Vol. 1 No. 1

CONCEPTOS Y PR.0BLEMAS FUNDAMENTALES

DE PROBABILIDAD.

Por A. R. Moncayo,

con la colaboración de;

Rosa Obdulia Gonz6lez Robles Hania Zlotnik Espinosa

Vol. 1 ,

CONCEPTOS Y PROBLEMAS FUNDAMENTALES

DE PROBABILIDAD.

P o r A . R . Moncayo,

con la c o l a b o r a c i ó n de :

Rosa Obdulia Gonzdlez Robles y

Hania Z l o t n i k E s p i n o s a .

No. 1

Febrero 1975.

P R O L O G 0

El propósito de esta monografía es e l de circular de manera restringida, parte del material del Volumen I de un l ibro en preparación sobre Probabilidad y Estadística, con e l objeto de recibir sugerencias y críticas sobre e l mismo.

Dicha obra constará de dos Vcllumenes. El Volumen I, -- referente a Probabilidad, se escribe bajo la dirección de - A. Ruiz Moncayo con la colaboración de Rosa Cbdulia Gqn- +lez Robles y Hania Zlotnik Espinosa. rente a Estadktica, se escritqe bajo la dirección de I. Mdndez Ramirez, con la colaboración de %vier Gonzdlez Gamio y Wéctor. Villanueva.

En est? monografía se presentan dos temas de interés. primero referente a los conceptos y problemas fundamentales de Probabilidad, en donde se ,hace enfacis en las ideas bási- cas de la Teoría de Probabilidad y , en e l segundo, se concre - thn algunos de estos conceptos en un contexto de espacio de medida d iscreta.

El Volumen 11,. refe-

I

El

NOTA: Las g r a f i c a s de l a s págínas 33, 44 y 45 fueron elaboradas simulando lanzamientos de una moneda no sesgada, por Juan Ludlow y para e l l o se usaron l a s f a c i l i d a d e s de cÓn?puto d e l k.1.M.A.S. de l a dn ivers idad Nacional Autónoma de México.

C O N T E N I D O

PAG . CAPITULO I

1. . Modelo Matemático para el estudio de los experimentos aleatorios ............................. 1

1.1. El Modelo de Kolmogorov ............................. 5

1.2 Variables y vectores aleatorios ..................... 9

1.3 Probabilidad condicional ............................ 12

1.4 Funciones de distribución de variables y vectores aleatorioc ............................... 20

1.5 Esperanza matemática ................................ 25

2 . Problemas fundamentales de la Pobabilidad ......................................... 27

2.1 Problemas de estabilización ......................... 27

2.2 Problemas de aproximacidn de leyes .................. 36

2.3 Problemas de fluctuación ............................ 40

CAPITULO I1

1 . El concepto matemático de medida .................... 51

2 . El modelo clásico de espacio de probabi- lidad y la medida de contiir ......................... 53

3 . Distribuciones probabilisticas discretas ............ 59

3.1 Espacio de probabilidad finito ...................... 60

3.2 EP Operador esperanza en el espacio de probabilidad finito ................................. 61

3.3 El Modelo de los "Ensayos de Bernoulli" .............. 68

3.4 La . dispibución Binomial ............................ 75

3.5 La l e y débil de los grandes números .................. 7 8

3 . 6 D i s t r i b u c i ó n Hipergeométrica ......................... 8 1

3 . 7 E s p e r a n z a c o n d i c i o n a l ................................ 8 6

3 . 8 D i s t r i b u c i ó n Geométrica .............................. 9 0

3 . 9 D i s t r i b u c i ó n B i n o m i a l Negativa ....................... -93

3.10 D i s t r i b u c i ó n de P o i s s o n .............................. 97 1

S o l u c i ó n de problemas ................................ 1 0 6

Btibliograf la .

.. .-. .. . . . . . - ..... . .- ._ ......... . . . . . . - .......... -... .. _<-” .- ..._.. ..........

CAPITULO I

CONCEPTOS Y PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD

1. M Q E L ? MATFMATICO PARA EL ESTUDIO DE LOS EXSERIMENTOS ALEATORXOS

I

U n modelo matemático c o n s i s t e e n un complejo de postulados lógi-

camente c o n s i s t e n t e s que generalmente ref l e j a n c i e r t a s r e l a c i o n e s en-

t r e o b j e t o s los cuales represent:an a su vez, e n t e s d e l mundo real.

U n ejemplo de modelo matem6tico e s e l de la mecánica de Newton. Tra-

bajando dentro de e s t e modelo, con base en los postulados del mismo y

e n las l eyes deductivas de l a Lógica, se obtienen resul tados matemá-

t i c o s que 'están en concordancia con los hechos observados en e l mundo

r e a l y que, en múlt iples ocasiones , han permitido hacer predicciones

acerca d e l comportamiento de l mi.smo. Es to se debe a que los postula-

dos de eske modelo r e f l e j a n adecuadamehte l a realidad.

cabe hacer notar que no es inherente a l a d e f i n i c i ó n de "Modelo

Matemático" eU hecho de que los pbstuládos c o n s i s t e n t e s que l o cons-

t i t u y e n r e f l e j e n l a realidad. A s i , e s posible crea, modelos duyos

p o s t u l a d q y nesultadm sean completamente a jenos a l mundo reall.

E n e l caso de l "modelo.matem6tico de espacio de probabilidad

para experimentos a l e a t o r i o s " se ha ten ido e s p e c i a l cuidado en elegir

e l complejo de postulados, de tal manara que se a j u s t e n l o mejor po-

sible al (mundo r e a l . La vers ión más aceptada internacionalmente de

I

2

este modelo f u e dada por Kolmogorov e n s u ya cé lebre monografía

"Foundations of the Theory of Probabi l i ty ' * , publicada en 1934 y que

representa l a culminación de una <ser ie de esfuerzos hechos par diver-

sos autores en e s t a direcc ión.

Antes de presentar e l modelo en s í , es conveniente considerar un

ejentplo concreto:

AupÓngase que se e s t á f r e n t e un conmutador t e l e f ó n i c o y que el.

fenómeno abzator io que se desea observar es e l número de llamadas que

se reciben en ub c i e r t o minuto. Surge primero l a necesidad de d e s c r r

b i r los resul tados elementales pos ib les ( i . e . que no se pueden descoz

T. poner). ER e s t + caso puede usarse e l cbnjunto (I = b,1,2,3, . .. donde 3 nos indica que se rec iben 3 llamadas. Después, cualquier ase

veración (evento) que se. ochrra' debe poder s e r representada en kímbo-

los, por e5empl.0, e l evento "se reciben por l o menos c i n c o - llamadas"

"

. .

o e l eventb "se rec iben menos de tres lkamadas". La manera natural

de represehtar ia los eventos p o s i b l e s es usando subconjuntos de 0 . - Por ejemplo, e l primero y segundo kventbs mencionadbs quedan represen

tados respkctivtamente por -A = {a e ~ : w 25). B = .('u C Q : ~ < 3) .

De a q h í en adelante se usará la patabra "evento" tanto para den2 .

t a r i a "aséveración** en cuest ión cbmo e l c o n j u n t o que l a representa.

Se emplear6 adeknás l a l e t r a & paba denotar a l a . familia ae todas

los eventds p o s i b l e s del experimento y

consta d e l c ~ l b . e l e m e n t o W , en otpas dalabras a este t i p a de evento

también se le llama evento elemenitial.

i w l denota e l evento que

3

La p r á c t i c a sugiere q u e s i A e s u n evento, s u negación (A')

también e s un evento, por ejemplo, si

B: " S e reciben menos de 3 ibamadas" es un evento, entonces

c B : "Se rec iben a l menos 3 1,lamadas" también es evento.

KE igua l manera, s i A y B son eventos , entonces ( A u B ) tam

bién e3 un evento. Con r e f e r e n c i a a l ejemplo ya c i t a d o s e t i e n e que:

A U B : " S e rec iben más de 5 Ilamqdas o menos de 3 llamadas" es

un evento.

De manera *semejante, s i se considera l a sucesión de eventos:

CD EAn\n=i, donde A es e l evento "se reciben un número par de llama- n

das que no excede a 2 n Q 1 , cuya expresión e n lenguaje de conjuntos es

A = { f J j E f i : ( J J = O , Z p 4 , . . . , 2 " 3 , s u unión es e l evento "se rec iben un nÚ-

mero par de liarnadas", l o cua l sugiere que dicha unión debe e s t a r en

n

l a familiia de todos los eventos Rosibles .

Por l o t a n t o , la' fami l ia (h, de dventos debe ser cerrada b a j o

l a s operaciones de conjuntos: u n $ Ó n , I n t e r s e c c i ó n y compi,emento cuan-

do é s t a s se efec túan un número ntimeralble de veces.

ser una p 6 l g a b r a de subconjuntús de n . Es dec i r , &debe

Como la probabil idad de un evento nos indicará e l va lor a lrede-

dor.de1 cua l f luctúan l a s f recueFcias de su ocurrencia , conviene ob-

servar cómo se comportan é s t a s .

Nótese primero que l a s f recuenc ias siempre e s t á n entre O y 1;

y que e l evento Q = "ocurren por l o pienos O llamadas", llamado e l

evento seguro, tiene frecuencia, 1 pues siempre ocurre.

4

f J A )

f n ( B )

Supóngase ahora que se ha observado e s t e experimento 6 v e c e s ,

1 1/2 1/3 2/4 3/5 3/6

O O 1/3 1/4 1/5 2/6

i.e. durcrnte 6 minutos, y que loo resul tados obtenidos con respecto a

l o s eventos A y B antes mencionados son los siguientes‘ :

TABLA ‘1

1 2 3 4 5 6 ~~

EVENTO A s i no no s i s i no

EVENTO B no no s i no no si

EVENTO A U B si no s i si si s í

C o n respecto a los resul tados observados, l a f recuencia de l a s

ocurrenciqs de A , de B y de A U B vienen dadas por l a s iguiente

t a b l a :

TABLA 2

Es importante notar q u e A y B son eventos que no pueden ocu-

rrir a l mismo tiempo, e s decir, son a j e n o s , ( i . e . A n B = @ ) y de l a

Tabla 2 se ve que f n ( A U B ) - f n ( A ) + f n l B ) para cada “ n o , l o cual

sugiere l a axiomatisaci6n de l hecho de que la probabil idad de A U B

sea i g u u l a l a probzbilidad de A más la probabilidad de B , i . e . ,

que l a f u n c i ó n de probabil idad sea a d i t i v a . Es c l a r o que en l a prác-

t i c a Únj-camente se puede comprabar experimentalmente la adi t iv idad

f i n i t a ce l a función de probabil idad, pues es imposible observar un

niherc i n f i n i t o de eventos. S i n embargo, e n l a axiomatisación hecha

por KDlmogorov se requiere la adi t iv idad ( a d i t i v i d a d numerable) de l a eL

A ‘ b

función de probabil idad, é s t o se debe a que se desea usar como t é c n i -

ca bás ica de la probabilidad la t e o r í a de l a medida en s u forma más

ge nera 1.

1.1. EL MODELO DE KOLMOGOROV

Definic ión 1, E l modelo matemático de espac io de probabil idad

asociado a un experimento o fenómeno a l e a t o r i o propuesto por Kolmogo-

r o v c o n s i s t e en l a terna (n ,ot ,P) donde (l e s un conjunzo na v a c í o

cuyos elementqs son llamados l o s resul tados elementales p.osibles de l

experimento? &es una fami l ia no v a c i a de subconjuntos de n lla-

mada l a f a m i l i a de l o s eventos y cumple con l o s i g u i e n t e :

i> si A E Q L entonces A~ E fi m

ii) s i A ~ G a para i = i,2,. . . , entonces u gC i=l

(cabe hacer notar aquí que una f a m i l i a de conjuntos q u e cumpla con

l o s axiomas de 8L se denomina 0-álgebra) .

P es una función d e f i n i d a $obre a y con v a l o r e s r e a l e s , l l a -

6

nada l a función de probabilidad por a s o c i a r a cada evento de @L u n

número que se i n t e r p r e t a como su probabil idad de ocurrencia y satisfa

cd los siguientes axiomas:

i!

ii)

ij f..)

?(A) 20 para todo A € &

P(9; = 1

P

tuamente a jenos o en símbolas A ~ ~ A ~ = 6 s i i # j e n-

tonees P (u.,) = 5 ; P I A i ) .

es f u n c i ó n g -adi t iva i .e . s i AL,A2,e.., E 6 y son mu-

09

i = b i=l

Algunas observaciones importantes son:

1, Si A es un evento que tiene probabil idad O de o c u r r i r

( P ( A ) = O ) , e s t o no'necesariamente querrá decir que A sea e l evento

imposible ( A = Q ) . Lo Único q u e e s t o s i g n i f i c a es q u e la f recuencia

de l a s ocurrencias de A para Iiq" grande e s aproximadamente cero.

Como ejemplo considérese e l experimento "tomar un número a l azar en

el i n t e r v a l o [O,i)" donde l a medida de probabil idad que se e s t á usan - do es l a medida de Lebesgue ( " 1 en e i i n t e r v a l o ~0,i~. Entonces, en

este conteFto , U n evento no v a c í o con probabil idad c e r o e s A = "e l

número se lecc ionado, es raciona'l" . También, s i un evento B tiene prbbabil idad 1 de o c u r r i r

( P ( B ) = 1) eaeo no quiere decir que B sea necesariamente seguro

(ice, B = n), s i n o sólo significa que B ocurre e n l a mayor par te

de los cacos. ' A s i , en el mismo contexto d e l ejemplo a n t e r i o r conci - -

( * ) Ver ia a c c i ó n v.1.

d6rese e l evento B = " e l número seleccionado e s i r r a c i o n a i " .

2 , Ei tercer pos tu lado para P

to Cii? p~ldex usar Las técnicas tie l a Teoría de ?a Medida nos d i c e , en

p a x * ~ ~ c u ; z ~ , - que p es una func:i6n contíraua en e l sentida su&: se in-

dica a. c o n t i n a c i o n :

que se in t rodujo con cl proposi-

1 ^

I. t'::op3sic& I 2 .

Demostración.

i ~ j " c t a l que. n n=l (iii') Si

o3

ces 1ini P ( A 1 = O. n n+

Observe que A l se puede expresar como la si-

guiente unión ajena: ( A -A ) U (A -A ) u ..- U (An-An+l) U ... por e l axioma {iii) de P se t iene que

.ur,a serie convergente. Ademas:

entonces 1 2 2 3 00

P ( A . - A ) = P ( A L ) e s 'j=1 3

OD P ( A -A ) que es l a c o l a de "n" en adelante de P W n ) = 'j=n j j+i

la serie convergente de arr iba por la que k i m P ( A , ) = O. n + a

Es m6s, si en e l modelo axiomático de Kolmogorov se s u s t i t u y e e l

axioma (iii) de P por (iii') añadiendo l a propiedac.! de la a d i t i v i -

dad f i n i t a de P, la es t ruc tura matemática d e l modelo no se altera, o

sea, que a p a r t i r del nuevo modelo axiomático se demuestra (iii) como

se i n d i c a a continuación:

8

00 Demostracihn. Llame Bn Ujjrn A y observe que

por (iii') Lin: P(9 ) = O, l o cua l demuestra (iii) cuandó n + m , a n n d

3 . El modelo c l á s i c o de espac io de probabil idad, t a l como fue

e s t a b l e c i d o por Laplace, supone que: n es U A c o n j u n t o . f i n i t o , la fa -

m i l i a de Los eventos $L es l a fami l ia de todos l o s subconjuntos de

Q y P a s o c i a a cada evento A l a probabilidad:

número de elementos de A número de elementos de 0 P ( A ) = -

Es f á c i l yes y se d e j a como e j e r c i c i o que e s t e modelo cumple con los

axiomas de l modelo de Koimogorov, y por l o t a n t o , no e s más que un

caso e s p e c i a l de 61.

De aquí en adelante se hace l a s iguiente comun-icación: si se

t i ene una población 0 f i n i t a , l a expresión: "tomar un elemento de

fl a l azar" indicará que se e s t á hablando en un contexto c l á s i c o de

probabi l idad , es d e c i r , =que, se e s t á asignando probabil idad

número de elementos de Q a cada evento elemental u t , donde w E r;. 1

9

I e 2 . VlaKLkBLE ,3 Y VECTORELS ALEWTORIOSI

PUC La ac scr ipc ibn de un fenómeno o experimento a i e h t o x i o uscal

mznte ZG: i n s U f i c i 2 n t e s l a s a severac iones c u a l i t a t i v a s cono la ocurre.n

c:ii &> J t ~ i e t e m a n a d o aventc y resLilta necesar io 'nacer t iso ds Üatos

.j iiscrveiaci ones c u a n t i t a t i v a s . Estos d a t o s numéricos y a c e

c d d n t i t a t i v a s que e s t a r6n basados sobre mediciones de c i e r

ta:. car-sctc i í s t i c a s de un experimento ( o ftJn5inenQ) a l e a t o r i o , c i a ra -

-y*- , , . + i A t - t - -. - 1 r n o s ~ : . l r ~ i * ~ ~ f l uc t&ke iones de realiaaci6n a r e a l i z a c i ó n de. e x p e r i

nerrtc- ; o LenCmens) . Por ejemplo s i e n un au la de c l a s e s erA l a c u a i

se e n c u e n c ñ a n LO alumnos con 1.2 hombres y 8 mujeres ; e l experimento

c o n s i s t e en e l e g i r a un alumno al a z a r , s e puede e c t a r interesado e n

l a a l t u r a X del alumno se lecc ionado ( o b i en en e l peso Y c;el alum

no seleccionado) - De r e a l i z a c i ó n a r e a l i z a c i ó n de este experimento

se obtendrár. v a l o r e s no necesaziamente i g u a l e s de X ( y de Y re s -

pectivamente) . Entonces r e s u l t a i n t e r e s a n t e responder a preguntas

corno: ¿con qué probabi l idad X toma un v a l o r contenido e n un c i e r t o

i n t e r v a l o de l a r e c t a numérica? Nótese que e s t a pregunta e s sobre

una aseverac ión c u a n t i t a t i v a , i . e . , sobre l o s p o s i b l e s v a l o r e s que

pueda toniar X. una pregunta de carác te r c u a l i t a t i v o s e r í a ¿cuál e s

la probabi l idad de que e l alumno seleccionado sea mujer? , que en e l

contexto de e s t e experimento cabemos que e s 8720. Resulta in teresan-

t e observar qué preguntas de c a r á c t e r c u a l i t a t i v o se pueaen e s c r i b i r

en un contexto c u a . n t i t a t i v o , como por ejemplo, se puede e s c r i b i r un 1

s i e l alumno seleccionado e s hocnbre y escribir un O s i e l alumno

seleccionado es mujer, de t a l manera, que s i 2 denota e l sexo d e l

alumno seleccionado, podrá tomar v a l o r e s O Ó 1.

