Matemáticas para la Enseñanza: Algunas cuestiones, algunas

reflexiones PETER GALBRAITH

University of Queensland

Australia

<p.galbraith@uq.edu.au>

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Aprender matemáticas para enseñar

● Hay una creencia ampliamente extendida que la percepción de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas está influída por la concepción sobre las matemáticas,… la concepción sobre qué son las matemáticas afecta la concepción sobre cómo deberían presentarse (Paper A for review 2005)

●La experiencia que los participantes tuvieron como aprendices de matemáticas conforman la manera en que se perciben a sí mismos como profesores de matemáticas. (Paper B for review 2005)

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Algo de historiaAunque estos estudiantes habían sido “expuestos” a cálculo y límites alrededor de cuatro años,… la mayoría de los estudiantes era incapaz de formular un argumento sencillo en análisis, y peor todavía, casi no tenían intuición sobre el tema. Para muchos la matemática era (y posiblemente es) un sueño formalista hecho realidad, que implica el uso de algoritmos rutinarios aplicados a símbolos sin sentido para deducir respuestas rutinarias a preguntas con menos sentido todavía. . . Después de doce años de escolaridad seguidos por dos años de universidad todos habían aceptado la matemática sin sentido que se les había impartido. Pocos disfrutaban con las matemáticas, la mayoría simplemente deseaban obtener su diploma y

finalizar, como profesores,…[Gray, 1975](ESM)

Asistiendo módulo tras módulo, los estudiantes tendían a “descargar la memoria” más que a retener y construir una estructura coherente de conocimiento… Su supuesta estrategia para el examen resultaba en una comprensión tan frágil que la reconstrucción del conocimiento olvidado

parecía extraño a muchos de los que tomaron parte. [Anderson et. al., 1998](IJMES&T)

Reflexiones sobre el Contenido

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Item mecánico: x2 – ax +12=0 representa una familia de ecuaciones. Se obtienen cuatro miembros de la familia dando a ‘a’ los valores 5, 6, 7 y 8. ¿Para qué valores de a podemos resolver la ecuación factorizando el lado izquierdo?

  A. sólo para 5 B. 7 yd 8 C. 6 y 7 D. sólo 8 E. ninguno

Item Interpretativo : ¿Cuál de las siguientes puede ser la ecuación del gráfico mostrado? A. y = (x - 2)2(1 - x) B. y = (2 - x)2(1 - x) C. y = (x - 2)2(x - 1) D. (x - 1)2(x - 2) E. Ninguna de ellas

Item Constructivo : Las ecuaciones de dos gráficas son y = 3/x e y = x2 - 4.Obtén una ecuación cúbica cuya solución sea la coordenada x del punto de intersección de estos dos gráficos. ¿Cuántas raices positivas tiene esta ecuación?

[Galbraith & Haines, 1999] (IJMES&T)

(in)comprensión de los estudiantes de pregrado

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Ítems mecánicosCapacidad en un procedimiento dado

Ítems interpretativosRecordar y aplicar conocimiento conceptual

Ítems constructivos

Aplicar conceptos y procedimientos introducidos por el resolutor

Conjetura: Sobre el rendimiento M > I >C

Resultados (N=423): Proporción correcta

M(0.41) > I(0.30) > C(0.19)

Tipos de ítems

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Estudio Australiano (Queensland, Sydney, Western Australia)

Foco: Existencia y persistencia de concepciones erróneas en matemáticas (e.g)

El interés es comparar las respuestas en diferentes contextos:

(a) √4 = ? (Correcto: UG = 40% ; PG=26%)

(b)Observaciones evaluación (Correcto: UG =29%; PG = 29%) (c) Dibujar el gráfico de (i) y = (4 – x2) y (ii) x2 + y2 = 4

2 para (a) -1 para (b) semicírculo superior para (C)

xxdxd

sin)(cos dxx)2/3

cos1( 2

Graduación en la escuela y comparación de graduados

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● Robustez año a año

● Respuestas conflictivas conviven en armonía sin crear curiosidad o inquietud.

