angulo trigonométrico y sistemas de medidas angulares

TRIGONOMETRIA

La Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en losestudios secundarios; su objeto es la medición de los ángulos y lados de untriángulo rectángulo inscrito o circunscrito en una circunferencia en cuyocentro se ha construido un sistema de coordenadas cartesianas, con elpropósito de establecer las funciones trigonométricas en base a las relacionesentre lados y ángulos del triángulo rectángulo en c/u de los cuadrantes, cuyaaplicación representa uno de los avances más notables del pensamientomatemático.

A continuación veremos: - EL ANGULO TRIGONOMÉTRICO- SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES- PRACTICA CALIFICADA

Prof. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTOAREA MATEMÁTICA

INTRODUCCIONSe aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de laTOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, para hacer planos horizontales para laConstrucción civil. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo desalida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios paraencontrar el ángulo adecuado. También se usa en la recreación, en el deportecomo el Windsurfing, etc.

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

• EL ÁNGULO

TRIGONOMÉTRICO

SE OBTIENE

GIRANDO UN RAYO

ALREDEDOR DE SU

ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)O

A

B

) POSITIVO

) NEGATIVO

OB : LADO FINAL

O: VÉRTICE

MEDICION DE ANGULOSLos ángulos pueden sermedidos con uninstrumento llamadoTRANSPORTADOR.

ANGULO DE UNA VUELTASe genera por la rotación completa de un rayo; es decir que el Lado Inicial coincide con el Lado Final.Así: < AOB = 360º

Lado Final B

EjerciciosGraficar ángulos utilizando el transportador:a) < PQR = 65º b) < A = - 125º c) < M = 400º d) < T = ½ vueltad) < D = - 1 130 e) < C = ¾ vuelta f) < S = 155º g) < B = 105º

Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisiónlos ángulos, recogiendo los datos, para calcular y procesar la información tomadade los hechos. Los sistemas más conocidos son tres:1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLES): S2.- SISTEMA CENTESIMAL ( FRANCES). C3.- SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL): RSiendo el primer sistema mas utilizado, por su aplicación en la Ingeniería,topografía y navegación.

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

SISTEMAS DE MEDICIÓN

ANGULAR

1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

o

1GRADO : MINUTO : '

1 SEGUNDO : "

1

'o

601 "'

601 "o

36001

1vuelta=o

360

EQUIVALENCIAS

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos

o

A B' C''o

A B' C''

Los números B y C deben ser menores de 60

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

x 3600

: 60 : 60

: 3600

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60

Para convertir de minutos a grados se divide entre 60

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600

Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

EJEMPLO :o

20 36'45''

EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESo ' ''

20 36 45 o o

o36 45

20

60 3600

o o

o3 1

20

5 80

o

1649

80

CONCLUSIÓN:

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y

SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S

NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S

NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

EJEMPLO

Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimales

Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S

Dato :

155 5(31)

S

62 2(31)

60S 2S 155 62S 155

5

S

2

El ángulo mide :5º 4º60'

2

2 2

º 30'

¿ESTAN

ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR

FAVOR

SISTEMAS DE MEDICIÓN

ANGULAR

2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

g

1GRADO : MINUTO :

m

1 SEGUNDO :

s

1

g m

1 100m s

1 100 g s

1 10000

1vuelta=g

400

EQUIVALENCIAS

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos

g m s

A B Cg m s

A B C

Los números B y C deben ser menores de 100

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100

Para convertir de minutos a grados se divide entre 100

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000

Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS

y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C

NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C

NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y

CENTESIMAL

gO

109 m'

5027 s"

25081

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

109

CS

5027

nm

25081

qp

SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

g

180º 200

g

9º 10

SABES QUE :

g

9(1º ) 10(1 )' m

9(60 ) 10(100 )

g

9º 10

' m

27 50

SABES QUE :g

9º 10g

9(1º ) 10(1 )'' S

9(3600 ) 10(10000 )'' s

81 250

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

UN RADIÁN ES LA

MEDIDA DEL

ÁNGULO CENTRAL

QUE SUBTIENDE

EN CUALQUIER

CIRCUNFERENCIA

UN ARCO DE

LONGITUD IGUAL

AL RADIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad

o ' ''

1rad 57 17 45

R

R

R)

EN ESTE SISTEMA

LA UNIDAD DE

MEDIDA ES EL

RADIÁN.