Para d e s c r i b i r matemáticamente este experiments a l e a t o r i o se te-

drá qucj hacer uso de un modelo p n o b a b i l í s t i c o (n,&,P) que consta de

las s ,guientes p a r t e s :

17 e s el conjunto de los alumnos de l a c l a s e ,

BLes el conjunto de todos los subconjuntos de

y según l a convención hecha a r r i b a , l a f u n c i ó n P de probabil idad

a s o c i a 1/20 a cada evento elemeneal, como su probabilidad de ocurren-

c i a . Además de e s t o , si se dese& describir matemáticamente l a a l t u r a ,

el peso o bien de manera simultánea la altu'ra y e l peso d e l alumno

selecciotíado, se tendrá que hace t uso de funciones X, Y o b i e n

( X , Y ) def in idas sobre e l conjunto Cl y tomando valoreseen R para

e l primer caso y v a l o r e s en R2 para e l segundo caso. E n p r o b a b i l i -

dad e s usual Llamar a X y a Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , y v e c t o r a l e a

t o r i o a ( X , Y i .

n8

E n a n á l i s i s , suele definirse u n a f u n c i ó n como una terna q u e cons - t a de dos conauntos, uno llamado D O M I N I O , y o t r o CONTRADOMINIO, y de

una r e g l a de correspondencia que a cada elemento de l dominio le aso-

c i a un Único elemento d e l contradominio. E n e s t e contexto se llaman

"variables"' a

familiarizada,

probabi l idad4

l o s elementos d e l dominio, por l o que, 5 alquna persona

-- con' e s t a nomenclatbra puede p a r e c e r l e extraño gue, en

s e le llame "var iab le qleator ia l ' -- a una f u n c i ó n . S i n

11

embargo, e s t o puede exp

r r o l l a r l a t e o r í a de l a I

&carse deJido a que,

?robabil.idad, aún no

d e l concepto de f u n c i ó n y , como l o Único que

cuando se empezó a desa-

se t e n í a una idea c l a r a

r e su1 taba sobre sa l i e n te

para e l observador de un c i e r t o experimento eran l o s v a l o r e s que l a

f u n c i ó n "var iab le a l e a t o r i a " tomaba en s u contradominio, se le desig-

no con e l término de *8var iab le8 t . E l término 8*a lea tor ia '8 surgió d e l

hecho de que los v a l o r e s observados, e n g e n e r a l , variaban a l azar.

A n t e s de q u e se de l a d e f i n i c i ó n formal de v a r i a b l e ( y vec tor )

a l e a t o r i o , es bueno hacer notar que es indispensable que se puedan

c a l c u l a r probabil idades de ocurrencia sobre cua lquier aseveración de

los v a l o r e s que e l l a pueda tomar, e n o t r a s pa labras , es necesar io que

cua lquier a s e v e r a c i h a c e r c a de Aos v a l o r e s de una v a r i a b l e a l e a t o r i a

12

sea un evento, e s t o , en un lenguaje a n a l í t i c o se traduce diciéndose

que una v a r i a b l e a l e a t o r i a ( v e c t o r a l e a t o r i o ) es una f u n c i ó n medible - -

def inida sobre (n,a) y con va lores en ( I R , $ ) , (de f in ida sobre

R y R" son l a s á ige- -n -n ( n , W y con va lores en (IR 8fi ) ) , donde

bras de Bore1 de R y gn respectivamente. E s t o s Últkmos concep-

tos son t ratados en el Capítulo V,

-

Definición 1. Dado un espacio de probabilidad (n,;&,P)

1) La f u n c i ó n X:fl;DR es una var iab le a l e a t o r i a a i para todo

i n t e r v a l o I cB, O X torna un va lor e n e i i n t e r v a l o I" 8 io

que se denota en símbolos como { w ~ n : X ( w ) E X \ o bien [ X E I j

e s un elemento de & 8 o en o t r a s palabras e s un evento.

2 ) La f u n c i ó n ( x ~ , x ~ , . . . ~ x 1 : n+P es un vec tor a l e a t o r i o si n

para todo i n t e r v a l o I c sn , I' (Xi 8 Xz 8. . 8Xn) toma un v a l o r

e n e l i n t e r v a l o I" o , e n símbolos,

o bien [(Xl85, . . . , X ) E I] e 8 un elemento de & , e s d e c i r , n e s un evento. --

I . 3 PROBABILIDAD CONDICIONAL e

E n muchos casos e s necesar io c a l e u l a r l a probabilidad de un even

t o A dado que o t r o evento B ya ha ocurrido. Llamamos "PROBABILI-

-

DAD CONDZCXONAL'' a e s t e t i p o de probabil idad y l a denotamos por el

13

símbolo P ( A I B ) .

Ejemplo. De una c i e r t a o f i c i n a en donde hay 12 hombres de Pos

cuales 7 t ienen autom6viP y 8 mujeres de lag cua les 4 t ienen automó-

v i l , sa ldrá una persona a l azar. Supdngase que usted se encuentra a

1¿ s a l i d a de e s t a o f i c i n a .

a) &Cu61 es la probabilidad de que l a persona que va a s a l i r po-

sea un automóvil?

b) Z S i ueted l a ve s a l i r y' ve qu# es mujer , cuá l e s l a probabi-

l idad de que posea un automóvil?

Inthitivamente u s t e d respondería que en ( a ) l a probabilidad es

11/20 y e n (b) dado que u s t e d v i 6 que e r a m u j e r y por e l hecho de que

cada una de eklas puede salir coh l a misma probabil idad, la probabi-.

l idad es 4/8. S i se denota por B a l evento " l a persona que saldrá

es m u j e r r y por A a l evento "la persona que saldrá posee un automó-

v i l " .

s igue :

Entonces gn símbolo8 e s t a s respuestas se pueden escribir como

P ( A ) - 11/20 y P I A I B ) = 4/8.

En sent iaq estriceo, aún l a 8 probabilidades no condicionadas son

también eondic ionales , ya que la t e o r í a supone siempre dadas un con-

junto de condicíonee

Definición 1. La probabil idad de que un evento A ocurra dado

q u e o t r o B ha ocurrido se def ine como sigue:

14

d ' o s i P ( B ) = O.

De e s t a def in ic ión se sigue que para dos eventos A,, B cualesquiera

P ( A n B ) - P ( A ) P ( B l A ) = P ( B ) P ( A I B )

y que para una eneada A A , . . . , A de eventos cualesquiera: 1, 2 n

A e s t a Última expresión es usual. denominarle l a " reg la de rnultiplica-

c i ó n " . Definición 2 .

,a) Se dice que dos eventos y B son independientes s i

b) Se dice que los eventos A , A , . . . ,A son completamente i n d e 1 2 n

pendientes s i para cada k = 2 . 3 , . . . , n las expresiones

son vá l idas para^ cualquier subcolección i il, i2 . . . . . ikj de k í n G i c e s , d e l conjunto

, Por l a Definición 1 se sabe que

por lo que s i P ( B ) > O y ei A y B son'independientes entonces

l o cual d i c e , en p a r t i c u l a r , que l a ocurrencia del evento B no pro-

porciona alguna información acerca de la ocurrencia del evento A.

Para e j e m p l i f i c a r e s t o , considérense l o s s iguientes experimentos:

1) Se toma alguno de los s iguientes puntos a l azar: (1,lj 8

(l,-l), [-l,l), (-l,-l) Sea A el evento " l a ordenada del punto e s

1" y B, " l a absc i sa de l punto es 1".

Obsérvese que:

por l o que P ( A n B ) = P ( A ) P ( B ) de donde A y B son independientes.

2) se toma alguno de los s iguientes puntos a l azar: ( - 1 8 1 ) ,

( 1 8 w (l,-i), (-i,-l), ( 0 , O ) . Si A y B son como a n t e s , entonces

pot 10 que P ( A n B ) 4 P(A)P(B).'. A8B no son independientes.

Nótese que aquí l a ocurrencia del evento B s í da información

acerca Le l a ocurrencia del evento A , i . e . , si por ejemplo B fuera

e l evenOo " l a absc i sa de l punto e s 0" sabríamos que A "la ordenada

del punto e s 1" no puede ocurr i r .

16

Definición 3 . Las var iab les s iguientes están def inidas en un

mismo espacio de probabilidad (O,%P) I

i) DOS var iab les aleatoriasi X, Y son independientes s i para

todo par de in terva los I y J de R se t i ene que:

P [ X € I,Y E J] = P [ X € I ]P[Y J] donde [ X E I,Y € J] denota a

l a in tersecc ión de l o s conjuntos [ X c I], [Y E 51. Esta

igualdad d ice e u p a r t i c u l a r , que Y no proporciona ninguna

información acerca de la probabilidad con que X toma s u s

valore$ ,

ii) Xl ,Xz , , , , X son variableis a l e a t o r i a s mutuamente independiefi m

m t e s , s i para cada emada de in terva los de s, 11,1 2,.. . ,I

se. t i ene que:

m

iii) {..\y e s una sucesión de v a f i a b l e s a l e a t o r i a s mutuamente

indepeddientes o, simplemente independientes, s i para cual -

1 i=o

quier m = 1,2,3,,,, se t i ene que l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s

X1,X2 #..., X son mutuamente iñdependientes. m

Todo espacio de probabilidad puede in terpre tarse como un subes-

, pacio de probabilidad de l a s iguiente manera:

Supóngase que 6 es un experimento cuyo espacio de probabilidad

e s t á dado por l a terna (n ,%,P) y que )f e s un subexperimento de 5

(por ejemplo, 6

azar y

c o n s i s t e e n e l e g i r una persona de una universidad a l

consis te en e i experimento de escoger a una persona al

17

azar ya sea de l a Facultad de Ciencias o de l a de Medicina) 8 entonces

e l modelo que puede a s o c i a r s e l e al. experimento ).c e s e l s iguiente :

( H , a , ' Q ) donde H c í l y representa a los resultados elementales pos i -

b l e s d e l experimento.

8 {A H:A E &\

-, (claramente estamos suponiendo que P(H) >o) . Se Y Q ( A ) = P ( H )

puede demostrar q u e (H,g,Q) es un espacio de probabilidad, i . e . ,

que cumple con los axiomas de Kolmogorov.

Como se ha dicho a l in t roduc i r e l modelo de Kolmogorov, l a

u-álgebra

de l experimento que representa. U n a información p a r c i a l , o b i e n , la

información contenida e n un subexperimento queda representada por una

6 de los eventos p o s i b l e s contiene toda l a información

sub-ú-6lgsbra 8 de l a 0-álgebra o r i g i n a l .

Nótese que l a definición de l a probabilidad condicional de un

evento A dadb o t r o evento B fue motivada por l a inforniación que

da el evento B acerca de l a ocurrencia o no ocurrencia d e l evento A.

Ahora supóngase que no sólo se cuenta kon l a información diel evento B0

s i n o con l a información suministrada pbr un 'conglomerado &e evbntos

representados por una sub-0-álgebra d e l álgeboa o r i g i n a l & . En

e s t e caso l a respuesta a la pregunta Lcuál es l a probabilidad de la

ocurrencia de l evento A dada la información contenida e n 8 3 , será

una f u n c i ó n de los eventos elemengales de & por ejemplo;

Dados loq 5 puntos representados en l a Figura 1

18

e l experimento c o n s i s t e en tomar uno de e l l o s a l azar. Podemos tomar

como espacio de probabilidad asociado a e s t e experimento, a l d e s c r i t o

por:

& = l a f a m i l i a de todos los subconjuntos de n y

P asoc ia probabilidad igual a 1/5 a cada uno de l o s

puntos de c1.

DenÓt.ese por Bi a l evento "la a b s c i s a d e l punto es i", para

i = -l,O,l. Si; una persona sólo puede ver l a a b s c i s a de l punto s e l e c - cionado, entonces, tendrá la información p a r c i a l representada por la

* sub-0-álgebra 3 de &. generada por los eventos B , L , B* Y B1'

Si A e s el evento " l a ordenada del punto es 1" entonces P ( A \ G ) =

(* ) V e r i a secc ión v.1.

19

y 1 si acu- 6 i c a d o P de Bi que toma valores O s i no ocurre Bi

En g e n e r a l , se denota l a probabilidad condicional de un evento

A dada l a información contenida e n una sub-0-álgebra 2 por P ( A \ ; 3 )

y , como se ha indicado a r r i b a , e s una v a r i a b l e a l e a t o r i a .

Es conveniente también g e n e r a l i z a r e l concepto de independencia

de v a r i a b l e s aheator ias . Para ello, se d e f i n e p r i m e r o - e l concepto de

independencia entre l a información contenida en dos sub-0-Algebras:

E;iefinición 4.

i) Dos sub-u-6lgebras al y 8, de &, son independientes si

dados cualesquiera eventos A E al y B E a,, son independien-

t e s .

sub-0-Algebras de son independientes s i ii) Ql,z2, . 'm

dados cualesquiera eventos

son indepe ndie n te s.

Al E al,A2 E a*, . . . ,Am E am, e s t o s

iii) Dada una sucesión de sub-a-Algebras de &, é s t a s

son independientes, s i para cua lquier n E N a l , s2 , . - r a n lo son.

20

Sea X una var iab le a l e a t o r i a definida en un espacio de proba-

b i l i d a d ( a , & P ) y considérese l a sub-o-álgebra a(X) de 6 gene-

rada '*' por todos los eventos de l a forma [ X C I] donde I es cual-

quier i n t e r v a l o de l a r e c t a r e a l . Es c l a r o que e s t a sub-0-álgebra

B(X) contiene toda la informacien acerca de cualquier aseveración

que se haga sobre los valores que tome Xi por tanto , la s iguiente

def inic ion claramente implica a La Def in ic ión 3 y se puede demostrar

que ambas son equivalentes.

Definición 5. #'Sea { x i r n uqa sucesión de v a r i a b l e s a l e a t o -

r i a s def inidas sobre un espac:io de probabilidad (n,&,P). E s t a s va-

r i a b l e s son mutuamente independientes s i las sub-0-Algebras de l a su-

cesión J R ( x ~ ) \ El son independiente si' .

i i=l

1.4 FUNCIONES EE DISTRIBUCION q VARIABLES Y VECTORES ~LEATORIOS

Considege e l . siguiente expeximento: se toma una palabra a l azar

de l a s iguiente oración "EN üN LUGAR bE L A MANCHA. DE C W O NOMBRE NO

QUIERO ACORDARME.. .'I . experimento e s :

El espacio de probabilidad que representa e s t e

CI = {EN UN, LUGAR, DE, L A , MANCIIA, m, CWO, NOMBRE, NO, QUIERO,

ACORDARME)

& es la a-dlgebra de todos los lsubconjuntos de fi y la función de

(*) V e r i a sección v.1.

21

1 probabilidad P asigna a l a ocurrencia , de cada palabra e l valcx -. 12

Considérese ahora la var iab le a l e a t o r i a X que asigne a cada

palabra su nÚrnero.de vocales.

e s t 6 n d i s t r i b u i d o s probabil íst icamente s u s valores?”

Una pregunta que se ocurre es: “¿Cómo

Nótese que hay 6 palabras con 1 v o c a l , 4 con 2, O con 3 y 2 con

4 , por Lo que e l va lor 1 de esta var iab le ocurr i rá con prDbabilidad

6/12, e l 2 con 4/12, e l 3 con O y e l 4 con 2/12. S i ahora se desea

conocer la probabilidad de que l a var iab le a l e a t o r i a tome un va lor

menor que 3 entonces é s t a será de 10/12. De manera semejante tomará

un va lor menor que ,uno con probabilidad cero y uno menor que c i n c o

con probabilidad uno. Intuitivamente e a t a s probabilidades dan una

idea de cómo es tán d i s t r i b u i d o s Ins v a l a r e s de l a var iab le .

E n g e n e r a l , dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a , una manera de saber

cómo se dis tr ibyyen probabil íst icamente sus v a l o r e s , es por medio de

su f u n c i ó n de d is t r ibuc ión .

D e f i n k i ó n 1. - 1) La f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n de una v a r i a b l e a l e a t o r i a x# de-

( n , & P ) # es l a función r e a l f i n i d a sobre un espacio de probabilidad

F def inida para todo número r e a l x por medio de:

2 ) La función de d i s t r i b u c i ó n de un vec tor a l e a t o r i o

( X , X , . . . ,Xn) , d e f i n i d 6 sMre un espacio de probabilidad ( n , q , ~ ) , 1 2

22

e s la f u n c i ó n F def inida sobre Rn con va lores r e a l e s en R por

medio de:

= = &

Se sigue s a s i inmediatamente de l a d e f i n i c i ó n que toda f u n c i ó n

de d is t r ibuc ión de una var iab le a l e a t o r i a X cumple con las siguien-

tes propiedades:

i. F(x) e5 no decrec iente , pues de los axiomas de probabilidad

se obtiene q u e , si x 1 s x 2 entonees P [ X < x 1 ] ~ P C X < x 2 ' ] l o que qui=

re d e c i r que F(xl) ( F ( x 2 ) .

