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TRONCO COMUN DE MATEMATICAS PARA ESTUDIANTES DE INMNlERlA

Manuel Meda Vidal

DIVISION DE CIENCIAS BASBCAS E INGENIERIA Departamento de Ciencias Básicas

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Unidad Azcapotzalco

Mdxico 16, D.F.

ISBN 968-597-216-8 Noviembre de 1980

TRONCO CCMUN DE MATEMATICAS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA*

Manuel Meda Vidal**

Los últimos cuatro años hemos tenido ocasión, un grupo de matemáticos profesio -

nales, de v i v i r una etapa más de l a v i e j a lucha Matemáticos vs. Ingenieros, en

l a arena, perdón, en l a Unidad Azcapotzalco de l a Universidad Autónoma Metropo -

l i tana.

Si e11 c: I 1 a las nutoriclades máximas han sido siempre ingenieros, es cl ;m que

1 ; 1 oporttmic1:d nos l a han proporcionado cllos. E1 porqu6, pucdc estar inmerso

en alguna de las frases, espeluznantes por c ier to , que les he escuchado: "De

mil egresados de diversas escuelas de ingeniería de toda l a República Mexicana

e l 7 5 por ciento no sirve para nada. Del 2 5 por ciento restante, mediante a l -

gún curso de capacitación profesional, e l 25 por ciento puede ser aprovechado."

Por esta situación, de l a que personalmente no me siento capacitado para opi-

nar , les surgió l a preocupación de intentar crear un nuevo t ipo de ingenieros.

En part icular , uno de los componentes que trataron de modificar, fue l a forma-

ción científ ica básica en matemáticas, física y química.

* Conferencia presentada en e l Primer Congreso Internacional y Quinto Nacional de Profesores de Matemáticas, celebrado en Toluca, Méx., del 19 a l 2 4 de febre ro 1978. Publicada en e l No.1 Vo1,XLVIII de Ingeniería,M&. , enero-marzo 1978,

Unidad Azcapotzalco de l a Universidad Autónoma Metropolitana. ** División de Ciencias l3ásicas e Ingeniería.

3

Por e l l o dispusieron cpe fuesen profesionales especializados, los que estable-

cieran las directrices de l a enseñanza de esas materias, agrupados en sendas

áreas del Departamento de Ciencias %sicas.

De e l l a s voy a hablar del trabajo docente desarrollado en e l área de matemáti-

cas , y para l a División de Ciencias Básicas e Ingenieria, que ofrece nueve ca-

rreras exclusivamente de ingenieria:

Electrónica con e l 2 2 por ciento de los estudiantes, Civil con e l 18%, Indus--

t r i a l con e l 15%, Quimica e l 1490, M e c h i c a e l 13%, E l é c t r i c a e l 6%, Metalúrgi-

ca e l 4 % , y Ambiental y F fs i ca con e l 3% cada una.

Para alumnos provenientes de Porcentaje

Incorporadas a l a U N A M

I P N

Colegio de Bachilleres

IncorpoTadas a l a S E P

Incorporadas a U E

U N A M

Universidades Estatales

Otros

30.5

25.9

14.2

9.5

6.8

5.9

4.9

2.4

Lo primero que hicimos fue elaborar un documento donde se fi jaban los o b j e t i - -

vos generales de los cursos de matemáticas en l a U N , Unidad Azcapotzalco (véa

se e l Anexo) e inmediatamente, s e l e s preguht6 a los ingenieros qué matemáti"

cas necesitaban. Efectivamente, se l e p id i6 a cada coordinador, de cada una

de Pas nueve carreras mencionadas, que nos enviasen un documento aunque fuese

informal, pero cuidadosanente meditado, que contuviese los temas de matemSti--

-

1

4

C ; J S C ~ U C cl los hab'ím necesitado en su e jercicio profesional , y acpcl los quc -

i h;ln ;I rcqucrir para las materias del tronco profesional. Tuvimos un apoyo

definit ivo y una respuesta completa. De las l i s t a s de requerimientos posiblc -

mcntc exhaustivas, determinamos l a intersección, y organizamos seis diferen--

tes cursos:

Cálculo diferencial e integral I y I1

Ecuaciones diferenciales

Algebra l ineal

Cálculo de varias variables

Probabilidad y estadlst ica

Es necesario explicitar que, para nosotros, un curso consta de once semanas de

c lases , a razón de hora y media d iar ia , es decir , de 82 horas y media, tiempo

en que están incluidos los e jerc ic ios y exámenes parciales.

Sobrc la base de nuestro anteproyecto, entramos en discusi-ón nuevamente con -

los ingeni.eros, pues siempre habíamos insist ido en que e l l o s tendrlian l a Glti -

ma palabra. Llegamos a l o siguiente.

E l tronco general constaría de cuatro cursos: Cálculo diferencial e integral

I y 11, Ecuacioneg diferenciales y Algebra Lineal que constituyen un curso -

Único, e l primero dictado a razón de dos clases semanales ( 2 2 reuniones de ho -

ra y media) y e l segundo de tres (33 reuniones) y Cálculo de varias variables.

Cabe mencionar también que,'fuera del control del área de matemáticas, pero -

también en e l tronco general, hay dos cursos: Computación y Métodos númericos,

que se dictan a razón de tres reuniones semanales. Y, fuera del tronco, hay

otro curso también de 49.5 horas de Probabilidad y estadist ica , que se lleva

5

cn todas las carreras,

l'or Gltimo, para l a mayorfa de las carreras se imparte, tambien fuera del tron -

co, IVI curso heterogéneo: IMatemáticas avanzadas para ingenierla" de cuatro -

clclscs por scmana.

