calor - modelos matemáticos simplificados

Modelos matemáticos Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossimplificados de sistemas físicos

ObjetivoObjetivo

Obtener un modelo matemático que describa un determinado proceso físico.

Ecuación diferencial +Condiciones iniciales y/o de borde

Ecuación de Ecuación de LaplaceLaplace

Modelos matemáticos simplificados de Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossistemas físicos

Ecuación de la Ecuación de la ondaonda

Ecuación del Ecuación del calorcalor Procesos Procesos

difusivosdifusivos

Procesos Procesos oscilatorioscilatori

osos

Procesos de Procesos de estado estado

estacionarioestacionario

Ecuación de Ecuación de LaplaceLaplace

Modelos matemáticos simplificados de Modelos matemáticos simplificados de sistemas físicossistemas físicos

Ecuación de la Ecuación de la ondaonda

Ecuación del Ecuación del calorcalor Procesos

difusivos

Procesos Procesos oscilatorioscilatori

osos

Procesos de Procesos de estado estado

estacionarioestacionario

LEY DE FOURIER LEY DE FOURIER

dTq k A

dx

En condiciones de estado estacionario, el calor q (W) transferido por conducción en la dirección x y por unidad de tiempo está dado por:

T2T1

x

x

T1

T2

q

LEY DE FOURIERLEY DE FOURIER

dTq k A

dx

x

x

T1

T2

Área de la sección transversalConductividad térmica

del material (W/m K)

LA ECUACIÓN DEL CALORLA ECUACIÓN DEL CALORMODELO MATEMÁTICOMODELO MATEMÁTICO

Balance de energía en una barra circular de sección transversal uniforme y material homogéneo

x

x=0 x=L

q

Calor neto de entrada =

= Calor acumulado

Término de flujo

Término de absorción

BALANCE DE ENERGÍA EN UNA BALANCE DE ENERGÍA EN UNA

PORCIÓN DE LA BARRAPORCIÓN DE LA BARRA

x

x=0 x x+x x=Lq

BALANCE DE ENERGÍA EN UNA BALANCE DE ENERGÍA EN UNA

PORCIÓN DE LA BARRAPORCIÓN DE LA BARRA

Calor neto de entrada =

= Calor acumulado

Término de flujo

Término de absorción

TÉRMINO DE FLUJOTÉRMINO DE FLUJO

Calor neto de entrada

x

x=0 x x+x x=Lq

x ,t

Tq x,t k A

x

x x ,t

Tq x x,t k A

x

entrada

salida

tY la cantidad de calor neto de entrada en el tiempo , estará dada por:

x x ,t x ,t

T Tq t kA t

x x

TÉRMINO DE FLUJOTÉRMINO DE FLUJOCalor neto de entrada

x x ,t x ,t

T Tq q x,t q x x,t kA

x x

t

1 q t q tT

Cp m Cp A x

El cambio promedio en temperatura , que se produce en el trozo de la barra, en el intervalo de tiempo t, vendrá dado por:

x

x=0 x x+x x=Lq

TÉRMINO DE ABSORCIÓNTÉRMINO DE ABSORCIÓN

Calor acumulado en el elemento de la barra en el tiempo

1 q t q tT

Cp m Cp A x

q tT x x,t t T x x,t

Cp A x

0 1 con:

q t T x x,t t T x x,t Cp A x

Igualando las dos expresiones :Igualando las dos expresiones :

q t T x x,t t T x x,t Cp A x

q t

x x ,t x ,t

T Tq t kA t

x x

x x ,t x ,t

T TkA t

x x

T x x,t t T x x,t Cp A x

Dividiendo la ecuación anterior por

x t y luego haciendo

0x 0t

,

x x ,t x ,t

x

t

T T

x x tlím kA

x

0

0t

x

t

T x x,t t T x x,t xlím Cp A

t

0

0x

ECUACIÓN DEL CALOR ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONALUNIDIMENSIONAL

Obtenemos la ecuación del calor o de difusión unidimensional:

,

T Tk Cp

x x t

Para un material homogéneo:2

2

k T T;

Cp tx

2

2

T T

tx

Difusividad térmica

GENERALIZACIONESGENERALIZACIONES

,

Con fuentes o sumideros de calor:

2 2

2 2

T T T

tx y

T TCp x x A x k x A x G x,t ,T

t x x

Ec. del calor bidimensional

2 TT

t

GENERALIZACIONESGENERALIZACIONES

,2 2 2

2 2 2

T T T T

tx y z

Ec. del calor tridimensional

2 TT

t

CONDICIONES DE BORDECONDICIONES DE BORDE

Condiciones de borde:

Temperatura constante

,

100

xT T ,t T

2x LT T L,t T

00

xT T ,t f t

x LT T L,t g t

Temperatura variable

CONDICIONES INICIALESCONDICIONES INICIALES

Condiciones iniciales:

000

tT T x, T

Distribución inicial de

temperatura constante

CONDICIONES DE BORDECONDICIONES DE BORDE

Condiciones de borde:

,

Extremo aislado

0

0 0x

T T,t

x x

0x L

T TL,t

x x

La ecuación del calorLa ecuación del calorPROBLEMASPROBLEMAS

,

Suponer que tenemos una barra de sección transversal constante, que los extremos de la barra están aislados y que la temperatura inicial es 100°C. Expresar matemáticamente las condiciones de frontera y analizar el problema por medio de un razonamiento físico. Interprete físicamente la siguiente EDDP:

2

2

U Uk F x,t

t x