● Concepciones erróneas de matemática entre los graduados de la escuela que permanecen relativamente intactas tres o cuatro años en los cursos de graduación Las concepciones erróneas, métodos mal guiados y poco desarrollados e intuiciones no refinadas tienden a permanecer; no importan las tareas, correcciones, soluciones, tutoriales, lecciones y exámenes que se hagan [Gray]

Algunos temas persistentes en las respuestas

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Un marco teórico: Comunidad de Práctica

● Una empresa común definida y custodiada por los participantes

● Contiene rutinas, palabras, útiles, formas de hacer las cosas, etc que caracterizan la comunidad

● Para las matemáticas las actividades esenciales incluyen:

Conjeturar� Defender� Probar y rebatir� Abstraer �

Justificar � Generalizar � Resolver Problemas� Comunicar�

● Los miembros de la comunidad se implican activamente en estos fines- el aprendizaje profundo implica que los aprendices también tienen que hacerlo

● Hay consecuencias tanto para la enseñanza como para la evaluación

(Muchas referencias – una base filosófica que incluye el Constructivismo Social y el aprendizaje superficial y profundo)

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● El matemático ve alternativas - e.g. representaciones diferentes pero ligadas de la función

Gráfica Geométrica

Simbólica Numérica

Mackie, D. (2002). Using Computer Algebra to encourage a Deep Learning approach to Calculus. ICTM2, Herniossis, Crete.

y

x2

2

-2

4

f(x) = ax or

dy/dx = kx

x 2x

0 1 1 2 2 4 3 8 4 16

Un ejemplo – Representaciones múltiples

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1. VIÑETAS

Hallar la asíntota oblicua de

Student A: Por división

Como x la asíntota es y = x - 3;

Student B: Dividiendo N y D po x, =

Como x , la asíntota es y = x – 1.

Se pide a los estudiantes A y B resolverlo.

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)2( 2

x

xxy

)2(

4)3(

xxy

0)2(

4 x

2)2( 2

xxx

y

)21(

)1

1(

x

xx

01

x

Aproximaciones: Formatos alternativos de presentación

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Formatos alternativos (cont)

2.EXPLICAR

Explicar, ¿qué significan (- , 3] y (- , 3) y cuál es la diferencia esencial entre ellos?

3.DEFINIR Y DESCRIBIR

Define la función, logarítmica y describe su relación con la función exponencial 4. COMPARAR/CONTRASTAR

Compara/contrasta las funciones dadas por f(x) = sin |x| y g(x) = |sin x| para –2π <= x <= 2 π

● Adaptables a la enseñanza, discusión en clase, colección tutorial de problemas o ítems de evaluación.

● Supporting Assessment in Undergraduate Mathematics (SAUM)http://www.maa.org/saum/maanotes49/toc.html

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Formatos alternativos (cont)5. JUSTIFICAR Justificar completamente si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas

(a) Si f es continua en x = a, entonces f es diferenciable en x = a. (b) Si f(c) es un máximo local de f,,entonces f 1(c) = 0.

(c) Si Σ an converge entonces an 0

6. CREAR

Crear dando rezones una función f cuyo gráfico tenga las siguientes propiedades.

(a) Corte una vez al eje x

(b) Tenga 3 asíntotas verticals

(c) Tenga a y = 1 como asíntota horizontal

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Formatos alternativos (cont)

7 . I D E N T I F I C A R / C O R R E G I R C o n s i d e r a l o s s i g u i e n t e s c á l c u l o s ( l o g a r i t m o s e n b a s e e ) :

][log 12

1

2x

x

dx

= l o g ( - 1 ) - l o g ( - 2 )

= l o g ( - 1 / - 2 )

= l o g ( 1 / 2 )

= - l o g ( 2 )

I d e n t i f i c a e l p r i m e r e r r o r d e t o d o s l o s d e e s t e e j e m p l o y c o m p l e t a l o s c á l c u l o s c o r r e c t a m e n t e O d a u n a r g u m e n t o d e p o r q u é e s c o r r e c t o .

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Formatos alternativos (cont)

8. CAMBIAR DE REPRESENTACIÓN

Dibuja un gráfico que represente la función f sobre

[-2,3], si ‘f’ tiene las siguientes propiedades.

(a) el gráfico pasa por el punto (0,2)

(b) Tiene solo un punto de inflexion en (1,3)

(c) f 1(-1) = f 11(-1) = 0

(c) Hay puntos finales mínimos en las extremidades del intervalo dado

(d) toma valores positivos en todo el intervalo.

