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Análisis Matemático II – Álgebra Vectorial 2018

1 Unidad I- Álgebra Vectorial

ÁLGEBRA VECTORIAL

Introducción

Existen tres métodos esencialmente distintos para introducir el Algebra Vectorial:

geométricamente, analíticamente y axiomáticamente. En la introducción geométrica, los vectores

se representan por segmentos orientados o flechas. Las operaciones algebraicas con vectores, tales

como la adición, sustracción y multiplicación por números reales, se definen y estudian por

métodos geométricos.

En la introducción analítica los vectores y las operaciones con vectores se expresan mediante

números, llamados componentes. Las propiedades de las operaciones con vectores se deducen

entonces a partir de las propiedades correspondientes de los números. La descripción analítica de

los vectores surge espontáneamente de la representación geométrica en cuanto se introduce un

sistema coordenado.

En la introducción axiomática, no se intenta describir la naturaleza de un vector o de las

operaciones algebraicas con vectores. En lugar de ello, los vectores y las operaciones con ellos se

imaginan como conceptos no definidos de los que nada se sabe excepto que satisfacen un cierto

conjunto de axiomas. Un tal sistema algebraico, con los axiomas apropiados, se llama espacio lineal

o espacio vectorial.

El estudio del algebra vectorial desde el punto de vista axiomático es la introducción matemática

más satisfactoria pues proporciona una descripción de los vectores que es independiente de los

sistemas de coordenadas y de cualquier representación geométrica, también el estudio desde este

punto de vista aunque es más estricto también es más abstracto y dificultoso.

A fines de esta materia trataremos de estudiar el Álgebra Vectorial desde el punto de vista analítico

con interpretación geométrica, tratando de evitar en lo posible la introducción desde el punto de

vista axiomático.

VECTOR n-dimensional o PUNTO n-dimensional: es un n-pla de números reales

(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) para todo entero 𝑛 ≥ 1, siendo los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛las coordenadas o

componentes del vector. El conjunto de todos los vectores n-dimensionales se llama espacio

vectorial de n-plas, o simplemente n-espacio. Lo designamos con Vn .

Para 𝑛 = 2 es un par de números (𝑎1; 𝑎2) su representación geométrica es un punto en el plano.

Para 𝑛 = 3 es una terna de números (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) su representación geométrica es un punto en el

espacio.



Para 𝑛 > 3(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) ya no existe representación geométrica sin embargo el vector aún

sigue estando definido.

La definición de vector está ligada a la estructura algebraica de Vn, introducimos los siguientes

conceptos:

Igualdad de Vectores: Dos vectores �� y �� de Vn son iguales siempre que sus

componentes sean iguales. Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛),�� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; … ; 𝑏𝑛).

La ecuación vectorial �� = �� ⇔ 𝑎1= 𝑏1, 𝑎2= 𝑏2, 𝑎3= 𝑏3,… , 𝑎𝑛= 𝑏𝑛

La suma �� +�� : Se define como el vector obtenido sumando los componentes

correspondientes:

�� + �� = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)

Interpretación Geométrica (𝑝/ 𝑛 ≤ 3)

A

a

B

b

A

a

D=B-A=AB

0

A

a

A

a

B

b

A

a

C

B

b

A

a C=A+B

DCBbA

a

0

A

a



A

a

cA

0

A

a

Si 𝑐 es un escalar o número real,

El producto c�� :Se define como el vector obtenido multiplicando cada componente de A

por c:

c�� = 𝑐(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) = (𝑐𝑎1; 𝑐𝑎2; 𝑐𝑎3; … ; 𝑐𝑎𝑛)

Teorema 1: A partir de estas definiciones se comprueba las siguientes propiedades:

Para la Adición: Propiedad Conmutativa, �� + �� = �� + ��

Propiedad Asociativa, �� + (�� +�� ) = (�� +�� ) +��

Para la multiplicación por escalares,

Propiedad Asociativa, c(d�� ) = (cd)��

Propiedad Distributiva, c(�� +�� ) = c�� +c��

Las demostraciones de estas propiedades se realizan por componentes y son inmediatas se dejan

como ejercicio para el alumno.