En cl h c x o se encuentran los programas desglosados de cada una de l a s mate- -

r ia5 mencionadas.

Lo anterior hace un t o t a l de 330 horas para e l tronco general, exactamente las

mismas que recomienda e l Committe on the Undergraduate Program In Mathematics

(CUPM), por 400 que proponen los soviét icos . S i agregamos los cursos de Proba -

bil idad y estadist ica , Computación y Métodos nhericos, totalizamos 478 horas,

muy por debajo de las 640 usuales en l a RepGblica Mexicana.* Afín sumando las

66 horas de Matemáticas aplicadas a l a ingenieria tenemos un t o t a l de 544 ho-

ras para todos los cursos de Matemáticas necesarios para l a formación de un -

ingeniero.

Con ánimo de ser exhaustivo, puedo mencionar también que, fuera del tronco ge-

neral, Ingcnieria Ambiental, Electrónica, Industrial y Mecánica tienen un cur-

so de Investigación de operaciones, mientras que Ingenieria Civil y F í s i c a , - -

dos. Ingeniería Electrónica y Mechica incluyen un curso más de Análisis de -

decisiones y Civil e Industrial, dos. Ingeniería Civi l , Metalúrgica e Indus--

t r i a l contienen un curso de Control de calidad y confiabilidad. Electrónica

* "Mathematics Programs i n the Teaching of Engineering''. Carlos h a z . Mathema t i ca l Education in the Americas 11. A Report of the Second Inter-American Coñ ference m Mathematical Education, Lilila, Perú. Diciembre 4-12 , 1966. Editado por Howard F. Fehr, Teachers College, Columbia University.

6

t icnc un curso de ProgrmacLÓr' aydzada y t r e s de Sistemas de control, En F i -

s ica sc d m tres cur.cjos rnds dc Ffs ica matematica y cn QuGnica uno de Cfilculo

;~vamzndo cn lngenierfa quTmica. \

Kcgrcsando a l tronco general, quiero señalar que, a l "perder!' e l 40 por cien-

:S Ccl curso de Algebra l inea l , dejamos fuera: Valores caracteristicos, For-

mas cuadráticas, Diagonalización de matrices y Transformaciones ortogonales,

y que no logramos incorporar algunos temas de "Análisis vectorial", que nos

solicitaban varias carreras, pero no todas: Divergencia y rotacional y los -

Teoremas de Gauss y Stokes , n i tampoco Coordenadas curv i lheas y Análisis ten -

sor ia l .

En la prác t i ca cada vez menos podemos respetar un acuerdo verbal que tenlamos

con e l j r e a de f is ica , de de jar les las aplicaciones a l a f í s i c a , y restringir -

nos cxclusivamente a las interpretaciones geometricas de los temas de matem9-

t i c a s . Asi, aun cuando de una manera un tanto subrepticia, es frecuente que

e l profesor de matemáticas calcule velocidades y aceleraciones usando deriva-

das, centros de masa, momentos de inerc ia , t raba jo o energía potencial median -

te integrales. Creo que se deberlia tener en cuenta esta situación y hacer - -

los a justes en los programas correspondientes incluyendo l o s tiempos requeri-

dos.

Párrafo aparte merece e l !'control de calidad" que hemos implantado para e l -

dictado de los cursos por personal heteroggneo, digamos constituido por un 60

por ciento de matemáticos y un 40 por ciento de ingenieros. Para tener una

idea, invitaria a leer e l documento !Qe l a manera de evaluar", que aparece i n -

mediatamente despues de los programas de las asignaturas, asi como e l "Ami--

l i a r didáctico de C5lculo diferencial e integral I", que reciben todos los

7

(i1;1ndo nucstros primeros a l m o s terminaron e l tronco general, les pedimos -

i l ~ l c v ; ~ ~ ~ ~ t c ;I 1 os coordinadoxb de l a s carreras" . . .que a par t i r de ahora , nos

critique (esyxialmentc con cr5ticL destructiva) la formación de matemáticas

y la inlormación también matemática que poseen los estudiantes de l a carrera

que coordina. Explicitamente l e agradecerlarnos que nos comunicase las posí - -

bles l a p a s de conocimientos matemáticos que puedan tener l o s alumnos, ya -

sea porque hay temas no considerados en nuestros programas o , a pesar de es-

tar incluidos, porque se estime que no los han asimilado adecuadamente".

Con base en e l f l u j o de comunicación así indefinidamente establecido, revisa-

mos l o s programas y les hacemos los ajustes necesarios antes de i n i c i a r cada

periodo.

Por Gltimo ofrcc.emos algunas estadist icas of ic ia les , de acuerdo con los ú l t i -

mos dat.os de quc disponemos, en que se han considerado 2250 alumnos.

De Cálculo I han desertado e l 26 por ciento (i!), y han aprobado e l 54 por

ciento.

En Cálculo 1 1 , l a deserción ha sido del 17 por ciento, y han aprobado e l 69 -

por ciento de los estudiantes, cifras casf idénticas a las que refle jan tanto

Ecuaciones diferenciales como Algebra lineal.

En cambio, l a deserción de Cálculo de varias variables ha sido del 11 por - -

ciento, y e l 89 por ciento de los restantes han acreditado e l curso.

