discusion del paper

DISCUSIÓN DEL ARTÍCULO:

"GENERAL THEORY OF THREE

DIMENSIONAL CONSOLIDATION"

POR MAURICE BIOT, 1941

ATILIO MORILLO

CIMA, 2012

OBJETIVOS

General:

Continuar la discusión de aspectos fundamentales y temas relacionados con el modelado del acoplamiento geomecánico vs flujo de fluidos, a fin de motivar, apoyar y consolidar el Proyecto PEII que nos concierne.

Específicos:

• Discutir las hipótesis y conceptos básicos de la teoría de consolidación.

• Discutir la formulación de las ecuaciones constitutivas de la teoría de poro elasticidad lineal.

• Discutir la formulación, como modelo acoplado, de las ecuaciones gobernantes de los procesos de consolidación de rocas porosas.

• Discutir la interpretación física de las constantes y parámetros asociados al proceso.

• Ejemplificar la capacidad de predicción de la teoría sobre la base de ejemplos con geometría sencilla.

FENÓMENO DE CONSOLIDACIÓN

Ingeniería de Suelos

Consideremos una masa de suelo saturada de agua sometida a la carga transmitida por una fundación de gran porte. Al cargar el conjunto suelo-agua, debido a la baja compresibilidad de esta última, todo el esfuerzo es recibido inicialmente por el fluido. Esta presión provoca el movimiento del mismo a través del medio poroso, siendo finalmente expulsado de la masa en consideración con la consecuente deformación de la estructura en general. Este proceso se conoce como consolidación de los suelos.

Ingeniería de Yacimientos

En yacimientos petroleros, inmersos en rocas poco consolidadas, adicionalmente a los esfuerzos, la extracción de fluidos origina pérdidas de presión que contribuyen a la dinámica de la deformación, y el proceso obedece a los mismos principios físicos.

ANALOGÍA HIDROMECÁNICA DEL PROCESO DE CONSOLIDACIÓN

Analogía hidromecánica para ¡lustrar la distribución de cargas en la consolidación. a) Ejemplo físico. b) Analogía hidromecánica; estado inicial. c) Carga aplicada a una la válvula cerrada. d) El pistón desciende al ir escapando el agua. e) Equilibrio sin más escape de agua. f) Transferencia gradual de carga.

FENOMENO DE SUBSIDENCIA

La figura siguiente ilustra los esfuerzos poroelásticos cortantes inducidos en un yacimiento de hidrocarburos como una consecuencia de la reducción de la presión en los poros debido a la extracción de fluido.

La compactación del yacimiento debido a la reducción de presión origina esfuerzos poroelásticos que producen el hundimiento de la superficie libre..

TEORÍA DE LA CONSOLIDACIÓN

ANTECEDENTES

• Karl Terzaghi (1925) fue el primero en proponer un mecanismo que explica el fenómeno de consolidación.

• Terzaghi asume que los granos de particulas que conforman el suelo se mantienen unidas por fuerzas moleculares, y constituyen un material poroso con propiedades elásticas, en la cual los espacio porosos estan llenos de agua.

• Una analogia para este modelo es una esponja saturada de agua. Una carga o una fuerza aplicada a este sistema produce un asentamiento gradual dependiendo de la rata de escurrimiento de los poros.

• Terzaghi aplicó con gran exito estas ideas para el análisis del asentamiento de suelos de diferentes tipos sujetos a una carga constante y previniendo la presencia de expansiones laterales.

• Una de las contribuciones medulares de Terzaghi fue el concepto de "esfuerzo efectivo".

• El tratamiento de Terzaghi esta restringido al problema unidimensional de una columna vertical sujeta a una carga.

HIPÓTESIS DE LA TEORÍA DE BIOT

• Los suelos se consideran isotrópicos y homogéneos.

• Las relaciones esfuerzos-dilataciones se consideran reversibles bajo condiciones finales de equilibrio.

• Linealidad de las relaciones esfuerzos-dilataciones.

• Las dilataciones son relativamente pequeñas.

