estructuras discretas

UNIVERSIDAD

PEDAGOGICA NACIONAL

ESTRUCTURAS

DISCRETAS

P R E U F O D

L O G I C A

INTRODUCCION

El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con

sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral,

escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u

oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero

siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o

falsas, siendo éste el precedente fundamental para el

desarrollo humano.

Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a

partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es

posible establecer una proposición y a partir de un conjunto

de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia,

siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.

Hoy en día, la lógica proposicional tiene una importancia

singular dada su aplicación en la informática.

QUE ES LA LOGICA?

Disciplina que estudia los principios formales del

conocimiento humano, es decir, las formas y las

leyes más generales del pensamiento humano

considerado puramente en sı mismo, sin referencia

a los objetos.

PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS

LOGICOS

Es el significado de cualquier frase declarativa que

puede ser verdadero o falso.

A las proposiciones o enunciados se les puede

asignar uno de dos valores “1” si es verdadero o

“0” si es falso, por ese motivo se le denomina

logica bivalente

Algunos ejemplos de enunciados y propocisiones

• La frase “1=1” es un enunciado, puesto que puede ser

verdadero o falso

• “Llovera manana” es una proposicion, para conocer su

valo de verdad tenemos que esperar hasta manana.

• “Las rosas son rojas y la violetas azules” es un

enunciado compuesto por los subenunciados “Las

rosas son rojas” y “Las violetas azules”

• X+2=5 es una ecuacion que adquiere un valor de verdad

o falsedad cuando a X se le asignen diferentes valores,

por tal razon se denomina una proposicion condicional

TABLAS DE VERDAD

Es una herramienta desarrollada por Charles

Peirce en los años 1880, siendo sin embargo

más popular el formato que Ludwig Wittgenstein

desarrolló en su Tractatus logico-philosophicus,

publicado en 1918 por Bertrand Russell.

Se emplean en lógica para determinar los

posibles valores de verdad de una expresión o

proposición. O si un esquema de inferencia,

como argumento, es formalmente válido

mostrando que, efectivamente, es una

tautología.

LA NEGACION (NOT ~ )

Para negar una proposicion se emplea el simbolo

( ~ ) de tal rorma que ~p ( que se lee “ no p”)

Ejemplo:

p q1 11 00 10 0

~ p0011

~ q0101

LEY DE DOBLE NEGACION (NOT ~ )

Cuando el número de negaciones de un enunciado

es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el

original de la proposición, y cuando es impar es la

negación del enunciado original.

Ejemplo.

~ ~ p = p

~ ~ ~ p = ~ p

~ ~ ~ ~ p = p

~ ~ ~ ~ ~ p = ~ p

PROPOSICIONES COMPUESTASUna proposición compuesta es una proposicion que se puede

descomponer en 2 o mas proposiciones atomicas.

Una proposicion atomica es una propocion que no se puede

descomponer en mas proposiciones.

una proposicion atomica: P = es de noche

otra proposicion atomica: Q = esta lloviendo

Una PROPOSICION COMPUESTA: P^Q= (P y Q) = Es de noche y

esta lloviendo.

Las proposiciones compuestas básicas son:

1. La conjunción

2. La disyunción

3. La disyunción exclusiva

4. La implicación

5. La equivalencia

1.- Conjunción (AND ^) significa Y.

Da verdadero (1) si ambos valores son 1, en todo los demás

casos da 0 Ejemplo:p: Aquiles corre velos q: La tortuga no corre velozmente

1.- p ^ q Alquiles corre velos y la tortuga no corre velozmente

2.- ~ p ^ q Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente

3.- ~ p ^ ~ q Aquiles no corre velozmente y la tortuga corre velozmente

p q ~ p ~ q p ^ q ~ p ^ q ~ p ^ ~ q

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1

LA CONJUNCION

Para que la expresión p ^ q sea verdadera tanto p como q

deben ser verdaderas

Disyuncion (OR v) signifiva ” o “ en español.

Da falso cuando todas son falsas (0), en todo los demás casos

da verdadero (1).

