cuatro operaciones(adición y sustracción)

Prof. Jenner Huamán Callirgos

Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades homogéneas en una sola.

ADICIÓN

A + B = S

“A” y “B” son sumandos“S” es suma o total

Axiomas de la Adición

Si a, b, c ∈ R1. ASOCIATIVA:

(a + b) + c = a + (b + c)

2. CLAUSURA

Si a, b ∈ R;entonces:

a + b ∈ R

3. CONMUTATIVA:

a + b = b + a

4. INVERSO ADITIVO:

Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y sellama inverso aditivo.

5. MODULATIVA:

Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R,luego 0 + a = a + 0 = ay 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la

adición.

6. CANCELATIVA:

Si a + c = b + c, entonces a = b.

Corolario (uniformidad)Si a = b y c = d, entonces:

a + c = b + d

Series Básicas

1. Suma de productos consecutivos

S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)

𝑆𝑆 =)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2

3

P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

𝑆𝑆 =)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 3

4

2. Suma de potencias sucesivas:

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3+. . . +𝑎𝑎𝑛𝑛 =)𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑛𝑛 − 1

𝑎𝑎 − 1

3. Suma de números triangulares:

M= 1+3+6+10+…+ )𝑛𝑛(𝑛𝑛+1

2M= 1+(1+2)+(1+2+3)+….(1+2+3+…+n)

S=)𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+2

6

4. suma de los cuadrados de los "n" primeros Números

enteros positivos

12+22+32+…n2 = )𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1

6

5. Suma de los cubos de los "n" primeros números enteros

positivos

13+23+33+…n3 = [𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)

2]2

6. Suma de los "n“ términos de una

Progresión aritmética

S = a1

+ a2

+ a3

+ ... + an

S = (𝑎𝑎1+𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛

2

También

𝑆𝑆 =[2𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑟𝑟]𝑛𝑛

2

«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

Adición en otros sistemas de numeración

Ejemplo:Calcular:123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)

Resolución

Colocando verticalmente lossumandos, considerando elorden(como el sistemadecimal eran las unidades,decenas, ........... etc)

123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)

Otro Ejemplo:

Calcular: “n” ; en:

( )8)8()8( 7650432325 =+ nnResolución

Colocando verticalmente

n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)

7 6 5 0(8)

• De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)

• Llevando a base decimal, se tiene:

5 + n = 8 → n = 3

SUSTRACCIÓNEs la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dosnúmeros enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar untercer número llamado Diferencia.

Se representa mediante el operador : «–».

Términos :

M – S = D

M : MinuendoS : Sustraendo

D : Diferencia

Propiedades

La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo, es decir:

M + S + D = 2M

Dado: , donde: a > b,se cumple que:

pqbaab =−

p + q = 9

Dado: , donde: a > cmnpcbaabc =−

Se cumple que:

n = 9m + p = 9a - c = m + 1

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

El complemento aritmético de un número positivo es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior.

Ejemplo:

CA (42) = 100 – 42 = 58

CA (228)= 1 000 – 228 = 772

CA (4 325)=10 000 – 4 325 = 5 675

En general:

CA(N) = 10K - N

K → Número de cifras de “N”

Regla Práctica: Para hallar el complemento aritmético de un número, a partir de su mayor orden se restan las cifras de 9 y a la última cifra significativa de 10; si hay ceros al final éstos permanecen en el CA.

Ejemplo:

↓019

310468

CA( ) = 895317

CA( ) = 765500

005234

019 ↓

( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=C A =

Complementos Aritméticos enOtras Bases

• C A(34(7)) = 72 – 34(7)

• C A (429(11)) = 113 – 429(11)

• C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)

Método Práctico:

En General:C A (N(B)) = )B(

K)B( N10 −

K: números de cifras de “N”

Sustracción en otros sistemas de numeración

Calcular: 432(5) – 143 (5)

Ejemplo:

Resolución

Recordando que en base5, “1” unidades de ordencualquiera es 5 unidadesdel orden del ordeninmediato inferior.

Explicación• 1ra Columna:

Como a “2” no se lee puede ser restar3, entonces lo que se hace es prestaruna base a “2”, es decir:

5 + 2 = 7→ 7 – 3 = 4

queda.

• 2da Columna:Como se prestó una base del 3,ahora será (3-1)=2: luego leprestaremos al 2 una base, esdecir:

5 + 2 = 7→ 7 – 4 = 3

queda.

• 3ra Columna:Como se prestó una base de 4,entonces ahora será (4-1)=3, ya este “3” si le puede restar 1,con lo que no es necesarioprestarle una base.

→ 3 – 1 = 2queda.

∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)

Efectuar:

4 3 1(7)2 5 2(7)

Respuesta:146(7)

Resolución

-

Aplicaciones

1. Efectuar: S = 23 + 31 + 39 + …+ 295

Resolución

Respuesta: 5565

2. Efectuar: S = 10 + 23 + 36 …

48 sumandos

Respuesta: 15144

Resolución

3. Efectuar: S = 8 + 10 + 17 + 20 + 26 + 30 + …

71 sumandos

Resolución

Respuesta: 12258

4. Efectuar: S = 3 + 12 + 27 + … + 1200

Resolución

Respuesta: 8610

5. Efectuar: S = 1 . 49 + 2 . 48 + 3 . 47 + … + 25 . 25

Resolución

Respuesta: 10725

6. Sabiendo que: , halle el valor de m+n+p

Resolución

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑛𝑛𝑚𝑚

Respuesta: 18

7.La suma de los tres términos de una sustracción es 792. Si el sustraendoes 4/9 menos del minuendo, hallar la diferencia.

Resolución

Respuesta: 176

8. Si ,halle el valor de a+b+c

Resolución

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑎𝑎(2𝑎𝑎)3) = 𝑎𝑎𝑎𝑎

Respuesta: 19

9. La suma de los tres términos de una sustracción es 9876. Si elsustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, hallael sustraendo.

a) 1646 b) 3292 c) 1664 d) 2392 e) 2496

Resolución

10. Hallar un número de tres cifras tal que su C.A. delnúmero es el triple del número.

A) 150 B) 250 C) 500 D) 625 E) 750

Resolución

a0ca 8abc b7c8 ccab 24022+ + + =( )2a.b .c

•Si :

Halle:

A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325Resolución

•Halle : ( );cba ++ si n + x =16 y

( )x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4+ + + + − =

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19

Resolución

Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términosforman una progresión aritmética:

S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)

A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645Resolución

Hallar la suma de todos los números pares de trescifras, que se pueden formar con las cifras:0; 2; 3;5; 6 y 9.A) 48990 B) 97980 C) 45760 D) 76240E) N.AResolución

Halle la suma de todos los números de la forma:

( ) ( )a a /2 b 2b

A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480E) 105480

Resolución