• El fluido contenido en los poros es ligeramente incompresible.

• El agua puede contener burbujas de aire.

• El agua fluye a través del esqueleto poroso obedeciendo a la Ley de Darcy.

• De esta manera Biot sienta las bases de lo que hoy en día se conoce como teoría de la poroelasticidad lineal.

¿EN QUE CONSISTE LA TEORÍA DE LA POROELASTICIDAD HOY?

• La Poroelasticidad es una teoría continua para el análisis de un medio poroso que consiste de una matriz elástica que contiene poros interconectados saturados por un fluido.

• En términos físicos, la teoría postula que cuando un material poroso es sujeto a esfuerzos, la deformación matricial resultante conduce a cambios volumétricos en los poros.

• Puesto que los poros están llenos de fluido, la presencia del fluido no solo actúa como un refuerzo del material, sino que también da lugar al flujo del fluido (difusión) desde regiones de alta presión de poro a regiones de baja presión de poro.

• Si el fluido es viscoso la conducta del sistema material llega a ser dependiente del tiempo.

• Puede considerarse que la teoría de la poroelasticidad no es más que una extensión de la teoría de elasticidad de sólidos a medios porosos.

ESFUERZOS SOBRE EL SUELO Y CONDICIONES DE

Medio Poroso

Esfuerzos sobre un elemento de volumen

ESFUERZOS SOBRE EL SUELO Y CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Esfuerzos sobre un elemento de volumen

ESFUERZOS SOBRE EL SUELO Y EQUILIBRIO

Notación de Biot

Tensor de esfuerzos=��� �� ���� �� ���� �� ���

Notaciones usuales

Tensor de esfuerzos=���� ��� ������ ��� ������ ��� ����=���� �� ���� � ��� � ��

Ecuaciones de equilibrio de un campo de esfuerzos

�� ������� � ����� � ����� � ������ � ����� � ����� � ������ � ����� � ����� � �

� (1)

Físicamente debemos pensar que los esfuerzos se componen de dos partes: una, causada por la presión hidrostática del agua que llena los poros; otra, causada por el esfuerzo promedio en el esqueleto sólido.

DEFORMACIÓN RELACIONADA AL ESFUERZO Y PRESIÓN DEL FLUIDO

Componentes de la deformación

�� ���� � ���� ��� � ���� ��� � ���� ��

�� � ���� � ������ � ���� � ������ � ���� � ������ (2)

�� ���: componentes del desplazamiento del suelo (se asume que las deformaciones son pequeñas).

Nuevas variables

��� ��� �! "#��#��$�!"#%�# &"�&���'��(� #!��)�#%"�&��$��(��* "#�&�$��'��+ 7 pares de variables conjugadas: �,� �,� ���(� �*-����"*���(��* .#��#�$"*�("�"*�,� �,� ���� &�-"�)�! "#�*������/ �#�!"#%�# &"�&���'��� (�"!�*"� ������* 0$� �1$�*���� �0$�*��,� �,� ����*"#�-�#! "#�*�&�$�*���� �0$�*��,� �,� ���(

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO 2�� �! "#�*�(�3��4�*�&��&�-"�)�! "#�*��!"#%�# &"�&���'�� �1��$�! "#�$ #��$��#%���$�*���� �0$�*�!"#5�'�&�*

Caso p=0: �$�)�& "�("*���(�"( �&�&�*� *"%�.( !�* �1$�*���$�! "#�*�*����&�!�#���$��6���&��7""8�(�����#�)�& "� *"%�.( !"�9%�"� ��&���$�*% ! &�&:

6��&�7""8��

���� ������ � ��; < =; >�� � ��?�� � ��; < =; 9�� � ��:�� � ��; < =; >�� � ��?�� � ��@ ������������������������������ � ��@ ������������������������������ � ��@ ����������������������������

� (3)

Las constantes ;�@� ��= pueden interpretarse como el Módulo de Young, el Módulo de Corte, y la Razón de Poisson, respectivamente. Solamente hay dos

constantes independientes: @ � ;9�A=:

Caso p≠0

���� ���� �� � ��; < =; >�� � ��? � (7�� � ��; < =; 9�� � ��: � (7�� � ��; < =; >�� � ��? � (7�� � ��@ ������������������������������������������ � ��@ ������������������������������������������ � ��@ �����������������������������������������

� (4)

Isotropía => la presión p no origina desplazamientos cortantes y el efecto sobre las componentes de la deformación ��� ��� �� tiene que ser el mismo.