8

En Matemáticas avanzadas para ingenierfa hemos llegado a tener un 9 4 por cien -

t o ( i ! ) de aprobados, sobre los que presentan e l examen final.

A l f ina l izar e l a r t i cu lo C , Imaz ya citad.0, se menciona que deberia ser estu-

diada la posibilidad de formar "ingenieros matemáticos". Tambien tuvimos apo -

yo para crear, en su caso, dicha carrera, pero nuestros estudios preliminares

sobre l as probabilidades de trabajo que tendrían a l terminar la l icenciatura

fueron tan desconsoladoras, que no hemos vuelto a trabajar en esa opción.

Objetivos generales de los cursos de Matemáticas en l a Universidad Autónoma

Metropolitana, Unidad Azcapotzalco.

La importancia de sentar bases firmes en l a formación de un buen profesional

es tan ob'via que nadie la discute. Pero s i es bueno tenerla presente, para

que efectivamente se pongan esas bases firmes.

La matemática, en sus diferentes ramas y aspectos, se ha hecho presente prác-

ticamente en todas las ciencias. Existe sin embargo l a tendencia a despre- -

c i a r toda fundamentación y considerar sólo e l aspecto computacional; esto pre -

senta muchos riesgos, ya que de seguir esta idea no se sabrá distinguir en -

qué casos es válido operar de una c ier ta manera y en qué casos no l o e s ; en

ocasiones se puede querer buscar una solución que no e x i s t e , o s i hay varias

soluciones no escoger l a más conveniente. Por otra parte , a l no aprender l a

matemática con un mínimo de r i g o r , no se obtendrá e l beneficio que supone l a

disciplina del razonamiento matemstico. En efecto , pocas asignaturas como es -

t a , se prestan tan adecuadamente para proveer, a l que la es tudia , de c r i ter io

c ient í f i co , de esp í r i tu c r í t i co , de orden y disciplina mental. Además hay -

9

que tcncr cn cuenta que aquicllos Z~I IU-LGL que deseen seguir estudios de Maes-

t r í a y I)octor;ldo, dcbcn 1 legar a ese nive; con dichas bases mfnimas firmes y

110 cluccl;~r.sc~ cn proccdimicntos opcrtltivos o cn posesi611 de m mcro 1cngu;r j o -

matemático.

. - -,si . ~ & a ciei área de matemáticas e s que l a habilidad operativa imprescindible

cscé 5clstentada en un m€nimo de "Lorza.

Quc e l egresado sepa hacer uso e f i c iente de los conocimientos matemáticos ad -

quiridos es nuestro objetivo.

10

PROGEAMAS DElALLA[>OS

7-d Titulo Corttentdo Horas Fkferenclas al texto i I I I

16

CaPilUlO l . Secclones. 1.1 a 13 2.4 y 2.5 3.1 a 3.5

6.1 a 6.3 5.5 y 5.6

I 1 I

¡ I Funciones. 1.- Concepto de funclbn como corr&?ondencta entre los l p I Capitulo 3.- u r a i a s : ciemenros de dos corquntos Funcljn real de una Secclones:

vardable real Algebra de fpnclones Gráflca de una fun-

de funciones cljn de funclones: pdrlddd y rnonotonia. Composlclón

2.1 a 2.7 crjn G r a t a de algunas conlCas [sm tabular). Claslfm- 1 . 1 a 1.8 1o:x

2 . A!gw& funclcjnes elementales polinomtales, raclonales y r x l l r ~ l r ~ i

P -b exdrracrl prrc 1.11 vwrrvs 14 d t ! octubre de 1977

1 1 1 I l l 1 . Deflnlclh de Iirnltc de una func16n Interpretaclon @O-

2 . Alg'wa de limlres Limltes de funciones polinomiales y

3 . L ; r r u i ~ Iaerdles. limltes Irtflnltos y iimltes en tnflnlto. 4.. Drflnluon de funcl6n continua en un punto. Crlterio

5.- Algebra de funclones contmuas. Continuidad de las fun-

6.- Contlnuldad de I iompostclón de funclones continuas y

metrlca

rdclona'%

€ - b

ctones polmornlales y de Ids raclonales.

de la funclon Inversa de una funclon contlriua. Cont1nuid3d de funclones radicales.

Apl~cacitn. raices de polmomlos. 7 . Teore-la del valor inlermedlo.

18

capitulo 3..

2.8 a 2.10 Secciones:

3.1 a 3.8 4.1 a 4.3 5.1 a 5.4

1 I 1

*,ndo examen parclal v1erni5 4 de novlcmbre de 1977.

Obscrvmones

mente desarrollddo en rIo:;ls Este tema sc encuentra t0131-

elaboradas en esta L'nld?? Las SeccloneS 3.1 o 3 5 cc; capitulo 1 del texto 5e d e z w desarrollar dlrectarnenre numeros reales

IV La ddrlvada dc una fun- .-:in For- OUIJS de derrv3ctbn.

1.- !3)r!lnlcton de derwada de una fsnción en un punto. In- terwetdc.in geomctra Tangente a una curva

2 - CLm!Inuldad de una funcim derivable. Reglas de derlva- c,on. Re$a de la adena Derlvada de la functón Inversa

3. !hlvad?.s de orden superbor. de una funci6n derivable

L

V

12 1 3.1

capítulo 4. Secciones: 1 . 1 a 1.10 2.1 a 2.9

Se sugiere que el alumno lea por su cuenta las =c cmrtes 1.11 a 115 y 3 2 a 3.5 y que aflrme los cono cimientos ddquirldos en Fha .

