algebra pamer

7/25/2019 Algebra Pamer

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Álgebra

PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014 53

1. Se puede a rmar que la diagonal del cubo, cuya aristacorresponde en unidades de medida al mayor de losmódulos entre todas las raíces de la ecuación:

x5 + 3x4 + 7x3+ 9x2+ 8x+ 4= 0 mide:

A) 2 B) 6 C) 2 2D) 2 3 E) 3 3

2. Si n es el menor entero perteneciente al dominio de lafunción real de variable real

x

(x 1)3

e 1

27 3f(x) ln64 4

++

= –

podemos a rmar que –1

3 3 3nlog 3 3 3 ........

es raíz dela ecuación:

A) x 3 – 2x2 – 9= 0B) x3 + x – 1= 0C) x4 – 4x2 – x+ 2= 0D) x 2 – 4x+ 3= 0E) x 4 – 4x2 + x+ 1= 0

3. Consideramos a x ∈ R + , x≠1 y a ≠1 el producto de lasraíces de la ecuación es:

2

2

x ( 1)12 1 log (10)

log(x )

–+ =

A) 10 3 B) 10 C) 1010

D)10

100 E) 100

4. Sean n∈ N tal que 2 4 + 25+ ...2 n = 8176 y m es el mayorm∈ N tal que:

62 log 40m! 1

2 4 6...(2n) 6≤

⋅ ⋅

sea verdadera. El producto mn vale: A) 120 B) 124 C) 130D) 132 E) 144

5. En la figura se tiene un rectángulo inscrito en uncuadrado de 10 cm de lado. El área del rectángulo varía

en función de la medida x. El valor máximo de esa vigaen centímetros cuadrados es:

A) 42 B) 45 C) 48D) 50 E) 52

6. Sea una función cuadrática f(x) = x2 – 4x+ 3 si f(k – 2)= f(k + 2),siendo k un número real, entonces f(k) es igual a:

A) – 1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3

7. Para – 1 < x < 1/2, el grá co de la función y = |x + 1| + |2x – 1|coincide con el grá co de la función y = ax+ b. Los valores

de a y b son, respectivamente. A) – 1 y – 1 B) 2 y – 1 C) – 1 y 2D) 1/2 y – 1 E) – 1/2 y 1

8. El conjunto imagen de la función: f(x) = |x 2 – 4x+ 8| + 1 es el intervalo:

A) [5, + ∞ B) [4, + ∞ C) [3, + ∞D) [1, + ∞ E) [0, + ∞

9. Si a, b y c son raíces reales de la ecuación x 3 – 10x 2

– 2x+ 20= 0, entonces el valor de la expresión a 2bc+ ab2ces igual a:

A) 400 B) 200 C) – 100D) – 200 E) – 400

10. La gura siguiente representa el grá co de la función f:R +

* → R tal que f(x) = loga x

y

x

1/4

1 2



GUIA DE REPASO

5 4PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014ÁLGEBRA54

El valor de fof(4) es: A) 0 B) 1 C) 1/2D) 8 E) 16

11. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 2) (x + 3) el resto

es (2x – 5), calcule el término independiente del resto queresulta de dividir P(x) entre (x + 2)(x – 3) sabiendo que Q(x)es el cociente de esta división y que Q (2) = Q(–3) = 0.

A) 12 B) 5 C) – 5D) – 12 E) 0

12. Encuentre un polinomio P(x) de grado 3, que sea divisibleseparadamente entre x + 3 y x – 2. Además la suma de

coe cientes es – 12 y el resto de P(x)x

es 12.

