1 teoria de la probabilidad

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho

en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es

posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible

predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también

se le denomina un suceso o un fenómeno.

Generalmente, se simula el evento por un conjunto de

variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está

representado con una o más variables vinculadas entre ellas.

Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles

con exactitud se dice que el evento es aleatorio.

Generalmente las variables representan atributos y

propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que

pueden ser medidos.

Eventos aleatorios

Ejemplos

Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el resultado es águila o sol.

Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de la cara superior.

De una baraja americana normal, se reparte una mano de póker de cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados.

Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda en fundirse.

En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas extraídas.

Espacio muestral

Un espacio muestral o espacio de muestreo es el

conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos

se los denomina como punto muestral o,

simplemente, muestra.

• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

• En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muéstrales posibles. El experimento de tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo, tiene un espacio de muestreo compuesto por los números y otro espacio muestral formado por los palos. La descripción más completa, pues, debería incluir ambos valores (número y palo) en un eje cartesiano.

• Los espacios maestrales pueden ser discretos (cuando el número de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en que el número de sucesos elementales es infinito incontable).

Técnicas de conteo

Es un fenómeno fundado en la experiencia, el

cual al repetirlo y observarlo en las mismas

condiciones en que se desarrolla sus resultados

no son siempre los mismos, sino que los datos o

mediciones son solo aproximaciones al

verdadero valor de la probabilidad del evento.

Ejemplo 1:

Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se gana para el próximo juego. Los jugadores se turnan para elegir primero un número por el cual apostar.

a) ¿Cuántos resultados posibles hay?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que

seleccione un número de puntos que caerán adivine?c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los

jugadores adivine el número de puntos que caerán?

Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado cuantos puntos caerán.

La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones n es grande.

Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar el dado son:

a) Caen 4 puntos, A = 4b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

Ejemplo 2:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles

arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.

Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para

ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.

Sería tedioso hacer un dibujo con todas las

posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación

fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Variables en técnicas de conteo

Las variaciones son técnicas de conteo que

respetan el orden, es decir AB BA.

En realidad cuando hemos resuelto el problema

de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden

escribir con las letras A B C D hemos resuelto

un problema de variaciones, porque

respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.

Además las variaciones pueden ser con repetición o sin

repetición.

Conocemos como variaciones sin repetición…

Variaciones sin repetición:

Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras

de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se

dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3

en 3.

Y se escribe 4v3 =24

Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

De manera general se considera laprobabilidad de un evento, como el númerode eventos positivos partido el númeroeventos global en el espacio muestral. Peropara determinar este último valor, hayvarias formas para hacerlo, en estoconsisten las técnicas de conteo.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un

experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los

pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a

cabo.

Ejemplos:

1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a:

su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O)

y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).

Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas

clasificaciones pueden

estar los pacientes de este médico?

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta

que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas

que podemos enumerar;

MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.

Ejemplo

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la

palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en

diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para

nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger

una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así

sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez,

representan el número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se

pueden obtener con esos n objetos. A diferencia de las permutaciones, el

orden de aparición es irrelevante.

Ejemplo:

En un centro de trabajo se van a seleccionar 3 personas para integrar una

comisión de evaluación.

Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas maneras pueden ser

seleccionadas:

a) Las tres personas

b) Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y

secretario.

Solución:

a) n = 20 , r = 3,1140

))!320(!3

!20320

C

6840320

20320

))!(

!Pb) n = 20 ; r = 3 y

Contenido

PROBABILIDAD CONDICIONAL

PROBABILIDAD INDEPENDIENTE

TEOREMA DE BAYES

LEY MULTIPLICATIVA

Probabilidad Condicional

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe

y se lee:

«la probabilidad de A dado B».

Probabilidad Condicional

Definición

P(𝑨|𝑩)

• No tiene por qué haber una relación caus

al o temporal entre A y B.

• A puede preceder en el tiempo a B, suce

derlo o pueden ocurrir simultáneamente.

• A puede causar B, viceversa o pueden n

o tener relación causal.

Probabilidad Condicional

Definición

Donde:

= Probabilidad de que ocurra A dadoB.

