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Club de

Matemática EPN

Nadie nos arrebatará del paraíso que él creó

CLUB DE MATEMÁTICA EPN

ÁLGEBRA LINEAL • SEGUNDO BIMESTRE: PRUEBA NO. 1

Semestre 2015-B Alejandro Araujo

El presente es una digitalización de la Prueba No. 1 del segundo bimestre de la materia Älgebra Lineal, dictada en lacarrera de Matemática e Ingeniería Matemática de la EPN durante el semestre 2015-B. La transcripción la realizó GabrielGranda, miembro del Club de Matemática EPN.

1. Considere la aplicación lineal L definida por

L : M2×2 −→ P3[

a b

c d

]

7−→ (a + d) + (b − d)t + (a − b)t2 + (b + c)t3 .

a) Demuestre que L es un isomorfismo; es decir, pruebe que L es inyectiva.

b) Encuentre la transformación lineal inversa L−1 : P3 → M2×2.

c) Calcule la matriz asociada a L en las bases canónicas respectivas, es decir, determine A =

[L]ST

, donde, S es la base canónica de M2×2 y T = {1, t, t2, t3} es una base de P3.

d) Calcule A−1 y determine la matriz[

L−1]T

Sasociada a L−1 en las bases canónicas correspon-

dientes y pruebe que[

L−1]T

S= A−1.

2. Considere la matriz

B =

2 1 12 3 4−1 −1 −2

.

a) Calcule el polinomio característico de la matriz B; es decir, ξB(t) = det(λI − B).

b) Encuentre los valores propios de la matriz B.

c) Determine los correspondientes vectores propios de la matriz B.

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Semestre 2015-B Alejandro Araujo

El presente es una digitalización de la Prueba No. 1 del segundo bimestre de la materia Älgebra Lineal, dictada en lacarrera de Matemática e Ingeniería Matemática de la EPN durante el semestre 2015-B. La transcripción la realizó GabrielGranda, miembro del Club de Matemática EPN.

1. Considere la aplicación lineal L definida por

L : M2×2 −→ P3[

a b

c d

]

7−→ (a + d) + (b − d)t + (a − b)t2 + (b + c)t3 .

a) Demuestre que L es un isomorfismo; es decir, pruebe que L es inyectiva.

b) Encuentre la transformación lineal inversa L−1 : P3 → M2×2.

c) Calcule la matriz asociada a L en las bases canónicas respectivas, es decir, determine A =

[L]ST

, donde, S es la base canónica de M2×2 y T = {1, t, t2, t3} es una base de P3.

d) Calcule A−1 y determine la matriz[

L−1]T

Sasociada a L−1 en las bases canónicas correspon-

dientes y pruebe que[

L−1]T

S= A−1.

2. Considere la matriz

B =

2 1 12 3 4−1 −1 −2

.

a) Calcule el polinomio característico de la matriz B; es decir, ξB(t) = det(λI − B).

b) Encuentre los valores propios de la matriz B.

c) Determine los correspondientes vectores propios de la matriz B.

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El presente es una digitalización de la Prueba No. 1 del segundo bimestre de la materia Älgebra Lineal, dictada en lacarrera de Matemática e Ingeniería Matemática de la EPN durante el semestre 2015-B. La transcripción la realizó GabrielGranda, miembro del Club de Matemática EPN.

1. Considere la aplicación lineal L definida por

L : M2×2 −→ P3[

a b

c d

]

7−→ (a + d) + (b − d)t + (a − b)t2 + (b + c)t3 .

a) Demuestre que L es un isomorfismo; es decir, pruebe que L es inyectiva.

b) Encuentre la transformación lineal inversa L−1 : P3 → M2×2.

c) Calcule la matriz asociada a L en las bases canónicas respectivas, es decir, determine A =

[L]ST

, donde, S es la base canónica de M2×2 y T = {1, t, t2, t3} es una base de P3.

d) Calcule A−1 y determine la matriz[

L−1]T

Sasociada a L−1 en las bases canónicas correspon-

dientes y pruebe que[

L−1]T

S= A−1.

2. Considere la matriz

B =

2 1 12 3 4−1 −1 −2

.

a) Calcule el polinomio característico de la matriz B; es decir, ξB(t) = det(λI − B).

b) Encuentre los valores propios de la matriz B.

c) Determine los correspondientes vectores propios de la matriz B.

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1. Considere la aplicación lineal L definida por

L : M2×2 −→ P3[

a b

c d

]

7−→ (a + d) + (b − d)t + (a − b)t2 + (b + c)t3 .

a) Demuestre que L es un isomorfismo; es decir, pruebe que L es inyectiva.

b) Encuentre la transformación lineal inversa L−1 : P3 → M2×2.

c) Calcule la matriz asociada a L en las bases canónicas respectivas, es decir, determine A =

[L]ST

, donde, S es la base canónica de M2×2 y T = {1, t, t2, t3} es una base de P3.

d) Calcule A−1 y determine la matriz[

L−1]T

Sasociada a L−1 en las bases canónicas correspon-

dientes y pruebe que[

L−1]T

S= A−1.

2. Considere la matriz

B =

2 1 12 3 4−1 −1 −2

.

a) Calcule el polinomio característico de la matriz B; es decir, ξB(t) = det(λI − B).

b) Encuentre los valores propios de la matriz B.

c) Determine los correspondientes vectores propios de la matriz B.

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