I I

15

Capitulo 4 Secclones: 4.1 a4.10 5.1 a 5 4 7.1 a 7 3

11

1 . - 1 ; 1 co 1 u t n n ; l cncabczadn por floras (del temario dcsglosndo) es el tiempo total

en que se dcbc cubrir e l tema correspondiente, esto es: incluye teorfa y -

e j crcicios .

2 . - En el curso de 1-0s temas 11, 111 y IV, e i maestro debe bosquejar las gráfi-

cas, hablar de l a continuidad y derivabilidad de las funciones trigonométri

cas (incluyendo las inversas), logaritmicas y exponenciales, l as cuales se

-

definir& cuidadosamente en e l s iguiente curso: Cálculo diferencial e inte-

gral 11.

3 . - Se recomienda desarrollar todo e l material de continuidad usando, de prefe-

rcncia, c l c r i t e r i o para l a definición de función continua, más que

l o que el autor del texto llama definición básica de continuidad.

4 . - E l profesor cubrirá, s i l o desea, las secciones 6.1 a 6.4 y l a 7 .1 del Cap1 -

t u l o 3 del l i b r o de texto , a l desarrol lar e l tema 111.

5 . - Se sugiere aceptar como válido e l teorema E (sección 2.1 de l a página S6 - -

del suplemento a l volumen 1 ) y cubrir la sección 2 . 2 : E l teorema de máximo

de dicha página.

6 . - En el tema N, es conveniente obtener las reglas

página 170 del texto) y las fdrmulas que se menc

de derivación ( 1 a

ionan en este tema (

7 de l a

J irecta-

mente, usando la definición de derivada, como lo hace e l autor al f inal de

l a sección 2 . 2 y en l a 6 . 1 , es to es , sin usar e l teorema de l a aproxbaci¿jn

l inea l ;

12

E l

LZ

oplualuc3

. ""

u lClO ' l fS I I

Tercer examen parclal vlernes 2 de diciembre de 1977; el estudiante obtendra una callflcaclun C, SI CI, C, y C, san mayores o Iguales que 6. el alumno tendra acledttado aulomatlcamente el curso con

callflcacltm que se celehrari el vlernes 9 de dlclembre de 1977; anta de esta fecha cada alumno le debe Informar a profe s o r . de que temas se qutere examtnar. I. I I y/o IV.

*' *'' CJT c4 -, cualquler subconjunto de ellas se podra mejorar en 41 exdrncn itnal b

Texro S Lang. "Algebra Ilneal" Ed Fondo Edumtlvo lntcramerlcano. S. A Dlvlslbn de Clenclas Basicas e Ingenleria. Algebra llneal.

Horas

15.00

Cap'i:ulo L I SF;.cclon% 1 a 6 Cacitulo IV

CJDi iU lO v Spcclones 2 J 4

Sccclones. 1 a 3

14

I l l 1 Drflnlcihn d*: voducro exdicjr Baws ortogorrdts Pro. I

a j i l a r r 7 y ceso de Gram Sc-hmldt Comulcmento ortoyoru! rlerrirml- nanta I 2 Esunclo soluc16n de un sIsIcmJ de ccuactona IlnealeS

3 Drtc!rmlnante de una tndlril de 2 x 2 y de una 3 x 3 . ' Propwdades 4 Determmante de una matriz de n x n. Menores Cofacto.

5 Regla de Crarner 6 lnvrrsa de una matru. 7. Rango de una matrlz usando deterrnmantes.

Rango de una malrlz

12

res.

Tercer examen p,srciaI vlrlrws 8 de jutlo de 1977

D1vls16n de Clenclas BAslcas e Ingenieria. Ecuactonm dlferencialcs Texto Bovce y Dlprlma "lntroduccion a las Ecuaclonn dlfctcnclalis" Ed Llmusa.

Contenido

1. Conceptos de ecuac16n dlferenclal, orden, solución y

2. lnterpretactbn geombtrtca. curvas integrales. 3. Condlclones lnlclals y en la frontera (inrerpretacibn

grado.

geometrtca y f i s m ) .

1 . Planteamento y soluci6n de ecuaciones diferenclales

2. Algunas ecuactones no lineales. lineales de prlmer orden.

a Ecuac16n de Bernoulli. b. Ecuaclones de varlables separables. c Ecuaclones exactas Factores de integración. d. Ecuaclones horno@neas.

Primer examen parclal- jueves 4 de agosto de 1977.

Capitulo 2. Secciones. 2.1 a 2.7

Obscrvaclores

El alumno pgede usar la S z c r k ~ ~

2.8 (Problemas diversos) de e s e capitulo 2 para comprobar <-e ha aslmilaoo el materlal anterior. El profesor debe selecclonar algura ,zwblemas ae los contenidos e7 la kcclbn 2.9. Apllcaclones d e las ecuaclones de prtmer orden. y we- Sentarlos en el transcurso de la ex pos1c16n de este tema. El alumno debera !eer la Seam 2.10.' Mednlca ele.neo;al, que le fue presentada en Firs

I l l Ecuaclones diferencia- les lmeales de segundo orden.

l . Soluclbn de la ecuaci6n diferencial homogénea de orden

2. Wronsklano. Dependencia e independencia lineal de

3 Reducc16n de orden. 4. Soluc~Orl de la ecuación dlferencial lineal hornogenea

con coeflclentes constantes. a. Numeroscornple~os y ta functonexponenctal compleja.