Necesitamos considerar la dependencia del incremento de agua θ respecto a las mismas variables. La relación mas general es:

� � ���� � ��� � ��� � �B����C�� � �D�� � �E( (5)

Isotropía del material => Cambios de signo en ���� �����

no pueden afectar el contenido de agua θ => �B � �C � �D � �

(efecto de las componentes cortantes sobre θ es nulo)

Isotropía del material => todas las direcciones deben tener efectos equivalentes => �� � � � �

�1 F � �7� >�� � �� � ��? � (G (6)

Existencia de una función de energía potencial

• Esta hipótesis significa que si los cambios ocurren a una rata infinitamente lenta, el trabajo realizado para traer el sólido desde las condiciones iniciales a su estado final de equilibrio es independiente de la forma mediante la cual se alcanza el estado final.

• La hipótesis es una consecuencia de la reversibilidad introducida, ya que la ausencia de una función de energía potencial implicaría que una cantidad indefinida de energía puede drenarse del suelo mediante un proceso de carga y descarga en un ciclo cerrado.

• Esta energía potencial se define como una función de las seis componentes de los tensores de esfuerzo

y deformación, de la presión del fluido y del incremento del contenido de fluido.

Definición de la energía potencial

H � � >���� � ���� � � ����

����� ������ � ���� � (�?

Consideremos la siguiente condición particular de los esfuerzos: �� � �� � �� � ���� � �� � �� � �

La función de energía potencial se reduce a

H � � 9��I � �(: (7)

con I � �� � �� � ��

La cantidad I representa el incremento de volumen del sólido por unidad de volumen inicial.

Mientras que las ecuaciones (4) y (6) se pueden escribir:

JI � 9�K=:; �� � (7������� � ��7� � (G���������������������� (8)

La ecuación anterior es un sistema lineal 2x2, cuya solución respecto a �����(� es:

�� ���� � IGL < �7L����������������������( � < I7�L < 9�K=:;L �������!"#�L� 9�K=:;G < �77�

� (9)

La función de energía potencial es función de las dos variables I������. H es el potencial (en sentido matemático) de una funcion

M � M9I� �: � 9-�9I� �:� -9I� �::

Por lo tanto

M � @��&9H: � N�H�I � �H��O � 9-�� -:

Puesto que M posee potencial, debe cumplirse: �-��� � �-�I

Pero �-��� � �-�I P�1 �H�I�� � �H���I �����*%" �1�Q����� � ���IR

Con lo anterior hemos mostrado que 7 � 7�, y por lo tanto las 5 constantes se reducen a 4.

En definitiva las ecuaciones constitutivas del modelo, que describen las propiedades del suelo elástico en términos de las deformaciones y la cantidad de agua en condiciones de equilibrio, vienen dadas por:

����� �����

���� ���� �� � ��; < =; >�� � ��? � (7�� � ��; < =; 9�� � ��: � (7�� � ��; < =; >�� � ��? � (7�� � ��@ ������������������������������������������ � ��@ ������������������������������������������ � ��@ �����������������������������������������

�

F � �7 >�� � �� � ��? � (G�

� (10)

Formulación matemática del modelo: ecuaciones constitutivas

• 2 pares de variables conjugadas. Variables dinámicas: esfuerzos y presión del fluido. Variables cinemáticas: deformaciones e incremento del contenido del agua.

• 6 ecuaciones lineales que muestran la dependencia de los desplazamientos respecto de los esfuerzos y la presión.