2.

3 .

4.

F(-cr>) = l i m F(-x) = 6. X-SCO

F es continua por l a izquierda, i . e . ,

E s t o Último se puede ver como sigue: dada una sucesión numérica I

t a l que x t x bas ta demostrar que F(x , )?F(x) para l o cua l +'r" n n=l n

observe que s i A = [ X c x , ] entonces (A 'I" forma un e n c a j e c r e -

ciente de eventos , por l o que:

n n n=l

23

Queremos hacer notar que también puede usarse como def in ic ión de

funci6n de d is t r ibuc ión en (1) F(x) = P [ X l x )

= P [ X 1 ~ x l , X ; ! ~ x s , . . . , X n ~ ~ n ]

ción, la función de d is t r ibuc ión r e s u l t a n t e es continua por l a dere-

y e n ( 2 ) , F ( y x 2 ,..., x n ) =

en caso de usar e s t a segunda d e f i n i -

cha .

DefiniciÓp- 2 . Una función F r e a l de var iab le r e a l n 3 decre-

c iente , continua por l a izquierda con F(-oo) - O y de var iac ión

t o t a l menor o igual que 1 , se llama f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n impropia

s i s u var iac ien t o t a l es menor q u e 1 y función de d is t r ibuc ión propia

o , simplemente, f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n , s i s u var iac ión t o t a l es 1.

- Es pos ib le demostrar que dada una f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n

puede const ru i rse un espacio de probabil idad donde e s t á def inida una

var-iable a l e a t o r i a X t a l . q u e F es función de d i s t r i b u c i ó n .

F

Hay una manera general de :re(alizdr e s t a construcción. Será i l u g

trada en e l s iguiente caso simple: suponga que F es corrtínua y es-

tr íctamente creciente. SU g r á f i c a es d8 l a forma:

h 2=-

’ I A Y 5 O

. 24

S i se traza una recta a 4S0 como se indica y se gira e l plano

180° alrededor de esta tec ta , se obtiene la siguiente figura:

o c

que es la gráfica de una variable aleatoria X definida sobre e l es-

pacio de probabilidad ( t i , k P ) , donde CI - [ O , l ’ J , la o-álgebra de

Bore1 (*I sobre [0,13 y P l a medida de-Lebesgue(**). ES aro que

por ser F baunívoca e l evento:

y como P esf l a medida de Lebesgue se sigue que:

es decir , F es la d i s t z i b t h i h de X.

(*’(**I Véase ei párrafo v.1.

f; .3 a. Kolmogor3v ha demostrado un teorema de gran impmtancia d e l cua l

n a se da l a demostración.

Teorema 3 . Dada una sucesión { F n \ Z l de funciones de d i s t r i -

bución puede const ru i rse un espac io de probabil idad ( n , h , P ) donde

esté definida u n a sucesión {XJn=k de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s mutuame2

te independientes t a l e s que

x_ para toda ,n = 1,2,3,...

a)

sea l a f u n c i j n de d i s t r i b u c i ó n de Fn

11

Este es u n teorema de --_I

dei t i p o "gean x1,X2 ,... c o n s i s t e n c i a y permite que aseveraciones

v a r i a b l e s a lea t o r i a s mu tuamen t e indepen-

d ientes c ~ n f u n i c i g n e s de d i s t r i b u c i ó n

- un espacio probabil idad ( r ? , h , p ) . . .I8 no tea v a c í a 0 , 9 o t r a s pa-

l a b r a s , q u e tenqa contenido matemático.

F1 ,F2, . . . y def in idas sobre

1.5 ESPERANZA iMATEMATICA .

De acuerdo con e l d e s a r r o l l o h i s t ó r i c o de este concepto t a l y

cam0 fue presentado e n l a introducción, e l v a l o r esperado de una va-

26

r i a b l e a l e a t o r i a X v i ene a s e r e l promedir, ponderado de s u s v a l o r e s

con s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades de ocurrencia y se denDta con e l

símbolo E ( X ) . La in te rpre tac i sn f recuenc ia l d e l símbolr, E ( X ) e s de que -- si se

r e p i t e sucesivamente un e x p e r i m e m y se hace la medic i jn X ___. ’ cada

- v e z , entonces v a l o r promedio & 3 número qrande de e s t a s medici3-

-- nes e s aprBximadamente É(X), o sea que e s te e s un concepto b á s i c o y

co inc ide con e l concepto de probabi l idad de un evento A cuando l a

v a r i a b l e a l e a t o r i a X e s e l indicadar d e l evento A, en símbolos,

x = IA*

ikbido a e s t a i n t e rpre tac ión f r e c u e n c i a l , r e s u l t a in tu i t i vamente

c l a r o que E ( * ) v i s t o como operador sobre v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , e s

l i n e a l , i . e * , si a , b , c son reare s cua le squ ie ra y X, Y v a r i a b l e s

a l e a t o r i a s entonces , E (aX+bY+c) = aE (X) +bE (Y) +c.

De manera análoga, e l v a l o r esperado de una v a r i a b l e a l e a t o r i a

X dado que ocu.rre un evento €3, v i e n e a ser e l promedio pbnderado de

s u s v a l o r e s pero e s t a vez con s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades cond ic ig

nadas por l a ocurrencia d e l evento €3 y se denota con e l símbolo

E ( X I B ) . Por l a s mismas razanes de su in t e rpre tac ión f recuenc ia l

E ( - 1B)

i . e . s i a , b , c son r e a l e s cualepquiera y X, Y v a r i a b l e s a leato-

v i s t o coma operador sobre v a r i a b l e s a l e a t o r i a s , es l i n e a l ,

r i a s entonces , E (aX+bY+c IB) = aE (XIB) +bE ( Y \B) +c.

~e f o p a aun más genera l , puede d e f i n i r s e

una v a r i a b l e a l e a t o r i a X, dada l a infarmación

e l v a l o r esgerado de

contenida por una sub-

0-álgebra 3 de U , como e l prDmedio ponderado de s u s va lores con

sus respec t ivas probabil idades cDndicionadas por la información cm-

tenida en 3 y se denota con e l símbolo E ( X I 8 ) También en este

caso e l operador E ( . \ 3 ) r e s u l t a ser l i n e a l .

2 PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE L A PROBABILIDAD

E s t a sección cont iene v a r i a s g r á f i c a s que i l u s t r a n e l contenido

de algunos teoremas y se han obtenido simulando a los mismos, de t a l

manera que en una primera l e c t u r a se puede refer ir a e l l a s y a medida

e n que se avance por los c a p í t u l o s 111, IV y v leer o releer l a sec-

c ión .

E l p r o p j s i t o de l a presente sección es e l de hablar d e l desarro-

llo y contenido de los llamados problemas fundamentales de l a proba-

b i l i d a d , que se pueden c l a s i f i c a r como s igue:

a) prbblemas de e s t a b i l i z a c i ó n ,

b) problemás de aproximación de Leyes y

c) problemas de f luctuación.

2.1 PROBLEMAS DE E S T A 3 I L I Z A C I O N

Entre los problemas de e s t a b i l i z a c i ó n , his tór icamente aparece e n

primera instancka la llamada "Ley de los Grandes Números" e n su ver-

s i 6 n d é b i l debida a James B e r n o u l l i (1654-1705) y publicada en l a

obra " A r s Conjectandi" ocho años después de s u muerte. San duda a l -

28

guna, e s t e e s e l resultado c e n t r a l e n l a t e o r í a de l a probabil idsd.

B e r n m l l i m i s m 9 es taba consciente de este hecho, como l o expresa en

s u obra:

"Así pues, é s t e e s aquel prd>lema que propuse para s e r divulga-

do en e s t e lugar , después de que he i n s i s t i d o e n 61 dos veces ,

y cuya novedad y gran u t i l i d a d unidas a s u d i f i c u l t a d pueden

aAadir valor y fuerza a todos los r e s t a n t e s c a p í t u l o s de e s t e

tratado".

El enunciado, en lenguaje moderno, de dicha Ley e s e l s iguiente :

Tesrema 1. Sea { X i M ) una sucesión de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s n n = l

independientes e idénticamente d i s t r i b u i d a s d e f i n i d a s ssbre un mismo

espac io de probalbilidad (n,n,P), donde P{XL=ll = p y P[X1=03 =1-p.

Sea S = X +X +...+ X para n = 1,2,3,... Dado cualquier número e

p o s i t i v o se tiene que i i m P[!- n - p / < g = 1.

n 1 2 n Sn

n + a

Una manera h e u r í s t i c a de e x p l i c a r este resul tado e s l a de imagi-

nar un juego entre dos personas e n 9 1 que l a primera tiene probabi l i -

dad p de ganar cualquier jugada y 1-p de perderla. Las jugadas

son independientes entre s í y e l juego c o n s i s t e e n una sucesión i n & -

f i n i c a de jugadas. E n este caso - n

d e l primer jugador e n l a s primeras n jugadas. El teorema a n t e s

enunciado dice q u e , para n grande, l a probabil idad d e l evento "La

indica l a puntuación promedio sn

puntuación promedio de l primer jugadsr en l a s primeras n jugadas,

d i f i e r e de p en menos de una cantidad pequeña f i j a d a de antemano"

29

e s aproximadamente uno.

E s i n t e re san te hacer no tar , que e l origen de e s t e problema se

remDnta a l problema de los t r e s puntos planteado en l a corresponden-

c i a en t re Fermat y Pascal e n 1654 : Dos jugadores neces i tan lograr

t r e s puntos para ganar un juegzt, s i deciden r e t i r a r s e a n t e s de termi-

nar e l juego, ¿cómo deben d i v i d i r s e l a s apues tas? En dicha corres-

pondencia suponen que cada jugaddr t iene l a misma oportunidad de ga-

nar un punto, e s d e c i r , que t i e n e p m b a b i l i d a d 1/2 de ganar cada ju-

gada.

b i l i d a d que t i e n e cada jugador, dada una s i t u a c i ó n d e l juego, de ga-

nar e l juego?

E n e l fondo e s t a pregunt:a e s equ i va l en te a : ¿Cuál e s l a proba-

E n una de s u s c a r t a s a Fermat, con fecha d e l 2 4 de Agosto de

1654, Pascal se p l a n t e a y resuelve un ca so e s p e c i a l de e s t e problema.

Supóngase que dos jugadores A y B neces i t an respectivamente dos y

t r e s puntos pkra ganar.

jugadas más. S i las l e t r a s a y b repSesentan respectivamente e l

Seguramente e1 juego se dec id i rá en cuatro

hecho de que A gane un punto o de que B l o gane, entonces , l o s

d i e c i s e i k p o s l b l e s r e s u l t a d o s e n l a s cuatro t i r a d a s son:

aaaa abaa baaa bbaa aaab abab baab bbab aaba . abba baba bbba aabb ab bb babb bbbb

de e s t o s hay once c a s o s favorajales ii A ( l o s que contienen dos , t r e s

o cuatro a ' s ) y c i n c o f avorab le s a B (los que coritienen tres o cua-

30

tro o ' s ) : como cada Gno de e s t o s ca so s e s igualmente probable, l a s

probabilidades de que A l e gane a E3 e s t á n en una r a z j n de 11 a 5 .

El'nÚmero de ca so s f avorab le s a A se puede c a l c u l a r coma e l

número de ca so s en que l a s s e r i e s de cu+tro jugadas n 3 c3ntienen a b

ninguna vez o l a contienen 1 5 Z! v e c e s , l o que se puede e s c r i b i r cm3:

denota e l número de combinaciDnes de m objetos tomados de n e n n .

Pmteriormente, en s u "Tra i té dii trriangle arithmétique" , publ icad3 e n

1665 , Pascal eriunció y e n c o n t r ó l a so luc ión de l a g e n e r a l i z a c i j n de

e s t e prDb2ema: S i dos jugadores A y B nece s i t an respectivamente

m y n guntos para ganar, entonces' s u s r e s p e c t i v a s probabi l idades

e s t á n e n l a misma r a z h que:

e s e l número de jugadas en que forzosamente se decide e l juego. La

so luc ión Be e s t e prDblema e s c o r r e c t a , s i n embargo, s u s c i t ó intere-

s a n t e s d i s cu s iones en t re l o s matemátic3s de l a época. A s í , Raberval

ob j e tó quQ Pasca l , e n su so luc i6n , consideraba que e l juego debía

pr3longarse ha s ta l a s m+ n-1 t i r a d a s , l o que e n l a p r á c t i c a no e s

forzosamente nece sar io , ya que A b i e n podría ganar e n l a s primeras

m jugadas y q l juega se d e c i d i r í a . Rascal respondi5 a e s t a ob j ec i sn

declarando que, aunque e l juego se dec id i e ra a n t e s , l o s jugadores PO-

31

drían acordar cont inuar e l jueg3 h a s t a l a s m . + n - 1 t i r a d a s ya que

l a s jugadas super f lua s no cambiarían en nada l a dec i s ión ya tomada.

Janes Bernoul l i da una expresión general para obtener por lo me-

n 3 s s é x i t o s en r ensayos , cuando l a probabi l idad de é x i t o en ca-

da ensayq e s oonocida. Sea p y q l a s pmbab i l idades de é x i t o y

f racaso e n cua lqu ier ensayo, entonces l a probabi l idad requerida e s :

r O 1:-1 1 s r-s

Es te re su l t ado inc luye como ca so p a r t i c u l a r l a so luc ión d e l problema

de los puntos dada por Pasca l , e l c i a l supone que los d o s jugadores

t i enen l a misma h a b i l i d a d ( i . e . , p = q = 1/2) y que se obt iene d irec- - tamente de l a expres ión a n t e r i o r sus t i tuyendo r = m + n - 1 y s = m.

Como s e v e , e l r e su l t ado de Beicnouiii proporciona tainbién l a , so luc iÓn

para e l ca s3 e n que l o s jugadores t i enen d i s t i n t a s hab i l i dades ( i . e * ,

P ? w *

Entre o t r o s r e s u l t a d o s notab les en #su obra " A r s Conjectandi", se

encuentra en l a cuar ta par te el . enuncfado de l o que hoy s e llama " T e 2

reina de Bernoul i i84 o "Ley de los granües números", e l cua l e s t a b l e c e

que, pard n grande, C ( k ) p q -1 donde l a suma se hace sobre los k 17-k

en teros comprendid#os en t re m(p-c) y n ( p + c ) , siendo G un real po-

s i t i v o fijo. , E s t e r e s u l t a d 3 e n lenguaje moderno, s e expresa pDr me-

d i o de p [ \ y - p \ 1. La tecn ica usada por Bernoul l i e s t a basa-

da e n ' e l hecho de que los términ6s de l a expans i jn binomial aumentan

Sn

32

mDnÓtDnamente hasta l a moda y después decrecen monjtonamente.

Kay que nDtar que e l teorema de Bernoul l i no d ice que hay proba-

Sn b i l i d a d c a s i un3 de que 1~ -.p\ permanezca i n f e r i o r a t: i n d e f i -

nidamente. cabe l a duda de que en k ensayos a d i c i o n a l e s , I-- * n+k

sea mayor q u e t: para alguna k > 0 .

P1 sn+k

Las s i g u i e n t e s contribuci.ones importantes a e s t e problema l a s

dieron De Moivre y Laplace trabajando e n l a d i r e c c i h de problemas de

aproximación de d i s t r i b u c i o n e s , de l a s cuales se hablará mas adelante.

Desde e l punto de v i s t a de l o s problemas-de e s t a b i l i z a c i ó n , e l siguie~

t e resulkado s e debe a Emile Bore1 (1871-1956) publicado .en 1909 y

que dice que hay probabil idad uno de que, para n suficientemente

grande, I r - p \ sea. i n f e r i o r a E: ( u n número p o s i t i v o dado de ante- Sn

mano) y que permanezca i n f e r i o r a € indefinidamente. Este r e s u l t a -

do es cual i tat ivamente d i f e r e n t e a l de B e r n o u l l i ; es un resulkado d e l

t i p o llamado h e r t e y como se verá enseguida, implica a l de Bernoul l i .

Sn E l enunciado & e l mismo es e l s i g u i e n t e : P[ l i m 1- - p \ = O] = 1. S i n+oo

p \ =: O f e l evento A = [ l i m 1-- ocurre , entonces ocurre que dada Sn n+co n

cualquier e > O , e x i s t e un téirmino n t a l que para toda m z n ,

Srn co sn - p \ e t: ; es d e c i r , que el evento B = [ynzl ñmrn \y - p i c o 1

ocurre. Por 3.0 t a n t o , siempre que e l evento A x u r r e , e l evento B

también acurre y como A ocurre con probabil idad uno, l a probabi l i -

Sm dad de la ocurrencia de B también e6 un3. Sea B n - - C n m i n ( \ F - P \ < d I

n rj c

--- - i------- p - 6 - ---- I --i-=--==

+ u) c W

n gv U d r j

34

c~ c . . . c ~ c... y que urn n = l B n = B. Por e l Problema B 1 2 n y note que

TmE3 se t i ene que, 1 = P(E3) = 1 . i m P(B pero s i B ocurre , ent3n-

ces

n n-+m Sn

[ 1- - 21 .= E: 7 n scurre y se sigue que

con 1.9 qc,c e l sesliltsado d e B e r n o u l l i queda implicado.

I n 1934, Pa : . ;L Lévy ere6 e inves t igó e l concepto de martingalas

(que deba sti nomDrt . a. V ' l l le f : e s t e concepto nació y s u desarro113 fue

g u i a d o par los resul tados obter i idos en e l c a s o de la suma de var ia -

b l e s a l e a t s r i a s independientes, más precisamente, nació de un in tento

de preservar la l e y de los grandes números.