A) 5x 3 – 32x – 12 B) 5x 3 – 3x2 – 12

C) 3x 3 – 12 D) 5x 3 + 3x2 – 32x + 12

E) 5x3

– 3x – 12

13. Un polinomio f(x) de grado 4, es divisible por separadocon (x – 3); (x + 2) y (x + 5). Si al dividirlo por x + 1 el resto

es 32 y f(0) =– 240, calcule el resto de dividir f(x)x+ 4

A) 20 B) 80 C) 60D) 18 E) 0

14. Un polinomio P(x) de tercer grado se divide separadamenteentre (x – 1); (x – 2) y (x + 3); dando como resto común5. Además al dividirlo entre x + 1 da un resto igual a 29.Calcular el término independiente de P(x).

A) 15 B) 16 C) 17D) 18 E) 19

15. La identidad3

3 2x 4 a bx c1

x 1x 1 x x 1+ += + +

++ – + es válida para todo número real x ≠ – 1 entonces a + b+ c

es igual a: A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

16. Multiplicando por 2 las raíces de la ecuación x 3 – 2x2

+ 2x – 1= 0 vamos a obtener raíces de la siguiente

ecuación: A) 2y3 – 6y2 + 6y – 4 = 0 B) y3 – 4y2+ 8y – 8 = 0

C) 8y3 – 8y2 + 4y – 1 = 0 D) y3 – 8y2+ 8y+ 8 = 0

E) 4y3 – 4y2 – 4y – 8 = 0

17. Sabiendo que 4 + i 2 y 5 son raíces del polinomio2x5 – 22x 4 + 74x 3 – 420x + 540, entonces la suma de loscuadrados de todos sus raíces es:

A) 47 B) 49 C) 51D) 53 E) 55

18. El polinomio de grado: (a + 2b+ c)x4+ (a + b+ c)x3 – (a – b)x2+ (2a – b+ c)x+ 2(a + c) con a, b, c ∈R es una función par. Entonces, la suma de

los módulos de sus raíces es igual a:

A) 3 + 3 B) 2 + 3 3 C) 2 + 2

D) 1 + 2 2 E) 2 + 2 2

19. Sean los conjuntos: A = {(x – 1)∈R /x 2 ≤ 16}

B = {y ∈R /(y + 1) 2 ≥ 9}halle A ∩ B

A) – 10; – 5 B) [3;8] C) {3;8}D) [ – 5;3] E) [ – 5; – 4] ∪ [2;3]

20. El dominio de la funciónx

22 8f(x)

x 3x 4 –=

– – es el conjunto: A) – ∞, – 1 ∪ [3, + ∞ B) – 1,3 ∪ [4, + ∞ C) – 1,3] ∪ 4,+ ∞ D) – ∞, – 1 ∪ 4,+ ∞ E) 4,+ ∞

21. Sea p(x) un polinomio de grado 3 tal que p(x) = p(x + 2) – x2 – 2 para todo x ∈ R . Si – 2 es una raíz de p(x) entoncesel producto de todas las raíces de p(x) es:

A) 36 B) 18 C) – 36D) – 18 E) 1

22. Sea P(x) un polinomio de grado 5, con coe cientes reales,admite 2 e i como raíces. Si P(1) .P( – 1)<0 entoncesel número de raíces reales de P(x) pertenecientes alintervalo ] – 1,1[ es:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

23. Las raíces de la ecuación de coeficientes realesx3 + ax2 + bx+ c= 0 son enteros positivos consecutivos.La suma de los cuadrados de esas raíces es igual a 14.Entonces a 2 + b2 + c2 es igual a:

A) 190 B) 191 C) 192D) 193 E) 194

24. La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

x3 + 5x2 + 2 3x+ 8= 0 es igual a:

A) 5 B) 5 – 4 3 C) 12 5

D) 9 + 5+ 2 3 E) 3+ 5

25. El conjunto de los valores de k para los cuales f(x) = x3

– 2x2+ 3 – k tiene uno o tres ceros reales entre 1 y 2 es: A) k<2 B) 1<k<2 C) 2>k ó k<6D) k>7 E) 2<k<3

26. Siendo c un número real a ser determinado descompongael polinomio 9x 2 – 63x + c, en una diferencia de dos cubos(x+ a) 3 – (x+ b)3 en este caso |a + |b| – c| es igual a:

A) 104 B) 114 C) 124D) 134 E) 144

27. Una recta tiene un coe ciente angular m =– 1 y pasa porel vértice de la parábola 4x – y2 + 6y – 5= 0 su ecuacióncartesiana es:



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5 5PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014 ÁLGEBRA 55

A) x + y – 2= 0 B) x – y+ 3= 0C) x – y – 1= 0 D) 2x + y – 1= 0E) 5x + 3y – 7= 0

28. Considere la función f tal que para todo x real se tiene

que: f(x + 2) = 3f(x) + 2 x

. Si f( – 3) = 1/4 y f( – 1) = a,entonces el valor de a 2 es: A) 25/36 B) 36/49 C) 64/100D) 16/81 E) 49/64

29. Calculando el área de la región limitada por: y ≤ 32

(x+ 2)x2+ (y – 3) 2 ≤ 13 se obtiene que:

A) 2 13 p B) 13 p C) 13 p /2

D) 3 13 p /2 E) 13 p

30. Sea a un número real con 0< a <1 señale la alternativaque representa al conjunto de todos los valores de x

tales que:22x

2x 1 1

a < a A) ( – ∞,0] ∪ [2, + ∞) B) ( – ∞,0) ∪ (2, + ∞)C) (0,2) D) ( – ∞,0)E) (2,+ ∞)

31. En el universo R , el conjunto solución de la inecuación

(2 – 3) x > (2 + 3)2 es el intervalo: A) ( – 2,2) B) (2,+ ∞) C) ( – ∞,2)D) ( – 2,+ ∞) E) ( – ∞, – 2)

32. Si logb x = log8 x+ log64 x; x∈R , x>0 entonces la base bes igual a:

A) 1/2 B) 2 C) 16D) 72 E) 4

33. El conjunto solución de la ecuación logx + log(x – 3)= 1,está contenido en el intervalo:

A) [ – 6, – 2] B) [ – 1,0] C) [0,2]D) [2,3] E) [3,6]

34. Sea f(x) = log3 (x+ 12), x> – 12.Si |f(k) – f(0)| < 1, entonces:

A) – 12<k<16 B) – 10<k<28C) – 8<k<24 D) – 6<k<26E) ∅

35. Para b>1; x>0, resuelve la ecuación en x:

b blog 2 log 3(2x) (3x) 0 – =

A) 3 B) 4 C) 5D) 1/6 E) 7

36. Sea 2

1log e 2f(x) e (x 5)= + un cociente de las soluciones

de la ecuación f(x) = 12x puede ser: A) 5/6 B) 5 C) 6D) 1/3 E) 6/5

37. Considerando log2 = a y log3 = b encuentre en función dea y b el logaritmo del número 5 11,25 en el sistema debase 15.

A) a + b+ 3 B) a – b+ 6 C) 1/5(a + b)

D) 5(a + b) E) 1 2b 1 3a

5 b a 1

+ –

– +38. Los números complejos 1 + i y 1 – 2i son raíces de un

polinomio con coe cientes reales, de grado 8. El númerode raíces reales de este polinomio, como máximo es:

A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 5

39. Los valores pertenecientes al dominio de la funciónf(x) = log( – x2 + 3x+ 10) que satisfacen la inecuación3 x+2 ≥ 3 pertenecen al intervalo:

A) ( – 5, – 2) B) ( – 2, – 1) C) ( – 1,5)D) ( – 1,5] E) [ – 1,5)

40. El resto de la división de un polinomio P(x) por (x + 2)(x – 2)(x + 4) es R(x) = x2 – 2x+ 3 entonces el resto de ladivisión de P(x) por x + 4 es:

A) – 27 B) 27 C) – 30D) 30 E) cero

41. Una ventana tiene forma de un rectángulo coronadoen un triángulo equilátero, de manera que el lado deltriángulo coincide con el lado superior del rectángulo.Determine la función que representa el área encerradapor la ventana si esta debe tener un perímetro de 10m,

¿cuál es el dominio de la función? A) R B) (0,10/3) C) [10/3, + ∞D) x<0 E) [0,10/3]

42. Una sustancia radiactiva se desintegra exponencialmente.Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 30años después hay 500 gramos, ¿cuántos gramos habrádespués de 250 años?

A) 130 B) 131,31 C) 140D) 150 E) 100

43. El número de bacterias B en una colonia después det horas es B = B0 .ekt donde k es una constante real.Sabiéndose que el número inicial de bacterias es 100y que esa cantidad se duplica en t = ln2

2, entonces el

número N de bacterias después de 2 horas satisface: A) 800<N<1600 B) 1600<N<8100C) 8100<N<128 000 D) 128 000<N<256 000E) 256 000<N<512 000

44. P(x) es un polinomio de coe cientes reales y menor gradocon las propiedades siguientes:• Los números r 1 = 1, r 2 = i, r3 = 1 – i son reales de la

ecuación P(x) = 0• P(0) = – 4

Entonces P( – 1) es igual a: A) 4 B) – 2 C) – 10D) 10 E) – 40



GUIA DE REPASO

5 6PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014ÁLGEBRA56

CLAVES

1. D

2. C

3. C

4. E

5. D

6. A

7. C

8. A

9. D

10. A

11. C

12. D13. B

14. C

15. D

16. B

17. A

18. E

19. E

20. E

21. C

22. B

23. D

24. B

25. E26. B

27. A

28. E

29. C

30. C

31. E

32. E

33. E

34. C

35. D

36. B

37. E

38. C39. E

40. B

41. B

42. B

43. B

44. E

45. D

46. D

47. B

48. B

49. D

50. D

45. Sean f y g funciones reales de variable real de nidospor f(x) = 17

2 x + 1 y g(x) = 3 + 2x – x2 el valor mínimo de

f(g(x)) es: A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2D) 1 E) 2

46. Si f(x)= 4x 2 , g(x) = x3 y h(x) = x4 , ¿cuál(es) de lassiguientes a rmaciones es(son) verdadera(s)?I. f(x) ≠ g(x) para todo número real x distinto de ceroII. f(x) = h(x) para algún número real x distinto de ceroIII. f(x) < g(x) < h(x) para todo número real x distinto

de cero A) Solo I B) Solo II C) Solo IIID) I y II E) II y III

47. Si los números reales x e y son soluciones de la ecuación

21 i 1 1 i1 i x iy

+ + = + – +

entonces: 5x + 15y es igual a: A) 0 B) – 1 C) 1

D) 2 E) – 2

48. Dos números estrictamente positivos son tales que, ladiferencia, la media geométrica y la media aritméticaentre ellas, en ese orden, una progresión geométrica.La razón entre el mayor y el menor de esos números esigual a:

A) 2 B) 1 + 2 C) 3/2

D) 5 /2 E) 3+ 1

49. La tabla siguiente muestra el precio en soles del kg decada mercadería en dos puntos distintos de venta:

Quinua Arroz Cebada

Mercado 4x – 0,3 2x x+ 0,2

Almacén 4x 2x + 0,1 x

Una señora compra 3 kg de quinua, 5 kg de arroz y 2 kgde cebada, escogiendo los puntos de venta con menoresprecios, y pagó S/.13,50 en total. Se puede a rmar queel precio del kg de quinua en el almacén es igual a:

A) S/.3,20 B) S/.1,60 C) S/.2D) S/.2,40 E) S/.2,80

50. El gráfico de la función f. R →R tal que f(x) = x3 –8x2 + 15x + 3 interceptan a la recta r, paralela al eje delas abcisas en los puntos A, B y C, como se muestra enla gura:

y

x

A B C r

La razón entre las medidas de los segmentos AB y BC,en ese orden, es:

A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8

D) 1,5 E) 2,0

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