Vector cero (�� ). Es el vector con todos los componentes iguales a cero, es decir

que (𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0) se llama vector cero y se representa con �� .Se

cumple que�� + �� = ��

El vector (-1)�� = -�� es el opuestode �� . La suma�� +(-�� )

escribimos�� – �� y lo llamamosdiferencia de�� y �� .

A

a

B

b

A

a

C

B

b

A

a

D

C

B

b

A

a

0

A

a

𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 Si �� -�� =�� -�� , son vectores equivalentes



Dos vectores �� y �� de 𝑽𝒏tienen la misma dirección (son paralelos) si �� = c�� para c positivo y la

dirección opuesta si c es negativo.

Producto escalar.

Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; … ; 𝑏𝑛) son dos vectores deVnentonces

�� . �� = ∑𝑎𝑘. 𝑏𝑘

𝒏

𝒌=𝟏

Se multiplican los componentes correspondientes de �� y �� y luego se suman todos estos productos

el resultado es un escalar.

Para tres dimensiones �� . �� = ∑ 𝑎𝑘. 𝑏𝑘𝟑𝒌=𝟏 = 𝑎1. 𝑏1 + 𝑎2. 𝑏2 + 𝑎3. 𝑏3

Teorema 2: Propiedades del producto escalar:

a) Ley conmutativa

�� . �� = �� . ��

b) Ley distributiva

�� (�� + �� ) = �� . �� + �� . ��

c)Ley de homogeneidad

𝑐(�� . �� )= (𝑐�� ). ��

d) Positividad

�� . �� > 0si �� ≠ ��

e)�� . �� = 𝟎si �� = ��

Las demostraciones de estas propiedades son consecuencia directa de la definición, se deja como

ejercicio para el alumno.



Longitud o Norma de un Vector: Si �� es un vector de Vn su longitud o norma se designa

con ‖�� ‖ y se define mediante la igualdad

‖�� ‖ =(�� . �� )𝟏

𝟐 = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32 + ⋯+ 𝑎𝑛

2 , también se lo llama módulo de A

Teorema 3: Si �� es un vector de Vn y c un escalar, tenemos las siguientes propiedades

‖�� ‖ > 0 𝑠𝑖 �� ≠ �� (positividad)

‖�� ‖ = 0 𝑠𝑖 �� = ��

‖𝑐�� ‖ = 𝑐‖�� ‖ (homogeneidad)

Interpretación Geométrica (p/ n = 3)

A

‖�� ‖ =(�� . �� )𝟏

𝟐 = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32 + ⋯+ 𝑎𝑛

2

Interpretación Geométrica del Producto Escalar (p/ n≤3)

0

A

a

a2

a1

a3

2

A

A



Si es el ángulo comprendido entre los vectores Ay B Se cumple la siguiente propiedad:

cos 𝜃 =�� .��

‖�� ‖‖�� ‖⇒ �� . �� = ‖�� ‖‖�� ‖ cos 𝜃

Esta propiedad también es válida para cualquier

dimensión n.Obsérvese que cos 𝜃 cuando

= 90º 𝑜 /2 esto implica que el producto escalar de

dos vectores perpendiculares es igual a cero

�� . �� = 𝟎 si �� ⊥ ��

Vectores Coordenados Unitarios:En Vn los n vectores 𝑬𝟏 = (1;0;0;…;0),𝑬𝟐

=

(0;1;0;….0),….𝑬𝒏 = (0;0;0;…;1) se llaman vectores coordenados unitarios. El k-ésimo

componente de 𝐸𝑘 = 1 y todos los demás componentes son cero.

Teorema: Todo Vector Si �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛)de Vn, puede ser representado por

(A ) = a1(E_1 ) 1 +a2(E_2 ) +…+an(E_n ) (combinación lineal de los vectores coordenados

unitarios), además esta representación es única.

