ESCALA CONCEPTO DE ESCALA El dibujo técnico, empleado tanto en la ingeniería como en la arquitectura, tiene como finalidad representar objetos en una hoja o lámina de dibujo, para su diseño, especificación, construcción y mantenimiento. Dichos objetos tienen, por lo regular, dimensiones mayores que las de la hoja de papel en el que se les desea representar, por lo cual se presenta la necesidad de reducir proporcionalmente todas las dimensiones lineales del citado objeto, de manera que pueda hacerse con claridad. A la proporción que guardan las dimensiones del objeto representado en la lámina de dibujo con respecto a sus dimensiones reales es lo que se conoce con el nombre de Escala. La definición que se establece en la norma NOM – Z – 6 Dibujo técnico – Escalas (NOM, de las siglas en español de Norma Oficial Mexicana), en concordancia con la norma internacional ISO 5455 (ISO, de las siglas en inglés de International Organization for Standarization), Technical drawings – Scales (Dibujos técnicos - Escalas), es:

“Escala: razón de la dimensión lineal de un elemento de un objeto como está representado en el dibujo original a la dimensión lineal real del mismo elemento de dicho objeto”.

Nótese que el primer término de la razón, o numerador, se relaciona con la longitud dibujada del objeto, mientras que el segundo término de la razón, o denominador, lo hace con su longitud real. Según el mismo documento citado, se establecen tres tipos de escalas:

escala natural, que se emplea cuando las dimensiones del dibujo son iguales a las del objeto representado y, por lo tanto, con razón 1:1;

escala de ampliación, que se usa cuando se requiere amplificar las dimensiones del

objeto real al ser representado en el dibujo, y su razón es mayor que 1:1. Se dice que es mayor conforme dicha razón se incrementa;

escala de reducción, que se aplica cuando se necesita disminuir proporcionalmente las

medidas lineales del objeto real al representarlo en la lámina de dibujo, y en la que su razón es menor que 1:1. Se dice que es menor en la medida en que la citada razón se decrementa.

La designación completa de una escala deberá consistir de la palabra “ESCALA” seguida de la indicación de su razón: ESCALA 1:1 para la escala natural, ESCALA X:1, para la escala de ampliación, y ESCALA 1:X para la escala de reducción, donde X deberá ser preferentemente un número entero. Debido a la amplia aceptación que ha tenido en el mundo el uso del Sistema Internacional de Unidades, conocido simplemente como Sistema Internacional o SI, en todo este libro se

adoptará como unidad de longitud al metro (símbolo m), así como el milímetro (símbolo mm) y el kilómetro (símbolo km) como su submúltiplo y su múltiplo, respectivamente, de conformidad con las normas NOM – Z – 1 Sistemas de Unidades e ISO 1000, SI units and recommendations for the use of their multiples and of certain other units (Unidades SI y recomendaciones para el uso de sus múltiplos y de otras unidades adecuadas). Aquí cabe destacar que el SI ha sido aceptado incluso por los Estados Unidos de América, en donde su aplicación práctica ha costado mucho tiempo y grandes esfuerzos, al grado de que a la fecha aún no se ha podido consolidar. Conviene hacer notar que la escala empleada en el dibujo técnico se designa con una razón adimensional, lo que implica que para su interpretación, las dimensiones del dibujo y del objeto real deberán establecerse con la misma unidad de medida. De aquí que también se le conozca como escala numérica. Por ejemplo, si un dibujo está trazado a escala 1:5, se puede interpretar que cada unidad dibujada representa 5 unidades reales, es decir, que cada 1 mm dibujado representa 5 mm reales, o bien, que cada 1 m dibujado representa 5 m reales. Ejemplo En la Figura 1 se muestra el segmento AB que representa el largo total de una máquina que está dibujada a escala 1:20. Determine la longitud real correspondiente.

Figura 1 Segmento AB que representa el largo total de una máquina cuya longitud dibujada es 76 mm.

Una forma sencilla de resolver el problema es estableciendo una regla de tres: la razón 1:20 es como la longitud dibujada (símbolo Ld) mostrada es a la longitud real (símbolo Lr) que representa, es decir, 1 : 20 :: 76 mm : Lr. La respuesta es 1520 mm, equivalente a 1.520 m. Nota: Por lo regular, las reglas métricas con las que se cuenta están graduadas en centímetros. EJERCICIOS Problema: Determine la longitud dibujada que represente a escala 1:500 el largo de un puente que tiene 56.500 m de longitud. Respuesta Procediendo con base en una regla de tres, se puede escribir 1 : 500 :: Ld : 56.500 m. Por lo tanto, la respuesta es que la longitud dibujada del puente será de 113 mm. Problema: En el plano de una casa-habitación dibujada a escala 1:75, la fachada está representada por el segmento CD, como se muestra en la Figura 2. Determine su longitud real.

Figura 2 Segmento CD que representa el largo de la fachada de una casa-habitación cuya longitud dibujada es de 116 mm.