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS

0 g

180 200 rad

ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN

SISTEMA A OTRO.

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES

0

A) 54 O

54o

rad

180

3

rad

10

g

B) 125

g

rad

200

5

rad

8

g

125

EJEMPLOS

SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE :

SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :

g

360º 400 2 rad

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL

A)

2

rad

3

...........

o

2(180 )

3

o

120

g

B)70 ................. g

70

o

g

9

10

o

63

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL

A)

3

rad

4

...........

g

3(200 )

4

g

150

o

B)27 ................ o

27

g

o

10

9

g

30

FACTORES DE CONVERSIÓN

DE GRADOS SEXAGESIMALES

A RADIANES

DE GRADOS SEXAGESIMALES

A CENTESIMALES

DE GRADOS CENTESIMALES

A RADIANES

DE GRADOS CENTESIMALES

A SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS

SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS

CENTESIMALES

o

rad

180

g

o

10

9

g

rad

200

o

g

9

10

o

rad 180

g

rad 200

ESTAN

ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR

FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S

180

C

200

R

S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES

C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES

R : NÚMERO DE RADIANES

EJEMPLO

CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:

8R

3S 2C 37

EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

SOLUCIÓN

S C R

180 200

K

S k180

C k200R k

SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA

8( k)

3(180k) 2(200k) 37

,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k 371

k

4

FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R 1

4

4

S k9

C k10

R

0

k

2

NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

S

9

C

10

20R

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :o g

90 100 rad

2

* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :O g

180 200 rad

* EQUIVALENCIAS USUALES:

o

rad 60

3

o

rad 30

6

o

rad 45

4

SISTEMA

SEXAGESIMAL

CENTESIMAL

RADIAL

COMPLEMENTO SUPLEMENTO

S

C

R

90 - S 180 - S

100 - C 200 - C

R

2

R

EJERCICIOS

1. CALCULAR :

g

45º rad

12E

50 33º

SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL

rad

12

180º

12

15ºg

50; 45º

Reemplazamos en E

45º 15º

E

45º 33º

60º

12º

5

g

9º

( )

10

2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78,calcular su número de radianes

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimalesC = número de grados centesimales

Sabes que : S C

9 10

= K y

Dato : S + 3C = 78

S = 9K C = 10K

9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2

El número de radianes es :

k

R

20

2

R

20

10

3. Determinar si es verdadero o falso

A ) rad 180

B ) El complemento de esg

30g

70

C )g g

24º 2º

36 3

D )rad

Los ángulos interiores de un triángulo suman

E ) 180º

F ) g

1º 1

G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales

PRACTICA CALIFICADA Nº 01

http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares

1.- Convertir agrados centesimales: a) 225° b) 549° c) 3 π rad d) ¾ π rad

2.- Convertir a radianes: a) 15° b) 120° c) 756° d) 210g e) 1200g

3.- Convertir a grados sexagesimales: a) 200g b) 40g c) 5/7 πrad d) 3/5 πrad

4.- Convertir 82° 240’ 1800” a grados sexagesimales5.- Convertir 305, 81° a grados, minutos y segundos sexagesimales6.- Convertir 12g 43m 12s solo en minutos Centesimales.7.- Los ángulos A y B de un triángulo ABC mide π/6 rad y 80°, respectivamente.

¿Cuánto mide el ángulo C?8.- El radio de una circunferencia mide 23 cm. ¿Cuál es la longitud del arco L, si el

ángulo central mide 60° ?

9.- Hallar el valor de R en:

10.- Simplificar la expresión

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto.

TRIGONOMETRIA

¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !

PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO