aplicaciones de las funciones matemáticas en la ingeniería son diversas,

tenemos por ejemplo la función trigonométrica con la cual el ingeniero eléctrico

puede estudiar los fenómenos periódicos, así como también el ingeniero civil

quien la utiliza para poder hacer cálculos con respecto a las edificaciones o como

el ingeniero mecánico quien necesita de las funciones aplicadas a la geometría

para poder basarse en el volumen en los engranajes. Así también su aplicación en

la química está más centrada en obtener graficas que expresen los datos obtenidos

en el laboratorio o en investigaciones previas realizadas en un campo de estudio

de la química general. Una aplicación en la química muestra la gráfica de la

radioactividad que pueden producir ciertos elementos. Las aplicaciones de las

funciones matemáticas en la física son muchas, como por ejemplo función lineal

como lo utilizamos en el proceso isócoro así mismo también en el proceso

isobárico.

Y finalmente en la economía una parte muy importante es la aplicación de las

funciones como podría ser la función lineal y cuadrática estas funciones se aplican

mayormente en la oferta y la demanda o en el crecimiento de la población.

3

INTRODUCCIÓN

En la presente monografía hablaremos sobre la utilización que tienen las

funciones matemáticas en algunas profesiones, como la ingeniería, química

general, física y en la economía, siendo la ingeniería la que más usa las funciones

puesto que su aplicación es directa en el campo laboral de esa profesión. También

hay ejercicios que demuestran la forma en la cual las funciones se aplican en las

profesiones ya mencionadas.

Las funciones entregan al profesional una manera distinta de ver el mundo y nos

da a entender que cumple una misión vital en la preparación del profesional y

sobre todo en el futuro de la humanidad dado que es un conocimiento innegable

para el ser humano, ya que las funciones son una representación matemática de la

realidad.

4

UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS

PROFESIONES

1. EN LA INGENIERÍA

En un campo tan amplio como es el campo de la ingeniería se utilizan todos los

modelos matemáticos, estos se han convertido indispensables para los ingenieros

quienes suelen aplicar frecuentemente dichas funciones para resolver cualquier

estudio que requiera una relación entre las magnitudes o cantidades. Un punto

muy importante en este aspecto es que hoy en día los ingenieros cuentan con una

gran herramienta a su favor que es la aplicación de la funciones en cualquier área

de su carrera. (Mundo Informatico. (19 de Noviembre de 2012). Obtenido de

http://mundoinformaticoljg.blogspot.com/2012/11/aplicaciones-de-las-funciones-

en-la.html)

Ilustración 1: Ingenieros

Fuente: http://www.udelprado.mx/assets/Holder/_resampled/SetRatioSize579339-ing-01.jpg?

Algunas funciones utilizadas para la ingeniería son:

5

1.1. Funciones Trigonométricas

Son indispensables para quienes deseen estudiar ingeniería civil, mecánica y

electrónica. Es usada sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como

el flujo de corriente alterna. (Prezi. (6 de Noviembre de 2013). Obtenido de

Prezi: https://prezi.com/cl6qwe9lfj-r/aplicaciones-de-las-funciones-en-la-

ingenieria/)

Ilustración 2: Corriente alterna

Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/3-phase-voltage.svg/575px-3-

phase-voltage.svg.png

Ejercicio N°1

Mediante una espira que gira a razón de 4πrad/s la corriente varía según la gráfica

I vs t. Determine el valor de la corriente eficaz y la ecuación de la intensidad de

corriente alterna. (Salvador Q., 2005, pág. 134)

6

5

t(s)

I(A)

-10

Ilustración 3: Grafica de Corriente Alterna

Fuente: Física: Electromagnetismo-Teoría y Problemas; Cuzcano

7

I (máxima)

Resolución del Ejercicio N°1

Del gráfico tenemos:

I (máx.)= 10A; pero I (eficaz)= I (máx.)÷√2

Luego:

I (ef.) = 10÷√2

I (ef.)=5√2A

En conclusión el valor de la corriente eficaz es:

I (ef.) =5√2A

Hallando la ecuación de I(t) :

Por teoría I (t) es de la forma:

I (t) = I (máx.)×Sen (wt+α) ……. (I)

De la gráfica I vs t

I=5, para t=0

5=10×Sen (wt+α)

Ya que t=0, entonces:

5=10 Sen (α)

Sen (α) =0.5

Luego

α= π/6… (Fase inicial)

Reemplazando valores en (I)

I (máx) =10, w=4π, α= π/6

I (t) = 10 Sen (4 π t+ π/6)

8

En conclusión la ecuación de la intensidad de la corriente alterna es

I (t) = 10 Sen (4 π t+ π/6).

1.2. Función Polinómica

Los ingenieros Civiles la suelen aplicar para resolver problemas en específico,

tomando como punto de apoyo una ecuación de segundo grado, en la

construcción de puentes colgantes, como podemos evidenciar en los siguientes

gráficos. (Prezi. (9 de Octubre de 2012). Obtenido de Prezi:

https://prezi.com/fopjgop6qken/aplicacion-de-las-funciones-matematicas/)

Ilustración 4: Puente Golden Gate

Fuente: http://mural.uv.es/esgogi/imagenes/pagina2candidatas/puentegoldengate.jpg

Ilustración 5: Puente Bridge

Fuente: http://www.lugaresquevisitar.com/wp-content/uploads/Londres-Tower-Bridge.jpg

9

Ejercicio N°2

El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres

de 800 pies de altura están separadas por una distancia de 4500 pies. El puente

está suspendido de dos enormes cables que miden 4 pies de diámetro: el ancho de

la calzada es de 110 pies y esta se encuentra aproximadamente a 240 pies del nivel

del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del

puente. Determine la altura de los cables a una distancia de 1200 pies del centro

del puente. (SlideShare. (05 de Julio de 2011). Obtenido de SlideShare:

http://es.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-

matematicas-a-la-vida-diaria)

Resolución del Ejercicio N°2

Empezamos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de

modo que el eje X coincida en la calzada y el origen coincida en el centro

del puente.

Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a:

800-240=560 pies arriba de la calzada,

y ubicadas a 4500/2= 2250 pies al centro.

Lo cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo

hacia arriba y tendran su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura.

Ilustración 6: Gráfica del Problema

Fuente: http://es.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-atematicas-a-

la-vida-diaria

10

Y

X

La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite

identificar la ecuación de una parábola como

Y= aX2, a>0

Se observa que los puntos (-2250,560) y (2100,560) están en la gráfica

parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de ´´a´´ en Y= aX2

560=a (2250)2

Así la ecuación de la parábola es

Y= (560/22502 )X2

La altura del cable cuando X=1200 es

Y= (560/22502 )12002

Notamos que la altura del cable es ≅ 159.289 pies

Por lo tanto el cable mide 159.289 pies cuando se esta a una distancia de

1200 pies del centro del puente.

En conlcusion la respuesta es 159.289 pies.

1.3. Funciones Aplicadas en la Geometría

Usadas por ingenieros civiles, mecánicos, químicos; quienes usan fórmulas

basadas en funciones, que sirven para calcular perímetros, áreas, y

volúmenes. (Instituto de Ciencias y Humanidades, 2009, pág. 510)

Ejercicio N°3

Los troncos de cono con pequeños dientes en su superficie lateral son usados para

asegurar un exitoso agarre entre engranajes. Si se sabe que este tipo de tronco es

recto y de bases circulares cuyos radios de las bases son 2 y 4 .Calcule el radio de

la sección determinada al hacerle un corte paralelo a las bases y secante a su

superficie lateral, que determina dos troncos conos equivalentes. (Instituto de

Ciencias y Humanidades, 2009, pág. 443)

11

Ilustración 7: Pequeños troncos de cono

Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Kegelradgetriebe.jpg

Ilustración 8: Gráfica del tronco del cono

Fuente: Lumbreras editores

Resolución del Ejercicio N°3

Tenemos:

12

Nos pide X

Dato: V (Tronco de cono AB-MN) = V (Tronco cono MN-CD)

Se prolonga CA y DB hasta V

Luego, los conos V-AB y V-CD son semejantes, entonces:

V (cono V-AB) / V (cono V-CD) = (2/4)3

V (cono V-AB) / V (cono V-CD)= 1/8

Si

V (cono V-AB)= 2V

Entonces

V (cono V-CD)= 16V

Se observa

V (cono V-CD)= V (cono V-AB) + V (Tronco de cono AB-CD)

V (Tronco de cono AB-CD)= 14V

Entonces:

V (Tronco de cono AB-MN) = V (Tronco cono MN-CD) = 7V

Luego se tiene

V (cono V-MN) = 2V+7V= 9V

Notamos que los conos V-AB y V-MN son semejantes.

Entonces

V (cono V-AB)/ V (cono V-MN) = 2V/9V = (2/x)3

Resolviendo

X = 3√36

En conclusión el radio de la sección cortada es 3√36.

13

2. EN LA QUÍMICA GENERAL

El uso de las funciones abarca en todas las ciencias, eso incluye también en la

química; desde gráficas con las propiedades de los elementos químicos según su

peso atómico, hasta gráficas de la masa final de un elemento radioactivo a partir

de su masa inicial por un periodo de tiempo. Si bien las gráficas no describen

exactamente a un fenómeno dado, se asemeja bastante a esta; haciendo posible los

cálculos o describir su comportamiento. (Prezi. (13 de agosto de 2013). Obtenido

de Prezi: https://prezi.com/ftj18i4mbauu/modelos-matematicos-para-la-quimica/)

2.1. Función Lineal

Esta función se caracteriza por su gráfica, que es una sucesión de puntos

trazados, y tiene la siguiente forma:

f (x)=mX

Dónde:

m: es la llamada pendiente de la función.

El empleo de este tipo de función se puede ver en la ley Beer-Lambert, que

“la absorbancia de una muestra a determinada de longitud de onda depende

de la cantidad de especie de absorbente con la que se encuentra la luz al

pasar por la muestra” (Fundación Wikipedia, Inc. (s.f.). Wikipedia. Obtenido

de Wikipedia: www.wikipedia.org/wiki/Absortividad.)

La absorbancia se calcula de esta manera:

Ilustración 9: Formula de la Absorbancia

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Beer-Lambert

Dónde:

α: es el coeficiente molar de absorción.

c: es la concentración molar del absorbente.

l: es la longitud del objeto expresada en cm, usualmente se usa 1.

14

Ilustración 10: Grafica de la absorbancia del 5-HMF, según su concentración.

Fuente: http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/ap-

fisquim-farm3/c5.2.html

Ejercicio N°4

El Al+3 puede determinarse mediante espectrometría de llama por su emisión a

396 nm. Se prepararon seis disoluciones, cada uno de 25,0 mL, a partir de otra

concentración desconocida, a la que se le añadieron cantidades específicas de este

catión, midiendo cantidades a continuación la intensidad emitida. Los resultados

son:

Al+3(a ñadido )/mg 0 10 20 30 40 50

Intensidad/unidades 25 30 36 42 48 54

Tabla 1: Intensidad emitida según cantidad de al/mg añadido

Determinar la concentración de Al+3 en la muestra original. (Rodríguez, 2006,

pág. 3)

Resolución del Ejercicio N°4

Sea w mg la cantidad de Al+3 presente en 25 ml de la muestra inicial, a la que se

añaden, sin variación apreciable de volumen, cantidades adicionales de x mg. La

relación entre la intensidad emitida y la cantidad del catión puede expresarse del

modo siguiente:

I=K [ Al+3 ] total=K (w+x)

15

Ilustración 11: Intensidad de emisión de las disoluciones de al frente a la cantidad de catión

añadida.

Fuente: http://campus.usal.es/~licesio/T_I_Farmacia/Apuntes_TIF/Resueltos02_0506.pdf

Se observa de modo gráfico este comportamiento, de donde puede determinarse la

pendiente de la línea recta que corresponde al parámetro K=0.59unidades/mg, Y

la ordenada en el origen, que representa el producto de dicho parámetro y la

cantidad de aluminio en la muestra inicial: kW = 25 unidades.