Respuesta Dado que la longitud dibujada de la fachada es de 116 mm, por medio de la siguiente regla de tres, 1 : 75 :: 116 mm : Lr, se obtiene la respuesta de 8.700 m que es la longitud real de dicha fachada. Problema: En la Figura 3 se muestra la proyección horizontal de una sección de uno de los pisos de un edificio de oficinas, en la que se puede verificar que la distancia entre columnas es de 7.50 metros. Como se puede observar, la medida dibujada de dicha distancia es de 37.5 mm. Determine a qué escala está dibujado el plano.

Figura 3 Proyección horizontal de una sección de uno de los pisos de un edificio de oficinas.

Respuesta

Con base en la definición de escala (numérica), se puede afirmar que la escala deberá ser la proporción entre 37.5 mm y 7.50 m, es decir, escala 37.5 mm : 7.50 m. Al dividir dicha proporción entre 37.5 mm (ambas medidas para que la proporción no se altere), la escala queda 37.5 mm/37.5 mm : 7.50 m/37.5 mm, y por tanto, escala 1 : 200. USO DEL ESCALÍMETRO El escalímetro es un instrumento que tiene por objeto simplificar el proceso de empleo de la escala en la elaboración e interpretación de planos usados en la ingeniería y en la arquitectura. Por lo regular tienen forma de barra con sección triangular, de 300 mm de longitud útil, y que por lo tanto cuentan con seis escalas diferentes. Todas las escalas de los escalímetros del sistema métrico están graduadas en metros, a menos que claramente esté indicada la unidad de medida. El escalímetro está construido de tal manera que se pueda leer directamente en él, la longitud real que representa un segmento dibujado a la escala indicada. Así, para el caso del segmento EF mostrado en la Figura 4, que tiene una longitud dibujada de 48 mm, representa 4.800 m de longitud real a escala 1:100, valor que se puede comprobar al plantear la regla de tres 1 : 100 :: 48 mm : Lr, del cual se obtiene como resultado una longitud real de 4800 mm, es decir, 4.800 m.

Figura 4 Segmento EF que representa 4.800 m a escala 1:100. Si este mismo segmento EF se mide con la escala 1:20 del escalímetro, ahora la lectura será de 960 mm, la cual se puede verificar al resolver la siguiente regla de tres 1 : 20 :: 48 mm : Lr (ver Figura 5).

Figura 5 Segmento EF que representa 960 mm a escala 1:20. De manera similar, el mismo segmento EF representará 2.400 m a escala 1:50, resultado que puede obtenerse al plantear la regla de tres 1 : 50 :: 48 mm : Lr (ver Figura 6).

Figura 6 Segmento EF que representa 2.400 m a escala 1:50. Asimismo, si se mide el multicitado segmento EF con la escala 1:25 del escalímetro, aquél representará 1.200 m de longitud real, como puede observarse en la Figura 7. También para este caso se puede verificar el resultado a partir de la regla de tres 1 : 25 :: 48 mm : Lr.

Figura 7 Segmento EF que representa 1.200 m a escala 1:25. De la misma manera como se procedió en los párrafos anteriores, se puede comprobar que el mismo segmento EF representará 6 m a escala 1:125, y 3.600 m a escala 1:75. No siempre será posible encontrar la escala requerida en el escalímetro, por ejemplo la escala 1:5000, pero en la mayoría de los casos esta escala será submúltipla o múltipla decimal de alguna existente, en este caso la escala 1:50, y con ella se podrá obtener el resultado con solo multiplicar la lectura realizada en el escalímetro por un factor decimal. Para deducir el valor de dicho factor, se determinará la longitud real que representa el segmento EF con 48 mm de longitud dibujada a escala 1:5000: estableciendo la regla de tres correspondiente, 1 : 5000 :: 48 mm : Lr, se obtiene que la longitud real será de 240 000 mm, es decir, 240 m. El segmento EF medido con la escala 1:50 del escalímetro proporciona la lectura de 2.400 m, como se muestra en la Figura 8, por lo que, en este caso, el factor decimal buscado será de 100, puesto que 240 m es 100 veces 2.400 m.

Figura 8 Segmento EF que medido con la escala 1:50 proporciona una lectura de 2.400 m, representa 240 m a escala 1:5000.

Se puede observar que el citado factor de 100 se puede determinar a partir de la proporción existente entre el denominador de la escala requerida, en este caso 5000, con el denominador de la escala existente, en este ejemplo 50.

Por lo tanto, para efectuar la lectura con una escala que sea submúltipla o múltipla decimal de otra con la que se cuente en el escalímetro, será suficiente con agregar, o quitar, el número de ceros que tenga de más, o de menos, el denominador de la escala deseada con respecto a la escala que se tenga en el escalímetro. Aquí conviene hacer notar que quitar ceros equivale a mover el punto decimal a la izquierda, tantos lugares como ceros se requiera quitar. Por ejemplo, a escala natural 1:1, el segmento EF se podrá medir empleando la escala 1:100, y a la lectura obtenida se le moverá el punto decimal dos lugares a la izquierda; como se muestra en la Figura 9, la lectura es de 4.800 m, por lo que el resultado a escala 1:1 será de 0.048 m, es decir, 48 mm, que es justo lo que mide dicho segmento.

Figura 9 Segmento EF medido con la escala 1:100 proporciona una lectura de 4.800 m; a escala natural, 1:1, representa 48 mm.

Con base en este último resultado, se puede establecer que es posible usar la escala 1:100 como una regla común, con solo cambiar la unidad de medida a centímetros, en lugar de metros. Los pasos para leer correctamente el escalímetro están listados a continuación. Se empleará una línea GH, con una longitud dibujada de 32 mm, con fines demostrativos. Se mostrarán varias ilustraciones para cada conjunto de casos. Conjunto 1 La escala 1:100 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:100, 1:1000, 1:10 000, 1:100 000, 1:10, 1:1, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:10’000 000. Para la escala 1:100, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3.200 m (ver Figura 10).

Figura 10 El segmento GH representará 3.200 m a escala 1:100.

Para la escala 1:1000, el 1 representa 10 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 1 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 32 m (ver Figura 11).

Figura 11 El segmento GH representará 32 m a escala 1:1000.

Para la escala 1:10 000, el 1 representa 100 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 10 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 320 m (ver Figura 12).

Figura 12 El segmento GH representará 320 m a escala 1:10 000.

Para la escala 1:100 000, el 1 representa 1000 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3200 m (ver Figura 13).

Figura 13 El segmento GH representará 3200 m a escala 1:100 000. Para la escala 1:10, el 1 representa 0.100 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.010 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.320 m, es decir, 320 mm (ver Figura 14).

Figura 14 El segmento GH representará 320 mm a escala 1:10. Para la escala 1:1, el 1 representa 0.010 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.001 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.032 m, es decir, 32 mm (ver Figura 15).

Figura 15 El segmento GH representará 32 mm a escala 1:1. Resumen

Escala Respuesta 1:100 3.200 m 1:1000 32 m 1:10 000 320 m 1:100 000 3200 m 1:10 0.320 m = 320 mm 1:1 0.032 m = 32 mm

Conjunto 2 La escala 1:20 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:20, 1:200, 1:2000, 1:20 000, 1:200 000, 1:2, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:20’000 000. Para la escala 1:20, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m y las subdivisiones de éstas últimas 0.020 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.640 m, es decir, 640 mm (ver Figura 16).

Figura 16 El segmento GH representará 640 mm a escala 1:20. Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente.

Escala Respuesta 1:20 0.640 m = 640 mm 1:200 6.400 m 1:2000 64 m 1:20 000 640 m 1:200 000 6400 m 1:2 0.064 m = 64 mm

Conjunto 3 La escala 1:125 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:125, 1:1250, 1:12 500, 1:125 000, 1:12.5, 1:1.25, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:12’500 000. Para la escala 1:125, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 4 m (ver Figura 17).

Figura 17 El segmento GH representará 4 m a escala 1:125. Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente.

Escala Respuesta 1:125 4 m 1:1250 40 m 1:12 500 400 m 1:125 000 4000 m 1:12.5 0.400 m = 400 mm 1:1.25 0.040 m = 40 mm

Ejemplo Determinar la longitud real que representa el segmento IJ mostrado en la Figura 18, a escala 1:75000.

Figura 18 Problema de ejemplo de uso del escalímetro. A escala 1:75 000, el segmento IJ representa una longitud real de 3300 m.

EJERCICIOS Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 (Figura 19).

Figura 19 Problema de uso del escalímetro. Respuesta La longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 es de 0.210 m, es decir, 210 mm. Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento MN a escala 1:25 000 (Figura 20).

Figura 20 Problema de uso del escalímetro.

Respuesta A escala 1:25 000, la longitud real que representa el segmento MN es de 600 m.

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TEMA 1 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS GRÁFICO Geometría formal

Definición de geometría Geometría es la parte de la matemática que estudia los problemas de forma, medida y posición de elementos geométricos, así como las relaciones entre ellos, por medio de procedimientos específicos. Para entender mejor este concepto se requiere tener idea de lo que son los elementos geométricos, así como de lo referente a su forma, medida y posición. Son elementos geométricos, por ejemplo: el punto, el ángulo, las figuras planas, y los poliedros; dentro de ellos, se consideran como los básicos:

a) el punto que, como ente geométrico, no tiene forma ni medida; sólo tiene posición con respecto a algún marco de referencia como los ejes cartesianos;

b) la línea, cuya forma puede ser recta, curva, quebrada o mixta y su medida es la longitud;

c) la superficie, que puede ser plana, cilíndrica o esférica, y a cuya medida se denomina área (conviene hacer énfasis que superficie es el nombre del elemento geométrico, y área es su medida; es incorrecto usarlos como sinónimos);

d) el cuerpo, que puede ser una pirámide triangular, un cono circular recto o un dodecaedro regular siendo el volumen su medida geométrica.