En V3 usamos la representación 𝐄𝟏 =��, 𝐄𝟐

= 𝒋y𝐄𝟑 = ��

De esta forma puede representarse el vector�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) = 𝑎1�� + 𝑎2𝒋 + 𝑎3��

Vector Unitario de �� : Se llama vector unitario de �� y se representa por �� al vector que

tiene la misma dirección y sentido que �� pero tiene norma o longitud igual a 1.

Se construye de la siguiente forma:

�� =��

‖�� ‖, este vector es paralelo a �� puesto que es el producto de un escalar

¡

‖�� ‖ por el

vector�� , y tiene norma ‖��‖ = ‖��

‖�� ‖‖ =

‖�� ‖

‖�� ‖= 𝟏

Interpretación Geométrica del Vector Unitario(p/ n≤3)

A

a

B

b

A

a

Ө

A

a



�� =��

‖�� ‖⇒ ‖�� ‖�� = �� , el vector �� puede ser

representado como producto de su norma

‖�� ‖ y su vector unitario ��correspondiente,

que le da la dirección y sentido.

Las magnitudes físicas (fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, momento de una fuerza,

etc.) tienen un módulo o norma y también una dirección y sentido por lo que pueden ser

representados como vectores.

Aplicaciones a la Mecánica

Ejemplo1: Encontrar el trabajo realizado por una fuerza de 50 N al mover un objeto desde el punto

B(2;1;4) hasta el punto C(3;2;5). La fuerza es aplicada con la dirección y sentido del vector �� =

2�� + 3𝒋 + 6��, todas las coordenadas están en m.

Para resolver este problema de forma vectorial primero plantearemos los conceptos de Mecánica

de forma escalar.

𝑊 = 𝐹. 𝑑. cos 𝛼 ….. (1)

Siendo F y d los módulos de la fuerza y el

desplazamiento respectivamente, 𝜃el ángulo de

aplicación de la fuerza con respecto al desplazamiento.

Obs: La ecuación (1) es válida solamente si la fuerza es constante

0

A

a

a2

a1

a3

2

a

A



Ahora, si representamos F y d de forma vectorial entonces: F=‖𝐅 ‖ y d=‖𝐝 ‖ de manera que el

producto (1) puede ser representado como producto escalar 𝑊 = 𝐹. 𝑑. cos 𝛼 = 𝐅 . 𝐝 de acuerdo a

la definición de esta operación.

Para la representación de F en forma de vector utilizaremos:𝐅 =‖𝐅 ‖�� donde ��representa el vector

unitario de 𝐅 Este vector ��tiene la dirección y sentido del vector ��

⇒ �� = �� =��

‖�� ‖ ; ��representa el vector unitario de ��

⇒ �� = 2�� + 3𝒋 + 6��

√22 + 32 + 62=

2

7�� +

3

7𝒋 +

6

7��

Ahora , para obtener 𝐅 =‖𝐅 ‖��

𝐅 =50𝑁 (2

7�� +

3

7𝒋 +

6

7��) = (

100

7�� +

150

7𝒋 +

300

7��) [𝑵]

Para hallar el desplazamiento , restamos el vector de la posición final menos la inicial

𝐝 = 𝐂 − �� = (3�� + 2𝒋 + 5��) − ( 2�� + 1𝒋 + 4��)= = (�� + 𝒋 + ��)[𝒎]

Aplicamos la definición y tenemos que :

𝑊 = (100

7�� +

150

7𝒋 +

300

7��) (�� + 𝒋 + ��)[𝑵][𝒎] = (

100

7+

150

7+

300

7) [𝐽] =

550

7𝐽

Todas las propiedades y definiciones anteriores son válidas para n dimensiones, a partir de aquí nos

limitaremos a tres dimensiones.

Orientaciones en el espacio.

Un sistema de ejes coordenados (𝑥, 𝑦, 𝑧) puede tener dos orientaciones de acuerdo a la

Figura a y b.