LA DISYUNCION (OR)

Para que la expresión p v q sea verdadera basta que una

proposición sea verdadera

p q ~ p ~ q p v q ~ p v q ~ p v ~ q

1 0 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1 1

1 0

1 1

0 1

0 0

Ejercicio:

Es verdadera solo en el caso en el que las dos proposiciones

tengan diferente valor de verdad.

LA DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR)

La palabra “o” tiene dos significados diferentes: En la oración

“ El estudiara en la Pedagógica o en la Católica” la presunción

es que puede estar en una pero no en ambas. De modo que

“o” se utiliza en el sentido llamado disyunción exclusiva

p q p q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

p q0 00 11 01 1

p q1101

Es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La

implicación es una conectiva que se notara con una flecha ejemplo p q (p implica q).

LA IMPLICACION O CONDICIONAL ( )

La implicaciones también reciben el nombre de teoremas, pueden ser de

cuatro formas.

1.- Implicación directa. p → q

2.- Implicación contraria. q → p

3.- Implicación reciproca. ~ p → ~ q

4.- Implicación contra reciproca. ~ q→ ~ p

Ejemplo:

1.- Sea p: -1=1 q: (-1)² = (1)²

p es un antecedente falso

q es un consecuente verdadero

p → q -1=1 → (-2)² = (-2)² es una implicacion

veradera.

q

0

1

0

1

p

0

0

1

1

~ p → ~ q

1

0

1

1

q → p

1

0

1

1

~ q → ~ p

1

1

0

1

p → q

1

1

0

1

~ q

1

0

1

0

~ p

1

1

0

0

Ejemplo implicación

Las tablas de verdad de la implicaciones directa y contra reciproca, y de la

contraria y reciproca son iguales, por tanto estas implicaciones son

equivalentes ( ↔ ) es decir.

1.- (p → q) ↔ (~ q → ~ p)

2.- (q → p) ↔ (~ p → ~ q)

Cuando una implicación directa es verdadera y lo es además la

implicación contraria las proposiciones son equivalentes ( ↔ ) .

(p → q) ↔ (~ q → ~ p)

(q → p) ↔ (~ p → ~ q)

Contraria y Reciproca

Directa y Contra reciproca

LA EQUIVALENCIALa equivalencia es una conectiva logica , p ↔ q que se dice:

p entonces q , p si y solo q , p es necesario y suficiente para q

La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si

ambas son falsas, es decir:

q

0

1

0

1

p

0

0

1

1

p ↔ q

1

0

0

1

Si la tabla de verdad de las proposiciones es siempre verdadera

independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples,

entonces la expresión es tautológica. Si la tabla de verdad es siempre

falsa será una contradicción; si es verdadera y falsa, la proposición es

una contingencia.

Contingencia

El siguiente ejemplo es una tautología usada para trasformar una

implicación en una expresión equivalente (p → q ) ↔ ~(p ^ ~q), cuya

tabla de verdad es:

p q ~ q p → q p ^ ~q ~( ) ↔

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

Determinar que tipo de expresión es la siguiente: (p → q ) ↔ ~(~p v q)

p q ~ p p → q ~p v q ~( ) ↔

1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

La expresión lógica anterior es una contradicción

Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres

simples se deben construir ocho renglones para cada una de las

combinaciones de verdad y falsedad

Ejemplo:

[ p ^ ~ (q v r ) ] → [ ( p ^ ~ q ) v ( p ^ ~ r ) ]

haciendo : s = p ^ ~ q

t = p ^ ~ r

p q r ~ q ~ r q v r ~( ) [ ^ ] s t [ v ] →0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

p q r ~ p ~ q ~r ~q v ~r [→ ] s t ~ s ~ t [ v ] →

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres

simples se deben construir ocho renglones para cada una de las

combinaciones de verdad y falsedad

Ejemplo:

[ ~ p → ( ~ q v ~ r ) ] → [ ~ ( p → q ) v ~ ( p → r ) ]

haciendo : s = p → q

t = p → r

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

1.- Idempotencia

2.- Asociativa

3.- Conmutativa

4.- Distributiva

5.- Identidad

6.- Complemento

7.- D Morgan

1.- LEYES IDEMPOTENCIA

a. p v p ↔ p b. p ^ p ↔ p

p p v p

0 0

1 1

p p ^ p

0 0

1 1

2.- LEYES ASOCIATIVA de la disyunción

a. (p v q) v r ↔ p v (q v r)

p q r p v q (p v q) v r q v r p v (q v r)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Disyunción Conjunción

2.- LEYES ASOCIATIVA de la conjunción

b. (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

p q r p ^ q (p ^ q) ^ r q ^ r p ^ (q ^ r)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

p q p v q q v r

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

3.- LEYES CONMUTATIVAS

a. p v q ↔ q v p b. p ^ q ↔ q ^ p

p q p ^ q q ^ r

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

Disyunción Conjunción

4.- LEYES DISTRIBUTIVAS

a. p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r)

p q r q ^ r p v (q ^ r) (p v q) (p v r) (p v q) ^ (p v r)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

4.- LEYES DISTRIBUTIVAS

b. p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)

p q r q v r p ^ (q v r) (p ^ q) (p ^ r) (p ^ q) v (p ^ r)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

5.- LEYES IDENTIDAD

a. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p b. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p

p p v 0

0 0

1 1

p p ^ 1

0 0

1 1

Disyunción Conjunción

p p v 0

0 0

1 1

p p ^ 1

0 0

1 1

Disyunción Conjunción

6.- LEYES COMPLEMENTO

a. p v ~ p ↔ 1 p ^ ~ p ↔ 0 b. ~ ( ~ p) ↔ p -1 = 0, -0 =1

p p v ~p

0 1

1 1

p p ^ ~ p

0 0

1 0

Disyunción Conjunción

p ~ p ~(~p)

0 1 0

1 0 1

Ley doble negación

7.- LEYES D´ MORGAN

a. ~(p v q) ↔ ~ p ^ ~ q

p q p v q ~(p v q) ~ p ~q ~ p ^ ~q

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 0

7.- LEYES D´ MORGAN

b. ~(p ^ q) ↔ ~ p v ~ q

p q p ^ q ~(p ^ q) ~ p ~q ~ p v ~q

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

Argumentos y

Reglas de inferencia

* ¿Qué es una implicación lógica?

* ¿Qué es un argumento?

* ¿Qué es un argumento válido?

* ¿Cómo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?

Recuerda…Equivalencia significa igualdad

Las leyes lógicas nos muestran algunas proposiciones equivalentes a otras. Eso equivale a conocer “atajos proposicionales”.

¿Puedes dar un ejemplo de dos proposiciones compuestas que sean lógicamente equivalentes?

…. Pasemos a un concepto nuevo

¿Qué es una implicación lógica?

Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lógicamente a scuando r s es una tautología y lo denotamos por r s.

Esto significa que s es verdadera siempre que r sea verdadera.

Ejemplo: Comprueba que [(p q) p] q.En este caso, r es [(p q) p] y s es q

Piénsalo unos minutos ...!

¿Qué es una implicación lógica?Para comprobar [(p q) p] q usamos la

definición.

p q p q [(pq) p] [(p q) p] q.

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Esta es una implicación lógica llamada: Modus Ponens o

Modo Positivo.

Está relacionada con un modo de razonamiento: “Si tengo

dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo tanto, … voy al

cine!”

... implicación lógica

Observa que:

• Una implicación lógica NO es lo mismo que una equivalencia lógica.

• En una equivalencia lógica podemos sustituir una proposición por otra.

• En la implicación lógica no podemos sustituir una proposición por otra. ¿Puedes dar una razón?

• Que r s sea una tautología equivale a decir que

s es cierta cada vez que r sea cierta.

... implicación lógica

Ejercicio 1:Decide si es o no es cierto que :

a) q (p q) p

b) q (p q) p

c) [ (p q) p ] q

Toma unos minutos para decidir ...

a) No es cierto; es falsa si p y q son falsas.

b) Es cierto; a esta implicación se le llama Modus Tollens.

c) Es cierto; a esta implicación se le llama Silogismo disyuntivo.