5. Solllclon de la ecuaclon dlferenclal lineal no horncq6nea. a Coeflclentes Indetermmados. b Var1ac16n de parametros.

2

funciones.

1o:m

capitulo 3 Sealones: 3.1 a 3.6.2

El alumno leerh. por su cuenta. 'as Secciones 3 7 a 3 7 2 de =-e Capitulo. revisando conceptss r e vlamente adqulrldos en cursa 2 F i s la

prob!emas para que consta:= ' 3

El alurnno rectblra una lista 3e

este ! m a as1mllac16n del material cubtrr:: Y

IV Una ecua- c16n con coef Iclen- tes varia- bles. -

V

1 Ecuaclón de Euler. a. Exponentes complejos.

Ecuactones llneales de orden n.

1 EztPnsldn del planteamleoto y soluclon de las ecuaclo. nes lmeales de orden 2 a las de orden n (hornogPneas Y ' no hGrnog8neaS). I capitdo 5.

Secclones: 5 1 J 5.5 1 Segundo examen parcial: lueves 25 de agosto de 1977.

~ -~ ~

L

15

Dtvlsi6n de Clenclds Básccas e Ingenieria. Matemarlcas avanzadas para tngenleria I

Texto. E. Kreyszlg,"Advanced Enyineermg Mathematlcs". 35 ed. Wtley Internatlonal. Exlste traducotn de la segunda edmon, en dos volirmenes. de Ltmusa-Wllev, S. A.

T~ iu l o Conrenodo

1 Serles de funclonn a. Serle dc 'Taylor Funclones analiticas. t Serles de boremas. Crlterros deconvergencoa de Cauchy

Y del coctec!e Radlo de convergencla. c. Derrvacoón e lnregraclón de serles.

por s e r l e s 1. So!uclon de e d o. cor coeftclenres analitlcos. Ejemplos. ~ C U ~ C I O ~ ~ S de Lcyendre. Chebychw. Herrnlte, Laguerre y

nes dlferencta- 1 2 %:do de Frobenius para e d o. con un punto regular les ord,na- I slngular Elempio. ecuacdn de Bessel.

i

Horas Referenclas al texto (ed en tTpafiol)

capitulo 3. Secciont5. 3.3 a 3.7

6

I l l capirulo 4.

v4.9 Secclones 4.1 a 4 4, 4.8

9

16

Cauitulo 9

9 5 v 9 11. 5.cclorler 9 1,9 2 y 9 3.

Tercer examer o:rc>sl

VI Funclones complejas.

1 El campc de los numeros complejos a. Represenlaclon g r a f l a de los complelos: rectangular

y polar Complelo conjugado de uno dado. Norma (valor absoluto) de un complejo. I

0. Teorema de De Molvre y aplicacion. extracci6n de raices

2. La derrvada compleja a Funclones complelas de varlable compleja. Funciones

elementales raclonales. trlgonometrtcas. exponenclal, logor itmtca. h!perból!cas e Inversas

b Limlte y contlnuidad. c La dertvada complela. d. Condlclonn de Cauchy Rlemann Funcnon% arm6n1-

cas conlugadas Funclon anal ira (regular u holomor f a ) Funclón entera.

3 La tntegral de I inea a. Deflnlclon Teorema de Green. b. Teorema de Cauchy. c. Formula de Cauchy para la integral.

a. Teorema de Laurenr (serle de Laurenr). Slngularlda-

b. Teorema del reslduo. CIlculo de residuos.

4. Calculo de reslduos.

des removlbles y esenciales Polos.

Cuarto examen parclal

"

c

1630

Capitulo 10. Secciones: lo 1 a 10 3 y de la 10.10 a la 10.13.

capitulo 11 Secciones. 1 1.1 a 1 1.6. 11 10. 1 1 . 1 3 ~ 11.14

Los alumnos de lngenteria elecrrlca cubrirhn los temas I. Ill y IV.

Los menclonados presentaran unlcamente los tres prlmeros examenes garclafes. a dlferencla LCJS de Ingenler ia mecantca y Quimlca del I al V InCIuSIve.

de los estudlanres de lngenlerla eleclromca y de iislca. cue cubrtran toda el programa y presentaran los cuatro examenes pactales

17

Cada profesor cal i f icará los ex&nexes de su propio grupo, usando un número .-u;

puede precisar hasta medios puntos. Los resultados obtenidos se entregarán - -

dentro dc los tres próximos dfas hábiles, a la persona antes mencionada respon

sa1)lc de l a asignatura, con objeto de integrar la estadística correspondiente.

-

Aquel a l m o que apruebe cada uno de los cuatro exámenes parciales tendr5 acre

ditado e l curso, y obtendrá como c a l i f i c a c i h f i n a l e l promedio aritmético de

las cuatro calificaciones. Las cal i f icaciones menores de 6 se desconocen, y -

e l alumno tendrá otra oportunidad de acreditar cualquier sección en examen - -

f ina l .

-

Este examen f ina l se diseñará siguiendo e l mismo procedimiento que los parcia-

l e s , con las caracterkticas s iguientes.

