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Análisis numérico

APROXIMACIÓN

NUMÉRICA Y ERRORES

AntecedentesEn 1947 se crea en la universidad de California el “INSITITUTO DE

ANÁLISIS NUMÉRICO”.

El análisis numérico es la rama de las matemáticas, cuyos limites no son deltodo precisos, que se encarga de diseñar algoritmos para que a través denúmeros y reglas matemáticas simples lograr simular procesos matemáticoscomplejos aplicados a procesos del mundo real.

Algoritmo es un procedimiento que mediante un número finito de pasos que pueden efectuarse de manera lógica nos pueden llevar a una solución aproximada de un problema.

Existe una gran variedad de algoritmos (métodos numéricos) desarrollados desde la antigüedad para encontrar soluciones satisfactorias a modelos matemáticos que pueden representar una gran variedad de sistemas físicos.

ANÁLISIS NUMÉRICO

Mezcla de matemáticas y ciencias de la computación

Matemática crear algoritmo (métodos numéricos)

Computación desarrollo de software

Análisis Numérico

La ciencia que nos permite obtener resultados de

problemas representados en forma matemática

utilizando procedimientos aritméticos.

A la definición anterior hay quien agrega que es un

arte, ya que se trata de seleccionar el mejor

método para resolver un problema.

Resolver el problema de encontrar la raíz cuadrada de un número positivo.

Se puede resolver de:

a) Método tradicional b) Tabulación

c) Utilizar la forma d) Utilizar un método numérico de aproximaciones.

A

ACBBX

2

42

12

Ejemplo 1:

En el mundo real los datos con que se trabaja son inexactos, se basan en medidas y por lo tanto son aproximaciones.

Exactitud. se puede definir como “que tan cerca estamos del valor real”, se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Precisión. Cifras significativas que se toman en un resultado o para realizar cálculos.

Cifras significativas. Sirven para designar la confiabilidad de un valor numérico.

Certeza más un estimado

Se puede hablar entonces de cifras significativas y cifras decimales significativas.

El total de cifras significativas es independiente del punto decimal.

Representación Punto fijo

Numérica Punto flotante

Los errores que se presentan son de tres tipos:

Medición del error.

1

1

n

ar

nna

V

ee

VVe

realvalor

absolutoerrorrelativoerror

aproximadovalorexactovalorabsolutoerror

eserrorelmedirdeformaLa

erroraproximadovalorexactoValor

EJERCICIOS

1) Sumar las siguientes cantidades:

a) en orden ascendente b) en orden descendente

0.2897 x 100 i) al hacer las sumas parciales redon

0.7259 x 101 dear, utilizando aritmética de 4 dígitos

0.8095 x 102

0.2162 x 103

ii) con la suma exacta con al menos

0.5291 x 104 5 dígitos calcule el ea y el er

2) Calcule el valor de la resistencia

equivalente, con su error, si se conectan

en paralelo las resistencias 𝑅1= 12 ± 1.3

ohms y 𝑅2= 15 ± 1.7 ohms, si sabe que

la resistencia equivalente se obtiene

como: 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 ∗ 𝑹𝟐

𝑹𝟏 + 𝑹𝟐ohms.

4) Represente las siguientes cantidades,

1) -3.8474 2) 0.00485

3) 847.345 4)1.00865

a) con 3 cifras significativas

b) con 3 cifras decimales significativas

c) normalizado a una mantisa de 4 dígitos

5) EL NÚMERO “e” CON CINCO CIFRAS DECIMALES CORRECTAS

ES

2.71828, CALCULE EL ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO EN QUE

SE INCURRE AL TOMAR N=4 EN LA EXPRESIÓN:

𝒆 = σ𝒌=𝟎𝒌=𝒏 𝟏

𝒌!

¿CUÁNTO DEBE VALER “ n “PARA ASEGURAR EL VALOR, CON

LAS CINCO CIFRAS DECIMALES CORRECTAS?

Análisis del errorEn un resultado numérico se toma en cuenta la

propagación del error, ya que en cualquier

cómputo hecho a mano o con un dispositivo de

cálculo estará presente el error.

Algunas recomendaciones para minimizar el error.

1. En las operaciones de suma y/o resta, se trabaja

primero con los más pequeños.

2. Evitar la resta de 2 cantidades aproximadamente

iguales.

3. Minimizar el número de operaciones aritméticas.

Métodos iterativosEn general, los métodos iterativos se clasifican en

métodos de aproximaciones sucesivas y

métodos de paso a paso.

Los métodos que parten de una aproximación

inicial a la solución x de un problema

mediante la aplicación reiterada de una o varias

fórmulas de recurrencia proporcionan

aproximaciones a la

solución x, se denominan métodos de

aproximaciones sucesivas.

nxxxx ...,,, 321

Por otra parte, los métodos denominados de paso a paso son aquellos que parten de un valor inicial y se basan también en la aplicación de una fórmula de recurrencia; pero, a diferencia de los métodos de aproximaciones sucesivas, se utilizan para obtener aproximaciones a la solución de una sucesión de números, en lugar de un solo valor.