1) Orientación positiva o directa. Fig. a: está regida por la regla de la mano derecha de la

mecánica se puede interpretar de la siguiente forma si colocamos un tornillo

normalmente al plano x, y y hacemos girar de la parte positiva del eje x hacia la parte

positiva del eje y el tornillo avanza hacia la parte positiva del eje z. Esta orientación será

la utilizada.



2) Orientación negativa o inversa: En caso contrario al anterior. Fig.b.

Pseudovector: Es el vector cuyo sentido cambia de signo si se varía la orientación

del espacio.

Producto Vectorial

Dados dos vectores tridimensionales�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3)

Siendo el ángulo comprendido entre los dos vectores.

El producto vectorial �� × �� es el pseudovector 𝐂 tal que:

a) ‖𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽

b) La dirección de 𝐂 es perpendicular a los vectores �� y �� es decir al plano formado por los

vectores�� y ��

c) El sentido está dado por la orientación del espacio, si la orientación del espacio es positiva está

dada por la regla de la mano derecha (colocando el índice en dirección y sentido de �� el dedo

mayor en dirección y sentido de �� , el vector 𝐂 apuntará en el sentido que indica el pulgar de la

mano derecha).

𝐂 varía de signo con la orientación del espacio por lo que es un pseudovector propiamente dicho,

tomaremos como regla general la utilización de la orientación positiva puesto que es la utilizada en

la mecánica y en electromagnetismo.

y

x

z

Fig. a

x

z

Fig. b y



Interpretación Geométrica

El escalar

‖𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽

representa el área del

paralelogramo construido

por los vectores�� y ��

Si dos vectores �� y

�� distintos de cero son

paralelos el producto

‖�� ‖. ‖�� ‖. 𝐬𝐞𝐧𝜽 = 𝟎.

De aquí se deduce que:

�� × �� ⇔ �� = 𝒄��

Y si 𝜃 = 90º �� × �� = ‖�� ‖. ‖�� ‖ ⇔ �� ⊥ ��

Propiedades del Producto Vectorial:

Consideramos los vectores�� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) y �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3)

a) No conmutativa

�� × �� = −�� × ��

b) Propiedad Distributiva

�� × (�� + �� ) = �� × �� + �� × 𝐂

c) Propiedades con los vectores coordenados unitarios

�� × �� = 𝟎, 𝒋 × 𝒋 = 𝟎, �� × �� = 𝟎

�� × 𝒋 = ��, 𝒋 × �� = ��, �� × �� = 𝒋

𝒋 × �� = −��, �� × 𝒋 = −��, �� × �� = −𝒋

d) Producto Vectorial como Determinante

�� × �� = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)�� − (𝑎1𝑏3 − 𝑎3𝑏1)�� + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)��

⇒ �� × �� = |�� 𝒋 ��𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

��

x

�� =�� x��

��

A

x

𝐂 ⊥ ��

𝐂 ⊥ ��

��

Ө

A

a

║𝐂 ║=║�� ║║�� sen Ө

=Área del paralelogramo

h=║�� ║sen Ө



Todas estas propiedades se demuestran utilizando las componentes y son inmediatas.

La propiedad d) es muy útil para obtener el producto vectorial como determinante se demuestra

desarrollando el producto �� × �� = (𝑎1�� + 𝑎2𝒋 + 𝑎3��) × (𝑏1�� + 𝑏2𝒋 + 𝑏3��) utilizando la

propiedad b) y la propiedad c)

Esta demostración queda a cargo del lector

Aplicación a la Mecánica

Ejemplo2: Hallar el momento producido por una fuerza de 50 N aplicada con la dirección y

sentido del vector�� = 2�� + 3𝒋 + 6�� en torno a un punto fijo unido al punto de aplicación de la

fuerza por el radio vector �� = (�� + 3𝒋 + 6��) [m] .

El módulo del momento producido por la fuerza está dado por el

producto de la fuerza, la distancia y el seno del ángulo

comprendido entre ambas direcciones.