La evaluación será modular: constará de cuatro partes independientes: en e l l a s

se preguntará sobre los temas I y 11, 111, IV y V, respectivamente. Cualquier

alumno oficialmente inscrito tiene derecho de presentar ualquiera de las cua-

t r o secciones con el objeto exclusivo de mejorar la ca l i f i cac ión obtenida por

é1 en cualquiera de los cuatro exkenes parciales realizados. E l Único requi-

s i t o acadhico es que e l alumno l e informe a su profesor qué secciones va a in_

tentar responder antes de conocer e l examen final.

18

De O a 5.9: NA

De 5 a 7.3: S

I)c 7 . 4 u S.?: B

De 8 .8 a 10.0: MB

Se procurará que, en cada examen, un 60 por ciento cubra los aspectos básicos,

enfocados desde un punto de vista eminentemente operativo; e l otro 40 por - -

ciento requerirá, de parte del alumno, un c r i t e r i o adecuado y l a posibilidad -

de demostrar que ha asimilado con profundidas e l material presentado, y / o que

posee un c ier to ingenio.

AUXILIAR DIDACI'ICO

C5lculo diferencial e integral I

Tema I : Los números reales. Inducción. Desigualdades. Valor Absoluto.

Se suponen conocidos l o s n h r o s n a t u r a l e s , e n t e r o s y racionales; únicamente

se destaca una propiedad de los nheros naturales: l a inducción, y s e hace hin

tapié en su manejo, para demostrar algunas de sus propiedades. -

Los números reales constituyen e l universo de los dos primeros cursos de mate-

máticas, e l conjunto donde se va a trabajar. Por e l l o se recordará su repre--

sentación geometrica y l a forma de operar con e l los .

Se destaca una propiedad de e l l o s menos explotada en e l bachillerato: e l orden,

y se trabaja tambih con e l valor absoluto.

19

a: Denosa-ar algún resultado -c~~imdo inducción.

h) L<;e~~Áva- desiguaidaces :.c;.;- ; x e G á ~ contener valores absolutos) e interpre"

tx- geométricamente, sobre ;a Tee",; real, los resultados.

Terna 11: Funciones. Gráficas.

En es te tema se presenta uno de los conceptos fundamentales de toda la matemá-

t i c - i l : cl dc: funci6n.

Como el concepto actual de funcidn es m y general (una enorme diversidad dc fe -

nómenos se describen mediante una funci6n) se hace necesario clasificar las - -

funciones reales de una. variable real que son objeto de los dos primeros cursos

de matemáticas; as2 se definir3 fmci6n par e impar, mónotona, lineal, cuadrá-

tica ..., polinomial y radical.

Así mismo, como coincidiendo con el Prof. S. Lefschetz, lo que no se ve con los

ojos no se entiende, se definir5 grsfica de una función y se interpretarán cier -

tas propiedades de las funciones mediante sus gráficas, y recíprocamente se

inferir& propiedades de una funci6n a partir del conocimiento de su gráfica.

Se graficar5.n algLu1:s funciones elementales; se hace notar que para funciones

complicadas se requieren ciertas herramientas que ser& objeto de los siguieg

tes temas.

Por último, se aprender5 a operar con funciones, incluyendo su composición.

Asl, al terminar de estudiar este tema, e; grupo debe ser capaz de:

20

b) Craficar l-unciones definidas por "partes",

c) Examinar la paridad y monotonla de una funci6n dada.

6) Efectuar operaciones entre fulrciones y hallar su dominio.

Consecuentemente, antes de presentar el primer examen parcial debe el grupo PO -

der resolver un cuestionario del tipo siguiente:

1. Demuestre que

1 + z3 +...+ n3 = 3 I *

2. Resolver la siguiente desigualdad e interpretar geométricamente el conjunto

solución:

x + 1 x 1 < 2 3x2

3. ¿Qué puede decir de a y B . si I a [ + 1 b [ = O ?

4. Decir si la siguiente función es par o impar; especifique monotonía.

21

7 . ¿Puede una función par tener gráfica en e l t e r c e r y primer cuadrante?

Tema 111: Límite y continuidad de una funcibn. Aplicaciones.

Siguiendo con l a idea de c l a s i f i c a r funciones, se presenta en este tema un ti-

po muy comh : l a continua,

Intuitivamente, una función va a ser continua en m punto de su dominio de de-

f in ic ión s i , en dicho punto, l a g r 5 f i c a de l a funci6n no presenta interrupcio-

nes o saltos; esto es, "cerca" del punto l a g r s f i c a s e puede dibujar "sin l e - -

vantar el lápiz del papel".

Procurando .formalizar esta idea se presenta otro concepto fundamental: e l de -

límite I

Intuitivamente, l f im f (x)= a quiere decir que -+ x0

s i x es tá '%erca" de x,. , entonces f (x) est5 lkercall de a

Después de tener esta idea, la humanidad tardó muchas centurias en precisarla

rigurosamente, hasta que Cauchy (apenas en e l s i g l o XIX) l o hizo, en unos apun -

tes de clase para sus alumnos.

22

cpc si' O< I X - X O ~ < S , csto cs, que s i x # x,cst& a una dist;lnci;l Jc x , menor

quc 6 y pertcnecc a l dominio de defini.ci6n de l a función, cntonccs I f (x) - al < E

, es dccir,f(x) está a una distancia de a menor que E

Como E > G es arbitrario, f (x) está tan cerca de a como se desee, con t a l de -

tomar x # X , en e l dominio de definición de l a función suficientemente próxi-

mo a X,.

Es indispensable tener clara una interpretación geométrica de este cri terio.