De lo expuesto es fácil deducir que la cantidad de aluminio en la muestra inicial

es:

w= 25 unidades

0.59 unidades∗mg−1=42 mg

2.2. Función exponencial

Esta función se caracteriza ya que la variable x se encuentra el exponente de

una determinada base, usualmente se usa la base 10 o e.

Con esta función se puede hallar la masa final de determinada sustancia

radioactiva después de cierto tiempo de exposición a un ambiente dado (esto

ocurre debido a la inestabilidad del núcleo). (Fundación Wikipedia, Inc. (25 de

Enero de 2012). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad)

Para ello se usa la siguiente formula:

Ilustración 12: fórmula del decaimiento radioactivo.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad

16

Dónde:

N (t): es la masa final.

No: es la masa inicial.

λ: es la constante de desintegración radioactiva.

t: es el tiempo transcurrido, en horas.

Ilustración 13: Grafica de la vida media del radon-232

Fuente: http://www.librosmaravillosos.com/brevehistoriaquimica/capitulo13.html

Ejercicio N°5

Determinar el pH de la solución resultante si se pesaron 5,0g de NaOH y se

disolvieron hasta un volumen final de 250 mL. (García, 2012, pág. 28)

Masa atómica de Na= 23g/mol

Masa atómica de O=16g/mol

Masa atómica de H=1g/mol

Resolución del Ejercicio N°5

Aplicando la fórmula del decaimiento radioactivo, tendremos lo siguiente:

343=350 e−λ 2

ln343350

=ln e− λ2

−2.02027073 x10−2=−λ 2

λ=¿1.01013536x10−2

Se concluye que la constante de desintegración radioactiva del elemento

seria de 1.01013536x10−2 por año.

17

2.3. Función logarítmica

Esta función viene a ser la inversa de la función exponencial. Sus bases

mayormente usadas son 10 y e.

Esta función nos ayuda a encontrar la medida de acidez o alcalinidad de

diversas soluciones. (Fundación Wikipedia, Inc. (21 de noviembre de 2011).

Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/PH)

El pH (concentración de hidrógeno) se halla de esta forma:

Ilustración 14: Fórmula para el pH.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/PH

Dónde:

aH+: concentración molar de los iones hidrógeno.

Ilustración 15: Gráfica de la concentración de ión hidrógeno.

Fuente: http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/log/Graphing.html

Ejercicio N°6

Determinar el pH de la solución resultante si se pesaron 5,0g de NaOH y se

disolvieron hasta un volumen final de 250 mL. (Morales, Restovic, & Zárate, pág.

58)

Masa atómica de Na= 23g/mol

Masa atómica de O=16g/mol

Masa atómica de H=1g/mol

18

Resolución del Ejercicio N°6

Datos:

Masa de NaOH= 5g

Volumen de la solución= 250 ml

Masa atómica de NaOH= 40g/mol

El NaOH al ser base fuerte se disocia un 100%

Determinar pH de la solución:

n= mM

= 5,0 g

40g

mol

=0,125 mol

M= nV

=0,125 mol0,250 L

=0,5mol

L

Como es una base fuerte primero se determina pOH y luego pH:

pOH=−log [ OH ] pOH=−log ¿0.30

Como pH+pOH=14

Ph=14-0.30=13.7

Se concluye que el pH de la solución resultante es 13.7

19

3. EN LA FÍSICA

El tema de funciones en el ámbito de ingeniería hace más accesible la resolución

de diversos problemas en diversos aspectos como uno de ellos es en la física.