• 1 ecuación que muestra la dependencia lineal del contenido de agua respecto a las mismas variables.

• 4 constantes físicas.

Formulación Alternativa del Modelo Matemático

Resolviendo el subsistema lineal para �,�����, resulta:

��� ����� � @Q�� � =I�K=R < ,(�� � @Q�� � =I�K=R < ,(�� � @Q�� � =I�K=R < ,(�� � @���� � @���� � @��

� (11)

con , � 9�A=:9�K=: @7 , denominada constante de Biot.

Adicionalmente la variación del contenido de agua puede expresarse como:

� � ,I � (S (12)

con �S � �G < ,7.

Las Ecs. (11) y (12) juntas constituyen una formulación alternativa del modelo matemático del fenómeno.

SIGNIFICADO FÍSICO DE LAS CONSTANTES

• Las constantes E, G y = tienen el mismo significado que el módulo de Young, el módulo de corte y la razón de Poisson de la teoria de la elasticidad. Son las constantes elásticas en promedio del esqueleto poroso. De las tres solamente dos son independientes.

• Supóngase que una columna de suelo libre de desplazarse lateralmente es sometida a una carga axial (� � <��, y que ha transcurrido el tiempo necesario para que se escurra toda el agua contenida en los poros. Luego ( � �, y de la ecuacion (4) se obtiene:

T�� � <(�; ����������������������������� � �� � =(�; � <=��

� El coeficiente = mide la razón entre el desplazamiento lateral y el desplazamiento vertical bajo condiciones finales de equilibrio.

• Considérese una muestra de suelo contenida en una bolsa delgada de material elástico, de tal manera que los esfuerzos aplicados son nulos. Supóngase que se drena el agua contenida en los poros mediante un tubo que pasa a través de las paredes de la bolsa. Si se aplica una presión negativa <( en la salida del tubo, una cierta cantidad de agua se escurrirá a través del tubo. La cantidad de agua escurrida y el correspondiente cambio de volumen serán (Ec. 8):

T� � < (GI � < (7� La constante

�G mide el incremento de la cantidad

de agua para un cambio de presión dado; mientras

que la constante �7 es una medida de la

compressibilidad para un cambio de presión dado.

• Las dos constantes elásticas y adicionalmente las constantes H y R son las cuatro constantes que se requieren para definir las propiedades de un suelo isotrópico bajo condiciones de equilibrio.

• La constante ,, de acuerdo a (11) , mide la razón entre la cantidad de agua escurrida y el cambio de volumen del suelo cuando este es comprimido y se permite drenar toda el agua (� � � ).

• El coeficiente �S � �7 < ,G es una medida de la

cantidad de agua que puede ser forzada dentro del suelo bajo presión mientras el volumen del suelo se mantiene constante.

• Las constantes ,���S tienen significado para un sólido no completamente saturado de agua pero que puede contener burbujas de aire. En ese caso dichas constantes pueden tomar valores dependiendo del grado de saturación del suelo.

• Una columna de suelo soporta una carga (� � <��, mientras que es confinada en una camisa rígida que no permite expansiones laterales. El agua puede escaparse aplicando la carga sobre una cubierta porosa. Cuando todo el exceso de agua ha sido escurrido, la deformación axial viene dada por las relaciones (10) con ( � �: �� � �� �� � �� �� � <(��

donde � es el coeficiente � � 9�K=:@9�K=: y es llamado

compresibilidad final.

• Si se mide el desplazamiento vertical justo después que la carga haya sido aplicada y el agua no haya tenido tiempo de fluir, debemos poner � � � en la relación (11), de donde se deduce que el valor de la presión del agua es: ( � <,S��

que al ser substituido en la Ec. (10) da un valor: �� � <(�� donde el coeficiente � � ��A,�S será llamado la

compresibilidad instantánea.

• Las constantes estudiadas hasta ahora se refieren a las propiedades del sólido en estado de equilibrio, situación en la cual la presión del agua es uniforme en todas partes. Más adelante veremos que para estudiar el estado transitorio de la dinámica del proceso, será necesario introducir una nueva constante, a saber, el denominado coeficiente de permeabilidad del suelo.