La martingala e s u n esquema q u e representa las ganancias de un

jugador e n un juego j u s t o y l a subdartingala e s un esquema que repre-

senta las ganancias e n un juego fau3rable al jugador. Para s u repre-

de v a r i a b l e s a l e a t o r i a c y sentación se usa una sucesión

sub-0-álgebras de ()l. def in idas en u n espac io de pmbabi l idad (? ,Ot ,P)

03 pn g n j n=i

con las s iguientes propiedades:

1. Par2 toda n E W , e l va'lor esperado de l a v a r i a b l e a l e a t o r i a

X e x i s t e y e s f i n i t o .

2. Para toda n , la v a r i a b l e

n

e s medible respecto de l a x*

3, o

0-álgebra

3n @ n + l * 3 . Para n = lf2,3,..e,

4 . Para toda n , X = E(X,n+i13n) n

35

4 ' ) Para toda

E n caso de que se sa t i s fagan 1 , 2 , 3 y 4 , ~ x n , ~ n j ~ l repre-

n , X n l E ( X n - + J O n )

senta una martingala, y en caso de que se sa t i s fagan 1 , 2, 3 y 4 '

dicha sucesión Fepresenta una submartingala.

La propiedad ( 1 ) d ice que e l valDr prDmedio de l a ganancia en e l

juego e s un número f i n i t o . La ( 2 ) e s t a b l e c e que toda l a in'forrna'ción

re levante acerca de los p o s i b l e s v a l o r e s de l a var iab le

gn contenida en l a 0-álgebra

X e s t á n

. La propiedad t r e s representa e l hecho

de que La infomiaci6n no disminuye a medida que se r e a l i z a e l juego,

y l a ( 4 ) e s t a b l e c e matemáticamente e l hecho de que se t r a t a de un

juego " j u s t o " , e s d e c i r , q u e e n v i s t a de l a información que se t iene

hasta e s t e momento, esperamos tener una ganancia promedio en l a s i -

guiente etapa igual a la que se tiene ahora (donde "ahora" puede s e r L

, cualquier h). En cambio, l a propiedad ( 4 ' ) e s t a b l e c e que e l juego

e s favorable a l jugador, es d e c i r , gue dada l a información que se

t i ene hasta ahora, l a ganancia esperada en l a s i g u i e n t e etapa e s ma-

yor o igual que l a ya obtenida.

E l s iguiente teorema, debido a mob,, e s t a b l e c e condiciones para

que una subhartingala se "e'stab:ilicel' e n el sentido que se e x p l i c a r á

a c5ntinuación.

Teorema 3 . Si l a submartingala sa t i s face

sup e 30 entonces hay una v a r i a b l e a l e a t o r i a X t a l que n

X =+ X cuando n-too con prcbabi l idad 1. n I

36

Este teorema dice que, e n u n juego favorable a l jugador en e l

cual no puede esperarse en algún momento q u e su fortuna promedio ex-

ceda a una cantidad f i j a , l a s fortunas tienden a e s t a b i l i z a r s e . ' Con-

c l u s i ó n que r e s u l t a natural .

2.2 PROBLEMAS DE APROXIMACION DE LEYES

Se def ine convergencia en d i s t r i b u c i o n e s de l a manera s iguiente :

Sean F , F , F ,..., F ,..., d i s t r i b a c i o n e s propias y F d i s t r i - 1 2 3 n

b u c i h propia o impropia. Se sabe que por ser F función monótona

t i e n e a l o más un número numerable de discontinuidades. Denjtese por

C(F) u1 conjunto de todos los números reales que son puntos de cm-

tinuidad de F.

Definición 1. Se dice que IFn') converge débilmente a F ( e n

d símbolos F n 4 F ) , s i F n ( x ) 4 F ( x ) cuando n 4 o o , para toda

x E C(F)

Se d ice que converge completamente a F ( e n símbolos

C d F n 4 F) , s i Fn+ F y además F es una función de d i s t r i b u c i ó n

prDpia.

- La convergencia completa .- es l a que se denomina "cDnvergencia 2

ley'.

El tebrema 2.1,1 (de Bernoul l i ) también se puede enunciar de la

s i g u i e n t e inanera:

37

. C

(1) F n 4 F t donde F es l a función de d i s t r i b u c i ó n dada por

O s i x c p

1 s i p < p Fix) =

sil cuando n+m, donde Fn e s 1.a f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n de - n y e l

símbolo It indica convergencia, l o que se j u s t i f i c a como sigue:

?rimero recuérdese que el. teorema de Bernoul l i d ice que:

Sn ( 2 ) P[\'n - p \ < c 1 - l para > O (observe que e s t o e s equivalen-

Se demostrará que ( 2 ) * ( 1 ) t

Si p < x , entonces

cuando nJpoo.

S i x c p , entonces

cuando n - w .

La implicación en el sentido c o n t r a r i o ( i . e . ( 1 ) * ( 2 ) ) se de-

muestra como s i g u e :

38

cuand3 n-)co.

Est9 quiere d e c i r que e l teorema de B e r n o u l l i no e s más que u n

cas3 e s p e c i a l de un problema de aproximacijn e n d i s t r ibuc ión o de

aproximacijn en ley .

Refinando l a s t é c n i c a s de ,James B e r n o u l l i , De MDivre demostrs un

resul tado análogo a l conocid3 hoy como I'fÓrmula de S t i r l i n g " , y en

1732 encontró que:

unifDrrnemente e n todos los v a l o r e s de x que es tán e n un i n t e r v a l o

f i n i t o dado, [a ,b] . PDsteriorrnente, Laplace e n 1801 genera, l izó e s t e

resul tado y l o puso en fxma i n t e g r a l de l a s i g u i e n t e manera.

Teoremb 2. (De Moivre-Laplace) . Para -00 < a b < + w se t i e n e -I

Nótese que s i para n = 1 , 2 , 3 , ..., F es l a función de distribution

de

n Sn-nP

h p q y F , e s la f u n c i j n de d i s t r i b u c l j n def in ida para todo

e dy entonces e l Teorema 2 (de De

Maivre-Laplace) se puede r e e s c r i b i r corn3 s igue : I

39

Com3 se d i j o a n t e s , este resul tado se obtuvo refinand3 l a s téc-

nicas usadas por J. Bernoul l i y De Moivre, por l o que e s de esperar

que incluya com3 caso p a r t i c u l a r al resul tado de B e r n o u l l i , com3 se

podrá Dbservar a continuación.

Tome d y c números p o s i t i v o s a r b i t r a r i o s , tome a > O grande CI

dy> 1 - 6 , esto Último claramente es pos ib le ya que, 1 -Y% para - J2fl

F(+m) = 1.

Para n suficientemente grande, Pc -qnpq < S n -np dnpq 1 d i - e

f i e r e de - 1 -YL J2 dy e n menos de 6 y dJ2n

por l o que, 1 - 26 <P[-ne < Sn - np < n e ] 1.1

t i e n e ’que para n suficientemente granhe

y por ser 6 a r b i t r a r i o se

E l s iguiente teorema de convergencia e n leyes f u e obtenido por

Poisson en’ 1 8 3 2 , q u i e n modificó e l cas9 de J. B e r n o u l l i , suponiendo

que l a probabilidad de é x i t o p = pn depende d e l número t o f a l de en-

sayos., de t a l manera que npn+A>O. Una i n s t a n c i a r e a l dg e s t e he-

cho c o n s i s t i r í a en considerar una sucesion de monedas donde l a n-ésima

de c a e r e n care . E l experimento c o n s i s t e en Pn t i e n e probabi Lidad

40

l a d i s t r i b u - i Ó n d e l nÚnero S de é x i t o s en los n lanzamientos de

l a n-ésima moneda es aproximadamente igual a :

n n

conocida como l a d is t r ibuc ión de Poisson.

La i m p x t a n c i a de e s t a d i s t r i b u c i j n n 3 fue descubierta s i n = , hasta

cerca de 1 9 3 0

blema central d e l l ímite.

en que s e , v i 6 el. papel fundamental que juega e n e l pr-

2 .3 PROBLEMAS DE FLUCTUACION

00 de v a r i a b l e s p n \ n=i ' E n es ta sección usaremos una sucesión

a l e a t o r i a s inde 'pendientes y con la misma d i s t r i b u c i ó n , def inidas en

un m i s m 3 e'spacio de probabilidad

= 1/'2.

Los resultados de De Moivre y Laplace dicen que, e n promedi3,

será d e l &den de magni- + n l a s f luctuaciones de

tud J n . Est:, e s , para a y n 'grandes y f i j a s P( -a ./n<Sn<a ,/n)

Sn = Xl 4- Xz + . .

e s próxima a uno.

Para e jempli f icar e s t o , tome n = 50, a = 2 . 4 entonces ,

~ ( - 2 . 4 J 5 0 < S < 2.4dSO) .99. Ahora c:,nsidere e l s iguiente experi-

mento: 100 jugadores e n un c a s i n o deciden cada uno embarcarse e n un

jueg:, de 5 0 jugadas, e n cada una de las c u a l e s pueden ganar un punt:,

n

I

o perderlo c 3 n . probabilidad 1./2.

41

De acuerdo con l a i n t e r p r e t a c i j n frecuencia1 de l a Prababi l idad,

s e espera que 99 de l a s 100 obtengan una puntuacijn t o t a l comprendi-

da e n e l i n t e r v a l o [-2.4d50,2.4,/50].

S i n emri>argo, desde e l punto de v i s t a de un j u g a d x e n p a r t i c u l a r ,

él se embarca e n una sucesión de jugadas (potencialmente i n f i n i t a ) .

E l no e s t á interesado e n comparar su puntuación t o t a l despues de n

jugadas con o t r o s pos ib les jugadores, s i n o que sólo se interesa en

l a s f luctuácioaes de s u s puntuaciones t o t a l e s e n función d e l número

de jugadas que l l e v a hasta el momento.

Los resul tados de De Moivre y Laplace dejan a b i e r t a l a p o s i b i l i -

dad de que las puntuaciones t3ta les e n función d e l numero de jugadas

para un jugador en p a r t i c u l a r , alcancen ocasionalmente una magnitud

17 d e l Órden d e , por e jemplo, ( J n ) . De aquí surge l a pregunta de

cómo se comportan l a s f luctuaciones de sus puntuaciones.

K h i n t c h i n e (en 1924) demostró que con probabilidad 1 ,

S n L i m sup = 1.

J 2 n l s g l o g n n + a

Este resultado se conoce como " l e y d e l logaritmo i terado" debid5 a

que en e l l a aparece u n a i t e r a c i j n íogaritmo.

' Este resultado e s un refinamiento de l a ley fuerte de los gran-

des números de E . 3 o r e l ( e n 1909), de l a c u a l ya se h i z o mención.

E n t r e e l r e s u l t a d 3 de E . Bore1 y el de K h i n t c h i n e , hubo un gran

número de esfuerzos intermedios, t o d s s el los f u e r t e s :

Con pkobabilldad uno:

. _ _

42

Hansdxf f (1913) : 1/2+E) s = O ( n I I1

Hardy-Littlewood (1914) : S n = O(,/. log n) ,

'n Steinhaus ( 1 9 2 2 ) : L i m sup - < 1, n c o J2n log n

Khintchine (1923) : Sn = O(Jn log log n ) ,

n S Khintchine (1924) : l i m sup = 1 ,

n e 0 9 & n lag log n

donde O ( n ) quiere d e c i r : O ( n ) / n O y O(n) qu iere d e c i r que l a

suces ión {O( n) /n) O0 e s acotada. n= l

E l reisultado de Xhintchine da una in formaci jn p r e c i s a en cuanto

a la probable amplitud de l a o s c i l a c i ó n de

l i z a c i j n d e l experimento y tam'bién se puede-enunciar de l a s i g u i e n t e

'n para cada p o s i b l e rea - I

manera :

Teorema 1.

i) Con probabi l idad 1 a l o más un número f i n i t o de eventos

ocurren, donde e s un número p o s i t i v o mayDr que 1 dado

de antemano.

ii) Chon probabi l idad 1 un número i n f i n i t o de even to s

43

ocurren, donde es un número p o s i t i v o menor que 1 dad9

de antemano.

Este teorema se i l u s t r a en l a s Figuras 1 y 2, l a s cua les se han

obtenido al simular volados de unaimoneda no sesgada ( i . e . que t i ene

pmbabi l idad .5 de c a e r c a r a ) . Para cada número n = 1,2, ... se

ha puesto l a ordenada

los puntos (n,aL/2n log Log n ) donde a es un f a c t o r que se i n t r o -

a s n y ].as campanas s e han obtenido graf icand3

duce con e l o b j e t o de r e d u c i r Ila e s c a l a de l a s ordenadas.

Para = 1 .5 : l a Figura l ( a ) 'c=>ntiene 4 real izac- iones de 1000

voladDs cada una y l a Figura i(b) cont iene 4 r e a l i z a c i o n e s de

10,000 volados,cada una.

Para = .5: l a Figura 2 ( a ) contikne' 4 r e a l i z a c i o n e s de 1000

volados cada una y l a Figura 2(b) cont iene 4 r e a l i z a c i o n e s de

10,000 volados cada una.

Pero >nuevamente surgen preguntas r e l a t i v a s a:

La informaci jn respec to a l a 'frecuenc'ia de ocasiones en que un

jugador en p a r t i c u l a r se encuentra' ganando. La i n f x m a c i j n respec to

a la frecuencia con que un jÚgador que e s t á ganando, empieza a perder,

etc .

'

E n e s t a d i r e c c d j n nos encontdamos c=>n las famosas leyes d e l arco-

Teorema 2 . ( F e i - l e r ) La probabil idad de que has ta e incluyenda

l a 2n-&sima jugada, e l Ú l t i m D empate ocurra e n l a jugada 2k está

44

I

4 A a

46

Üada p ~ r

donde

= O] i . e . l a probabil idad de empafe en P Z Y = PES2y

2v-ésima jugada.

Corolar io 3 .

I) a ( 2 k , 2 n ) = a(2n-Tk,2n) , 1 L a ( 2 k , 2 n ) = - ~ ( 2 k , 2 n ) = C 2 2 ) k : k < z , p3 * k:k>$

i , e . con prooabilidad 1/2

t e d e l juego, s i n importar qué durac i jn tenga e l misma ( i . e . para

no ocurre ningún empate en l a segunda pay

cualquier n dada de antemano).

I

1

47

Usando l a fórmula de S t i r l i n g se demuestra q u e

y para t f i j o can 0 e t c 1 y n suficientemente grande,

2 n ( * ) . . . . . a(2k,2n) fi: - arc sen,/t

ketn

Un ejemplo de este hecho tomado d e l l i b r o de F e l l e r : "An Introduction

t a P r o b a b i l i t y Theory and i t s Applications"(Vo1. I ) , es e l s iguiente :

SupDnga que cada uno de 100 jugadores se embarca en una sucesión de

jugadas a razón de una por segundo durante todo un a ñ o , en cada suce-

s i ó n , las jugadas on independientes entre sí y e n cada jugada se pue-

de ganar un punt3 con probabil idad 1/2 y perder un punto con proba-

b i l i d a d 1/2.

Entonces, aprDximadamente 10 de e l l o s t i e n e n su Último empate

antes de que el noveno d í a haya kerminado y , ya sea que vayan ganando

o perdiendo, permanecen e n esa s i t u a c i ó n has ta e l f i n a l d e l ana. A-

proximadkmente 5 de l o s 100 tendrán su Último empate durante l o s dos

y un cuarto primeros d í a s , y aprDximadamente para 1 de los 100 e l Ú l -

tima empate o c u r r i r á durante las primeras 2 h x a s 10 minutos.

c

Teorema 4. La probabil idad de que e n e l i n t e r v a l o de O a 2n

e l jugador permanezca un promedio k/n d e l tiempo ganando, es

cr(2k,2n).

CDyolario 5 . Por ( * ) la pgobabilidad de que --- a l o I@& un prome-

dio t de tiempo 'e l jugador pe rma n e zca ganando t i e n d e a :

2 - arc sendt , cuando 11400 a

"Contrariamente a l a opini6n p p u l a r , es más probable que, e n un

juego prolongado de puntos, un:) de l o s jugadores permanezca p r á c t i c a -

mente todo e l tliempo en venta ja y el o t r o perdiend3".

A t ravés de esta sección :;e ha d e s c r i t o e l desarro l lo h i s t j r i c o

de los prihcipalles problemas de l a teorga de p n b a b i l i d a d , los cuales

más tarde serán t ra tados , cuando se cuente con técnicas m6s refinadas

para anal ipar los .

49

L.

' 3 &. 3 .

4.

5 . 6 .

7 ,

8 -

9.

entonces l i a n p(An) = p ( P j . n+m

SI {A 3" ca tal que A c~ c . . . c z ~ c~ c... Y n n = l 1 2 n n-tl

Denhestre pow i n d u c c i ó n i i i "regla de mul t ip l i cac i6n" i . e , para

cualquier eneada A L r A 2 , ,, . . ,A de event3s se t i e n e n

10. i k r r i u e s t r e q u e s i A,B son Ü3.s eventos independientes e n t 5 n c e s

C A y B t A' y B, AC y Be respectivamente.también son i n d e -

pendientes, entonces A y 8 A' y B, AC y B~ respect iva-

m e n t e también s 3 n independientes.

50

11. Sea (S,m,P) u n e s p a c i o de probabil idad y sea H E d t a l que

P ( H ) > O . Definase l a terria ( H , 3 , Q ) por medio de

3 = f A n H:A

s e c c i c n e s de elementos de con H ; y Q : a + [ O , l ] d e f i n i d a

p3r Q ( A C H ) = P ( A \ H ) para todo P i n H E z . Demuestre que la ter-

na (H,a,Q) es u n espacio de probqbilidad.