Y para concluir la explicación de términos involucrados en el concepto de geometría, se puede comentar que las relaciones que pueden existir entre elementos geométricos son, por ejemplo, la distancia entre dos puntos, el ángulo que existe entre dos rectas, o bien, la semejanza de dos figuras planas. Se puede clasificar a la geometría, según su campo de estudio, en:

1. plana;

2. espacial; y según el procedimiento que se use para la resolución de los problemas, en:

a) analítica, que se apoya en el álgebra y el cálculo;

b) descriptiva, que emplea procedimientos de tipo gráfico basados en la teoría de proyecciones;

c) formal, que aplica conceptos creados en la mente (entes formales).

Conviene aclarar que esta clasificación no pretende ser la ideal, sino que se propone con fines explicativos y didácticos. En las siguientes líneas se intentará desarrollar lo que aquí se denomina geometría formal, de manera que, con base en el análisis, se vayan descubriendo los conceptos, las definiciones y las proposiciones que se requieren estudiar para lograr cumplir con un objetivo importante de la enseñanza del dibujo técnico, que a la letra dice:

"que el alumno emplee los conceptos fundamentales de la geometría plana básica para la resolución de problemas de

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ingeniería utilizando los instrumentos y métodos adecuados; ..."

Demostración de algunos teoremas fundamentales del triángulo El estudio de la geometría formal tiene sus orígenes en la obra clásica de Euclides (Los Elementos, s. III a. C.), que fue el primer tratado de matemáticas demostrativas que registró la historia, y que aún en nuestros días sigue vigente, sobre todo por el método que emplea para el desarrollo de su trabajo. Dicho método es, poco más o menos, lo que actualmente se conoce como método axiomático, que consiste en establecer, previamente a todo razonamiento, aquellas proposiciones, llamadas axiomas, que necesariamente se admiten sin demostración, para deducir de ellas, sin otro recurso que la lógica, todo el conjunto de proposiciones del sistema (en este caso, el geométrico). Aquí cabe mencionar que el método axiomático no es exclusivo de la geometría formal, sino que, en general, se aplica para el estudio de cualquier otra rama de la matemática. Las proposiciones del sistema que no son axiomas se denominan teoremas, los cuales deben dedu-cirse por medio de la lógica a partir de los axiomas y/o proposiciones previamente demostradas. También será necesario establecer definiciones, tan clara y exactamente como sea posible, aunque, de la misma manera que para las proposiciones, se emplearán los términos más sencillos y fundamentales de la geometría sin intentar definirlos, y a los cuales se les denominará términos no definidos, como lo son el punto, la recta y el plano, así como relaciones geométricas no definidas, tales como las relaciones de congruencia, semejanza y equivalencia, entre otras. Una definición es simplemente una convención, un cambio de palabras, que se establece con el propósito de abreviar la exposición, sin introducir ningún concepto nuevo. Por ejemplo, para evitar referirse al conjunto formado por tres puntos no colineales y los segmentos de recta determinados por cada pareja de dichos puntos, a este concepto se le define como triángulo (conviene hacer notar que

previamente se requiere definir lo que es un segmento de recta). Al sistema de términos, conceptos, relaciones y proposiciones establecidos y/o deducidos por medio de la aplicación del método axiomático se le llama sistema axiomático. Todo sistema axiomático debe cumplir con las siguientes características:

a) debe estar completo, es decir, que los axiomas establecidos deben ser suficientes para obtener a todas las demás propo-siciones del sistema;

b) debe ser consistente, lo que indica que no se deben incluir dos proposiciones que se contradigan entre sí; y

c) debe cumplir con la condición de inde-pendencia, que se refiere a que ningún axioma sea deducible de otros axiomas.

Para ejemplificar las características anteriores se desarrollará una analogía con un sistema de ecuaciones del álgebra que, aunque no tiene relación con el método axiomático, sí logra ilustrar adecuadamente las características mencionadas, como se presenta a continuación.

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Sea la ecuación x + 2y = 5; como sistema de ecua-ciones estaría incompleto para ser compatible deter-minado; si se le agregara la ecuación 2x + 4y = 9, el sistema así formado sería incompatible, puesto que no tiene solución (sería inconsistente); y, por último, si la segunda ecuación fuese 3x + 6y = 15, esta ecuación sería linealmente dependiente de la primera, por lo cual tampoco tendría solución única. Entonces, un sistema de ecuaciones compatible determinado deberá conformarse por el número de ecuaciones que garantice la obtención de una solución única (el sistema debe estar completo), que ninguna de las ecuaciones del sistema contradiga a cualquier otra (el sistema debe ser consistente), y que todas las ecuaciones del sistema sean linealmente independientes. Con respecto a la razón por la cual son necesarias las demostraciones para el estudio fundamentado de la geometría, se puede mencionar la vigencia en todas las ramas de la ciencia de lo que se denomina Ley de la razón suficiente, la cual establece que toda aseveración que se haga debe estar bien fundada, es decir, presentarse con argumentos lo suficientemente fuertes que apoyen su veracidad (que concuerde con los hechos y con la realidad). A continuación se presenta una construcción lógica del sistema axiomático de una parte de la geometría plana relacionada con el triángulo, partiendo de los términos no definidos, las relaciones no definidas y los axiomas, y con base en las ideas de Hilbert sobre las demostraciones de los teoremas, según las cuales no se considera válido para éstas el movimiento de los entes geomé-tricos, tal como lo hizo Euclides en su obra. Se considerarán que son conocidos los conceptos de punto, línea, recta, superficie, plano y cuerpo, y se tratarán de explicar algunas relaciones no definidas por medio de lo que se denominarán definiciones descriptivas. Términos no definidos