(e) es continua

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Formatos alternativos (cont)

8/18/1

8/18/1A

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22B

Khan : A y B son multiplicativas inversas dentro del conjunto de matrices de la forma y las leyes usuales de adeición y multiplicación se

aplican.0

x xdonde x

x x

George: Esto no es correcto, porque las matrices signlares no tienen multiplicativa inversa. 

● Decide con cuál estás de acuerdo y defiende tu elección con un argumento matemático

9. DEFIENDE

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●¿Como cambiar los marcos conceptuales de los pretendidos profesores?

● ¿Qué tareas comportan conceptos y procedimientos fundamentales que confronten comprensión y concepciones erróneas?

● ¿Qué se puede hacer en la práctica?

● ¿Presiones económicas frente a académicas el diseñar cursos para grupos multidisciplinares? ●¿Inclusión de formatos alternativos ricos en el planteamiento de problemas en cursos y exámenes?

Implicaciones para la Educación de Profesores

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Reflexiones sobre la Modelización Matemática

● Henry Pollak (1969) – La mayoría de aplicaciones de las matemáticas no lo son!

Problemas pretendidosEjemplo A: La altura de una especie de madera dura viene dada por y = x2/20(1-x/60), donde y son metros y x el tiempo en años despúes de plantar las semillas. ¿Cuál es el tiempo final en que los árboles debieran ser talados?

Problemas de Whimsy “La función de estos problemas…proporciona alivio cómico en el sentido de Shakespearean, y probablemente hacen mucho bien – pero no en matemática aplicada”. (Pollak, 1969)

Dos albóndigas se caen de una fuente de spaghetti y ruedan hasta el final de la mesa. Una albóndiga rueda a 1.2 m/s y la otra a 0.8 m/s. Se caen de la mesa y aterrizan sobre una alfombra de Isfaham que costó $5000. Si la mesa tine una altura de 1.2 m ¿como de separadas aterrizan las dos albóndigas? (2004 source)

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More whimsy

Pitágoras was sitting in calculus in the 80-degree weather of mid-April, wishing he were at the beach.  While daydreaming, his terrible case of senioritis took over and his grade quickly began to plummet.  When he got his final report card, he saw his grade had decreased.  The amount it decreased is equal to the volume of the solid bounded in the first quadrant by y = 2 – x3, revolved about the x-axis.  If he started the 4th quarter with a 69, by how much did his grade decrease and will he pass the class with a 60 or better? (April 2005)

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Modelos de modelización

1. Modelización como Vehículo

“El contenido curricular escolar en nuestro país no admite fácilmente la oportunidad de hacer modelización matemática, un tema explícito en el currículo matemático K-12. El fin primario de incluir modelización matemática en la experiencia matemática de los estudiantes es típicamente proporcionar un contexto alternativo – y supuestamente implicar- en que los estudiantes aprendan matemáticas sin el fin principal de convertirse en modelizadores expertos… Reconocer este contexto curricular es reconocer que la implicación amplia de los estudiantes en actividades de modelización en la clase es esencial para la instrucción matemática sólo si la modelización proporciona a los estudiantes oportunidades significativas de desarrollar una comprensión más fuerte y profunda de la matemática curricular” [Zbiek & Conner, 2006] (ESM)

La modelización permanece en la clase – juega un papel secundario, respecto a otros fines curriculares.

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Modelos de modelización cont

2. Modelización como Contenido “Comenzando con una situación problemática del mundo real, simplicado y estructurando lleva a formular un problema y de aquí a un modelo matemático del problema…Es una práctica común usar el término modelización matemática para el proceso completo que consiste en estructurar, matematizar, trabajar matemáticamente e interpretar, validar, revisar y reportar el modelo.” [Blum, et.al., 2003; 2007] (ICMI STUDY 14)

El contexto real juega un papel esencial tanto en la construcción del modelo como en la evaluación de su importancia. El proceso no puede vivir completamente en el aula.

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Modelización como ajuste de curvas

3. Modelización como ajuste de curvasDados datos en 4 intervalos semanales del número de minutos de horas de luz diarias (amanecer hasta el atardecer) de localidades dadas, encontrar funciones que se ajusten a los datos… Para Melbourne (2004) encontramos la ecuación ,

Basados en las propiedades de los solsticios, y la longitud del año solar.Usando la regresión periódica de TI 83 calcular un ajuste técnicamente más ajustado como: !!  