𝑀 = 𝐹. 𝑟. sen 𝜃

Pero𝐹 = ‖𝐅 ‖, 𝑟 = ‖𝐫 ‖ ⇒ 𝑀 = ‖𝐅 ‖. ‖𝐫 ‖.sen 𝜃

De acuerdo a la figura el sentido y dirección está dado por el

vector que representa el eje de rotación, perpendicular al plano

formado por la fuerza �� y el radio vector �� y el sentido está dado

por la Regla de la Mano derecha.

Por lo tanto podemos representar el momento de una fuerza como producto vectorial del radio

vector por la Fuerza �� = �� × �� dado que cumple con las condiciones de módulo, dirección y

sentido citadas anteriormente.

Del ejemplo 1 , habíamos hallado

𝐅 =(100

7�� +

150

7𝒋 +

300

7��) [𝑵]

Y teneos que el radiovector �� = (�� + 3𝒋 + 6��) [m] .

Aplicamos la definición y:

�� = �� × �� =|

�� 𝒋 ��1 3 6

100

7

150

7

300

7

| [N.m]=(0�� + 300

7𝒋 −

150

7��) [N.m]

�� = (0�� + 300

7𝒋 −

150

7��) [N.m]

y

x

z

Fig. a

F r

M



‖�� ‖ = 𝟒𝟕, 𝟗𝟏𝟓𝟕 [N.m] (Módulo del Momento)

�� = (0�� + 0,894𝒋 − 0,447��) (Vector Unitario del Momento,

indica la información de la dirección y sentido de aplicación del Momento)

Producto Mixto.

Dados tres vectores tridimensionales �� = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) , �� = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3),𝐂 = (𝑐1; 𝑐2; 𝑐3).

Se llama Producto mixto de �� , �� y 𝐂 al escalar que resulta de la operación �� . (�� × 𝐂 )

�� ∙ (�� × 𝐂 ) = �� . |�� 𝒋 ��𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

| = 𝑎1(𝑏2𝑐3 − 𝑏3𝑐2) − 𝑎2(𝑏1𝑐3 − 𝑏3𝑐1) + 𝑎3(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)

�� ∙ (�� × 𝐂 ) = |

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

|…(𝛼)

Es decir el producto mixto es el resultado del desarrollo de esta determinante. El paréntesis no es

necesario utilizar en la notación del producto mixto �� ∙ (�� × 𝐂 ) puesto que existen solo dos formas

de desarrollar �� ∙ �� × 𝐂 la primera es realizando primero el producto escalar �� ∙ �� que da por

resultado un escalar y luego el producto vectorial de este escalar por el vector 𝐂 , como esta

operación no está definida (Producto vectorial de escalar por vector) entonces la segunda que es la

correcta es la única forma de realizar la operación señalada por �� ∙ �� × 𝐂 , (realizando primero el

producto vectorial �� × 𝐂 y posteriormente el producto escalar de �� por el resultado de �� × 𝐂 ).

Las propiedades del producto mixto están ligadas a las propiedades de la determinante dada

aplicada a esta operación, y son en esencia resultado de la combinación de las propiedades de

producto escalar y producto vectorial que lo definen.

El resultado del producto mixto es considerado un pseudoescalar puesto que cambia de signo al

variar la orientación del espacio (debido al producto vectorial al que está ligado a su definición).

La demostración de la igualdad (𝛼) queda a cargo del lector.



Interpretación Geométrica

Área de base=‖�� × 𝐂 ‖ = ‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃

Altura del paralelepípedo =‖�� ‖. cos 𝛼

Volumen del paralelepípedo = Área de base×Altura

Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃 . ‖�� ‖. cos 𝛼

Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. (‖�� ‖. ‖𝐂 ‖. sen 𝜃). cos 𝛼

Volumen del paralelepípedo = ‖�� ‖. (‖�� × 𝐂 ‖). cos 𝛼

Volumen del paralelepípedo = �� . �� × 𝐂

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo

construido a partir de estos tres vectores. De aquí se deduce que tres vectores son coplanares si y

solo si su producto mixto es igual a cero.

Referencias Bibliográficas

- Calculus- Tom M. Apostol.

- Análisis Vectorial – Murray Spiegel. Editorial Schaum.

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