bservación Ángulo trigonomÉtrico si a un ángulo
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01
Es una figura generada por la rotación de un rayo (la
rotación se realiza en un mismo plano), alrededor de
un punto fijo llamado vértice, desde una posición
inicial hasta una posición final.
Características del
ángulo trigonométrico
Sentido
Magnitud
Horario Antihorario
Genera ángulos (-)
Genera ángulos (+)
-θ +θ
1 vuelta
2 vueltas
- ꝏ <m trigonométrico <+ꝏ
Son
Pueden ser
Pueden ser
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Posición inicial
P
o
s
i
c
i
ó
n
f
i
n
a
l
P
o
s
i
c
i
ó
n
f
i
n
a
l
(+)
(-)
Rayo
giro
giro
Si a un ángulo trigonométrico cambiamos el sentido de rotación,
entonces el valor de su medida cambia de signo.
Veamos: Sea un ángulo que mide: 40º - X. Si cambiamos el sentido
entonces mide: X - 40º
Para sumar ángulos trigonométricos formados alrededor de un
mismo vértice, estos ángulos deben tener el mismo sentido de
rotación.
θ
ᵦ
θ
-ᵦ
θ+(-ᵦ) = 180°
θ- ᵦ = 180°
40°-x x - 40°
bservación
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02
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 360
partes ¡guales y a cada parte se le denomina un “grado sexagesimal”, a
cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte de le denom ina
“minuto sexagesimal”, a su vez a cada minuto se le divide en 60 partes
iguales y a cada parte se le denomina “segundo sexagesimal”.
Sistema sexagesimal (sistema inglés)
Notación Equivalencias
1 grado sexagesimal: 1° 1° = 60´ = 3600´´
1 minuto sexagesimal: 1´ 1´ = 60´´
1segundo sexagesimal:1´´ 1° =
m‚ 1vuelta
360
Unidad que quiero
Unidad que no quiero
→ m ‚1vuelta = 360°
Factor de conversión=
a°b´c´´ =a°+b´+c´´ = (a +
b
60
+
c
3600
)°
bservación
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 400
partes iguales y a cada parte se le denomina un “grado centesimal", a
cada grado se le divide en 100 partes ¡guales y a cada parte se le denom
ina “minuto centesimal”, a su vez a cada minuto se le divide en 100 partes
iguales y a cada parte se le denomina “segundo centesimal”.
Sistema centesimal (sistema francés)
Notación Equivalencias
1 grado centesimal: 1
g
1
g
= 100
m
= 10 000
s
1 minuto centesimal: 1
m
1
m
= 100
s
1segundo centesimal:1
s
1
g
=
m‚ 1vuelta
400
→ m ‚1vuelta = 400
g
1rad > 1° > 1
g
; 27´<> 50
m
; 81´´<> 250
s
No olvidemos nuestro método para la conversión de
un sistema a otro.
Unidad que quiero
Unidad que no quiero
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En este sistema la unidad angular es el radián. Un radián se define como
la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un
arco de longitud igual al radio.
(En la figura adjunta el ángulo θ mide un radián).
En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2p radianes.
m
‚
1 vue lta = 2p rad
Sistema radial (sistema circular)
θ L
r
r
O θ= 1 rad
Si: L= r
Valores aproximados de p:
p = 3,1416; p =
22
7
; p = 3 + 2
1rad < > 57° 17´44´´
Como: 180° = 200
g
= p rad
180°
p rad
= 1
9°
10
g
= 1
200
g
p rad
= 1
Factores
de
conversión
S:N° de grados sexagesimales de "u"
C:N° de grados centesimales de "u"
R:N° de radianes contenidos en "u"
RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS
TRES SISTEMAS
u
S°
C
g
Rrad
O
Sabemos que: 360° = 400
g
= 2 p rad
Entonces se cumple:
S°
360°
=
C
g
400
g
=
Rrad
2prad
Entonces se cumple: Fórmula o relación
de conversión
S
180
=
C
200
=
R
p
S
9
=
C
10
=
20R
p = k
También: S=9k ; C=10k ; R=
pk
20
u(+): C>S>R u(-): R>S>C
Sistema Sexagesimal Centesimal Radial
m
‚ S° C
g
Rrad
#
de grados
S C R
#
de minutos
60S 100C
#
de segundos
3600S 10000C
Suplemento(a)
(S°; C
g
y Rrad)
(180-S)°
(200-C)
g
(p-R)rad
Complemento(a)
(S°; C
g
y Rrad)
(90-S)°
(100-C)
g
(p/2-R)rad
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04
ÁNGULOS COTERMINALES
Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos que tienen los
mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final). En las figuras adjuntas
a y f son ángulos coterminales, lo mismo que a y u
af
u
a
Una característica fundamental de los ángulos coterminales es
que se diferencian en un número entero de vueltas.