Ahora con csta hcrramicnta se precisa quc una función f es continua cn x, s i

l i m f(x) = f (x,) x -+ x,

Esto es, f tiene que estar definida en x, , y para puntos x del dominio de defi -

nición de l a función prSximos ax , , f (x) t i ene que estar próximo a f (x , ) , l a

gráfica no puede pues tener saltos cerca de X,.

E l concepto de l€mi.te se extiende a limites laterales, cuando tomamos puntos

próximos a X, , pero exclusivamente mayores X, ( l h i t e "por l a derecha") o me -

nores quc x0(l.lmite '!por l a izquierda"). Y se conectan pues 1f.m f (x ) = a, s i ,

y solamente s i , ambos x + x,

ljinites laterales valen a

Se entiende que 1511 f (x) = a , quiere decir x - t + O 3

que s i x es 'lnuy grande", f (x) est3 cerca de a , y se interpreta también

llm f (x ) = a . x -+ x,

23

Como c l cri tcr io c -h part ;x-obar l a continuidad dc una función no s icmprc cs

1-Lcil dc a p l i c a r , sc descan y obt ienen c r i ter ios que aseguran 13 continuidad

dc cicrtas funciones usuales. As? se t i e n e que l a suma y producto de funcio-

aes continuas es una función continua, por l o que tambi6n será continua su di -

f e r e n c i a s i f es continua en X , y f(x,)# 0 , entonces - f (x) es continua en x,

por l o que f(g) es continua s i f y g 10 son y g(x,) = O . ~e aqul que cual- -

quier función polinomial o rac ional es continua en todo su dominio. g (x)

También se prueba que l a composición de funciones continuas es continua, y - -

después de d e f i n i r l a funci6n inversa de una dada (cuando exista), se i l u s t r a

que l a inversa de una función continua es continua, por lo que, en p a r t i c u l a r ,

cualquier función radical es continua en todo su dominio.

Por último se concluye y a p l i c a que s i f es continua en la,bl entonces l a fun -

ción toma todos los valores posibles entre f (a) y f (b)

A l terminar este tema e l grupo debe ser capaz de:

a> Demostrar, según e l c r i t e r i o E - 6, que una función l ineal es continua en

un punto dado.

b) Calcular e l Emite de una funci6n racional en un punto dado (que no sea - -

polo).

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Antcs clc prcsentar su scgundo examen parc ia l , el grupo debc podcr rcsolvcr -

preguntas del tipo siguiente:

2. Sea f (X) = 3 X + 6 ; demuestre que es continua en xo= 1

3 . i,l)ondc ticnc inversa f (x) = x2+ 2x+1? ¿Es e l l a continua?

4 . ¿Puede un polinomio de grado 26 no tener rakes reales?

5 . ¿Toda función creciente ziende a a ?

Tema IV: La derivada de una funci6n. Fdrmulas de derivación.

Se define ahora una de las dos herramientas fundamentales del c8lculo: l a de-

rivada. Esta aparece a l procurar resolver dos problemas aparentemente ajenos:

hallar l a tcngente a una curva en un punto (motivación geométrica debida a

Leibnitz, que se contempla en este curso; y calcular la velocidad instántanea

de un m6vil en un tiempo dado (aspecto que se desarrolla en los cursos de FT-

s ica ) .

Los griegos conocían que dada una cónics y una recta coplanares podrhn ocu--

rrir tres cosas: l a recta no cortaba a l a chica, o l a cortaba en dos puntos,

o en un solo punto; a esta recta que "tocaba" a l a cónica en un punto Único

l a llamaban tangente (siempre que no fuese paralela a l e je o a una as íntota , -

en e l caso de una pargbola o de l a hiperbola, respectivamente) en ese punto,

pero para curvas m& generales no tenran clara l a idea de tangente, y procu--

25

r;iridc cor;:;t n i rl a sc cnfreneao,z L, p----=- L 2 A d ~ b ~ ~ de p iso a1 I h i t c . 'I'cniendo -

L. ! ; I I ' ; I ] ; I ~ t l c : ~ dc! 1 fmi tc sc p d o dcfin,r dcspu6s la dcrivatln tlch u n ; 1 I'IIHC i6rl

f ( x ) cn u t 1 punto x,, la cual se interpreta gedtricamentc como 1;t pcndientc

de l a recta "tangente" a l a curva y = f(x,) en e l punto / X , , f (x , ) I , y aho-

ra sl se e s t 5 en condiciones de defir,ir la tangente a l a curva y =f (X) en e l

punto Ix,, f (x,) I como la recta:

y - f (x,) = L C Y \xo) (x - x,)

siempre que f sea derivable en X,; en caso contrario l a tangente no se define.

Es nccesario saber derivar, y que existen ciertas reglas de derivación que sim

plificm el cálculo, incluida l a derivada de l a composici6n de dos funciones -

deri vables, I I . m d a "rcgla de l a cadena", y l a derivada de l a función inversa

de una función derivable.

-

E l ser derivable una funcicin en un punto implica, también, que es continua en

dicho punto, y por tanto l a gráfica de una funci6n derivable no tiene "ruptu-

ras"; s i n embargo, derivabilidad y contikidad son conceptos diferentes, pues

el reclproco es f a l s o , e s t o es, se dan ejemplos de funciones continuas en un

punto que no son derivables en dicho punto. De hecho, para que f sea deriva-

b le en X, > l a gráfica de y = f (x) en I x,,f (x,) I no debe tener lfpicoslf.

