4.5 Ley de Biot-Savart.

Otro experimento que puede realizarse paraconocer más sobre el origen ycomportamiento de las fuerzas de origenmagnético es el mostrado en la siguientemagnético es el mostrado en la siguientefigura. Consiste de un tubo de rayoscatódicos, cuyo haz es colocadoparalelamente a un conductor por el quecircula corriente eléctrica. Nótese que el haz,aun al desviarse, se encuentra siempreformando un plano con el conductor

Ley de Biot-Savart.

Tubo de rayos catódicos .

Ley de Biot-Savart.

La corriente convencional en elconductor, produce una repulsiónen los electrones de acuerdo con laregla de la mano izquierdaregla de la mano izquierdaprovocando que estos describanuna trayectoria curva como semuestra en la figura .

Ley de Biot-Savart.

� Las observaciones experimentalesrealizadas demuestran que la fuerza queactúa sobre la carga q1 depende de:actúa sobre la carga q1 depende de:

� La magnitud de la carga 1 y su velocidad� La velocidad de la carga 2 y el campo

eléctrico que esta produce sobre la carga1. ( )1221112 EvvqF

rrrr××∝

Ley de Biot-Savart.

Introduciendo la velocidad de la luz comola constante de proporcionalidad quesatisface los requerimientosexperimentales, se tiene :experimentales, se tiene :

( )12221112 EvC

1vqF

rrrr××=

Ley de Biot-Savart.

Comparando la ecuación anterior con:

BvqFm

rrr×=

Ley de Biot-Savart.

Se tiene : Ev

C

1B

2

rrr×=

Se puede dar una definición formal deSe puede dar una definición formal decampo magnético:“Como al desplazarse una carga q2 tambiénse desplaza el campo eléctrico que esta cargaproduce, es válido afirmar que un campoeléctrico que se desplaza (o que varía coneltiempo) produce uncampo magnético”.

Ley de Biot-Savart.

LEY DE BIOT-SAVART.Diferenciando la expresión que define elcampo magnético, se tiene :campo magnético, se tiene :

Edv

C

1Bd

2

rrr×=

La velocidad puede ser expresada

dt

dv

lr

r =

Ley de Biot-Savart.

Y recordando que el campo eléctrico es:

r

dq1Ed =r

rr

dq

4

1Ed

20ε⋅π

=r

Sustituyendo las últimas expresiones en la primera

rr

dq

4

1

dt

d

c

1Bd

20

2 ε⋅π×= l

rr

Ley de Biot-Savart.

Agrupando 22

0 r

rd

dt

dq

c4

1Bd

×⋅ε⋅π

= lr

r

0 rdtc4 ⋅ε⋅π

Definiendo

⋅×π=×=

⋅ε=µ −−

mA

Wb10410255.1

c

1 762

00

Ley de Biot-Savart.

y dado que el cociente carga entre tiempoes la corriente eléctrica, se tiene :

0 rdI

Bd×µ= l

rr

20

r

rd

4

IBd

×π

µ= l

Expresión conocida como la ley de Biot-Savart,que permite cuantificar campos magnéticosproducidos por corrientes eléctricas que fluyenpor conductores con diferentes disposicionesgeométricas.

Segmento de conductor recto.

Conocer el campo magnético enun punto P,producido por un segmento de conductor rectopor el cual fluye una corriente eléctrica I.

Segmento de conductor recto.

Si dividimos la longitud del conductor len pequeños segmentos coincidentescon el sentido de la corriente,observamos que cada uno de estosobservamos que cada uno de estossegmentos multiplicados por la corrienteI produce un campo magnético en elpunto P, cuya dirección puede serdeducida al aplicar la regla de losproductos vectorial indicado en la ley deBiot – Savart.

Segmento de conductor recto.

� También se puede aplicar la regla de la mano derecha en el punto de de la mano derecha en el punto de interés. En este caso especifico se tiene una dirección de ( )k−

Segmento de conductor recto.

De la ley de Biot – Savart, se observa que paraconocer el campo total en el punto P serequiere de integrar desde donde inicia elconductor hasta donde termina (desde X1 hastaconductor hasta donde termina (desde X1 hastaX2 o desde alfa1 hasta alfa 2).

( )∫ ∫ −⋅=−⋅== )k(BkdBBdBrr

∫

α⋅⋅π⋅µ=

20

r

send

4

IB

l

Segmento de conductor recto.

De la última integral se observa queson constantes y las magnitudes restantes sonvariables por lo que es necesario expresar dosde ellas en función de la tercera .

πµ 4y0

de ellas en función de la tercera .

( )

( ) α=→α=α−π=

α−=→α−=α−π=

=

cscarcsccsca

r

cotaxcotcota

x

dxdl

Segmento de conductor recto.

Diferenciando x.

( ) α⋅α⋅=αα−−= dcscadcscadx 22

Sustituyendo

∫α

α α⋅α⋅α⋅α

π⋅µ= 2

122

20

csca

dsencsca

4

IB

2

1

2

1

cos4

Idsen

4

IB 00 α

α

α

αα−

π⋅µ=α⋅α

π⋅µ= ∫

Segmento de conductor recto.

Finalmente )cos(cos

a4

IB 21

0 α−α⋅π⋅µ=

Si la distancia “a” es mucho menor que lalongitud del segmentode conductor y que ellongitud del segmentode conductor y que elpunto se encuentra cerca de la mediatriz (enel tercio central), es decir, que se cumple quel >=10 a, entonces: 1cos 1 ≈α 1cos 1 −≈α

]T[

a4

I2

a2

IB 00

⋅π⋅⋅µ=

⋅π⋅⋅µ=

Simulador

� http://wps.aw.com/aw_young_physics_11/0,8076,898593-,00.html

Ejemplo

En la figura se muestra unconductor recto largocoincidente con el eje “x”coincidente con el eje “x”por el cual fluye unacorriente de 20 [A] comose indica en la figura.Determine el vector campomagnético, en [µT], en elpunto A (0,0,5) [cm].

En el punto A (0,0,5) [cm]

( ) [ ]1082010π4Iµ67 ×× −−r ( )

( ) [ ]Tµj80)j(1.0

108)j(

05.0π2

2010π4)j(

aπ2

IµB

67

1

COAC −=−×=−×=−=

−−r

En el punto B (0,0,-5) [cm]

( )( ) [ ]Tµj80j

1.0

108j

05.0π2

2010π4j

aπ2

IµB

67

2

COBC =×=×==

−−r

Campo mágnético

http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Magnetism/1301MagFieldWire/Main.htmlgFieldWire/Main.html

Campo magnético de un conductor.

Campo magnético en diferentes planos.http://www.falstad.cohttp://www.falstad.com/vector3dm/

Espira cuadrada.

En la figura se muestrauna espira cuadrada enel plano “XZ”. El campomagnético en el punto 0magnético en el punto 0es coincidente con el eje“y” en dirección . Lamagnitud se determinautilizando los resultadospara el segmento deconductor recto .

Espira cuadrada.

� Cada lado de la espira se puede considerarcomo un segmento de conductor recto queproduce una componente de campoproduce una componente de campomagnético en el punto de interés, aplicandoel principio de superposición la suma dedichos componentes nos dará el campomagnético buscado.

Espira cuadrada.

( )210 coscosa4

IB α−α

πµ=

a4π

( ) 2coscos 21 =α−αSe puede demostrar que

Espira cuadrada.

SustituyendoI2

B 0µ=a4

I2B 0

πµ=

lπµ=

4

I22B 0

Sustituyendo a=(l/2)

Espira cuadrada.

El campo total es :

µ= I22B 0

Donde:l es la distancia del lado de la espira I es la corriente que fluye por la espira.

lπµ= I22

B 0

Espira cuadrada.

Vectorialmente el campo magnético en elpunto 0, de acuerdo con el sistema dereferencia utilizado, es :

[ ]TjL

i22B b0

0 πµ=

r

Campo magnético de una espira cuadrada

Campo magnético producido por la corriente que fluye por una espira

cuadrada.

En la figura se muestra unaespira cuadrada de ladoL=4[cm], ubicada en el plano“xy”, centrada en el punto“xy”, centrada en el puntoA(4, 4,0) [cm]. Determine:El vector campo magnético,en [µT], en el centro de labobina, punto A, cuando lacorriente en la bobina esIB=6 [A].

Campo magnético producido por la corriente que fluye por una espira

cuadrada.

Vector campo magnético en el punto A, centro dela espira cuadrada.

[ ] ( )( )( ) [ ]Tµk71.169k

04.0

1079.6k

04.0π

610π422Tk

π

Iµ22B

67B0

A =×=×==−−

l

r

Espira en forma de circunferencia .

Espira en forma de circunferencia .

En la figura semuestra unaespira en formade circunferenciade circunferenciaen el plano “XZ”.El campo sobre eleje de la espira sedetermina por:

Espira en forma de circunferencia .

� Como se ve en la figura el campomagnético generado por un elemento dl enparticular yace en el plano “yz”, además:particular yace en el plano “yz”, además:

( )2

o2

0

2

0

22

rb

d

4dB

rba

+πµ=

+=l

Espira en forma de circunferencia .

� La situación presenta simetría de rotación en torno al eje “y” de tal manera que solo hay componentes sobre este eje, dado por: hay componentes sobre este eje, dado por:

θ= cosdBdBy

2/12

o

2

02

o

2

0y )rb(

r

)rb(

d

4

IdB

++πµ= l

Espira en forma de circunferencia .

∫µ= 00 drI

Bl

∫ +π=

2/32

o

2

00y )rb(4

B

∫+πµ= ld

)rb(

r

4

IB

2/32

o

2

00y

Espira en forma de circunferencia .

� La integral dl es simplemente lacircunferencia del circulo

∫ π= r2d∫ π= 0r2d l

( ) [ ]Tjbr2

IrB 2/322

0

2

00

+µ=

r

Espira en forma de circunferencia .

[ ]ˆIµr

Si el campo se desea determinar en el centroDe la espira, se tendrá

[ ]Tjr2

IB

0

0µ=r

Donde:r 0 es el radio de la espira.

Espira en forma de circunferencia.

a) Determinar el campo magnético producidopor una corriente de 10 [A], al circular poruna espira de radio de 5 [cm] coincidenteuna espira de radio de 5 [cm] coincidentecon el plano “xz”, en el punto P(0,20,0)[cm] situado sobre el eje de la espira.

b) ¿Cuál es campo en el origen producidopor la espira anterior?

� a) 1.793x10-6 j [T] y b) 1.257x10-4 j [T]

Campo magnético de una espira en forma de circunferencia .

Bobina.

La bobina es un dispositivo de altointerés práctico, ya que rara vez se utilizauna sola espira para producir el campouna sola espira para producir el campomagnético . Una bobina es un conjunto deespiras formadas por un conductor,necesariamente con un aislamiento en susuperficie cuyo espesor es mucho menorque su radio medio .

Bobina.

El campo magnético, vectorialmente, enel origen del sistema de referencia es:

Bobina.

( ) [ ]Tjbr2

NrIB 2/322

m2

00

+

µ=

r

( )br22/32

m2m

0+

Donde:r m es el radio medio de la bobina. bm es el valor medio del espesor.N es el número de vueltas

Campo magnético producido por una bobina.

Solenoide .

El solenoide es un elemento constituidopor un enrollamiento de alambreesmaltado en forma helicoidal sobre unnúcleo, donde se cumple que el espesor onúcleo, donde se cumple que el espesor olargo del solenoide es mucho mayor queel radio de las espiras . A medida que lasespiras se encuentren más cercanas elcampo magnético será más intenso en elcentro de la espira y en el centro de lalongitud del solenoide .

Solenoide .

Solenoide del laboratorio .

Solenoide .

El campo magnético en el origen delsistema de referencia, que se encuentraen la parte media del solenoide es, deforma vectorial :forma vectorial :

[ ]TjL

NIB 0

0

µ=r

Donde:L es el largo del solenoide.N es el número de vueltas.

Solenoide .

Experimentalmente se ha determinadoque el campo magnético en los extremosdel solenoide es la mitad del campo en elcentro del mismo . Por lo tanto :centro del mismo . Por lo tanto :

[ ]TjL2

NIB 0

0

µ=r

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/magnetico/cMagnetico.html

Solenoide .

Campo magnético de un solenoide.

Ley de Ampere.

La ley de Ampere, implica ladescripción básica de la relaciónexistente entre la electricidad y elmagnetismo, desarrollada a travésmagnetismo, desarrollada a travésde afirmaciones cuantitativas sobrela relación de un campo magnéticocon la corriente eléctrica o lasvariaciones de los camposeléctricos .

Ley de Ampere.

� André -Marie Ampère(Poleymieux-au-Mont-d'Or,20 de enero de 1775 - †Marsella, 10 de junio deMarsella, 10 de junio de1836), fue unmatemático y físicofrancés, consideradocomo uno de losdescubridores delelectromagnetismo.

Ley de Ampere.

Se trata de una ley que general: lacirculación del campo magnético a lolargo de una trayectoria, resulta igual alargo de una trayectoria, resulta igual amu cero veces la corriente que cruza elárea limitada por la trayectoria de interés .

∫ ⋅µ=⋅l

lrr

N0 IdB

Ley de Ampere.

La ley de Ampere permite determinar loscampos magnéticos producidos porcorrientes eléctricas que fluyen porconductores . Aunque es una ley devalidez general, para campos magnéticosconductores . Aunque es una ley devalidez general, para campos magnéticosestáticos, su aplicación a casos prácticosse restringe a los que por suscaracterísticas de simetría permiten elegiruna trayectoria de integración por mediode la cual se evalúa con facilidad laintegral correspondiente .

Ley de Ampere.

� Al utilizar la ley de Ampere, por ejemplo,para determinar el campo magnéticoproducido por un conductor recto seproducido por un conductor recto sellega al mismo resultado obtenido pormedio de la ley de Biot-Savart.

Ley de Ampere.

� En la figura semuestra unconductor recto yconductor recto ylargo por el cualcircula unacorriente que entraal plano de la hoja .El campomagnético en elpunto P es:

( )

[ ]Tr

IB

IrB

IdB

IdBdB

⋅=

=⋅

=

==⋅

∫

∫∫

πµ

µπ

µ

µα

2

2

cos

0

0

0

0

l

ll

l

llrr

Toroide

� Un toroide se puede formar si se unen cara a cara los extremos de un solenoide, como se muestra en la figura: se muestra en la figura:

Toroide

� En las fuentes conmutadas que usan las computadoras se incluyen toroides:

Toroide se sección transversal cuadrada

� Existen toroides de sección transversal cuadrada

Toroide se sección transversal cuadrada

� Aplicando la ley de Ampere debido a lasimetría de esta forma de enrollamiento, setiene:tiene:

( )∫ ∫ ∫ µ=π==α=⋅ Ir2BdBcosBddB 01 lllrr

Como la corriente concatenada por latrayectoria de integración es igual a N veces I

ei0 rrr;

r2

NIB <<

πµ=

Flujo de la inducción magnética.

En diversos problemas se requiereevaluar el flujo de la inducción magnéticaa través de un área determinada .

∫∫ ⋅=φsb AdB

rr

Flujo debido a un conductor recto y largo.

Consideremos lasiguiente figura,donde un conductordonde un conductorcoincidente con eleje de las “x’s”produce un campomagnético debido ala corriente quefluye por él.

Flujo debido a un conductor recto y largo.

El flujo magnético es:

∫∫∫

µ=α=φc

0 drLIcosdAB ∫∫∫ π

=α=φd

0

sb r2cosdAB

[ ]Wbd

cdln

2

LI0b

+π

µ=φ

Flujo en una sección de un solenoide largo.

En la figura se muestra una seccióntransversal localizada en la zona centralde un solenoide, al evaluar el flujotendremos :tendremos :

∫∫∫∫∫∫ =θ=⋅=φsssb dABcosdABAdB

rr

Flujo en una sección de un solenoide largo.

Como el campo magnético no varia ni enmagnitud ni en sentido

[ ]WbABdABsb ==φ ∫∫

Flujo a través de la sección transversal de un toroide.

� El flujo a través de la sección transversal de un toroide es:

( )∫∫ ∫∫∫µ==⋅=φ

re dreNI

BdAAdBrr ( )∫∫ ∫∫∫ π

µ==⋅=φs

r

r

0

sb

e

i

drer2

NIBdAAdB

rr

e

i

e

i

r

r

0r

r

0b rln

r2

NIe

r

dr

r2

NIe

πµ=

πµ=φ ∫

[ ]Wbr

rln

r2

NIe

i

e0b π

µ=φ

Ley de Gauss para el magnetismo.

Cuando se evalúa el flujo sobre unasuperficie cerrada se obtiene el siguienteresultado :

∫∫ = 0AdBrr ∫∫ =

s0AdB

Lo cual nos indica que el flujo neto a travésde una superficie cerrada (gaussiana),colocada en un campo magnético es cero.Expresióncompletamente general.

Bibliografía.

Gabriel A. Jaramillo Morales, Alfonso A. Alvarado Castellanos.Electricidad y magnetismo.Electricidad y magnetismo.Ed. Trillas. México 2003

Sears, Zemansky, Young, FreedmanFísica UniversitariaEd. PEARSON. México 2005