funciones matemáticas
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Funciones hiperbólas, parabólas, elipces y circunferencia, características, gráficas forma de calcularTRANSCRIPT
Bachiller:
Bustamante G. Jesús M
ITS Sistema SAIA
Barcelona, 2.014
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Son funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.
CARACTERISTICAS
En las ecuaciones hiperbólicas, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas
DEFINIDAS L a función f: [R
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
El seno hiperbólico de un número real x, que se designa con sinh(x) está definido mediante la siguiente ecuación:
Donde ex es la función exponencial.
Esta función, junto con el
coseno hiperbólico y la
tangente hiperbólica,
conforman unas reglas como
las trigonométricas
tradicionales, pero con
algunas excepciones. Entre
ellas:
cosh2x−sinh2x=1
tanh(x)=sinh(x)cosh(x)
La función sinh(x) es una
función impar, ya que para
todo valor de x, se cumple
que sinh(−x)=−sinh(x)
FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−∞,+∞)
Imagen (−∞,+∞) Propiedades: Biyectiva, Impar, Trascendente y Estrictamente creciente
Límites
limx→−∞sinhx=−∞ limx→+∞sinhx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que se
designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la función
exponencial, es decir, la
potencia de base
irracional e y exponente
x.
Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto se
denota por cosh−1(x) o
bien argcosh(x)
FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectivaen el codominio, Par, Convexa, Trascendente
Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que
se designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la
función exponencial,
es decir, la potencia de
base irracional e y
exponente x .
Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto
se denota por
cosh−1(x) o bien
argcosh(x)
FUNCIONES HIPERBÓLICASDominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Par, Convexa y Trascendente
Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
FUNCIONES HIPERBÓLICASSi se sustituye de acuerdo
con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:
tanhx= ex−e−x
ex+e−x
TANGENTE HIPERBÓLICA
de un número real x se
designa mediante tanhx y
se define como el cociente
entre el seno hiperbólico y
el coseno hiperbólico del
número real x. La fórmula
es entonces:
FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−1,1)
Imagen (−1,1) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Impar, Estrictamente creciente y Trascendente
Límites
limx→−∞tanhx=−1
limx→+∞ tanhx=1
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OTRAS LÍNEAS: Cotangente hiperbólica
Secante hiperbólica
Cosecante hiperbólica
FUNCIONES PARABOLASTambién llamadas funciones
CUADRATICAS. Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
CARACTERISTICAS Las funciones cuya
ecuación es y = ax2 + bx + c con a,b y c números y a distinto de 0 (el valor de b y c si puede ser 0) se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y.
Estas parábolas son más
o menos abiertas y con
las ramas hacia arriba o
hacia abajo, según cual
sea el valor de a:· Si a >
0, las ramas van hacia
arriba.· Si a < 0, las
ramas van hacia abajo.
Además cuanto mayor
sea |a|, menos abierta es
la parábola.
FUNCIONES PARABOLASFORMA DE CALCULARLA
Se representar la función
cuadrática de ecuación y =
2x2 - 4x + 5
1º Calculamos las coordenadas
del vértice. Como a = 2, b =
- 4, c = 5, la abscisa del
vértice será -(-4/2 · 2)=1, la
ordenada del vértice se
obtendrá sustituyendo la
abscisa en la x de la
función: 2·12– 4 · 1 + 5 = 3.
Con lo cual el vértice tendrá
de coordenadas (1, 3) .
2º Determinamos puntos de
la parábola a izquierda y
derecha del vértice,
dando valores a x y
obteniendo los
correspondientes valores
de y, al sustituir la x en la
función por esos valores.
x -1 0 2 3
y 11 5 5 11
FUNCIONES PARABOLAS3º Representamos
gráficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos.
El eje de simetría de la parábola tiene por ecuación x = 1. El punto de intersección con el eje de ordenadas es el (0,5). No se corta con el eje de abscisas porque la ecuación 2x2 - 4x + 5 = 0 no tiene solución.
FUNCIONES ELIPSESLa elipse es el lugar
geométrico de todos los
puntos de un plano, tales
que la suma de las
distancias a otros dos
puntos fijos llamados
focos es constante.
CARACTERÍSTICAS La línea que une los dos
focos se llama eje
principal de la elipse A A' y
la mediatriz de los mismos
eje secundario P P'.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'
El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistanciafocal, respectivamente.
FUNCIONES ELIPSESFORMA DE CALCULARLA
Por el teorema de Pitágoras:
Por definición de elipse:
FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEs una curva plana y
cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro y coplanario llamado centro en una cantidad constante (radio).
CARECTERÍSTICAS
Sólo posee longitud.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos .
La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene,
La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: el conjunto vacío (plano exterior); o un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador
FUNCIONES CIRCUNFERENCIA La longitud de una
circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
(número pi), por definición,
es el cociente entre la
longitud de la circunferencia
y el diámetro:
El área del círculo
delimitado por la
circunferencia es:
FORMA DE CALCULAR
Ecuación en coordenadas
cartesianas: En un sistema
de coordenadas cartesianas
x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y
radio r consta de todos los
puntos (x, y) que satisfacen
la ecuación
Cuando el centro está en el
origen (0, 0), la ecuación
anterior se simplifica al
FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEcuación de una circunferencia
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos
extremos de un diámetro:
la ecuación de la
circunferencia es:
GRAFICA