1. punto (símbolo: · ) 2. línea 3. recta (símbolo: ) 4. superficie 5. plano 6. cuerpo

Relaciones no definidas

1. incidencia de dos elementos geométricos 2. coincidencia 3. congruencia (símbolo: ) 4. semejanza (símbolo: ~ ) 5. equivalencia (símbolo: = )

Definición descriptiva. Se dice que un punto incide en una línea si dicho punto está contenido en ella. Definición descriptiva. Se dice que una línea incide en una superficie si la línea está completamente contenida en la superficie mencionada, es decir, todos los puntos de la línea están contenidos en dicha superficie. Definición descriptiva. Se dice que dos elementos geométricos son coincidentes si cada punto de uno de ellos ocupa el mismo lugar que el del punto correspondiente al otro. Definición descriptiva. Se dice que dos elementos geométricos son congruentes si ambos tienen la misma forma y la misma medida. Definición descriptiva. Dos elementos geométricos son semejantes si tienen la misma forma. Definición descriptiva. Dos elementos geométricos son equivalentes si tienen la misma medida. Axioma 1. Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una (A: recta). Definición 1. Si A y B son dos puntos sobre una recta r, entonces el segmento AB (denotado por

AB o BA ), es el conjunto compuesto por los puntos A, B, y todos los puntos de r que estén entre A y B. A estos puntos se les denomina extremos del segmento (símbolo: ). Definición 2. Si tres o más puntos diferentes tienen la propiedad de estar sobre la misma recta, entonces se dice que dichos puntos son colineales. Definición 3. Sean O y A dos puntos sobre una recta r. El conjunto formado por O y todos los puntos de r que están del mismo lado de A con respecto a O se llama semirrecta. El punto O se denomina vértice de la semirrecta (símbolo: ). Definición 4. El conjunto formado por dos semi-rrectas que tienen el mismo vértice se llama ángulo

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(símbolo: <). Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que determinan se llama nulo o perígono. Si las dos semirrectas no coinciden pero están sobre una misma recta, el ángulo se llama llano (símbolo: ). Definición 5. Por extensión, se considerará también que al conjunto formado por una semirrecta y un segmento, tales que el vértice del primero coincida con un extremo del segundo, o bien, al conjunto de dos segmentos tales que un extremo del primero coincida con un extremo del segundo, se le deno-minará ángulo, siendo en estos casos el vértice del ángulo el punto de coincidencia. Definición 6. Para todo ángulo se considerará a una de sus semirrectas como la de inicio y la otra como la semirrecta de término. Todo ángulo no nulo divide al plano en dos regiones: la que queda comprendida desde la semirrecta de inicio hasta la de término en sentido dextrógiro (antihorario) se le llamará región interior del ángulo y a la otra se denominará región exterior del ángulo. Definición 7. Dos ángulos que tienen un mismo vértice y una semirrecta común, y que la semirrecta no común del segundo no esté contenida en la región interior del primero, reciben el nombre de ángulos adyacentes. Definición 8. Dos ángulos adyacentes tales que sus semirrectas no comunes no son coincidentes y pertenecen a la misma recta se denominan ángulos suplementarios. En el siguiente axioma, en realidad conjunto de axiomas, se establecen las condiciones para las cuales dos ángulos, o bien dos segmentos, son congruentes entre sí. Este conjunto de axiomas también se emplea frecuentemente en el álgebra. Con base en ellos será posible posteriormente definir ángulo recto y rectas perpendiculares. Axiomas 2. Congruencia

1. Todo ángulo (segmento) es congruente a sí mismo, es decir, si las dos semirrectas (extremos) de dos ángulos (segmentos) dados coinciden respectivamente, entonces los dos ángulos (segmentos) son con-gruentes (A: identidad).

2. Si un ángulo (segmento) es congruente a otro, entonces el segundo es congruente al primero (A: reciprocidad).

3. Si un ángulo (segmento) es congruente a otro, y éste a su vez es congruente a un tercero, entonces el primero es congruente al tercero (A: transitividad).

Definición 9. Se llama ángulo recto a aquel ángulo que es congruente a su ángulo suplementario (símbolo: ) ) Definición 10. Dos rectas m y n son perpendicula-res si se cortan entre sí formando ángulos adya-centes congruentes, es decir, ángulos rectos. Definición 11. Dos ángulos tales que la suma de sus medidas es equivalente a un ángulo recto se les llama ángulos complementarios. Axioma 3. Todo segmento o ángulo se puede subdividir de una única manera en n segmentos (ángulos) adyacentes congruentes, para cualquier entero positivo n (A: subdivisión). Axioma 4. La medida del todo es equivalente a la suma de las medidas de sus partes (A: = partes). Axioma 5. Una medida (cantidad) puede ser sus-tituida por otra equivalente, en cualquier expresión o ecuación (A: sustitución). Definición 12. Se denomina grado sexagesimal, o simplemente grado, a la medida de un ángulo correspondeinte a la nonagésima parte de un ángulo recto. Por tanto, el ángulo recto tiene una medida de 90 grados sexagesimales, que se escribe como 90°. Definición 13. Se dice que dos segmentos son adyacentes si están situados sobre una misma recta, tienen un extremo común y ningún extremo de uno está entre los extremos del otro. Definición 14. Al punto que divide a un segmento en dos segmentos adyacentes congruentes se le denomina punto medio. Definición 15. A la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes congruentes se le llama bisectriz. Definición 16. Al conjunto de n puntos diferentes con n mayor o igual a tres, A1, A2, . . . , An, A1, no

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tres de ellos consecutivos colineales, y de los n

segmentos A A1 2 , A A2 3 , . . . , A An n1 y A An 1 determinados, tal que ninguno de dichos segmentos se interseca con otro se denomina polígono simple. A los puntos se les llama vértices del polígono, siendo cada uno de los segmentos mencionados un lado del polígono. Definición 17. Dos polígonos con el mismo número de lados se llaman semejantes si cumplen con los dos requisitos siguientes:

1. que exista una correspondencia uno a uno entre los lados de uno y otro polígono, de manera que los lados de ambos polígonos sean respectivamente proporcionales; dos lados que se corresponden de esta manera se denominan lados homólogos;

2. que los ángulos formados entre cada pareja de lados adyacentes de un polígono sean congruentes, respectivamente, a los ángulos formados por los lados homólogos del segundo; a los ángulos que se corresponden de esta manera se conocen como ángulos homólogos.

Definición 18. Dos polígonos con el mismo número de lados son congruentes si todos sus lados homólogos son congruentes y todos sus ángulos homólogos son congruentes. Definición 19. Al polígono simple que tiene tres vértices y, por consiguiente, tres lados se denomina triángulo (símbolo: ). Definición 20. Dos triángulos que tienen sus tres lados homólogos congruentes y sus tres ángulos homólogos congruentes se llaman triángulos congruentes (símbolo: s s ). Axioma 6. Si dos triángulos tienen dos lados homólogos congruentes y los ángulos homólogos determinados por dichos lados también congruentes, entonces los dos ángulos opuestos a dichos lados son respectivamente congruentes (A: Hilbert). Las siguientes tres proposiciones, conocidas como los criterios de congruencia de triángulos, son teoremas y se pueden demostrar. Dado que estas demostraciones son complicadas, en este texto se omiten.

Teorema 1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo formado por dichos lados (T: LAL = Lado-Ángulo-Lado).

Es necesario que los ángulos congruentes sean aquéllos formados por el par de lados congruentes, pues si dos triángulos tienen dos lados congruentes y un ángulo, no formado por dichos lados, congruente, en general no serán congruentes. Ver Figura 1.

AB AB BAC BAC' BC BC '

pero ABC ABC~ '

Figura 1. Triángulos no congruentes LAL. Teorema 2. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente dos de sus ángulos homólogos congruentes y uno de sus lados homólogos congruentes (T: ALA = Ángulo-Lado-Ángulo).

Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes y un lado congruente no siendo homólogos, en general tampoco serán congruentes. Ver Figura 2.

EDF E DF' DF DF FED DFE'

pero DEF DE F~ '

Figura 2. Triángulos no congruentes ALA. Teorema 3. Dos triángulos son congruentes si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes a los lados homólogos del segundo (T: LLL = Lado-Lado-Lado). Definición 21. Un ángulo de un triángulo y un lado del mismo se denominan opuestos (uno del otro) si el vértice del ángulo no pertenece al lado. En caso contrario se llaman adyacentes (uno del otro). Definición 22. Un triángulo se llama rectángulo si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo

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recto se denomina hipotenusa. Los otros lados se llaman catetos. Definición 23. Al triángulo que tiene sus tres lados congruentes se le denomina triángulo equilátero. Definición 24. Se conoce como triángulo isósceles a aquél que tiene dos lados congruentes. A continuación se realizará la primera demostración de un teorema en este texto. La estructura de dicha demostración estará formada por dos columnas, una de ‘Razones’ en la que se anotarán las hipótesis, las definiciones, los axiomas y/o teoremas en los que se basan los ‘Resultados’, que se establecerán en la segunda columna. Para simplificar estas demostraciones se emplearán los identificadores de las proposiciones previamente tratadas y que se encuentran al final del enunciado de ellas, y además la simbología siguiente:

1. hipótesis H: 2. definición D: 3. axioma A: 4. teorema T: Teorema 4. En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes (T: <s isósceles). Ver Figura 3.