[De un problema de un curso se secundaria superior, 2005]Surgen preguntas fundamentales de filosofia.

))11x(3652cos(158730y

))17x(3772cos(155731y

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Un ejemplo potente G I Taylor and the New Mexico atomic test of 1945 (Pedley 2005)

● Usando sólo análisis dimencional y fotografías publicadas, se infirió la fuerza de la bomba atómica probada en el desierto de Nuevo México en 1945.

● El radio de la onda expansiva (R), solo podía depender del tiempo (t), energía liberada instantáneamente (E), y densidad del aire en el que la onda se expande (ρ). ● Inferido (sólo se requiere matemática escolar) R = C (Et2/ρ)1/5 donde C s una constance adimensional.

● Se usó una serie de fotografías publicadas mostrando R frente a t, y un gráfico log-log para estimar C y E.

● Contactadas las autoridades Americanas “Creo que la bomba que han probado tiene una potencia equivalente aproximada de 17 kilotones de TNT”. (Resultado – apoplejia!!!)

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Un ejemplo contemporáneo – Supérame en tamaño La preocupación pública por la obesidad en America (!nación desarrollada!) llevó a producir un film/documental Supérame en tamaño , su creador Morgan Spurlock. Por 30 días consecutivos , Spurlock tomó tres comidas que solo consistían en comida y bebida de McDonald’s (consumiendo aproximadamente 5000 caloríes diarias, a veces más). Si se le ofreciá un “tamaño extra” siempre lo tomaba y limitó su ejercicio diario al del americano medio que trabaja en una oficina. Se comió todo el menú de McDonalds por lo menos una vez y pasó de 84 kg a 95.5 kg. Desarrolló un modelo que predice la ganandia de peso de Morgan Spurlock después de 30 días y lo comparó con el resultado. La solución puede obtenerse por ecuaciones en diferencias que contiene series geométricas o aproximaciones continuas mediante la función exponencial. Los datos sobre el valor energético de los alimentos y los efectos de diferentes niveles de ejercicio están disponibles en Internet. [Source: Supersize Me (Film/Documentary 2004]

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Supérame en tamaño– Preguntas estructuradas

Preguntas estructuradas

Cuando sea necesario referirse a la información de las tablas sobre dieta y ejercicio

1. Si el consumo medio diario de energía es I el consumo durante el intervalo de tiempo t a t+δt es aprox Iδt (calorías).

Encontrar una expresión correspondiente para la energía usada durante el intervalo δt y mostrar que dw/dt = (I-24w)/7800

2. Mostrar que en el tiempo ‘t’ el valor de w viene dado por w = (5000 – 2984 e-0.0031t )/24 y calcular el valor de ‘w’ después de 30 días. Comentar el resultado.

3. Suponiendo que Spurlock mantiene el estilo de vida con un nivel de actividad en el más bajo del “rango activo” (ver la tabla) recalcular el peso al final de 30 días.

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¿Por qué la modelización para profesores? ● Las matemáticas viven fuera de la clase

● Fines estructurales – facilitar la integración del contenido y métodos de argumento matemático

● Enseñar como acceder a y usar las técnicas matemáticas aprendidas para resolver problemas del mundo real.

● Ser más que un simple consumidor del conocimiento de los demás

● Facilidad para implicarse en temas actuales (incluso sociales) e.g. Morgan Spurlock –Supérame en tamaño.

[ wn = wn-1 + (I - 24 w0)/7700, donde ‘I’ representa el promedio conocido de

consumo diario de calorías. Las constantes (que estiman equivalencias calorías ~ kg de alimentos y de diversas formas de ejercicio) están disponibles en diversas fuentes de internet]

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Implications for teacher education● Programas de Matemáticas- Demandas crecientes de cursos de servicio

-- Recursos decrecientes- Cultura tradicional: - Foco en la modelización (formulación, solución, informe) parecen diferentes em ñps contenidos terciarios tradicionales (e.g. listado de teoremas o rango de tópicos y técnicas específicas) (ICTMA group)

● Programas de Educación

- Cuestión de Personal- Cuestión de programas apretados de pedagogía – ¿que puede incluirse dentro?

● ¿Un desafío es crear un espacio para ambos?

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Gracias