cinemática en la kinesiología - introducción dr. willy h. gerber objetivos: comprender los...
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Cinemáticaen la Kinesiología -
Introducción
Dr. Willy H. Gerber
Objetivos: Comprender los conceptos de posición, velocidad, aceleración y rotación sobre la base del movimiento del cuerpo humano.
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Caminando …
Caminar lo hacemos tan automático que no nos damos cuenta la físicaque inconscientemente estamos aplicando (en teoría ya pasamos la prueba) …
Un símbolo cotidiano … Johnnie Walker (Whisky)
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Caminando …
Estudiemos primero como caminamos … luego veremos como corremos.
Al caminar solodesprendemosun pie una vezque hemos posado el otro.
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Orientación … un punto de referencia
Como en una carrera podemos definir el punto de partida y la distanciaque lleva nuestro corredor (o “caminador” por ahora).
El punto de partida lo denominamos origen
La distancia recorrida la medimos (por ejemplo) en metros o kilómetros y lapodemos indicar mediante una letra (por ejemplo x o s).
El punto de partida lo denominamos x0 y puede ser seteado en cero.
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El tiempo
La otra variable que necesitamos es el tiempo que se denota por lo general con la letra t.
x es la distancia recorrida al tiempo t lo que se indica con la “función”
x(t)
t
x
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Aquí se puso complicado!
Una función !?!?!?!?
Que no cunda el pánico!
Una función es como una “maquina”
x(t)
t
x
Ejemplo:
A los 30 segundos nuestro corredoravanzo 20 metros:
x(30 seg) = 20 metros
O sea con la función x(t) podemos indicar en todo tiempo t donde seencuentra nuestro corredor.
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Formas de representar una función
Hay varias formas de representar una función:
x(t)
t
x
Una tabla Una formula
x(t) = a + bt2
o por ejemplox(t) = 2.5 + 3.2 t2
t = 5.8
x(5.8) = 110.148
t x(t)
1 5.7
2 15.3
3 31.3
4 53.7
5 82.5
6 117.5
t = 6
x(6.0) = 117.5
Una curva
t = 5.8
x(5.8) = 110
t0 6
120
0
x(t)
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Velocidad
Una forma de caracterizar el movimiento es calculándole la Velocidadque tiene en un momento t. La velocidad se define como:
xtv = =
Velocidad* = Camino recorridoTiempo transcurrido
MetrosSegundos=
ms[ ]
O como ecuación:
x2 – x1
t2 – t1
Donde x1 es el punto en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 yx2 el punto en que pasa en el tiempo t2.
x2
x1
t1t2
*En realidad es “rapidez” ya que velocidad incluye dirección.
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Unidades
Conversión de Unidades
1 m = (1/1000) km
1 s = (1/3600) Hrs
1 = = 3.6ms
(1/1000) km(1/3600) Hrs
kmhrs
Las Unidades
Metros [m]Segundos [s]
Kilómetros [km]Horas [Hrs]
1 km = 1000 m
1 Hrs = 3600 s
1 = = 0.2777kmHrs
(1000) m(3600) s
ms
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Caminante hace tu camino
Ejemplo:
Nuestro caminante da en 40 segundos un total de 35 pasos de 60 cmcada uno. A que velocidad va?
1. Que distancia recorrió? ( 21 m)2. Que velocidad tiene en m/s? ( 0.525 m/s)3. Que velocidad tiene en km/hrs? ( 1.89 km/hrs)4. Da sentido esta velocidad?