Figura 3. Demostración T: <s isósceles. Demostración: RAZONES RESULTADOS

H: y D: isósceles AC BC

A: subdivisión ACD DCB

A: identidad CD CD

T: LAL ADC BDC

D: s s DAC CBD

qed Las siglas qed significan “que es lo que había que demostrar”, y provienen de la frase latina “quod est demostrandum”. La siguiente proposición es un teorema cuya demostración no es trivial, y por lo que algunos autores la consideran como axioma. Teorema 5. Por un punto cualquiera del plano puede trazarse una perpendicular (símbolo: ) a una recta dada, y sólo una (T: ).

Para la demostración se requiere analizar dos posi-bilidades diferentes:

Caso 1. El punto está contenido en la recta, ver Figura 4.

Figura 4. Demostración T: , caso 1. Demostración:

RAZONES RESULTADOS H: Recta que pasa por A y B; punto A

D: ángulo recto Trazo ángulos rectos <BAM y <M’AB

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RAZONES RESULTADOS D: Los <M’AB y <BAM son suplementarios

D: <s suplemen- Las s AM y AM'

tarios forman una misma

qed Caso 2. El punto no está contenido en la recta, ver Figura 5.

Figura 5. Demostración T: , caso 2. Demostración:

RAZONES RESULTADOS H: que pasa por A y B; C no contenido en la

D: s s trazo AD AC tal

D: s s que DAB BAC

A: trazo que pasa por C y D

A: identidad AE AE

T: LAL AEC AED

D: s s CEA AED

D: CD AB

qed Definición 25. A cualquiera de los lados de un triángulo se le puede denominar base del triángulo, y con respecto a él, al segmento trazado desde el vértice del ángulo opuesto hasta su intersección con

dicha base y perpendicular a ella se le conoce como altura del triángulo (ver Figura 6).

si AB es la base

del triángulo,

CD es su altura

Figura 6. Base y altura de un triángulo. Definición 26. En el plano, dos rectas se llaman paralelas (símbolo: ||s) si coinciden, o bien, si no tienen ningún punto común. Axioma 7. Dados un punto y una recta en el plano, existe una recta paralela, y sólo una, a la recta dada que pasa por el punto (A: Euclides). Definición 27. Dos rectas que se intersecan deter-minan cuatro ángulos, cada uno de ellos formado por dos semirrectas consecutivas. A cada pareja de ángulos así formados que no sean suplementarios se denomina ángulos opuestos por el vértice. Teorema 6. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (T: <s opuestos por el vértice).

La demostración de este teorema se basa en la definición de ángulos suplementarios, y dado que es sencilla, se deja como ejercicio al lector. Teorema 7. Si una recta r es perpendicular a otra recta s, y dicha recta s es perpendicular a una tercera recta t, entonces la recta r es paralela a la recta t

(T: a dos ||s). Ver Figura 7.

Figura 7. Demostración T: a dos ||s.

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La demostración de este teorema se hará por contradicción, para la cual se establece como hipótesis la tesis (resultado) contraria a la que se desea llegar, y a partir de ella se demuestra que no es posible alcanzar la hipótesis original, por lo que implica que con ésta hipótesis sólo se puede verificar la tesis propuesta.

Demostración por contradicción: RAZONES RESULTADOS H: si las s r y Las s r y t se in-

t no son ||s, y tersecan y por tanto

por D: rectas ||s tienen un común

T: no es posible que r y t

sean s a la s

Por contradicción: si r y t son s a s implica que r y t

deben ser ||s

qed Teorema 8. Si una recta es perpendicular a una de dos paralelas, entonces es perpendicular a la otra

(T: a dos ||s).

La demostración de este teorema es un resultado inmediato del teorema anterior, ver figura 8.

Figura 8. Demostración T: a dos ||s.

Demostración:

RAZONES RESULTADOS

H: a y b son s

a y c son ||s

T: Por P puede trazarse una sola c’ a b

RAZONES RESULTADOS Suposición: c c’