3.1. Función en gases ideales

En termodinámica se necesita de funciones para poder comprender su estado

de equilibrio con respecto a los otros componentes

3.1.1. Ley de Charles (proceso isobárico)

Para una misma masa de gas y a presión constante los cambios de volumen

y temperatura absoluta son directamente proporcionales (Vera Lázaro,

2005, pág. 8)

Ilustración 16: Gráfica del proceso isobárico

Fuente: http://quimicautnfrt.galeon.com/TemaN6.html

Ilustración 17: Ecuación del proceso isobárico

Fuente: http://www.educaplus.org/gases/ley_charles.html

3.1.2. Ley de Gay- Lussac (proceso isócoro)

Para unas mismas masas de gas y a volumen constante la variación de la

presión y temperatura absoluta son directamente proporcionales. (Vera

Lázaro, 2005, pág. 8)

20

Ilustración 18: Gráfica del proceso isócoro

Fuente: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/

Ilustración 19: Ecuación del proceso isócoro

Fuente: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/

3.1.3. Ley de Boyle-Marriotte (proceso isotérmico)

Para una misma masa de gas y a temperatura constante los cambios de

presión y volumen son inversamente proporcionales. (Vera Lázaro, 2005,

pág. 9)

Ilustración 20: Gráfica del proceso isotérmico

Fuente: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/estado.html

Ilustración 21: Ecuación del proceso isotérmico

Fuente: http://www.educaplus.org/gases/ley_boyle.html

21

Ejercicio N°7

Un mol de gas ideal realiza el siguiente proceso cíclico. Determinar P₃; V₁; V₂ (R=8.3J/mol K) en P2=10⁵. (Vera Lázaro, 2005, pág. 29)

Resolución del Ejercicio N°7

Piden hallar presión y tenemos los siguientes datos:

n=1mol

Dónde:

“n”: número de moles

Para pasar de grados Celsius “°C” a grados kelvin “°K” se requiere la

siguiente fórmula:

°C +273 =°K

Entonces lo aplicamos a la temperatura 2 y a la temperatura 3, junto con

la temperatura 1:

T₂=227°C +273 =500°K

T₁=T₃=127°C=400°K

22

En el proceso 2-3 (ISÓCORO) aplicamos la ley de Gay- Lusacc, que

implica la igualdad de presiones entre sus respectivas temperaturas como

una constante.

Aplicamos en las presiones 2 y 3 junto con sus respectivas temperaturas.

(P₃/T₃) = (P₂/T₂)

Reemplazamos los datos del gráfico en la ecuación:

P₃/400 =5x10⁵/500 Pa.

P₃=4x10⁵ Pa.

En el estado 3:

P₃ V₃ = R T₃ n

Dónde:

P: Presión

V: Volumen

R: Constante “0.082 atm.L/mol

Reemplazando

(4x10⁵)V₃=8.3 (400) (1)

V₃=8.3x10⁻³

Por ser proceso ISÓCORO podemos ver que V₂= V₃, luego:

V₂=8.3x10⁻³

En el proceso 3-1 (ISOTÉRMICO), aplicando la ley de Boyle- Marriotte,

en la cual la multiplicación de las presiones con sus respectivos volúmenes

es constante:

P₁V₁ = P₃V₃

(4x10⁵)V₁ = (4x10⁵) (8.3x10⁻³)

V₁ =6.64x10⁻³

Entonces el volumen “1” es 6.64x 10⁻³.

23

4. EN LA ECONOMÍA

La economía es muy importante en la actualidad por que proporciona información

valiosa para el progreso de la institución, compañía y gobiernos en general. La

matemática es la base de la economía en este caso expondremos en específico las

funciones como herramienta útil para el área financiera, analizaremos muchos

procesos económicos donde se utiliza las funciones cuadráticas, exponenciales y

la más utilizada la lineal. Y así confirmar su importancia. (Scribd. (13 de mayo de

2010). Obtenido de Scribd: http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-

La-Economia#scribd)

Ilustración 22: Área de financiamiento de la economía

Fuente: http://manuelgross.bligoo.com/media/users/0/872/images/public/191/Leadership-in-a-

changing-world.jpg?v=1385907827957

Algunas funciones que utilizamos en la economía son:

4.1. Función Lineal

Este tipo de función se puede emplear en varias situaciones de la vida

cotidiana porque es la más usada en la economía de esto podríamos obtener:

4.1.1. Curvas de Ofertas y Demandas lineales

“En la práctica, algunas ecuaciones de la oferta y las demanda son

aproximadamente la mayoría lineales suelen proporcionar razonablemente

en un intervalo limitado dependiendo al saldo que se está utilizando en la

24

oferta y la demanda”. (Slideshare. (26 de Noviembre de 2010). Obtenido

de Slideshare: http://es.slideshare.net/jrmorocho/anexo-2-diapositivas)

Ilustración 23: Función lineal de la oferta y la demanda

Fuente: http://image.slidesharecdn.com/anexo2diapositivas-101126094945-phpapp02/95/

aplicaciones-de-funciones-en-la-economa-5-638.jpg?cb=1422651462

En la imagen debe notarse que los segmentos de la ecuación que están en

el primer cuadrante son pertinentes esto ocurre porque la oferta, precio y la

cantidad, en general es cero o positivo. (Slideshare. (26 de Noviembre de

2010). Obtenido de Slideshare: http://es.slideshare.net/jrmorocho/anexo-2-

diapositivas)

“la función lineal tiene la forma f(x) = y = mx + b, este tipo de función son

de primer grado y como su nombre lo dice, su grafica es lineal (línea

recta).

En la economía podemos usarla para obtener el costo total al producir “x”

cantidad de artículos”. (Scribd. (13 de mayo de 2010). Obtenido de Scribd:

http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-La-Economia#scribd)

4.1.2. Costos Fijos(CF)

El costo fijo no depende de la cantidad de producto hecho, siempre va

hacer el mismo F(x)=CF.

25

Ilustración 24: Gráfica del costo fijo

Fuente: http://www.auladeeconomia.com/cf.gif

4.1.3. Costo de Variable(CV)

El costo de variable depende de la cantidad de producto echo entre más se

produzca, mas alto va hacer su valor de este F(x)=CV.

Ilustración 25: Gráfica del costo de variable

Fuente: http://www.monografias.com/trabajos90/analisis-costo-volumen-utilidad/image002.png

Se utilizará la fórmula de ecuación lineal, pero a esta se le modifican los

nombres.

Costo total =costo variable + costo fijos

Ilustración 26: Gráfica del costo total

Fuente: http://www.monografias.com/trabajos94/analisis-cvu-control-costos-y-presupuesto/

img4.png

26

Ejercicio N°8

Se sabe que la función de producción P(x) de un artículo es lineal, donde x es el

dinero invertido. Si se invierten $20000, se producen 100 artículos; si se invierten

$40000, se producen 500 artículos. (Beltran, 2010, pág. 3)

a) Escriba la función de producción P(x)

b) ¿Si se invierten $6000, cuantos artículos se producen?

c) Graficar la función P(x)

Resolución del Ejercicio N°8

Sea

X: precio de producción de cada artículo

P(x)=Y: número de artículos producidos, en función de x

a) Dos puntos coordenados de la función lineal son:

A (20000,100) y B (40000,500)

Dónde:

x1=20000, y1=100, x2=40000, y2=500… (1)

Sustituimos los valores de (1) en la ecuación de la recta en la forma:

punto-punto.

y= y 2− y 1x 2−x 1

( x−x 1 )+ y1

y= 500−10040000−20000

( x−20000 )+100

y= 40020000

(x−20000 )+100

y= 150

(x−20000 )+100

y= 150

x−400+100

y= 150

x−300

b)

P(x )= 150

x−300

27

P(18000)= 150

(18000)−300

P(18000)=60

Por lo tanto se concluye que se producen 60 artículos con una inversión de

18000

c) Se procede a graficar:

Ilustración 27: Gráfica de la función de producción

Fuente: http://es.scribd.com/doc/31746890/Funciones-lineal-cuadratica-exponencial-logaritmica-

aplicadas-en-economia

4.2. Función Cuadrática

La función cuadrática tiene la forma de F(x)=ax2+ bx+c (a≠0), es de grado 2 y

su grafica tiene un sentido de curva llamada parábola. Esta función se aplica

en la economía, al ofertar un servicio o producto se disminuye su valor según

la cantidad. Por lo que amerita saber, tanto por el ofertante como el

demandante, cuál es su valor real o ganancia conforme a la que se vendía o

adquirió. (Scribd. (13 de mayo de 2010). Obtenido de Scribd:

http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-La-Economia#scribd)

28

La función cuadrática entre todo a sus aspectos puede ayudar o averiguar este

incógnito.