¿Qué es un argumento?Un argumento es una proposición compuesta del tipo

Si (p1 p2 p3 ..... pk) entonces q

Premisas Conclusión

EjemploSi Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca.Por lo tanto, viajará a París.

Este argumento tiene dos premisas.

Las premisas son: “Si Juan gana la beca entonces viaja a París” y “

Juan se ganó la beca”.

La conclusión es: “Juan viaja a París”.

“Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca. Por lo tanto, viajará a París”.

Este argumento puede representarse como una tabla ocomo una implicación.

Sean las proposiciones: p: “Juan gana la beca”q: “Juan viaja a París”.

Tabla: p q

p

q

Implicación:

[(p q) p] q

¿Qué es un argumento?

Ejercicio

“Fue Elisa o fue Carlos quien cometió el fraude. Pero

Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue

cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo

cometer el crimen. Eso nos conduce, lógicamente, a

Carlos. Él es el culpable.”

a) ¿Cuáles son las premisas en este argumento?

b) ¿Cuál es la conclusión?

Proposiciones simples

p : “Elisa cometió el fraude”.

q : “Carlos cometió el fraude”.

r : “Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido”.

Hay varias premisas y la conclusión es una proposición simple.Premisa 1: p q Premisa 2: r Premisa 3: r p

Conclusión: q

…Argumento

Ejemplo: Expresa simbólicamente

“Si el hijo de Leonidas está vivo, éste se casará

con Ivette. Pero el hijo de Leonidas murió, por lo

tanto, él no podrá casarse con Ivette.”

Tabla: p q

p

q

Implicación:

{(p q) p} q

¿Es ésta una implicación

lógica?

Proposiciones simples:

p: “El hijo de Leonidas está vivo”

q: “El hijo de Leonidas se casa con Ivette”

… Argumento

Se dice que:

Un argumento es válido si cada vez que las

premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera.

Es decir, si las premisas son ciertas, está garantizada

la veracidad de la conclusión. De modo que un

argumento es válido si la implicación:

(Premisas) (Conclusión)

es una implicación lógica.

Un argumento es válido debido a su forma, no a su

contenido.

Argumento válido

[(p q) p] q Este ES un

argumento válido

[(p q) p] q Este NO ES un

argumento válido.

Para comprobar la segunda afirmación,

supón que las premisas son verdaderas… y

verifica que no puedes asegurar que la

conclusión es verdadera

Argumento válido

Un argumento puede ser válido (debido a su forma) aunque el contenido de la conclusión pueda ser falso.

EjemploSi Ud. invierte en la Bolsa, se hará rico.Si Ud. se hace rico, será feliz___________________________Si Ud. invierte en la Bolsa, será feliz.

Comprueba que este es un argumento válido.

Argumento válido

• Son reglas que permiten establecer la veracidad de unargumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad.

• Las reglas están asociadas a formas de razonamiento.

• Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lógicas.

• Algunas de las más usadas son: el Modus Ponens y el ModusTollens que ya vimos. Otras son: Silogismo, Silogismodisyuntivo, Simplificación, Amplificación, Demostración porcasos.

Reglas de Inferencia

Reglas de Inferencia

Silogismo hipotético

[(p q) (q r)] (p r)

Silogismo disyuntivo

[( p q) p)] q

Nombre de la Regla Implicación lógica

Simplificación ( p q ) p

Amplificación p ( p q )

Modus Ponens [ p ( p q)] q

Modus Tollens [( p q) q ] p

Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero

no podemos regresarnos una vez que usamos la

garrocha.

Ejemplo: Dado el argumento

(p q) (r s)] (r t) (t ) q

a) Decida si es o no válido.

b) En caso de ser válido, demuéstrelo. Si no es válido, dé uncontraejemplo.

a) Análisis sobre la validez:

Debemos suponer que todas las premisas son

ciertas y trataremos de comprobar que la

conclusión también lo es.

Es conveniente empezar de la premisa más sencilla.

Validez de argumentos

Hay tres premisas:

(p q) (r s) (r t) (t )

P1 P2 P3

Comencemos por P3: t es falsa.

Por P2: r debe ser falsa.

Al ver P1: si r es falsa, r s es falsa, de modo que

el antecedente p q es falso.

Pero (p q) (p q),

por lo tanto, (p q) es verdadera. Esto ocurre,

cuando tanto p como q son verdaderas. De modo

que q es verdadera.

Validez de argumentos

Por lo tanto, el argumento es

válido !!!

Demostración de la validez

b) Demostremos que es válido.

Los pasos de la demostración están sugeridos por laparte anterior. Partimos del antecedente y utilizandolas leyes lógicas y las reglas de inferencia tratamos detender los puentes para llegar a la conclusión. …

En cada línea justificaremos el paso dado, mencionando el nombrede la ley o de la regla de inferencia que usamos …

- Ley usada -

[(p q) (r s)] (r t) (t )

[(p q) (r s)] [(r t) (t )] Asociativa

[(p q) (r s)] r Modus Tollens

[(p q) (r s)] (r s) Amplificación

[(p q) (r s)] ( r s) De Morgan

(p q) Modus Tollens

p q De Morgan

p q Doble negación

q Reducción

Demostración de la validez

Ejemplo 2: Dado el argumento

(p q) (r s) ( p s) (q s)

a) Decida si es o no válido.

b) En caso de ser válido, demuéstrelo.

Si no es válido, dé un contraejemplo.

a) Sobre la validez:

Supongamos que todas las premisas son ciertas y

trataremos de demostrar que la conclusión lo es.

P1: (p q) es cierta.

P2: (r s) es cierta.

P3: ( p s) es cierta.

C: q s ¿será cierta?

…Validez de argumentos

P1: (p q) es cierta.

P2: (r s) es cierta.

P3: ( p s) es cierta.

C: q s

Por P3: p y s no pueden ser ambas falsas.

Caso 1: Supongamos que s es cierta, pero no lo es p.

Por P1: q puede ser verdadera o falsa. En cuyo caso, la conclusión escierta.

Caso 2: Supongamos que p es cierta, pero no lo es s.

Por P1: q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta.

Caso 3: Supongamos que p y s son ambas ciertas.

Entonces q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta. Por lotanto, el argumento es válido !

Decidir sobre la validez

b) Sobre la demostración:

Partiendo de las premisas, debemos arribar a la conclusión.

Completa las reglas o leyes que faltan. - Ley o Regla usada -

(p q) (r s) ( p s)

(p q) (r s) ( p s) sustitución 1

(p q) (p s) (r s) conm. y asoc.

(p q) p (p q) s (r s) distribut.

q [(p q) s (r s) silog. disyuntivo

q (p s) (q s) (r s) ________

q (p s) (r s) ________

(q p) (q s) ] (r s) _________

(q p) (q s) _________

(q s) __________

q s __________

Demostrar la validez

Se tiene el siguiente argumento, parecido al ejemplo 1

(p q) (r s)] (r t) (t) qP1 P2 P3

Decidamos si es, ó no, válido.Comencemos por P3: t es falsa.

Por P2: r debe ser falsa.

Al ver P1: como r es falsa, r s es falsa; de modoque p q es falsa, lo cual ocurre cuando p y qson falsas …

¿ Y si no es válido?

En el argumento:

[(p q) (r s)] (r t) (t)] q

P1 P2 P3

La conclusión puede ser falsa aún cuando las premisas

son verdaderas !!! … Esto indica que el argumento

NO es válido.

De hecho, si p, r, s y q son V, F, V y V respectivamente, las premisasson ciertas y la conclusión es falsa. Este es el contraejemplo.

¿Cómo comprobar que no es válido?

Ejercicio

Decida si el argumento es válido y si lo es, proporcione una demostración.

Denote a las proposiciones por p, q, r, s, ..

“Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su lazo rojo, Lucy no cortará la grama. Siempre que la temperatura supere los 80° F, no hay probabilidad de lluvia. Hoy la temperatura es de 85° F y Lucy está usando su lazo rojo. Por lo tanto, Lucy cortará la grama.”