Si a y u son dos ángulos coterminales, se cumple:
a - u = (360°)k= (2prad)k; k∈Z
EJEMPLOS:
a) 80° y 440° son coterminales: 80°-440°=-360°
-360° entre 360° es igual a -1
b) -150° y 570° son coterminales: -150°-570°= -720°
-720° entre 360° es igual a -2
c) -750° y -510° no son coterminales: -750°-(-510°)=1260°
1260° entre 360° es igual a 3,5
Etc, el mismo procedimiento si los ángulos están en radianes.
En forma práctica para determinar si dos ángulos son complementarios:
1. Restamos dichos ángulos
2. Dividimos la diferencia entre 360° o 2prad
3. Si el resultado es un número entero entonces los ángulos son
coterminales.
APLICACIÓN
Dos ángulos a y u son coterminales y además complementarios.
Hallar la medida del ángulo a si 200° < a < 300°.
RESOLUCIÓN
a - u =360°K ...................(1)
a + u =90°.......................(2)
Sumando (1) y (2)
a =180k+45°
k=0 entonces a =45°
k=1 entonces a =225°
k=2 entonces a =405°
Por dato 200°< a <300°
Entonces de los valores obtenidos el único que satisface la
desigualdad es a =225°
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LONGITUD DE ARCO(L)
A la porción sombreada de la figura, se denomina sector
circular. Si u es el ángulo central expresado en radianes, de
una circunferencia de radio r y L longitud de arco.
Se tiene:
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por
el radio “R” de la circunferencia.
D: Diámetro
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06
NÚMERO DE VUELTAS EN UNA
SUPERFICIE PLANA
Cuando la rueda gira o va rodando sobre una superficie plana;
el número de vueltas que da una rueda se calcula mediante la
siguiente fórmula:
Donde:
d: longitud recorrida por el centro de la rueda.
r: radio de la rueda.
: n
V
número de vueltas que da la rueda al desplazarse.
NÚMERO DE VUELTAS CUANDO UN DISCO RUEDA
SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA EN LA PARTE
EXTERNA
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NÚMERO DE VUELTAS CUANDO UN DISCO RUEDA
SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA EN LA PARTE INTERNA
A la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular.
Si u es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de
radio r y “S” denota el área de un sector circular y “L” longitud de arco.
Se tiene:
R
R
u LO
A
B
R
R
LO
A
B
u
S = L.R2 S = 2
u.R2
S = 2 L
2
u
0 < u < 2p
Para poder utilizar una de las fórmulas sobre el cálculo
del área de un sector circular se deberá tener en cuenta
que:
1 < u ≤ 2p ; 1 < Lr
≤ 2p ; 1 < Lr
≤ 6,28
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
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R
R
B b S S = (B + b 2 ).R
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
1S
3S
5S
7S
u = B - bR
u
Calcule el perímetro del triángulo.
6(x+1)
6x+7
x
Teorema de Pitágoras
c2=a2+b2→c= a2+b2
a2=b2-c2→a= b2-c2A
B
C
c a
b
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los catetos.
Hipote
nusa
Cateto adyacente
θ
Cateto opuesto