calculo proposicional

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE ELÉCTRICA

ESTRUCTURAS DISCRETAS I TUTOR: Lic. Domingo Méndez. ESTUDIANTE: TSU Oswaldo Heredia

Unidad I . Cálculo Proposicional

Proposiciones y Operaciones Veritativas

Las Proposiciones son enunciados u oraciones declarativas que

afirman o niegan algo, por lo tanto sus valores de verdad son “Verdadero”

o “Falso”. Ahora bien, sus valores lógicos se representan con “1” ó “0”.

Sólo asumen un único valor.

Son atómicas cuando tiene una sola proposición y moleculares

cuando tiene más de una proposición y están unidas por conectivos u

operadores lógicos.

Las proposiciones se identificarán con letras minúsculas. También se

les llama Variables Proposicionales

Las operaciones veritativas son aquellas operaciones que se llevan a

cabo con cada uno de los conectivos para formar nuevas proposiciones.

Conectivos lógicos A continuación se presentan los conectivos lógicos, una breve definición

y sus respectivas tablas de verdad.

La Negación

Es un conectivo que niega el valor de una proposición

o en su defecto, devuelve el valor contrario de la misma. p ~p

1 0

0 1 ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p"

La Conjunción

Este conectivo se lee “y”, el cual une dos

proposiciones y entrega un valor verdadero sólo en el

caso que ambas tengan valor verdadero.

p q se lee “p y q”

p q (p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La Disyunción Inclusiva

Significa “o” y une dos proposiciones. Su resultado es

un valor verdadero siempre y cuando al menos una de

ellas tenga valor verdadero.

p q (p q)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0 p q se lee “p o q”

La Disyunción Exclusiva

Significa “o una u otra”, une dos proposiciones y

resulta en un valor verdadero cuando los valores de las

mismas son diferentes entre sí.

p q (p q)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0 p q se lee “o p o q”

El Condicional o Implicación

Este conectivo se lee “si ..., entonces ...” y une dos

proposiciones, cuyo resultado sólo es falso cuando p es

verdadero y q es falso. p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

p q se lee “si p, entonces q”

En el condicional p es antecedente y q consecuente. El

antecedente es la condición suficiente y el consecuente

la condición necesaria.

Condicionales Asociados

1. Directo: p q

2. Recíproco: q p

3. Contrarrecíproco: ~ q ~ p

4. Contrario: ~ p ~ q

El Bicondicional o Doble Implicación

La proposición p q se lee "p si sólo si q", o "p es

condición necesaria y suficiente para q“ y su resultado es

verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1 p q se lee “p si sólo si q”

Formas Proposicionales

Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las

variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede

decir que las variables proposicionales también son formas

proposicionales.

Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta, analizando sus

proposiciones simples relacionadas con los conectivos lógicos. La combinación de

valores de verdad depende del número de proposiciones dadas.

Para n proposiciones se tiene 2n combinaciones.

Tablas de Verdad

Tautologías y Contradicciones

Proposición molecular que es verdadera sin

importar los valores de sus variables proposicionales.

p ~p p ~p

1 0 1

0 1 1

Proposición Tautológica o Tautología

Contradicción

Proposición molecular que es falsa

independientemente de los valores de sus variables

proposicionales.

p ~p p ~p

1 0 0

0 1 0

Leyes del Algebra de Proposiciones

Leyes Idempotentes

p p p

p p p

Leyes Asociativas

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

Leyes Conmutativas

p q q p

p q q p

Leyes Distributivas

p ˅ (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

Leyes de Identidad

p F p

p F F

p V V

p V p

Leyes de Complementación

p ~ p V (tercio excluido)

p ~ p F (contradicción)

~ ~ p p (doble negación)

~ V F, ~ F V

Leyes del Algebra de Proposiciones

Otras Equivalencias Notables

p q ~p q (Ley del condicional)

p q (p q) (q p) (Ley del bicondicional)

p q (p ~q) (q ~p) (Ley de disyunción exclusiva)

p q ~q ~ p (Ley del contrarrecíproco)

p q ~(~p ~q)

((p q) r) (p r) (q r) (Ley de demostración por casos)

(p q) (p ~q F) (Ley de reducción al absurdo)

Leyes de Morgan

~ (p q) ~ p ~ q

~ (p q) ~ p ~ q

Equivalencia e Implicación lógica

Implicación lógica

Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica

Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:

A B si el condicional A B es una tautología

Equivalencia o Proposiciones Equivalentes

Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. A es Lógicamente

Equivalente a B, o simplemente A es equivalente a B y se escribe:

A B ó A B, si y sólo si la forma bicondicional A B es una tautología.

Implicaciones Lógicas

Ley de Simplificación: (p q) p

Ley de Adición: p (p q)

Razonamientos

Definición: es la aseveración de que una proposición llamada conclusión es

consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.

Forma Proposicional

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C se

escribe de la forma proposicional siguiente:

P1

P2

P3

P4

.

.

.

Pn

----

C

Métodos de Demostración

Demostración Directa

Se debe probar una implicación: p q. Es decir, llegar a la conclusión q a partir

de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan

axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración Indirecta

Existen dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p q es

proporcionada por la Ley del contrarrecíproco: p q ~ q ~ p.

Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición p q es

tautológicamente equivalente a la proposición (p ~q) (r ~r) siendo r una

proposición cualquiera.

Inferencia

Modus Ponendo Ponens (MPP)

p q

p

q

Modus Tollendo Tollens (MTT)

p q

~ q

~ p

Silogismo Disyuntivo (S.D) ó (Modus Tollendo Ponens (MTP))

p q p q

~ q ó ~ p

p q

Silogismo Hipotético (S.H)

p q

q r

p r

Ley de Simplificación p q p q

ó p q

Inferencia

Ley de Adición p q ó p q p q

Ley de Conjunción

p

q p q

Circuitos Lógicos

También se llaman redes de conmutación y es una representación esquemática

que tiene una o más entradas y exactamente una salida. Se pueden identificar con

una forma proposicional, de manera que a una forma proposicional se le pueda

asociar un circuito; o de manera contraria, dado un circuito se le puede asociar la

forma proposicional correspondiente.

Usando las leyes del álgebra proposicional se pueden simplificar los circuitos en

otros más sencillos que al final cumplen la misma función que el original.

- Conexión en serie. Se representa como p q

Interruptores en conexión :

- Conexión en paralelo. Se representa como p q

“La Dicotomía Divina sostiene que es

posible que dos verdades aparentemente

contradictorias existan en forma simultánea,

en el mismo espacio.”