LAS CONSTANTES DE POROELASTICIDAD: ENFOQUE

MODERNO

Fijemos la atención solamente en las 3 primeras ecuaciones y en la ultima ecuación del modelo (10). Denotemos I � I� � I� � I� �� U ��(�#* .#��"$�)V%� !�� � �� � �� � �� � �*-����"�(�")�& "���������� Introduciendo estas variables dichas ecuaciones se reducen a:

JI � 9�K=:; � � �7 (��������� � �7 � � �G (������������������� (13)

Es decir el sistema de ecuaciones constitutivas es un sistema lineal de la forma:

WI � ���� � ��(�������������������������������������� � ��� � �(������������������ � (14)

Partiendo de las ecuaciones (14) Wang (Theory of Linear Poroelasticity) introduce las constantes fisicas de la manera siguiente:

��� � �XIX�Y Z([� �\�� � �XIX(Y Z�[� �7�� � �X�X�Y Z([� �7�� � �X�X(Y Z�[� �G

El coeficiente �\ es obtenido midiendo la

deformación volumétrica mientras se mantiene la presión en los poros constante. Este estado se

denomina condición de drenado. Luego �\ es la

compresibilidad del material medido bajo condiciones de drenaje. La constante \ se denomina módulo de compresibilidad volumétrica de drenado.

El coeficiente �7 mide cuanto cambia el volumen

total debido a un cambio en la presión de los poros mientras se mantiene el esfuerzo aplicado se mantiene constante. se denomina coeficiente de

expansión poroelástica. Puesto que �7=

�7� la matriz

de los coeficientes del sistema es simétrica.

El coeficiente �G es un coeficiente de

almacenamiento medido bajo condiciones de esfuerzo constante, determina la razón entre el cambio de contenido de agua y el cambio en la presión de los poros. Es denominado coeficiente de almacenamiento especifico sin restricciones, y

usualmente se denota ]� � �G.

Adicionalmente se introducen el coeficiente de Skempton ^, el coeficiente de almacenamiento

específico con restricciones�]I � �S, y el coeficiente

de Biot-Willis ,. Estos coeficientes se definen mediante:

< �X(X�Y Z ^�[� ����]I � �X�X(Y Z �SI[� ����, Z \7���

El procedimiento para relacionar ]I con los coeficientes previamente definidos, consiste en resolver respecto a � la primera ecuación de (15) y substituir en la segunda:

JI � �\ � � �7 (� � �7 � � �G (� (15)

Con lo cual se obtiene:

� � \7 I � Q�G < \7R ( (16)

Por lo tanto, de acuerdo con la definición de ]I:

]I � �S � �G < \7 � ]� < \7

Es decir, el coeficiente de almacenamiento específico a deformación constante es menor que el coeficiente de almacenamiento específico a esfuerzo constante, debido a la restricción de mantener el volumen constante.

Puesto que la razón \7 es el coeficiente , de Biot-

Willis, la ecuación (16) puede expresarse como:

� � ,I � �S ( (17)

que es la expresión ya conocida dada por Biot.

En resumen para caracterizar completamente la respuesta lineal poroelástica a deformaciones volumétricas se requieren tres constantes materiales: el módulo de compresibilidad de drenado, el coeficiente de expansión poroelástico, y el coeficiente de almacenamiento no restringido.

Otras constantes, tales como el coeficiente de Skempton y el coeficiente de almacenaje restringido, pueden ser derivados de las tres constantes originalmente definidas.

Para completar el cuadro de ecuaciones constitutivas, cuando estén presentes esfuerzos cortantes se requiere también una cuarta constante independiente, que puede ser el módulo de corte, o la razón de Poisson.

La siguiente figura provee un diagrama esquemático para comparar los conceptos de almacenaje restringido y almacenaje sin restricciones.