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Función posición como grafica
x(t) = x0 + v t = 0 km + 76.36 km/Hrs * t = 76.36 km/Hrs * t
t
x(t)
Para el caso de velocidad constante la posición se describe por una recta:
Santiago
Temuco
Valdivia
09:00 11:00 20:00
Esto se puede expresar mediante la formula (como iniciamos el viaje enel origen x0 = 0):
DistanciaValdivia – Santiago840 km
Tiempo de viaje20:00 – 09:00 = 11 Horas
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Ejemplo mas complejo
Ejercicio:
t
x(t)
Santiago
Temuco
Valdivia
00:00 02:00 19:00
Curicó
12:00 21:00 24:00
189 km
479 km
172 km
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La velocidad calculada
La Velocidad:
t
x(t)
Santiago
Temuco
Valdivia
00:00 02:00 19:00
Curicó
12:00 21:00 24:00
189 km
479 km
172 km
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Distancia calculada de la velocidad
xtv =
x = v t
Se puede calcular el camino recorrido en base a la velocidad y el tiempo:
o “camino recorrido” = velocidad * tiempo que transcurrió
Como:
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Distancia calculada de la velocidad
x = v t = área debajo de la curva
t Tiempo
Velocidad
Sin embargo en la representación grafica de velocidad en función del tiempo
v Δt es el área debajo de la curva corresponde al camino recorrido.
v(t)Altura v
Base t
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Distancia calculada de la velocidad
Si medimos la velocidad en función del tiempo podemos reconstruir la distancia recorrida:
Nota: debemos medir también la dirección del desplazamiento
Tacometro
En realidad la velocidad es un vector, mas de ello luego.
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[ ]
Aceleración
Si la velocidad varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidaddisminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar.
Aceleración = Variación de VelocidadTiempo transcurrido
MetrosSegundos2=
O como ecuación:
vta = =
ms2
v2 – v1
t2 – t1
Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2
x2x1
v1 (t1) v2(t2)
t1t2
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Representación con grafica y formula
v(t) = v0 + a t
t
v(t)
Si la aceración es constante, la velocidad crece en forma pareja en el tiempo
Esto se puede expresar mediante la función
Velocidad
Tiempo
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Caída libre
Un ejemplo es la caída libre
La aceleración es a = 9.8 m/s2 que denominamos g.
Si caemos durante 2 segundos en caída libre … que velocidad tendríamossi no existiera roce?
v = g t = 9.8 m/s2 2 s = 19.6 m/s = 70.56 km/hrs
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Calculo de la posición (caso aceleración constante)
Como la posición se deja calcular de la superficie debajo de la curva de Velocidad podemos, en el caso de aceleración constante, calcular el camino:
Si nuestra posición inicial fuera x0 y el cuerpo tuviera una velocidad inicialv0 el área seria:
Velocidad
Tiempo
v = v0 + at
t
Después del tiempo t la velocidad será v = v0 + at
v0
v(t)
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Calculo de la posición (caso aceleración constante)
Para determinar la superficie debajo de la recta podemos dividir la zona en un rectángulo y un triangulo:
Velocidad
Tiempo
v = v0 + at
x = x0 + v0t + ½ a t2
v0
= ½ at * t = ½ a t2
= v0 *t = v0 t
at
t
Triangulo = ½ altura * base
altura at
altura v0
base t
Rectángulo = altura * base
Camino recorrido:
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Ecuaciones caso caída libre
En el caso de la caída libre tenemos
a = g = 9.8 m/s2
v(t) = v0 + at = v0 + gt
x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 = x0 + v0 t + ½ g t2
Cuando Galileo soltó una piedra desde lo alto de la torre de Pisa; cuanto tardo en llegar abajo y a que velocidad impacto?
Altura = 58.36 m
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Ejercicio Galileo
Si medimos desde la posición de Galileo (x0 = 0) y solo se deja caer (v0 = 0) las ecuaciones se reducen a:
a = 9.8 m/s2
v(t) = gt
x(t) = ½ g t2
Si la altura es h, al tiempo de impacto T vale:
x(T) = h = ½ g T2
Despejando: 2h = g T2 T = 2h/g
T = 2h/g = 2*58m / 9.8 m/s2 = 11.8 s2 = 3.44 s
Y la velocidad de impacto
v(T) = gT = 9.8 m/s2 3.44 s = 33.7 m/s = 121.4 km/hrs
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Volvamos al cuerpo humano
Cuando caminamos nuestro cuerpo gira en torno al punto de apoyo.
Punto de giro
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Angulo de la pierna
Al igual que la posición podemos definir un ángulo θ
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[ ]
Velocidad angular
En analogía podemos definir una velocidad angular
t = =
Velocidad angular = Angulo recorridoTiempo transcurrido
RadianesSegundos=
rads
O como ecuación:
2 – 1
t2 – t1
Donde 1 es el ángulo en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y2 el punto en que pasa en el tiempo t2.
x2
x1
2 1
t2t1
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Ejemplo del caminante
Que velocidad angular tiene nuestro caminante?