Tambi6n se itera e l proceso de derivación; en e l caso en que una función sea

derivable en cada punto de un cierto conjunto, obtenemos una nueva función: -

l a función derivada f' (x), cuyo dominio es e l conjunto de puntos donde f e s -

derivable; s i f' (x) a su vez es derivable, se dice que f t iene segunda deriva

da, y que l a segunda derivada de f es l a derivada de f'. En general, l a enési

ma derivada de f es l a derivada de l a (n-1) - 6sima derivada de f siempre que -

exista .

-

-

A 1 f i GI 1 i zar c l tcma cl grupo debe ser capaz de :

o) Relacionar continuidad y derivabilidad de una función y de sus derivadas -

sucesivas.

c) Derivar funciones racionales, la'composición de funciones ("regla de l a c a -

dena"), l a inversa de una función derivable y funciones radicales.

d) Interpretar gemetricamente lfm f I (x) = 2 y f ' (x) = O.

Antes de presentar e l t e r c e r examen p a r c i a l e l grupo debe poder resolver pre-

guntas como las siguientes:

3. Halle una f8rmula para l a ent5sima derivada de f (x) = & 4. Dadas f (u) = u' + Su + 5y g(x)= * ca lcu le l a derivada de f o g x-1

Tema V: Aplicaciones de l a derivada.

Una vez resuel to e l problema de def in i r y ca lcu lar l a tangente a c ier ta c lase

de curvas, se usa para obtener la gr5f ica g lobal de una función.

La derivada de una función es G t i l para conocer su t ipo de monotonia, sus pun -

tos c r í t i cos , y de entre el los buscar los mZiximos, minimos y puntos de in f le -

xión, y la concavidad (convexidad) ,

27

Como l a dcrivada dc una función es un l ímite, podemos apl icar la teor ia de lí -

>: : i . t L:s 2 :Licralcs para haliLir l a s Lerivadas laterales de una función en un p m -

t o , y siendo l a derivada c1c otra ~U-KI~II, podemos t r a t a r de hallar su límite

en m& o menos in f in i to , e interpretar el caso en que una derivada en un pun-

t o es más o menos infinito.

Este tema f inal iza con la integral en e l sentido de Newton, es decir , con l a

búsqueda de funciones (llamadas primitivas) cuya derivada sea una función da-

da previamente; a s € se plantean y resuelven algunas ecuaciones diferenciales

sencil las .

Al fi-nalizar de estudiar este tema e l grupo debe saber:

a) t h l l a r la gr5fica de una funci6n racional.

b) Plantear y resolver problemas de máximos (mhimos).

c) Usar fórmulas de derivaci6n para hallar primitivas de funciones dadas.

Antes de presentar e l cuarto examen p a r c i a l , e l grupo debe resolver cuestiona -

rios como e l siguiente:

1 . Grafique las siguientes funciones:

i) f (x) = - x3 -4x. 3

2 . Encuentre l a soluci6n de:

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1) y" = 3x, y ( 0 ) y' c , = -L *

ii.) y' = cos x, y ( = i a i I

(derivada del sen x = cos x , sen ( ) 2 1) II

3. SC t i e n e e l material suficiente para construir una barda de 200 metros (li "

neaies;. Con ayuda de una pared ya existente se desea cercar l a mayor área -

rectangular de terreno posible. Hallar las dimensiones del terreno.

EiJTMPLOS DE APLICACION

A continuación enlistaremos unos cuantos problemas que son frecuentes en las

carreras que se imparten en l a DivisiGn de Ciencias %sicas e Ingenieria, y -

que se pueden resolver aplicando Cínicamente los conocimientos adquiridos en -

este curso:

1 . Un fabricante puede vender artfculos por semana a pesos cada uno, don-

de 125 E l costo para producir artfculos es 110 + 110 Pe-

sos. Encontrar e l precio que maximiza su beneficio.

2 . Dos puntos y se encuentran separados ki lómtros en una playa recta.

Un punto está a 3 km enfrente de en e l mar. Cuesta $400 tender un ki-

lómetro de tuberia sobre l a playa y $500 en e l mar. Describir l a forma - -

más económica de tender l a tuberfa desde hasta s i

a) b)

3 . Una reacciBn autocatalizada tiene su velocidad dada por l a fórmula

donde es l a concentraci6n de l a sustancia que reacciona.

¿Qué concentraci6n corresponde a l máximo de velocidad? I

4. Un móvil va del punto ( 0 , l ) a l (10,2), tocando e l e j e . ¿Qué camino - 1

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6. Se trata üe encerrar iu"r prado rectangular usando cerca de aiambre en t res

lados y un seto como cuarto laa6. Con 800 m de alambre ¿cuál es e í 5reL-

máxima que se puede cercar?

7 . Un hombre se hal la sobre una de las o r i l l a s de un r í o de 1 lan de ancho, y

dcsea alcanzar un punto en l a o r i l l a opuesta, 15 km r € o arriba. S i camirLa

a 6 kmk y navega a 4 hh, hál lese la ruta que debe seguir para hacer e l

v ia je en e l mbimo tiempo

8 . De un tronco cilfndrico de 60 an de d i h t r o se va a cortar una viga de -

sección rectangular, icu5les serán las dimensiones de es te rectángulo para

que l a viga ofrezca l a r e s i s t e n c i a m6xima a l a flexiBn, sabiendo que e s t a

es proporcional a l producto de la anchura de l a sección por e l cuadrado de

su altura?

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