ecuaciones de la recta

ECUACIONES DE LA RECTAԦ

Para determinar la ecuación de una recta son necesarios dos elementos.

Si conocemos un punto de la recta y un vector director Ԧ podremos obtener las siguientes ecuaciones de la recta…

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIÓN VECTORIAL

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

ECUACIÓN CONTINUA

Las coordenadas del punto también son las coordenadas del vector con origen en el origen decoordenadas…

… y extremo en el punto . Este vector se denomina:

El vector director Ԧ tiene coordenadas (

…que son precisamente las coordenadas del punto extremo del vector equipolente aԦ con origen en el

origen de coordenadas.

A partir de estos datos queremos obtener las coordenadas de cualquier punto de la recta.

Para ello nos fijamos que las coordenadas ( , ) del punto son

también las coordenadas de su vector de posición .

Queremos determinar las coordenadas del a partir de las coordenadas

de los vectores y Ԧ utilizando las operaciones con vectores.

Podemos considerar el vector equipolente a Ԧ que tiene su origen en el punto y multiplicarlo por un número real λ para que su extremo se sitúe sobre el punto

λ ∙ Ԧ

λ ∙

λ ∈ ℝ

De este modo tenemos que la suma + λ ∙ Ԧ es precisamente el vector

Ԧλ ∙

λ ∙

λ ∈ ℝ0 ∈ ℝ

Por ejemplo, si el escalar λ = 0 Tenemos que el punto coincide con el punto .

λ ∈ ℝ∈ ℝ0 > 𝜆

Ԧλ ∙

λ ∙

Si multiplicamos por un escalar λ < 0 obtenemos los puntos de la rectasituados al otro lado del punto .

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Ԧλ ∙

λ ∙

𝜆 ∈ ℝ

Ԧλ ∙

λ ∙𝜆 ∈ ℝ

λ ∙

La ecuación vectorial de la recta podemos verla en coordenadas y realizar las operaciones del miembro derecho:

Ԧλ ∙

𝜆 ∈ ℝλ ∙ λ ∙

Ԧλ ∙

λ ∙ λ ∙𝜆 ∈ ℝ

De este modo obtenemos una igualdad entre dos vectores que equivale a que ambas coordenadas son iguales entre si.

Ԧλ ∙

λ ∙

λ ∙𝜆 ∈ ℝ

Llegamos a dos ecuaciones que también dependen del parámetro 𝜆 ∈ ℝ

Ԧλ ∙

ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝλ ∙

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ ∙Podemos ahora tomar la primera de estas ecuaciones y despejar el parámetro λ .

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ- .. y obtenemos λ

igualado a un cociente

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

λ ∙

Podemos despejar el parámetro λtambién en la segunda ecuación.

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

Y tendríamos que el parámetro λ es igual a dos cocientes…

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

…Y estos dos cocientes han de ser iguales dando lugar a la siguiente ecuación:

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

Ԧλ ∙

λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ

--Todos los puntos( , ) que satisfagan esta ecuación son puntos de la recta.

EJEMPLOPodéis repetir los pasos que hemos dado en forma teórica con el siguiente ejemplo que dejamos como ejercicio:

Ԧλ ∙EJEMPLO

λ ∙EJEMPLO

ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA

λ ∙ λ ∈ ℝ

λ ∙λ ∙

λ ∙ λ ∈ ℝ

λ ∙ λ ∙

λ ∙ λ ∈ ℝ

λ ∙ λ ∙

λ ∙ λ ∈ ℝ

λ ∙

λ ∈ ℝ

ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA λ

λ ∙

λ ∈ ℝλ

λ ∙

λ ∈ ℝ

λ ∙

λ ∈ ℝ

ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA

λ ∙

λ ∈ ℝ

λ ∙

λ ∈ ℝ

λ ∙

λ ∈ ℝ

λ ∙

λ ∈ ℝ

ECUACIÓNCONTINUADE LA RECTA

λ ∙

λ ∈ ℝ

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