30 30
30 = 30 2/360 rad = 0.5235 rad 60 = 1.047 rad
Si en dar un paso nos demoramos 1.4 segundo la velocidad angular será:
= = 0.748 rad/s1.047 rad1.4 s
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Relación velocidad angular y velocidad tangencial
Porque en radianes?
Conversión: 2 [rad] = 360 [grad] 1 rad = 360/2 grad = 57.3 grad
1 grad = 2/360 rad = 0.0174 rad
Porque radianes multiplicadospor el radio nos da el arcoo fracción de la circunferencia
r
r
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Relación entre velocidad tangencial y angular
Un objeto que rota en un radio r recorre al dar una vuelta una distancia 2r en un tiempo t.
En el mismo tiempo t el ángulo varia en 2
O sea
= 2t
v = 2rt
r
r
v = r
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Un ejemplo “global”
Al rotar la tierra tiene una velocidad angular de
= = 7.27 x 10-5 rad/s = 0.0000727 rad/s2 rad24*60*60 s
vt = R = 6378 km 0.2818 rad/hrs = 1669.7 km/Hrs
Una persona en el ecuador de la tierra viaja a una velocidad de:
= = 0.2818 rad/hrs2 rad24 Hrs
En Valdivia (latitud = -39.61)
vt = R cos =1286.4 km/Hrs
R
R
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Un paréntesis climatológico
Un ejemplo del efecto de diferentesvelocidades tangenciales sobre la
superficie de la tierra.
Solo un ejemplo, no se considera en las futuras pruebas.
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Si calentamos agua observamos convección
Aguacaliente
asciende
Aguafría desciende
Un efecto similar seobserva en la atmósfera:
se forman celdas.
Un paréntesis climatológico
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En total se forman tres tipos de celdas, la de Hadley, la de Ferrel y la Polar. Estas provocan tanto vientos verticales como horizontales:
El movimiento horizontal desplaza masas de aire entre zonas de distinta velocidad de rotación.
Celda de Hadley
Celda de Hadley
Celda de Ferrel
Celda Polar
Celda Polar
Celda de Ferrel
Aire sube
Aire baja
Aire baja
Aire sube
Aire sube
Corrientes sobre la superficie de la tierra
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En el ecuador, la velocidad esmáxima mientras que en los polos, mínima.
De esa forma, una corrientedesde el ecuador hacia el norte(ej. celda de Hardle) se adelantaal aire en el lugar:
Una corriente que se acerca alecuador (ej. celda de Ferrel), se atrasa respecto del aire en ellugar.
Un efecto global
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La combinación de ambos movimientos llevan a la generación de huracanes.
Huracanes
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Aceleración centrifuga
Si un cuerpo no estaamarado se “alejaría”.el observador que no gira conel objeto percibe como queeste acelera hacia la tierra (aceleración centrípeta)
Inercia
Todo cuerpo “trata”de mantener suestado actual.
Ej. Continuarcon la misma velocidaden forma rectilínea.
Debemos definir una aceleración angular
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[ ]
Aceleración angular
Si la velocidad angular varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidad angular disminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar.
Aceleración angular = Variación de Velocidad angularTiempo transcurrido
RadianesSegundos2=
O como ecuación:
t = =
rads2
2 – 1
t2 – t1
Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2
x2x1
1 (t1) 2(t2)
t1t2
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Relación entre aceleración tangencial y angular
De la definición de la aceleracióntangencial y angular se obtiene:
= t
a = =
a = r
v t
r t
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Relación entre aceleración tangencial y angular
v t
r
r
r
x = ½ a t2
(r + x)2 = r2 + (v t)2
2rx = (vt)2
x = 1/2r (v t)2
at = = r2 v2
r
x
Pitagoras:
Si x << r
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Pregunta para el taller de mañana
Que pasa cuando la aceleración centrifuga es mayor que la gravitacional?
30 30
v2
r > g
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Taller de mañana
Y para mañana:
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