11 intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA

En estadística, se llama a un par o varios pares de

números entre los cuales se estima que estará

cierto valor desconocido con una determinada

probabilidad de acierto. Formalmente, estos

números determinan un intervalo, que se calcula

a partir de datos de una muestra, y el valor

desconocido es un parámetro poblacional.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un

intervalo de confianza es un rango de valores (calculado

en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero

valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro

se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel

de confianza, y se denota 1 - . La probabilidad de

equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza

.  

Una forma de estimar un parámetro poblacional consiste

en estimar con algún grado de confianza, un intervalo

que incluya un límite inferior y un límite superior dentro

de los cuales esperamos que se encuentre el verdadero

valor del parámetro. Con esto, estamos admitiendo que

existe una probabilidad “ "de que esto no ocurra y por

consiguiente una probabilidad “1 - “ de que ello si

ocurra. Es decir, “ ”es la probabilidad de fallar en la

estimación y “1- “ es la confiabilidad que merece la

estimación.

Los niveles de confianza “1- ” más

utilizados en su orden son: 0.95, 0.99

y 0.90, cuyos valores de “Z” según la

tabla de distribución normal son: 1.96,

2.58 y 1.64 respectivamente. El

estudiante debe verificar dichos

valores en la tabla de distribución

normal.

Si una población no está normalmente

distribuida o no se sabe nada de ella, según

el teorema central del límite, las medias

maestrales se distribuirán aproximadamente

de acuerdo a una distribución normal,

siempre y cuando el tamaño de la muestra

sea mayor que 30 (n>30).

La fórmula para calcular un intervalo de confianza para la media poblacional utilizando la distribución normal será la siguiente:

DONDE:

Representa la media aritmética de la muestra

Es la desviación estándar poblacional

Total de elementos de la muestra

Es el valor de Z para cada nivel de confianza ( tabla de distribución

normal)

VEAMOS UN EJEMPLO SENCILLO:

Se recibe un cargamento muy grande de 2 500 bultos de

plátanos provenientes de una importación y se desea

estimar el peso promedio () de dichos bultos, para lo

cual se toma una muestra aleatoria de 100 bultos que

arrojan un peso promedio de x= 21.6 kilos. Se sabe por

experiencias anteriores, que la desviación estándar de

dichos cargamentos es de = 5.1 kilos. Se quiere conocer

el intervalo de confianza con nivel de confianza en la

estimación del 95%.

Al aplicar la formula tendremos:

IDENTIFICAMOS LOS VALORES:

= 21.6

= 5.1

= 100

= 1.96 valor que le corresponde al nivel de confianza del 95%

REALIZAMOS LA SUSTITUCIÓN CORRESPONDIENTE:

( 21.6 – (1.96) ( 5.1 ) < < 21.6 + (1.96) (5.1 ) )

100

100

( 21.6 - (1.96) ( 5.1 ) < < ( 21.6 + (1.96) (5.1 ) ) 10 10

( 21.6 – (1.96) ( 0.51 ) < < 21.6 + (1.96) (0.51 ) ) ( 21.6 – 0.9996 < < 21.6 + 0.9996 ) ( 20.6 < < 22.6 ) U= ( 20.6, 22.6)

La expresión anterior, significa que el 95% de las

medias muestrales de tamaño 100 del cargamento

estarán dentro del anterior intervalo, mientras que

el 5% de dichas medias muestrales estarán por

fuera de dicho intervalo. En consecuencia, podemos

interpretar la referida expresión, diciendo que con

el 95% de confianza la media del peso de todo el

cargamento fluctúa entre 20.6 y 22.6 kilos.

Analizado lo anterior pasemos a practicar lo aprendido:

Lee con atención cada una de las

siguientes situaciones, identifica los

datos necesarios y realiza las

operaciones necesarias para calcular el

intervalo de confianza en cada caso.

:

Calcula el intervalo de confianza al 99% de nivel de confianza de la media de los alumnos de esa escuela.

Se desea estimar la media del tiempo empleado

por un nadador en una prueba olímpica, para lo

cual se cronometran 10 pruebas, obteniéndose

una media de 41.5 segundos. Sabiendo por

otras pruebas que la desviación típica de la

variable para este nadador es de 0.3 segundos,

obtener un intervalo de confianza con un 95%

de confianza.

Un entrenador de fútbol está interesado en

estimar, con un 99% de confianza, la fuerza

máxima de los músculos cuádriceps de los

futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una

distribución normal, selecciona al azar una muestra

de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de

85 N y una varianza de 144. Determinar un

intervalo de confianza para la media los músculos.

El músculo cuádriceps femoral es el músculo más potente y voluminoso de todo el cuerpo humano. Es el que soporta nuestro peso y nos permite andar, caminar, sentarnos y correr. Se denomina cuádriceps debido a que tiene cuatro cabezas musculares. Se encuentra en la cara anterior del fémur.

MUCHAS GRACIAS

POR SU ATENCIÓN