= Probabilidad de que ocurra A y B aun mismo tiempo

= Probabilidad de que ocurra B

Probabilidad Condicional

Definición

𝐏(𝐀|𝐁) =𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)

𝐏(𝐁)

𝐏(𝐀|𝐁)

𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)

𝐏(𝐁)

Probabilidad Condicional

Definición

A B

S

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Probabilidad Condicional

Se seleccionan dos semillas aleatoriamente,una por una, de una bolsa que contiene 10semillas de flores rojas y 5 de flores blancas.

¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera semilla sea roja?

b) La segunda semilla sea blanca dado quela primera fue roja?

Ejemplo Teórico

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que la segunda semilla sea

blanca se ve influida por lo que salió primero, e

s decir esta probabilidad está sujeta a una con

dición, la de que la primera semilla sea roja.

Este tipo de probabilidad se le llama probabilid

ad condicional y se denota por

Ejemplo Teórico

𝑷(𝑨|𝑩)

Probabilidad Condicional

En una empresa hay 75 empleados, de los cua

les, 40 son encargados de sección, y 35 son a

dministrativos. Algunos de ellos utilizan ordena

dor para sus tareas, y otros no.

Resumimos la información en el siguiente cua

dro de doble entrada:

Ejemplo Practico

Probabilidad Condicional

• Calcular la probabilidad de que al elegir una

persona de la empresa sea un encargado, s

abiendo que no tiene ordenador.

Ejemplo Practico

Sin

Ordenador

Con

Ordenador

Total

Encargados 8 32 40

Administrativo

s

20 15 35

Total 28 47 75

Probabilidad Condicional

Lo primero que debemos hacer es indicar cual

es la probabilidad pedida, y cual es la condició

n.

a) La persona sea un encargado (suceso pedi

do)

b) No tiene ordenador (suceso que condiciona

)

Solución

𝑷(𝑨|𝑩) =𝟖

𝟕𝟓

𝑷(𝑨|𝑩) =𝟐𝟖

𝟕𝟓

𝑷(𝑨|𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟖𝟕𝟓𝟐𝟖𝟕𝟓

= 𝟎. 𝟐𝟖𝟔

Probabilidad Independiente

En teoría la probabilidad independiente,

se dice que 2 sucesos aleatorios son ind

ependientes entre si cuando la probabilid

ad de cada uno de ellos no esta influida p

orque el otro suceso ocurra o no, es decir

, cuando ambos sucesos no estas correla

cionados.

Probabilidad Independiente

Definición

P(Salga 2 soles) = P(S,S)=0.25

P(Salga 1 sol y 1 Águila) = P(A,S)=

0.50

P(Salga 2 Águilas)= P(A,A) = 0.25

Probabilidad Independiente

Ejemplo Teórico

Evento

Sol

Águila

Águila

Sol

Águila

Sol 1/4

1/4

1/4

1/4

𝐏(𝐀∩𝐁) = 𝐏(𝐀) 𝐏(𝐁)

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

.

3

.

7

.22

.77

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Teorema de Bayes

Definición

Es decir que sabiendo la probabilidad de

tener un dolor de cabeza dado que se tie

ne gripe, se podría saber -si se tiene algú

n dato más-, la probabilidad de tener grip

e si se tiene un dolor de cabeza

Teorema de Bayes

Definición

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Aἰ). entonces la probabilidad P(Aἰ /B) viene dada por la expresión:

P(Aἰ) son las probabilidades a priori.

P(B/Aἰ) es la probabilidad de B en la hipótesis A.

P (Aἰ/B) son las probabilidades a posterior

Teorema de Bayes

Ejemplo Teórico

P ( Aἰ|B) =𝐏(𝐀ἰ)(𝐁|𝐀ἰ)

𝐏 𝐀ἰ 𝐏 𝐁 𝐀ἰ +𝐏 𝐀2 +...+𝐏 𝐀n 𝐏 𝐁 𝐀𝐧

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

Se definen los sucesos:

• Suceso H: seleccionar una niña.

• Suceso V: seleccionar un niño.

• Suceso M: infante menor de 24 meses

.