Los métodos iterativos no siempre proporcionan aproximaciones aceptables y, en muchos casos, el error que se obtiene al aplicarlos aumenta a medida que se incrementa el número de iteraciones. Dos de las principales causas del aumento del error se explican con los conceptos de convergencia y estabilidad.

Convergencia.Se dice que existe convergencia al aplicar

un método numérico por aproximacionessucesivas, cuando al obtener lasdiferentes aproximaciones tanto el errorabsoluto como el relativo tienden a sermenor que una tolerancia predeterminada.En caso contrario el método diverge.

Estabilidad.Se dice que existe estabilidad de un método

numérico, cuando la variación tiende a sermenor entre dos aproximaciones.

APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR MEDIO DE POLINOMIOS

LA SERIE DE TAYLOR

Una manera de aproximar funciones por su(s) polinomios es

la Serie de Taylor.

TEOREMA DE TAYLOR

Dada una función f(x) que acepta “n” derivadas en un

intervalo contínuo [a,b] que existe la enésima mas un

derivada 𝑓𝑛+1 y un valor 𝑥0 en [a,b] entonces

𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛(𝑥)

En donde

𝑃𝑛(x)=f 𝑥0 + 𝑓´ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓´´(𝑥0)(𝑥−𝑥0 )

2

2!+…+

𝑓𝑛(𝑥0)(𝑥−𝑥0)𝑛

𝑛!

y

𝑅𝑛 x =𝑓𝑛+1(𝜉 )(𝑥−𝑥0)

𝑛+1

𝑛+1 !

Se dice que el 𝑃𝑛 (x) es el polinomio de Taylor de grado

enésimo para la función alrededor de 𝑥0 y 𝑅𝑛 se llama

término del residuo o error de truncamiento asociado al

polinomio de grado n.

El valor de ξ en 𝑅𝑛 depende del valor x donde se evalúa el

polinomio, la determinación de ξ no es fácil y el polinomio de

Taylor solo asegura que existe y su valor se encuentra entre

x y 𝑥0.

Una variante de Taylor se tiene cuando 𝑥0 = 0 y Taylor se

convierte en McLaurin.

Ejemplo 1.

Utilice la serie de Taylor para valuar la 21.1 para la función

𝑓 𝑥 =21 + 𝑥 utilizando un polinomio de tercer grado.

TAREA 1

1) Calcule los errores absoluto y relativo sí p se representa por 𝒑∗ considere 5

dígitos con redondeo en las operaciones.

a) p=π 𝒑∗ = 22/7

b) p=e 𝒑∗ = 2.718

c) p=𝟏𝟎𝝅 𝒑∗ = 1400.0

2) Los siguientes números provienen de un computador decimal con una

mantisa normalizada de 4 dígitos:

a = 0.2115 x 10-3 ; b = 0.2583 x 101 ; c = 0.4523 x 104

realizar las siguientes operaciones e indicar el error en el resultado,

suponiendo redondeo .

a) a + b + c ; b) (c) (a) / b ; c) (c) / (b)

3) Calcular el error absoluto y relativo, a) por truncamiento y b) por

redondeo, de la fracción 𝟐𝟒

𝟕, considerando como verdadero el

resultado aproximado a seis cifras decimales igual a 3.428571 …

Considere que si se trunca a dos decimales, es decir 3.42, su

expresión como fracción racional equivalente es 𝟏𝟕𝟏

𝟓𝟎, y si se

redondea a dos decimales, es decir 3.43, su expresión como

fracción racional equivalente es 𝟑𝟒𝟑

𝟏𝟎𝟎.

4) Dada la función

a) para 𝒙 =𝝅

𝟑calcule el valor exacto

b) considerando el polinomio encontrado, obtenga el valor

para 𝒙 =𝝅

𝟑, tomando redondeo a cinco cifras decimales.

c)encuentre el error absoluto y relativo entre a y b.

2 4 6 8

( ) cos( ) 12! 4! 6! 8!

x x x xf x x

3x

5) Sea 𝒇 𝒙 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟎. 𝟏𝟒𝟒𝟖

valúe 𝒇 𝒙 para 𝒙 = 𝟑. 𝟕𝟗𝟏 usando 4 cifras decimales.

I) Calcule el valor exacto (con todos los dígitos de la

calculadora).

II) Aplicando redondeo, calcule el valor de 𝒇 𝒙 , el error

absoluto y el error relativo exactos.

III) Aplicando truncamiento calcule el valor de 𝒇 𝒙 , el

error absoluto y el error relativo exactos.

1V) Que considera mejor, el redondeo o el truncamiento

•4) Dada la función