, es d e c i r , 8 es la f a m i l i a de tDdas las inter-

CAPITVLO IP

MET'ODOS DE M E D I C I O N

1. EL CONCEPTO MATEMATIC0 DE MEDIDA

E l s e r humatlo, a l e n t r a r e n contac to c 3 n e l mundo real, c l a s i f i -

c a los o b j e t o s q u e encueritra e n él. de acuerdo a c r i t e r i o s muy var ia-

dos. Uno de e l l o s e s e l de "tamafi=>". E s t a idea de "tamañoqr permite

comparar d i s t i n t o s objetos y de ahí s u r g e n l o s conceptos de "mayr,r

que", "menor que". U n a vez q u e el hombre supera e s t a etapa de sim-

ple comparaci6n, empieza a pregunzarse: ¿qué tanto e s m á s grande u n

o b j e t o que otro? o ¿qué tanto es más ch ico? De aquí surge la necesk

dad de "medir " , e s d e c i r , de ponderar de c i e r t a manera e 1 tamañ3 de

los ob je tos . No se i n t e n t a d a r a q u í una descr ipción c k t a l l a ü a de

cómo esta necesidad d i Ó lugar a l a c reac ión de medidas de peso, volu -

m e n , d i s t a n c i a , conteo, . e t c . , s ino más bien se t r a t a de d i s c u t i r e l

concepto matemático de medida. ¿Qué propiedades intuit ivamente de-

s e a h l e c , debe s a t i s f a c e r cualquier sistema que pretenda c u a n t i f i z x

de c i e r t a manera e l "tamaño" de los o b j e t o s ? .

Primeramente', los valores que as igne e s t e sistema a l "tamaño"

deben s e r no negativos y , claramente, si un o b j e t o se diviUe en va-

rias p a r t e s , l a suma de las medidas'que e1 'sistema escogido a s i g n e a . cada una de e l l a s debe ser igual a l a medida a s i g c a d a a l o b j e t o t o -

52

t a l . Dado que, en l a p r á c t i c a , un o b j e t o sÓl=> puede d i v i d i r s e en ün

número f i n i t o de p a r t e s , mediante el experimento ya d e s c r i t o , Única-

m e n t e s e r í a pos ib le comprobar l a llamada "adi t iv idad f i n i t a " de l a

medida en cuestión ( i . e . l a suma de las medidas de u n número f i n i t o

de p a r t e s e s igual a l a medida d e l t o t a l ) . S i n embargo, como l a ma-

temst ica maneja e n t e s a b s t r a c t o s , g e n e r a l i z a ' p a r a e l l o s l o comprDba-

do e n e l nunc33 r e a l , saponiendo que, aún s i un o b j e t o pudiera subdi-

v i d i r s e en un número numeraSle de p a r t e s , l a suma de l a s medidas de

e l l a s s e g u i r í a siendo igual a l a medida d e l t o t a l . ( i . e . l a medida

es a -adi t iva . ) Es to motiva l a s iguiente d e f i n i c i j n a b s t r a c t a de me-

d i d a :

B f i n i c i j n 1. una f u n c i ó n ¡l. def in ida sobre una 0-álgebra 8~

de conjuntos q u e toms va lores en [ D , o r , J ( e s t o e s , e n 13s r e a l e s fi3

negativos u n i j n e l or,) e s una MEDIDA s i e s 0 - a d i t i v a , o s e a , s i 00

para toda sucesión a j e n a ( A i n A j = 9 para cualesquiera

i f j ) de elementos de 6L

a3

n-1 n = l

En e s t e l i b r o se emplearán en genera l medidas 0 - f i n i t a s , o s e a ,

medidas que s a t i s f a c e n l a s iguiente propiedad: Ex is te una sucesión

a jena de elementos de ix t a l q u e u B n = ! n= 1 . . n = l

para todz n.

Comparando l a d e f i n i c i ó n de medida csn l a dada e n e l c a p í t u l o I

para l a f u n c i ó n probabil idad de q u e habla e l modelo de K3lmogsr3v,

se ve que la probabilidad no e s más q u e u n a medida muy e s p e c i a l ya

q u e , no sólo e s 0 - f i n i t a , s ino además s u s v a l o r e s se h a l l a n compren-

d i d s s s 6 l o en [O,lJ. E s t o hace evidente l a lmportante r e l a c i ó n que

e x i s t e entre l a t e o r l a de la nieciifla y l a probabil idad. ~e hecho, el

desarro113 de e s t a últ ima se h a l l a íntimamente l igado a l desarro113

de l a primera y e s por e s o q u e e l propósi to d e l presente c a p í t u l 3 e s

e1 de e s t a b l e c e r , expl íc i tamente y c s n base a l ineamientos h i s t ó r i -

cos , l a re lac ión entre ambos.

2. EL MODELO C L A S I C O DE E S P A C I O DE PROBABILIDAD Y LA MEDIDA DZ

CONTAR.

S i n duda alguna, l a primera "medida" conocida y manejada por e l

hombre e s l a que se conoce, e n términos matemáticos modernos, como

l a "medida de contar" . En e f e c t o , ¿qué medida más simple puede idear -

se s i n o aquél la que asigne a cada o b j e t o o conglomerado de o b j e t o s

s u 'In6mero" de par tes o de e l e m e n t D s " u n i t a r i o s " ? S i n embargo, a pg

c a r d e . l a aparente simplicidad de es ta medida, un poco de r e f l e x i j n

al respec to conduce inmediatamente a l a c 3 n c l u s i Ó n de que, l a elabo-

r a c i ó n de l a misma debió de haberles costado c i e n t o s de años de e s - .

I .

fuerzo a nuestros antepasados. En e f e c t o , v a r i o s conceptos matemst&

54

cos básicDs y nada obvios o simples e s t á n involucradDs en e l proceso

de "contar" . Una buena dcscr ipc i6n de e s t o s conceptos y de cómo,

tal vez , fueron descubiertos por e1 hombre, e s l a dada por A ; Frago-

so e n l o que sigue:

" E s probable que junto con los p r i n c i p i o s de l a c u l t u r a humana

haya surgido en e l hombre l a necesidad de conocer cuándo doc

conjuntos o más t ienen e l i n i s m 3 número de elementos. E s p r 9 -

bable también q u e a l mismo tiempo haya tenido l a necesidad de

comunicar e s t e concocimient3. Asimismo, e s probable q u e para

reso lver e s t o s problemas e l hombre s i g u i e r a a l p r i n c i p i o e l

mismo procedimiento q u e a l a fecha sigueil los niños o l a s c3-

munidades cnyas c u l t u r a s permanecen e n estado pr imi t ivo ; e s t e

procedimiento c o n s i s t e en aparear los elementos de d D s conju;

t o s has ta terminar con l o s elementos de uno de ellos. S i lss

elementos de ambos conjuntos se terminan simultáneamente, se

dice entonces, que ambos conjuntos t i e n e n e l mismo número de

elementos: e n caso c o n t r a r i o , se d ice que a q u e l conjunto c u -

yos elementos se ag3taron primero t i ene menos elementos que

e l otro .

Veremos u n poco más a d e l a n t e , que l o q u e real izamos para

contar nosotros 13s n 3 d i f i e r e e n gran cosa de

l o que r e a l i z a n los niños y 13s s a l v a j e s . Para e l l o , ana l i ce -

mos con nuestro lenguaje e s e proces:, de apareamiento a l que

55

nos hem2s r e f e r i d o .

Supongamos p u e s , q u e u n s a l v a j e acepta cambiar p e p i t a s de

oro por canicas de c31ores , y que para e l l o e s t á dispuesto a

dar una pepita de oro por cada c a n i c a y se l e d i c e que un CDG

junto A de c a n i c a s t i e n e e l m i s m r , , número de elementos que

s u conjunto B de pepi tas de oro. E l sa l -va je entonces i r á

tomando una canica y una pepi ta de oro e i r á separándolss de

los conjuntos A y B h a s t a que se terminen los elementos

de a l g u n 3 de l o s dos c ~ n j u n t o s . E n e s t e proceso, nunca t o m s -

rá dos canicas o más por una p e p i t a de o r o , ya q u e , provervial -

mente l o s s a l v a j e s son muy honestos , Asimismo, nunca tomars

dos pepi tas 3 m á s p3r una c a n i c a , ya que, también proverbial -

m e n t e , l o s s a l v a j e s son muy c e l o s g s de s u s derechos. Ahora

b i e n , s i a l tomar l a Última p e p i t a toma también l a Última ca-

n i c a , entonces e l s a l v a j e aceptar6 e l t r a t a - y a q u e , evidente-

mente para él, ha r e c i b i d o t a n t a s c a n i c a s c g m 9 p e p i t a s de o r o

entregó; esto e s , 61 e s t á de acuerdo e n que l o s conjuntos A

y B t i e n e n e l mismo número de e lenentgs .

Analicemos ahora l o que e l s a l v a j e ha hecho. Ei t e n í a 60s

conjuntos A y B , entonces escDgi6 , a r b i t r a r i a m e n t e , para

cada pepita a f A una y si510 una c a n i c a . b c ~ , a l a q u e pode -

mes denotar pQr f ( a ) EB. R e a l i Z j e s t e p r x e s o e n t a l fqrna

que, por un lado ninguna pepi ta se quedó s i n s u can ica a s o c i a

5 ú

d a , por o t r o , pepi tas d i f e r e n t e s tuvieron como asociados cani -

c a s d i f e r e n t e s , y p s r Último, ninguna canica r e s u l t 5 no ser

l a asociada de alguna pepita . ik r e a l i z a r s e todo l o a n t e r i o r ,

entonces 61 aceptará q u e A y B ten ían e l mismo número de

elementos.

Resulta c l a r o , pues, que seqún e l s a l v a j e (que representa

a nuestra i n t u i c i j n ) , l o s conjuntos A y B t ienen e l micxo

número de elementos siempre y cuando 61 pueda e s t a b l e c e r una

f u n c i ó n 1 a 1 y sobre e n t r e A y B. A nosotros también n3s

parece razonable e l c r i t e r i o d e l s a l v a j e y 1s aceptamos corn3

de f i n i c i6n.

I k f i n i c i Ó n 10. Sean A y B dos con juntos , entonces A

y B t ienen e l mismo número de elementos s i e x i s t e a l menos

una f u n c i ó n de A e n B que sea uno a uno y sobre y e s t o se

denotará por # ( A ) = #(B) . Es importante que observemos, q u e h a s t a ahora l o Úíl ico que

..

kmcs precisado e s l a semántica de "dos conjuntos A y B ,

t ienen e l mismo número de elementos". Nótese pues que no he-

mos uicho cuántos elementos t i e n e n ; e s t o e s , a ú n no aclaramos

l o que s i g n i f i c a Itel número de elementos q u e t i ene u n conjun-

to" . E s t o parece un tanto paradÓjic9 ; es precisamente por

e l l o q u e ins i s t imos e n que e l l e c t o r r e f l e x i o n e sDbre es te . .

hecho, ya q u e de comprenderlo no tendrá d i f i c u l t a d e n enten-

. %

I

57

der el concepto de "nÚmerr> cardina l " .

Notemos q u e el hecho cie que dos conjuntos tengan e l misin3

núaero de element3s, por ejemplo 5 , e s ü l g 3 sugerido por l a

rea l idad y que e s t a sugerencia e s t á i m p l í c i t a e n l a p o s i b i l i -

dad de aparear l o s eleinentos de e s t o s d 3 s conjuntos. Para

ello n 3 nos fue necesar io , en abso luto , tener idea alguna res --

p e c t 9 del número 5 . A s í pues, el concepto "mismo número de

elementcs" e s pr imit ivo y b a s t a con 61 para r e a l i z a r muchos

p r m e s o s , particularmente aquél los q u e son t i p i c o s de l a s c3-

l ec t iv idades humanas poco s o f i s t i c a d a s . I n c l u s o , aunque e s t o

r e s u l t e un tanto aventurado, e s dado suponer q u e muchas espe-

c i e s de animales manejen este concepto inst int ivamente .

Como consecuencia de l a repet ida r e a l i z a c i ó n de e s t e procg

so y quizá por su incomodidad o por l a imposibil idad de rea1.i

z a r l o cuando los 23s conjuntos q u e se deseaba aparear eran ds

c i e r t o t i p o o f ís icamente se encontraban muy separados, fue

que e l hombre cayó e n l a necesidad de a b s t r a e r l o ; , e s t o e s , de

descubrir l o i n t r í n s e c o y e s e n c i a l en él. Fue entonces cuan-

do se inventó e l concepto de número. A 1 a b s t r a e r e i concept3

se descubr ió ycie l o e s e n c i a l e n 61 no es que sean precisamen-

t e l o s elenient3s de dos conjuntos l o s q u e se aparean, s i n 3 e l

hecho de q u e e s t o s elementos ;puedan ser apareados e n t r e s í ! ,

y que s i e s t o sucede con dos con juntos , entonces sucederá c 3 n

58

cualquier o t x 3 conjunto que tenga e l m i s n i 3 número de elemen-

t o s que e l l 3 s . E s ent3nces cuando se inventan los nÚmer3s

cardina les : 0 , 1 t 2 t 3 t 4 t . . . t n t . . . , y se encuentra e l orden en-

t r e ellos, intuido a t ravés de l a s d i s t i n t a s numerosidades de

los conjuntos. con l o s números ya ordenados, e l hombre dispo -

ne de un conjunto N que funciDna como una e s p e c i e de metro,

C O L e l cü31 p z Z e rncdir la numerDuidad de o t r o cc>njunto, o

cons ta tar p3r medi3 de él, que un conjunto dado tiene- e l mis-

mo número d e elementos que o t r 3 . "

Se ha inventado pues l a primera medida, b á s i c a e n l a c r e a c i j n o

d e f i n i c i ó n de todas l a s o t r a s empleudas hoy e n día por e l hombre.

E l hecho de que l a f u n c i ó n p def in ida e n u n a 0-álgebra 0- de sub-

conjuntos de u n conjunto f i n i t 3 n por: p ( A ) = cardinal idad de A ,

con A E a es una medida (según la ' 3e f in ic i6n ,$/l,l) puede compro-

barse fáci lmente.

Ahsra bien ¿qué papel juega e s t a medida e n e l terrens de l a pro -

habilidad? E s in teresante nDtar, que también dentro de e s t e camp3,

é s t a f u e precisamente l a primera medida usada. En e f e c t a , recorde-.

mos q u e e1 pr imer modelo de espac io de probabi l idad, planteado par

Laplace , def ine l a probabil idad de un evento A como:

número de c a s 3 s favorables a A t o t a l de casos p o s i b l e s . P,(A) =

59

Es d e c i r , dec t ro del m x ? ? e l . o clásico de espacio de prZtabi l i2zd l ; r -

dida que permite d e f i n i r a l a f u n c i ó n de probabi l idad d e l misino e s ,

nada menos que la medida de contar . E s t e hecho permite entender s o r

qué los primeros " p r o b a b i l i s t a s " se preocupaban t a n t o por encontrar

el número de elementos de c i e r t o s conjuntos ? a r t i c u l a r e s . En c í e c t 3 ,

todo l o qu? se conace actualmente como " C á l c u l D Comhinatsrio" n a c i 6

de manipul3ciones ingeniosas hechas c o n e l p r 5 p a s i t o de " c D n t t a r " 2s

una manera abreviada, y , aunque en l o s a l b s r e s de l a probabil-idad

este c á l c u l o estuvo íntimamente l i g a d o a ella, h a s t a e l grado de ser

considerados ambos como una misma d i s c i p l i n a matemática, e n e l momeE

t o e n que o t r a s medidas más elaboradas complementaron a l a c a r d i n a l i -

dad, cada una de e s t a s dicciplinL1.s cobró importancia propia. En sec I

ciones p o s t e r i o r e s se e jempli f icarán con más d e t a i l e e s t o s cainbios.

a l e a t o r i a X def inida en un espacio be probabi l idad (Q,n,P) e s

6 O

d i s c r e t a si e x i s t e un subconjunto B c S R a l o m&s numerable ( i . e .

de cardinalidad menr3r o igi-ial q u e N ) t a l q u e : O

l o que quiere d e c i r q u e l a masa de la f u n c i j n de d i s t r i b u c i ó n F se

h a l l a concentrada en un subconjunto de 1R a l o más numerable, o

q u e , l a var iab le a l e a t o r i a X toma con probabil idad p o s i t i v a a l o

más un nÚ.mero numerable de valores .

3 . 1 . E S P A C I O DE PROBABILIDAD F I N I T O .

- ~ - - - Definj-ción 1 . U n espacio de probabil idad f i n i t o e s una terna

(Q,&,P), donde fi es un conjunto f i n i t o n 3 v a c í o , a e s BB álgebra

de todos los subconjuntos de y P e s una f u n c i ó n r e a l definida

sobre ct con las propiedades s i g u i e n t e s :

i) P ( A ) 20 para todo elemento . A E Q L .

ii) P ( n ) = 1.

iii) Si A1,As ,..., A son elementos de a mutuamente a jenos , n

n entonces P ( O A J = c P ( A . ) .

j = l j = i 3

. Nótese:

1. E n e l modelo c l á s i c a , donde I ? ( - ) asigna i g u a l prababil idad

' 61

a cada uno de los eventos elementales ( i . e . , s i N = p(n)

caso e s p e c i a l de e s t e espac io de probabil idad y se recuerda

que l a expresión "un elemento de una poblacion f i n i t a fi es

seleccionado a l azar" quiere d e c i r que s e t r a b a j a con e l m 3 -

d e l o c l á s i c o .

2. Toda v a r i a b l e a l e a t o r i a def in ida sobre un espac io de probabi

l idad f i n i t o t i e n e d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a .

3.2. EL OPERADOR ESPERANZA EN E L ESPACIO DE PROBABILIDAD F I N I T O .

Como se d i j 9 en l a subsección 1 . 1 . 5 , e l v a l o r esperado de una

v a r i a b l e a l q a t o r i a X es el promedio pooderado de sus v a l o r e s con

sus r e s p e c t j v a s probabil idades de okurrencia , l o que e n e l contexto

de espacio de prpbabilidad f i n i t o se traduce como:

I ,

y e n e l caso de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n un espacio de

probabil idad ( Q P Q , P ) con d i s t r i b u b i ó n d i s c r e t a , su# v a l o r esperado

es:

62

siempre y cuando a l menos una de las series

sea f i n i t a . (vGe*se l a Sección 1v.2.1 Cuando.

se d i c e q u e e l va lor esperado de X existe y es f i n i t o .

propos ic i jn 1.

i) Dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n e l espaci=, de

probabil idad f i n i t o ( a , a , P ) y una f u n c i ó n s, r e a l de

Gariable r e a l , e l va lor esperado o esperanza matemática

de l a , v a r i a b l e a l e a t o r i a @ (X) es:

ii) Dado un v e c t o r a l e a t o r i o (Xl,3#--.,Xn) def inido e n el

espacio de probabil idad f i n i t o (n,a,P) y una f u n c i ó n $

definida e n Rn con v a l o r e s r e a l e s , entonces 'el va lor es-

perado o esperanza rnatem6'tica de. l a v a r i a b l e a l e a t o r i a

~(xl,oe*.Ixn) es:

63

& m o s t r a c i ó n .

i> La primera igualdad e s simplemente l a d e f i n i c i ó n de l a

esperanza matemática de @ ( X ) . Para dem=>strar l a igua l -

dad

$x yP[(b(X) = y ] = ( X ( w ) ) P C h ' t ] PER WEn

primero observe que l a f a m i l i a de even to s [(b( X) = y] YER

forma una p a r t i c i s n de n, e s d e c i r ,

entonces

u [ @ ( X ) = y ] = (7 Y s i Y f Y ' YER

por l o que:

y coma para cualquier w E [@(XI = Y J se t i ene $ ( X ( r u ) ) =y ,$' entonces

P e r o la fami l ia de eventos [ X = x J también f o r m a una

p a r t i c i ó n de n por bo que se t i e n e :

ii) Demostración de l a igualdad d e l segundo y Ú i t i m o términos

= Q ; por i o q u e tonces A n~~ = #y u A Y Y € W

Y

La demostración de l a o t r a igualdad se d e j a eoyo e j e r c i c i o ,

Proposición 2 o Sean XrlX2, o , X n v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i

das sobre un mismo espacio de probabil idad f i n i t o

b , a l , a 2 , * . . , a n

( n , & , P ) y sean

p6meros r e a l e s , entonces:

66

Demostración. Es ta demostraci6n c o n s i s t e en a p l i c a r l a Propo-

s i c i ó n 1, (ii) I a i caso e n que $ e s l a función

$ ( X ~ , , X ~ ~ ..., xn) = r a . x . + b . j=1 3 3

n

j = i = a . E ( X . ) + b . CI

3 3

Para e l ca so de dos v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes , X , Y

d e f i n i d a s sobre un mismo e spac io de probabi l idad f i n i t o ( a , & , p ) es

natura l esperar que s e cumpla l a s i g u i e n t e propos ic ión :

Proposición 3 . S i X y Y son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s indepen-

Ya que, de acuerdo a l a i n t e r - d i e n t e s entonces E ( = ) = E ( X ) E ( Y ) e

pretac ión f recuenc ia l , e l v a l o r esperado de una v a r i a b l e a l e a t o r i a y

l a probabi l idad de un evento se comportan de l a misma manera y , en

ca so de que A y B sean d o s . e v e n t o s independientes se t i e n e que

67

La demostración de e s t a prDposiciÓn e s : Por l a Proposición 1 ,

y por.ser X y Y independientes

Las t r e s propos ic iones a n t e r i o r e s también son v á l i d a s e n un gra -

do de mayor general idad para e l ca so de v a r i a b l e s y v e c t o r e s a lea to-

r i o s con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a b a j o las s ; iguieutes r e s t r i c c i o n e s :

En l a Proposición 1 , ( i) : que e l v a l o r esperado de @ ( X ) ex i s -

t a y s e a f i n i t o ,

en l a Proposición 1 , ( i i) : que e l v a l o r esperado de

$(X1,X2, 0 * ,Xn) e x i s t a y sea f i n i t o ,

en l a Proposición 2 : que l o s r e s p e c t i v o s v a l o r e s esperados de

x X , . . o e x i s t a n y sean f i n i t o s , y 1' 2 n

en l a Proposición 3 : que los respeckivos v a l o r e s esperados de

X, Y e x i s t a n y sean f i n i t o s ,

3 . 3 . EL MODELO DE LOS "ENSAYOS DE BERNOULLI" .

Recdrdcse que a l r e s o l v e r e l problema de l o s t r e s puntos , Pas-

c a l m p l e a b a ya e l concepto de va lor esperado. Es te problema reque-

r í a l a consideración de jugadas s u c e s i v a s en l a s que, desde e l punto

Üe v i s t a .3.e un solo jugador, e l r e su l t ado de cada una de e l l a s r e p r e

sentaba & x i t o o f raca so .

de e s te problema, James Bernou l l i i n t rodu jo un modelo conocido como

"ensayos de Bernoul l i" que permite d e s c r i b i r experimentos a l e a t o r i o s

E n e l p lanteamiento de l a so luc ión general

'que c o n s i s t e n en r e p e t i c i o n e s de un mismo experimento, interesando

en cada uno de e l l o s observar l a ocdrrencia (6xi tD) o no ocurrencia

( f r a c a s o ) de un determinado evento . E l modelo sugerido por Bernoulli

e s :

y la función de probabi l idad P e s t á d e f i n i d a por:

para cada OJ E O, donde p ind i ca l a probabi l idad de "éxi to"

( O < p ~ l ) . En l o s i g u i e n t e q es e l n h e r o q = 1-p, e s d e c i r , l a

probabi l idad de "fracaso" . Cada elemento de n representa un r e s u l t a d o p o s i b l e a l r e p e t i r

e l experimento n v e c e s . Por ejemplo e l e-lemento ( e , e , f , . ..., e)

representa e l r é su l t ado é x i t o ocurre e n l a primera reper i c ión del ex

perimento, é x i t o ocurre en l a segunda r e p e r i c i ó n ,

l a t e rcera , e t c .

l i d a c e s a los elementos de

b i l i s t i c o r e f l e j e e l hecho experimental de "independencia" e n t r e

cua ie syu ie xa r e p e t i c i o n e s , entonces l a s probabi 1 idade s as ignadas de-

f raca so ocurre en

Hay v a r i a s formas e n que pueden a s ignar se probabi-

Q , pero s i s e desea que e l modelo proba-

ben s e r las d e f i n i d a s e n ( a ) .

( n , Q , P ) a s í d e f i n i d o e s llamado "e spac io de n ensayos d e l

t i p o Bernoul l i" . Puede pensarse , s i n perdida de genera l idad , e n un' ejemplo con-

c r e t o de ensayas d e l t i p o Bernou l l i como l o son l o s lanzamientos de

una moneda que t i e n e probabi l idad p ( O ( p ( 1 )

que '8éx i to" ocurre s i cae cara y que "fracaso'locurre s i cae c ruz .

de caer c a r a ; se d i r á I

;

Sean, para i = i , 2 , . . . , n , X = 1 s i e l i-ésimo ianzamient3 re i

= O s i el i-ésimo lanzamiento r e s u l t a c ruz . 'i c u l t a en cara y

es l a v a r i a b l e a l e a t o r i a de- 'i E s d e c i r , para i = 1 , 2 , . . . , n ,

f i n i d a por

= e ( i) Xi(w) = 1 s i

donde

Obsérvese que:

1. P I X i = l l = p = l - P I X i = O ' J para toda i = 1,2,...,n; e s de-

c i r , l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s X ,X # r . . , X n tienen l a misma d i s t r i -

bución, ya que cada una toma e l v a l o r 1 con probabil idad p -y e l va

l o r O con probabilidad q. Se dexqostrará e s t o para i = 2 : denótg

1 2

se por Dk e l evento

[X , = l , X +X +X +...+Xi ='k 'J , k = OOl,...,n-l. 1 3 4

Entonces se t i e n e que

n - 1

son a j e n o s e n t r e s í0 n - l y además l o s eventos D D # o ~ o t D o' 1

ri- 1

por o t r o lado e l evento consiste de todas l a s palabras de long&

tud n formadas con (k+l) e 's y (n-k-1) f s, teniendo por seguz

da l e t r a una e ,

%

n- 1 e s d e c i r , se tienen n-1 lugares apar te de l segundo y hay ( k j

maneras de apartbr k lugares de losi n-1 e n donde pueden ponerse

l a s r e s t a n t e s e ' s ,

2. Las v a r i a b l e s a l e a t o r i a s X X , . . , X n son independientes 1’ 2

e n t r e s í .

= p[XL = i I P [ X , = O]. La demostración general s igue los mismos l i n e a -

se demuestra e n seguida que P[x,= iIx2 =O] =

mientos.

=i:ótese por Ck a l evento

para k = 0,1,. . . , n - 2 . Se tiene que

[ x , = i , ~ ~ r : O , X 3 4 +X +...+ X n ’ = k 1

n-2

son a j e n o s entre s í coIclt e I C n-2 y q u e los eventos

n-2 .’. P[X,,= L X , = O ] = x P ( C k ) =

k=O

Se ha construido aquí un espacio de probabi l idad ( Q , & P ) don-

de. e s t á n def in idas v a r i a b l e s . a l e a t o r i a s X I , % , . . . ,Xn con l a misma

. función de d i s t r i b u c i ó n F:

O s i x'0

1-p s i O < x t l

1 s i l c x .

F ( X ) =

Como se d i j o en e l Cap í tu lo I , Itolmogorov e n s u teorema de con-

s i s t e n c i a (Teurema 1.1*4,3) da un método genera l para que, dada una

s e c3nstruya un espa

c i o de probabi l idad ( Q , & P ) donde e s t 6 g e f i n i d a una s u c e s i j n de va -

r i a b l e s a l e a t o r i a s

s u c e s i j n de funciones de d i s t r i b u c i ó n { F s \ Z l -

{Xs)s=, mutuamente independientes y t a l e s que

sea l a d i s t r i b u c i ó n de X para toda s = 1,2,. .. . -- A s i e s que, FS S

-- en i o s u c e s i v o , e n lugar r e a l i z a r expl íc i tamente & c o n s t r u c c i j n

d e l e spac io probabi l idad correspondiente a (F,\S=l sólo se hará - - re fe renc ia 5 dicho teorema.

Supjngase ahora que de Méré gana o p ierde un peso s i cae cara o

cruz respectjvamente a l l anzarse l a monedg. Para i = 1828...,n

representa l a ganancia de de Méré en 'i

= 2 X . - 1 , e s d e c i r , yi 1 sean

e l i-ésimo lqnzamiento. E s f á c i l ve2 que l a s v a r i a b l e s Y , Y 8i0.,Y *l. 2 n

t i enen l a misma d i s t r i b u c i ó n y que son inüependientes en t re s í . E n

general se t i ene e l :

- Lema 1. Sean X, Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i d a s e n un espa-

cia de probabi l idad (n,a,P) con func iones de d i s t r i b u c i ó n d i s c re ta s

respectivamente y sean f ( - ) g(=) func iones r e a l e s con v a l o r e s rea

l e s .

73

a) S i X y Y t i enen l a misma d i s t r i b u c i ó n , entonces f ( X ) '

y f(Y) también t ienen l a misma d i s t r i b u c i ó n .

b) S i X y Y son independientes entonces f ( X ) y g ( Y )

son independientes .

Demostracijn - de ( a ) . Hay que demostrar que para todo número

r e a l z s e t i e n e :

P [ f ( X ) = 2 3 = P[f(Y) =q.

W-j son -1 Primero o b d r v e s e que los even to s I[f (X) - -21 Y t X € f

i g u a l e s

por tener X y Y l a misma d i s t r i b u c i ó n ,

Demostración de (b) . Par t', t ' de números r e a l e s :

E s s u f i c i e n t e con demostrar que para todo

P [ f ( x ) = t , g ( Y ) = t'"l = P [ f ( X ) = t = j P [ g ( Y ) = t 6 1 :

74

= P [ f ( X ) = t ?P fg (Y) = t ' ] . c]

r ep resen ta l a ganancia ne t a de de Méré a l +yn s = Y +Y +... n 1 2

cabo de los primeros n lanzamientos. Su ganancia ne ta esperada es:

E ( S n ) = E ( Y +Y +...+ Y,) = E ( Y l ) + E ( Y 2 ) + ...+ E ( Y n ) 1 2

y por e l hecho de que l a s Y t i e n e n l a misma d i s t r i b u c i ó n , E ( S n ) =

. = nE(Y1) = n ( i - p - i - ( 1 - p ) ) = n(2p-1) .

1 Si p = - 2 ' E(S,) = O o sea que, en un juego j u s t o (es d e c i r ,

cuando l a proSabi l idad de ganar o perder u n peso es l a misma), s i n

importar e l número de jugadas, de Méré e s p e r a siempre s a l i r empatado.

1 E n cambi3 s i ' p > y , E ( S ) > O , e s d e c i r , cuand3 e l jueg3 es favDrable

n

a de Méré entonces para cua lqu ie r número de jugadas 61 espe ra que s u

ganancia neta sea p o s i t i v a .

00 den3tará una sute-

-- s i Ó n de v a r i a b l e s a l e a t o r i a s mutuamente indeDendientes, d e f i n i d a s - 5 3 -

-- bre u n m i . s m 3 espac io e probab i l idad __c- con l a misma funcisr;

- de d i s t r i b u c i ó n F:

-- E n l o s p á r r a f o s 3.4, 3 .5 , 3.8 y 3.9, { S A s = , --

( n , ( X P )

O si x ~ 0

1-p si O c x c i csn O < p < l

1 si ' l e x .

7 5

es d e c i r , toma va lores i y O con probabi l idades p y q = 1-p

r e spec tivamente.

3.4 . LA DISTRIBUCION B I N O N I A L .

para i < i < . . . < i - 1 2 n La 'variable a l e a t o r i a 5 : 5 , +s i +...+; i

1 2 n

t i e n e una d i s t r i b u c i ó n llamada binomial con parámetros ( n , p ) , inde-

pendientemente de l a eneada de i - e s que se tome, corn3 se ve a c o n t i -

nuación :

k = 0 8 1 , ..., n

(donde q = 1-p) ya que e l evento C c = k ] e s l a u n i j n a j e n a de las

sólo los valores O d. 1 con l a r e s t r i c c i j n de que cy +a! +...e =k. 1 2 n

Por l a independencia de l a s F l a probabil idad de cada uno de e s - 'i j

n de e l l o s . k n-k tos últimos eventos es p q y hay exactamente .(k)

S i se consideran sólo 5 , , 5 , , . . . 5 pueden i n t e r p r e t a r s e csmo n

l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e l modelo de ensayos de B e r n o u l l i y e n e s t e

caso X = 5,+c2+...+<

n ensayos.

representa e l t o t a l de é x i t o s e n l o s primeros n

Supóngase que de Méré r e a l i z a dos juegos consecut ivos , e l prime-

' ro 'de n ensayos y e l segundo de m. Si se denotan pDr ' X y Y e l

: t o t a l de é x i t o s en e l primero y segundo juegos respectivamente enton- .

' T

76

ces , debido a la independencia e x i s t e n t e de ensayo a ensayo, x y y

son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes con d i s t r i b u c i o n e s binomiales

( n , p ) respectivamente, donde p i n d i c a l a probabi l idad de é x i t o en

cada ensayo. La d iv is ión e n dos juegos e s a r t i f i c i a l puesto que para

de Méré, los n+m ensayos constituyen un juego y v i s t o de e s t a manz-

r a X+Y t i e n e una d i s t r i b u c i ó n binomial con .parsmetros (n+m,p) , o

e n o t r a s palabras:

Proposición 1. Sean X y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independlen-

con d i s t r i b u - . tes def in idas sobre un e s p a c i 3 de probabi l idad (Q,a,P)

cienes binomiales de parámetros ( n , p ) y (m,p) respectivamente.

Entonces l a var iab le a l e a t o r i a X+Y t i e n e d i s t r i b u c i j n binomial con

parámetrDs ( n + m , p ) .

Demostracijn 1. Sean n , m y k e n t e r o s no negativos con k

k<n+m. Del hecho de i d e n t i f i c a r e l c o e f i c i e n t e de t e n :

n+m (i+t) n(i+t)m = (i+t)

r e s u l t a l a s iguiente identidad:

'k u [ X = j , Y = k-jl j =O

Nótese q u e [X+Y = k! = donde l a unión e s de

0 .

eventos ajenos por 1 3 q u e :

77

k

j =O P [ x + Y = ~ ] = ~ P [ x = j , Y = k - j í

y de l a i n d e p e n d e n c i a de X y Y se s i g u e que :

k

j =O P[X+Y=kJ = P[X= j ] P [ Y = k - j ] =

D e m o s t r a c i j n 2 . Sean X = 5 +5 +...+; n y Y = gn+l+...+5n+m 1 2

. e n t o n c e s X+Y = +...+Cn+, que , como ya se s a b e , t i e n e d i s t r i b u c i ó n '1

b i n o m i a l (n+m,p) . 9

S i e l valor esperado de é x i t o e n cada e n s a y o es p . e n t o n c e s e n

n e n s a y o s e l número esperado de é x i t o s es np. E s t o se e n u n c i a for-

m a l m e n t e e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n :

P r o p o s i c i ó n 2 . Sl, X es var iab le a l e a t o r i a c o n d i s t r i b u c i j n

b i n o m i a l ( n , p ) e n t o n c e s E ( X ) = np,

D e m o s t r a c i j n 1. Sea X = 9 += ; . . . + S n .' E n t o n c e s : '1 ' 2

7 8.