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

En los ejercicios de probabilidad total y Teorema de Ba

yes, es importante identificar los sucesos que forman la

población y cuál es la característica que tienen en com

ún dichos sucesos. Estos serán los sucesos condiciona

dos.

a) En este caso, la población es de los infantes. Y la c

aracterística en común es que sean menores de 24

meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar

un infante menor de 24 meses es un ejemplo de pr

obabilidad total. Su probabilidad será:

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

𝐏 𝐌 = 𝐏 𝐇 ∗P 𝐌|𝐇 +P 𝐕 ∗ P 𝐌|𝐕 =0.6*0.2+0.4*0.35 = 𝟎. 𝟐𝟔 ó 𝟎. 𝟐𝟔%

b) Para identificar cuando en un ejercicio se hace refer

encia al teorema de Bayes, hay que partir de recon

ocer esta es una probabilidad condicionada y que la

característica común de los sucesos condicionantes

ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que se

a niña una infante menor de 24 meses será:

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

P 𝐇|𝐌 =𝐏 𝐇 ∗(𝐌|𝐇)

𝐏 𝐇 ∗𝐏 𝐌𝐇 +𝐏 𝐕 ∗𝐏(𝐌|𝐕)=

𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐

𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐+𝟎.𝟒∗𝟎.𝟑𝟓=

𝟎.𝟏𝟐

𝟎.𝟐𝟔= 𝟎. 𝟒𝟔 ó 𝟒𝟔%

El 20% de los empleados de una empresa son ingenier

os y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenier

os ocupan un puesto directivo y el 50% de los economi

stas también, mientras que los no ingenieros y los no e

conomistas solamente el 20% ocupa un puesto directiv

o.

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo

elegido al azar sea ingeniero?

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

P 𝐈𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐢𝐨/𝐃𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐨 =𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓

𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓+𝟎.𝟐∗𝟎.𝟓+𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐= 𝟎. 𝟒𝟎𝟓

Ley Multiplicativa

Si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, ent

onces 𝑷 𝑨ç𝑩 = 𝐏 𝑨 𝐏(𝐁/𝐀)

Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la pr

obabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabili

dad de que ocurra B, dado que ocurre A.

Ley Multiplicativa

Definición

El propósito de la multiplicación consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto 𝐏(𝐀∩𝐁)

Es decir que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.

El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes o independientes. Los eventos A y B son independientes si 𝐏 𝐀 = 𝐏(𝐀|𝐁)

Es decir la probabilidad de A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si 𝐏 𝐁 = 𝐏(𝐁|𝐀)

Ley Multiplicativa

Definición

Eventos Independientes

𝐏 𝐀∩𝐁 = 𝐏 𝐀 ∗ 𝐏(𝐁)

Eventos Dependientes

𝐏 𝐀∩𝐁 = 𝐏 𝐀 ∗ 𝐏(𝐁|𝐀)

Ley Multiplicativa

Definición

Supongamos que en el departamento de circulación de un diario se sabe que 84%

de las familias de una determinada colonia tiene una suscripción para recibir

el periódico de lunes a sábado.

Si hacemos que D represente el evento de una familia que tiene tal tipo de suscripción

𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟖𝟒

Se sabe que la probabilidad de que una familia cuya suscripción, además de ser de lune

s a sábado, también se suscriba a la edición dominical (evento S) es de 0.75; esto es 𝑃𝑆

𝐷= 0.75 cual es la probabilidad de que una suscripción de una familia incluya tanto a l

a edición dominical como a la del lunes a sábado? se calcula de la siguiente manera P(

S n D como sigue:

𝑷 𝑺∩𝑫 = 𝑷 𝑫 𝑷𝑺

𝑫= 𝟎. 𝟖𝟒(𝟎. 𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟔𝟑

Sabemos que ahora el 635% de las familias tiene una suscripción de las ediciones

dominical y entre semana

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo)

1. Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado

2. Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado

a) El primer artículo está en buen estado

b) El segundo artículo está en buen estado

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Ley Multiplicativa

Ejemplo

𝑃 𝐴 = .98 𝑃 𝐵 = .98

𝑃 A∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =98

100

98

100= 0.9604

Independiente

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Si la muestra se toma «sin reemplazo» de mod

o que el primer artículo no se regresa antes de

seleccionar el segundo entonces:

𝑃 A∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =98

100

97

100= 0.9602

AGRADECIMIENTOSUNIVERSIDAD DE LOS ANDES (PROFR. JUAN FERNANDO CHIPIA LOB

O)

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD MADERO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LEÓN

(Estévez Torres Arnold, Guerrero Gómez Juana, Martínez Pérez José

Miguel, Rodríguez Ramírez Ricardo

Rangel Ramos Jesús Ismael, Silva González Valentín)