En un estudio mas detenido, se puede ahondar en los conceptos asociados a cada una de las constantes; y así surgen nuevos conceptos, nuevas relaciones, y nuevas constantes. Véase Wang, H: Theory of Linear poroelasticity, capítulo 3.

ECUACIONES GENERALES QUE GOBIERNAN LA CONSOLIDACIÓN

En esta sección se establecerá la dinámica transitoria del fenómeno de consolidación, es decir las ecuaciones que rigen las distribuciones de esfuerzos, el contenido de agua, y el asentamiento en función del tiempo en sólidos porosos sometidos a cargas dadas. Substituyendo las expresiones (11) para los esfuerzos en las ecuaciones de equilibrio (1), se obtiene:

�� ��@_� � @9�K=: �I�� < , �(�� � �@_� � @9�K=: �I�� < , �(�� � �@_� � @9�K=: �`�� < , �(�� � �

� (18)

donde _ � ��� � ��� � ��� .

Se obtuvieron 3 ecuaciones con 4 incógnitas: �� ���� ��(. A fin de tener un sistema determinado se necesita introducir una cuarta ecuación. Esto se

logra introduciendo la ecuación de Darcy, que gobierna el flujo de fluido en un medio poroso. Considérese un cubo elemental del suelo, y denótese 2� el volumen de agua que fluye por segundo y por unidad de area a través de la cara de este cubo perpendicular al eje X. De la misma manera se definen 2�����2� .

De acuerdo a la ley de Darcy, esas tres componentes de la rata de flujo están relacionadas con la presión del fluido mediante las relaciones:

2� � <8 �(�� � <8 �(�� � <8 �(�� (19)

donde 8 es el coeficiente de permeabilidad del medio. Asumiendo incompresibilidad del agua, el principio de conservación establece que la rata de contenido de agua debe ser igual a la cantidad de agua que fluye por segundo a través de la superficie del elemento de volumen, es decir:

&�&% � < �2��� < �2��� < �2��� (20)

Combinando las ecuaciones (12), (19) y (20), se obtiene:

8_( � , �I�% � �S �(�% (21)

Las 4 ecuaciones diferenciales (18) y (21) constituyen las relaciones dinámicas entre las variables �� ���� ��(.

��� ���

�� ��@_� � @9�K=: �I�� < , �(�� � �@_� � @9�K=: �I�� < , �(�� � �@_� � @9�K=: �`�� < , �(�� � �

�8_( � , �I�% � �S �(�% ����������������������

� (22)

APLICACIÓN A UN TEST STANDARD DE SUELOS

Considérese una columna de suelo, confinado en una camisa rígida de manera que no hay desplazamientos laterales, y que soporta una carga (" � <��. Supóngase que el agua no puede escapar por los lados ni por el fondo de la columna, pero es libre de escapar por la parte superior a través de una cubierta porosa. Tómese el eje a positivo hacia abajo; la única componente de los desplazamientos presente es �. Tanto � como la presión del agua ( dependerán solamente de la coordenada � y del tiempo %. Las ecuaciones (22) en este caso se reducen a:

�� ���� < , �(�� � �8 �(�� � , �(���% � �S �(�% (23)

donde � es la compresibilidad final.

El esfuerzo �� a través de la columna cargada es constante, por lo que, aplicando las ecuaciones (11) y (12) se obtiene:

(� � <�� � < �� ���� � ,(� � , ���� � (S (24)

La primera de las ecuaciones (24) es equivalente a la primera de las ecuaciones (23). Mientras que si se deriva respecto de % se obtiene la expresión: ,�(�% � �� ���%��

que al ser introducida en la segunda ecuación de (23) da lugar a:

�(�� � �! �(�% (25)

con �! � , �8 � �S8.

La constante ! se denomina constante de consolidación; mientras que la ecuación (25) establece el importante resultado que la presión del agua satisface la ecuación del calor.