I

.&mostraci6n 2.

3.5. LA LEY DEBIL DE L O S GRANDES N I D E R O S ,

Nota. Es t a subsección se d e s a r r a l l a en e l con tex to de un espa-

cio de probabi l idad f i n i t 9 , aunque c 3 m 3 se v e r á mas t a r d e ( v e r e l

Cap í tu lo V) , los r e s u l t a d o s s 3 n vál idDs e n g e n e r a l ,

Una medida de concentración de l a d i s t r i b u c i ó n de una c i e r t a va-

r iable a l e a t o r i a Z a l r ededor de l a media ~ ( z ) es l a v a r i a n z a , de-

2 notada por o ( Z ) y q u e . se de f ine por:

2 2 Definición 1. Q ( z ) = E ( ( z - E ( z ) ) 1.

Algunas propiedades de l a va r i anza se enunciar! e n l a s i g u i e n t e

P ropos ic i jn 2 . para Z y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independien-

tes, y a , b, c números reales tenemos:

2 2 2 2 2

2 2 2

1, Q (aZ+bY+c) = a o ( Z ) + b U ( Y ) . . _

2 . Q ( Z ) 7 E ( Z )-(E(Z))

Demostracijn.

2 2 1. o (ay+bZ+c) = E (aZ+bY+c-E(aZ+bY+c)) =

2 = E [a(Z-E(Z))+b(Y-E(Y))J =

2 2 = E a ( Z - E ( Z ) ) +2abE((Z-E(Z)) ( Y - E ( Y ) ) ) +

2 2 + E b ( Y - E ( Y ) ) .

Observe que, por e l Lema 3.3,1, por l a Proposic ión 3 . 2 , 3 y por la pro .

- piedad l i n e a l del operador E se obt iene e l r e s u l t a d o . 3

Se t ra ta rá e l concepto de var ianza más ampliamente e n CapítulDs

p o s t e r i o r e s .

misma en l a demostración de l a l e y d é b i l de los grandes n Ú m e r D s .

gún se d i j o e n l a subsección 1 . 2 . 1 , e s t a ley se debe a J. Bernoul l i

pero su demDstraciÓn se s i m p l i f i c a notablemente mediante e l uso de l a

Por l o pr3nto sjlo se emplearán l a s propiedades de la

Se-

des igualdad de Tchebychev:

Lema> 3 ( m s i g u a l d a d de Tchebychev) . t o r i a de f in ida sobre ( n , a , ~ ) . para todo

Sea U una v a r i a b l e a lea-

número r e a l € > O se t iene

que :

1 L P C p J I L E I 5 - z E ( U e )

dD'nde \u\ es l a v a r i a b l e a l e a t o r i a v a l o r a b s o l u t o de .U. E s d e c i r ,

l a v a r i a b l e a l e a t o r i a \U! :Q ->R e s t á d e f i n i d a por

80

para cada 3 ~ 2 .

Demostración. Sea B = [\U\ ~ € 1 y obsérvese q u e

i> BUB' = Q ,

2 - ii) para todcr w E B se t i e n e que

c

Por l o que

Teorema 4 (Ley débi l de l o s grandes números). Sea [S n n = l l a

para sucesión de var iab les a l e a t o r i a s def inidas por

n = 1,2,.-.

s* = <,+ . . .+5 n

Para todo número r e a l 4 > O se t iene que:

81

por l a propiedad l i n e a l del operador esperanza,

n e .

y por l a Propos ic i jn 2 se sigue q u e ,

n 2 Po CT ( 5 , ) = 2 2 - -

n e - 2 2

n e

y de aquí se obtiene e l resul tado deseado tomando e l l í m i t e cuando

3 - 6 . DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.

Dada una poblac i jn de M mujeres y N-M hombres, se desea hacer

una encuesta. Se e l i g e n uno a uno n de sus miembros c o n reemplaza-

r n i e n t 3 ( i . e . una permna puede ser e l e g i d a v a r i a s v e c e s ) .

de mujeres en l a muestra t i e n e una d i s t r i b u c i ó n binomial

que se e s t á hablando d e l t o t a l de é x i t o s e n

El t o t a l

( n , M / N ) ya

n r e p e t i c i o n e s de

82

B e r n o u l l i , donde l a probabilidad de é x i t o en cada r e p e t i c i ó n e s M,”.

E n l a p r á c t i c a , generalmente e l muestre0 se hace s i n reemplazamienta

(i.e. se excluye e l caso de que una persona sea e l e g i d a más de una

v e z ) . En e s t e c a s o , e l t o t a l de mujeres en l a muestra t i e n e una d i s -

t r i b u c i ó n llamada hipergeométrica con parámetros (N,M,n). Su expre-

s i ó n matemática y sus propiedades se d i s c u t i r á n a continuación.

B f í n a s e :

r 1 s i l a j -ésima persona es mujer

para

y sea

’ = ( o s i i a j -és ima persona e s hombre,

j = 1,2, ..., n ,

s = x1+3+ ... +Xn- n

La pregunta: ¿Cu61 e s l a probabil idad de que e n una. muestra de

tamaño n haya exactamente k m u j e r e s ? , corresponde a c a l c u l a r

P [ S n = k ] .

servaciones : las v a r i a b l e s

que, el hecho de e l e g i r una persona de l a población dada, hace v a r i a r

t a n t o dicha poblac i jn como e l númsro de mujeres u hombres en ella,

por l o que, l a probabilidad condic ional v a r í a ; por ejemplo:

Antes de q u e se cDnteste conviene hacer l a s s i g u i e n t e s ob-

X , X ,..., X n no son independientes, ya 1 2

. .

83

por o t r o lado, l a s X l # 5 , . . . # X n forman un proceso e s t a c i o n a r i o

ya que l a probabilidad de elegir una mujer e n cualquier extracción es

'. N La demostración de este hecho se hace por inducción cuyo primeg

paso es e l s i g u l e n t e :

+ % . M A E. N N-1 N N - 1 N

En cuanto a l a P[Sn=k] observe que e l evento [Sn=kJ ocurre

'cuando ocurre alguno de los eventos ajenos de la forma:

Además

dichos eventos e8 igual a la probabil idaü de:

es f á c i l ver que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de

E n t o t a l se tienen (E) de ellos, por l o cua l :

M+k+l N-M N-M-n+k+f Iyk+l N-k N-n+l

0 . .

E M A (k) N N-1

84

expresión conocida como l a densidad hipergeométrica.

igualdad i l u s t r a e l hecho i n t u i t i v o de que e legir a todos' de golpe

E s t a Última

W

e l e g i r l o s uno por uno conduce a l mismo resul tado.

Finalmente observe que:

r 7 1 k-1 n-k-1

1 - - M 1.- 0 . .

1-- N 1 -- 1-- k-1 1-- N Pisn =k] = 1

l o cua l dice que si M y N-M son grandes respec to de 'in'i

o sea que, e n este c a s o , desde e l pupto de v i s t a p r á c t i c o e s l o mismo

hacer e l muedstreo con reemplazamiento o s i n reemplazamiento.

e jemplo,

P o r

N es e l número de habi tantes de China y se. toma una

muestfa de tamaño 10,000.

S i se desea'conocer e l número esperqdo de mujeres en, ' la muestra

como se hace a c o n t i - tomada habrd de c a l c u l a r s e l a esperanza de s*

nuación:

85

ahora hágase x = . j+l

por l a identidad 2 . 4 , ( 1 )

sei encontrará primero e l valor de 'n Para c a l c u l a r la varianza de

sust$tuyendo x = j+2

que por ia identidad 2 .4 , ( 1 )

n ( n - l L . ~

) = M(M->) N (N-1) N n-2 - - M J M - 1 ) ( N 7 2

( n)

86

2 Para obtener cr ( S n ) se usa l a igualdad s i g u i e n t e :

3 . 7 ESPERANZA CONDICIONAL.

Como se d i j o e n la subseccibn I . 1 = 5 , l a esperanza de una var ia -

b l e a l e a t o r i a X dada l a o c u r r e m i a de un evento A , e s e l promedio

ponderado de s u s valores con s u s respec t ivas probabil idades condicio-

nadas por l a ocurrencia de A , l o q u e , en el contexto de e s p x i o de I

probabilidad f i n i t o se traduce como:

= o si P(A) = O

y en caso de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n un espacio de pro

babi l idad ( Q , Q , P ) con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a , s u v a l o r esperado dada

la ocurrencia de un evento A e s :

= o si p ( A ) = O

siempre y cuando al menos una de las series

87

sea f i n i t a .

Cuando

se dice que e l v a l o r esperado de X dada l a ocurrencia d e l evento

A , o l a esperanza de X dado A existe y es f i n i t o .

proposición 1.

i) Dada una v a r i a b l e a l e a t o r i a X def in ida e n e l espacio de

probabilidad f i n i t o ( 0 , k P ) y una F u n c i ó n 9 real de v a r i a b l e real,

e l v a l o r esperado de l a var iab le a l e a t o r i a #(X) condicionada por l a

ocurrencia d e l evento A, o esperanza condic ional de @ ( X ) dado A

es:

ii) Dado un v e c t o r a l e a t o r i o ~ ( X 1 , y 2 , . . . ,Xn) -def in ido e n el

espac;o de probabilidad f i n i t o ( , f i , d , P ) y una f u n c i ó n #I def inida

88

en Rn con v a l o r e s r e a l e s , l a esperanza condic iona l de l a v a r i a b l e

a l e a t o r i a g ( X l , . . . , X n ) dado e l evento A e s :

La demostración de e s t a propos ic ión e s completamente análoga a

l a de l a Proposición 3 . 2 # 1 .

Con ayuda de e s t a proposic ión se deniostrará l a propiedad l i n e a l

d e l operador esp6ranza E( \A) .

Proposición 2 . Sean X1 , X 2 , . . , X n v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i -

da s sobre un mismo e spac io de probabi l idad f i n i t o (n,a,P). y sean b ,

a l , a 2 , ..., a números r e a l e s entonces : n

n Demostración. Sea # ( x l , x Z t . . , , x ) = a . x . + b . entonces , por

n j=i 3 3

l a proposic ión 1 :

89

Una propiedad c e n t r a l d e l operador "esperanza condic ional" que

re l ac iona e s t e concepto con e l de esperanza se enuncia en l a s igu ien-

te :

Proposición 3 . Sean X y Z v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d e f i n i d a s

sobre e l e spac io (de probabi l idad f i n i t o ( n , a , P ) entonces :

Demostración.

= x Tí P [ Z = z ~ P [ x = x \ Z = z ' j =

90

Las t r e s propos ic iones a n t e r i o r e s también son v á l i d a s en un gra-

d.0 de m a y x general idad para e l caso de v a r i a b l e s y v e c t o r e s ale'ato-

r i o s con d i s t r i b u c i ó n d i s c r e t a b a j o l a s s i g u i e n t e s r e s t r i c c i o n e s :

E n l a Proposición 1 , ( i ) : que l a esperanza de $(X) dado A

e x i s t a y sea f i n i t a ,

e n l a Proposición 1 , (ii) : que l a esperanza de # ( X i , X 2 , . . . ,Xn)

dado A e x i s t a y sea f i n i t a ,

en l a Proposición 2 : que l a s r e s p e c t i v a s esperanzas de

X i , % , . . . , X n dado A e x i s t a n y sean f i n i -

t a s , y '

en l a Proposición 3 : que e l v a l o r e'sperado de X e x i s t a y sea

f i n i t o .

3 . 8 . D I STR'IBUC ION GEOMETRICA.

Sea p = m i n t n c N :5 +s +...+: n = 11 e s d e c i r fi e s e l número 1 2 de r e p e t i c i o n e s nece sar i a s para que aparezca un 1 por primera vez

y e s c l a r o que los Únicos v a l o r e s que toma con probabi l idad p o s i t i v a

s 3 n n = 1,2, . . . , s iendo s u s probabi l idades r e s p e c t i v a s :

91

y por l a independencia e i d é n t i c a d i s t r i b u c i ó n de l a s v a r i a b l e s 5 1 :

n-1 n-1 PCp = n ] = ( p [ g 1 = O J ) P[< n = i ] = q p

expresión que se conoce como l a d i s t r i b u c i ó n geométrica con parsmetro

P *

. S i ahora se desea conocer e l número esperado de r e p e t i c i o n e s

para que aparezca un 1 por primera v e z , . s ó l o e s necesar io c a l c u l a r

x=G x=o

a3 A h x a b i e n , como O<q < 1 por h i p ó t e s i s , l a s e r i e “qx con-

x=o verge uniformemente, por l o que! e x i s t e una vecindad de

c u a l 292 también converge uniformemente, y además en dicha ve-

O para l a

x=o d,s

cindad (cuy9 rad io e s 1) s e t i e n e que:

por 1 , ~ que:

S i p = 1/2, e l número esperado de r e p e t i c i o n e s para. obtener un

92-

1 por primera vez e s uno y a medida que p aumenta, e s t e número e s -

perado disminuye. P o r o t r o l a b , a medida que p disminuye, e l va-

l o r esperado aumenta.

Se c a l c u l a ahora e l segundo momento de l a varj-able a l e a t o r i a fi

x=o x= 1

pero se ve que:

y como l a s e r i e

converge uni formemen t e para C) e q < 1 ,

Luego :

2 . De aquí e l c á l c u l o de l a Q ( 6 ) es inmediato:

para dar una in terpre tac ión de este dlt imo resul tado , se hablard

un poco de predico ión .

Dada una medición Z de un c i e r t o experimento a l e a t o r i o , supjn-

gase que se quiere predecir e l va lor que tomar5 l a v a r i a b l e a l e a t o r i a

2.

d i f e r e n c i a existente entre e l v a l x predicho y el v a l o r que tome

s i se denota por t a l p r e d i c t o r d e l v a l o r de Z , entonces se tiene:

Teniendo como c r i t e r i o de e r r o r l a esperanza d e l cuadrado de l a

- 2 ,

2 E ( Z - t ) 2 = E{(Z-E(z))+(E(z)-t:)) =

2 y l a pérdida esperada usando este predic tor es Q ( Z ) .

2 Aplicarido e s t o a l o a n t e r i o r , de la igualdad Q (p) = E ( P -9i2 P

- 9. 0 se puede qoncluir que, para \;alores de p próximos a uno, - 2 P

este predic tor es muy bueno.

I 3 . 9 . DI STRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA. I

Sea y = m i n I n E aJ:t 1 +...+o n = r \ es decir y es e l número de

r e p e t i c i o n e s necesar ias para obtener por primera-vez r ; unos. Por

i o que

94

x-1 r x-I: para x = r , r + l , r + 2 , . . . P[y =x] = ( r - l ) P q

= o para x # r,r+i,r+2,. . . .

E s t a d is t r ibuc ión se llama l a d i s t r i b u c i ó n binomial negativa con

parsmetros ( r , p ) . Claramente, esta1 d i s t r i b u c i ó n también puede s e r

d e s c r i t a de l a s iguiente manera:

Observe que e l c o e f i c i e n t e binomial .considera Únicamente

r e p e t i c i o n e s ya que l a Última forzosamente ha de r e s u l t a r en uno.

r+k-1

De l a independencia e idént ica d i s t t i b u c i ó n de l a s 2's r e s u l t a

c l a r o que, para cualquier s enterd no negat ivo, la v a r i a b l e a l e a t o - .

r i a

.

t i e n e también una d is t r ibuc ión binomial negativa con parsmetros

( r , p ) . ' A ú n más, l a v a r i a b l e a1.eatoiri.a

donde y e s la def inida anteriormehte, tiene una d i s t r i b u c i ó n bino-

miai negativa con parámetros (rl,p) com3 se demuestra a continua-

c i ó n ..

95

Deinostración. Para k entero no negativo t a l que k 2 r e l

evento [ y = k J = [<l+..o+gier ptara i = O l l , 2 , . . . l k - l - ~ +...ek = r] '=1

depende solamente de l a información de mientras que para Y , l r n . . l 'k'

i entero no negativo e l evento

[ m i n i m E N: <k+l+- '+ck+m = rl\ = j+rll

depende de l a información de ck+.l l<k+2t. . . por l o que ambos eventos

son i n d e p e n d i e n t e s . Además por 3.a i d é n t i c a d i s t r i b u c i ó n de las 4;I-s

el Último evento méncionado t iene la misma' probabil idad .que

e n t once S :

k=r

- = pEmin[m E N: ?;,+. . +!mrr13 = j+rl] -

L

96

S i se e s t á lanzando una moneda: e l tiempo de espera para que re-

s u l t e 10 vece s cara por primera vez e s i g u a l a l tiempo de espera nece

s a r i o ppra que primero r e s u l t e n 7 c a m s y luego aparezcan 3 yás, l o

que sug iere e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :

p r o p o s i c i ó n 1. S i y' y 'y son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s indepen- 1

dien,tes con función de d i s t r i b u c i ó n binomial negat iva de parámetros

( r , p ) y ( r , , p ) respect ivamente, entonces y+yl s e d i s t r i b u y e b i n 2

mia l negat iya cob parámetros ( r + r l , p ) . La demostración de e s t a pro-

pos i c ión se hará e n l a sección 5 d e l Capí tu lo V.

Claramente ,la d i s t r i b u c i ó n geométrica con parámetro p e s i gua l

a l a d i s t r i p u c i ó n binomial negat iva con parsmetros ( 1 , p ) por l o que

para c a l c u l a r la, esperanza y l a va r i anza de una v a r i a b l e a l e a t o r i a X

c3n d i s t r i b u c i ó n binomial negat iva de pardmetros ( r , p ) se puede

peed,, de l a s i c p i e r t e manera.