T: a dos ||s c’ debe ser || a a

A: Euclides Sólo existe una || a a que pasa por P

Por contradicción: c no puede ser a c’ y por tanto b a c

qed Definición 28. Al polígono simple que tiene cuatro vértices y, por consiguiente, cuatro lados se le llama cuadrilátero. Definición 29. Se llaman ángulos opuestos de un cuadrilátero a las dos parejas de ángulos cuyos vér-tices no son consecutivos. Definición 30. Se conoce como lados opuestos de un cuadrilátero a las dos parejas de lados que no tie-nen ningún extremo común. A los lados que tienen un extremo común se les llaman lados adyacentes. Definición 31. Al cuadrilátero que tiene una de sus parejas de lados opuestos paralelos entre sí se deno-mina trapecio. Definición 32. Se llama paralelogramo al cuadri-látero que tiene sus dos parejas de lados opuestos paralelos entre sí. A uno de sus lados se le llama base del paralelogramo, y con respecto a él, al seg-mento trazado desde alguno de los vértices no coin-cidentes con dicho lado y perpendicular a éste se le conoce como altura del paralelogramo. Definición 33. Se conoce como rectángulo al cuadrilátero que tiene todos sus ángulos congruentes. A uno de sus lados se le llama base del rectángulo, y con respecto a él, a cualquiera de sus lados adyacentes se le denomina altura del rectángulo. Definición 34. Al cuadrilátero que tiene todos sus lados congruentes así como todos sus ángulos congruentes se le llama cuadrado. Nota: aquí conviene indicar que los cuadrados son un subconjunto de los rectángulos, que a su vez son un subconjunto de los paralelogramos, que a su vez

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son un subconjunto de los trapecios, los cuales finalmente son un subconjunto de los cuadriláteros. Definición 35. Si dos rectas paralelas AB y CD son cortadas por una transversal PQ en los puntos X y Y respectivamente, entonces cada uno de los ángulos que las semirrectas XY y YX forman respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC, YD en la región interior entre las paralelas, se llaman ángulos internos entre paralelas. Un par de ángulos determinados en regiones distintas del plano con respecto a la transversal PQ se llaman ángulos alternos internos entre paralelas. En la figura 1, <XYA y <YXD , o bien, <BYX y <CXY cumplen con la última definición mencionada. Teorema 9. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces forman ángulos alternos internos congruentes (T: alternos internos entre ||s) (demostración). Teorema 10. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es constante e igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a 180° (T: <s interiores ) (demostración). Definición descriptiva. Se denomina longitud de un segmento, o del lado de un polígono, a la medida que tiene dicho elemento geométrico. Definición 36. Se denomina figura plana simple al conjunto formado por una línea finita con extremos coincidentes, tal que dicha línea no se interseque consigo misma, y todos los puntos del plano en la región interior de ella, o bien, al conjunto de dos líneas curvas finitas, una línea curva finita y un segmento, tales que los extremos de la primera sean coincidentes con los extremos del otro elemento geométrico y no tengan otras intersecciones entre sí, así como todos los puntos del plano dentro de la región interior formada, y también al conjunto de varias líneas, rectas o curvas, tales que cada pareja de líneas adyacentes tengan sólo un punto común y que no se intersequen entre sí ninguna pareja de líneas no adyacentes, junto con todos los puntos del plano en la región interior así determinada. Definición descriptiva. El área es la medida que tiene una porción limitada de superficie, o bien, en el caso de la geometría plana, de figuras planas simples.

Axioma 8. (Axiomas de área) 1. El área de un cuadrado es igual a la longitud

de su lado elevado al cuadrado. 2. Si un polígono simple se descompone en n

polígonos simples, entonces el área del primero es equivalente a al suma de las áreas de los n polígonos citados.

3. Si dos polígonos son congruentes, entonces

sus áreas son equivalentes. Teorema 11. El área de un rectángulo es equi-valente al producto de las longitudes de su base y su altura (demostración). Teorema 12. El área de un triángulo rectángulo es equivalente a la mitad del producto de la longitud de sus catetos (demostración). Teorema 13. El área de un paralelogramo es equi-valente al producto de la longitud de su base y su altura (demostración). Teorema 14. El área de un triángulo es equivalente a la mitad del producto de la longitud de su base y su altura (demostración). Definición 37. Si dos rectas paralelas AB y CD son cortadas por una transversal PQ en los puntos X y Y respectivamente, entonces cada uno de los ángulos que las semirrectas XY y YX forman respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC, YD en la región interior entre las paralelas, se llaman ángulos internos entre paralelas. Un par de ángulos determinados en regiones distintas del plano con respecto a la transversal PQ se llaman ángulos alternos internos entre paralelas. En la Figura 9, <AXY y <DYX, o bien, <YXB y <XYC cumplen con la última definición mencionada.

Figura 9. Ángulos alternos internos

entre paralelas.

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Teorema 15. <s alternos internos entre s. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces forman ángulos alternos internos congruentes (Figura 10).

Figura 10. Demostración T: <s alternos internos entre s.

Demostración: RAZONES RESULTADOS

A3: subdivisión M, punto medio segmento AB MBAM

T: PMAP

T: a dos ||s QBMQ

T: <s ops vértice

T: ALA <APM <BQM <PMA <QMB MBAM APM BQM

D: s s BQAP

QMPM

qed

Teorema 16. <s ints . En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es constante e igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a 180°. La demostración se deja como ejercicio al el lector. Definición descriptiva. Se denomina proyección de un segmento sobre otro al segmento determinado por la intersección del segundo segmento, con perpendiculares a él trazadas desde los extremos del primero.

Teorema 17. (del cateto) En todo triángulo rec-tángulo, el cuadrado de la medida de un cateto es equivalente al producto de la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa, y la hipotenusa (demostración). Teorema 18. (Pitágoras) En todo triángulo rectán-gulo, el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos (demostración).