Esta ecuación conjuntamente con las condiciones iniciales y las condiciones de borde conduce a una solución completa del problema planteado. Condiciones de borde:

b( � ����(����� � ������(�� � ������(����� � c� (26)

Condición inicial:

� � , ���� � (S � � (27)

La primera condición de borde expresa que la presión del agua baja la carga es 0 debido a que la permeabilidad de la cubierta a través de la cual se aplica la carga se asume mucho más grande que la permeabilidad del suelo. La segunda condición de borde establece que el agua no puede escapar por el fondo del sistema. La condición inicial significa que el cambio en el contenido de agua cuando la carga es aplicada es cero puesto que el agua debe escapar a una

velocidad finita. Por lo tanto, por la segunda ecuación de (24):

� � , ���� � (S � �����(����% � � (28)

Llevando este resultado a la primera ecuación de (24) se obtiene una ecuación algebraica para p, cuyo resultado es:

( � �K� ,� (����(����% � � (29)

La solución de la ecuación diferencial (25) con las condiciones de borde (26) y la condición inicial (27) se obtiene en la forma de la serie:

( � Bd� < � ,� (� b��( e< Q dcR !%f ghid�c��� ���( e<NdcO !%f ghid�c � jk

Nuevamente, empleando la primera ecuación (24):

���� � ,�( < �(�

e integrando desde � hasta c se obtiene el asentamiento total del suelo:

�� � <l ���� &� �c� �c(�������������������������������������������������������������

< md 9� < � :c(� n �9# � �: ��( W< e9# � �:dc f !%op�

En el instante % � � se obtiene: � � �c( < md 9� < � :c(� q �9#A�:p�

Tomando en cuenta la identidad:

n �9# � �:p� � dm

resulta que el asentamiento en el instante inicial es: � � � c(�

que coincide con el resultado antes obtenido. La desviación final, para % � r viene dada por: c�p � �c(� Se puede encontrar una ley de evolución para el asentamiento para un t posterior al t inicial. Para eso restamos el asentamiento inicial del valor ��: �* � �� < � � md 9� < � :c(�

n �9# � �: W� < ��( �<s9# � �:dc t� !%op�

El valor de �* expresa la parte desviación causada por la consolidación. La rata de asentamiento es: &�*&% � !9� < � :c (� n��( �<s9# � �:dc t� !%p

�

Para % � � esta serie no converge, lo cual significa que la curva que representa el asentamiento respecto al tiempo se inicia con una pendiente vertical. Cuando % tiende a infinito la curva se acerca al valor 9� < � :c(" . Es interesante obtener el comportamiento de la curva en la vecindad de % � �, es decir cuando el valor c no afecta su comportamiento. Para ello bastaría hallar �* para c � r. Inroduciendo el cambio de variable: #c � u����� �c � Lu

resulta &�*&% � !9� < � :c (� n��( e<d Nu � Lu Of !%p�

para c � r. La rata de asentamiento puede expresarse como: &�*&% � !9� < � :c (� l ��(><du!%?&up

�� !9� < � :c (�

Integrando nuevamente se obtiene �*:

�* � l &�*&% &% � 9� < � :(� N!%dO� v%�

que es una curva parabólica tangente al eje vertical en % � �.

Las soluciones basadas en desarrollos del análisis matemático sólo son posibles para geometrías sencillas, por lo que en la mayoría de los casos prácticos se requiere apelar a los métodos numéricos y computacionales.

REFERENCIAS Artículos y Libros 1. Biot, M. A: General Theory of Three-Dimensional Consolidation, 1941. 2. Biot, M.A.: Theory of Elasticity and Consolidation for a porous Anysotropic Solid, 1955 3. Wang, H.: Linear Poroelasticity Theory, 2000. 4. Detournay, E y Cheng, A.: Fundamentals of Poroelasticity, 1993. 5. Rice, J. R: Elasticity in Fluid Infiltrated Porous Solids, 1998. 6. Rice, J, R y Cleary, M.: Some Basics Stress Diffusion Solutions for Fluid-Saturated Porous Media with Compressible Constituents, 1976. Internet: 7. Poronet: Poromechanics Internet Resources Network.

8. iMechanica: web of mechanics and mechanicians.