Sean Y Y , . . . , Y v a y i a h l e s a l e a t o r i a s independientes c3n l a 1' 2 r

misma d i s t r i b u c i j n geométrica (p ) d e f i n i d a s sobre un e spac io de p r s

habilidad ( n , a , , P ) . (Ver e l Teorema 1.1.4,3.) Entonces , s e sabe que

x = Y +Y +.... +Yr

t r o s (r,p) y por las Proposic iones 3 . 2 , 2 y 3.5'2

t i e n e una d i c t r ibuc iód . b inomial negat iva de paráme- 1 2

r -rq E ( X ) = E('..) :i= 1 = i=l E ( Y i ) , - P

97

3,lO. DISTRIBUCION DE POISSON.

Una var iab le aleator‘ ia X t i ene una d i s t r i b u c i j n de Poisson con

pardmetro X ( X > O) , s i su f u n c i ó n de densidad .es l a s i g u i e n t e :

si x = 0,1,2,... AX -x e - X!

O si x # 0 , i , 2 , . . c f (.x). =

Un-o de los contextos e n que e s t a d i s t r i b u c i ó n aparece e s e l si-

guiente : considérese una sucesi6n de eventos a l e a t o r i o s que ocurren

en e l tiempo, o dicho de o t r a manera, un sistema en e l que se están

produciend3 cambios a medida que transcurre e l tiempo. Suphgase que

e s t e sistema cumple con l a s s i g u i e n t e s propiedades:

1. Los cambios son instantáneos , o s e a , pueden representarse

. como puntos en e l e j e d e l tienpo.

2 . El sistema permanece homogéneo e n e l tiempo, i.e. , l a s

condiciones en l a s quie se encuentra permanecen constantes.

Ademds si dos i n t e r v a l o s de tiempo son a j e n o s , Los cam-

b i o s que ocurran e n uno de ellcbs son independientes de los

que ocurran e n el. o t r o , es d e c i r , l o s cambios pasados no

98

in f luyen e n los cambios f u t u r o s .

3 . La prDbabilidad de que ocurran dos o m6s cambios e n un i n -

t e rva lo pequeño de tiempo( e s desprec iab le .

E l problema que se p lantea e s e l de encontrar l a d i s t r i b u c i ó n

d e l nfmero de cambios que ocurren en un c i e r t o i n t e r v a l o u n i t a r i o

l o , 11 d i v i d i d o en "nq8 sub in terva lo s de l ong i tud -. n Llámese " f r a c 6

so" cuando en un sub in terva lo dad3 no ocurre ningún cambio y "éxi to"

a l caso contrar io . Sea p l a probabi l idad de l16xitol1 e n un c i e r t o

sub in terva lo .

l o s i g u i e n t e :

1

n

.De l a s propiedades d e l s i s tema e n c u e s t i ó n s e concluye

de é x i t o e s l a misma para todos l o s

sub in te rva lo s ya que todos t i enen l a misma longi tud , i / n .

i) ,La probabi l idad pn

ii) bomo l o s sub in terva lo s son a j e n o s , l o s e v e n t D s que en

e l l o s ocurren son independientes y e s t o qu iere d e c i r que

se pueden in t e rpre tar como ensayos üe Bernou l l i .

iii) De (ii ! y de l a propiedad ( 3 ) d e l s i s tema se s igue que l a

probabi l idad de obtener exactamente "k" é x i t o s en e l i n t e r

v a l o u n i t a r i o e s t á dada por :

cuando. n-goo.

Por o t ro lado , s i ahora cada sub in terva lo se d i v i d e a l a mitad:

se tiene que:

o , como es pos ib le demostrar de 'manera anbloga: . .

es d e c i r , l a sucesión

t o converge e n los r e a l e s extenclidos.

L n p n j z , es monótona creciente, y por l o tan-

Luego, hay dos posibi l idades :

"Pn 4 * pero e s t o querría dec i r que e n cualquier s u b i n -

t e r v a l o , por pequeño q u e fuera, hay mds de un cambio, lo

que contradice l a propiedad

aosamente.

npn+ Xcoo; es d e c i r , para

( 3 ) . d e l sistema; entonces for-

"n'' suficientemente grande

npn RI X I o b i e n , de donde se s igue que:

S i e n lugar d e l i n t e r v a l o u n i t a r i o se hubiera considerado un i n -

t e r v a l o de Longitud t , repi t iendo un proceso análogo a l a n t e r i o r se

t e r v a l o es :

1 O0

k: para k = 0 , 1 , 2 , - - - -

Otro de l o s contextos en q u e aparece e s t a d i s t r i b u c i ó n es a l es-

tudiar d i s t r i b u c i D n e c de puntos en e l espacio ( e s t r e l l a s e n e l univer . '

so, b a c t e r i a s e n una c a j a de Pet : r i , etc . ) donde se hacen las siguien-

tes suposiciones:

2') La prababil idad de encontrar k puntos e n una región espe-

c í f i c a d e l espacio depende de su área o volumen y no de s u forma.

Además, si dos regiones son a j e n a s entre sí, e l número de puntos ob-

servados e n una de e l l a s es independiente d e l número observado en l a

o t r a .

3 ' ) La probabil idad de quae en una reg ión de área o volumen muy

pequeño se observen das o más puntos es despreciable .

E n e s t e casp l a deducción de l a probabil idad de que e n una re -

g i6n dada haya un c i e r t o nÚmerr> de Puntos se hace de manera análoga a

l a d e l caso a n t e r i o r , sustituyendo é l e j e de l tiempo por una represell

t a c i ó n d e l espacio y l a longitud de un i n t e r v a l o de tiempo por e l

área o volumen de una regi6n.

E n un contexto temporal de Poisson, e l número promedio de cam-

b i o s en una unidad de tiempo dado es e l parámetro A, l o que se ve

formalmente como s igue:

1 o1

E l segundo momento de l a varj-able a l e a t o r i a X con d i s t r i b u c i ó n

de Poisson e s :

2 = A +x.

~e aquí se s igue q u e :

Supjngase que pueden considerarse como sistemas de Poisson l a s -

l legadas de aviones a l o s aeropuertos i n t e r n a c i o n a l e s d e l p a í s e n t r e

l a s 21:OO y l a s 24:OO h r s . , es d e c i r , q u e e n este lapso e n cada aero-

puerto se s a t i s f a c e n l a s propieda.des 1 , 2 y 3 ya mencionadas. Además

supóngase que no hay i n t e r a c c i ó n entre un3 y o t m aeropuerto.

aviones a i j-ésimo 5 S i e n promedio e n un minuto dado l l e g a n

aeropuerto, se sabe que e l número de aviones q u e l l egan en e s e tiempo

Desde a dicho aeropuerto se dis t r ibuye Poisson c 3 n parámetro

punto de v i s t a de l a Direcc ión General de Aeropuertos puede s e r imp-

tante considerar el número g1oba:L d e - l l e g a d a s a todos. los aeropuertos

in ternac ionales en un minuto dada entre l a s 21:OO y l a s 24:OO h r s .

102

Intuit ivamente puede considerarse que e s t a s l l egadas constituyen tam-

bién un sistema de Poisson por l o que se sugiere que t ienen una d i s -

t r i b u c i ó n de Poisson con parámetro

parsmetro se i n t e r p r e t a como e l promedio de cambios e n una unidad de

tiempo dado.

A , , ya que como se viÓ, e s t e 3 j

Esto se formaliza en l a s i g u i e n t e :

Proposicisn 1. Sean X y Y v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independien-

t e s con d i s t r i b u c i ó n de Poisson de parsmetros A, y 1, respec t iva-

mente. Entonces X+Y t i e n e una d i s t r i b u c i ó n de Poisson con parsme-

- Demostración. Para k = 0,1.,2,. .

k

j =O pCx+y=k] = ~ [ X = j , E : = k - j ] =

103

PROBLEMAS PARA EL CAPITULO I1

1. En todo espacio de probabilidad finito (n, a, P) se tiene que para todo A E ~ : P (A) =ugAP ({ u)) donde el slmbolo { w) denota al

evento elemental que consta del sólo elemento w de fl.

, 2 * Sea X variable aleatoria con distribución discreta y con espe-

ranza finita, demuestre que: a 2 (X) = E ( X 2 ) - (E (X) ) 2 .

3 . Sean XI, X2 ,..., Xn variables aleatorias independientes con distribuci6n discreta y valor esperado finito, demuestre por

b números reales se tiene an inducción que para al, a2, ..., que :

n n a 2 ( C ai Xi + b) = C a2

i=l i=l a2(Xi) i

4 . Demuestre que para toda j = 1,2,. .., la variable aleatoria X j

definida en la subsección 3.6 es tal que P P

este resultado para demostrar que E(Sn) = n (= ) .

= 9 = - j N y use M

5. Si X es variable aleatoria con aistribución hipergeométrica de

parametros (N,M,n) demuestre que la varianza de X es:

n-1 1 (1 - -1. a2(x) = n - (i - - M N N N - 1

Observe que si el tamaño de la muestra n es muy pequeño respecto

al tamaño de la población N entonces la varianza de X es aproxí-

madamente igual a la varianza de una variable aleatoria con dis - tribucfón binomial de parametros (n,z) M .

104

6. Demuestre la proposición 3).7,1.

7. Se tienen dos urnas, la # 1 contiene 3 bolas blancas y S rojas

y la # 2 contiene 4 bolas blancas y 2 rojas.

i) Supdngase que se lanzará una moneda no sesgada y si cae cara

(sol), se procederá a extraer al azar sucesivamente y sin

reemplazamiento, tres bolas de la urna # 1 (se proceders a I

extraer al azar sucesivamente y sin reemplazamiento tres

bolas de la urna # 2 ) . ¿Cuál es el número esperado de bolas

blancas que se obtendrán?

ii) Como en (i) pero ahora si cae cara (sol), se procederá a

extraer al azar sucesivamente con reemplazamiento bolas blan - cas de la urna # 1 (se procederá a extraer al azgr sucesiva-

mente con reemplazamiento - bolas blancas de la urna # 2 ) .

¿Cuál es el número esperado de bolas blancas que se obtendrán - en las primeras cinco extracciones?

¿Cuál es el número esperado de extracciones para que aparezca

una hola blanca pqg primera vez?,

I C

¿para que aparezcan tres bolas blancas por primera vez?

Demuestre por induccidn que-si XI, X2, ..., X son variables

aleatorias independientes y con distribución de Poisson de

parametros X2, ...... ,A. respectivamente,entonces,xi+X2+..+Xn tiene distribución de Poisson cbn parametro Xl+A2+ ...+ An. Calcule la varianza de X1+X2+..+Xn y calcule la función de distribución

& /%variable aleatoria max (Xi, XZ, . . . ,X 1.

n 8.

.n

n

105.

9. Supóngase que Ud. va a efectuar lanzamientos simultáneos de una

moneda roja y una moneda negra siendo ambas no sesgadas. Se mo -

verá sobre un sistema coordenado de la siguiente manera: si apa -

r

rece cara en la moneda roja (negra) se moverá una unidad a la

derecha (hacia arriba), si apariece sol en la moneda roja (negra)

se quedará en su posición actual (se quedará en su posición ac-

tual). si su posición inicial es ( e o ) , sea (X,Y) su posición al cabo de los primeros 5 lanzamientos.

i) ¿Cuál es la distribución del vector aleatorio (X,Y) ?

ii) ¿Cuál es la distribuc56n de la variable aleatoria X?

¿y la de X + Y?

10. ¿Cómo escogerla a una persona al azar usando una moneda no ses-

gada :

i) de un grupo de 2 personas,

ii) de un grupo de 4 personas,

iii) de un grupo de 5 personas?

106

SOLUCION D E PROBLEMAS

CAPITULO I .

2. Si A, B c a y G B entonces B = A V (B - A ) donde A y B - A

son ajenos entre s í . P o r e l p o s t u l a d o (iii) tenemos que P ( 3 ) = P(A) + P ( B - A ) :=+ P ( B - A) = P ( B ) - P ( A ) .

5. S i A, BE: 0, y A C B entonces B = A u (B - A) y P(B)=P(A)+P(B-A)

p e r o los dos sumandos d e l a d e r e c h a no son n e g a t i v o s

=> P(A) < P ( B ) .

Obsérvese que A f \ B C B y por ( 2 ) P ( B - (A n B ) ) = P ( B ) - P ( A n B ) = > P ( A O B ) = P(A u (B - A ) ) = P(A) + P ( B - A) = P(A) + P ( B - ( A f \ B ) = P(A) + P ( B ) - P ( A A B) 0

7 . S e a { A , ) ~ c a t a l que ~i.> ~~3 ... > A . y n n = l

00

por B = An- A p a r a n 5 tAn=A. D e f í n a s e la sucesión { Bn) n = l n = l n = 1 , 2 , ....... Clarament,e se t iene que

~ 3 ~ 7 . . . ~ B = B ~ + ~ ’ . . . y 03

B~ = @ p o r i o que n=1 1 2 n

i i m P(An) - s P ( A ) = l i m P ( B n ) = O donde l a ú l t i m a i g u a l d a d n *a es consecuencia de l a p r o p o s i c i ó n I.1.1,2.

107

00

= A. Defínase la sucesión de eventos { B n l w n=l U An n=l

por Bn = A - An para n=1,2,. .., entonces claramente se tiene que Bl> B23 . .31Bn> Bn+lCI . . . y fi Bn = fl por lo

n=l que P(A) - lim P(An) =:' lim 'P(Bn)= O donde la,'última

igualdad es consecuenc:ta de la proposición I.1.1,2. n+m n+w

9. Demostración por induc:ciÓn. Sea n entero positivo 3 2 .

Supongamos que para k P 2,3,...#n - 1, tenemos:

. O t la aserción es válida para cualquier número entero positivo n > 2.

108

SOLUCION DE PROBL@L1$ - CAPITULO I1

1.

2 + -

Se puede expresar a l evento A por medio de l a unión a jena de eventos

e lementales

A = u { u ) , y por e l postu1ad.o ( i i i ) de l a función de probabil idad P se

s i g u e que: WEA

Por d e f i n i c i ó n u2(x) = E{x2- E(x)l2 .*. u2(X)= E(X2-2(E(X)) .X+(E(X)) 2,

y aplicando l a propiedad l i n e a l d e l operador E se t i e n e que

a2(X)= E(X2) - 2E(X) E(X) + (E(&))2 = E(X2) - (E(X))2 .

3 . Por l a proposic ión (3.4,2) se sabe que

Supóngase que la aseveración d e l problema es v á l i d a para n

trese qoe v a l e para n + 1.

2 y demués-

E s d e c i r ,

n 'L = 6 (Z -I- an+1X,,> donde Z = 1 aiXi + b y por

1 1

i= 1 ill

l o tanto Z y Xn+l son v a r i a b l e s a l e a t o r i a s independientes . * . por l a

proposic ión (3.4,2) se s igue que, U ~ ( Z + A ~ + ~ X ~ + ~ ) = u2 (Z)+an+lu2(Xn+l)

n

i= 1 y por l a h i p ó t e s i s de inducción se t i e n e que o ~ ( z ) = 2 aZu2(X.)

1 n+l

i=l i- 1 n.+l a2 02(xi>. ... u2(1 aiXi + b) = afo2(Xi) + ai+l O ~ ( X ~ + ~ ) =

i l l . 1 i

1 o9

n < min (M,N-M) y j = 1 , 2 , ..., n. 4. - Se puede expresar al evento [ X j =;I j - 1

por medio de lo unión ajena de eventos U [ X j - l s sj-1 =k3

k=O

y se t i e n e que

M-k - ya que es l a probabi l idad de extraer

=k] N - j + l

a l a z a r una mujer de una poblac ión que c o n t i e n e en t o t a l N-j-t-1 personas

de las cuales M-k son mujeres

l a sub:secciÓn ( 3 . 6 ) se s a b e que, También, por lo v i c t o en

ya que l a sumatoria es l a probabi l idad de sacar por l o menos c e r o mujeres

en una muestra de tamaño j - 1 de una poblac ión de N-1

c u a l e s M-1 son mujeres .

personas de l as

Como se -ha d e f i n i d o

+ 'n s ' a x + x2 + ... n 1

M entonces E(s,) = E ( x ~ ) + E ( x ~ ) + ... 4 E(X ) = n .

n

7.

L

i/ 1. il 2.

110

i ) Sea S

. nes y X e l número de l a urna se leccionada.

Por l a proposición (3 .7 ,3 ) s e t i e n e que:

E(S3) = P E = 3 E (S31X = 1) + PfX = 21 E(S31X

e l número de bo la s blancas que s e obtienen e n ' t r e s ex t racc ig 3

La pregunta e s E(S3) = ?

2)

1 2

X = I)+ 5 E (S31X = 2) y por e l problema 4 - s e s igue que

i i ) Sea S5 e l número de bolas blancas que se obt ienen en c inco extraccio-

ne s y X e l número de l a urna se leccionada,

3 1 4 125 (5.8 ) + y (5.6' = . O . E(S5) = 5 48 - 1

Sea Y e l número esperado cle extracciones para que aparezca una bo la

blanca por primer; v e z y X i g u a l que a r r iba .

Por e l cá l cu lo d e l v a l o r esperado de una d i s t r i b u c i ó n geométrica

(ver l a subsección 3.8) s e s i g u e que,

Sea Y = max (X1,X2, ..., X 1. n a.

Los v a l o r e s que e s t a v a r i a b l e toma con probabi l idad p o s i t i v a son 0,1,2, ..... Para k = 0,1,2, ... se t i e n e que

PiYsk\ = P[h t x j 9 y como e s t o s eventos son mutuamente - - j-1

111

independientes se s i g u e que

. O . si k = O P[Y = = (Pbl = = e -An

si k - > 1 PLY = k3 = Pp( k] - P k - -c k - 3 = @Lx1 4ln - k - 3) XI

112

BIBLIOGRAF I A

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