Ejercicio N°9

“Un carpintero puede construir libreros a un costo de 40 mil pesos cada uno. Si

el carpintero vende los libreros a x miles de pesos la unidad, se ha estimado que

300-2x libreros pueden ser vendidos mensualmente. (Beltran, 2010, pág. 10)

a) Exprese la ganancia mensual por el trabajo del carpintero como una

función de x.

b) Utilice la función del inciso (a) para determinar la ganancia mensual si el

precio de venta es de $ 110 mil pesos por librero.

c) Trace la gráfica del inciso a (a) y estime el precio de venta por cada librero

que dará la mayor ganancia mensual.

d) Compruebe, algebraicamente, la estimación hecha en el inciso (c)”.

Resolución del Ejercicio N°9

Sea:

X: precio de venta de cada librero, en miles de pesos.

C(x): costo, en función de x.

I(x): ingreso, en función de x.

U(x): ganancia, en función de x.

De donde:

U(x)=I(x)-C(x)……………….. (1)

Ahora

300-2x: número de libreros que pueden ser vendidos (y producidos)

mensualmente:

Así que:

I(x)=300x-2x2…………………... (2)

C(x)=40(300-2x)=12000-80x………. (3)

Entonces unimos el (2) y (3) en el (1)

a)

U(x)=300x-2x2-(12000-80x)

29

U(x)=300x-2x2-12000+80x

U(x)=-2x2+380x-12000

b)

U (110)=-2(110)2+380(110)-12000

U (110)=-24200+41800-12000

U (110)=5600

Utilizando el (c) y (d)

U(x)=-2x2+380x-12000, dominio U= (- ∞, ∞)

a=-2: la parábola abre hacia abajo

b=380

c=-12000: corte con el eje y

−b2 a

=3804

=¿95: abscisa del vértice.

Entonces cada librero se debe vender a $9500 para obtener la mayor

ganancia.

U (95)= -2(95)2+380(95)-12000

U (95)= -18050+36100-1200

U (95)=6050: ordenada de vértice

La mayor ganancia que puede obtener el carpintero en su empresa es de $

6’050.000 mensuales.

Entonces

-2x2+380x-12000=0

x2-190x+6000=0

x={ 40150

: cortes con el eje

A partir de los datos anteriores, se construye la gráfica de U, en función

del precio de venta unitario:

30

Ilustración 28: Gráfica de U en función del precio de la venta unitaria

Fuente. https://html2-f.scribdassets.com/5cknql25dskcutn/images/16-a17c281442.jpg

31

CONCLUSIONES

Hemos obtenido un resultado muy positivo al finalizar la monografía,

debido a que hemos estudiado las aplicaciones de las funciones

matemáticas en este campo que es la ingeniería. Desde el punto de vista

personal, las funciones matemáticas han facilitado la labor de muchas

ciencias que son sumamente importantes para obtener resultados precisos

para cada situación.

En la química al igual que en varias ramas, las funciones desempeñan un

papel importante al simplificar los datos.

Gracias a las funciones lineales u otros tipos de funciones utilizadas en la

matemática también pudimos utilizarlas en la física como en el tema de

termodinámica y utilizándolas pudimos obtener de manera más rápida la

respuesta.

Las funciones es una parte importante de la economía, por lo tanto, es

necesario aprender estas partes importantes que se utilizan no solamente lo

aplicamos en la economía sino en varias ramas que podría ser la

ingeniería, química, física, etc. Es tener en cuenta estas habilidades

lógicas, que nos darán competencias para tener éxito en nuestro camino

profesional.

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