cinemática en la kinesiología - introducción dr. willy h. gerber objetivos: comprender los...

Cinemáticaen la Kinesiología -

Introducción

Dr. Willy H. Gerber

Objetivos: Comprender los conceptos de posición, velocidad, aceleración y rotación sobre la base del movimiento del cuerpo humano.

www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Caminando …

Caminar lo hacemos tan automático que no nos damos cuenta la físicaque inconscientemente estamos aplicando (en teoría ya pasamos la prueba) …

Un símbolo cotidiano … Johnnie Walker (Whisky)


Caminando …

Estudiemos primero como caminamos … luego veremos como corremos.

Al caminar solodesprendemosun pie una vezque hemos posado el otro.


Orientación … un punto de referencia

Como en una carrera podemos definir el punto de partida y la distanciaque lleva nuestro corredor (o “caminador” por ahora).

El punto de partida lo denominamos origen

La distancia recorrida la medimos (por ejemplo) en metros o kilómetros y lapodemos indicar mediante una letra (por ejemplo x o s).

El punto de partida lo denominamos x0 y puede ser seteado en cero.


El tiempo

La otra variable que necesitamos es el tiempo que se denota por lo general con la letra t.

x es la distancia recorrida al tiempo t lo que se indica con la “función”

x(t)

t

x


Aquí se puso complicado!

Una función !?!?!?!?

Que no cunda el pánico!

Una función es como una “maquina”

x(t)

t

x

Ejemplo:

A los 30 segundos nuestro corredoravanzo 20 metros:

x(30 seg) = 20 metros

O sea con la función x(t) podemos indicar en todo tiempo t donde seencuentra nuestro corredor.


Formas de representar una función

Hay varias formas de representar una función:

x(t)

t

x

Una tabla Una formula

x(t) = a + bt2

o por ejemplox(t) = 2.5 + 3.2 t2

t = 5.8

x(5.8) = 110.148

t x(t)

1 5.7

2 15.3

3 31.3

4 53.7

5 82.5

6 117.5

t = 6

x(6.0) = 117.5

Una curva

t = 5.8

x(5.8) = 110

t0 6

120

0

x(t)


Velocidad

Una forma de caracterizar el movimiento es calculándole la Velocidadque tiene en un momento t. La velocidad se define como:

xtv = =

Velocidad* = Camino recorridoTiempo transcurrido

MetrosSegundos=

ms[ ]

O como ecuación:

x2 – x1

t2 – t1

Donde x1 es el punto en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 yx2 el punto en que pasa en el tiempo t2.

x2

x1

t1t2

*En realidad es “rapidez” ya que velocidad incluye dirección.


Unidades

Conversión de Unidades

1 m = (1/1000) km

1 s = (1/3600) Hrs

1 = = 3.6ms

(1/1000) km(1/3600) Hrs

kmhrs

Las Unidades

Metros [m]Segundos [s]

Kilómetros [km]Horas [Hrs]

1 km = 1000 m

1 Hrs = 3600 s

1 = = 0.2777kmHrs

(1000) m(3600) s

ms


Caminante hace tu camino

Ejemplo:

Nuestro caminante da en 40 segundos un total de 35 pasos de 60 cmcada uno. A que velocidad va?

1. Que distancia recorrió? ( 21 m)2. Que velocidad tiene en m/s? ( 0.525 m/s)3. Que velocidad tiene en km/hrs? ( 1.89 km/hrs)4. Da sentido esta velocidad?


Función posición como grafica

x(t) = x0 + v t = 0 km + 76.36 km/Hrs * t = 76.36 km/Hrs * t

t

x(t)

Para el caso de velocidad constante la posición se describe por una recta:

Santiago

Temuco

Valdivia

09:00 11:00 20:00

Esto se puede expresar mediante la formula (como iniciamos el viaje enel origen x0 = 0):

DistanciaValdivia – Santiago840 km

Tiempo de viaje20:00 – 09:00 = 11 Horas


Ejemplo mas complejo

Ejercicio:

t

x(t)

Santiago

Temuco

Valdivia

00:00 02:00 19:00

Curicó

12:00 21:00 24:00

189 km

479 km

172 km


La velocidad calculada

La Velocidad:

t

x(t)

Santiago

Temuco

Valdivia

00:00 02:00 19:00

Curicó

12:00 21:00 24:00

189 km

479 km

172 km


Distancia calculada de la velocidad

xtv =

x = v t

Se puede calcular el camino recorrido en base a la velocidad y el tiempo:

o “camino recorrido” = velocidad * tiempo que transcurrió

Como:



x = v t = área debajo de la curva

t Tiempo

Velocidad

Sin embargo en la representación grafica de velocidad en función del tiempo

v Δt es el área debajo de la curva corresponde al camino recorrido.

v(t)Altura v

Base t



Si medimos la velocidad en función del tiempo podemos reconstruir la distancia recorrida:

Nota: debemos medir también la dirección del desplazamiento

Tacometro

En realidad la velocidad es un vector, mas de ello luego.


[ ]

Aceleración

Si la velocidad varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidaddisminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar.

Aceleración = Variación de VelocidadTiempo transcurrido

MetrosSegundos2=

O como ecuación:

vta = =

ms2

v2 – v1

t2 – t1

Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2

x2x1

v1 (t1) v2(t2)

t1t2


Representación con grafica y formula

v(t) = v0 + a t

t

v(t)

Si la aceración es constante, la velocidad crece en forma pareja en el tiempo

Esto se puede expresar mediante la función

Velocidad

Tiempo


Caída libre

Un ejemplo es la caída libre

La aceleración es a = 9.8 m/s2 que denominamos g.

Si caemos durante 2 segundos en caída libre … que velocidad tendríamossi no existiera roce?

v = g t = 9.8 m/s2 2 s = 19.6 m/s = 70.56 km/hrs


Calculo de la posición (caso aceleración constante)

Como la posición se deja calcular de la superficie debajo de la curva de Velocidad podemos, en el caso de aceleración constante, calcular el camino:

Si nuestra posición inicial fuera x0 y el cuerpo tuviera una velocidad inicialv0 el área seria:

Velocidad

Tiempo

v = v0 + at

t

Después del tiempo t la velocidad será v = v0 + at

v0

v(t)


Calculo de la posición (caso aceleración constante)

Para determinar la superficie debajo de la recta podemos dividir la zona en un rectángulo y un triangulo:

Velocidad

Tiempo

v = v0 + at

x = x0 + v0t + ½ a t2

v0

= ½ at * t = ½ a t2

= v0 *t = v0 t

at

t

Triangulo = ½ altura * base

altura at

altura v0

base t

Rectángulo = altura * base

Camino recorrido:


Ecuaciones caso caída libre

En el caso de la caída libre tenemos

a = g = 9.8 m/s2

v(t) = v0 + at = v0 + gt

x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 = x0 + v0 t + ½ g t2

Cuando Galileo soltó una piedra desde lo alto de la torre de Pisa; cuanto tardo en llegar abajo y a que velocidad impacto?

Altura = 58.36 m


Ejercicio Galileo

Si medimos desde la posición de Galileo (x0 = 0) y solo se deja caer (v0 = 0) las ecuaciones se reducen a:

a = 9.8 m/s2

v(t) = gt

x(t) = ½ g t2

Si la altura es h, al tiempo de impacto T vale:

x(T) = h = ½ g T2

Despejando: 2h = g T2 T = 2h/g

T = 2h/g = 2*58m / 9.8 m/s2 = 11.8 s2 = 3.44 s

Y la velocidad de impacto

v(T) = gT = 9.8 m/s2 3.44 s = 33.7 m/s = 121.4 km/hrs


Volvamos al cuerpo humano

Cuando caminamos nuestro cuerpo gira en torno al punto de apoyo.

Punto de giro


Angulo de la pierna

Al igual que la posición podemos definir un ángulo θ


[ ]

Velocidad angular

En analogía podemos definir una velocidad angular

t = =

Velocidad angular = Angulo recorridoTiempo transcurrido

RadianesSegundos=

rads

O como ecuación:

2 – 1

t2 – t1

Donde 1 es el ángulo en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y2 el punto en que pasa en el tiempo t2.

x2

x1

2 1

t2t1


Ejemplo del caminante

Que velocidad angular tiene nuestro caminante?

30 30

30 = 30 2/360 rad = 0.5235 rad 60 = 1.047 rad

Si en dar un paso nos demoramos 1.4 segundo la velocidad angular será:

= = 0.748 rad/s1.047 rad1.4 s


Relación velocidad angular y velocidad tangencial

Porque en radianes?

Conversión: 2 [rad] = 360 [grad] 1 rad = 360/2 grad = 57.3 grad

1 grad = 2/360 rad = 0.0174 rad

Porque radianes multiplicadospor el radio nos da el arcoo fracción de la circunferencia

r

r


Relación entre velocidad tangencial y angular

Un objeto que rota en un radio r recorre al dar una vuelta una distancia 2r en un tiempo t.

En el mismo tiempo t el ángulo varia en 2

O sea

= 2t

v = 2rt

r

r

v = r


Un ejemplo “global”

Al rotar la tierra tiene una velocidad angular de

= = 7.27 x 10-5 rad/s = 0.0000727 rad/s2 rad24*60*60 s

vt = R = 6378 km 0.2818 rad/hrs = 1669.7 km/Hrs

Una persona en el ecuador de la tierra viaja a una velocidad de:

= = 0.2818 rad/hrs2 rad24 Hrs

En Valdivia (latitud = -39.61)

vt = R cos =1286.4 km/Hrs

R

R


Un paréntesis climatológico

Un ejemplo del efecto de diferentesvelocidades tangenciales sobre la

superficie de la tierra.

Solo un ejemplo, no se considera en las futuras pruebas.


Si calentamos agua observamos convección

Aguacaliente

asciende

Aguafría desciende

Un efecto similar seobserva en la atmósfera:

se forman celdas.

Un paréntesis climatológico


En total se forman tres tipos de celdas, la de Hadley, la de Ferrel y la Polar. Estas provocan tanto vientos verticales como horizontales:

El movimiento horizontal desplaza masas de aire entre zonas de distinta velocidad de rotación.

Celda de Hadley

Celda de Hadley

Celda de Ferrel

Celda Polar

Celda Polar

Celda de Ferrel

Aire sube

Aire baja

Aire baja

Aire sube

Aire sube

Corrientes sobre la superficie de la tierra


En el ecuador, la velocidad esmáxima mientras que en los polos, mínima.

De esa forma, una corrientedesde el ecuador hacia el norte(ej. celda de Hardle) se adelantaal aire en el lugar:

Una corriente que se acerca alecuador (ej. celda de Ferrel), se atrasa respecto del aire en ellugar.

Un efecto global


La combinación de ambos movimientos llevan a la generación de huracanes.

Huracanes


Aceleración centrifuga

Si un cuerpo no estaamarado se “alejaría”.el observador que no gira conel objeto percibe como queeste acelera hacia la tierra (aceleración centrípeta)

Inercia

Todo cuerpo “trata”de mantener suestado actual.

Ej. Continuarcon la misma velocidaden forma rectilínea.

Debemos definir una aceleración angular


[ ]

Aceleración angular

Si la velocidad angular varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidad angular disminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar.

Aceleración angular = Variación de Velocidad angularTiempo transcurrido

RadianesSegundos2=

O como ecuación:

t = =

rads2

2 – 1

t2 – t1

Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2

x2x1

1 (t1) 2(t2)

t1t2


Relación entre aceleración tangencial y angular

De la definición de la aceleracióntangencial y angular se obtiene:

= t

a = =

a = r

v t

r t


Relación entre aceleración tangencial y angular

v t

r

r

r

x = ½ a t2

(r + x)2 = r2 + (v t)2

2rx = (vt)2

x = 1/2r (v t)2

at = = r2 v2

r

x

Pitagoras:

Si x << r


Pregunta para el taller de mañana

Que pasa cuando la aceleración centrifuga es mayor que la gravitacional?

30 30

v2

r > g


Taller de mañana

Y para mañana:


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